对数螺线

对数螺线是一根无止尽的螺线，它永远向着极绕，越绕越靠近极，但又永远不能到达极。据说，使用最精密的仪器也看不到一根完全的对数螺线，这种图形只存在科学家的假想中。

螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达：

ρ=αe^(kφ)

其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环小数。

对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。

定理

对数螺线的臂的距离以几何级数递增。

设 L 为穿过原点的任意直线，则 L 与对数螺线的相交的角永远相等（故又名等角螺线），而此值为 cot-1 ln b。

设 C 为以原点为圆心的任意圆，则 C 与对数螺线的相交的角永远相等，而此值为tan-1 ln b，名为“倾斜度”

对数螺线是自我相似的；这即是说，对数螺线经放大后可与原图完全相同。

对数螺线的渐屈线和垂足线都是对数螺线。

从原点到对数螺线的任意点上的长度有限，但由那点出发沿对数螺线走到原点却需绕原点转无限次。这是由 Torricelli 发现的。

构造对数螺线

在复平面上定义一个复数 z = a + bi，其中a, b ≠ 0，那么连结 z、z^2、z^3…… 的曲线就是一条对数螺线。

若 L 是复平面中的一条直线且不平行于实数或虚数轴，那么指数函数 e^z 会将这些直线映像到以 0 为中心的对数螺线。

使用黄金矩形：

自然现象

鹦鹉螺的贝壳像对数螺线

旋涡星系的旋臂像对数螺线

低气压的外观像对数螺线鹦鹉螺的贝壳像对数螺线

菊的种子排列成对数螺线

鹰以对数螺线的方式接近它们的猎物

昆虫以对数螺线的方式接近光源

蜘蛛网的构造与对数螺线相似

旋涡星系的旋臂差不多是对数螺线。银河系的四大旋臂的倾斜度约为 12°。

低气压(热带气旋、温带气旋等)的外观像对数螺线

[编辑本段]

历史

对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上，并附词“纵使改变，依然故我”(eadem mutata resurgo)。可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去。

对数螺线简介

对数螺线

对数螺线是一根无止尽的螺线，它永远向着极绕，越绕越靠近极，但又永远不能到达极。据说，使用最精密的仪器也看不到一根完全的对数螺线，这种图形只存在科学家的假想中。

螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达：

φkρ=αe

其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e 或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环小数。

对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。

等角螺旋线

浅谈等角螺旋线 作者：09公管丁刘泽隆王海玥阚萍 摘要：本文主要对等角螺线（logarithmic spiral）进行了研究，建立了等角螺线的数学模型，探讨了等角螺线的性质、数学模型的特点以及在生活，尤其是在工业生产中的应用。关键词：等角螺线黄金比应用 引言：等角螺线又叫对数螺线（logarithmic spiral ）是由笛卡儿在1683年发现的。雅各布·伯努利()后来重新研究之。他发现了等角螺线的许多特性，如等角螺线经过各种适当的变换之后仍是等角螺线。他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，故要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词“纵使改变，依然故我”( d m m t t surgo)。可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去。等角螺线用指数形式表达：ρ=αe^(kφ)其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e 或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。等角螺线在自然界规律和工业生产中都有着广泛的应用，如抽水机的涡轮叶片；鹦鹉螺外壳的等角螺线形图案。已有的文献和成果：文献《螺线》等。 一、模型的建立 (1) 螺线特别是美学意义可以用指数的形式来表达： ρ=αe^(kφ) 其中，α和k为常数，φ是极角（polar angle），ρ是极径（polar Radius），e是自然对数（ natural logarithm）的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环小数。 (2)如何得到一条等角螺线-----等角螺线与黄金比（golden ratio） 首先画一个黄金矩形ABCD，即一个长比 宽为φ的矩形，。如果拿掉最大的正方形 ABEF，我们能得到一个新的小黄金矩形 FECD。（证明略）数学提供给我们的生活经验 以是，一旦我们发现一个思想，我们往往可以 通过将这个细想推到极端来发展出新的洞见。 我们可以从新得到的黄金矩形FECD中再拿 掉最大的正方形FGHD，并继续这个过程，如 此产生出一个不断缩小的黄金矩形的无穷集 合。连接其中的B、F、H、I、J、K等点，我 们就可以(粗略地)等到一条等角螺线（logarithmic spiral）了。 参考资料《数学爵士乐》【美】爱?德华伯格迈克?尔斯塔伯德著 二、模型的性质 (1)等角螺线的臂的距离以几何级数（geometric progression）递增。 (2)设L为穿过原点的任意直线，则 L 与等角螺 线的相交的角永远相等（故其名），而此值 为 cot-1 ln b。从螺线的心向螺线上任一点

生活中的数学问题

生活中的数学问题 对数螺线与蜘蛛网 曾看过这样一则谜语:“小小诸葛亮,稳坐军中帐.摆下八卦阵,只等飞来将.”动一动脑筋,这说的是什么呢?原来是蜘蛛,后两句讲的正是蜘蛛结网捕虫的生动情形.我们知道,蜘蛛网既是它栖息的地方,也是它赖以谋生的工具. 你观察过蜘蛛网吗?它是用什么工具编织出这么精致的网来的呢?你心中是不是有一连串的疑问,好,下面就让我来慢慢告诉你吧.在结网的过程中,功勋最卓著的要属它的腿了.首先,它用腿从吐丝器中抽出一些丝,把它固定在墙角的一侧或者树枝上.然后,再吐出一些丝,把整个蜘蛛网的轮廓勾勒出来,用一根特别的丝把这个轮廓固定住.为继续穿针引线搭好了脚手架.它每抽一根丝,沿着脚手架,小心翼翼地向前走,走到中心时,把丝拉紧,多余的部分就让它聚到中心.从中心往边上爬的过程中,在合适的地方加几根辐线,为了保持蜘蛛网的平衡,再到对面去加几根对称的辐线.一般来说,不同种类的蜘蛛引出的辐线数目不相同.丝蛛最多,42条；有带的蜘蛛次之,也有32条；角蛛最少,也达到21条.同一种蜘蛛一般不会改变辐线数. 到目前为止,蜘蛛已经用辐线把圆周分成了几部分,相临的辐线间的圆周角也是大体相同的.现在,整个蜘蛛网看起来是一些半径等分的圆周,画曲线的工作就要开始了.蜘蛛从中心开始,用一条极细的

丝在那些半径上作出一条螺旋状的丝.这是一条辅助的丝.然后,它又从外圈盘旋着走向中心,同时在半径上安上最后成网的螺旋线.在这个过程中,它的脚就落在辅助线上,每到一处,就用脚把辅助线抓起来,聚成一个小球,放在半径上.这样半径上就有许多小球.从外面看上去,就是许多个小点.好了,一个完美的蜘蛛网就结成了. 让我们再来好好观察一下这个小精灵的杰作:从外圈走向中心的那根螺旋线,越接近中心,每周间的距离越密,直到中断.只有中心部分的辅助线一圈密似一圈,向中心绕去.小精灵所画出的曲线,在几何中称之为对数螺线. 对数螺线又叫等角螺线,因为曲线上任意一点和中心的连线与曲线上这点的切线所形成的角是一个定角.大家可别小看了对数螺线:在工业生产中,把抽水机的涡轮叶片的曲面作成对数；螺线的形状,抽水就均匀；在农业生产中,把轧刀的刀口弯曲成对数螺线的形状,它就会按特定的角度来切割草料,又快又好. 猫捉老鼠 问题：如果3只猫在3分钟内捉住了3只老鼠,那么多少只猫将在100分钟内捉住100只老鼠? 这是一个古老的趣题,常见的答案是这样的：如果3只猫用3分钟捉住了3只老鼠,那么它们必须用1分钟捉住1只老鼠.于是,如果捉1只老鼠要花去它们1分钟时间,那么同样的3只猫在l00分钟内将会捉住100只老鼠. 遗憾的是,问题并不那么简单.刚才的解答实际上利用了某个假定,它

蜘蛛网对数螺线模型

数学建模网络挑战赛 承诺书 我们仔细阅读了第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们允许数学中国网站(https://www.sodocs.net/doc/bf15058925.html,)公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。 我们的参赛队号为： 参赛队员(签名) ： 队员1： 队员2： 队员3： 参赛队教练员(签名)： 参赛队伍组别：

数学建模网络挑战赛 编号专用页 参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）： 竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：

2012年第五届“认证杯”数学中国 数学建模网络挑战赛 题目对数螺线型蜘蛛网状的结构分析 关键词蜘蛛网对数螺线蒙特卡洛方法 ANSYS分析法 摘要 本文针对蜘蛛网合适结构的问题，考虑吐丝量一定，外界环境较理想条件下，建立以对数螺线为核心的数学模型，追求蜘蛛网结构最优。运用蒙特卡洛方法，模拟昆虫触网的过程，考虑了在蜘蛛丝长度一定的条件下，对数螺旋比圆围成的面积大，但疏而不漏，应用随机过程近似昆虫触网的过程，得出了对数螺线更利于捕食的结论。另一方面，也对对数螺线型面联接理论和联接界面强度进行了分析与计算，利用ANSYS进行接触分析，得出了对数螺线型面联接的接触应力和接触强度条件的表达式。采用随机数产生算法，利用MATLAB 7.0.1和C++编程，分别对模型进行求解，并对所得结果进行分析比较，以此来帮助设计最有蜘蛛网结构。 参赛队号 2138 所选题目 A 参赛密码 （由组委会填写）

【教育资料】对数螺线与蜘蛛网学习精品

对数螺线与蜘蛛网 曾看过这样一则谜语:“小小诸葛亮，稳坐军中帐。摆下八卦阵，只等飞来将。”动一动脑筋，这说的是什么呢?原来是蜘蛛，后两句讲的正是蜘蛛结网捕虫的生动情形。我们知道，蜘蛛网既是它栖息的地方，也是它赖以谋生的工具。而且，结网是它的本能，并不需要学习。 你观察过蜘蛛网吗?它是用什么工具编织出这么精致的网来的呢?你心中是不是有一连串的疑问，那么下面就让我来慢慢告诉你吧。在结网的过程中，功勋最卓著的要属它的腿了。首先，它用腿从吐丝器中抽出一些丝，把它固定在墙角的一侧或者树枝上。然后，再吐出一些丝，把整个蜘蛛网的轮廓勾勒出来，用一根特别的丝把这个轮廓固定住。为继续穿针引线搭好了脚手架。它每抽一根丝，沿着脚手架，小心翼翼地向前走，走到中心时，把丝拉紧，多余的部分就让它聚到中心。从中心往边上爬的过程中，在合适的地方加几根辐线，为了保持蜘蛛网的平衡，再到对面去加几根对称的辐线。一般来说，不同种类的蜘蛛引出的辐线数目不相同。丝蛛最多，42条；有带的蜘蛛次之，也有32条；角蛛最少，也达到21条。同一种蜘蛛一般不会改变辐线数。 到目前为止，蜘蛛已经用辐线把圆周分成了几部分，相临的辐线间的圆周角也是大体相同的。现在，整个蜘蛛网看起来是一些半径等分的圆周，画曲线的工作就要开始了。蜘蛛从

中心开始，用一条极细的丝在那些半径上作出一条螺旋状的丝。这是一条辅助的丝。然后，它又从外圈盘旋着走向中心，同时在半径上安上最后成网的螺旋线。在这个过程中，它的脚就落在辅助线上，每到一处，就用脚把辅助线抓起来，聚成一个小球，放在半径上。这样半径上就有许多小球。从外面看上去，就是许多个小点。好了，一个完美的蜘蛛网就结成了。 让我们再来好好观察一下这个小精灵的杰作:从外圈走向中心的那根螺旋线，越接近中心，每周间的距离越密，直到中断。只有中心部分的辅助线一圈密似一圈，向中心绕去。小精灵所画出的曲线，在几何中称之为对数螺线。 对数螺线又叫等角螺线，因为曲线上任意一点和中心的连线与曲线上这点的切线所形成的角是一个定角。大家可别小看了对数螺线:在工业生产中，把抽水机的涡轮叶片的曲面作成对数；螺线的形状，抽水就均匀；在农业生产中，把轧刀的刀口弯曲成对数螺线的形状，它就会按特定的角度来切割草料，又快又好。 对数螺旋线有什么特点？在物理上用什么应用？ 和其他物理量有什么关系？ 对数螺旋线有什么特点？在物理上用什么应用？和其他物 理量有什么关系？ 早在2019多年以前，古希腊数学家阿基米德就对螺旋线进

等角螺线及其它汇总

等角螺线及其它 ?何谓等角螺线 ?等角螺线的方程式 ?趣史一则 ?等角螺线上的相似性质 ?黄金分割与等角螺线 ?等角螺线的弧长 ?等角螺线的再生性质 ?其它螺线举例 几何学是一门源远流长的数学分支，在十七世纪以前，几何学一词甚至可说是数学的同义词，它以往的风光可想而知。曾几何时，因为某些内在与外在的因素，几何学的地位似乎已逐渐没落；在中小学的数学教材里，几何题材一次又一次地被删除。这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多几何原理，不了解这些几何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？ 笔者从事数学教育工作多年，又是现行高中数学教科书的编者之一，对当前高中数学教材中几何题材的过度贫乏，实在感到忧心忡忡。在无力对教科书作大幅度修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。 基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些几何题材。在内容方面，笔者首先选上曲线。因为曲线的讨论不仅是几何学中最有趣的题材之一，而且许多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用。例如：天文望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？本文介绍等角螺线。 何谓等角螺线 在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点A、B、C、D上。狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着甲狗。一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向目标。假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的目标，那么，这四只狗所跑过的路径是什么形式呢？ 假设四只狗在某一时刻的位置分别为A1、B1、C1、D1（见图一），则根据四只 狗的行动一致所产生的对称性，可知也是正方形，而且它的中心也就是正方形的中心O。更进一步地，由于在A 点的甲狗系冲向在

工作文档对数螺旋线型双曲拱坝几何计算程序使用说明书

工作文档对数螺旋线型双曲拱坝几何计算程序使用说明书对数螺旋线型双曲拱坝几何计算程序使用说明书 对数螺旋线型双曲拱坝计算机辅助设计几何计算程序采用QBASIC语言编制～在一般微机上运行～该程序可解决对数螺旋线型双曲拱坝平面拱圈、各种横缝和孔口等的施工放样问题。 一、坐标系及单位 1、三维直角坐标系的Y轴就是拱坝的“对称”中心轴线～并指向下游,X轴指向左岸,Z轴垂直向下,座标系原点设在坝顶,一般在顶拱拱冠上游点,。 2、单位 程序输入、输出所用单位～长度以m计,角度以度计。 二、描述体型的主要参数及其函数关系 描述对数螺旋线型拱坝体型的主要几何参数有: 1、Yc Y是拱圈中心轴线在拱冠点处的Y座标值～或者说是拱冠梁中心轴线上c 各点的Y座标。 2、T c T是拱冠梁各高程处的厚度 c 3、T及T alar T及T分别是左、右两半拱拱圈的端部厚度。 alar 4、R及R lr R及R分别是左、右两半拱拱圈轴线在拱冠处的曲率半径。lr 、θ5及θ lr θ及θ分别是左、右两半拱拱圈轴,对数螺旋线,线方程中的初始角。lr

6、X及X DlDr X及X分别是左、右两半拱拱圈下游端点X座标。DlDr 一般地说～上述参数都是Z座标的多项,n+1项,式: 在作施工放样座标计算时～上述全部参数的函数关系应尽知。 这些参数的函数式～其次数往往是不同的～设其中最高的次数是n次～0用户在使用程序时～应把坝顶高程H和n的数值～库存在程序的第21行～o0 前述各参数函数式中的系数[A]都要按序紧接n库存～中间不允许插入任何0 别的内容～而且～Tc的系数[A]应从程序的第23行开始库存～每个参数的系数都必须是n+1个～不能多也不能少～不足部分或未知者均须用若干个零按0 位补足。 三、主要计算公式 如图1示～某高程左右水平拱圈中轴线各为某对数螺旋线的一段～其极座标方程为: k, ,,,e0 相应参数方程为: ,k,x,e,,, ,[sin(，),sin],0c ,k,,yY,,e,,,， [cos,,cos(，)]0,cc kφ2 其中～k=tgθ～ρ=R/～ R= Re 1，k00o 式中: θ:对数螺旋线的初始角, ρ:初始极半径, o φ:称为“似中心角”,拱中心角,, R:拱轴线在拱冠处的曲率半径, o R:轴线上任一点的曲率半径, Y:拱轴线在拱冠处的y坐标, c θ、φ均以左曲线为正～右曲线为负。

阿基米德螺旋线与对数螺旋线1212

母线在绕轴线做匀速圆周运动的同时，做匀速或变速轴向运动，母线的运动轨迹形成等螺距或变螺距螺旋面。 螺旋面与同轴的圆柱面或同轴圆锥面的交线，称为圆柱螺线或圆锥螺线。[4] 混凝土搅拌车中常用的螺旋线是直纹正螺旋面和直纹斜螺旋面。 直纹：母线为直线。 正螺旋和斜螺旋：母线与轴线垂直或斜交。 螺旋角 螺旋线上某点（取正对着的那一点）的切线与圆柱面或圆锥面的母线之间的夹角称为螺旋角，一般用β表示[6] 升角 螺旋线上某点（取正对着的那一点）的切线与通过该点的圆柱截面在该点的切线之间的夹角，称为螺旋升角，简称升角，常用δ表示[6] ?=+90βδ 相当于在圆柱面上有一张白纸，并转动，铅笔紧靠白纸，并作轴向运动，形成的轨迹，称为螺旋线。把白纸展开，即可得螺旋升角。 图片来自文献[15]

阿基米德螺旋线：螺距相等的螺旋线。 既做匀速转动又做等速直线运动（两速度要同步），而形成的轨迹，称为“阿基米德螺旋”，又称等螺距螺线。[8]圆锥的阿基米德螺线的螺旋角是变化的。[6] 如果选用阿基米德螺线，在筒体的几何参数和螺旋角选定的情况下，螺旋角是从圆锥小端至圆锥大端递增的 对数螺旋线： 对数螺旋线又称等角螺旋线或等升角螺旋线或等螺旋角螺旋线，其螺距是变化的。[6] 如果选择对数螺线，在筒体的几何参数和螺旋角选定的情况下，螺距是随各截面处直径的变化而成正比变化的，这时的螺旋角可以设计为不变。 阿基米德螺旋叶片螺距相等，但是螺旋角不等； 对数螺旋叶片的螺距不相等，但是螺旋角相等。 螺旋角越大，升角就越小，搅拌性能就越差，出料性能越好； 螺旋角越小，升角就越大，搅拌性能就越好，出料性能越差。 搅拌性性能差，容易离析 所以罐车的两头的螺旋角大，中间的螺旋角小。

各种数学曲线.docx

第 1 页：碟形弹簧、葉形线、螺旋线(Helical curve)、蝴蝶曲线和渐开线； 第2 页：螺旋线、对数曲线、球面螺旋线、双弧外摆线和星行线； 第3 页：心脏线、圆内螺旋线、正弦曲线、太阳线和费马曲线（有点像螺纹线）； 第4 页： Talbot 曲线、 4 叶线、 Rhodonea 曲线、抛物线和螺旋线； 第5 页：三叶线、外摆线、 Lissajous 曲线、长短幅圆内旋轮线和长短幅圆外旋轮线；第6 页：三尖瓣线、概率曲线、箕舌线、阿基米德螺线和对数螺线； 第7 页：蔓叶线、 tan 曲线、双曲余弦、双曲正弦和双曲正切； 第8 页：一峰三驻点曲线、八字曲线、螺旋曲线、圆和封闭球形环绕曲线； 第 9 页：柱坐标螺旋曲线、蛇形曲线、8 字形曲线、椭圆曲线和梅花曲线； 第 10页：花曲线、空间感更强的花曲线、螺旋上升的椭圆线、螺旋花曲线和鼓形线； 第 11页：长命锁曲线、簪形线、螺旋上升曲线、蘑菇曲线和8 字曲线； 第12 页：梅花曲线、桃形曲线、碟形弹簧、环形二次曲线和蝶线； 第13 页：正弦周弹簧、环形螺旋线、内接弹簧、多变内接式弹簧和柱面正弦波线； 第14 页： ufo（漩涡线）手把曲线、篮子、圆柱齿轮齿廓的渐开线方程和对数螺旋曲线；第15 页：罩形线、向日葵线、太阳线、塔形螺旋线和花瓣线； 第16 页：双元宝线、阿基米德螺线的变形、渐开线方程、双鱼曲线和蝴蝶结曲线； 第17 页：“两相望”曲线、小蜜蜂、弯月、热带鱼和燕尾剪； 第18 页：天蚕丝、心电图、变化后的星形线、小白兔和大家好； 第19 页：蛇形线、五环、蜘蛛网、次声波和十字渐开线； 第20 页：内五环和蜗轨线； 1.碟形弹簧 圓柱坐标 方程： r = 5

等角螺线及其它——赵文敏

等角螺线及其它 赵文敏 ?何谓等角螺线 ?等角螺线的方程式 ?趣史一则 ?等角螺线上的相似性质 ?黄金分割与等角螺线 ?等角螺线的弧长 ?等角螺线的再生性质 ?其它螺线举例 几何学是一门源远流长的数学分支，在十七世纪以前，几何学一词甚至可说是数学的同义词，它以往的风光可想而知。曾几何时，因为某些内在与外在的因素，几何学的地位似乎已逐渐没落；在中小学的数学教材里，几何题材一次又一次地被删除。这种现象使我们感到忧心，因为自然环境中隐藏着许多几何原理，不了解这些几何知识，不就表示我们对所生存的空间已经愈来愈不了解了吗？ 笔者从事数学教育工作多年，又是现行高中数学教科书的编者之一，对当前高中数学教材中几何题材的过度贫乏，实在感到忧心忡忡。在无力对教科书作大幅度修改的情况下，只好在正式教科书之外从事一些修缮工作。 基于上述想法，笔者希望能以一系列的文章来介绍一些几何题材。在内容方面，笔者首先选上曲线。因为曲线的讨论不仅是几何学中最有趣的题材之一，而且许多曲线都会在自然现象中出现，它们的性质也往往能提供重要的应用。例如：天文望远镜的设计，不就是根据拋物线的反射性质吗？本文介绍等角螺线。 何谓等角螺线 在一片空旷的草地上，甲、乙、丙、丁、四只狗分别站立在一个正方形的四个顶点A、B、C、D上。狗主人要甲狗紧盯着乙狗、乙狗紧盯着丙狗、丙狗紧盯着丁狗、丁狗紧盯着甲狗。一声令下，四只狗以相同的速度同时冲向目标。假定每只狗在每个时刻都是正面朝向它的目标，那么，这四只狗所跑过的路径是什么形式呢？

假设四只狗在某一时刻的位置分别为A1、B1、C1、D1（见图一），则根据四只 狗的行动一致所产生的对称性，可知也是正方形，而且它的中心也就是正方形的中心O。更进一步地，由于在A 点的甲狗系冲向在 B1点的乙狗，所以，甲狗在此一时刻的速度方向在向量上。或者说，甲 狗所跑的路径在A1点的切线与直线OA1形成45°的夹角。同理， 图一 乙狗所跑的路径在B1点的切线与直线OB1形成45°的夹角等等。 一般而言，若一曲线在每个点P的切向量都与某定点O至此点P所成的向量 夹成一定角，且定角不是直角，则此曲线称为一等角螺线 (equiangular spiral)，O点称为它的极点 (pole)。 前面所提的四狗追逐问题中，每只狗所经过的路线都是一等角螺线的一部分，此 等角螺线中的定角是（或，因为切向量可选成相反方向），而其极点是正方形的中心O。 等角螺线的方程式

对数螺线

对数螺线是一根无止尽的螺线，它永远向着极绕，越绕越靠近极，但又永远不能到达极。据说，使用最精密的仪器也看不到一根完全的对数螺线，这种图形只存在科学家的假想中。 螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达： ρ=αe^(kφ) 其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环小数。 对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。 定理 对数螺线的臂的距离以几何级数递增。 设 L 为穿过原点的任意直线，则 L 与对数螺线的相交的角永远相等（故又名等角螺线），而此值为 cot-1 ln b。 设 C 为以原点为圆心的任意圆，则 C 与对数螺线的相交的角永远相等，而此值为tan-1 ln b，名为“倾斜度” 对数螺线是自我相似的；这即是说，对数螺线经放大后可与原图完全相同。 对数螺线的渐屈线和垂足线都是对数螺线。 从原点到对数螺线的任意点上的长度有限，但由那点出发沿对数螺线走到原点却需绕原点转无限次。这是由 Torricelli 发现的。

构造对数螺线 在复平面上定义一个复数 z = a + bi，其中a, b ≠ 0，那么连结 z、z^2、z^3…… 的曲线就是一条对数螺线。 若 L 是复平面中的一条直线且不平行于实数或虚数轴，那么指数函数 e^z 会将这些直线映像到以 0 为中心的对数螺线。 使用黄金矩形： 自然现象 鹦鹉螺的贝壳像对数螺线 旋涡星系的旋臂像对数螺线 低气压的外观像对数螺线鹦鹉螺的贝壳像对数螺线 菊的种子排列成对数螺线 鹰以对数螺线的方式接近它们的猎物 昆虫以对数螺线的方式接近光源 蜘蛛网的构造与对数螺线相似 旋涡星系的旋臂差不多是对数螺线。银河系的四大旋臂的倾斜度约为 12°。 低气压(热带气旋、温带气旋等)的外观像对数螺线 [编辑本段] 历史 对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上，并附词“纵使改变，依然故我”(eadem mutata resurgo)。可惜雕刻师误将阿基米德螺线刻了上去。

生活中的数学奥妙

一、美妙的对称 教学目标：帮助学生发现并理解生活中无处不在的对称现象，能够区分对称的类型。培养学生善于从生活中发现数学问题，从而产生对数学浓厚的兴趣。 教学重点：对称的含义及分类，培养利用对称解决问题的数学思想。 教学难点：从生活中的对称联想到很多数学问题的解决。 教学过程： 在丰富多彩的物质世界中，对于各式各样的物体的外形，我们经常可以碰到完美匀称的例子。它们引起人们的注意，令人赏心悦目。每一朵花，每一只蝴蝶，每一枚贝壳都使人着迷；蜂房的建筑艺术，向日葵上种子的排列，以及植物茎上叶子的螺旋状颁都令我们惊讶。仔细的观察表明，对称性蕴含在上述各种事例之中，它从最简单到最复杂的表现形式，是大自然形式的基础。 花朵具有旋转对称的性征。花朵绕花心旋转适当位置，每一花瓣会占据它相邻花瓣原来的位置，花朵就自相重合。旋转时达到自相重合的最小角称为元角。不同的花这个角不一样。例如梅花为72°，水仙花为60°。“对称”在生物学上指生物体在对应的部位上有相同的构造，分两侧对称（如蝴蝶），辐射对称（放射虫，太阳虫等）。我国最早记载了雪花是六角星形。其实，雪花形状千奇百怪，但又万变不离其宗（六角星）。既是中心对称，又是轴对称。

很多植物是螺旋对称的，即旋转某一个角度后，沿轴平移可以和自己的初始位置重合。例如树叶沿茎杆呈螺旋状排列，向四面八方伸展，不致彼此遮挡为生存所必需的阳光。这种有趣的现象叫叶序。向日葵的花序或者松球鳞片的螺线形排列是叶序的另一种 表现形式。 “晶体闪烁对称的光辉”，这是俄国学者费多洛夫的名言。无怪乎在古典童话故事中，奇妙的宝石交织着温馨的幻境，精美绝伦，雍容华贵。在王冠上，以其熠熠光彩向 世人炫耀，保持永久不衰的魅力。 在闹钟、屋架、飞机等的外形图中，可以找到一条线，线两边的图形是完全一样的。也就是说，当这条线的一边绕这条线旋转180度后，能与另一边完全重合。在数学上把具有这种性质的图形叫作轴对称图形，这条线叫作对称轴。电扇的叶子不是轴对称图形，不管怎么画线，都无法找到这条直线。但电扇的一个扇叶，如果绕这电扇中心旋转180度后，会与另一个扇叶原来所在位置完全重合。这种图形数学上称为中心对称图形，这个中心点称为对称中心。显然闹钟也是一个中心对称图形。所有轴对称和中心对称图形，统称为对称图形。 人们把闹钟、飞机、电扇制造成对称形状，不仅为了美观，而且还有一定的科学道理：闹钟的对称保证了走时的均匀性，飞机的对称使飞机能在空中保持平衡。 对称也是艺术家们创造艺术作品的重要准则。像中国古代的近体诗中的对仗，民间常用的对联等，都有一种内在的对称关系。如果说建筑也是一种艺术的话，那么建筑艺术中对称的应用就更广泛。中国北京整个城市的布局也是以故宫、天安门、人民英雄纪念碑、前门为中轴线(对称轴)两边对称的。 对称还是自然界的一种生物理象。不少植物、动物都有自己的对称形式。比如人体就是以鼻尖、肚脐眼的连线为对称轴的对称形体，眼、耳、鼻、手、脚、乳房都是对称生长的。眼睛的对称使人观看物体能够更加准确；双耳的对称能使所听到的声音具有较强的立体感，确定声源的位置，双手、双脚的对称能保持人体的平衡。 对称是数学研究的重要内容，但数学中的对称概念不仅限于图形的对称，也把数对(3，4)与(-3，4)称为平面上关于y轴对称；把数对(3，4)与(-3，-4)称为平面上关于坐标原点对称。另外还有对称方程、对称行列式、对称矩阵等概念。

数学与自然

对称——自然美的基础 在丰富多彩的物质世界中，对于各式各样的物体的外形， 我们经常可以碰到完美匀称的例子。它们引起人们的注意，令 人赏心悦目。每一朵花，每一只蝴蝶，每一枚贝壳都使人着迷； 蜂房的建筑艺术，向日葵上种子的排列，以及植物茎上叶子的 螺旋状颁都令我们惊讶。仔细的观察表明，对称性蕴含在上述各种事例之中，它从最简单到最复杂的表现形式，是大自然形式的基础。 花朵具有旋转对称的性征。花朵绕花心旋转适当位置，每一花瓣会占据它相邻花瓣原来的位置，花朵就自相重合。旋转时达到自相重合的最小角称为元角。不同的花这个角不一样。例如梅花为72°，水仙花为60°。“对称”在生物学上指生物体在对应的部位上有相同的构造，分两 侧对称（如蝴蝶），辐射对称（放射虫，太阳虫等）。我国最早记载了雪花是 六角星形。其实，雪花形状千奇百怪，但又万变不离其宗（六角星）。既是 中心对称，又是轴对称。 很多植物是螺旋对称的，即旋转某一个角度后，沿轴平移可以和自己的 初始位置重合。例如树叶沿茎杆呈螺旋状排列，向四面八方伸展，不致彼此遮挡为生存所必需的阳光。这种有趣的现象叫叶序。向日葵的花序或者松球鳞片的螺线形排列是叶序的另一种表现形式。 “晶体闪烁对称的光辉”，这是俄国学者费多洛夫的名言。无怪乎在古典童话故事中，奇妙的宝石交织着温馨的幻境，精美绝伦，雍容华贵。在王冠上，以其熠熠光彩向世人炫耀，保持永久不衰的魅力。 对数螺线与蜘蛛网 曾看过这样一则谜语:“小小诸葛亮，稳坐军中帐。摆下八卦阵，只等飞来将。” 动一动脑筋，这说的是什么呢?原来是蜘蛛，后两句讲的正是蜘蛛结网捕虫的生动情 形。我们知道，蜘蛛网既是它栖息的地方，也是它赖以谋生的工具。而且，结网是 它的本能，并不需要学习。 你观察过蜘蛛网吗 ?它是用什么工具编织出这么精致的网来的呢?你心中是不是有一连串的疑问，好，下面就让我来慢慢告诉你吧。在结网的过程中，功勋最卓著的要属它的腿了。首先， 它用腿从吐丝器中抽出一些丝，把它固定在墙角的一侧或者树枝上。然后，再吐出 一些丝，把整个蜘蛛网的轮廓勾勒出来，用一根特别的丝把这个轮廓固定住。为继 续穿针引线搭好了脚手架。它每抽一根丝，沿着脚手架，小心翼翼地向前走，走到 中心时，把丝拉紧，多余的部分就让它聚到中心。从中心往边上爬的过程中，在合

蜘蛛网建模论文

A 题：蜘蛛网问题 摘要 因为蜘蛛主要依靠蜘蛛网捕食，所以需要建立合理的蜘蛛网结构，使得受力稳定，捕食效率最大化。本文就捕食效率及受力稳定两个方面分别对蜘蛛网结构进行了分析，并提出了最合理的结构。 针对问题一：捕食效率最大化方面，我们分析了影响捕食效率的五个因素，即总耗材料、平均网眼面积、网眼面积标准差、网总面积和捕获路径等，采用lingo软件，分别 对五个影响因素建立了控制条件，综合考虑各影响因素间的相互关系，在此基础上建立 了一个多约束条件的优化模型。该模型的本质是一个多目标的优化模型，采用选取核心 影响因素建立目标函数，次要因素建立控制条件的方法，通过分析各因素对目标函数的 影响并采用图表对比法，不断优化控制条件，得到了最优结构，使其捕食效率最大化。 针对问题二：受力稳定这方面对蜘蛛网结构经过力学分析后，我们明确给出了关于蛛网合理结构的分析结论最优模型为：27边形，19条纬线。 在文章的末尾，我们客观地分析了建模过程中的问题。之后，我们又宏观地将模型 推广到城市路网规划、水产捕鱼业渔网的设计。当然我们的模型还是比较理想化的仍然需要很多的改进。 关键词：蛛网结构捕食效率Lingo 多目标规划 一、问题重述 1 第一阶段问题： 问题：世界上生存着许多种类的蜘蛛，而其中的大部分种类都会通过结网来进行捕食。请你建立合理的数学模型，说明蜘蛛网织成怎样的结构才是最合适的。事实上，这就是一个多目标的优化问题。从宏观上分析，有以下两方面需要讨论： （1）捕食效率：消耗尽可能少的资源而最大限度的提高捕食概率。 对于问题（1），具体可以展开为如下几点： （a）蛛丝总量消耗尽可能少； （b）蛛网的总面积尽可能大； （c）平均网眼面积尽可能小； （d）网眼面积标准差尽可能小； （e）平均捕食路径尽可能短。 （2）蛛网自身结构的力学特性：现实世界中的蛛网会承受风荷载、猎物碰撞所产生的冲击荷载以及蛛网自重作用等外荷载，合理的蛛网结构应能抵抗这些外力作用，使网格结构始终保持稳定。 二、模型假设与符号说明 2.1模型假设 （1）假定蛛网的周向线（纬线）是由直线段组成（如图2.1）,且各条纬线满足相互平行、等间距的条件。现实中的蛛网的纬线是近似于对数螺旋(logarithmic spiral）的，这样假定是为了分析问题的方便同时也是必要、合理的。

螺旋线

螺旋线 摘要：数学也是很美的一门自然科学。数学的世界里有很多极富诗意的曲线，比如螺旋线。 关于螺旋线，我们结合运用物理中的粒子运动与数学中的二维三维坐标系知识，对其进行了初步的分析和探讨，得出了一些较浅显的知识。比如：螺旋线的不变性，物理性，弹性，数学规律和美感。 关键词：螺旋线，粒子运动，二维三维坐标系，圆锥与圆柱。 正文： 一、来源与引言 早在2000多年以前，古希腊数学家阿基米德就对螺旋线进行了研究。公元1638年，著名数学家笛卡尔首先描述了对数螺旋线，并列出了螺旋线的解析式。这种螺旋线有很多特点，其中最突出的一点则是它的形状，无论你把它放大或缩小都不会改变。就像我们不能把角放大或缩小一样。 在数学的世界里，有许多诗意的曲线，螺旋线便是其中一种。深入这个世界，你将发现无限的奥妙，让你振奋！螺旋线是一种在三维领域的曲线，以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成。 在自然界、人类社会中我们不难发现其穿梭的身影： 你如果有兴趣的话，可以去观察一下蜘蛛网，因为蜘蛛网是自然界中分布很广，而且给人印象深刻的一种螺旋结构。蜘蛛网的结构充分地说明了蜘蛛是一个多么了不起的、有着奇妙螺旋概念的小生命啊! 车前草的叶片也是螺旋状排列，其间夹角为1 37度、30度、38度。这样的叶序排列，可以使叶片获得最大的采光量，且得到良好的通风。其实，植物叶子在茎上的排列，一般都是螺旋状。此外，向日葵籽在盘上的排列也是螺旋式的。 人的头发是从头皮毛囊中斜着生长出来的，它循着一定的方向形成旋涡状，这就是发旋，且有右旋和左旋之别。实际上，发旋是长在体表的毛旋，能使毛发顺着一定的方向生长。在野生兽类动物中，毛旋具有保护自身和适应环境的作用。它可使雨水顺着一定的方向淌掉，犹如披上了一件蓑衣一般；它们排列紧密，可避免有害昆虫的叮咬；除此，还有良好的保温作用。人类头发的这些作用虽然已退化到微不足道的地步，但其形式却保留了下来。 有一些特殊的运动所产生的轨迹也是螺旋线。一只蚂蚁以不变的速率，在一个均匀旋转的唱片中心沿半径向外爬行，结果蚂蚁本身就描绘出一条螺旋线。蝙蝠从高处往下飞，是按空间螺旋线——锥形螺旋线的路径飞行的。在大海上追逐逃跑的敌舰或缉捕走私船只，有时也要按着螺旋线路径追逐。星体的运行轨迹有的也是螺旋线。日本国家天文台的中井直政博士，在对银河系中部的气体密度进行了为期3年的观察研究后认为，银河系是呈螺旋状的，即星体以圆心呈螺旋状向外扩。

对数螺旋线型双曲拱坝几何计算程序使用说明书

对数螺旋线型双曲拱坝几何计算程序使用说明书 对数螺旋线型双曲拱坝计算机辅助设计几何计算程序采用QBASIC语言编制，在一般微机上运行，该程序可解决对数螺旋线型双曲拱坝平面拱圈、各种横缝和孔口等的施工放样问题。 一、坐标系及单位 1、三维直角坐标系的Y轴就是拱坝的“对称”中心轴线，并指向下游；X轴指向左岸；Z轴垂直向下；座标系原点设在坝顶（一般在顶拱拱冠上游点）。 2、单位 程序输入、输出所用单位，长度以m计；角度以度计。 二、描述体型的主要参数及其函数关系 描述对数螺旋线型拱坝体型的主要几何参数有： 1、Y c Y c是拱圈中心轴线在拱冠点处的Y座标值，或者说是拱冠梁中心轴线上各点的Y座标。 2、T c T c是拱冠梁各高程处的厚度 3、T al 及T ar T al 及T ar 分别是左、右两半拱拱圈的端部厚度。 4、R l及R r R l 及R r 分别是左、右两半拱拱圈轴线在拱冠处的曲率半径。 5、θ l 及θ r θ l 及θ r 分别是左、右两半拱拱圈轴（对数螺旋线）线方程中的初始角。 6、X Dl 及X Dr X Dl 及X Dr 分别是左、右两半拱拱圈下游端点X座标。 一般地说，上述参数都是Z座标的多项（n+1项）式： 在作施工放样座标计算时，上述全部参数的函数关系应尽知。 这些参数的函数式，其次数往往是不同的，设其中最高的次数是n 次， 用户在使用程序时，应把坝顶高程H o 和n 的数值，库存在程序的第21行， 前述各参数函数式中的系数[A]都要按序紧接n 库存，中间不允许插入任何 别的内容，而且，Tc的系数[A]应从程序的第23行开始库存，每个参数的系 数都必须是n +1个，不能多也不能少，不足部分或未知者均须用若干个零按位补足。

数学建模-蜘蛛网

数学建模*蜘蛛网 世界上生存着许多种类的蜘蛛，而其中的大部分种类都会通过结网来进行捕食。请你建立合理的数学模型，说明蜘蛛网织成怎样的结构才是最合适的。 最合适的结构：对数螺线 对数螺线又叫等角螺线，因为曲线上任意一点和中心的连线与曲线上这点的切线所形成的角是一个定角。 方程：x=m*e^(t)*cos(t),x=m*e^(t)*cos(t),t是参数，范围是实数域 方法： 先向空中放出一根“搜索丝”。之后放出一根悬垂丝，并在这根丝的中段加上第三根丝成Y字状，形成最初的3根不规则半径。再加上n多条线形成网的雏形。接下是铺设螺旋线，纺织成网。以网心为起点，织出一根自内向外的螺旋线.从中心往边的过程中，在合适的地方加几根辐线，为了保持网的平衡，再到对面去加几根对称的辐线。这种螺旋线把它放大

或缩小都不会改变。就像我们不能把角放大或缩小一样。用辐线把圆周分成了几部分，相临的辐线间的圆周角也是大体相同的.整个网看起来是一些半径等分的圆周.从中心开始，用一条线在半径上作出一条螺旋状的线。这是一条辅助的线。然后，从外圈盘旋着走向中心，同时在半径上安上最后成网的螺旋线。在这个过程中，它的脚就落在辅助线上，每到一处，就用脚把辅助线抓起来，聚成一个小球，放在半径上。这样半径上就有许多小球。从外面看上去，就是许多个小点。 垂曲线的图形：当一根弹性线的两端固定，而中间松驰的时候，它就形成了一条垂曲线 在同一个扇形里，所有的弦，也就是那构成螺旋形线圈的横辐，都是互相平行的，并且越靠近中心，这种弦之间的距离就越远。每一根弦和支持它的两根辐交成四个角，一边的两个是钝角，另一边的两个是锐角。而同一扇形中的弦和辐所交成的钝角和锐角正好各自相等——因为这些弦都是平行的。这些相等的锐角和钝角，又和别的扇形中的锐角和钝角分别相等。这螺旋形的线圈包括一组组的横档以及一组组和辐交成相等的角。 这曲线在一根无限长的直线上滚动，焦点将要划出的轨迹是：垂曲线。这个数字的值约等于这样一串数字＋1/1＋1/1*2＋1/1*2*3＋1/1*2*3*4＋…=e。