实验一 图像的二维离散傅立叶变换
实验一图像的二维离散傅立叶变换
一、实验目的
掌握图像的二维离散傅立叶变换以及性质
二、实验要求
1) 建立输入图像，在6464的黑色
图像矩阵的中心建立1616的
白色矩形图像点阵，形成图像文件。对输入图像进行二维傅立叶变换，
将原始图像及变换图像（三维、中心化）都显示于屏幕上。
2) 调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换，将原始图像及变换图像
（三维、中心化）都显示于屏幕上，比较变换结果。
3) 调整输入图像中白色矩形的尺寸
（4040，
44），再进行变换，将原始图
像及变换图像（三维、中心化）都显示于屏幕上，比较变换结果。
三、 实验仪器设备及软件
HP D538、MATLAB 四、 实验原理
在二维情况下，定义 f(x,y)的傅立叶变换Ｆ(u,v) ：
2()2()(,)(,)(,)(,)j ux vy j ux vy F u v f x y e dxdy f x y F u v e dudv
ππ∞∞
-+-∞-∞
∞
∞
+-∞-∞
==?
???
它表明了空间频率成分与二维图像信号之间的相互关系
对于我们要处理的实际二维图像，其傅氏变换一般是在频率域上有界的，亦即有 用成分总是落在一定的频率域范围之内 上述的频率域性质的依据在于：
一是图像中景物的复杂性具有一定的限度，其中大部分内容是变化不大的区域 完全像“雪花”点似的图像没有任何实际意义。
二是人眼对空间复杂性（频率）的分辨率以及显示器的分辨能力都是具有一定 限度。
若实变量函数f(x)是绝对可积的，即： 且F(u)是可积的，则傅立叶变换对一定存在。
(){}()()[](){}()()[]du
ux j u F x f u F dx
ux j x f u F ππ2exp 2exp ??∞∞
-∞
∞
-=
=
-
==1
-F
x f F
如果f(x)考虑为实函数，它的傅立叶变换通常是复数形式，即：
()()()u jI u R u F +=也可表为：
()()()
u j e u F u F φ=
若二变量函数f(x,y) 是绝对可积的，即： 且F(u,v)是可积的，则傅立叶变换对一定存在。
(){}()()()(){}()()()-1F f x,y ,,exp 2F ,,,exp 2F u v f
x y j ux vy F u v f
x y F u v j ux vy dudv
ππ∞
∞-∞-∞
∞
∞
-∞-∞
==-+????
==+??????
??
二维函数的傅立叶谱，振幅谱 相位谱
和能量谱分别为：
()()()[
]()()()()()()
v u I
v u R v u E v u R v u I arctg v u v u I
v u R v u F ,,,,,,,,,2
22
/12
2+=?
?
?
???=+=φ
五、 实验步骤及程序
%clear
%原始图象
f=zeros(64,64);%输入64*64的黑色图像矩阵
f(25:40,25:40)=1;%建立16*16的白色矩行图像点阵 figure(1);
subplot(231),imshow(f);
title('原始图像')%显示原图像
F=fft2(f);%傅立叶变换
subplot(232)
imshow(abs(F));title('傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像
F2=fftshift(abs(F));%频谱中心化
subplot(233);
imshow(abs(F2));title('中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图x=1:64;
y=1:64;
subplot(234);
mesh(abs(real(F)));title('三维频谱图');%显示三维频谱图
subplot(235)
mesh(x,y,F2(x,y));
title('FFT')
2、调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换后的程序
clear
%原始图象
f=zeros(64,64);%输入64*64的黑色图像矩阵
f(47:63,47:63)=1;%建立16*16的白色矩行图像点阵
figure(1);
subplot(231),imshow(f);
title('原始图像')%显示原图像
F=fft2(f);%傅立叶变换
subplot(232)
imshow(abs(F));title('傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像
F2=fftshift(abs(F));%频谱中心化
subplot(233);
imshow(abs(F2));title('中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图x=1:64;
y=1:64;
subplot(234);
mesh(abs(real(F)));title('三维频谱图');%显示三维频谱图
subplot(235)
mesh(x,y,F2(x,y));
title('FFT')
3、整输入图像中白色矩形的尺寸（4040，
44），再进行变换的程序
40×40
clear
%原始图象
f=zeros(64,64);%输入64*64的黑色图像矩阵
f(13:52,13:52)=1;%建立16*16的白色矩行图像点阵
figure(1);
subplot(231),imshow(f);
title('原始图像')%显示原图像
F=fft2(f);%傅立叶变换
subplot(232)
imshow(abs(F));title('傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像
F2=fftshift(abs(F));%频谱中心化
subplot(233);
imshow(abs(F2));title('中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图x=1:64;
y=1:64;
subplot(234);
mesh(abs(real(F)));title('三维频谱图');%显示三维频谱图
subplot(235)
mesh(x,y,F2(x,y));
title('FFT')
4×4
clear
%原始图象
f=zeros(64,64);%输入64*64的黑色图像矩阵
f(13:52,13:52)=1;%建立16*16的白色矩行图像点阵
figure(1);
subplot(231),imshow(f);
title('原始图像')%显示原图像
F=fft2(f);%傅立叶变换
subplot(232)
imshow(abs(F));title('傅里叶变换图像');%显示傅里叶变换图像
F2=fftshift(abs(F));%频谱中心化
subplot(233);
imshow(abs(F2));title('中心化傅里叶频谱图');%显示中心化傅里叶频谱图x=1:64;
y=1:64;
subplot(234);
mesh(abs(real(F)));title('三维频谱图');%显示三维频谱图
subplot(235)
mesh(x,y,F2(x,y));
title('FFT')
六、实验结果与分析
图1.1将原始图像及变换图像都显示的实验图像图1.2调整输入图像中白色矩形的位置，再进行变换后的实验图像
图1.3调整输入图像中白色矩形的尺寸
（4040），再进行变换的实验图像
幅度谱决定了一幅图像中含有的各种频率分量的多少
相位谱决定了每一种频率分量在图像中的位置。
只要每一种频率分量保持在图像中的正确位置，那么图像的完整性就能得到很好的保持，这也就是为什么在信号或图像处理中通常只对幅度谱进行处理的原因。
实验二图像的增强
一、实验目的
1) 掌握在计算机上进行直方图统计，以及直方图均衡化、线性变换的图像
增强的方法
2) 掌握在计算机上进行图象平滑、图象锐化特别是中值滤波平滑及拉普拉
斯算子锐化的方法
二、实验要求
1) 显示图像（cameraman.tif）及灰度直方图。
2) 对指定图像（cameraman.tif）进行直方图均衡化和线性变换，将原始图
像及增强后的图像都显示于屏幕上，比较增强的效果。
3) 对指定图像（lena.bmp）加入椒盐噪声，然后进行邻域平滑、中值滤波，
将原始图像及平滑后的图像都显示于屏幕上，比较效果。
4) 对指定图像（lena.bmp）进行锐化（简单梯度算法、ROBERT算子，Prewitt
边缘算子和拉普拉斯算子），将原始图像及锐化后的图像都显示于屏幕
上，比较锐化的效果。
三、实验仪器设备及软件
HP D538、MATLAB
四、实验原理
是一种逐像素点对图像进行变换增强，也称为图像的点运算（一对一变换）。
g(x,y) = T [f(x,y) ]
度变换可以选择不同的灰度变换函数，如正比函数和指数函数等。常用的灰度变换函数主要有：
线性灰度变换
分段线性灰度变换
非线性灰度变换
将输入图像（原始图像）灰度值的动态范围按线性关系公式拉伸扩展至指定范围或整个动态范围。线性拉伸采用的变换公式一般为:g(x,y)=f(x,y).C+R C、R的值由输出图像的灰度值动态范围决定。
假定原始输入图像的灰度取值范围为[fmin, fmax]，输出
图像的灰度取值范围[gmin, gmax]，其变换公式为
线性拉伸示意图
线性拉伸是将原始输入图像中的灰度值不加区别地
扩展。
而在实际应用中,为了突出图像中感兴趣的研究对象，常常要求局部扩展拉伸某一范围的灰度值，或对不同范围的灰度值进行不同的拉伸处理，即分段线性
拉伸。
分段线性拉伸是仅将某一范围的灰度值进行拉伸，而其余范围的灰度值实际上被压缩了
常用的几种分段线性拉伸的示意图 :
其对应的变换公式如下
:
给定一个二维连续函数f(x,y) ，它在点(x,y)的梯度是一个矢量，定义为：
梯度的重要特点：
A. 矢量grad[f(x,y)]指向f(x,y)的最大增长率的方向。
B. 矢量grad[f(x,y)]的幅度和方向为：
对于离散图像处理f(i,j)，常用到梯度的大小（幅度），因此把梯度的大小习惯称为“梯度”。并且一阶偏导数采用一阶差分近似表示，即
fx’ =f(i +1，j)-f(i，j) fy’=f(i，j +1)-f(i，j)
根据梯度计算式就可以计算Roberts、Prewitt和Sobel梯度。一旦梯度算出后，就可根据不同的需要生成不同的梯度增强图像。
锐化算子的模板实质上可以看做是一种高通滤波器。因此，图像锐化在增强图像边界和细节的同时，也加强了图像中的噪声。
进行图像锐化处理的图像应有较高的信噪比，否则，锐化后信噪比会更低
五、实验步骤及程序
（1）I=imread('cameraman.tif'); %读入图像
subplot(2,2,1);
imshow(I);
title('cameraman'); %显示图像，并命名为cameraman
subplot(2,2,2);
imhist(I);
title('直方图');%显示灰度直方图
subplot(2,2,3);
J=histeq(I);
imshow(J);
title('直方图均衡化');%灰度直方图均衡化
subplot(2,2,4);
K=imadjust(I,[0.4,0.6],[]); %进行线性变化
imshow(K);
title('线性变换')%显示线性变化的结果（2）I=imread('lena.bmp'); %读入图像
J=imnoise(I,'salt & pepper',0.04);
subplot(2,2,1);
imshow(I); %显示源图像
title('lena');
subplot(2,2,2);
imshow(J); %显示加入椒盐躁声的图像
title('加入椒盐躁声');
K=medfilt2(J); %对图像进行中值滤波
subplot(2,2,3);
imshow(K); %显示中值滤波后的图像
title('中值滤波');
subplot(2,2,4);
H1=ones(3)/9;
G=conv2(J,H1); %对图像进行领域平滑
imshow(G,[]); %显示领域平滑后的图形
title('邻域平滑')
（3）I = imread('lena.bmp'); %读入lena图像subplot(321)
imshow(I) %显示源图像
title('lena') %标题为lena
subplot(322)
I=double(I);
[Gx,Gy]=gradient(I);
G=sqrt(Gx.*Gx+Gy.*Gy); %利用简单梯度法进行图像锐化
O=G
imshow(O) %显示图像锐化结果
title('简单梯度算法')
subplot(323)
J=edge(I,'robert'); %利用ROBERT算子进行图像锐化
imshow(J) %显示图像锐化结果
title('ROBERT算子')
subplot(324)
K=fspecial('prewitt');
l1=filter2(K,I); %利用Prewitt边缘算子进行图像锐化
imshow(l1); %显示图像锐化结果
title('Prewitt边缘算子')
subplot(325)
M=fspecial('laplacian'); %利用拉普拉斯算子进行图像锐化l2=filter2(M,I);
imshow(l2) %显示图像锐化结果
title('拉普拉斯算子')
六、实验结果与分析
通过图像增强按特定需要突出一幅图像中的某些信息，有助于视觉理解；削弱或去除某些信息，以便于特殊应用。
利用累积分布函数作为灰度变换函数，经变换后得到的新灰度的直方图虽然不是很平坦，但毕竟比原始图像的直方图平坦的多，而且其动态范围也大大地扩展了。因此这种方法对于对比度较弱的图像进行处理是很有效的。
因为直方图是近似的概率密度函数，所以用离散灰度级作变换时很少能得到完全平坦的结果。另外，从上例中可以看出变换后的灰度级减少了，这种现象叫做“简并”现象。由于简并现象的存在，处理后的灰度级总是要减少的，这是像素灰度有限的必然结果。由于上述原因，数字图像的直方图均衡只是近似的，只是逼近于“最佳直方图”。
实验三圆形物体的图像分割与分析
一、实验目的
掌握在计算机上进行图像分割与形态学图像处理和分析的方法
二、实验要求
应用所学方法完成coins.tif图像的分割，用图像分析的方法估算整幅图像中钱币的总额。
1) 对指定图像（coins.tif）完成图像分割、将分割后的图像显示于屏幕上。
2) 对分割后图像中不同目标的尺寸（面积或半径）分布进行直方图显示。
3) 讨论你的方法的误差和局限。
4) 图像中有2元、1元、5角和1角的四种硬币，计算图像中钱币的总额。
三、实验仪器设备及软件
HP D538、MATLAB
四、实验原理
本文算法的具体步骤如下:
1) 先求出图像直方图, 然后根据上述的方法计算出t1 和t2。
2) 分别根据t1 和t2 对输入图像进行区域分割, 得到两幅
二值图像, 并对应记为f 和g。
3) 对图像g 进行如下操作:
g1 = ( ( ( g( d ) . d )m d ) n式中是先对g图像进行一次的腐蚀, 然后进行一次开启运算, 并按此操作进行m 次, 再对图像进行n次膨胀。d是结构元素, 采用的是一个半径是3个像素的小圆。经过多次实验, 发现当n = m - 1时效果比较好。
4) 求出g1 的边界得到g2, g2 中都是一些封闭的曲线, 将其中像素小于阈值c 的边界去掉, 得到g2c。可以根据一个经验公式计算得到:
c = 5 r ( r是圆半径)
5) 对图像f 进行如下的操作:
f1 = ( ( ( ( f - g2c) ( d ) . d )m d ) n式中是指将f 减去gc之后进行类似步骤( 3) 中的腐蚀、开启和膨胀等操作, 式中d 的含义也同步骤( 3)。式中的m 和n 中一样分别采用经验值3和2 ;
6) 跟踪得到的f1 的边界作为哈夫变换的输入。
图4是利用本算法的得到的圆的定位图。
五、实验步骤及程序
clear
I=imread('coins.bmp');
figure(1)
imshow(I); %显示原始图像
K=im2bw(I,graythresh(I)); %域值截取分割后图像figure(2)
imshow(K); %显示分割后图像
J=medfilt2(K);
SE=strel('disk',4);
G=imdilate(J,SE);%膨胀
D=bwdist(G); %二值图像欧式距离
L=watershed(-D); %分水岭分割
R=(L==0); %得到目标区域
Q=imerode(G,SE); %腐蚀
S=((~R)&(~Q)); %得到腐蚀后目标区域
figure(3)
imshow(S); %显示腐蚀后目标区域图像[Ilabel num]=bwlabel(S,8);
T=regionprops(Ilabel,'EquivDiameter');
U=[T.EquivDiameter]; %得到准欧式矩阵
figure(4)
hist(U,6) %得到直方图
A=length(find(U>35));
B=length(find(30 C=length(find(25 D=length(find(20 sum=A*2+B*1+C*0.5+D*0.1; 六、实验结果与分析 原始图像 阈值截取分割后图像 腐蚀处理后图像 图像直方图 从实验的结果可以看出, 用本文所阐述的方法去除高斯噪声的能力高于其他几种方法, 而且能有效保持图像原有结构。但此方法的不足之处在于运行时间较长(主要是因为EM 算法和共轭梯度算法都是迭代算法), 有待于今后进一步改进, 这也是我们下一步需要做的。 实验课程名称：数字图像处理 姓名：班级：学号： 注：1、每个实验中各项成绩按照5分制评定，实验成绩为各项总和 2、平均成绩取各项实验平均成绩 3、折合成绩按照教学大纲要求的百分比进行折合 傅里叶变换 对信号和系统的分析研究可以在时间域进行，也可以在频域进行。连续时间信号是时间变量t 的函数，连续时间系统在时间域可以用线性常系数微分方程来描述，也可以用冲激响应来描述。离散时间信号（序列）是序数n 的函数，这里n 可以看成时间参量，离散时间系统在时间域可以用线性常系数差分方程来描述，也可以用单位脉冲响应来描述。 在时间域对信号和系统进行分析研究，比较直观，物理概念清楚，但仅在时间域分析研究并不完善，有些问题研究比较困难。比如，有两个序列，从时间波形上看，一个变化快，一个变化慢，但都混有噪声，希望用滤波器将噪声滤除。从信号波形观察，时域波形变化快，意味着含有更高的频率成分，因此这两个信号的频谱结构不同，那么对滤波器的性能要求也不同。为了设计合适的滤波器，就需要将时域信号转换到频率域，得到其频谱结构，分析其特性，进而得到所要设计的滤波器的技术指标，然后才能进行滤波器的设计。 在连续时间信号与系统中，其频域方法就是拉普拉斯变换与傅里叶变换。在离散时间信号与系统中，频域分析采用z 变换与傅里叶变换作为数学工具。现在针对几种傅里叶变换的基本概念、重要特点、相互关系作详细的介绍。 傅里叶变换的几种可能形式 对傅里叶变换的几种可能形式进行总结，再进一步引出周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示。 一. 非周期连续时间信号的傅里叶变换 在“信号与系统”课程中，这一变换对为 ?∞ ∞-Ω-=Ωdt e t x j X t j a a )()( ΩΩ=?∞ ∞-Ωd e j X t x t j a a )(21)(π 这一变换对的时频域示意图(只说明关系，不表示实际的变换对)如图所示。可以看出时域上是非周期连续信号，频域上是连续非周期的频谱。 二. 周期连续时间信号的傅里叶级数及傅里叶变换表示 在“信号与系统”课程中，如果)(t x 是一个周期为T 的连续时间信号，则)(t x 可以展开成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为n X ，n X 是离散频率的非周期函数。)(t x 与n X 组成周期连续时间信号的傅里叶级数变换对为 ?-Ω-=22 1)(1T T t jn n dt e t x T X ∑∞-∞=Ω=n t jn n e X t x 1)( 这一变换对的时频域示意图如图所示。可以看出时域上是周期连续信 号，频域上是离散非周期的频谱。也就是说，周期连续信号可以分解成无穷多个谐波分量之和，其中基波频率分量为T π21= Ω。 另外，周期信号虽然不满足绝对可积条件，但在频域引入冲激函数函数后，其傅里叶变换仍可以表示。对周期信号)(t x ，其傅里叶变换)(Ωj X 表示为 ∑∞-∞=Ω-Ω=Ωn n n X j X )(2)(1δπ 三. 非周期序列的傅里叶变换 周期连续信号及其频谱 p T 1=Ω非周期连续信号及其频谱 0Ω0 在数学与信号处理的领域中，一个实数值函数的希尔伯特转换(Hilbert transform)——在此标示为——是将信号与做卷积，以得到。因此，希尔伯特转换结果可以被解读为输入是的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出，而此一系统的脉冲响应为。这是一项有用的数学， 用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope)，出现在通讯理论（应用方面的详述请见下文。） 希尔伯特转换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。 希尔伯特转换定义如下： 其中 并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在以及 等处的奇点。 另外要指出的是： 若，则可被定义，且属于；其中。频率响应 希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出： , 其中 ?是傅立叶变换， ?i (有时写作j )是虚数单位， ?是角频率，以及 ? 即为符号函数。 既然： , 希尔伯特转换会将负频率成分偏移+90°，而正频率成分偏移?90°。 反（逆）希尔伯特转换 我们也注意到：。因此将上面方程式乘上，可得到： 从中，可以看出反（逆）希尔伯特转换 傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。 ?傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。 ?傅里叶变换属于谐波分析。 ?傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。 ?正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。 XXXX大学 2012届学士学位论文 离散傅里叶变换的分析与研究 学院、专业物理与电子信息学院 电子信息工程 研究方向数字信号处理 学生姓名XX 学号 XXXXXXXXXXX 指导教师姓名XXX 指导教师职称讲师 2012年4月26日 离散傅里叶变换的分析与研究 XX 淮北师范大学物理与电子信息学院 235000 摘要离散傅里叶变换是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，是对连续时间信号频谱分析的逼近。离散傅里叶变换不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。 本文首先介绍了离散傅里叶变换的定义及性质，然后介绍了离散傅里叶变换的应用，主要包括对线性卷积的计算和对连续信号的谱分析。在理解理论的基础上，在matlab环境下实现了线性卷积和对连续信号频谱分析的仿真。仿真结果表明：当循环卷积长度大于或等于线性卷积长度时，可利用循环卷积计算线性卷积；利用DFT对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似的结果与信号带宽，采样频率和截取长度都有关。 关键词离散傅里叶变换；线性卷积；谱分析 The Analysis and Research of Discrete Fourier Transform XX School of Physics and Electronic Information, Huai Bei Normal University, Anhui Huaibei, 235000 Abstract The discrete Fourier transform is the form that the continuous Fourier transform are discrete both in the time domain and frequency domain,it is a approach to the analysis of continuous time signal spectrum . The discrete Fourier transform not only has important significance in theory, but also plays a central role in all kinds of signal processing . This paper introduced the definition and properties of the discrete Fourier transform first of all.Then introduced the application of the discrete Fourier transform, which mainly including the calculation of linear convolution and analysis of continuous signal the spectral. On the basement of understanding theory, we realized the linear convolution and analysis of continuous signal spectrum on the Matlab environment . The simulation results show that when the length of the cyclic convolution is equal to or greater than linear convolution,we can use cyclic convolution to calculate linear convolution;It is approximately use continuous DFT spectrum to analyze the frequency domain of continuous time signal, the approximation of the results is related to the signal bandwidth, sampling frequency and intercept length. Keywords The discrete Fourier transform; Linear convolution; Spectrum analysis 数字信号处理实验 实验二、离散傅立叶变换及谱分析 学院：信息工程学院 班级：电子101班 姓名：*** 学号：****** 一、实验目的 1．掌握离散傅里叶变换的计算机实现方法。 2．检验实序列傅里叶变换的性质。 3．掌握计算序列的循环卷积的方法。 4．学习用DFT对连续信号和时域离散信号进行谱分析的方法，了解可能出现的分析误差，以便在实际中正确应用DFT。 二、实验内容 1．实现序列的离散傅里叶变换并对结果进行分析。（自己选择序列，要求包括复序列，实序列，实偶序列，实奇序列，虚奇序列） 本例检验实序列的性质DFT[xec(n)]=Re[X(k)] DFT[xoc(n)]=Im[X(k)] (1)设 x(n)=10*(0.8).^n（0<=n<=10），将x(n)分解为共扼对称及共扼反对称部分 n=0:10; x=10*(0.8).^n; [xec,xoc]=circevod(x); subplot(2,1,1);stem(n,xec); title('Circular -even component') xlabel('n');ylabel('xec(n)');axis([-0.5,10.5,-1,11]) subplot(2,1,2);stem(n,xoc); title('Circular -odd component') xlabel('n');ylabel('xoc(n)');axis([-0.5,10.5,-4,4]) figure(2) X=dft(x,11); Xec=dft(xec,11); Xoc=dft(xoc,11); subplot(2,2,1);stem(n,real(X));axis([-0.5,10.5,-5,50]) title('Real{DFT[x(n)]}');xlabel('k'); subplot(2,2,2);stem(n,imag(X));axis([-0.5,10.5,-20,20]) title('Imag{DFT[x(n)]}');xlabel('k'); subplot(2,2,3);stem(n,Xec);axis([-0.5,10.5,-5,50]) title('DFT[xec(n)]');xlabel('k'); subplot(2,2,4);stem(n,imag(Xoc));axis([-0.5,10.5,-20,20]) title('DFT[xoc(n)]');xlabel('k'); 实验说明： 复数序列实数部分的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的共轭对称分量，复数序列虚数部分的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的反对称分量，复序列共轭对称分量的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的实数部分，复序列反对称分量的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶变换的虚数部分。 离散信号的变换（MATLAB 实验） 一、实验目的 掌握用Z 变换判断离散系统的稳定与否的方法，掌握离散傅立叶变换及其基本性质和特点，了解快速傅立叶变换。 二、实验内容 1、已经系统函数为 5147.13418.217.098.2250 5)(2342-++--+=z z z z z z Z H (1) 画出零极点分布图，判断系统是否稳定； (2)检查系统是否稳定； (3) 如果系统稳定，求出系统对于u(n)的稳态输出和稳定时间b=[0,0,1,5,-50];a=[2,-2.98,0.17,2.3418,-1.5147]; subplot(2,1,1);zplane(b,a);title('零极点分布图'); z=roots(a); magz=abs(z) magz = 0.9000 0.9220 0.9220 0.9900 n=[0:1000]; x=stepseq(0,0,1000); s=filter(b,a,x); subplot(2,1,2);stem(n,s);title('稳态输出'); （1）因为极点都在单位园内，所以系统是稳定的。 （2）因为根的幅值（magz ）都小于1，所以这个系统是稳定的。 （3）稳定时间为570。 2、综合运用上述命令，完成下列任务。 (1) 已知)(n x 是一个6点序列： ???≤≤=其它,050,1)(n n x 计算该序列的离散时间傅立叶变换，并绘出它们的幅度和相位。 要求：离散时间傅立叶变换在[-2π,2π]之间的两个周期内取401个等分频率上进行数值求值。 n=0:5;x=ones(1,6); k=-200:200;w=(pi/100)*k; X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k); magX=abs(X);angX=angle(X); subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);grid;title('幅度'); subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX);grid;title('相位'); (2) 已知下列序列： a. ,1000),52.0cos()48.0cos()(≤≤+=n n n n x ππ； b ．)4sin()(πn n x =是一个N ＝32的有限序列； 试绘制)(n x 及它的离散傅立叶变换 )(k X 的图像。 a ． n=[0:1:100];x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n); subplot(2,1,1);plot(n,x);title('x(n)的图像'); X=dft(x,101); magX=abs(X); subplot(2,1,2);plot(n,magX);title('丨X(k)丨的图像'); ————第四章———— 快速傅里叶变换FFT 所谓的快速算法，就是根据原始变换定义算法的运算规律及其中的某些算子的特殊性质，找出减少乘法和加法运算次数的有效途径，实现原始变换的各种高效算法。一种好的快速算法可使变换速度提高几个数量级。 由于快速算法很多，而且还在不断研究和发展。较成熟的算法都有现成的程序。所以，通过教材中介绍的四种快速算法，主要学习研究快速算法的基本思想和减少运算量的途径，熟悉各种快速算法的特点、运算效率和适用情况。为今后研究新的快速算法和合理选用快速算法打好基础。 4.1 学 习 要 点 4.1.1 直接计算N 点DFT 的运算量 对于 ()(),1 0∑-==N n kn N W n x k X 1,,1,0-=N k 复数乘法次数： 2 N M c = 复数加法次数： ()1-=N N A c 当1>>N 时，复数乘法和加法次数都接近为2 N 次，随着N 增大非线性增大。 4.1.2 减少运算量的基本途径 DFT 定义式中只有两种运算：()n x 与kn N W 的乘法相加。所以，kn N W 的特性对乘法运算 量必有影响。 （1）根据的对称性、周期性和特殊值减少乘法运算次数。 ①对称性：k N N k N W W -=+ 2 ，()k k N N W 12-=，()k N k N N W W =* - ②周期性：k N lN k N W W =+。 ③kn N W 的特殊值(无关紧要旋转因子)： 1;;124 -===±N N N N N W j W W 。对这些因子不能进行乘法运算。 （2）将较大数N 点DFT 分解为若干个小数点DFT 的组合，减少运算量。这正是FFT 能大量节省运算量的关键。 4.1.3 四种快速算法的基本思想及特点 根据上述减少运算量的途径，巧妙地在时域或频域进行不同的抽取分解与组合，得到不 快速傅里叶变换的原理及其应用 摘要 快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换. 虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。 关键词快速傅氏变换；快速算法；简化；广泛应用 Abstract Fast Fourier Transform (FFT), is a discrete fast Fourier transform algorithm, which is based on the Discrete Fourier Transform of odd and even, false, false, and other characteristics of the Discrete Fourier Transform algorithms improvements obtained. Its Fourier transform theory has not found a new, but in the computer system or the application of digital systems Discrete Fourier Transform can be said to be a big step into. Fourier transform theory and methods in the "mathematical equation" and "linear systems analysis" and "signal processing, simulation," and many other areas have a wide range of applications, as the computer can only handle a limited length of the sequence of discrete, so true On the computer's operation is a discrete Fourier transform. Fourier Although all aspects of computing in the calculation has an important role, but its calculation was too complicated, a lot of computing system for calculating the burden is too large for some Less power consumption, the slow speed of operation of its system at arm's length, however, have the fast Fourier transform, Fourier transform greatly simplifying the making, not in power at the expense of the conditions to increase the speed of computing systems, and enhance the system The comprehensive ability to improve the speed of operation, the Fast Fourier Transform in the production and life have a very important role in learning to master all have great significance. Key words Fast Fourier Transform; fast algorithm; simplified; widely used 离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换 摘要 本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。 1. 离散时间傅里叶变换 1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换 离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛n j e ω-｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中ω是实频率变量。时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换)(ωj e X 定义如下： ∑∞ -∞ =-= n n j j e n x e X ωω ][)( （1.1） 通常)(ωj e X 是实变量ω的复数函数同时也是周期为π2的周期函数，并且)(ωj e X 的幅度函数和实部是ω的偶函数，而其相位函数和虚部是ω的奇函数。这是由于： ) ()()(tan ) ()()() (sin )()()(cos )()(2 22 ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X = +=== （1.2） 由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从)(ωj e X 中算出： ωπ ωπ πω d e e X n x n j j )(21 ][?- = （1.3） 傅里叶变换在MATLZB里的应用 摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。 关键词：傅里叶变换；MA TLAB软件；信号消噪 Abstract: In modern mathematics,Fourier transform is a transform is very important ,And has been widely used in digital signal processing.This paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ;Secondly, introduces in detail the method of separation of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical Physics.Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transforming it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising. Key word: Fourier transformation, software of mat lab ,signal denoising 1、傅里叶变换的提出及发展 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的"例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。 1804年，法国科学家J-.B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究"他在题为<<热的解析理论>>一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解"在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种 【纯技术帖】为什么要进行傅立叶变换？傅立叶变换究竟有何意义？如何用Matlab实现快速傅立叶 变换？来源：胡姬的日志 写在最前面：本文是我阅读了多篇相关文章后对它们进行分析重组整合而得，内容非我所原创。在此 向多位原创作者致敬！！！ 一、傅立叶变换的由来 关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得 非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是： https://www.sodocs.net/doc/c511386727.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 二、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的 名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角 波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线， 4种傅里叶变换形式 离散傅里叶变换作为谱分析的重要手段在众多领域中广泛应用.离散傅里叶变换不仅作为有限长序列的离散频域表示法在理论上相当重要，而且由于存在计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数学信号处理的算法中起着核心作用. 连续傅里叶变换FT 当x(t)为连续时间非周期信号，而且满足傅里叶变换条件，它的傅里叶变换为X(j ?).x(t)与X(j ?)之间变换关系为傅里叶变换对： ?∞ ∞-Ω= Ωdt e t x j X t j )()( ? ∞∞-ΩΩΩ=d e j X t x t j )(21)(π 傅里叶变换的结果通常是复数形式，其模为幅度谱，其相位为相位谱.连续时间傅里叶变换的时间频域都连续. 连续傅里叶变换级数FS 当~x 是周期为T 的连续时间周期信号，在满足傅里叶级数收敛条件下，可展开成傅里叶级数，其傅里叶级数的系数为X(jk 0Ω).其中，T π20 =Ω,单位为rad/s ，称作周期信号的基波角频率，同时也是离散谱线的间隔.)(~t x 与)(0Ωjk X 之间的变换关系为傅里叶级数变换对： dt e t x T jk X T T t jk ?-Ω-=Ω2 2~00)(1)( t jk k e jk X t x 0)(21)(0Ω∞-∞=∑Ω=π 时域波形周期重复，频域幅度谱为离散谱线，离散谱线频率间隔为模拟角频率0Ω=T π2.幅度谱| )(0Ωjk X |表明连续时间周期信号是由成谐波关系的有限个或者无限个单频周期信号t jk e 0Ω组合而成， 其基波角频率为0Ω，单位为rad/s. 离散时间傅里叶变换DTDT 当x(n)为离散时间非周期信号，且满足离散时间傅里叶变换条件，其离散时间傅里叶变换为)(ωj e X .x(n)与)(ωj e X 之间变换关系为离散时间傅里叶变换对: ∑∞ ∞--=n n j j e n x e X ωω)()( #include 应用MATLAB对信号进行频谱分析及滤波 设计目的 要求学生会用MATLAB语言进行编程，绘出所求波形，并且运用FFT求对连续信号进行分析。 一、设计要求 1、用Matlab产生正弦波，矩形波，并显示各自的时域波形图； 2、进行FFT变换，显示各自频谱图，其中采样率、频率、数据长度自选，要求注明； 3、绘制三种信号的均方根图谱； 4、用IFFT回复信号，并显示恢复的正弦信号时域波形图。 二、系统原理 用FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。经常需要进行频谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N有关，因为FFT能够实现频率分辨率是2π/N。 x(n)是一个长度为M的有限长序列，则x(n)的N点离散傅立叶变换为： N?1?2?kn)(nx j?W W NN e?0?n N X(k)=DFT[x(n)]=,k=0,1,...,N-1N?11?kn?)(WXk N N0?n x(n) =IDFT[X(k)]= 逆变换：,k=0,1,...,N-1 但FFT是一种比DFT更加快速的一种算法，提高了DFT的运算速率,为数字信号处理技术应用于各种信号处理创造了条件，大大提高了数字信号处理技术的发展。本实验就是采用FFT，IFFT对信号进行谱分析。 三、程序设计 fs=input('please input the fs:');%设定采样频率 N=input('please input the N:');%设定数据长度 t=0:0.001:1; f=100;%设定正弦信号频率 %生成正弦信号 x=sin(2*pi*f*t); figure(1); subplot(211); plot(t,x);%作正弦信号的时域波形 axis([0,0.1,-1,1]); title('正弦信号时域波形'); z=square(50*t); subplot(212) plot(t,z) axis([0,1,-2,2]); title('方波信号时域波形');grid; 理解离散傅立叶变换（一） ------傅立叶变换的由来 关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是： https://www.sodocs.net/doc/c511386727.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。 一、傅立叶变换的提出 让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，否定了傅立叶的工作成果，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因怕会被推上断头台而一直在逃避。 直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。 谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。 为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷多的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。 用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真 #include 第三章离散傅里叶变换 离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。 § 3-1 引言 一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。 二.DFT是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。 傅氏变换 § 3-2 傅氏变换的几种可能形式 一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换 对称性： 时域连续，则频域非周期。 反之亦然。 二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数 时域信号 频域信号 连续的 非周期的 非周期的 连续的 t ? ∞ ∞ -Ω-= Ωdt e t x j X t j )()(:? ∞ ∞ -ΩΩ Ω= d e j X t x t j )(21 )(:π 反 *时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp 三.离散时间、连续频率的傅氏变换 --序列的傅氏变换 p T 0= Ω时域信号 频域信号 连续的 周期的 非周期的 离散的 ? -Ω-= Ω2 /2 /00)(1 )(:p p T T t jk p dt e t x T jk X 正∑ ∞ -∞ =ΩΩ= k t jk e jk X t x 0)()(:0反四种傅里叶变换
希尔伯特变换与傅立叶变换
离散傅里叶变换的分析与研究
离散傅立叶变换及谱分析
离散信号的傅里叶变换(MATLAB实验)
快速傅里叶变换FFT.
快速傅里叶变换原理及其应用
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
傅里叶变换及应用
傅里叶变换 讲解最通俗易懂的一片
傅里叶变换4种形式
fft快速傅里叶变换 c语言实现
MATLAB的离散傅里叶变换的仿真
理解离散傅立叶变换
实现快速傅里叶变换)
离散傅里叶变换
相关文档
- 四章快速傅立叶变换FastFourierTransform
- 快速傅里叶变换的原理及其应用
- 快速傅立叶变换(FFT)函数使用说明文档
- 实现快速傅里叶变换)
- 快速傅里叶变换的通俗解释
- 快速傅立叶变换的意义及应用
- 快速傅里叶变换(FFT)原理及源程序
- 快速傅里叶变换FFT.
- 快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式
- 快速傅里叶变换(FFT) 原理 介绍
- 第24章 快速傅里叶变换原理(FFT)
- 快速傅里叶变换的应用
- fft快速傅里叶变换 c语言实现
- matlab快速傅里叶变换
- 第03章-5_快速傅里叶变换(FFT)
- (完整版)快速傅里叶变换实验
- 快速傅里叶变换 _
- 快速傅里叶变换FFT算法源码经典
- (快速傅里叶变换)C语言程序
- 快速傅里叶变换的原理及其应用