13.4 课题学习 最短路径问题 解题技巧

13.4课题学习最短路径问题

技巧1建立问题模型，利用轴对称性质解决问题

1．加油站选址问题

如图(1)所示，Ox，Oy是两条公路，在两条公路夹角的内部有一油库A，现在想在两公路上分别建一个加油站，为使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，问加油站应如何选址?

(1) (2)

解析：通过作点A关于Ox，Oy的对称点，将AB，AC分别转化为A1B，A2C，再根据“两点之间线段最短”，从而使问题得到解决．

解：如图(2)所示．

(1)作点A关于Ox的对称点A1；

(2)作点A关于Oy的对称点A2；

(3)连接A1A2，交Ox于点B，交Oy于点C，连接AB，AC，BC，则B，C两点就是加油站的位置．

2．坐标系中路径最短问题

△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图(1)所示．

(1)将△ABC绕点C旋转180°后得△A1B1C1，作出旋转后的△A1B1C1；

(2)将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2；

(3)在x轴上求作一点P，使P A＋PC的值最小，并写出点P的坐标(不写解答过程，直接写出结果)．

(1)

解析：(1)点C1与点C重合，延长AC到点A1，使得A1C1＝AC，延长BC到点B，使得B1C1＝BC，连接AB，即可得出图象；(2)根据△A1B1C1将各顶点向右平移4个单位，得出△A2B2C2；(3)作出点A1关于x轴的的对称点A'，连接A'C2，交x轴于点P，再利用相似三角形的性质求出点P坐标即可．

解：(l)如图(2)；

(2)如图(2)所示；

(3)如图(2)所示，作出A1关于x轴的对称点A'，连接A'C2，交x轴于点P，可得点P

的坐标为(8

3

，0)．

(2)

人教版初中八年级数学上册第十三章13. 4 课题学习 最短路径问题 优秀教案

13. 4课题学习最短路径问题 通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短. 重点 应用所学知识解决最短路径问题. 难点 选择合理的方法解决问题. 一、创设情境 多媒体展示：如图，一个圆柱的底面周长为20 cm，高AB为4 cm，BC是底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路径. 这是一个立体图形，要求蚂蚁爬行的最短路径，就是要把圆柱的侧面展开，利用“两点之间，线段最短”求出最短路径.那么怎样求平面图形中的最短路径问题呢？ 二、自主探究 探究一：最短路径问题的概念 1.多媒体出示图①和图②，提出问题： (1)图①中从点A走到点B哪条路最短？(2)图②中点C与直线AB上所有的连线中哪条线最短？ 2.教师总结：“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，我们称之为最短路径问题. 探究二：河边饮马问题 多媒体出示问题1：牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人从河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 提出问题：如果点A和点B分别位于直线的两侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A和点B的距离的和最短？ 思考：如果点A和点B位于直线的同侧，如何在直线l上找到一点，使得这个点到点A 和点B的距离的和最短？ 教师引导学生讨论，明确找点的方法. 让学生对刚才的方法通过逻辑推理的方法加以证明. 教师巡视指导学生的做题情况，有针对性地进行点拨.

探究三：造桥选址问题 多媒体出示问题2.(教材第86页) 提出问题： (1)根据问题1的探讨你对这道题有什么思路和想法？ (2)这个问题有什么不同？ (3)要保证路径AMNB最短，应该怎样选址？ 学生对这个三个问题展开讨论，得出结论：要保证AMNB最短，就是要保证AM＋MN ＋NB最小. 尝试选址作出图形. 多媒体展示教材图13.4－7，13.4－8，13.4－9，引导学生分析、观察，让学生根据刚才的分析，完成证明过程. 根据问题1和问题2，你有什么启示？ 三、知识拓展 已知长方体的长为2 cm、宽为1 cm、高为4 cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？ [让学生讨论有几种爬行的方法，计算出每种方案中的路程，再进行比较] 四、归纳总结 1.本节课你学到了哪些知识？ 2.怎样解决最短路径问题？ 本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题学习，让学生经历将实际问题抽象为数学问题的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小的问题转化为“两点之间，线段最短”问题.

13.4 课题学习 最短路径问题

13.4 课题学习最短路径问题 教学目标 1．了解将军饮马及造桥选址两个常见类型． 2．会解答将军饮马及造桥选址中的最短路径问题． 3．能初步应用将军饮马及造桥选址两个常见类型完成类似题目． 教学重点难点 1．将实际问题抽象为数学问题． 2．解答最短路径问题． 课时安排 2课时． 教案A、B 第1课时 教学内容 将军饮马． 教学过程 一、导入新课 问题1 如下图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？

二、探究新知 1．将实际问题抽象为数学问题 师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识． （1）把A、B两地抽象为两个点； （2）把河边l近似地看成一条直线（下图），C为直线l上的一个动点，那么，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小． 2．尝试解决数学问题 （1）由这个问题，我们可以联想到下面的问题：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ 利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接AB，与直线l相交于一点，根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求． （2）现在要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ （3）如何能把点B移到l的另一侧B′处，同时对直线l上的任一点C，都保持CB 与CB′的长度相等，就可以把问题转化为“上图”的情况，从而使新问题得到解决．（4）你能利用轴对称的有关知识，找到符合条件的点B′吗？ 学生独立思考后，尝试画图，完成问题．小组交流，师生共同补充得出： 作出点B关于l 的对称点B′，利用轴对称的性质，可以得到CB′＝CB（下右图）．连接AB′，则AB′与l 的交点即为所求． 3．证明“最短” 师生共同分析，合作证明“AC＋BC”最短． 证明：如上右图，在直线l上的任一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′，

13.4课题学习-最短路径问题

13.4 课题学习最短路径问题 一、解决“一线＋两点”型最短路径问题的方法： (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点． (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所. 例题1：在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 注意：距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同． 【练习】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 警误区：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问． 二、解决“两线＋一点”型最短路径问题的方法：解决“两线＋一点”型最短路径问题，要作两次轴对称，从而构造出最短路径．

例题2：如图，已知∠AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得△PEF的周长最小。试画出图形，并说明理由. 三、解决“两线＋两点”型最短路径问题的方法：解决“两线＋两点”型最短路径问题，要每点做一次轴对称，从而构造出最短路径． 例题3：圣林中学八年级举行元旦联欢会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 图a 四、造桥选址问题： 选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上． 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题． 例题4：如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？ 注：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．

课时13-4 最短路径问题 (解析版)-2021-2022学年八年级数学上册练(人教版)

课时13.4 最短路径问题 1．下图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？（不写做法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【详解】 试题分析：作出A镇关于燃气管道的对称点A′，连接A′B，根据轴对称确定最短路线问题，A′B与燃气管道的交点即为所求的点P的位置． 试题解析：作点A关于燃气管道的对称点A′，连接A′B交燃气管道于点P，即点P即为所求． 2．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．【答案】见解析 典例及变式

【分析】 作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地于点Q，交河边于点P，连接AQ，BP，则AQ＋PQ＋BP是最短路线． 【详解】 如图所示AQ＋PQ＋BP为所求． 【点睛】 本题主要考查对称线段的性质，轴对称的性质，轴对称−最短路线问题等知识点的理解和掌握，能正确画图和根据画图条件进行推理是解此题的关键． 3．如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路径． 【答案】见解析 【解析】 试题分析：根据“两点之间线段最短”，和轴对称最短路径问题解答． 解：（1）两点之间，线段最短，连接PQ； （2）作P关于BC的对称点P1，连接QP1，交BC于M，再连接MP． 最短路线P﹣﹣Q﹣﹣M﹣﹣P．

考点：作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题． 4．按要求作图 （1）已知线段AB和直线l，画出线段AB关于直线l的对称图形； （2）如图,牧马人从A地出发,先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处.请画出最短路径. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】 （1）分别作出点A、B关于直线l对称的点'A、'B，然后连接'A'B即可； （2）根据将军饮马模型作对称点连线即可. 【详解】 解：（1）如图所示，分别作出点A、B关于直线l对称的点'A、'B，然后连接'A'B； 线段'A'B即为所求作图形.

人教版八年级上册13.4课题学习-最短路径问题教案

课题： 13.4课题学习最短路径问题 教学内容最短路径问题 教学目标知识与技能： 通过对最短路径问题的探索,进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短. 过程与方法： 让学生经历运用所学知识解决问题的过程,培养学生解决问题的能力,掌握探索最短路径问题的思想和方法. 情感、态度与价值观： 在数学教学活动中获得成功的体验,树立自信心,激发学生的学习兴趣,让学生感受数学与现实生活的密切联系. 教学重点应用所学知识解决最短路径问题. 教学难点选择合理的方法解决问题. 教学方法合作交流，讲练结合. 教学准备多媒体课件，三角板. 教学过程设计设计意图 教学过程一、复习引入 (1)两点所连的线中,最短. (2)连接直线外一点与已知直线上各点的所有线段中, 最短. 我们研究过以上这两个问题,我们称它们为最短路径 问题.同学们通过讨论下面两个问题,可以体会如何运用所 学知识选择最短路径.(揭示课题) 二、新知探究 问题1 首先我们来研究河边饮马问题. (河边饮马问题)如图所示,牧马人从A地出发,到一条 笔直的河边l饮马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮 马,可使所走的路径最短? 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点,如何在l 上找到一个点,使得这个点到点A,点B的距离的和最短? 连接AB,与直线l相交于一点,根据“两点之间,线段最 短”,可知这个交点即为所求. 【思考】如果点A,B分别是直线l同侧的两个点,又 应该如何解决? 复习旧知，为 新课学习提供 理论依据.

讨论交流. (1)牧马人到笔直的河边饮马,河边可以近似看成一条直线,假设到C点饮马,要保证所走的路径最短和哪些线段有关? (2)要利用我们学过的哪些知识?要经过怎样的图形变换转移到一条线段上? 分组交流合作,在小组内达成共识的基础上,推选代表进行板演. 幻灯片演示画法,指导学生证明AB'=AC+BC.(B,B'两点关于直线l对称) 如果在直线上另外任取一点C',连接AC',BC',B'C'.怎样证明AC+CB

课题学习 最短路径问题 公开课大赛(省)优【一等奖教案】

13．4课题学习最短路径问题 1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．(重点) 2．利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．(难点) 一、情境导入 相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 二、合作探究 探究点：最短路径问题 【类型一】两点的所有连线中，线段最短 如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交 通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？(画出图形，做出说明) 解析：利用两点之间线段最短得出答案． 解：如图所示，连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短． 方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 【类型二】运用轴对称解决距离最短问题

在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l 的交点M即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M；(3)点M即为所求的点． 方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解． 【类型三】最短路径选址问题 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)? (2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 解析：(1)欲求到A、B两村的距离相等，即作出AB的垂直平分线与EF的交点即可，交点即为厂址所在位置；(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，即可得出答案． 解：(1)作出AB的垂直平分线与EF的交点M，交点M即为厂址所在位置； (2)如图所示：作A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，点N即为所求． 【类型四】运用轴对称解决距离之差最大问题 如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离 之差最大． 解析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l 于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，

教学设计3：13.4课题学习 最短路径问题

13.4 课题学习最短路径问题 一、教材分析 1、地位作用：随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。 2、目标和目标解析： （1）目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想. （2）目标解析：达成目标的标志是：学生能讲实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想. 3、教学重、难点 教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题 教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决. 二、教学准备：多媒体课件、导学案 三、教学过程

二、自主探究合作交流建构新知 追问1：观察思考，抽象为数学问题 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 活动1：思考画图、得出数学问题 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线． 追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 师生活动：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从 A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和； （3）现怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）． 强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题” 活动2：尝试解决数学问题

13.4 课题学习 最短路径问题(第1课时)教案

13.4 课题学习最短路径问题（1） 一、内容解析 1.内容 利用轴对称研究某些最短路径问题. 2.内容解析 最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题. 基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题. 二、目标与目标解析 1.目标 ( 1 ) 前置微视频学习目标：①了解如何将实际问题抽象为数学的线段和最小问题②会解决“将军饮马问题”，理解通过轴对称实现转化将线段和最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题，感悟转化思想.③理解如何通过逻辑推理证明所求距离最短，体会“任意”的作用. ( 2 ) 课堂基础目标：分析较复杂最短路径问题. ( 3 ) 课堂拓展目标：在分析较复杂最短路径问题的基础上，总结解决这一类最短路径问题的基本方法与思路，学会举一反三. 2.目标解析 达成目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”“河边”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；能利用轴对称将线段和最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距

离最短；在探索最短路径的过程中，体会到轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想. 三、教学问题诊断分析 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手. 解答“当点A，B在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC与CB 的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与l上的点的线段和最小”问题，为什么需要转化、怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难. 在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到. 基于以上分析，教学前，教师先将学生的难点问题制作成微视屏，学生根据自己的学习情况，通过“微视屏”学习，理解怎样把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；怎样通过轴对称实现转化将线段和最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题；怎样通过逻辑推理证明所求距离最短. 在学生学习了视屏内容以后，课堂教学的重心就放在对于此类最短路径问题的理解和再应用.教学中先让学生复习视频学习的内容，并通过解决前测理解单的问题，总结视屏学习的内容。接着，通过小组学习解决同类变式，拓展提升的问题加强学生对解决最短路径问题的应用. 四、教学过程设计 （一）前置微视频学习 1.通过微视频学习学生了解如何将实际问题抽象为数学的线段和最小问题 2. 会解决“将军饮马问题”，理解通过轴对称实现转化将线段和最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题，感悟转化思想. 3. 理解如何通过逻辑推理证明所求距离最短，体会“任意”的作用. 设计意图：学生可通过反复观看微视频，充分有效的学习，实现个性化自主学习。 （二）预习检测

最短路径问题教案

13.4课题学习：最短路径问题 教学目标： 1.理解并掌握平面内一条直线同侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小值时点的位置的确定.. 2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题.. 3.通过独立思考;合作探究;培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力;感受学习成功的快乐.. 教学重点： 将实际问题转化成数学问题;运用轴对称平移解决生活中路径最短的问题;确定出最短路径的方法.. 教学难点： 探索发现“最短路径”的方案;确定最短路径的作图及原理.. 导学过程： 一、创设情景;引入新知.. 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中;线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中;垂线段最短”等的问题;我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题;本节将利用数学知识探究实际生活中的最短路径问题.. 二、自主学习;探究新知.. 问题1 话说灰太狼从羊村落魄回来途中;不小心掉进茅厕坑;为了不让老婆看到自己落魄不堪的样子;于是决定去河边先洗个澡;冲洗掉身上的脏物;然后再回家;如图所示;请你设计一种路线;教教可怜的灰太狼;告诉他走那条路线回家最近吗 茅厕 河边 你能将这个问题抽象为数学问题吗

追问1 这是一个实际问题;你打算首先做什么 将A;B 两地抽象为两个点;将河ｌ 抽象为一条直线． 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思;并把它抽象为数学问题吗 1从A 地出发;到河边ｌ洗澡;然后到B 地； 2在河边洗澡的地点有无穷多处;把这些地点与A;B 连接起来的两条线段的长度之和;就是从A 地到洗澡地点;再回到B 地的路程之和； 3现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线ｌ上的点．设C 为直线上的一个动点;上面的问题就转化为：当点C 在ｌ 的什么位置时;AC 与CB 的和最小如图． 问题2 如图;点A;B 在直线ｌ 的同侧;点C 是直线上的一个动点;当点C 在ｌ 的什么位置时;AC 与CB 的和最小 我们不妨先考略这个问题: · A ｌ

13.4课题学习 最短路径问题

课题13.4 课题学习（1）最短路径问题课型新授课课标要求熟练掌握“两点之间线段最短”这一基本事实 学习目标能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。 学习重点利用轴对称解决简单的最短路径问题 学习难点利用轴对称解决简单的最短路径问题 学习流程备注 知识链接 1、在修建公路时，需要把弯曲的河道改直，依据是： 2、如图①，已知点A和直线l，求作点A关于直线l的对称点A l。 3、如图②，已知A、B两点在直线l两旁，试在直线l上找一点P，使PA+PB最小。 自主学习 自学课本P85—86内容，完成下列各题： 1、如图，已知P、Q两点在直线l的同旁，在l上找一点M，使MP+MQ最短。下面三种方法中你认为最合理的是（） 图（1）作PM⊥l于M； 图（2）作线段PQ的垂直平分线交直线l于点M； 图（3）作P关于l的对称点P|，连P|Q交l于M。 2、如图③，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且AC=BD=300米，若A到CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，他走的 l A ． 图① A． B． l 图② M （1） l Q． P． M （2） l Q． P． M （3） P l ． l Q． P． D C B A 河

最短距离是（ ） 图 ③ 合 作 探究 探究一：最短路径问题 1、如图④，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后回到B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 问题1：若把A 、B 看作两个点，将河l 抽象为一条直线，如何把它抽象为一个数学问题？ 问题2：若A 、B 在l 异侧，如何在l 上找一点C 使CA+CB 最小？ 问题3：能否把问题1中的点A 移到异侧A |，且保持CA=CA |？ 问题4：能否完成问题1？写出求作点C 的过程。 问题5：你能用所学的知识证明CA+CB 最短吗？ 总结提升 通过本节课的学习你收获了什么？ 13.4 课题学习（1）达 标 检 测 备 注 l B ． A ． 图 ④

13.4最短路径问题(解析版)

13.4最短路径问题 题型一：垂线段最短 【例题1】（2022·甘肃天水·八年级期末）如图所示，有三条道路围成Rt ABC ∆，其中1000m BC=，一个人从B处出发沿着BC行走了700m，到达D处，AD恰为CAB ∠的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（） A．1000m B．700m C．300m D．1700m 【答案】C 【分析】据角平分线上一点到角两边的距离相等，知此人此时到AB的最短距离即D到AB的距离，而D到AB的距离等于CD，而CD=BC-BD即得答案． 【详解】解：如下图， 过D作DE⊥AB于E，则此时此人到AB的最短距离即是DE的长． 知识点管理 归类探究

⊥AD平分⊥CAB，AC⊥BC ⊥DE=CD=BC-BD=1000-700=300（米）． 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线性质定理和“垂线段最短” ．其关键是运用角平分线上一点到角两边的距离相等得出CD等于D到AB的距离． 变式训练 【变式1-1】（2022·广西玉林·八年级期末）如图，∠AOB＝60°，P是∠AOB角平分线上一点，PD⊥AO，垂足为D，点M是OP的中点，且DM＝4，如果点C是射线OB上一个动点，则PC的最小值是（） A．8B．6C．4D．2 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义可得 1 30 2 AOP AOB ∠=∠=︒，再根据直角三角形的性质求得 1 2 2 PD OP ==， 然后根据角平分线的性质和垂线段最短得到结果．【详解】 ⊥P是⊥AOB角平分线线上一点，且⊥AOB＝60︒ ⊥⊥AOP＝1 2 ⊥AOB＝30 ⊥PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4 ⊥OP＝2DM＝8

人教版八年级数学上册教案13.4第2课时课题学习最短路径问题高品质版

13.4 课题学习最短门路问题 第2课时课题学习最短门路问题(2) 【教育目标】 理解并掌握如何选址造桥能使门路最短的问题. 能利用轴对称和平移的有关知识解决实质问题半门路最短的问题. 在运用轴对称和平移知识解决问题的过程中，进一步培育和发展学生的逻辑思想本事和推理论证的表达本事. 【要点难点】 要点：利用轴对称和平移将造桥选址问题转变成“两点之间，线段最短”问 题. 难点：最短门路问题的解决思路及证明模式. ┃教育过程设计┃ 教育过程 设计企图 一、创建情境，导入新课 如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，辩解向 A， B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气 管线最短？ 问题：(1)此问题转产生数学问题是：________. (2)如何找到泵站的地点P? (3)为何在P点的地点修建泵站，就能使所用的输 经过详细问题导 入，用问题激起学生 研究的兴趣.回首上 节知识的同时，为新 课的研究做好铺垫. 气管线最短呢？ 二、师生互动，研究新知从上边的分析与 问题1：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在作图来看，经过平移 河上建一座桥MN.桥造在哪边才能使从A到B的门路AMNB把桥的牢靠长度奇妙 最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河笔挺) 地化解开去，分析出

“AM＋BN”最短间隔 为A1N＋BN(也就是点 A1到点B之间的线段 最短)，从而实现了问 题的求解.表现了化 教师提出问题. 繁为简，转变的数学 学生经过思虑，小组内议论沟通不难得出，就是在河思想.同时这个问题 两岸辩解选两点M，N，使得AM＋MN＋NB的和最小的问题. 有着分外好的实质背 同时MN与河岸是笔挺的.以以下图. 景，情境切近生活实 际. 让学生在证明中 更为判定作图的正确

最短路线奥数解题技巧

最短路线奥数解题技巧 最短路线问题是数学课程中一个非常重要的问题，它可以用于优化工程、计算机网络和其他领域中的问题。解决最短路线问题有许多技巧，下面我们将介绍其中一些。 1. Dijkstra算法 Dijkstra算法是解决最短路线问题的一种常见方法，它适用于有向有权图。这个算法的实现方法很简单，可以按照下面的步骤来完成： - 找到从开始节点到第一个节点的最短路径 - 标记这个节点为“已完成” - 重复以上步骤，以找到下一个最近的节点 - 继续进行，直到到达目标节点，或者没有其他节点可以加入路径为止。 2. Bellman-Ford算法 Bellman-Ford算法是另一个用于解决最短路线问题的方法，它可以被应用于带有负权边的图。使用这个算法，你可以找到从起点到目标点的 最短路线和任何其他边缘的最小距离。

3. Floyd-Warshall算法 Floyd-Warshall算法是解决所有对最短路线问题的完整解决方案。使用 这个算法，可以找到从任意一个节点到任何一个节点的最短路径。然而，这个算法的速度随着图的大小而降低，并且主要用于较小的图像。 4. A*算法 A*算法是一种启发式搜索算法，可以用于求解最短路径问题。它使用 一些规则来指导它搜索最快的路径，这样可以更快地找到最短路径。 使用A*算法时，您需要知道每个节点的邻居和路径的代价，然后您可 以计算一个估计代价，在搜索过程中做出更明智的决策。 5. 贪心算法 贪心算法是可用于一个特殊的最短路线问题——旅行推销员问题。在 这个问题中，你必须找到一个充分优化的路径，可以访问一系列城市，并且没有城市被重复访问。贪心算法使用了一个简单的策略——尽可 能的选择下一个最近的未访问的城市——来解决这个问题，尽管在选 择时也有权衡。 以上就是解决最短路线问题的一些基本技巧，它们都将有助于你在实 际应用中更好的解决问题。当然，在实际应用中需要考虑不同场景下 选择的合适的算法。

课堂实录--最短路径问题

课堂实录：13.4.课题学习最短路径问题 【学习目标中的知识归纳】5分钟 生活中的最短路径问题是近几年来中考试题中的热点，利用“两点之间，线段最短”来求线段和的最小值，以及线段差的最大值从而解决最短路径问题，这类问题，有以下几种常见形式：一，两点一线式典型例题；二：两线一点式典型例题。自学【课本p85—p87解下题】10分钟 例1：如下图牧童在A处放马，其家在B处，A,B到河岸的距离分别是AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点M的距离为500米，则他从A处把马牵到河边饮水再回家，最短距离是多少米？ 例2：如下图∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M, 在射线OY上找出一点N,使PM+MN+NP最短。 导学【拓展延伸实战讲练】（20分钟）【过关斩将，增强信息】画图并注明 3.要在河边L修建一个水泵站，分别向A,B两村送水，水泵站应建在河边的什么地方，可使所用的水管最短？ .B A. ------------------------- 4．如图两条公路OA，OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P, 若是在公路上各设置一个加油站，如何设计两个加油站的位置，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短。

5，如图小河边有两个村庄A,B，要在河边建一个自来水厂向A村和B村供水。（画图并说明理由） （1）若要使厂部到A,B村的距离相等，则应选在哪建厂？ （2）若要使厂部到A,B村的水管最短，则应建在什么地方？ （3）若要使厂部到A,B两村的距离的差最大，则建在什么地方？ .B A. E---------------------------------F ----------------------------------- 6.如图一条河的两岸有A,B两地，要开一条道路并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A,B两地，问线路怎样走，桥应建在什么地方才能使从A到B的路程最短？ .B ----------------------------- ----------------------------- A. 测学【实战模拟感知中考】（10分钟） 1.在四边形ABCD中∠BAD=120，∠B和∠D均为直角，在BC，CD上分别找一点M,N，使得三角形PDE的周长最小，则角AMN+ANM的度数为（） A.130 B.120 C.110 D.100

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13.4课题学习最短路径问题 1．最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点． (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点． 为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下： 证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称， 所以直线l是线段BB′的垂直平分线． 因为点C与C′在直线l上， 所以BC＝B′C，BC′＝B′C′. 在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′， 所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′， 所以AC＋BC＜AC′＋C′B. 【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l 的交点M即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′； (2)连接AB′交直线l于点M. (3)则点M即为所求的点． 点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.

2.运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同． 警误区 利用轴对称解决最值问题应注意题目要求 根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问． 3．利用平移确定最短路径选址 选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决． 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题． 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题． 【例2】 如图，小河边有两个村庄A ，B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水． (1)若要使厂部到A ，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到A ，B 两村的水管最短，应建在什么地方？ 分析：(1)到A ，B 两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB 的垂直平分线，与EF 的交点即为符合条件的点． (2)要使厂部到A 村、B 村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A (或 B )点关于EF 的对称点，连接对称点与B 点，与EF 的交点即为所求． 解：(1)如图1，取线段AB 的中点G ，过中点G 画AB 的垂线，交EF 于P ，则P 到A ， B 的距离相等．也可分别以A 、B 为圆心，以大于12 AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求． (2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短． 【例3】 如图，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂 直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？ 思路导引：从A 到B 要走的路线是A →M →N →B ，如图所示，而MN 是定值，于是要 使路程最短，只要AM ＋BN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到AC ，

课题学习最短路径问题

13.4 课题学习最短路径问题 一、教课方案理念 最短路径问题在现实生活中常常碰到，初中阶段主要以“两点之间线段最短”、“连结 直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、 平移、旋转等变化进行研究。 本节课以数学史中的两个经典问题——“将军饮马”“造桥选址”为载体睁开对“最短 路径问题”的课题研究，让学生经历将实质问题转变为数学识题，利用轴对称、平移等变化 再把数学识题转变为线段和最小问题，并运用“两点之间线段最短”（或“三角形两边之和 大于第三边”）解决问题，表现了数学化的过程和转变思想。 最短路径问题从实质上说是最值问题，作为初中生，此前极少在几何中接触最值问题， 解决此类问题的数学经验尚显不足，特别是面对拥有实质背景的最值问题，更会感觉陌生， 无从下手．解答“当点 A、B 在直线 l 的同侧时，如安在直线 l 上找到点 C，使 AC 与 CB 的和最小”，需要将其转变为“在直线 l 异侧两点的线段和最小值问题”，为何需要这样 转变、如何经过轴对称、平移变化实现转变，一些学生在理解和操作上存在困难．在证明 作法的合理性时，需要在直线上任取点 (与所求作的点不重合 )，证明所连线段和大于所求作 的线段和，这种思路、方法，一些学生想不到．因此在讲堂上特别对这几个问题进行了针对 性的设计。 二、教课对象剖析 八年级的学生已经学习研究过一些“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”等问题。 向来以来，学生对多媒体环境下的几何研究都十分感兴趣，有较强的好奇心，在学习上有较 强的求知欲念，学习投入程度大。他们察看、操作、猜想能力较强，但演绎推理、概括、运 用数学意识的思想比较单薄，思想的广阔性、矫捷性、灵巧性比较短缺，自主研究和合作学 习能力也需要在讲堂教课中进一步增强和指引。学生在数学识题的提出和解决上有必定的方 法，但不够深入和全面，需要教师的指引和帮助，学生自己拥有必定的研究精神和合作意识， 能在亲自的经历体验中获得必定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，几何演绎推理 能力有待增强。 (1)最短路径问题从实质上说是最值问题，作为初中生，此前极少在几何中 接触最值问题，解决此类问题的数学经验尚显不足，特别是面对拥有实质背景的最值问题， 更会感觉陌生，无从下手。 (2)解答“当点 A 、B 在直线 l 的同侧时，如安在直线 l 上找到 点 C，使 AC 与 CB 的和最小”，需要将其转变为“在直线 l 异侧两点的线段和最小值问题”，为何需要这样转变、如何经过轴对称、平移变化实现转变，一些学生在理解和操作上存 在困难。 (3)在证明作法的合理性时，需要在直线上任取点 (与所求作的点不重合 )。证明所 连线段和大于所求作的线段和，这种思路、方法，一些学生会想不到。 三、教课目的 1、认识解决最短路径问题的基本策略和基来源理。 2、能将实质问题中的“地址”“河”“桥”等抽象为数学中的“点”“线”，使实质 问题数学化。 3、能运用轴对称、平移变化解决简单的最短路径问题，领会几何变化在解决最值问题中 的重要作用。 4、在研究最短路径的过程中，感悟、运用转变思想。进一步培育好奇心和研究心理，更 进一步领会到数学知识在生活中的应用。

最短路径问题解题策略的分类探究

最短路径问题解题策略的分类探究 《最短路径问题》是人教版《数学》八年级上册第85页13.4课题学习的内容。在本节内容中，编者把“连接两点所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题，称为最短路径问题。在解决最短路径问题时，运用将军饮马和选桥选址寻找最短路径问题，说明了数学问题来源于现实生活，反过来又运用数学知识来解决现实生活中存在的数学问题。通过13.4课题学习，我们深深地知道，最短路径问题是从生产生活中提炼出来的，并不是人为的凭空臆想而得到的。 在最短路径问题中，我们必须明白最短路径其实就是一个起点，从哪儿开始；一个终点，到哪儿结束。我们只要把握住起点在哪儿开始，终点又从何处结束，运用转化的思想方法，由“折”转“直”，就解开了其中的奥妙。透过现象看清其本质，才能达到融会贯通，举一反三的效果。 解决最短路径问题的理论依据是：1.基本事实“两点的所有连线中，线段最短”2.“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”。解决最短路径问题的解题方法是：在研究的过程中，可能需借助角、三角形、矩形、菱形、圆、梯形、平面直角坐标系、抛物线等知识背景来建立数学模型，再利用轴对称、平移、三角形三边关系定理等将已知问题转化为符合上面两个结论的问题，从而选择出最短路径。 对于最短路径问题，我想从平面几何、立体几何两个方面来进行分类解析。在平面几何中，只研究平面上的直线和二次曲线中的双曲线、抛物线中的最短路径问题，在立体几何中，只研究立体图形展开图中的最短路径问题。 一、平面几何中的最短路径问题 （一）点与点的最短路径问题

从点与点之间的最短路径问题，我们一定会想到两点之间线段最短。而两点之间线段的长度又称为两点之间的距离。进而又想到，两点之间的线段不可能只有直线，也可能具有曲线、折线等。那么又可以理解在三角形中两边之和大于第三边的知识，来解决最短路径问题。 （二）点与直线的最短路径问题 从直线外一点与直线上各点的连接的线段中，垂线取最短，也就是说这条垂线段的距离是任何点到直线中最短的距离，即垂线取最短，而垂线段的长度叫做点到直线的距离。 （三）两点在直线同侧的最短路径问题 如图1（课本问题）：点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A与点B的距离之和最短？ 这个问题可以转化为在直线L上求一点P，使PA+PB值最小。那么这个问题中，我们把A点定为起点，B点定为终点。从点A到点B 的最短距离就是把AB看作是一条直线上的两个点。根据“两点确定一条直线”，可知直线AB与直线l相交于一点，这个交点即为所求的点P。而线段AB位于AB所在的直线上。所以PA+PB的最小值即为线段AB。由此，我们可以根据“两点之间，线段最短”来验证PA+PB的最小值即为线段AB这个问题。如图1-1。 （四）两点在直线l同侧的最短路径问题（有起点，有终点） 如图2：（课本问题），牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地。牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 如果把河边l近似看作一条直线l，C为直线l上一个动点，上面的问题可以转化为：当点C在l的什么位置时，AC+CB的和最小。