把f展开为正弦级数
(2) 把f 展开为正弦级数. 奇延拓: g (x ) =???
??=-∈--∈0
,0),0,[),(],,0(),(x l x x f l x x f a n = 0,
b n =?l
x f l 0)(2sin l x n πdx (n = 1, 2, …),
f (x ) ~ ∑∞=1n n b sin l x n π=???=.
,0,0l x
例1. f (x ) = x 2 (| x |≤1), 以2为周期. l = 1, 偶. b n = 0,
a n =2
21
033222221024)1()sin 2cos 2(2cos 2πππππππn x n n x n n x n x xdx n x n -=-+=?,
a 0 =23
2102=?dx x . x 2 = 31+∑∞
=-122cos )1(4n n n x n π (| x |≤1).
例2. f (x ) = x (0≤x ≤1), 展开为 1) 正弦级数, 2) 余弦级数.
解 l = 1. 1) b n = 2ππππππn x n n x n x n xdx n x n 2)1()cos sin (2sin 1102210+-=-=?, f (x ) ~ ?
??=<<=-∑∞=+.1 ,0 ,0,10 ,sin )1(211x x x x n n n n ππ
2) a n = 2),1)1((2)sin cos (2cos 22102210--=+=?n n n x n x n x n xdx n x ππππππ a 0 = 2?10xdx = 1, x = -∑∞=--12
2)12()12cos(4n n x n ππ (0≤x ≤1).
例3(p.77.1(2)). f (x ) = x - [ x ], 周期为1, l = ? . 在[0,1)上, f (x ) = x , a 0 = 1,
a n = 21
02210)42cos 22sin (22cos πππππn x n n x n x xdx n x +=?= 0,
b n = 2ππππππn n x n n x n x xdx n x 1)42sin 22cos (22sin 1
02
210-=+-=?,
f (x ) ~ 21-?
??=<<-=∑∞=.
1,0,2/1,10],[2sin 11x x x x n x n n ππ
例4(p.78.8(1)). f 定义在[0, π / 2]上. 如何延拓为(-π, π)上的函数, 使其F 级数为
∑a 2n -1 cos (2n -1)x .
解b n = 0 ? f (-x ) = f (x ),a 2n = 0 ? 0 =????+=+=2
/0
2/2
/0
02cos )(πππππ
nxdx x f
?2
/0
πf (π - t ) cos 2n (π - t ) dt =
?2
/0
(πf (x ) + f (π - t ))cos 2nx dx ? f (π - x ) = - f (x ).
廿六. 收敛性定理的证明及F 级数的其它性质
Riemannn-Lebesgue 引理 若f 在[a , b ]上可积, 则
∞→λlim ?b a f (x ) sin λx dx =∞
→λlim ?b
a f (x ) cos λx dx = 0. 证 ?ε >0 ? [a ,
b ]的分割{x 0 = a , x 1 , … , x n = b }使∑=n
k 1
(M k - m k ) ( x k - x k -1) < ? ε , 其
中
M k , m k 是f 在[x k -1, x k ]上的上、下确界, 则λ >
∑=n
k k m 1
||4
时
|?b
a
f
(x )sin λx dx | = |∑?=-n
k x
x k k x f
11
)((- m k + m k )sin λx dx |
∑∑?∑?∑?=-===-+-≤
+-≤---n
k k k k n k x
x k k n
k x
x k n
k x
x k x x m dx m M xdx m dx m x f k k k k k k 1
1
1
11|
cos cos ||
|)(|
sin ||||)(|111λ
λλλ
≤∑=n k 1
(M k - m k ) ( x k - x k -1) +2
2||21εελ+<∑=n
k k m =ε .
推论 若f 在[-π , π]上可积, 则f 的F 系数a n , b n →0 (n →∞). 定理 若f 以2π为周期, 在[-π, π]上分段可微, 则
∑∞=+10(2n a a n cos nx + b n sin nx ) =2
)()(-++x f x f (x ∈[-π, π]). 证 设s n (x ) =20
a +∑=n k 1
(a k cos kx + b k sin kx ), 要证明n →∞时s n (x )
-
2
)
()(-++x f x f →.
0 (x ∈[-π , π ])
第一步 用积分表示F 级数的部分和:
∵ a k cos kx + b k sin kx =?-π
ππ
f 1(t ) (cos kt cos kx + sin kt sin kx ) dt
=
?
-π
ππ
f 1
(t ) cos (kt - kx ) dt ,
∴ s n (x ) =21?-πππf 1(t ) dt +?-ππ
πf 1(t )∑=n k 1
cos (kt - kx ) dt
=?-πππf 1(t ) (21+∑=n k 1cos (kt - kx )) dt ?---=-+=x x
u x t u x f πππ)(1(21+∑=n k 1cos ku ) du
=
?
-π
π
π
f 1
(x+t ) D n (t ) dt ,
其中D n (t ) =21+2
sin 2)21sin(cos 1
t
t
n kt n
k +=∑=, 称为Dirichlet 核. 第二步 用积分表示s n (x ) -2
)
()(-++x f x f :
∵ ?∑??=-+==ππππππ0100)cos 21(1)(1)(1n k n D n dt kt dt t D dt t D n 偶=2
1, ∴ s n (x ) -
2
)()(-++x f x f =??
+++-ππ
π
π0
)()(1
)()(1
dt t D t x f dt t D t x f n n - f (x -)
??
+--π
π
π
π
0)(1
)()(1
dt t D x f dt t D n n
=
?
?-++-+00
(1
)())()((1
π
π
π
π
dt t D x f t x f n f (x + t ) - f (x -)) D n (t ) dt . (*)
第三步 应用R-L 引理, (*)中两个积分→0 (n →∞):
第一个积分的被积函数为g (t )
2
sin 2t t sin (n +
21)t , 其中g (t ) =t
x f t x f )()(+-+, 由R-L 引理, 只需证明g 在[0, π]上可积: 由分段可微条件2?, t = 0不是奇点, 因而g 是至
多有有限个间断点的有界函数, 可积.
Bessel 不等式 若f 在[-π, π]上可积, 则∑∞=++12220
)(2n n
n b a a ≤?-ππ
πf 12, 其中a n , b n 为f 的F 系数.
证 设s n (x ) =20a +∑=n
k 1
(a k cos kx + b k sin kx ), 则
0≤?--ππdx x s x f n 2))()((=?-π
π2
f
-?-ππn s f 2+?-π
π2n
s , (**) ∑∑
?
?
?
?==----+=
++
=n
k k
n
k k k n a a kxdx x f b kxdx
x f a f a s f 1
220
1
(2
)sin )(cos )((2 ππππ
ππ
ππ
ππ
+2k
b ), ?
-ππ2
n
s =?∑∑∑-===++++π
π
n k k
n k k n k k k kx b kx a kx b kx a a a 1
221221020sin cos )sin cos ()2(( +2∑∑==++==n k k k n l k l k b a a dx lx kx b a 1
22201,)(2)sin cos ππ . 代入(**)且令n →∞得证. 注 对[0, 2π ],[-l , l ] ,[0, 2l ]有类似的不等式, 只需把??-π
ππ20等换成. 由Bessel 不等
式,
∑2n a , ∑2n
b 总收敛. 最佳平均逼近定理(p.83总练习题2) 若f 在[-π, π ]上可积, T n (x ) =20A +∑=n
k 1
(A k cos kx +
B k sin kx ) (A k , B k ∈R ), a 0 , a k , b k (k = 1, 2, …, n )是f 的F 系数, 则当且仅当A 0 = a 0, A k = B k ,
B k =b k (k =1,…,n )时
?--π
π2)(n T f
取最小值, 即?n , A 0, a k , B k ,
?--π
π2)(n s f
≤
?
--ππ
2)(n T f .
证 仿Bessel 不等式的证明,
?--π
π2)(n T f
=???---+-πππππ
π22
2n n T fT f
=?-π
π2
f
- 2
(2πa 0A 0 + π∑=n k 1(A k a k + B k b k )) +∑=++n k k k B A A 12220)(2
ππ=?-ππ2f +2π((A 0 - a 0)2-20a ) +π∑=n k 1((a k - A k )2 -2k a ) + π∑=n k 1(((b k - B k )2 -2k b ), 当且仅当A 0 = a 0, A k = B k , B k = b k 时取最小
值?-π
π2
f - π (
2120a +∑=n k 1(2k a +2k
b )) =?--ππ
2)(n s f .
Parseval 等式 π1?-ππ2f =2021a +∑∞=1(
n 2k a +2k
b ). 条件(p.83.2): 在[-π, π]上f 可积,
其F
级数一致收敛.
证
∑∞=+10(2n a a n cos nx + b n sin nx ) = f (x )一致, f 有界, 故f (x )∑∞=+1
(2n a a n f (x )cos nx +
b n f (x ) sin nx ) = f 2 (x )一致, 可逐项积分.
注 可以证明, 只要f 可积(当然以2π为周期), Parseval 等式就成立.
若f , g 可积, ?b
a f g = 0, 则称f 在[a ,
b ]上正交. 若函数列?0, ?1, ?2, …中任两函数正交,
则称之为正交函数系. 三角函数系1, cos x , sin x ,…, cos nx , sin nx , … 是[-π, π]或[0, 2π]上
的正交函数系; 1, cos l x π, sin
l x π, cos 2l x π, sin 2l
x π, … 是[-l , l ]或[0, 2l ]是的正交函数
系.
完全性定理 三角函数系是完全的, 即若[-π, π]上的连续函数f 与三角函数系的每
个函数正交, 则f = 0.
证 由条件知F 系数a n = b n = 0. 由Parseval 等式(见上述注), ?
-ππ
2
f
=0, 故f = 0.
廿七. n 维欧氏空间 (=定义了内积的n 维线性空间)
设A , B 是集, A 与B 的积 (集)A ×B d
={(a , b )|a ∈A , b ∈B }, 其中(a , b )是序偶. [a , b ]×[c , d ] = …. R n = R ×…×R = {x | x = (x 1, …, x n ), x k ∈R , k = 1, 2, …, n }. 对x = (x 1, …, x n ), y = (y 1, …, y n )∈R n , 定义x = y d
?x k = y k (k = 1, 2, …, n ), x + y d
= …, cx d = …, 这样, R n 是线性空间, 它有基e k d = …. 内积 (x , y )d
= …. 这样的R n 称为n 维欧氏空间. 点. 模 | x | d
=),(x x . x 与y 的距离 d (x , y ) d
=| x - y |.
△内积有以下性质: 1) 正定 (x , x )≥0, 非退化(x , x ) = 0 ? x =0; 2) 对称; 3) 双线性.
△距离有以下性质: 1) d (x , y )≥0, d (x , y ) = 0?x = y ; 2) 对称; 3) 三角不等式. △Cauchy-Schwarz 不等式 | (x , y )|≤| x | | y |, 等式? x , y 线性相关.
证 若x , y 线性相关, 即?λ≠0使x = λy (或y = λx ), 则| (x , y )| = | λ | | y | 2 = | x | | y |. 若x , y 线性无关, 即?λ∈R , λy - x ≠0, 则0 < (λy - x , λy - x ) = λ 2 | y | 2 - 2λ (x , y ) + | x | 2, 故判别式|(x , y )| - | x | | y | < 0.
线性变换.
△ f : R n →R 线性??1 a ∈R n ?x ∈R n 使 f (x ) = (a , x ).
证 ? 由内积关于第二变元线性. ? 设{e 1, … , e n }是R n 的基, x = x 1 e 1 + … + x n
e n . 由
f 线性得f (x ) = x 1 f (e 1) + … + x n f (e n ), 取a = { f (e 1), …, f (e n )}得证.
唯一性: ?x (a , x ) = (b , x ) ??x (a - b , x ) = 0 (取x = a - b )?|| a - b || = 0 ? a - b = 0.
设x m = (x m 1, …, x mn )∈R n , a = (a 1 , …, a n )∈R n . 收敛点列lim x m = a d
?lim | x m - a | =
0 ? x mk →a k (k = 1, …, n , m →∞) (收敛?按坐标收敛) [? |x mk - a k |≤| x m - a |; ? |x m - a |≤|x m 1 - a 1 | + … + | x mn - a n |.]
极限的唯一性, 有界性. 保持和、 数乘、内积. R n 中的点列无次序, 因而如上、 下确界, 保序性, 保号性等不能引入.
Cauchy 列. Cauchy 准则 [? {x m }是Cauchy 列??k {x mk }是Cauchy 列??a k = lim x mk ? x m →a = (a 1 , … , a n )]
以a , b ∈R n 为端点的线段: {x ∈R n | x = ta + ( 1 - t ) b , 0≤t ≤1}. 过a , b 的直线: {x ∈R n | x = ta + ( 1 - t ) b , t ∈R }. 以a ∈R n 为心, δ >0为半径的(n 维)开球 = a 的δ 球邻域B (a , δ )d
={x | ||x - a || < δ },
闭球B (a , δ )d =…, 球面S (a , δ )d
=… . n =2时分别为开圆, 闭圆, 圆周.
n 维闭区间[a 1, b 1]×…×[a n , b n ], n 维开区间, n 维方区间(方体). n =2时分别为开矩形, 闭矩形, 正方形. 特别地, a = (a 1, …, a n )时{x | x = (x 1, …, x n ), | x k - a k |<δ, k = 1, …, n }称为a 的方邻域. 由于方邻域和球邻域互相包含, 故可统称为a 的δ 邻域. 去心邻域. 注意方去心邻域是{x | | x k -a k |<δ, k = 1, …, n , x ≠a }, 不是{x | 0 < | x k - a k |<δ , k = 1, …, n }, 因为前者表明?k 使x k ≠a k , 而后者则表明?k x k ≠a k . 例如n =2时, 前者的图示为开矩形去掉中心, 后者为矩形去掉两条线段. 记号U (a , δ ), U' (a , δ ), U a .
E ? R n 的内点, 外点, (边)界点, 内部 (int E , E ?), 外部(ext E ), 边界(?E , bd E ), 闭包(E =E ∪?E = E ?∪?E ). R n =E ?∪?E ∪ext E . 聚点, 导集(E' ), 孤立点.
△孤立点?界点?聚点或孤立点, 内点?聚点?内点或界点.
例 E = (0, 1)?R ; E = [0, 1]? R ; E = (0, 1)∪{2}? R ; E = {(x , y )∈R 2 | xy = 0}; E = {(x , y )∈R 2 | 1< x 2 + y 2 ≤4}.
E ? R n 开d
?E ? = E ?E 的每个点是内点??x ∈E ?邻域U x ? E .
E ? R n 闭d
?①R n \ E 开?②(x n ∈E , x n →x ?x ∈E )?③E =E ?④E ? E' ?⑤E ??E .
证 ①?② x ?E ?x ∈R n \ E ? ?B (x , δ )? R n \E ? B (x , δ)∩E = ?. 但x n ∈E 且x n
→x ? x n ∈E 且n 充分大时x n ∈B (x , δ )?n 充分大时 x n ∈B (x , δ )∩E , 矛盾.
②?③ ?x ∈E \ E ? ?x ∈?E \ E ??n ?x n ∈B (x ,n
1)∩E ? x n →x ?(由②)x ∈E , 矛盾.
∴E ? E .
③?④ E ? E' .
④?① R n \ E 不开? ? x ∈R n \ E ?δ B (x , δ )∩E ≠? ?x ∈?E \ E ? x ∈E' ? E , 与x ?E 矛盾.
③?⑤ E ??E . ⑤?③ 由E ? ? E 及⑤得E ?E ?E , 即E =E .
例 R n 与?既开又闭. 一维开区间是一维开集, 但在R n (n >1)中既不开又不闭(开、闭
关于正弦函数和余弦函数的计算公式
同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα＝1 sinα·cscα＝1 cosα·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α 诱导公式 sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)
正弦定理和余弦定理
04—正弦定理和余弦定理 利用正弦定理解三角形 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况. [例1] (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1 2 b ，且 a > b ，则B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π 6 (2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π 6，则b ＝________. [解析] (1)利用正弦定理的变形，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 中，得2R sin A ·sin B cos C ＋2R sin C sin B cos A ＝12×2R sin B ，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝12，所以sin B ＝12.已知a >b ，所以B 不是最大角，所以B ＝π6 . (2)在△ABC 中，∵sin B ＝12，0b .又a ＋c ＝2b ，所以c ＝a －8，所以a 大于c ，则A ＝120°. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(a －4)2＋(a －8)2－2(a －4)·(a －8)·????－12，所以a 2－18a ＋56＝0. 所以a ＝14或a ＝4(舍去)．故选B. (2)由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将其代入a cos C ＋32c ＝b 中得，a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋3 2 c ＝b ，化简 整理得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，所以A ＝π6.[答案] (1)B (2)π 6 利用正、余弦定理解三角形 [例3] 设△ABC 1，A ＝2B . (1)求a 的值；(2)求sin ??? ?A ＋π 4的值． [解] (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理，得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 2 2ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3. (2)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－1 3 .因为0 正弦函数、余弦函数的图象 [学习目标] 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系． 知识点一 正弦曲线 正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象叫正弦曲线． 利用几何法作正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象的过程如下： ①作直角坐标系，并在直角坐标系y 轴的左侧画单位圆，如图所示． ②把单位圆分成12等份(等份越多，画出的图象越精确)．过单位圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0，π6，π3，π 2，…，2π等角的正弦线． ③找横坐标：把x 轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． ④平移：把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合． ⑤连线：用光滑的曲线将这些正弦线的终点依次从左到右连接起来，即得y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 在精度要求不太高时，y ＝sin x ，x ∈[0,2π]可以通过找出(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2，－1)， (2π，0)五个关键点，再用光滑曲线将它们连接起来，就可得正弦函数的简图． 思考 在所给的坐标系中如何画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象？如何得到y ＝sin x ，x ∈R 的图象？ 答案 y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(借助五点法得)如下： 只要将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象． 知识点二 余弦曲线 余弦函数y ＝cos x (x ∈R )的图象叫余弦曲线． 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导； 2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形； 3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用； 2.通 过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 基础知识梳理 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可 以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin _B ∶sin _C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bc cos_A ，b 2 ＝a 2 ＋c 2 －2ac cos_B ，c 2 ＝a 2 ＋b 2 －2ab cos_C ．余弦 定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半 径)，并可由此计算R 、r . 4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a ＝b sin A b sin A b 解的个数 一解 两解 一解 一解 [难点正本 疑点清源] 1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC ；在锐角三角形中，cos A 正弦定理和余弦定理的应用举例 考点梳理 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等； (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 【助学·微博】 解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有 时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 考点自测 1．(2012·江苏金陵中学)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于________． 解析 记三角形三边长为a －4，a ，a ＋4，则(a ＋4)2＝(a －4)2＋a 2－2a (a －4)cos 120°，解得a ＝10，故S ＝12×10×6×sin 120°＝15 3. 答案 15 3 2．若海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里． 解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝AB sin (180°－60°－75°) .解得BC ＝56(海里)． 答案 5 6 3．(2013·日照调研)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/时． 解析 由正弦定理，得MN ＝68sin 120°sin 45°＝346(海里)，船的航行速度为3464＝ 176 2(海里/时)． 答案 176 2 4．在△ABC 中，若23ab sin C ＝a 2＋b 2＋c 2，则△ABC 的形状是________． 解析 由23ab sin C ＝a 2＋b 2＋c 2，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 相加，得a 2＋b 2＝ 2ab sin ? ????C ＋π6.又a 2＋b 2≥2ab ，所以 sin ? ????C ＋π6≥1，从而sin ? ????C ＋π6＝1，且a ＝b ，C ＝π3时等号成立，所以△ABC 是等边三角形． 答案 等边三角形 6、1正弦函数与余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 (1)函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ,若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值,按照某个对应法则f ,y 都有唯一确定的实数值与它对应,则y 就就是x 的函数,记作 ()x f y =,D x ∈。 (2)三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点(,)P x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α的终边(当α在第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于T 、 规定:当OM 与x 轴同向时为正值,当OM 与x 轴反向时为负值; 当MP 与y 轴同向时为正值,当MP 与y 轴反向时为负值; 当AT 与y 轴同向时为正值,当AT 与y 轴反向时为负值; 根据上面规定,则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有: sin 1 y y y MP r α====; cos 1 x x x OM r α= ===; tan y MP AT AT x OM OA α= ===; 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比,就以正弦(或余弦)为例,对于每一个给定的 角与它的正弦值(或余弦值)之间就是否也存在一种函数关系？若存在,请对这种函数关系下一个定义;若不存在,请说明理由. 1、正弦函数、余弦函数的定义 (1)正弦函数:R x x y ∈=,sin ; (2)余弦函数:R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 (1)[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1:等分、作正弦线——将单位圆等分,作三角函数线(正弦线)得三角函数值; 步骤2:描点——平移定点,即描点()x x sin ,; 步骤3:连线——用光滑的曲线顺次连结各个点 小结:几何描点法作图精确,但过程比较繁。 【方案2】——五点法 步骤1:列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标; 解三角形 1.内角和定理：在ABC ?中，A B C ++= π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -，cos 2A B +=sin 2C 2.面积公式: ①ABC S ?=21aha ＝21bhb ＝2 1chc （ha 、hb 、hc 分别表示a 、b 、c 上的高）； ②ABC S ?＝21absinC ＝21bcsinA ＝2 1acsinB ； ③ABC S ?＝2R 2sinAsinBsinC.（R 为外接圆半径） ④ABC S ?＝R abc 4； ⑤ABC S ?＝))()((c s b s a s s ---,?? ? ??++=)(21c b a s ； ⑥ABC S ?＝r ·s ,( r 为△ABC 内切圆的半径) 3.三角形中常见的不等式： ①B A B A sin sin ,>>则若(任意三角形) ②锐角三角形中，B A cos sin > 4．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二：?? ???===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：222 2cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具) 2222cos c a b ab C =+- 形式二：cos A =bc a c b 2222-+ ； cos B =ca b a c 2222-+ ； cosC=ab c b a 22 22-+ 考点1: 运用正、余弦定理求角或边 题型1.求三角形中的某些元素 例1.已知：A.B.C 是ABC ?的内角，c b a ,,分别是其对边长，向量()()1cos ,3--=A m π，??? ? ????? ??-=1,2cos A n π，n m ⊥. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若,3 3cos ,2==B a 求b 的长. 正弦函数余弦函数的性质 教学目标 1．掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．(重点) 2．会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题．(难点) 3．了解周期函数、周期、最小正周期的含义．(易混点) [基础·初探] 教材整理1函数的周期性 阅读教材P34～P35“例2”以上部分，完成下列问题． 1．函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 2．两种特殊的周期函数 (1)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． (2)余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 函数y＝2cos x＋5的最小正周期是________． 解：函数y ＝2cos x ＋5的最小正周期为T ＝2π. 【答案】 2π 教材整理2 正、余弦函数的奇偶性 阅读教材P 37“思考”以下至P 37第14行以上内容，完成下列问题． 1．对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． 2．对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称． 判断函数f (x )＝sin ? ?? ?? 2x ＋ 3π2的奇偶性． 解：因为f (x )＝sin ? ???? 2x ＋3π2＝－cos 2x . 且f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数． 教材整理3 正、余弦函数的图象和性质 阅读教材P 37～P 38“例3”以上内容，完成下列问题． 正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT- ●高考明方向 掌握正弦定理、余弦定理， 并能解决一些简单的三角形度量问题． ★备考知考情 1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考 考查的热点． 2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题 中，综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的 判断等问题． 3.三种题型都有可能出现，属中低档题. 一、知识梳理《名师一号》P62 知识点一 正弦定理 (其中R 为△ABC 外接圆的半径) 变形1:2sin ,2sin ,2sin ,===a R A b R B c R C 变形2：sin ,sin ,sin ,222= ==a b c A B C R R R 变形3：∶∶∶∶sinA sinB sinC=a b c 注意：(补充) 关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式 均可利用正弦定理进行边角互化。 知识点二 余弦定理 222 222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2?+-=??=+-?+-??=+-?=??=+-???+-?=?? b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab 注意：(补充) （1）关于边的二次式或关于角的余弦 均可考虑利用余弦定理进行边角互化。 （2）勾股定理是余弦定理的特例 （3）在?ABC 中，222090?? <+?< 6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质 一、复习引入 1、复习 （1）函数的概念 在某个变化过程中有两个变量x 、y ，若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，则y 就是x 的函数，记作 ()x f y =，D x ∈。 （2）三角函数线 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与角α的终边（当α在第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于T . 规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值； 当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值； 当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值； 根据上面规定，则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有： sin 1 y y y MP r α====； cos 1 x x x OM r α====； tan y MP AT AT x OM OA α= ===； 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课 【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定的 角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由． 1、正弦函数、余弦函数的定义 （1）正弦函数：R x x y ∈=,sin ； （2）余弦函数：R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数 图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 （1）[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像 【方案1】——几何描点法 步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值； 正弦定理和余弦定理 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查． 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝ c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r . 4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： [1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A 正弦定理和余弦定理 正弦定理、余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2(a ＋b ＋c )r (r 是三角形内切圆半径)，并可由此计算R 、r 选择题 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定 解析 ∵b sin A ＝6×2 2＝3，∴b sin A A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．2＜x ＜2 2 D ．2＜x ＜2 3 解析 若三角形有两解，则必有a ＞b ，∴x ＞2， 又由sin A ＝a b sin B ＝x 2×2 2＜1，可得x ＜22，∴x 的取值范围是2＜x ＜2 2. 已知锐角三角形的边长分别为1，3，x ，则x 的取值范围是( ) A ．(8,10) B ．(22，10) C ．(22，10) D ．(10，8) 解析 因为3>1，所以只需使边长为3及x 的对角都为锐角即可，故??? 12＋x 2>32， 12＋32>x 2 ， 即8 精心整理 正弦定理与余弦定理 一、三角形中的各种关系 设ABC ?的三边分别是,,a b c ，与之对应的三个角分别是,,A B C .则有如下关系： 1、三内角关系 三角形中三内角之和为π（三角形内角和定理），即A B C π++=，； 2、边与边的关系 三角形中任意两条边的和都大于第三边，任意两条边的差都小于第三边,即 ,,a b c a c b b c a +>+>+>；,,a b c a c b b c a -<-<-<； 3、边与角的关系 （1）正弦定理 三角形中任意一条边与它所对应的角的正弦之比都相等，即 2sin sin sin a b c R A B C ===（这里，R 为ABC ?外接圆的半径）. 注1：（I ）正弦定理的证明： 在ABC ?中，设,,BC a AC b AB c ===, 证明：2sin sin sin a b c R A B C ===（这里，R 为ABC ?外接圆的半径） 证：法一（平面几何法）： 在ABC ?中，作CH AB ⊥，垂足为H 则在Rt AHC ?中，sin CH A AC = ；在Rt BHC ?中，sin CH B BC = sin ,sin CH b A CH a B ∴==sin sin b A a B ?=即 sin sin a b A B = 同理可证： sin sin b c B C = 于是有 sin sin sin a b c A B C == 正弦定理指出了任意三角形中三边与其对应角的正弦值之间的一个关系式，也就是任意三角形的边角关系. （Ⅲ）正弦定理适用的范围： （i ）已知三角形的两角及一边，解三角形； （ii ）已知三角形的两边及其中一边所对应的角，解三角形； 04—正弦定理和余弦定理 突破点(一) 利用正、余弦定理解三角形 利用正弦定理解三角形 利用正弦定理可以解决的两类问题:(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况. [例1] (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1 2 b ，且 a > b ，则B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π 6 (2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π 6 ，则b ＝________. [解析] (1)利用正弦定理的变形，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 中，得2R sin A ·sin B cos C ＋2R sin C sin B cos A ＝12×2R sin B ，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝12 ，即 sin(A ＋C )＝12，所以sin B ＝12.已知a >b ，所以B 不是最大角，所以B ＝π 6 . (2)在△ABC 中，∵sin B ＝12，0b .又a ＋c ＝2b ，所以c ＝a －8，所以a 大于c ，则A ＝120°. 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(a －4)2＋(a －8)2－2(a －4)·(a －8)·??? ?－12，所以a 2－18a ＋56＝0. 所以a ＝14或a ＝4(舍去)．故选B. (2)由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将其代入a cos C ＋32c ＝b 中得，a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋3 2 c ＝b ，化简 整理得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，所以A ＝π6.[答案] (1)B (2)π6 利用正、余弦定理解三角形 [例3] 设△ABC 1，A ＝2B . (1)求a 的值；(2)求sin ??? ?A ＋π 4的值． [解] (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理，得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 2 2ac .因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3. (2)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.因为0 【课堂例题】 例1.试画出正弦函数在区间[0,2]π上的图像. 例2.试画出余弦函数在区间[0,2]π上的图像. 课堂练习 1.作函数sin y x =-与sin 1y x =+在区间[0,2]π上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系. 3.作函数cos ,[,]y x x ππ=∈-的大致图像. 4.利用3.解不等式：cos sin ,[,]x x x ππ≥∈- 【知识再现】 正弦函数：y = ，x ∈ ； 余弦函数：y = ，x ∈ . 正弦函数和余弦函数在[0,2]π上的大致图像: 【基础训练】 1.(1)若MP 和OM 分别是角 76 π 的正弦线和余弦线，则( ) A.0MP OM <<；B.0OM MP >>； C.0OM MP <<；D.0MP OM >>. (2)正弦函数与余弦函数在区间[,]ππ-内的公共点的个数是( ) A.1； B.2； C.3； D.4. 2.我们学过的诱导公式中， (1)说明余弦函数cos ,y x x R =∈的图像关于y 轴对称的是 ； (2)说明正弦函数sin ,y x x R =∈的图像关于直线2 x π = 对称的是 . 3.(1)函数cos 3,y x x R =+∈的值域是 ； (2)函数24sin 2,(0,)y x x π=-∈的值域是 . 4.函数cos ,[0,2]y x x π=∈和1y =的图像围成的封闭的平面图形的面积为 . 5.利用“五点法”,画出下列函数的大致图像：(步骤：列表、描点、联线) (1)1sin ,[,]y x x ππ=+∈-; (2)cos ,[0,2]y x x π=-∈. O y x 正弦定理和余弦定理 【知识梳理】 1．内角和定理：在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 面积公式: 在三角形中大边对大角，反之亦然. 2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二：?????===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三： 形式四： 3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+- 222 2cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具) 形式二： 【典型例题】 题型一：利用正弦定理解三角形 111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?===::sin :sin :sin a b c A B C =sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===222cos 2b c a A bc +-=222cos 2a c b B ac +-=222 cos 2a b c C ab +-= 1.在ABC ?中，若5b =，4B π∠=,1sin 3A =，则a = . 2.在△ABC 中，已知a = 3,b =2,B=45°,求A 、C 和c . 题型二：利用余弦定理解三角形 1.设ABC ?的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，4 1cos =C . （Ⅰ）求ABC ?的周长；（Ⅱ）求()C A -cos 的值. 2. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-c a b +2.（1）求角B 的大小；（2）若b =13，a +c =4，求△ABC 的面积. 1．4．1 正弦函数和余弦函数的图象 编写人: 杨朝书 审核人：王维芳 时间 2010-3-22 一、学习目标 1、 了解如何利用正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象。 2、 会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的简图。 二、重点难点 重点：正弦函数、余弦函数的图象。 难点：将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点；正弦函数和余弦函数图象间的关系。 三、知识链接 1、sin(2)k απ+=_____________,cos(2)k απ+=____________,tan(2)k απ+=__________ （其中k Z ∈） 2、三角函数的几何表示，即___________，作出角 23 π 的正弦线、余弦线和正切线。 3、诱导公式：sin()2πα-= sin()2 πα+= cos()πα-= cos()πα+= 4、函数的定义__________________________________________________________________ 四、学习过程 [知识探究]正弦函数、余弦函数的图象 阅读课本30p 第一段：正弦函数、余弦函数的定义是：__________________________________. 问题1、用描点法作出正弦函数sin y x =的图象（试填写下表并描点，作出图象） 阅读课本31p 完成问题2、用几何法作出正弦函数sin y x =的图象。 1、利用几何法作正弦函数的图象可分为两步：一是画出______________的图象；二是把这一图象向_____________________________连续平移（每次2π个单位长度） 2、“五点法”作图的一般步骤是①_________;②_____________;③________________ 3、“五点法”作正弦函数图象的五个点是_______________________________;“五点法”作余弦函数图象的五个点是 _______________________________ 4、函数cos y x =（x R ∈）的图象可以通过sin ()y x x R =∈的图象向_______平移_____个单位长度得到。 5、通过图象能说出正弦曲线和余弦曲线是否是轴对称图象和中心对称图形？若是对称轴是什么？对称中心是什么？ [典型例题] 例题 画出下列函数的简图： ⑴1sin y x =+，[0,2]x π∈；⑵cos ,[0,2]y x x π=-∈；⑶1sin(2)26 y x π= + 变式：你能否从函数图象变换的角度出发，利用函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象来得到1sin y x =+， [0,2]x π∈的图象？同样的，能否从函数cos ,[0,2]y x x π=∈的图象得到函数cos ,[0,2] y x x π=-∈的图象？正弦函数余弦函数的图像(附答案)
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6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质(含答案)
正弦定理和余弦定理教学内容
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