华南农业大学 离散数学 期末考试2012试卷 2013-01-08
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）
2012-2013学年第 一 学期 考试科目： 离散结构 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业
①本试题分为试卷与答卷2部分。试卷有四大题，共6页。 ②所有解答必须写在答卷上，写在试卷上不得分。
一、选择题（本大题共 25 小题，每小题 2 分，共 50 分）
1、矛盾式的否定是______。
A 、重言式
B 、矛盾式
C 、可满足式
D 、 A-C 均有可能 2、个体域为全体人类，),(y x B ：y 是x 的最好朋友；则命题“每个人恰有一个最好的朋友。”可表示为______。
A 、)),((y x
B y x ?? B 、)),((y x B y x ??
C 、)),()(),((z x B y z y x B
z y x ?∧≠∧??? D 、))),()((),((z x B z y y x B z y x ?→≠∧???
3、甲乙丙丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色。在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白色的”。乙说：“丙的车是红色的”。丙说：“丁的车不是蓝色的”。丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是真话”。如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是：
A 、甲的车是白色的，乙的车是银色的
B 、乙的车是蓝色的，丙的车是红色的
C 、丙的车是白色的，丁的车是蓝色的
D 、丁的车是银色的，甲的车是红色的
4、甲、乙和丙，一位是山东人，一位是河南人，一位是湖北人。现在只知道：丙比湖北人的年龄大，甲和河南人不同岁，河南人比乙年龄小。由此可以推知下列说法正确的是______。
A 、甲不是湖北人
B 、河南人比甲年龄小
C 、河南人比山东人年龄大
D 、湖北人年龄最小
5、某市要建花园或修池塘，有下列4种假设：修了池塘要架桥；架了桥就不能建花园；建花园必须植树；植树必须架桥。据此不可能推出的是：
A 、最后有池塘
B 、最后一定有桥
C 、最后可能有花园
D 、池塘和花园不能同时存在 6、设 p :他主修计算机科学, q :他是新生，r:他可以从校园内访问因特网，下列命题“除非他主修计算机科学，否则只要他是新生就不可以从校园内访问因特网。”可以符号化为______。D
A 、r q p →?∧?
B 、r q p ∧→
C 、r q p →?∧
D 、r q p ?→∧? 7、下列说法不正确的是：______。
A 、R 是自反的，则2R 一定是自反的
B 、R 是反自反的，则2R 一定是反自反的
C 、R 是对称的，则2R 一定是对称的
D 、R 是传递的，则2R 一定是传递的 8、下列关于关系的等式不成立的是______。
A 、)()(H G F H G F =
B 、111)(---=G F G F
C 、)()()(H G H F H G F ?
D 、)()()(H G H F H G F =
9、设}10,...,
3,2,1{=A ，定义A 上的关系}10,|,{=+∧∈><=y x S y x y x R ，则R 具有的性质为______。
A 、自反的
B 、对称的
C 、传递的，对称的
D 、传递的 10、设R 和S 定义在P 上，P 是所有人的集合，=R {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的
父亲}，=S {x P y x y x ∧∈><,|,是y 的母亲}，则关系{y P y x y x ∧∈><,|,是的x 外祖母}的表达式是：______。
A 、S S 1-
B 、S R
C 、11--S S
D 、R S 11、在5元素集合上有______个不同的等价关系恰有3个不同的等价类。
A 、25
B 、21
C 、 10
D 、6
12、设}1,0{=S ，F 是S 中的字符构成的长度不超过4的串的集合，即
}1111,...,01,00,1,0,{λ=F ，其中λ表示空串，在F 上定义偏序关系R ：F y x ∈?,，x R y x ?>∈<,是y 的前缀，则> A 、λ B 、0 C 、λ,1,0 D 、不存在 13、设}0|{>∧∈=+x Z x x Z ，*表示求两个数的最小公倍数的运算，则对于*运算的幺元是______。 A 、0 B 、1 C 、 任意值 D 、不存在 14、设R 是实数集合，“?”为普通乘法，则代数系统 A 、群 B 、阿贝尔群 C 、半群 D 、含幺半群 15、非同构的无向的4阶自补图有______个。 A 、0 B 、1 C 、 2 D 、3 16、在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点，则该树有______个4度结点。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 17、设>⊕<,6Z 是代数系统，}5,4,3,2,1,0{6=Z ，⊕为模6加法运算，则2-5= _____。 A 、10 B 、1/10 C 、4 D 、2 18、给定下列各序列，可以构成无向简单图的度数序列为______。 A、1,1,2,2,3 B、1,1,2,3,3 C、0,1,1,3,3 D、1,3,4,4,5 19、具有6 个顶点，12条边的连通简单平面图中，次数为3的面有______个。 A、5 B、6 C、7 D、8 20、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“?”的哈斯图为_______。 A、B、C、D、 21、以下无向图中，不是二部图的是_____。 C 22、下图中既不是欧拉图，也不是哈密尔顿图的是_______。 、D 23、以下无向图中，不是平面图的是_____。 24、由0、1、2、3这四个数字能构成_____个3位数。 A、64 B、48 C、24 D、18 25、四个人比赛，名次允许并列，则有______种比赛结果。 A、256 B、72 C、75 D、24 二、计算题：（本大题共 5 个小题，每题 5 分，共 25 分） 1、设A={1, 2, 3, 4}，R={ 2、设有7个字母在通信中出现的频率(%)如下： a: 35% b: 20%, c: 15%, d: 10%, e: 10%, f: 5%, g: 5% (1)以频率(或乘100)为权，求最优2元树。（3分） (2)利用所求最优2元树找出每个字母的前缀码。（2分） 3、如下图所示的赋权图表示某七个城市721,,,V V V ，及预先算出它们之间直接通信线路造价(以百万元为单位)，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小，并计算出最小造价。 4、通过并行的执行某些语句，计算机程序可以执行得更快。语句与前面语句的相关性可以表示成有向图，用顶点表示每条语句，请画出语句执行顺序图。例如s2一定在s1后才能执行，就画一条由s1指向s2的有向边。 s1: x=0 s2: x=x+1 s3: y=2 s4: z=y s5: x=x+2 s6: y=x+z s7: z=4 5、求下面带权图中a 到其它顶点的最短路径及对应的权。 三、证明题：（6+5+5+5，共 21 分） 1、构造下面推理的证明。 前提：)(s q p →→，q ，r p ?∨ a z 5 5 结论：s r → 2、证明一个关系R 的对称闭包的自反闭包和它的自反闭包的对称闭包是相同的，即 ))(())((R r s R s r =， 其中)(R r ，)(R s 分别表示关系R 的自反闭包和传递闭包。 3、设n 阶m 条边的无向图G 中，1+=n m ，证明G 中存在顶点v ：)(v d ≥3。 4、若>*<,G 是群，G u ∈，定义G 中的运算“?”为：b u a b a **=?-1，对G b a ∈?, 证明>?<,G 为含幺半群。 四、应用题（共4分，任选一题，多选不加分） 1、一个商人骑一头驴要穿越1000公里长的沙漠，去卖3000根胡萝卜。已知驴一次性可驮1000根胡萝卜，但每走1公里又要吃掉1根胡萝卜。问：商人最多可卖出多少胡萝卜？(4分) 2、一个多米诺骨牌是一个由两个正方体组成的长方体，每个正方体上用数字0，1，…，6标注，一套多米诺骨牌如下图所示。一个多米诺骨牌的两个正方体上可以有相同的数字，请说明一套多米诺骨牌可以放在一个回路里，并且相邻两张骨牌连接处数字相同。(4分) 解： （1）R 的集合表达式： }2,4,1,4,1,3{><><><=R R 的关系图： R 的关系矩阵: （2）R 的自反闭包r(R)关系图： 对称闭包s(R)关系图： 传递闭包t(R)关系图： 解：首先将各边的权重按小到大排序：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 然后使用避圈法得到如下最小生成树，其总权重为1+2+4+6+8+10=31 华南农业大学期末考试参考答案（A 卷） 2012-2013学年第 一 学期 考试科目： 离散结构 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 ????? ???????00 11 000100000000 一、选择题（本大题共 25 小题，每小题 2 分，共 50 分） 二、计算题：（本大题共 5 个小题，每题 5 分，共 25 分） 1、解： （1）R 的集合表达式： }2,4,1,4,1,3{><><><=R R 的关系图： R 的关系矩阵: （2）R 的自反闭包r(R)关系图： 对称闭包s(R)关系图： 传递闭包t(R)关系图： 2、 解：(1)用Huffman 算法求以频率(乘以100)为权的最优2元树. 将权按小到大顺序 ????? ???????00 11 000100000000 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4 排列： w g =5,w f =5,w e =10,w d =10,w c =15,w b =20,w a =35.得到如下最优2元树： (2)如上图所示，得到各字母的前缀码：a:11,b:01,c:101,d:100,e:001,f:0001,g:0000 总权重W(T)＝255 3、解：首先将各边的权重按小到大排序：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 然后使用避圈法得到如下最小生成树，其总权重为1+2+4+6+8+10=31 4、 5、 w g =5 w f =5 10 w e =10 20 w d =10 w c =15 25 w b =20 40 w a =35 60 100 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 三、证明题：（6+5+5+5，共 21 分） 1、证明：①r （前提引入） ②r p ?∨ （前提） ③p （①②析取三段论） ④)(s q p →→ （前提） ⑤)(s q → （③④假言推理） ⑥q （前提） ⑦ s （⑤⑥假言推理） 2、证明：对于任意A 上关系R 来说，都有A I R R r ?=)(，1 )(-?=R R R s 左边=)(1 -?R R r A I R R ??=-)(1 右边=)(A I R s ?=1 ) ()(-???A A I R I R 11)()(--???=R I I R A A =1)(-???R I I R A A A I R R ??=-)(1=左边 3、证：用反证法，假设不存在顶点度数大于等于3，则2)(),(≤∈?v d G V v 均有，由 握手定理有： n v d n n m i 2)(22)1(22≤=+=+=∑，矛盾！所以G 中存在顶点v ：d(v)≥3 4、证明： (1)△封闭性：对?a,b ∈G a △b=a*u -1* b ∈G (利用*封闭性) (2) △结合律： ?a,b, c ∈G (a △b)△c=(a*u -1*b)△c= a*u -1*b*u -1*c a △(b △c)=a △(b*u -1*c) = a*u -1*b*u -1*c 所以(a △b)△c= a △(b △c) (3)设二元运算*的单位元为e 设二元运算△的左右单位元为e l ,e r ： ?x ∈G:x △e r =x ?x*u -1*e r =x ?u -1*e r =e ?e r =u ?x ∈G:e l △x=x ?e l *u -1*x=x ?e l *u -1=e ?e l =u 由单位元唯一性定理：二元运算△的单位元u 四、应用题（共4分，任选一题，多选不加分） 1、解：3000根胡萝卜变成2000根胡萝卜，需要转运三次，两次返回，消耗1000根胡罗卜，所以骆驼走了200公里，即第二次起运点在出发后200公里，此时只有2000根胡萝卜，需要转运2次，一次返回，消耗1000根胡萝卜，第二次共行进1000/3公里，此时仅1000根胡萝卜可直接运输出沙漠，需要消耗1000-200-1000/3根胡萝卜，所以剩余胡萝卜为： 1000-（1000-200-1000/3）=200+1000/3≈533根 2、解：用一个图G 来描述这个问题。图G 有7个顶点，分别用0，1，2,…,6来标注。边代表多米诺骨牌：在每一对不同的定点之间存在一条边，每个顶点上有一个回路。注意到G 是连通的。现在不同的多米诺骨牌可以放在一个回路里，并且相邻的立方体有不同的数字当且仅当G 中存在一个欧拉回路。由于每个顶点的度数是8，所以每个顶点有偶数度。根据欧拉图判定定理，G 中存在一个欧拉回路。因此，不同的多米诺骨牌可以当在一个回路里，并且相邻的立方体有不同的数字。 离散数学考试试题（A 卷及答案） 一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))的主析取范式 解：(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) ?0M ∧1M ?2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P ∧Q 乙：?Q ∧P 丙：?Q ∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P ，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为： ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?' R 。则sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。 最新离散数学期末考试试卷(A卷) 一、判断题：（每题2分，共10分） （1） （1） （2）对任意的命题公式，若，则 （0） （3）设是集合上的等价关系，是由诱导的上的等价关系，则. （1） （4）任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等价. （0） （5）设是上的关系，分别表示的对称和传递闭包，则 （0） 二、填空题：（每题2分，共10分） (１) 空集的幂集的幂集为（）. (２) 写出的对偶式（）. （３）设是我校本科生全体构成的集合，两位同学等价当且仅当他们在 同一个班，则等价类的个数为（），同学小王所在 的等价类为（）. （４）设是上的关系，则满足下列性质的哪几条：自反的，对称的，传递的，反自反的，反对称的. （） (5)写出命题公式的两种等价公式( ）. 三、用命题公式符号化下列命题（１）（２）（３），用谓词公式符号化下列命题（４）（５）（６）.（12分） （１）（１）仅当今晚有时间，我去看电影. （２）（２）假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书. （3）你能通你能通过考试，除非你不复习. （４）（４）并非发光的都是金子. （５）（５）有些男同志，既是教练员，又是国家选手. （６）（６）有一个数比任何数都大. 四、设，给定上的两个关系和分别是 （１）（１）写出和的关系矩阵.（２）求及（1２分） 五、求的主析取范式和主合取范式.（１０分） 六、设是到的关系，是到的关系，证明：（8分） 七、设是一个等价关系，设对某一个，有 ，证明： 也是一个等价关系.（10分） 八、（1０分）用命题推理理论来论证 下述推证是否有效？ 甲、乙、丙、丁四人参加比赛，如果甲获胜，则乙失败；如果丙获胜，则乙也获 胜，如果甲不获胜，则丁不失败.所以，如果丙获胜，则丁不失败. 九、（１０分） 用谓词推理理论来论证下述推证. 任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车，每一个人或喜欢乘汽车，或喜欢骑 自行车（可能这两种都喜欢）.有的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行 (论 域是人). 十、(8分) 利用命题公式求解下列问题. 甲、乙、丙、丁四人参加考试后，有人问他们，谁的成绩最好， 甲说：“不是我，”乙说：“是丁，”丙说：“是乙，” 丁说：“不是我.” 四人的回答只有一人符合实际，问若只有一人成绩最 好，是谁？ 离散数学期末考试试卷答案(A 卷) 一、判断题：（每题2分，共10分） （1）}}{{}{x x x -∈ （ ∨） (2) 对任意的命题公式C B A ,,， 若 C B C A ∧?∧， 则B A ? ( ? ) （3）设R 是集合A 上的等价关系， L 是由R A 诱导的A 上的等价关系，则 L R =. ( ∨ ) （4） 任意一个命题公式都与某一个只含合取和析取两种联结词的命题公式等价. （ ? ） （5）设R 是A 上的关系，)(),(R t R s 分别表示R 的对称和传递闭包，则 )()(R st R ts ? （ ? ） 二、填空题：（每题2分，共10分） (１) 空集的幂集的幂集为 ( }},{{φφ). (２) 写出)()(R P Q P →∧∨的对偶式（ )()(R P Q P ∧?∨∧ ）. （３）设A 是我校本科生全体构成的集合，两位同学等价当且仅当他们在 同一个班，则等价类的个数为（我校本科生的班级数 ），同学小王所在 的等价类为（小王所在的班的集合）. （４）设},,,{},,,{><><==3121321R A 是A 上的关系，则R 满足下列性质的哪 几条：自反的，对称的，传递的，反自反的，反对称的. （ 传递的，反自反的，反对称的 ） (5)写出命题公式Q P ?的两种等价公式 ( )()()()(P Q Q P P Q Q P ∨?∧∨?→∧→）. 三、用命题公式符号化下列命题（１）（２）（３），用谓词公式符号化下列命题 （４）（５）（６）.（12分） （３）（１）仅当今晚有时间，我去看电影. 离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ). 《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???. 2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？ 《离散数学》期末考试题(B) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为 ( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二、单选题(每小题3分，共15分) 1.设R 是集合A 上的偏序关系，1-R 是R 的逆关系，则1 -?R R 是A 上的 (A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上结论都不成立 2.由2个命题变元p 和q 组成的不等值的命题公式的个数有 (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 3.设p 是素数且n 是正整数，则任意有限域的元素个数为 (A)n p + (B)pn (C)n p (D)p n 4.设R 是实数集合，≤是其上的小于等于关系，则(R, ≤)是 (A)有界格 (B)分配格 (C)有补格 (D)布尔格 5.3阶完全无向图3K 的不同构的生成子图有 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”. 1.若一个元素a 既存在左逆元l a ，又存在右逆元r a ，则r l a a =. ( ) 2.命题联结词→不满足结合律. ( ) 3.在Z 8 = {0，1，2，3，4，5，6，7}中，2关于“?8”的逆元为 4. ( ) 4.整环不一定是域. ( ) 安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《离散数学（上）》考试试卷（A 卷） （时间120分钟） 院/系 专业 姓名 学号 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 一、单选题（每小题2分，共20分） 1. 设A={a,b,c}，A 上二元关系R={〈a,a 〉，〈b,b 〉,〈a,c 〉}，则关系R 的对称闭包S(R)是( ) A.R ∪I A B.R C.R ∪{〈c,a 〉} D.R ∩I A 2. 设X={a,b,c},I x 是X 上恒等关系，要使I x ∪{〈a,b 〉，〈b,c 〉，〈c,a 〉，〈b,a 〉}∪R 为X 上的等 价关系，R 应取( ) A. ｛〈c,a 〉，〈a,c 〉｝ B.{〈c,b 〉，〈b,a 〉} C. {〈c,a 〉，〈b,a 〉} D.{〈a,c 〉，〈c,b 〉} 3. 下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 4. 设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x 离散数学试题(Ｂ卷答案１） 一、证明题(10分） 1）(P∧（Ｑ∧Ｒ）)∨(Q∧R）∨（Ｐ∧R)R 证明: 左端(P∧Q∧Ｒ）∨((Q∨P）∧R) ((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((Ｐ∨Ｑ）∧R）∨((Ｑ∨P)∧Ｒ) (（P∨Q）∨（Ｑ∨P))∧Ｒ （(P∨Ｑ)∨(Ｐ∨Q))∧R T∧Ｒ(置换)Ｒ 2) x (A(x)B(ｘ）)xA(x)xＢ(ｘ) 证明：x(A(ｘ)B(x))x(Ａ(ｘ)∨B(x)） x A(ｘ)∨xB（ｘ) xA(x)∨xB(x） xＡ(x)xB(x) 二、求命题公式(P∨（Q∧R)）(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分）。 证明：(P∨（Q∧R))(P∧Q∧R)（P∨(Q∧R)）∨(P∧Q∧R)) (P∧(Q∨Ｒ))∨（P∧Q∧Ｒ） （Ｐ∧Q)∨（P∧R)）∨(P∧Q∧R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧Ｒ)∨(P∧Q∧Ｒ))∨(P∧Ｑ∧R）)∨(Ｐ∧Q∧R） m0∨ｍ1∨m２∨ｍ７ Ｍ３∨M４∨Ｍ５∨M6 三、推理证明题（１0分) 1）Ｃ∨D，（C∨D)E, E(A∧B)，(A∧Ｂ)(R∨S)R∨Ｓ证明：(１） (C∨D) E ?P (2) E（A∧Ｂ) ??P （3) (Ｃ∨D）（A∧B) Ｔ（1）(2），I (4) （A∧B)(R∨S）??P (5) (Ｃ∨D)(Ｒ∨S) ? T(3)(4)，I (6） C∨Ｄ P (7) R∨S T(5)，I 2) x(P(ｘ)Ｑ(y)∧R(ｘ)），xＰ(ｘ)Q（y)∧x(Ｐ(x)∧R(x)) 证明(1)ｘP(x) Ｐ （2)Ｐ(ａ） T(1），ＥS (3)ｘ（P(x)Q（y)∧R(x）) Ｐ (４)P(a)Q（y)∧R(a） T(3)，ＵS (５)Q（ｙ)∧R(a） T(2)（4），I （6）Q(y) Ｔ(５)，I （7)R(ａ) T(5),I (8)P(a)∧Ｒ（ａ) T(2)(7),I （9)x(Ｐ(x）∧R(x)) Ｔ(8),ＥG (10)Q(ｙ)∧x(P(x)∧R(ｘ)) Ｔ(６）(9)，I 四、某班有２5名学生,其中14人会打篮球,１2人会打排球，6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球,求不会打这三种球的人数(10分)。 解：A，B,C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则｜A|=1２，|Ｂ|＝6,｜Ｃ|=14，｜A∩C|=6，｜B∩C｜=5，|Ａ∩Ｂ∩C｜=２。 先求|A∩B|。 ∵6＝|（Ａ∪C)∩B|=|（A∩B）∪（Ｂ∩C)|=|（A∩B）|＋|（B∩C）｜-|A∩B∩C|=|(Ａ∩B)|+5-２，∴|(A∩B）|=３。 于是|A∪Ｂ∪C｜=12+6+14-6-5－３＋２=20。不会打这三种球的人数25-20=5。五、已知Ａ、B、Ｃ是三个集合,证明A-(B∪Ｃ)=(A-B)∩(Ａ-C）(10分)。 证明：∵x A-（B∪C） x A∧x（B∪C） xＡ∧(xＢ∧x C） （x A∧x B）∧(x A∧ｘC） x（A-B）∧x(Ａ-C） ｘ（Ａ-Ｂ）∩(A-C） ∴Ａ-（B∪Ｃ)=（Ａ－B）∩(A－Ｃ） 六、已知R、S是Ｎ上的关系,其定义如下：R={ 离散数学试题(B卷答案1） 一、证明题（10分） 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R) ?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R ?T∧R(置换)?R 2) ?x (A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明：?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x)) ??x?A(x)∨?xB(x) ???xA(x)∨?xB(x) ??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。 证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?（?P∧(?Q∨?R)）∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题（10分） 1）C∨D， (C∨D)→?E，?E→(A∧?B)， (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明：(1) (C∨D)→?E P (2) ?E→(A∧?B) P (3) (C∨D)→(A∧?B) T(1)(2)，I (4) (A∧?B)→(R∨S) P (5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4)， I (6) C∨D P (7) R∨S T(5)，I 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明(1)?xP(x) P 一．判断题（共10小题，每题1分，共10分） 在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误： 1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ? p ( ) 2．?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3．初级回路一定是简单回路。( ) 4．自然映射是双射。( ) 5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6．群的运算是可交换的。( ) 7．自然数集关于数的加法和乘法 列为。 19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20．7阶圈的点色数是。 三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分） 21．求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。 23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A?{ 《离散数学》期末考试试题 一、 填空题（每空2分，合计20分） 1. 设个体域为{2,3,6}D =-, ():3F x x ≤，():0G x x >。则在此解释下公式 ()(()())x F x G x ?∧的真值为______。 2. 设:p 我是大学生，:q 我喜欢数学。命题“我是喜欢数学的大学生”为可符合化 为 。 3. 设{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B -=________，A B ⊕=________。 4. 合式公式()Q P P ?→∧是永______式。 5. 给定集合{1,2,3,4,5}A =，在集合A 上定义两种关系： {1,3,3,4,2,2}R =<><><>, {4,2,3,1,2,3}S =<><><>， 则_______________S R =ο，_______________R S =ο。 6. 设e 是群G 上的幺元，若a G ∈且2a e =,则1a -=____ , 2a -=__________。 7． 公式))(()(S Q P Q P ?∧?∨∧∨?的对偶公式为 。 8. 设{2,3,6,12}A =, p 是A 上的整除关系，则偏序集,A <>p 的最大元是________，极小元是_ _。 9. 一棵有6个叶结点的完全二叉树，有_____个内点；而若一棵树有2个结点度数为2，一 个结点度数为3，3个结点度数为4，其余是叶结点，则该树有_____个叶结点。 10. 设图,G V E =<>, 1234{v ,v ,v ,v }V =，若G 的邻接矩阵????????????=0001001111011010A ，则1()deg v -=________, 4()deg v +=____________。 二、选择题（每题2分，合计20分） 1．下列各式中哪个不成立（ ）。 A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨? ； B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?； C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∧??∧?； D 、Q x xP Q x P x ∧??∧?)())((。 安徽大学2006-2007学年第1学期 《离散数学》期末考试试卷（A卷） （时间120分钟） 开课院（系、部）姓名学号. 一、选择题（每小题2分，共20分）1．下列语句中，哪个是真命题（）A、 4 2= + x； B、我们要努力学习； C、如果ab为奇数，那么a是奇数，或b是偶数； D、如果时间流逝不止，你就可以长生不老。 2．下列命题公式中，永真式的是（） A、P Q P→ →) (； B、P P Q∧ → ?) (； C、Q P P? ? ∧) (； D、) (Q P P∨ →。3．在谓词逻辑中，令) (x F表示x是火车；) (y G表示y是汽车；) , (y x L表示x比y快。 命题“并不是所有的火车比所有的汽车快”的符号表示中哪些是正确的（） I.)),()()((y x L y G x F y x →∧??? II.)),()()((y x L y G x F y x ?∧∧?? III. )),()()((y x L y G x F y x ?→∧?? A 、仅I ； B 、仅III ； C 、I 和II ； D 、都不对。 4．下列结论正确的是：（ ） A 、若C A B A =，则 C B =； B 、若B A B A ?，则B A =； C 、若C A B A =，则C B =； D 、若B A ?且D C ?，则D B C A ?。 5．设φ=1A ，}{2φ=A ，})({3φρ=A ，)(4φρ=A ，以下命题为假的是（ ） A 、42A A ∈； B 、31A A ?； C 、24A A ?； D 、34A A ∈。 6．设R 是集合},,,{d c b a A =上的二元关系， },,,,,,,,,,,{><><><><><><=b d d b a c c a a d d a R 。下列哪些命题为真（ ） I.R R ?是对称的 II. R R ?是自反的 III. R R ?不是传递的 A 、仅I ； B 、仅II ； C 、I 和II ； D 、全真。 离散数学-期末考试卷-A卷 东莞理工学院城市学院（本科）试卷（A卷） 2013-2014学年第一学期 开课单位：计算机与信息科学系，考试形式：闭卷，允许带入场 科目：离散数学，班级：软工本2012-1、2、3 姓名：学号： 题序一二三四总分 得分 A评 卷人 一、单项选择题（每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，错选、多选或未选均无分。 1. 下述不是命题的是( ) A. 做人真难啊! B. 后天是阴天。 C. 2是偶数。 D. 地球是方的。 2. 命题公式P→(P∨Q∨R)是( ) A. 永假的 B. 永真的 C. 可满足的 D. 析取范式 3. 命题公式﹁B→﹁A等价于( ) A. ﹁A∨﹁ B B. ﹁(A∨B) C. ﹁A∧﹁ B D. A→B 4．设P：他聪明，Q：他用功，命题“他虽聪明但不用功”的符号化正确的是（）A．?P∧Q B．P∧?Q C．P→?Q D．P∨?Q 5．设A（x）:x是人，B（x）：x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（）A．?x(A(x))∧B(x) B．??x( A(x)→?B(x) ) C．??x( A(x)∧B(X)) D．??x( A(x)∧?B(x) ) 6. 设有A={a,b,c}上的关系R={ 7. 设A={1,2,3,4,5,6},B={a,b,c,d,e}，以下哪一个关系是从A到B的满射函数( ) A. f={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,d>,<5,e>} B. f={<1,e>,<2,d>,<3,c>,<4,b>,<5,a>,<6,e>} C. f={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,a>,<5,b>,<6,c>} D. f={<1,a>,<2,b>,<3,c>,<4,d>,<5,e>,<1,b>} 8．设简单图G所有结点的度数之和为10，则G一定有（） A．3条边B．4条边C．5条边 D．6条边 9．下列不．一定是树的是（） A．每对结点之间都有通路的图 B．有n个结点，n-1条边的连通图 C．无回路的连通图D．连通但删去一条边则不连通的图 10．下列各图中既是欧拉图，又是哈密顿图的是（） 离散数学期末试卷(A) XXXX大学XX学院2007 ～2008学年第一学期《离散数学》期末试卷年级专业题号得分适用年级专业：2006级软件工程专业试卷说明：闭卷考试，考试时间120分钟一、单项选择题1．下列语句中只有不是命题。C A．今年元旦会下雪。B．1+1=10。C．嫦娥一号太棒了！D．嫦娥奔月的神话已成为现实。2．p?q 的主合取范式是。 B A．(p?q)?(p??q)B．(p??q)?(?p?q) C．(p?q)?(?p??q)D．(p?q)?(?p?q) 3．与p? q等值的命题公式是。D A．?p?q B．p??q C．p??q D．?p?q 4．在一阶逻辑中使用的量词只有个。B A．1B．2 C．3D．4 5．??xA(x)?。C A．??xA(x) B．?x?A(x) C．?x?A(x) D．?xA(x) 6．若|A|=4，则|P(A)|=。 C A．4B．8C．16 D．64 7．设A、B、C为任意集合，集合的对称差运算不具有的性质是。 D A．A?B = B?A B．(A?B)?C = B?(A?C) 班级学号一二三姓名____________ 四总分C．A?A = ?D．A?A = A 8．二元关系是。B A．两个集合的笛卡儿积B．序偶的集合C．映射的集合D．以上都不是9．下面关于函数的叙述中正确的是。D A．函数一定是满射B．函数一定是单射C．函数不是满射就单射D．函数是特殊的关系10．半群中的二元运算一定满足=。B A．交换律B．结合律C．分配律D．幂等律11．环中有个二元运算。 B A．一B．二C．三D．四12．群与独异点的区别是。 C A．满足交换律B．满足结 《离散数学》复习题 一、单项选择题（每小题2分，共20分） 1、下列命题中是命题的是（ ） A 、 7>+y x B 、雪是黑色的 C 、严禁吸烟 D 、我正在说谎 2下列命题联结词集合中,哪个不是极小全功能集( )。 A 、{,}刭 B 、{,}刳 C 、{}- D 、{,}佼 3、下列公式中哪个不是简单析取式（ ）。 A 、p B 、p q ∨ C 、()p q ?∨ D 、p q ?∨? 4、设个体域{,}A c d =，公式()()x P x x S x ?∧?在A 中消去量词后应为（ ） A ()()P x S x ∧ B (()())(()( P c P d S c S d ∧∧∨ C ()()P c S d ∧ D ()() () (P c P d S c S d ∧ ∧∨ 5、下列是命题公式p ∧(q ∨┓r)的成真指派的是( ) A.110，111，100 B.110，101，011 C.所有指派 D.无 6、下列命题中（ ）是正确的。 A. 若图G 有n 个顶点，则G 的各顶点的度和为2n; B. 无向树中任意两点之间均相互可达； C. 若有向图G 是弱连通的，则它必定也是单向连通； D. 若无向带权图G 是连通的，则其最小生成树存在且唯一。 7、正整数集合Z +的以下四个划分中，划分块最多的是（ ） A ．1π={{x }︱x ∈Z + } B ．2π= {Z + } C. 3π={12,S S },1S 为素数集，21S Z S + =- D ．3π={12,S S ,3S },i S 为Z +中元素除以3的余数 8、给定下列各图： ⑴G 1= 1 / 6 北京工业大学经管学院期末试卷 《离散数学》（A ） 学号 姓名： 成绩 一、单项选择题（每题2分，共18分） 1．令P ：今天下雪了，Q ：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不． 滑”可符号化为（ D ） A ．P→Q B ．P ∨Q C ．P ∧Q D ．P ∧Q p→q ，蕴涵式，表示假设、条件、“如果，就”。 “→”与此题无关 2. 关于命题变元P 和Q 的极大项M 1表示( C )。 书P1520，此题换作p 、q 更容易理解 A.┐P ∧Q B.┐P ∨Q p ∨┐q 01 1 M 1 ∨┐Q ∧┐Q 3.设R （x ）：x 是实数；S （）：x 小于y 。用谓词表达下述命题：不存在最小的实数。其中错误的表达式是：（ D ） 4.在论域{}中与公式（x ?）A （x ）等价的不含存在量词的公式是（ B ） A.)b (A )a (A ∧ B. )b (A )a (A ∨ C. )b (A )a (A → D. )a (A )b (A → 5．下列命题公式为重言式的是（ C ） A ．Q→（P ∧Q ） B ．P→（P ∧Q ） C ．（P ∧Q ）→P D ．（ P ∨Q ）→Q 牢记→真假条件，作为选择题可直接代入0、1，使选项出现1→0，排除。熟练的可直接看出C 不存在1→0的情况 6. 设｛1，2，3｝，｛｝，下列二元关系R 为A 到B 的函数的是( A ) A. ｛<1>,<2>,<3>｝ B. ｛<1>,<2>｝ C. ｛<1>,<1>,<2>,<3>｝ D. ｛<1>,<2>,<3>,<1>｝ 2 / 6 7.偏序关系具有性质（ D ） 背 A.自反、对称、传递 B.自反、反对称 C.反自反、对称、传递 D.自反、反对称、传递 8.设R 为实数集合，映射:,R R σ→2 ()21,x x x σ=-+-则σ 是( D ). (A) 单射而非满射 (B) 满射而非单射 (C) 双射 (D) 既不是单射也不是满射. 书P96.设函数f ：A→B （1）若，则f 是满射的【即值域为B 的全集，在本题中为R ，该二次函数有最高点，不满足】 （2）若对于任何的x 12∈A , x 1≠x 2,都有f(x 1)≠f(x 2)，则称f 是单射的【即真正一一对应，甚至不存在一个y 对应多个x 。显然，本题为二次函数，不满足】 （3）若f 既是满射的，又是单射的，则称f 是双射的【本题中两个都不满足，既不是单射也不是满射】 二、填空题（每空2分，共22分） １.设Q 为有理数集，笛卡尔集×Q ，*是S 上的二元运算，? 广东技术师范学院 模拟试题 科 目：离散数学 考试形式：闭卷 考试时间: 120 分钟 系别、班级： 姓名： 学号： 一．填空题（每小题2分，共10分） 1. 谓词公式)()(x xQ x xP ?→?的前束范式是__ ?x ?y?P(x)∨Q(y) __________。 2. 设全集{}{}{},5,2,3,2,1,5,4,3,2,1===B A E 则A ∩B =__{2}__，=A _{4,5}____， =B A __ {1,3,4,5} _____ 3. 设{}{}b a B c b a A ,,,,==，则=-)()(B A ρρ__ {{c},{a,c},{b,c},{a,b,c}} __________， =-)()(A B ρρ_____Φ_______。 4. 在代数系统（N ，+）中，其单位元是0，仅有 _1___ 有逆元。 5．如果连通平面图G 有n 个顶点，e 条边，则G 有___e+2-n ____个面。 二．选择题（每小题2分，共10分） 1. 与命题公式)(R Q P →→等价的公式是（ ） （A ）R Q P →∨)( （B ）R Q P →∧)( （C ）)(R Q P ∧→ （D ）)(R Q P ∨→ 2. 设集合{}c b a A ,,=,A 上的二元关系{}><><=b b a a R ,,,不具备关系( )性质 （A ） (A)传递性 (B)反对称性 (C)对称性 (D)自反性 3. 在图>= 离散数学试题(A卷及答案） 一、证明题（10分） 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R)?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R?T∧R(置换)?R 2)?x(A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明：?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x))??x?A(x)∨?xB(x)???xA(x)∨?xB(x)??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分） 证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?（?P∧(?Q∨?R)）∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题（10分） 1）C∨D, (C∨D)→?E, ?E→(A ∧?B), (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明：(1) (C∨D)→?E (2) ?E→(A∧?B) (3) (C∨D)→(A∧?B) (4) (A∧?B)→(R∨S) (5) (C∨D)→(R∨S) (6) C∨D (7) R∨S 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明（1）?xP(x) (2)P(a) (3)?x(P(x)→Q(y)∧R(x)) (4)P(a)→Q(y)∧R(a) (5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)?x(P(x)∧R(x)) (11)Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 四、设m是一个取定的正整数，证明：在任取m＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m的整数倍 证明设 1 a，2a，…，1+m a为任取的m＋1个整数，用m去除它们所得余数 只能是0，1，…，m－1，由抽屉原理可知， 1 a，2a，…，1+m a这m＋1个整 数中至少存在两个数 s a和t a，它们被m除所得余数相同，因此s a和t a的差是m的整数倍。 五、已知A、B、C是三个集合，证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （15分）证明∵x∈ A-（B∪C）? x∈ A∧x?（B∪C）? x∈ A∧（x?B∧x?C）?（x∈ A∧x?B）∧（x∈ A∧x?C）? x∈（A-B）∧x∈（A-C）? x∈（A-B）∩（A-C）∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C） 六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：R={离散数学期末试题
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