平方差公式(1)

平方差公式（1）

一 选择题

1.下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是（ ）

A (x+1)(1+x)

B (1/2b+b)(-b-1/2a)

C (-a+b)(-a-b)

D (x 2-y)(x+y 2)

2.下列各式能用平方差公式计算的是（ ）

A ．（2a-3b ）（3b-2a ）

B ．（-2a+3b ）（-2a-3b ）

C ．（2a-3b ）（-3b+2a ）

D ．（2a-3b ）（3a+2b ）

3.下列式子中不成立的是（ ）

A.（x-y+z ）（x-y-z ）=（x-y ）2-z 2 B ．（x+y-z ）（x-y-z ）=x 2-（y-z ）2

C ．（x-y-z ）（x+y-z ）=（x-z ）2-y 2

D ．（x-y-z ）（x+y+z ）=x 2-（y+z ）2

4.()442

2916)43(x y y x -=-- ，括号内应填入下式中的（ ） A ．)43(22y x - B ．2234x y - C ．2243y x -- D ．2243y x +

5.对于任意整数n ，能整除代数式)2)(2()3)(3(-+--+n n n n 的整数是（ ）A ．4 B ．3 C ．5 D ．2

6.在))((b a y x b a y x ++--++ 的计算中，第一步正确的是（ ）

A ．22)()(a y b x --+

B ．))((2222b a y x --

C ．22)()(b y a x --+

D ．22)()(a y b x +--

7.计算)1)(1)(1)(1(2

4-+++x x x x 的结果是（ ）A ．x 8+1 B ．x 4+1 C ．(x+1)8 D ．x 8-1

8.(abc+1)(-abc+1)(a 2b 2c 2+1) 的结果是（ ）A ．a 4b 4c 4-1 B ．1-a 4b 4c 4 C ．-1-a 4b 4c 4 D ．1+a 4b 4c 4

9.下列多项式乘法，不能用平方差公式计算的是( )

A.(－a －b)(－b+a)

B.(xy+z)(xy －z)

C.(－2a －b)(2a+b)

D.(0.5x －y)(－y －0.5x) 10.(4x 2－5y)需乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( )

A.－4x 2－5y

B.－4x 2+5y

C.(4x 2－5y)2

D.(4x+5y)2

二 填空题

1.(x-4)(x+4)=( )2-( )2 ;(a+b+1)(a+b-1)=（ ）2-（ ）2

2.(8m+6n)(8m-6n)= ______________ ; =---)34)(34(b a b a _______________

3.=+-+))()((22b a b a b a _______________ ;=-+++)2)(2(y x y x _______________

4.)3(y x +( )=229x y - ;( )21)1(a a -=-

5.22916)4)(3(a b n b m a -=++-，则m=________,n=________

6.1.01×0.99=________ ;205×195=________

7.(-2x+y)(-2x-y)= ______________；（-3x 2+2y 2）（________）=9x 4-4y 4

8.计算：2009×2007－20082=____________；20

23×2113=___________ 9.(a+b-1）(a-b+1）=（_______）2 -（_______）2

10.如图（1），可以求出阴影部分的面积是_________．（写成两数平方差的形式）; 如图（2），若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是________，长是________，面积是___________．（写成多项式乘法的形式）,比较两个图阴影部分的面积，可以得到乘法公式__________（用式子表达）

三 解答题

1.计算：（1）(m+2) (m-2) (2)(-1+3a) (1+3a) (3) (4x+5y)(4x-5y) (4)(3a+2b)(3a-2b)

（5）(5+6x)(5-6x) (6)(x-2y)(x+2y) (7)(-m+n)(-m-n) (8)(-41x-y)(-41x+y)

(9)(ab+8)(ab-8) (10)(m+n)(m-n)+3n 2 (11)(-x+1)(-x-1) (12)(-4k+3)(-4k-3)

2.用平方差公式计算 ①803×797 ②398×402 ③-996×（-1004） ④1002-992+982-972+…+22-1

3.计算：（1）（-2x+3y ）(-2x-3y)（4x 2-9y 2） (2)(a-2)(a+2)(a 2+4)

4.若x+y=3，x 2-y 2=12求x-y 的值

5.先化简，再求值)4)(2)(2())()((2222n m n m n m n m n m n m +--+-----+ ，其中m=1，n=-2

6.解方程：2)3)(3(2)2)(2()2)(1(-+-=+-+--x x x x x x

7.阅读下列材料：某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4-1后，发现可以连续运算平方差公式计算：

3（4+1）（42+1）=（4-1）（4+1）（42+1）=（42-1）（42+1）=162-1，很受启发，后来在求（2+1）（22+1）

（24+1）（28+1）……（22012+1）的值时，又仿照此法，将乘积式前面乘1，且把1写成（2-1），得（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）……（22012+1）=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）……（22012+1）=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）……（22012+1）=（24-1）（24+1）（28+1）……（22012+1）=（22012-1）（22012+1）=24024-1.回答下列问题：

（1）请借鉴该同学的经验，计算：（1+21）（1+221）（1+421）（1+82

1）+1521 （2）借用上面的方法，再逆用平方差公式，是判断：（1-221）（1-23

1）（1-241）·…·（1-21n ）的值与21的大小关系，并说明你的的结论成立的理由

平方差公式在因式分解中的五种表现(1)

平方差公式在因式分解中的五种表现 应用平方差公式，把多项式进行分解因式的方法，就叫做平方差公式法。 公式表述为： a2- b2=（a+b）（a-b）。 应用平方差公式满足的条件： 等式的左边是一个两项多项式，并且构成这个多项式的两个单项式之间是作减法运算； 等式的右边一个因式是等式左边两个平方幂的底数的和，另一个因式是等式左边两个平方幂的底数的差。 1直接应用 例1、分解因式：24 x-=．（2008年贵阳市） 分析：左边是两个单项式的差，关键是把数字4写成22，这样，左边就变形为x2- 22，这样，就和公式一致了。 解:：x2-4=x2- 22=（x+2）（x-2）。 2、提后用公式 例2、分解因式：3x2-27= ．（08茂名） 分析：在分解因式时，先考虑提公因式，后考虑用平方差公式法。 解： 3x2-27 =3（x2-9） =3（x2- 32） =3（x+3）（x-3）。

3、变化指数后用公式 例3、248-1能被60和70之间的两个数整除。这两个数各是多少？ 分析 因为，48=2×24，所以，248=（22）24=（224）2，这样，就满足了平方差公式的要求了。 解： 因为，48=2×24，所以，248=（22）24=（224）2， 所以，248-1=（224）2-（1）2=（224+1）（224-1） =（224+1）（224-1）=（224+1）【（212）2-（1）2】 =（224+1）【（212+1）（212-1）】 =（224+1）（212+1）【（26）2-（1）2】 =（224+1）（212+1）【（26+1）（26-1）】 =（224+1）（212+1）（26+1）【（23）2-（1）2】 =（224+1）（212+1）（26+1）【（23+1）（23-1）】 =（224+1）（212+1）（26+1）×9×7 =（224+1）（212+1）（26+1）×65×63 因为，整除的两个数在60和70之间， 且60＜63＜70，60＜65＜70， 所以，这两个数分别是63、65。 4、先局部用完全平方公式，后整体用平方差公式 例4、若a、b、c是三角形的三条边长，则代数式，a2-2ab- c2+b2的值： A、大于零 B、小于零 C、等于零 D、与零的大小无关

平方差公式教学设计(1)

平方差公式教学设计 一．目标 1.经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力； 2.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算； 3.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法. 二、教学问题诊断分析 学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时常常会确定错某些项符号及漏项等问题．学生学习平方差公式的困难在于对公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生的理解．因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解． 三．本节课的教学难点：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，灵活运用平方差公式进行计算． 四、教学过程设计 （一）创设情境，引出课题 问题１：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1）（x+1）（x-1）= ； （2）（m+2）（m-2）= ； （3）（2x+1）（2x-1）= ． （二）探索新知，尝试发现 问题２：依照以上三道题的计算回答下列问题： ①式子的左边具有什么共同特征？ ②②它们的结果有什么特征？ ③能不能用字母表示你的发现？ 师生活动：教师提问，学生通过自主探究、合作交流，发现规律，式子左边是两个数的和与这两个数的差的积，右边是这两个数的平方差，并猜想出：．（三）数形结合，几何说理 问题3：活动探究：将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系．

（四）总结归纳，发现新知 问题4：你能用文字语言表示所发现的规律吗？ 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． （五）剖析公式，发现本质 在平方差公式中，其结构特征为： ①左边是两个二项式相乘，其中“a与a”是相同项，“b与-b”是相反项；右边是二项式，相同项与相反项的平方差，即； ②让学生说明以上四个算式中，哪些式子相当于公式中的a和b，明确公式中a和b 的广泛含义，归纳得出：a和b可能代表数或式． （六）巩固运用，内化新知 问题5：判断下列算式能否运用平方差公式计算： （1）（2x+3a）（2x–3b）；（2）； （3）（－m+n）（m－n）；（4）； （5）． 问题6：判断下列计算是否正确： （1）（2a–3b）（2a–3b）=4a2－9b2（） （2）（x+2）（x – 2）=x2－2 （） 3）（－3a－2）（3a－2）=9a2－4 （）

北师大版七年级数学下册1.7 平方差公式 教案

1.7 平方差公式(一) 教学目标：1．经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力； 2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算； 3．了解平方差公式的几何背景。 教学重点：1．弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点； 2．会用平方差公式进行运算。 教学难点：会用平方差公式进行运算 教学方法：探索讨论、归纳总结。 教学过程： 一、发现特征、探索规律 活动内容：我们已经学过了多项式的乘法，出示题目，看谁算得快： (1) (x+2)(x －2) (2) (1+3a)(1－3a) (3) (x+5y)(x －5y) (4) (－m+n)(－m －n) 提出问题：你们能发现什么规律？ 在多项式的乘法中，对于某些特殊形式的多项式相乘，我们把它写成公式，并加以熟记，以便遇到类似形式的多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算。以后经常遇到(a+b)(a －b)这种乘法，所以把(a+b)(a －b)＝a 2－b 2作为公式，叫做乘法的平方差公式。 在此基础上，让学生用语言叙述公式，总结公式结构特征：(1) 公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反[互为相反数(式)]；(2) 公式右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内的第一项的平方减去第二项的平方。 (3) 公式中的 a 和b 可以代表数，也可以是代数式． 二、运用知识，解决问题 活动内容：（1）直接运用新知，解决第一层次问题。 例1计算：①(2x +3 ) (2x –3) ②(2 a +3b ) (2 a –3b) ③（– 1 + 2a ） (– 1 – 2a) （2）间接运用新知，解决第二层次问题。 例2计算：①(–2x +3 ) (3+2x) ②(3b+2a) (2 a –3 b) 例3计算：(－4a －1)(－4a+1) 例4 计算：(1)(x ＋y －z)(x ＋y ＋z)； (2)(a －b ＋c)(a ＋b ＋c)． 三、巩固练习、体验成功 活动内容： 1、下列各式中哪些可以运用平方差公式计算 （1）()()c a b a -+ （2）()()x y y x +-+ （3）()()ab x x ab ---33 （4）()()n m n m +-- 2、判断： （1）()()2 2422b a a b b a -=-+ （ ） （2）1211211212-=??? ??-??? ??+x x x （ ） （3）()()22933y x y x y x -=+-- （ ） （4）()()22422y x y x y x -=+---（ ） （5）()()6322 -=-+a a a （ ） （6）()()933-=-+xy y x （ ）

七年级下册示范教案一1.7.2平方差公式(二)

第十二课时 ●课题 §1.7.2 平方差公式(二) ●教学目标 (一)教学知识点 1.了解平方差公式的几何背景. 2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算. 3.体会符号运算对证明猜想的作用. (二)能力训练要求 1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力. 2.培养学生观察、归纳、概括等能力. (三)情感与价值观要求 1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣. 2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美. ●教学重点 平方差公式的几何解释和广泛的应用. ●教学难点 准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能. ●教学方法 启发——探究相结合 ●教具准备 一块大正方形纸板，剪刀. 投影片四张 第一张：想一想，记作(§1.7.2 A) 第二张：例3，记作(§1.7.2 B) 第三张：例4，记作(§1.7.2 C) 第四张：补充练习，记作(§1.7.2 D) ●教学过程 Ⅰ.创设问题情景，引入新课 ［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a. 这个正方形的面积是多少？ ［生］a2. ［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图1－23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？ 图1－23 ［生］剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2－b2). ［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论. (教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法) ［生］老师，我们拼出来啦. ［师］讲给大伙听一听. ［生］我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a－b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形(阴影部分)，它的长和宽分别为(a+b),(a－b),面积为(a+b)(a－b). 图1－24 ［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？ ［生］这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2. ［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式. ［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.

《公式法因式分解》教学设计

《公式法因式分解》教学设计 永年县第八中学——胡平亮 一、教学内容：冀教版七年级数学第十一章公式法分解因式 二、教学目标： 知识与技能 1、经历逆用平方差公式的过程． 2、会运用平方差公式，并能运用公式进行简单的分解因式． 过程与方法 1、在逆用平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 2、培养学生观察、归纳、概括的能力． 情感与价值观要求： 在分解过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦；培养学生敢于挑战；勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。 三、教学重点： 利用平方差公式进行分解因式 四、教学难点： 领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。 五、教学准备： 深研课标和教材，分析学情，制作课件 六、教学过程； 一、知识回顾 1、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ （1）、(2x-1)2=4x2-4x+1 否 （2）、 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 是 （3）、4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 否 2、把下列各式进行因式分解

（1）. a3b3-a2b-ab （2）(3x+y)(3x-y) （3）、（x+5)(x-5) 利用一组整式的乘法运算复习平方差公式，为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。 二、导入新课： 你能把多项式：x2 -25、9x2 -y2分解因式吗？ 利用一组运用平方差公式分解因式的习题，引导学生利用逆向思维去探究如何分解 a2- b2类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法，可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。 三、探究与交流 a2- b2=(a+b)(a-b) （1）用语言怎样叙述公式？ （2）公式有什么结构特征？ （3）公式中的字母a、b可以表示什么？引导学生观察平方差公式的结构特征， 学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。 判断：下列多项式能不能运用平方差公式分解因式？ (1) m2－1 (2)4m2－9 （3）(3)4m2+9 （4）(4)x2－25y + (5) －x2－25y2 (6) －x2－25y2 通过这一组判断，使学生加深理解和掌握平方差公式的结构特征，既突出了重点，也培养了学生的应用意识。 四、体验新知： （A）通过自学例1: 分解因式(1)25-16x2 (2)9a2 -1/4b2 引导学生得出分解因式的一般步骤，向学生渗透“化归”思想。 要让学生明确： （1）要先确定公式中的a和b； （2）学习规范的步骤书写。 （B）例2、分解因式9(m+n)2-(m-n)2

平方差公式_1

平方差公式 教学建议一、知识结构二、重点、难点分析本节教学的重点是掌握公式的结构特征及正确运用公式．难点是公式推导的理解及字母的广泛含义．是进一步学习完全平方公式、进行相关代数运算与变形的重要知识基础．1．是由多项式乘法直接计算得出的：与一般式多项式的乘法一样，积的项数是多项式项数的积，即四项．合并同类项后仅得两项．2．这一公式的结构特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方差．公式中的字母可以表示具体的数（正数和负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．只要符合公式的结构特征，就可运用这一公式．例如在运用公式的过程中，有时需要变形，例如，变形为，两个数就可以看清楚了．3．关于的特征，在学习时应注意：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两上二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．（3）公式中的和可以是具体数，也可以是单项式或多项式．（4）对于形如两数和与这两数差相乘，就可以运用上述公式来计算．三、教法

建议1．可以将“两个二项式相乘，积可能有几项”的问题作为课题引入，目的是激发学生的学习兴趣，使学生能在两个二项式相乘其积可能为四项、三项、两项中找出积为两项的特征，上升到一定的理论认识，加以实践检验，从而培养学生观察、概括的能力．2．通过学生自己的试算、观察、发现、总结、归纳，得出为什么有的两个二项式相乘，其积为两项，因为其中两项是两个数的平方差，而另两项恰是互为相反数，合并同类项时为零，即(a+b)(a-b)=a2+ab-ab-b2=a2-b2．这样得出，并且把这类乘法的实质讲清楚了．3．通过例题、练习与小结，教会学生如何正确应用．这里特别要求学生注意公式的结构，教师可以用对应思想来加强对公式结构的理解和训练，如计算(1+2x)(1-2x)，(1+2x)(1-2x)=12-(2x)2=1-4x2↓↓↓↓↑↑ (a + b)(a - b)=a2- b2．这样，学生就能正确应用公式进行计算，不容易出差错．另外，在计算中不一定用一种模式刻板地应用公式，可以结合以前学过的运算法则，经过变形后灵活应用公式，培养学生解题的灵活性．教学目标1．使学生理解和掌握，并会用公式进行计算；2．注意培养学生分析、综合和抽象、概括以及运算能力．教学重点和难点重点：的应用．难点：用公式的结构特征判断题目能否使用

14.2.1《平方差公式》教案

学科：数学授课教师：张辉贤年级：八总第课时课题14.2.1《平方差公式》课时 教学目标知识与技能 经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并 能运用公式进行简单的运算． 过程与方法 在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力． 情感价值观 在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体 会数学语言的简洁美．. 教学重点 平方差公式的推导和应用． 教学难点 灵活运用平方差公式解决实际问题． 教学方法创设情境－主体探究－合作交流－应用提高媒体资源多媒体投影 教学过程 教学流程教学活动 学生 活动 设计 意图 创设情境引出课题1、计算下列各题，你能发现什么规律？ （1）（x+1）（x－1）；（2）（a+2）（a－2）； （3）（3－x）（3+x）；（4）（2m+n）（2m－n）． 2、计算：（a+b）（a－b） （=a2－ab+a b－b2=a2－b2．） 计算 观察 讨论 归纳 引出 课题 平方差公式1、平方差公式： （a+b）（a－b）= a2－b2． 两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差． 2：注意：公式中各项符号特点。 交流 归纳 熟悉 公式 实际验证 请用剪刀从边长为a的正方形纸板上，剪下一个 边长为b的小正方形（如图1），然后拼成如图2的长 方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？ 阴影部分的面积为（a2－b2）． 动手 操作 观察 图形 自主 探索 发现 规律

长方形的面积为（a+b）（a－b）． 两部分面积应该是相等的，即（a+b）（a－b）= a2－b2．计算 阴影 部分 的面 积 进行 归纳 感受 平方 差公 式 熟记应用公式特点1、例题计算： （1）（3x＋2）（3 x－2）；（2）（－x+2y）（－x－2y）； （3）．（b+2a）（2a－b）；（4）(3+2a) (－3+2a)。 2、P108页：练习：1、2：（1）（2） 学生 板演 归纳 分析 再次 探索 发现 归纳 结论 练习巩固1、下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（） （1）（x+1）（1+x）；（2）（ 2 1a+b）（b－ 2 1a）； （3）（－a+b）（a－b）；（4）（x2－y）（x+y2）； （5）（－a－b）（a－b）；（6）（c2－d2）（d 2+c2）． 公式特点 （1）左边为两个数的和与差的积；（2）右边为两个数的 平方差． 观察 讨论 解答 再次 熟记 公式 特点 应用提高拓展创新1：计算 （1）102×98 （2）（y+2）(y-2)－(y－1)(y+5) （3）（a+b+c）(a－b+c) (4) 20042－20032 （5）（a + 3 ）(a － 3)( a2 + 9 ) 2、给出下列算式：32－12= 8 = 8×1； 52－32= 16 = 8×2； 探究 合作 交流 灵活 应用 知识

《平方差公式》第一课时优秀教案

平方差公式(一) ●教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索平方差公式的过程. 2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算. (二)能力训练要求 1.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力. 2.培养学生观察、归纳、概括等能力. (三)情感与价值观要求 在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美. ●教学重点 平方差公式的推导和应用. ●教学难点 用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式. ●教学方法 探究与讲练相结合. 使学生在计算的过程中发现规律，并运用自己的语言进行表达，用符号证明这个规律，并探索出平方差公式的结构特点，在老师的讲解和学生的练习中学会应用. ●教具准备 投影片四张 第一张：做一做，记作(§1.7.1 A) 第二张：例1，记作(§1.7.1 B) 第三张：例2，记作(§1.7.1 C) 第四张：练一练，记作(§1.7.1 D) ●教学过程 Ⅰ.创设情景，引入新课 ［师］你能用简便方法计算下列各题吗？ (1)2001×1999；(2)992－1

［生］可以.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=20002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800. ［师］很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的2001，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，2001和1999，一个比2000大1，于是可写成2000与1的和，一个比2000小1，于是可写成2000与1的差，所以2001×1999就是2000与1这两个数的和与差的积，即(2000+1)(2000－1)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：20002－12，恰为这两个数2000与1的平方差.即 (2000+1)(2000－1)=20002－12. 那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？ 我们不妨看下面的做一做. Ⅱ.使学生在计算的过程中，通过观察、归纳发现规律，并用自己的语言和符号表示其规律 ［师］出示投影片(§1.7.1 A) 做一做：计算下列各题： (1)(x+2)(x－2); (2)(1+3a)(1－3a); (3)(x+5y)(x－5y); (4)(y+3z)(y－3z). 观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现？ ［生］上面四个算式都是多项式与多项式的乘法. ［生］上面四个算式每个因式都是两项. ［生］除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与差的积. ［师］我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘，它们

平方差公式法因式分解

平方差公式法因式分解教学设计 【教材依据】本节课是北师大版数学八年级下册第四章因式分解 第三节公式法第一课时内容。 【教材分析】因式分解是初中数学的一个重要内容，是代数式恒 等变形的重要手段之一。它贯穿、渗透在各种代数式问题之中，为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。本节课是在学习了整式的乘法、乘法公式和提公因式法因式分解之后，让学生利用逆向思维而得到平方差公式因式分解的方法，而运用平方差公式分解因式又是因式分解中的一个重要内容。它对学习完全平方公式因式分解和后面即将要学习的分式化简和计算，对九年级学习一元二次方程的解法和二次函数都有着重要的影响，所以学好本节课对后面的学习至关重要！ 【学情分析】 学生已有七年级学习的整式运算的基础知识，在前一节课中已经学习了提公因式法分解因式，初步体会到了因式分解与乘法运算的互逆关系，通过对乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2的逆向变形，容易得出 a2-b2= (a+b)(a-b),但准确理解和掌握公式的结构特征,进行因式 分解对学生来说还有很大的难度,学生的观察、归纳、类比、概括等 能力，有条理的思考及语言表达能力还有待加强。 【指导思想】

以新课标要求“培养学生的合作探究和归纳总结”的教育理念为 指导，引导学生通过复习旧知逐步过渡到新知，进一步应用生活问题作为课堂学习的载体，培养学生学有用数学的理念，贯穿类比、换元的数学思想方法。结合八年级学生年龄特点及认知规律，采用学生讲解习题的方法培养学生准确应用数学符号、文字语言表达问题的能力，从而达到素质教育要求发展学生综合素养的目标。 【教学目标】 知识与技能：理解平方差公式的特点，掌握使用平方差公式进行因式分解的方法，并能熟练使用平方差公式进行因式分解； 过程与方法：通过知识的迁移经历运用平方差公式分解因式的过程；培养探究知识、合作学习的能力，深化逆向思维的能力和数学的应用意识，渗透整体思想和转化思想。 情感态度与价值观：在应用平方差公式分解因式的过程中让学生体验换元思想，同时增强学生的观察能力和归纳总结的能力。在自主合作学习的过程中体验成功的喜悦，感悟数学美，体会数学知识的合理性和严谨性，养成积极思考，独立思考的好习惯。 现代化教学手段的运用：使用交互式多媒体激发学生的学习兴趣，增大课堂容量，设计检测试卷落实“堂堂清”的课堂教学效果。 【教学重点】 掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分 解因式。

(青岛版)七年级下册数学《12.1平方差公式》教案

《平方差公式》教案设计 教学目标 【知识与能力】 掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行灵活运算。 【过程与方法】 经历平方差公式的探索过程，结合图形了解公式的几何意义，体会数形结合的思想方法。 【情感态度价值观】 通过自主探究，合作交流活动，体验合作学习的快乐。 教学重难点 【教学重点】 平方差公式的应用。 【教学难点】 正确认识平方差公式特征。 教学方法 引导发现法、启发猜想、讲练结合法 课前准备 教师准备课件、多媒体； 学生准备练习本； 课时安排1课时 教学过程 一、创设情境，导入新课 以前，狡猾的灰太狼，把一块边长为a米的正方形土地租给懒羊羊种植。今年，他对懒羊羊说：“我把你这块地一边减少4米，另一边增加4米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”懒羊羊听了，觉得好像没有吃亏，就答应了。懒羊羊回去羊村，把这件事跟大伙一说，喜羊羊马上就说懒羊羊吃亏了。过了一会儿沸羊羊也说懒羊羊确实吃亏了。这是为什么呢？ 分析：这块土地原来是边长为a米的正方形土地，面积为a2平方米；现在是长为（a+4）米，宽为（a-4）米的长方形，面积为（a+4）（a-4）平方米。它们的面积变了吗？ 设计意图：激发学生强烈的求知欲望 二、合作交流，探索新知

（一）、探究 设计意图：让学生从复习旧知入手，观察发现、概括归纳，充分体验数学知识的形成过程。 1、计算下列多项式的积 （1） (x+1)(x-1) （2）(m+2)(m-2) （3）(2x+4)(2x-4) 2、议一议 (1)式子的左边有什么共同特征？ (2)它们的结果有什么特征？ (3)能不能用字母表示你的发现？ 3、猜想：(a+b)(a-b) =a2-b2 （二）、证明猜想 1、利用多项式的乘法法则验证： (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2= a2-b2 2、利用图形的面积证明： 图1 图2 图1中阴影的面积为图2中阴影的面积为 从而得出： = 3．总结平方差公式特征及注意问题 平方差公式： ⑴数学语言：(a+b)(a-b)= a2-b2 ⑵文字语言：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差。 ⑶结构特点：①左边是两个二项式相乘，并且有一项完全相同；另一项互为相反数。 ②右边是乘式中两项的平方差，即（相同项）2 -（相反项）2。 ⑷字母a、b的代表性： a、b可以表示数，还可以表示单项式或多项式。

)因式分解(公式法之完全平方公式与平方差公式)教学内容

)因式分解(公式法之完全平方公式与平方 差公式)

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 因式分解基础习题 （公式法） 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.24x - 2.29y - 3.21a - 4.224x y - 5.2125b - 6.222x y z - 7.2240.019m b - 8.2219a x - 9.2236m n - 10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q - 13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1.22()()x p x q +-+ 2. 22(32)()m n m n +-- 3.2216()9()a b a b --+ 4.229()4()x y x y --+ 5.22()()a b c a b c ++-+- 6.224()a b c -+

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 题型(三)：把下列各式分解因式 1.53x x - 2.224ax ay - 3.322ab ab - 4.316x x - 5.2433ax ay - 6.2(25)4(52)x x x -+- 7.324x xy - 8.343322x y x - 9.4416ma mb - 10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+ 12.2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2.计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910- --???--

平方差公式教案

《平方差公式》教案 教学目标： 知识与技能：会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算； 过程与方法：经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式； 情感、态度与价值观：通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性。 教学重、难点： 重点：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算 难点：利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，灵活运用平方差公式进行计算； 教学过程： 一、创设情境，复习导入 计算下列多项式的积 （1） ()()11-+x x = ； （2） ()()22-+m m = ； （3） ()()1212-+x x = 。 二、合作交流，探索新知 1、小组合作、交流 根据前面的计算，回答下列问题： ①式子的左边具有什么共同特征？ ②它们的结果有什么特征？ ③你能从中发现什么规律吗？并能用字母a 、b 表示你发现的规律吗？ 2、师生互动，总结公式 平方差公式：()()22b a b a b a -=-+ 文字语言： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差

3、数形结合，几何说理 课本152页 思考 三、巩固运用，吸收新知 1、运用平方差公式计算 （1）()()2323-+x x （2）()()b a a b -+22 （3） ()()y x y x 22--+- 2、计算 （1）98102? （2）()()()()5122+---+y y y y （3） ()()()4222++-x x x 四、剖析公式 在平方差公式()()22b a b a b a -=-+中： ①其结构特征为：左边是两个多项式相乘，其中“a 与a ”是系数相同项，“b 与b -”是系数相反项；右边是系数相同项的平方减去系数相反项的平方， 即22b a -； ②公式中的a 和b 可能代表数或式。 五、总结概括，自我评价 这节课你有哪些收获？还有那些困惑？ 六、板书设计 平方差公式 ()()11-+x x = ()()22-+m m = ()()1212-+x x = 公式： ()()22b a b a b a -=-+ 几何验证： 学生演板

公式法1-平方差公式教学设计.3因式分解 -平方差公式》教案

3.3 公式法 用平方差公式--因式分解 江兆希 教学内容 课本第63～64页． 教学目标 1. 理解整式乘法和因式分解是互逆的，培养逆向思维能力。 2. 使学生掌握用平方差公式分解因式； 3 理解多项式中如果有多重因式分解要分解彻底; 4.体会换元法、类比法、整体思想和转化思想。 重点、难点 重点：用平方差公式分解因式。 难点：当公式中的字母取多项式时的因式分解和多重因式分解。 教学过程 一 创设情境，导入新课 1 复习检查： 1）.还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？ 平方差公式: 完全平方公式: 2）.什么叫因式分解？我们学过的因式分解的方法是什么? 3）.因式分解与整式乘法有什么关系？ 2 故事引入： 张老汉向地主租了一块 “十字型”土地，换成长方形土地的宽和长各为多少呢？ 二 合作交流，探究新知。1.公式探究：把平方差公式: 掉头 （22 a b -=（a+b ） (a-b )，运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的方法叫公式法。 这节课我们来学习用平方差公式来分解因式。板书 ()()22 b a b a b a -=-+()2222b ab a b a +±=±()()2 2b a b a b a -=-+

2 探究平方差公式的结构特点 1、左边有二项，是两个数的平方差的形式 2、右边是左边平方项的底数的和与差的积 语言:两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。 练习 议一议：下列多项式哪些可用平方差公式进行因式分解？为什么？ 三 应用迁移，巩固提高 1 用平方差公式分解因式 [ 例1分解因式。 （1）解： （2） 归纳: 利用 平方差公式分解因式的步骤: 1. 改装 2.找a,b 3 .套公式 2 综合运用平方差公式和提公因式法分解因式。 练一练：学生练习因式分解基本题型（分组积分竞赛制） 例2 分解因式: 4 4)1(y x - 巩固练习：学生练习因式分解基本题型（分组积分竞赛制） 四、能力提升 智力竞赛游戏环节 五、反思小结 我们有什么收获? 注意： 1、分解因式的步骤是首先提公因式，然后考虑用公式 2、因式分解进行到每一个多项式的因式不能再分解为止。 3、计算中运用因式分解，可使计算简便 4、公式中的字母可以是单项式，也可以是多项式，运用了整体思想、转化思想。 22 22 254525252x y x y x y x y ()()()() -=-=+-()()[]()()[]y x y x y x y x --+-++=原式解 :()()xy y x y x y x y x y x 422=?=+-+-++=22x y x y （）（）+--

12.1平方差公式 355557

初中七年级数学下册导学稿 12.1 平方差公式 设计人：开发区中学孙萍 学习目标： 1、会推导平方差公式，并会用几何图形解释公式； 2、能运用平方差公式进行熟练地计算； 3、经历探索平方差公式的推导过程，发展符号感，体会“特殊——一般——特殊”的认识规律. 4、渗透类比、转化的数学思想。 重点：掌握平方差公式的结构特点及正确运用公式 难点：探索平方差公式，并用几何图形解释公式。 教学过程： 【温故知新】 多项式乘多项式的法则是什么？ 【创设情境】 灰太狼开了租地公司,一天他把一边长为a米的正方形土地租给慢羊羊种植.有一年他对慢羊羊说:“我把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,再继续租给你,你也没吃亏,你看如何?”慢羊羊一听觉得没有吃亏,就答应了.回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说道:“村长，您吃亏了!”慢羊羊村长很吃惊…同学们,你能告诉慢羊羊这是为什么吗? 【探索新知】 一、自主探索 运用多项式乘多项式的法则计算： (1)(a+5) (a-5) (2)(m+2) (m-2) (3)(1+3a) (1-3a) (4) (x+5y)(x-5y) 思考：观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？你能用字母表达式表示这一规律吗？（独立计算，组内交流，派代表展示） 二、交流展示： 猜想归纳：平方差公式 文字语言： 几何语言： 三、合作探究： 1、公式验证 （1）代数法证明（用我们学过的整式乘法的知识说明） （2）几何法证明（你能用右面的图形来解释平方差公式的正确

性吗？） 四、导学释疑 1、自学课本P111页例1、例2，然后组内讨论 2、分析平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2结构特点 【巩固提升】 1、利用平方差公式计算： (1)(a+3)(a-3) (2)(x-2y)(x+2y)； (3)(-2b-5)(2b-5)； (4)（x+3y)(x-3y)(x2+9y2) 2、利用平方差公式进行简便计算： （1）102×98；（2）2013×2011－20122 【课堂小结】谈谈你的收获与困惑 【达标检测】 1、下列能用平方差公式计算的是（）. (A)(a+b)(a+b) (B)(a-b)(b-a) (C)(a-b)(-b+a) (D)(a-b)(-a-b) 2、为了美化城市，经统一规划，将正方形草坪的南北方向增加3m，东西方向缩短3m，则改造后的长方形草坪面积比原来正方形草坪面相比（） A.增加了6m2； B增加了9m2；C.减少了9m2；D.保持不变 3、利用平方差公式计算： （1）（-2x+3y）(-2x-3y) (2)(a-2)(a+2)(a2+4) 4、利用平方差公式进行简便计算：99.8×100.2； 【课外拓展】 请你利用平方差公式求出(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)的值.

平方差公式教学设计(1)

15.2.1平方差公式 教学目标 ①经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理水平、归纳水平. ②会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能使用公式实行简单的计算. ③了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法. 教学重点与难点 重点：平方差公式的推导及应用. 难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式. 教学准备 卡片及多媒体课件 教学设计 一、引入 同学们，前面我们刚刚学习了整式的乘法，知道了一般情形下两个多项式相乘的法则. 今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘. 下面请同学们应用你所学的知识，自己来探 究下面的问题： 探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？ (1) (x+1)(x-1)= (2) (m+2)(m-2)= (3) (2x+1)(2x-1)= 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括. 注：平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它的得出能够直接利用多项式与多项 式相乘的运算法则，利用多项式乘法推导乘法公式是从一般到特殊的过程，对今后学习其他乘法公式的推导有一定的指导意义，同时也可培养学生观察、归纳、概括等水平，所以在教 学中，首先应让学生思考：你能发现什么？让学生经历观察(每个算式和结果的特点)、比较(不 同算式之间的异同卜归纳(可能具有的规律)、提出猜想的过程，学生在发现规律后，还应通 过符号运算对规律实行证明. 举例 再举几个这样的运算例子. 注：让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表 来汇报. 验证 公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透

平方差公式因式分解练习题)

因式分解练习题 （平方差公式） 姓名班级 1. x2－16 （2）－x2+y2 > （3）64－a2 （4）4x2－9y2 （5）36－25x2 } （6）16a2－9b2 （7）4 9m2－ " （8）(x＋p)2－(x＋q)2（9）16(m－n)2－9(m＋n)2（10）9x2－(x－2y) 2 [ （11）4a2－16 （12）a5－a3 （13）x4－y4 ） （14）32a3－50ab2 (15)36 492- c （ 16） 256 9 4 2n m - (17)9 25 .02 2+ -m a \ (18) n x2 4-

(19)1)(2 -+b a 22 94)20(y x - — 2 2 1681.0)21(b a - 22 01.09 4)22(-m (4) 2 3)1(28+-a a a … (5) ()2 2 4a c b +-- （6）44161b a - （ （7）()()2 2 23n m n m --+ (8)()2 24y x z +- (9) ()()2 2 254y x y x +-- ~ (10)()()2 2c b a c b a -+-++ (11)()()b a b a +-+43 36－25x 2 16a 2－9b 2 （ 29a - 3x x - 2249a b - 2422516a y b -+ — 3375a a -

39a b ab - 44x y - （1） 36－x 2 ： （2） a 2－91 b 2 （3） x 2－16y 2 （4） x 2y 2－z 2 （5） (x+2)2－9 ] （6）(x+a)2－(y+b)2 （7） 25(a+b)2－4(a －b)2 （8） (x+y)2－(x －y)2 ) （9）22 ()()a b c a b c ++-+- （10）2 2(2)16(1)a a -++- （1）a 2-144b 2 （2）πR 2-πr 2 （3）-x 4+x 2y 2 。 （4） 16x 2-25y 2 （5） (a+m)2-(a+n)2 （6） 75a 3b 5-25a 2b 4 （7）3（a+b ）2-27c 2

14.2.1平方差公式教案

14.2.1平方差公式 【学习目标】 知识与技能目标：1.会识别平方差公式的形式； 2.掌握平方差公式的运算法则和推导过程. 过程与方法目标：通过观察、猜想、证明理解平方差公式的产生，体会从特殊到一般的思想方法. 情感态度与价值观：培养学生自主学习推导的能力，感受数学来源于生活用于生活. 【学习重难点】 重点：掌握平方差公式的推导过程和运算法则. 难点：平方差公式的应用. 【教学教法】 【教学过程】 一、问题引入 1.多项式乘多项式的法则是什么？ 生：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 2.世界飞人“博尔特”（国籍：牙买加）短跑中速度为9.6m/s，跑了10.4s之后，跑了多少米？杨老师看后,很快得出答案是99.84m，你能很快的得出答案吗？ 师：这就是我们今天学习的平方差公式（引出课题，板书课题），想要拥有这样的神技能，那就跟着老师一起来探索数学的奥秘吧！ 二、探索新知 活动一：发现平方差公式 师：翻到导学案，请修改预习检测部分（第三张ppt），第一个式子等于多少？下面的呢？ 生：.... 师：观察上述算式，等号左边有什么规律？观察计算结果, 你又发现了什么规律？（小组讨论） 生：等号左边是两个数的和与两个数的差的积，等号的右边是两个数的平方差. 师：不错，大家都拥有一双犀利的眼睛，你能用字母表示出来吗？你们说，我写. （板书：(a+b)(a-b)=a2-b2） 师：对于这个小小的发现，请你用所学的多项式乘多项式的法则给予证明！ 代数证明：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,（生在草稿本上证明，师ppt展示）师：那么从几何的角度怎么理解呢？ 边长为a的正方形板缺了一个边长为b的正方形角，经裁剪后拼成了一个长方形. （1）你能分别表示出裁剪前后的的纸板的面积吗？ （2）你能得到怎样的一个结论？ 师：如何将这个图形拼成长方形？ 生：....

因式分解(公式法之完全平方公式与平方差公式)

因式分解基础习题 （公式法） 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.24x - 2.2 9y - 3.21a - 4.224x y - 5.2125b - 6.222 x y z - 7.2240.019m b - 8.2219 a x - 9.2236m n - 10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q - 13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1.22()()x p x q +-+ 2. 22 (32)()m n m n +-- 3.2216()9()a b a b --+ 4.22 9()4()x y x y --+ 5.22()()a b c a b c ++-+- 6.22 4()a b c -+ 题型(三)：把下列各式分解因式 1.53x x - 2.22 4ax ay - 3.322ab ab -

4.316x x - 5.2433ax ay - 6.2 (25)4(52)x x x -+- 7.324x xy - 8.343 322x y x - 9.4416ma mb - 10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+ 12.2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2.计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷222221 1111(1)(1)(1)(1)(1) 234910---???-- 专题训练二：利用完全平方公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.221x x ++ 2.2441a a ++ 3. 2169y y -+ 4.2 14m m ++ 5. 221x x -+ 6.2816a a -+