马尔可夫链原理及应用实例探讨

马尔可夫链蒙特卡罗在实践中的应用

2012年第12期 吉林省教育学院学报 No.12，2012 第28卷JOURNAL OF EDUCATIONAL INSTITUTE OF JILIN PROVINCE Vol .28（总300期） Total No .300 收稿日期：2012—11—14 作者简介：孟庆一（1989—），女，吉林长春人，新加坡籍华人，英国伦敦大学数学系，本科生，研究方向：MCMC 统计学。 浅议马尔可夫链蒙特卡罗在实践中的应用 孟庆一 (英国伦敦大学，英国伦敦) 摘要：本文概括地介绍了马尔可夫链蒙特卡罗(Markov chain Monte Carlo ———MCMC )，一种随机模拟贝叶斯推断的方法。主要的抽样方法包括吉布斯采样(Gibbs Sampling )和Metropolis －Hastings 算法。本文也对MCMC 主题和应用的拓展进行了讨论。 关键词：马尔可夫链;蒙特卡罗;Gibbs 抽样;Metropolis －Hastings 中图分类号：O29 文献标识码：A 文章编号：1671—1580(2012)12—0120—02 统计学中的贝叶斯推理在过去的几十年里有前 所未有的突破，统计学家们发现了一种非常简单，但又非常强大的模拟技术，统称为MCMC 。这种技术可以运用到各种复杂的贝叶斯范例和实际情况。 贝叶斯推理： 贝叶斯方法把所给的模型里所有的未知量的不确定性联系在一起。利用所知的信息，贝叶斯方法用联合概率分布把所有未观察到的数量综合起来，从而得出的推论。在这里，给定已知的未知分布被称为后验分布。有关未知量的推理被称为预测，它们的边缘分布称作为预测分布。 贝叶斯推理根据贝叶斯规则计算后验概率： P （H |E ）= P （E |H ）·P （H ） P （E ）然而，在大多数情况下，所给的模型的复杂性不允许我们运用这个简单的操作。因此，我们需要使用随机模拟， 或蒙地卡罗技术来代替。概述MCMC ： MCMC 采用未知量的高维分布，为难度极高的模拟复杂模型的问题提供了一个答案。 一个马尔可夫链是一个序列的随机变量X 1，X 2，X 3，．．．这个序列有马尔可夫的属性———给予目前的状态，未来和过去的状态是独立的。从数学公 式上看， Pr （X n +1=x |X 1=x 1，X 2=x 2，…，X n =x n ）=Pr （X n +1=x |X n =x n ）X i 的可能的值可数的集合S 称 为链的状态空间。 幸运的是，在马尔可夫链里，我们也有与大数定律和中心极限定理类似的定理。 另外一个问题存在于如何建立一个马尔可夫链的极限分布与所需的分配一模一样。一种可行的解决方案是Gibbs 抽样。它是基于一个马尔可夫链，其前身的依赖性是由模型中出现的条件分布所决定的。另一种可能性是Metropolis －Hastings 算法。它是基于一个马尔可夫链，其前身的依赖性是分裂成两个部分：一个是建议，另一个是接受这一建议。 Metropolis －Hastings 算法： Metropolis －Hastings 算法，可以从任何概率分布中抽取样品，只要求是可计算函数的密度成正比。在贝叶斯的应用程序中，归一化因子计算往往是非常困难的，所以，和其他常用的抽样算法一样，能够在不知道这个比例常数的情况下产生样本是Metropolis －Hastings 算法的重要特征。 该算法的总体思路是产生一系列在一个马尔可 夫链里的样品。在足够长的时间后，所生成的样品的分布与分布相匹配。 该算法基本上按如下方式工作（这是一个特殊 的例子，其建议密度是对称的情况下）：首先，选择一个任意的概率密度Q （x'|x t ），这表明一个新的采样值x'给定样本值x t 。对于简单的Metropolis 算法，这个建议密度必须是对称的Q （x'| 21

马尔可夫链模型

马尔可夫链模型 马尔可夫链模型（Markov Chain Model） 目录 [隐藏] ? 1 马尔可夫链模型概述 ? 2 马尔可夫链模型的性质 ? 3 离散状态空间中的马尔可夫链 模型 ? 4 马尔可夫链模型的应用 o 4.1 科学中的应用 o 4.2 人力资源中的应用 ? 5 马尔可夫模型案例分析[1] o 5.1 马尔可夫模型的建 立 o 5.2 马尔可夫模型的应 用 ? 6 参考文献 [编辑] 马尔可夫链模型概述 马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。 时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。 马尔可夫链是随机变量的一个数列。这些变量的范围，即他们所有可能 取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则 这里x为过程中的某个状态。上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。

马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。 马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。 马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程： 1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关； 2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下： 1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。本文中假定S是可数集(即有限或可列)。用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。 2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态的个数。对于任意i∈s，有 。 3）是系统的初始概率分布，q i是系统在初始时刻处于状态i的概率， 满足。 [编辑] 马尔可夫链模型的性质 马尔可夫链是由一个条件分布来表示的 P(X n + 1 | X n) 这被称为是随机过程中的“转移概率”。这有时也被称作是“一步转移概率”。二、三，以及更多步的转移概率可以导自一步转移概率和马尔可夫性质：

马尔可夫链预测方法及其一类应用【开题报告】

开题报告 数学与应用数学 马尔可夫链预测方法及其一类应用 一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义 概率论自1654年创立以来, 已由最初的博弈分析问题发展成为现今的方法论综合性学科. 而其中随机过程已经是现代概率论发展的必然性. 在这其中, 马尔可夫在1906年的"大数定理关于相依变量的扩展"（Extension de la loi de grands bombers etc）论文中首次创立的马尔可夫链已经成为了概率论的重中之重. 马尔可夫是世界上著名的数学家、社会学家. 他所研究的范围非常的广泛, 涉及到概率论、数论、数的集合、函数逼近论、数理统计、微分方程等方面. 马尔可夫在1906~1912年间, 他提出并研究了一种能用数学分析方法研究自然过程的一般图示, 后人把这种图示以他的姓氏命名为马尔可夫链(Markov Chain). 在当时, 马尔可夫开创性地采用了一种对无后效性的随机过程的研究范式, 即在已知当前状态的情况下, 过程的未来状态与其过去状态无关, 这就是现在大家非常熟悉了解的马尔可夫过程. 在现实生活当中, 有许多过程都能被看作成马尔可夫过程. 如软件可靠性测试、传染病受感染的人数、农村剩余劳动力流动趋势预测、液体中微粒所作的布朗运动、产品市场占有率及利润率的变动等等. 也正是由于马尔可夫链在生活中所具有的普遍存在性, 马尔可夫链理论才被广泛应用于近代的物理学, 生物学, 地质学, 计算机科学, 公共事业, 教育管理、经济管理、以及企业人员管理、桥梁建筑等各个领域. 马尔可夫链运用数学模型对定性问题进行预测提供了一种思路, 丰富了预测的内容. 其大体上可以分为以下几个步骤: 首先, 把现象看作成为一个系统, 并对该系统进行科学的划分. 根据系统的实际和需要划分出多个状态, 系统所划分出来的各个状态就是要预测的内容. 其次, 对现象各种状态的状态概率进行统计测定, 也就是判定出系统当前处于什么状态. 然后, 对各系统未来发展的每次转移概率进行预测, 就是要确定出系统是如何转移的. 最后, 根据系统当前的各种状态和转移概率矩阵, 推测出系统经过若干次转移后, 到达

马尔可夫链预测方法及其一类应用【文献综述】

文献综述 数学与应用数学 马尔可夫链预测方法及其一类应用 马尔可夫性是俄国数学家A.A.Mapkov 在1906年最早提出的. 但是, 什么是马尔可夫性呢? 一般来讲,认为它是“相互独立性”的一种自然推广. 设有一串随机事件,...,,...,,121n n A A A A -中（即n A 属于概率空间（P ,,ξΩ）中的σ代数ξ，1≥n ）, 如果它们中一个或几个的发生, 对其他事件的发生与否没有影响, 则称这一串事件是相互独立的（用概率空间（P ,,ξΩ）的符号表示, 即))()(11n m n m n n A P A P X I ===, 推广下, 如果在已知,...,1+n n A A 中的某些事件的发生, 与,,...,,121-n A A A 中的事件发生与否无关, 则称这一串事件{1:≥n A n }具有马尔可夫性. 所以说, 马尔可夫性可视为相互独立性的一种自然推广. 从朴素的马尔可夫性, 到抽象出马尔可夫过程的概念, 从最简单的马尔可夫过程到一般的马尔可夫过程, 经历了几十年的发展过程. 它有极其深厚的理论基础, 如拓扑学、函数论、几何学、近世代数、泛函分析. 又有很广泛的应用空间, 如随机分形、近代物理、公共事业中的服务系统、电子信息、计算技术等. 在现实世界中, 有很多过程都是马尔可夫过程, 如软件可靠性测试、传染病受感染的人数、农村剩余劳动力流动趋势预测、液体中微粒所作的布朗运动、产品市场占有率及利润率的变动, 车站排队问题等等, 都可视为马尔可夫过程. 所谓马尔可夫链是指时间连续(或离散)、状态可列、时间齐次的马尔可夫过程. 之所以要研究这种过程, 一方面是由于它的理论比较完整深入, 可以作为一般马尔可夫过程及其他随机过程的借鉴; 二是由于它在自然科学和许多实际问题(如遗传学、教育学、经济学、建筑学、规则论、排队论等)中发挥着越来越大的作用. 自从我国著名数学家、教育家、中科院王梓坤院士在上世纪50年代将马尔可夫理论引入国内以后, 我国数学家对马尔可夫过程的研究也取得了非常好的效果, 在生灭过程的构造和它的积分型泛函的分布、马尔可夫过程的零壹律、Martin 边界与过份函数、马尔可夫过程

马尔可夫链

马尔可夫过程 编辑词条 一类随机过程。它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫于1907年提出。该过程具有如下特性：在已知目前状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变 ( 过去 ) 。例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过程。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。关于该过程的研究，1931年A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔可夫过程的理论基础。 目录 马尔可夫过程 离散时间马尔可夫链 连续时间马尔可夫链 生灭过程 一般马尔可夫过程 强马尔可夫过程 扩散过程 编辑本段马尔可夫过程 Markov process 1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。 类重要的随机过程，它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家Α.Α.马尔可夫于1907年提出。人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的，当现在所处的位置已知时，它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。如果将荷叶编号并用X0,X1,X2，…分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{Xn，n≥0} 就是马尔可夫过程。液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。还有些过程（例如某些遗

加权马尔可夫链预侧的理论及案例

加权马尔可夫链预侧的理论 由于每个时段的股票价格序列是一列相依的随机变量，各阶自相关系数刻画了各种滞时(各个时段)的股票价格之间的相关关系的强弱。因此，可考虑先分别依其前面若干时段的股票价格(对应的状态)对该时间段股票价格的状态进行预测，然后，按前面各时段与该时段相依关系的强弱加权求和来进行预测和综合分析，即可以达到充分、合理地利用历史数据进行预测的目的，而且经这样分析之后确定的投资策略也应该是更加合理的。这就是加权马尔可夫链预测的基本思想。其具体步骤如下: 1)将股票价格序列由小到大排列，运用有序聚类生成股票价格的分级标准。 2)按1)所生成的分级标准，确定各时段股票价格所处的状态。 3)马氏性检验。 4)计算各阶自相关系数 式中k r 表示第k 阶(滞时为k 个时期)的自相关系数: l x 表示第l 时段的股票价格;x 表示股票价格均值,n 表示股票价格序列的长度。 5)对各阶自相关系数规范化，即把 作为各种滞时(步长)的马尔可夫链的权重(m 为按预测需要计算到的最大阶数)。 6)对“5)”所得的结果进行统计，可得不同滞时(步长)的马尔可夫链的转移概率矩阵，它决定了股票价格状态转移过程预测的概率法则。 7)分别以前面若干时间段的股票价格为初始状态，结合其相应的转移概率矩阵即可预测出该时段股票价格的状态概率 8)将同一状态的各预测概率加权和作为股票价格处于该状态的预测概率，即 所对应的i 即为该时段股票价格状态的预测。待该时段股票价格的状态确定后，将其加入原序列，再重复步骤“1) -v8)”，可进行下一时段股票状态的预测。 9)可进一步对该马尔可夫链的特征〔遍历性、平稳分布等)和最佳持股时间、股票投资策略等进行分析。 6.1.2应用实例分析 本节以上海证券交易所的收市综合指数为例(收市综合指数的预测分析和单支股票价格的预测分析数学原理相同)，用2002年3月3日至4月15日连续30个交易日的收市综合指数(见表6.1)来进行接下来几个交易日的收市综合指数预测，并进行其他相关的分析。

马尔可夫性与马尔可夫链

马尔可夫性与马尔可夫链 【教学目标】 1．掌握马尔可夫性与马尔可夫链。 2．熟练运用马尔可夫性与马尔可夫链解决具体问题。 3．亲历马尔可夫性与马尔可夫链的探索过程，体验分析归纳得出马尔可夫性与马尔可夫链，进一步发展学生的探究、交流能力。 【教学重难点】 重点：掌握马尔可夫性与马尔可夫链。 难点：马尔可夫性与马尔可夫链的实际应用。 【教学过程】 一、直接引入 师：今天这节课我们主要学习马尔可夫性与马尔可夫链，这节课的主要内容有马尔可夫性与马尔可夫链，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。 二、讲授新课 （1）教师引导学生在预习的基础上了解马尔可夫性与马尔可夫链内容，形成初步感知。 （2）首先，我们先来学习马尔可夫性，它的具体内容是： 1n X +的随机变化规律与0X ，1X ，…1n X -的取值都没有关系，随机变量序列{}n X 的所具有的这类性质称为马尔可夫性 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。 例： 马尔可夫性描述了一种_____。 解析：状态序列 可以给学生一定的提示。 根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。 练习： 序列所有可能取值的集合，被称为_____。 （3）接着，我们再来看下马尔可夫链内容，它的具体内容是：

一般地，我们称具有马尔可夫性的随机变量序列{}n X为马尔可夫链。 它是如何在题目中应用的呢？我们也通过一道例题来具体说明。 例：请同学们查询资料，判断马尔可夫链与布朗运动是否有联系 解析：马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。 根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。 练习： 请写出马尔科夫链满足的两个假设。 三、课堂总结 （1）这节课我们主要讲了马尔可夫性与马尔可夫链 （2）它们在解题中具体怎么应用？ 四、习题检测 1．请同学们写出马尔可夫性的定义。 2．请同学们写出马尔科夫链的定义。 3．请同学们写出马尔科夫性和马尔科夫链之间的联系。

马尔可夫链模型讲解

马尔可夫链模型（Markov Chain Model） 目录 [隐藏] 1 马尔可夫链模型概述 2 马尔可夫链模型的性质 3 离散状态空间中的马尔可夫链模 型 4 马尔可夫链模型的应用 o 4.1 科学中的应用 o 4.2 人力资源中的应用 5 马尔可夫模型案例分析[1] o 5.1 马尔可夫模型的建立 o 5.2 马尔可夫模型的应用 6 参考文献 [编辑] 马尔可夫链模型概述 马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。 时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为 。 马尔可夫链是随机变量的一个数列。这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则 这里x为过程中的某个状态。上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。

马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。 马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。 马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程： 1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关； 2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下： 1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。本文中假定S是可数集(即有限或可列)。用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。 2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态 的个数。对于任意i∈s，有。 3）是系统的初始概率分布，q i是系统在初始时刻处 于状态i的概率，满足。 [编辑] 马尔可夫链模型的性质 马尔可夫链是由一个条件分布来表示的 P(X | X n) n+ 1 这被称为是随机过程中的“转移概率”。这有时也被称作是“一步转移概率”。二、三，以及更多步的转移概率可以导自一步转移概率和马尔可夫性质：

马尔可夫链

马尔可夫过程 一类随机过程。它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫于1907年提出。该过程具有如下特性：在已知目前状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变 ( 过去 ) 。例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过程。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。关于该过程的研究，1931年 A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔可夫过程的理论基础。 目录 马尔可夫过程 离散时间马尔可夫链 连续时间马尔可夫链 生灭过程 一般马尔可夫过程 强马尔可夫过程 扩散过程 编辑本段马尔可夫过程 Markov process 1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。 类重要的随机过程，它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家Α.Α.马尔可夫于1907年提出。人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的，当现在所处的位置已知时，它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。如果将荷叶编号并用X0,X1,X2，…分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{Xn，n≥0} 就是马尔可夫过程。液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。还有些过程（例如某些遗传过程）在一定条件下可以用马尔可夫过程来近似。

马尔可夫链应用于天气预报

马尔可夫链应用于天气预报 摘要： 在《概率论与随机过程》课中学习了马尔可夫链，马尔可夫过程因其无后效性、遍历性和时齐性，在科学研究、天气预测、农业预测、市场预测等方面应用非常广泛。本文通过对马尔可夫链理论和切普曼－柯尔莫哥洛夫方程的探讨，结合天气因素、降水情况的不确定性和无后效性等诸多特点，构建了基于天气预报的马尔可夫链预测模型，文中给出了马尔可夫链的一步转移概率矩阵和多重转移概率的计算方法，根据此算法可以预报短期天气情况，达到预测天气的目的。 关键字：马尔可夫链 天气预报 转移概率 切普曼－柯尔莫哥洛夫方程 1 引言 天气变化情况与人们的生产、生活息息相关，是人们普遍关注的重点问题之一。所以天气预报的准确性与时效性就显得尤为重要，否则将对人们带来不便，甚至有可能带来重大经济和人员损失。本文借助随机过程中著名的马尔可夫链模型，以某日天气的状态转移数据为例，建立了天气情况预测模型，并借助该模型应用马尔可夫链的遍历性，对未来天气的变化趋势作出了预测分析。由于马尔可夫过程应用广泛，它的重要特征是无后效性和遍历性。因此，运用马尔可夫链，只需要最近或现在的动态资料则可按转移概率可预测将来，这样就可以很方便地达到预测天气变化的目的。 2 马尔可夫链预测模型 2.1 马尔可夫链的概念和特性 马尔可夫过程是指具有以下特性的过程：过程X(t)（或系统）在时刻t 0所处的状态为已知的条件下,过程在时刻t ＞t 0所处状态的条件分布与过程在时刻t 0之前所处的状态无关，只与时刻t 0所处的状态有关，这种特性称为马尔可夫性或无后效性。则称X(t)为马尔可夫过程。 马尔可夫链实际上就是状态和时间都是离散的马尔可夫过程。这一特性可用分布函数来确切地表出：设随机过程{X(t),t ∈T}，状态空间为χ，若对于t 的任意n 个值t 1

随机过程报告记录——马尔可夫链

随机过程报告记录——马尔可夫链

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马尔可夫链 马尔可夫链是一种特殊的随机过程，最初由A.A .M arkov 所研究。它的直观背景如下:设有一随机运动的系统E (例如运动着的质点等)，它可能处的状态记为 ,....E ,...,E ,E n 10总共有可数个或者有穷个。这系统只可能在时刻t=1,2,…n,…上 改变它的状态。随着∑的运动进程，定义一列随机变量Xn,n=0,1, 2, ?其中Xn=k ，如在t=n 时，∑位于Ek 。 定义1.1 设有随机过程}{T n X n ∈，，若对任意的整数T n ∈和任意的 ,,...,110I i i i n ∈+条件概率满足 }i {},...,i X i {1n 100 01n 1n n n n n n i X X P i X X P ======++++ 则称}{T n X n ∈，为马尔可夫链，简称为马氏链。 实际中常常碰到具有下列性质的运动系统∑。如果己知它在t=n 时的状态，则关于它在n 时以前所处的状态的补充知识，对预言∑在n 时以后所处的状态，不起任何作用。或者说，在己知的“现在”的条件下， “将来”与“过去”是无关的。这种性质，就是直观意义上的“马尔可夫性”，或者称为“无后效性”。 假设马尔可夫过程}{T n X n ∈，的参数集T 是离散时间集合，即T={0,1,2,…},其相应Xn 可能取值的全体组成的状态空间是离散状态空间I={1,2,..}。 定义1.2 条件概率 }{P 1)(i X j X p n n n ij ===+ 称为马尔可夫链}{T n X n ∈，在时刻n 的一步转移矩阵，其中i ，j ∈I ，简称为转 移概率。 一般地，转移概率)(P n ij 不仅与状态i,j 有关，而且与时刻n 有关。当)(P n ij 不依赖于时刻n 时，表示马尔可夫链具有平稳转移概率。若对任意的i ，j ∈I ，马尔可夫

随机过程报告——马尔可夫链

马尔可夫链 马尔可夫链是一种特殊的随机过程，最初由A.A .M arkov 所研究。它的直观背景如下:设有一随机运动的系统E (例如运动着的质点等)，它可能处的状态记为,....E ,...,E ,E n 10总共有可数个或者有穷个。这系统只可能在时刻t=1,2,…n,…上改变它的状态。随着∑的运动进程，定义一列随机变量Xn,n=0,1, 2, ?其中Xn=k ，如在t=n 时，∑位于Ek 。 定义1.1 设有随机过程}{T n X n ∈，，若对任意的整数T n ∈和任意的 ,,...,110I i i i n ∈+条件概率满足 }i {},...,i X i {1n 100 01n 1n n n n n n i X X P i X X P ======++++ 则称}{T n X n ∈，为马尔可夫链，简称为马氏链。 实际中常常碰到具有下列性质的运动系统∑。如果己知它在t=n 时的状态，则关于它在n 时以前所处的状态的补充知识，对预言∑在n 时以后所处的状态，不起任何作用。或者说，在己知的“现在”的条件下， “将来”与“过去”是无关的。这种性质，就是直观意义上的“马尔可夫性”，或者称为“无后效性”。 假设马尔可夫过程}{T n X n ∈，的参数集T 是离散时间集合，即T={0,1,2,…},其相应Xn 可能取值的全体组成的状态空间是离散状态空间I={1,2,..}。 定义1.2 条件概率 }{P 1)(i X j X p n n n ij ===+ 称为马尔可夫链}{T n X n ∈，在时刻n 的一步转移矩阵，其中i ，j ∈I ，简称为转移概率。 一般地，转移概率)(P n ij 不仅与状态i,j 有关，而且与时刻n 有关。当)(P n ij 不依赖于时刻n 时，表示马尔可夫链具有平稳转移概率。若对任意的i ，j ∈I ，马尔可夫