数学分析选讲参考答案
《数学分析选讲》A/B 模拟练习题参考答案
一、选择题：（共18题，每题3分） 1、下列命题中正确的是（ A B ）
A 、若'()()F x f x =，则()F x c +是()f x 的不定积分，其中c 为任意常数
B 、若()f x 在[,]a b 上无界，则()f x 在[,]a b 上不可积
C 、若()f x 在[,]a b 上有界，则()f x 在[,]a b 上可积
D 、若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上可积 2、设243)(-+=x x x f ，则当0→x 时，有（ B ） A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非是等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小
3、若f 为连续奇函数,则()x f sin 为( A ) A 、奇函数 B 、偶函数
C 、非负偶函数
D 、既不是非正的函数,也不是非负的函数. 4、函数()f x 在[,]a b 上连续是()f x 在[,]a b 上可积的（ A ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要条件 D. 非充分也非必要条件. 5、若f 为连续奇函数,则()x f cos 为( B ) A 、奇函数 B 、偶函数
C 、非负偶函数
D 、既不是非正的函数,也不是非负的函数. 6、设arctan (),x
f x x
=
则0x =是()f x 的（ B ） A. 连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点
7、设+N ∈?N ,当N n >时,恒有n n b a >,已知A a n n =∞
→lim ,B b n n =∞
→lim .则正确的选
项是( A )
A 、
B A ≥ B 、B A ≠
C 、B A >
D 、A 和B 的大小关系不定. 8、函数f(x,y) 在点00(,)x y 连续是它在该点偏导数都存在的（ A ） A.既非充分也非必要条件 B 充分条件 C.必要条件 D.充要条件 9、极限=+-∞→3
3
21
213lim
x x x ( D )
A 、
3
23
B 、3
23
-
C 、3
23
±
D 、不存在.
10、部分和数列}{n S 有界是正项级数∑∞
=1
n n u 收敛的( C )条件
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C.充分必要
D.非充分非必要
11、极限=??
? ??-→1
0sin lim x x x x ( A )
A 、13e -
B 、13
e C 、3e - D 、不存在. 12、与lim n n x a →∞
=的定义等价的是（ B D ）
A 、0,ε?> 总有n x a ε-<
B 、0,ε?> 至多只有{}n x 的有限项落在(,)a a εε-+之外
C 、存在自然数N ，对0,ε?>当n N >，有n x a ε-<
D 、0(01),εε?><<存在自然数N ，对,n N ?>有n x a ε-< 13、曲线2
2
11x x e
e y ---+=
( D )
A 、没有渐近线
B 、仅有水平渐近线
C 、仅有垂直渐近线
D 、既有水平渐近线, 也有垂直渐近线 14、下列命题中，错误的是（ A D ）
A 、若()f x 在点0x 连续，则()f x 在0x 既是右连续，又是左连续
B 、若对0,()f x ε?>在[,]a b εε+-上连续，则()f x 在(,)a b 上连续
C 、若()f x 是初等函数，其定义域为(,)a b ，0(,)x a b ∈，则0
0lim ()()x x f x f x →=
D 、函数()y f x =在0x 点连续的充要条件是()f x 在0x 点的左、右极限存在且相等 15、设{}
n a 为单调数列，若存在一收敛子列{}
j n a ，这时有（ A ） A 、j n j n n a a ∞
→∞
→=lim lim
B 、{}n a 不一定收敛
C 、{}
n a 不一定有界
D 、当且仅当预先假设了{}n a 为有界数列时，才有A 成立 16、设)(x f 在R 上为一连续函数，则有（ C ） A 、当I 为开区间时)(I f 必为开区间 B 、当)(I f 为闭区间时I 必为闭区间 C 、当)(I f 为开区间时I 必为开区间 D 、以上A,B,C 都不一定成立 17、下列命题中错误的是（ Ａ Ｃ ）
A 、若lim 1n
n n
u v →∞=，级数1n n v ∞=∑收敛，则1n n u ∞
=∑收敛；
B 、若(1,2)n n u v n ≤=，级数1
n n v ∞
=∑收敛，则1
n n u ∞
=∑不一定收敛；
C 、若1n n u ∞
=∑是正项级数，且,,N n N ??>有1
1,n n
u u +<则1n n u ∞
=∑收敛；
D 、若lim 0n n u →∞
≠，则1
n n u ∞
=∑发散
18、设 ∑∞
=1
n n u 为一正项级数，这时有（ D ）
A 、若0lim =∞
→n n u ,则 ∑∞
=1
n n u 收敛
B 、若 ∑∞
=1n n u 收敛，则1lim
1
<+∞→n
n n u u
C 、若 ∑∞
=1
n n u 收敛，则1lim <∞
→n n n u
D 、以上A,B,C 都不一定成立
二、填空题：（共15题，每题2分） 1、设2sin cos cos20x y y y -+=，则=
'=2
πy y
2或-2 2、n n n )11(lim -∞
→=
e 1
3、1)1
1(lim +∞
→+n n n = e
4、
221
lim 220---→x x x x = 2 5、设21
(10)n n x ∞
=-∑收敛，则lim n n x →∞
= 10
6、
121lim 221---→x x x x = 32 7
、
(,)lim
x y →=
2
8、
=-+→114sin lim
x x
x
8
9、设3
()cos F x x '=，则=)(x F C x
x +-3
sin sin 3 10、设x y e =，则(2016)y = x e 11
、幂级数1n n ∞
=的收敛半径为 1
12、积分321
4
21sin 21
x x
dx x x -++?的值为 0 13、曲线228y x x =--与x 轴所围成部分的面积为 36
14、
lim 1x
x x x →∞??= ?+?? 1
e - 15、2
22
2)0,0(),(lim
y x y x y x +→= 0
三、计算题：（共15题，每题8分） 1
、求?.
222
,2sin 2cos 2cos 4cos t t tdt t d t t t t tdt ===-=-+????
222cos 4sin 2cos 4sin 4sin t t td t t t t t tdt
=-+=-+-??
=2x C -
2、将2
()12x
f x x x
=
+-展开成x 的幂级数，并指出其收敛域。 解：111()[
]3112f x x x =--+ =00
1[(2)]3n
n n n x x ∞∞
==--∑∑ =111[1(1)2]3n n n n x ∞+=+-∑ 且由 121
x x ?
?
3
、求!)n n →∞
解：原式＝０（有界量乘以无穷小量） 4
、求
t =
，原式＝2cos 2sin 2sin tdt t C C =+=?
5、求250ln(1)
lim 1cos x x x x →++-
解：原式＝ 25
20lim 22
x x x x →+=
6、求极限2
0)
1ln(lim x x xe x x +-→
解：
2
32
)1(1
2lim
2)1(1
lim )1ln(lim 2
020=
++
+=+-
+=+-→→→x xe e x
x xe e x
x xe x x x x x x x x
7、设2
1sin 00
x x x y x ?≠?=??=? , 求y '
解：当0x ≠时，11
2sin cos y x x x '=-； 20
1
sin
01
(sin
1)0lim x x x y x x
x
→-'
==≤=
8、设????
???>+=<=0,0,0,sin )(22
x b ax x A x x x x f π，其中b a A ,,为何值时，)(x f 在x=0处可导，为什么，
并求)0('f 。
解：)sin (lim sin
lim )0()(lim 0200x
A x x x A
x x x f x f x x x -=-=--
--→→→ππ
0sin lim 0=-→x
x x π
，故要使)0('-f 存在，必须0=A
又)(lim lim )0()(lim
0200x
b
ax x b ax x f x f x x x +=+=-+++→→→ 要使有导数存在,必须b=0.
综上可知,当A=b=0,a 为任意常数时，)(x f 在x=0处可导，且0)0('=f
9、计算下列第一型曲面积分：22(),S
x y z ds +-??其中S 为1,z =22 1.x y +≤
解: S 由平面构成:2:1,S z =22 1.x y +≤
221
2
2
2
2
200()(1)(1),2S D
x y z ds x y dxdy d r rdr π
π
θ+-=+-=-?=-??????
10、?+)
1(x x x 解：
C
x x dx x
x dx x x x x
x x x x ++-=+-=+∴+-
=+??1ln ln )111()1(11
1)1(
11、
t
tdt x
x sin cos 0
20lim
?
→ 解：由洛必达（L ’Hospital ）法则得
1cos lim cos cos lim sin cos lim
0200
20
===→→→?x x x
x
tdt x x x
x
12、dx x ?20
2sin -1π
解：
2
22)cos (sin )cos (sin )cos )sin (cos cos -sin )cos -(sin 2sin -12
4
4024
40
20
20
2
20
-=+-+=-+-===?????
π
π
π
π
ππ
π
π
πx x x x dx
x x dx x x dx
x x dx x x dx x
13、 ?-dx x
x x x 2
2
sin cos cos sin
解: ()C x x x d dx x x dx x
x x x +-=-==
-???2cos 2
1
2cos 2cos 412cos 2sin 21sin cos cos sin 22
14、 ?
++dx x x x
sin cos 1
解: ()C x x x
x x x d dx x x x ++=++=++??
sin ln sin sin sin cos 1
15、()?dx x
x ln ln
解: ()()()()()()C x x x
dx
x x x d x dx x x +-=-?==???1ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln
四、证明题（共17题，共156分）
1、（6分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且'()0f x >。试证：如果()()0f a f b ?<，则方程()0f x =在(,)a b 内仅有一个实根。 证明：因为()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，()()0f a f b ?<，
于是由零点存在定理知，至少存在一点(),a b ξ∈使得()0f ξ=，又'()0f x >， 因此知()f x 在(),a b 上为严格格单调增加的， 故方程()0f x =在(,)a b 内仅有一个实根。
2、（10分）指出函数22
2()(4)x x
f x x x -=-的不连续点，并判定不连续点的类型. 解：()f x 的不连续点为0,2x x ==± 又 200
00(2)1
lim ()lim
(4)2
x x x x f x x x →+→+-==-
2000022(2)1
lim ()lim (4)2
(2)1
lim ()lim (2)(2)4x x x x x x f x x x x x f x x x x →-→-→→-==-
---==-+
2
2(2)
lim ()lim
(2)(2)
x x x x f x x x x →-→--==∞
-+
而()f x 在2x =点没有定义，于是知0x =为()f x 的第一类不连续点；
2x =-为()f x 的第二类不连续点；2x =为()f x 的第三类不连续点。
3、（10分）设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，'()0f x ≤，又()()x
a
f t dt F x x a
=
-?，
证明在(,)a b 内有'()0F x ≤.
证明：由于2
2
()()()()(()())()()
()x
x
x
a
a
a
f t dt x a f x f t dt
f x f t dt F x x a
x a x a ---'=
=
=
---???
又在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，'()0f x ≤，由拉格朗日中值定理知，(,)t x ξ?∈使得()()()()0f x f t f x t ξ'-=-≤，从而在(,)a b 内有'()0F x ≤
4、（12分）设22
222
2
2
2
0(,)0
0x y xy x y f x y x y x y ?-?+≠?=+?+=??
（1）证明(,)f x y 在（0，0）点连续 （2）求(,),(,)x y f x y f x y
（3）证明(,)f x y 在（0，0）点可微
解：（1）令cos ,sin ,x y ρθρθ==则
222(,)(0,0)
22lim
(,)lim sin cos (cos sin )
0(0,0)
(sin cos (cos sin )2)
x y f x y f ρρθθθθθθθθ→→=-==-≤
故(,)f x y 在（0，0）点连续。
（2）422422222
220
(4)
()(,)(,0)(0,0)lim 00
x x y x x y y x y x y f x y f x f x y x →?+-+≠??+=?
-?=+=??
422422222220
(4)0
()(,)(0,)(0,0)lim 00
y y x x x y y x y x y f x y f y f x y y →
?--+≠?
+?
=?
-?
=+=??
（3）由于
322222(,)()
()000lim 0
x y x y x y x y x y ??→???-?=≤?+??→??≤→ ?
?→??=故
即(,)f x y 在（0，0）点可微.
5、（6分）设()f x 在[,]a b 严格单调递减，()f x '存在，[(),()][,],22
f b f a ππ
?-
且()0,f x m '≥>试证明
2cos ()b
f x dx a
m
≤
?. 证明：令()f x t =，则由题意有
()1
cos ()cos ()()
b
f b f x dx t dt a f a f x =
?'??
6、(10分) 设)(x y y =为可微函数.求)0('y ，其中x x e ye y y x 7sin 2-+-=（1） 解：将已知等式两边对x 求导得
7cos 2sin '2''-+?+--=x e x y e ye e y y y y x x （2） 将x=0代入(1)式解得0)0(=y ，再将x=0代入（2）得
25
)0(',
72)0(')0('-
=∴-+-=y y y
7、(10分)?
-=x
dt t t x 0)1ln()(?在-1 1 )()(2x x x ???=-+ 证明：令)(2 1 )()()(2x x x x F ???--+=，则 dx x d dx x d dx x d dx x dF ) (21)()()(2???--+= 0 2) 1ln(21)1()1ln()1ln(2 2=?---?-++-=x x x x x x x C x =∴)(F ，即C )(2 1 )()(2=--+x x x ???（1） 将x=0代入（1）)0(21 )0()0(C ???-+=∴ 但.0.0)0(=∴=C ?)(2 1 )()(2x x x ???=-+∴ ()1 cos ()() () 1cos () ()11cos (sin ()sin ())()2f a t dt f b f x f a t dt f b m f a tdt f a f b f b m m m ≤?'≤ ==-≤??? 8、(10分)求幂级数1 (1)2n n n x n ∞ =+?∑的收敛域。 解： 由于1 2 n =，则R=2，即当212x -<+<时其绝对收敛 又当x+1=2，即x=1时，原级数为11 n n ∞ =∑发散 当x 12+=-，即x 3=-时，原级数为1 (1)n n n ∞ =-∑收敛 故原级数的收敛域为[3,1)- 9、（7分）证明：当0>x 时，(1)ln(1)arctan x x x ++>. 证明：设()(1)ln(1)arctan (0)f x x x x x =++->，则()f x 在[0,)+∞连续. 2 0()ln(1)0,1x x f x x x '>=++>+当时,则()f x 在[0,)+∞单调增加。 则对任意0x >有()(0)0f x f >=， 即(1)ln(1)arctan 0(0)x x x x ++->> 10、（10分）设)(x f 在[]1,0上可微，且满足?=-21 0)(2)1(dx x xf f (1)求证：在(0,1)内至少存在一点ξ，使ξ ξξ) ()('f f - =. 证明：由(1)式及积分中值定理知，存在?? ? ???∈2,101，ξ，使 )()1(,2 1 )(2)1(01111ξξξξf f f f =∴?-= (2) 令)()(x xf x F =,则由(2)式及假设可知)(x F 在[]11，ξ上满足罗尔定理的条件，故存在)1,0()1,(1?∈ξξ使ξ ξξ) ()('f f -= 11、(10分) 求11 2-∞ =∑n n x n 的收敛域，并求其和函数. 解：设2 n a n =，则由1lim 1 =+∞→n n n a a 及∑∞ =-±121)1(n n n 都发散， 可知11 2-∞ =∑n n x n 的收敛域为(1,-1). 再由于)1,1(,1)(x 0 1 2 1 1 2x -∈-= ==? ∑∑?∞ =∞ =-x x x nx dt t n dt t f n n n n ) 1,1(,)1(1'))1(( )')(()(3 1 2 1 2-∈-+=-===∑?∞ =-x x x x x dt t f x n x f n x n 12、(10分)设??? ??=≠=, 0,00,)(21x x e x f x 试证明：)('x f 在x=0处连续. 证明： 101001lim lim )0()(lim )('x x x x x e x x e x f x f x f →-→→==-= 0 2lim )2(1lim 2 10 31 2 ==-?- =→→x x x x e x x e x 则??? ??=≠=-, 0,00,1)('13x x e x x f x 134 130026 lim 2lim )('lim x x x x x e x x e x x f --==→→→ )0('023 lim 3lim 13 2 1 f e x x e x x x x x ==?- -==→→ 因此)('x f 在x=0处连续. 13、（6分）证明由积分确定的连续函数零点定理：设()x f 在[]b a ,上连续，若 ()0=?b a dx x f ，则()b a x ,0∈?，使得()00 =x f . 证明：用反证法. 若对()()0,,≠∈?x f b a x ,由连续函数的零点定理可知,()x f 在 []b a ,上不变号.不妨设在[]b a ,上()0>x f ,由定积分的性质可得()0>?b a dx x f ,此 与条件矛盾,于是,必()b a x ,0∈?，使得()00=x f . 14、（10分）设()x f 在[]a ,0上连续,且满足()00=?a dx x f .试证:()a ,0∈?ξ,使得 ()()0=+-ξξf a f . 证明：取变换t a x -=,则dt dx -=,已知积分等式变为 ()()()???-=--==a a a dt t a f dt t a f dx x f 0 00 0. 注意到[]a x ,0∈时,也有[]a t ,0∈,因而()t a f -在[]a ,0上连续,于是 ()()[]00 =-+?a dx x a f x f . 由此可得()a ,0∈?ξ,使得()()0=+-ξξf a f . 15、（12分）设f 在[]1,0上连续,在()1,0内可导,且 ()1 0f x dx =?,记 ()()0 x F x xf t dt =?,(1)求()x F ';(2)求证:()1,0∈?ξ,使得()()0 f x dx f ξ ξξ=-?; 解：(1) ()()()0 x F x f t dt xf x '=+?; (2) 因为()()()1 010F F f t dt ===?,又F 在[]1,0上连续,在()1,0内可导,由 罗尔中值定理,()1,0∈?ξ,使得()0='ξF ,即()()0 f x dx f ξ ξξ=-?; 16、（7分）设），，， 21(61011=+==+n x x x n n ，试证数列{}n x 存在极限，并求此极限。 证明：由4166,10121==+==x x x 知，21x x >。 假设1+>k k x x ，则21166+++=+>+=k k k k x x x x ，由归纳法知{}n x 为单调下降数列，又显然有0>n x ，所以{}n x 有下界。由单调有界原理知，数列{}n x 收敛，所以可令a x n m n =→lim ，对n n x x +=+61两边取极限得0662=--?+=a a a a ，解 得（舍去）或23-==a a ,故3lim =∞ →n n x 17、（10分）设?????=≠=.0,0. 0,1sin )(3 x x x x x f ，证明：)(x f 在0=x 处可微；)(x f '在0=x 处不可微。 证明：因为01 sin lim 0)0()(lim )0(200 ==--='→→x x x f x f f x x ，所以函数)(x f 在0=x 处可导，由可导与可微的关系知)(x f 在0=x 处可微； 又当0≠x 时，x x x x x f 1cos 1sin 3)(2-='， 而)1 cos 1sin 3(lim 0)0()(lim 00x x x x f x f x x -=-'-'→→极限不存在，故)(x f '在0=x 处不可导，由可导与可微的关系知)(x f '在0=x 处不可微。 分析数学教案主讲人姜广浩 淮北师范大学数学科学学院 2010年3月1日 第一章 一元函数的极限 § 利用定义及迫敛性定理求极限 设R 表示实数集合,*R 表示扩张的实数集,即*R {}+∞∞-?=,R . 例1 若*lim R a a n n ∈=+∞ →.证明*21lim R a n a a a n n ∈=++++∞→ (算术平均值收敛公式). 证明 (1)设R a ∈,由a a n n =+∞ →lim ,0>?ε,01>?N ,当1N n >时, 2 ε< -a a n .因此 a n a a a n -+++ 21 n a a a a a a n ) ()()(21-++-+-= n a a a a a a N -++-+-≤121 n a a a a n N -++-+ + 11 21ε?-+≤ n N n n A 2 ε+ 《数学分析选讲》 第二次作业 一、判断下列命题的正误 1. 若函数在某点无定义，则函数在该点的极限一定不存在. 错误 2. 若)(x f 在[,]a b 上连续，则)(x f 在[,]a b 上一定有最大值．正确 3. 若)(x f 在(,)a b 上连续，则)(x f 在(,)a b 上一定有最小值．正确 4. 若()f x 在[,]a b 上连续，且()()0f a f b <,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使 ()0f ξ=．错误 5. 初等函数在其定义区间上连续. 正确 6．闭区间[,]a b 的全体聚点的集合是[,]a b 本身. 正确 7. 任一实系数奇次方程至少有一个实根.错误 二、选择题 1．下面哪些叙述与数列极限A a n n =∞ →lim 的定义等价（ A ） A )1,0(∈?ε，0>?N ，N n ≥?，ε≤-||A a n ； B 对无穷多个0>ε，0>?N ，N n >?，ε<-||A a n ； C 0>?ε，0>?N ，有无穷多个N n >，ε<-||A a n ； D 0>?ε，有}{n a 的无穷多项落在区间),(εε+-A A 之内 2．任意给定0>M ，总存在0>X ，当x X >时，M x f -<)(，则（ A ） A lim ()x f x →+∞=-∞； B -∞=∞→)(lim x f x ； C ∞=-∞→)(lim x f x ； D ∞=+∞ →)(lim x f x 3．设a 为定数.若对任给的正数ε，总存在0>X ，当>x X 时，()f x a ε-<，则（ D ）. A lim ()→-∞=x f x a ； B lim ()→+∞=x f x a ； C lim ()x f x a →∞=； D lim ()x f x →∞ =∞ 4．极限=-→x x x 10)21(lim （ BC ） A 2e ； B 2e - ； C 1e - ； D 1 5．21sin(1)lim 1 x x x →-=-（ C ） A 1 ； B 2 ； C 21 ； D 0 [0088]《数学分析选讲》 第一次作业 [论述题]1346658460111.doc 《数学分析选讲》 第一次 主观题 作业 一、判断下列命题的正误 1. 若数集S 存在上、下确界，则inf su p S S ≤. 2. 收敛数列必有界. 3. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. 4．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. 5．若一数列收敛，则该数列的任何子列都收敛. 二、选择题 1．设2,1 ()3,1 x x f x x x -≤?=? ->?, 则 [(1)]f f =( ) . A 3- ； B 1- ； C 0 ； D 2 2．“对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时，恒有2||2n x a ε-≤”是数列 }{n x 收敛于a 的（ ）. A 充分必要条件； B 充分条件但非必要条件； C 必要条件但非充分条件； D 既非充分又非必要条件 3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（ ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个； C 必定有无穷多个 ； D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ ）． A 收敛； B 发散； C 是无穷大； D 可能收敛也可能发散 5．设a x n n =∞ →||lim ，则 （ ） A 数列}{n x 收敛； B a x n n =∞ →lim ； C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散； D a x n n -=∞ →lim ； 6．若函数)(x f 在点0x 极限存在，则（ ） A )(x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值； B )(x f 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值； C )(x f 在0x 的函数值可以不存在； 《数学分析选讲》 第四次作业 一、判断下列命题的正误 1.若函数)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上有界. (正确) 2．若)(x f 在[,]a b 上可积，则2 ()f x 在[,]a b 上也可积. (正确) 3．若)(x f 在区间I 上有定义，则)(x f 在区间I 上一定存在原函数. (错误) 4．若)(x f 为],[b a 上的增函数，则)(x f 在],[b a 上可积. (正确) 5．若)(x f 在],[b a 上连续，则存在[,]a b ξ∈，使()()()b a f x dx f b a ξ=-? .(正确) 二、选择题 1．对于不定积分?dx x f )( ,下列等式中（ A ） 是正确的. A )()(x f dx x f dx d =?； B ?=')()(x f dx x f ； C )()(x f x df =? ； D ? =)()(x f dx x f d 2．若 ?+=c e x dx x f x 22)(，则=)(x f （ D ） A x xe 22 ； B x e x 222 ； C x xe 2 ； D )1(22x xe x + 3．设5sin x 是)(x f 的一个原函数，则 ?='dx x f )(（ B ） A c x +-sin 5 ； B c x +cos 5 ； C 5sin x ； D x sin 5- 4．若)(x f '为连续函数，则(41)'+=?f x dx （ A ） A 1 (41)4 ++f x c ； B ()f x c +； C (41)++f x c ； D 4(41)++f x c 5．若 ?+=c x dx x f 2 )(，则?=-dx x xf )1(2（ D ） A c x +-2 2)1(2 ； B c x +--2 2)1(2； C c x +-- 22)1(21 ； D c x +-22)1(21 6． =+? x dx cos 1 （ C ） 《数学分析选讲》课程教学大纲 一、 课程性质、目标、任务 课程的基本特性: 数学分析专题选讲是数学与应用数学专业重要的选修课,它是学生进一步学习分析数学的分支和科学研究必不可少的专业基础知识, 同时也可使其他理科专业学生进一步了解微积分学知识. 课程的教学目标:该课程主要系统拓展和加深学习极限理论, 函数的连续性, 微分中值定理的及其应用,函数积分学,数值级数与无穷积分, 函数级数与含参变量的无穷积分, 多元函数积分学的核心内容. 课程的总体要求:主要要求学生系统拓展和加深极限理论, 函数的连续性, 微分中值定理的极其应用, 函数积分学,数值级数,函数级数与含参变量无穷积分的基本技能、基本思想和方法,主要培养学生分析论证问题的能力、抽象思维能力和科学研究的初步能力. 二、课程学时分配 章次 教学内容 讲课 实践 教学 其他 合计 第一章 函数极限与数列极限 4 4 第二章 函数的连续性与一致连续性 12 12 第三章 微分与微分学基本定理 12 12 第四章 不定积分与定积分 8 8 第五章 无穷、瑕、重、曲线、曲面积分 12 12 第六章 级数 14 14 总计 62 62 课程编码： 课程性质： 学科专业选修课程 教学对象： 数学与应用数学 学时学分： 62学时 4学分 编写单位： 铜仁学院数学与计算机科学系 编 写 人： 审 定 人： 编写时间： 2013年8月 二、教学内容 第一章函数极限与数列极限（4学时） 1、教学目标 掌握：函数极限和数列极限的求法，柯西准则，tolz定理 理解：函数极限和数列极限的概念 了解：柯西准则，tolz定理的应用 2、本章重点 函数极限和数列极限的求法。 3、本章难点 柯西准则，tolz定理的应用 4、讲授内容 第一节数列极限 第二节收敛数列 第三节函数极限 第四节函数极限定理 第二章函数的连续性与一致连续性（12学时） 1、教学目标 掌握：函数连续性和一致连续性的性质和应用 理解：函数连续性和一致连续性的概念 了解：不动点定理，函数方程 2、本章重点 函数连续性和一致连续性的性质和应用及证明 3、本章难点 不动点问题和函数方程 4、讲授内容 第一节连续函数 第二节连续函数的性质 第三节函数的连续性与一致连续性（一） 第四节函数的连续性和一致连续性（二） 第五节不动点问题 第六节函数方程 第三章微分与微分学基本定理（12学时） 1、教学目标 掌握：一元函数的导数和微分；多元函数的偏导和全微分；微分学基本定理 2010工科数学分析基础（微积分）试题 一、填空题 (每题6分，共30分) 1．函数?? ? ?? ??? ??-≥+=01 0)(2 x x e x bx a x f bx ，=- →)(lim 0x f x ，若函数)(x f 在0=x 点连续，则b a ,满足 。 2．=?? ? ??+∞→x x x x 1lim ， =??? ??+++???++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim 。 3．曲线? ??==t e y t e x t t cos 2sin 在()1,0处的切线斜率为 ，切线方程为 。 4．1=-+xy e y x ，=dy ，='')0(y 。 5．若22 lim 2 21=-+++→x x b ax x x ，则=a ，=b 。 二、单项选择题 (每题4分,共20分) 1．当0→x 时，1132-+ax 与x cos 1-是等价无穷小，则（ ） （A ）32= a ， （B ）3=a ， (C). 2 3 =a ， （D ）2=a 2．下列结论中不正确的是（ ） （A ）可导奇函数的导数一定是偶函数； （B ）可导偶函数的导数一定是奇函数； (C). 可导周期函数的导数一定是周期函数； （D ）可导单调增加函数的导数一定是单调增加函数； 3．设x x x x f πsin )(3-=，则其（ ） （A ）有无穷多个第一类间断点； （B ）只有一个跳跃间断点； (C). 只有两个可去间断点； （D ）有三个可去间断点； 4．设x x x x f 3 )(+=，则使)0() (n f 存在的最高阶数n 为（ ） 。 （A ）1 （B ）2 (C) 3 （D ）4 5．若0)(sin lim 30=+→x x xf x x ， 则2 0) (1lim x x f x +→为（ ）。 （A ）。 0 （B ）6 1 ， (C) 1 （D ）∞ 1、若函数f是奇函数，且在[-a,a]上可积，则 2、任意给定M>0，总存在X>0，当x<-X时，f(x)<-M，则（） 3、极限（） 1 e -1 1/e 4、设f可导，则 f'(sinx)dx -f'(sinx)cosxdx f'(sinx)sinxdx f'(sinx)cosxdx 5、. 1 -1 2 6、函数为 ( ) 基本初等函数 初等函数 复合函数 分段函数 7、设，则 1 -1 -3 2 8、若,则 A. 数列{xn}发散 数列{xn}收敛于0 数列{xn}可能收敛，也可能发散 A，B，C都不正确 9、设，则是的（） 可去间断点 连续点 第二类间断点 跳跃间断点 10、若为连续函数，则 f(x)+C 1/2 f(2x+1)+C f(2x+1) 2f(2x+1)+C 11、设可导，则 f'(cosx)dx f'(cosx)cosxdx -f'(cosx)sinxdx f'(cosx)sinxdx 12、设，则 1 2 -1 13、设函数在上连续,则 D. f'(x)dx f(x)dx f(x)+c f(x) 14、设5sinx是f(x)的一个原函数，则 5cosx+c -5sinx 5sinx+c -5sinx+c 15、若，则函数在点处（） E. 一定有极大值 没有极值 一定有极小值 不一定有极值 16、定义域为[1,2],值域为（-1，1）的连续函数（） 存在 存在且唯一 不存在 可能存在 判断题 17、若数列有界，则数列收敛. A.√ B.× 18、若函数在[a,b]上可积，则该函数在[a,b]上有界. A.√ B.× 19、设数列{an} 与{bn}都发散，则数列一定发散. A.√ B.× 20、若实数A是非空数集S的下确界，则A一定是S的下界. A.√ B.× 《数学分析选讲》 第一次作业 一、判断下列命题的正误 1. 设S 为非空数集。若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界. 2. 函数()sin =f x x 为(,)-∞+∞上的有界函数. 3．函数()sin cos f x x x =-既不是奇函数，也不是偶函数. 4. 若数列{}n a 收敛，则数列2{}n a 收敛. 5．若数列{}n a 有界，则数列{}n a 一定收敛. 6．若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 的任何子列都收敛. 7. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. 8．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. 9．若函数)(x f 在0x 的极限存在，则)(x f 在0x 处一定连续. 二、选择题 1．设2,1()3,1x x f x x x +≤?=?->? , 则 [(0)]=f f ( ) A 1 ； B 2 ； C 3 ； D 0 2．设函数1,()0,x f x x ?=??为有理数为无理数 ， 则 1)=f （ ）． A 1- ； B 1 ； C 0 ； D 12 3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（ ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个； C 必定有无穷多个 ； D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ ）． A 收敛； B 发散； C 是无穷大； D 可能收敛也可能发散 5．设lim ||2n n x →∞ =，则 （ ） A 数列}{n x 收敛； B lim 2n n x →∞ =； C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散； D lim 2n n x →∞ =-； 6．已知 2 lim()01 x x ax b x →∞--=+，其中b a ,是常数，则（ ） 三、计算题 1．求极限 90 20 70) 15() 58()63(lim --++∞ →x x x x . 解: 90 20 70 90 20 70 90 20 70 5 8 3 155863lim ) 15() 58() 63(lim ?= ? ?? ? ? -? ?? ? ? -? ?? ? ?+=--++∞ →+∞ →x x x x x x x x 2．求极限 21 1lim ( ) 2 x x x x +→∞ +-. 解：21 1lim ( ) 2 x x x x +→∞ +=-21111lim 22 11x x x x x x →∞ ? ???++ ? ??= ? ? ? ? --? ? ??211lim 21x x x x →∞? ? + ?= ? ?-?? 2 (4) 2 1[(1)] lim 2[(1) ] x x x x x →∞ - -+ - 2 6 4 e e e -= =. 3． 求极限 1 111lim (1)2 3 n n n →∞ + + ++ 解：由于11 1111(1)2 3 n n n n ≤+ + ++ ≤ ， 又lim 1n →∞ =， 由迫敛性定理 1 111lim (1)12 3 n n n →∞ + + ++ = 4．考察函数),(, lim )(+∞-∞∈+-=--∞ →x n n n n x f x x x x n 的连续性.若有间断点指出其类型. 解： 当0x <时，有221()lim lim 11 x x x x x x n n n n n f x n n n --→∞ →∞ --===-++；同理当0x >时，有()1f x =. 第一讲 习题解答 习题1-1 1 计算下列极限 ① ()1lim 11,0p n n p n →∞ ?? ??+->?? ??????? 解：原式=()1111110lim lim 110 p p p n n n n n n →∞→∞???? +-+-+ ? ?????=-()()0110lim 0p p n x x →+-+=-()() 01p x x p ='=+= ② () sin sin lim sin x a x a x a →-- 解：原式=()()()()sin sin sin sin lim lim sin x a x a x a x a x a x a x a x a →→---?=---=()sin cos x a x a ='= ③ 1x →，,m n 为自然数 解：原式 = 1 1 x x n m →=' == ④ ( ) lim 21,0n n a →∞ > 解：原式( ) () 10 ln 21lim ln 21 1lim ln 1 lim n x n x a e a n n x n e e e →∞ →?? ??- ? ??-→∞ === =()( ) ()()0ln 21ln 21 ln 21lim 2ln 20 x a a x x a a x x e e e a ---→' -==== ⑤ lim ,0x a x a a x a x a →->- 解：原式=lim x a a a x a a a a x x a →-+--lim lim x a a a x a x a a a x a x a x a →→--=---()()x a x a x a a x ==''=-()ln 1a a a =- ⑥ lim ,0x a a x x a x a a a a a x →->- 《数学分析选讲》第三`次作业 1．叙述交错级数n n u ∑--1)1(（n u >0）收敛性的莱布尼茨判别法。 答：未必收敛. 考查交错级数 . 这是交错级数 , 有 . 但该级数发散 . 因为否则应有级数 收敛 . 而 . 由该例可见 , 在Leibniz 判别法中 , 条件 单调是不可少的. 2．叙述函数列)}({x f n 在数集D 上一致收敛于)(x f 的定义。 答： 设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当N n >时，对一切的D x ∈，都有 ε<-)()(x f x f n 则称函数列{}n f 在D 上一致收敛于f ，记作： )(x f n )(x f )(∞→n ， D x ∈。 3．讨论级数∑n n n n !3的收敛性 ()() ()()()()1111111 31!3!,,131!lim lim 3!131lim 1lim 31313!n n n n n n n n n n n x x n n n x n x n n n n a a n n n a n a n n n n n n n e n n ++++++→∞→∞+→∞→∞+==++=?++=+??= ?+?? =>∴∑Q 答:发散. 4．设∑2n a 收敛，证明：∑n a n 绝对收敛。 2222221:,,11121n n n n n a n n N a a n n a n a n ???∈≤+????+∑∑ ∑∑Q g 证明收敛收敛有已知收敛2 则绝对收敛. 5．求幂级数∑2n x n 的收敛域。 解：由于 2 12 1()(1)n n a n n a n +=→→∞+，所以收敛半径为1R =。即收敛区间为（-1，1），而当1x =±时，有() 22211n n ±=，由于级数21n ∑收敛，所以级数∑2n x n 在1x =±时也收敛，从而这个级数的收敛域为[-1，1]。 工科数学分析试题卷及答案 考试形式（闭卷）：闭 答题时间：150 （分钟） 本卷面成绩占课程成绩 80 % 一、填空题（每题2分，共20分） 1．---→x x x x sin 1 1lim 30 3- 2．若?? ???=≠-+=0,0,13sin )(2x a x x e x x f ax 在0=x 处连续，则 a 3- 3．设01lim 23=??? ? ??--++∞→b ax x x x ，则 =a 1 ， =b 0 4．用《δε-》语言叙述函数极限R U ?∈=→)(,)(lim 0 x x A x f x x 的定义： ε δδε)()()(:00 0A x f x x ∈ →∈?>?>?U 5．若当)1(,02 3 +++-→cx bx ax e x x 是3 x 的高阶无穷小，则=a 6 1 =b 2 1 =c 1 6．设N ∈=--→n x x x f x f n x x ,1) () ()(lim 2000 ，则在0x x =处函数)(x f 取得何种极值？ 答： 极小值 姓名: 班级： 学号： 遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范 7．设x x y +=，则dy dx x )211(+ ? 8．设x x y sin =，则=dy dx x x x x x x )sin ln (cos sin + 9． ?=+dx x x 2 1arctan C x +2 arctan 2 1 10．?=+dx e e x x 12 C e e x x ++-)1l n ( 二、选择题：（每题2分，共20分） 1．设0,2) 1()1l n (2 s i n 2t a n l i m 222 2 ≠+=-+-+-→c a e d x c x b x a x x ，则必有（ D ） （A ）d b 4=；（B ）c a 4-=；（C ）d b 4-=；（D ）c a 2-= 2．设9 3 20:0< <>k x ，则方程112=+x kx 的根的个数为（ B ） （A ）1 ；（B ） 2 ； （C ） 3 ； （D ）0 3．设)(x f 连续，且0)0(>'f ，则存在0>δ使得（ A ） （A ）)(x f 在),0(δ内单增； （B ）对),0(δ∈?x 有)0()(f x f >； （C ）对)0,(δ-∈?有)0()(f x f >； （D ）)(x f 在)0,(δ-内单减。 4．)(x f 二阶可导，1) (lim ,0)0(3 -=''='→x x f f x ，则（ A ） （A ）())0(,0f 是曲线)(x f y =的拐点； （B ）)0(f 是)(x f 的极大值； （C ）)0(f 是)(x f 的极小值； （D ） （A ），（B ），（C ）都不成 遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范 工科数学分析（下）期末考试模拟试题 姓名：___________ 得分: _________ 一、填空题（每小题3分，满分18分） 1、设()xz y x z y x f ++=2 ,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→ →→→+-=k j i l 22的方向导数为 _________. 2.,,,-__________. 22 2L L xdy ydx L x y =?+设为一条不过原点的光滑闭曲线且原点位于内部其走向为逆时针方向则曲线积分 1,()c c x y x y ds +=+=?3.设曲线为则曲线积分 ___________ 4、微分方程2 (3xy y)dx 0x dy +-=的通解为___________ 5、2 sin(xy) (y)______________.y y F dx x = ? 的导数为 6、 { ,01,0x (x),2x e x f x ππ ππ--≤<≤≤= =则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于 _____________. 二、计算下列各题（每小题6分，满分18分） 1. (1) 求极限lim 0→→y x ()xy y x y x sin 1 12 3 2+- (2) 2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→ 2.设f ，g 为连续可微函数，()xy x f u ,=，()xy x g v +=，求x v x u ?????（中间为乘号）. 3..222232V z x y x y z V =--+=设是由与所围成的立体,求的体积. 三、判断积数收敛性（每小题4分，共8分） 1. ∑∞ =1!.2n n n n n 2.∑∞ =-1 !2)1(2 n n n n 0088《数学分析选讲》 第一次作业 一、判断下列命题的正误 1. 设S 为非空数集。若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确 （正确） 2. 函数()2cos 1f x x =-为(,)-∞+∞上的有界函数 （正确）. 3．函数()sin cos f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数. （正确） 4. 若数列{}n a 收敛，则数列2 {}n a 也收敛. （正确） 5．若数列{}n a 有界，则数列{}n a 不一定收敛. （正确） 6．若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 的任何子列都收敛. （正确） 7. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. （错误） 8．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. （正确） 9．若函数)(x f 在0x 的极限存在，则)(x f 在0x 处一定有定义. 二、选择题 1．设???>-≤+=1 ,31,1)(x x x x x f , 则 5 [()]2f f =( A ) A 23 ； B 25 ； C 29 ； D 2 1- 2．设函数1,()0,x f x x ?=?? 为有理数 为无理数 ， 则 (0)f f -=（ A ）． A 1- ； B 1 ； C 0 ； D 1 2 3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（B ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个； C 必定有无穷多个 ； D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ B ）． A 收敛； B 发散； C 是无穷大； D 可能收敛也可能发散 5．设a x n n =∞ →||lim ，则 （ C ） A 数列}{n x 收敛； B a x n n =∞ →lim ； C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散； D a x n n -=∞ →lim ； (单选题)1: 如图所示A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)2: 如题 A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)3: 如题 A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)4: 题面见图片A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)5: 题目如图A: 0 B: 1 C: 2 D: 3 标准解答: (单选题)6: 如题 A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)7: 如题 A: A C: C D: D 标准解答: (单选题)8: 如题 A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)9: 如题 A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)10: 如题A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)11: 如题A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)12: A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)13: 如题A: A B: B C: C 标准解答: (单选题)14: A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)15: 如图所示A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)16: A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)17: A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)18: 如题 A: A B: B C: C D: D 标准解答: (单选题)19: 如题 A: A B: B C: C D: D 标准解答: 《数学分析选讲》 第一次 主观题 作业 一、判断下列命题的正误 1. 若数集S 存在上、下确界，则inf su p S S ≤. (正确) 2. 收敛数列必有界. (正确) 3. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. (错误) 4．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. (正确) 5．若一数列收敛，则该数列的任何子列都收敛. (正确) 二、选择题 1．设2,1()3, 1 x x f x x x -≤?=? ->?, 则 [(1)]f f =( A ) . A 3- ； B 1- ； C 0 ； D 2 2．“对任意给定的)1,0(∈ε，总存在正整数N ，当N n ≥时，恒有2||2n x a ε-≤”是数列 }{n x 收敛于a 的（ A ）. A 充分必要条件； B 充分条件但非必要条件； C 必要条件但非充分条件； D 既非充分又非必要条件 3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（ B ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个； C 必定有无穷多个 ； D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ B ）． A 收敛； B 发散； C 是无穷大； D 可能收敛也可能发散 5．设a x n n =∞ →||lim ，则 （ C ） A 数列}{n x 收敛； B a x n n =∞ →lim ； C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散； D a x n n -=∞ →lim ； 6．若函数)(x f 在点0x 极限存在，则（ C ） A )(x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值； B )(x f 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值； C )(x f 在0x 的函数值可以不存在； D 如果)(0x f 存在的话必等于函数值 9.3典型计算题3 试解下列微分方程. 1．222'xy xy y =+ 解：令1-=y z ，两端同乘2)1(--y 得，x xy dx dy y 2)1(2)1()1(12 -=-+--- 即 x xz dx dz 22-=-， )())2((22222c e e c dx e x e z x x xdx xdx +=+?-?=--? 即 211x ce y +=- 2．2322'3x y y xy =- 解：23132'-=-xy y x y ， 令 3y z =， 两端同乘 23y 得，x z x dx dz =-2 )(ln )(222 c x x c dx xe e z dx x dx x +=+??=?-， 即 )(ln 23c x x y += 3．222'x e y xy y =+ 解：令z y z -=1， 11-=-n ， 2)1(2)1('x e xz z -=-+ )())1((2222x c e c dx e e e z x xdx x xdx -=+?-?=-?， 即)(21x c e y x -=- 4．x x e y ye y 22'=- 解：设y z =，211=-n ，)2)2 11(()2(211(221?+?-?=---c dx e e e z dx e x dx e x x 1-=x e ce 即 x e ce y =+1 5．x y x y x y cos ln '21-=+ 解：1ln 2cos ln 21'-=+y x x y x x y ， 令21,2=-=n y z )ln cos (ln 1ln 1c dx e x x e z x x x x +??=?---)(sin ln 1c x x +=，即)(sin ln 12c x x y += 6．x y x y x y 23sin cos sin '2=+ 解：3sin 2 1sin 2cos 'y x y x x y ?=+， 令231--==y y z ))sin ((cot cot c dx e x e z xdx xdx +?-? =?－)(sin x c x -=， 即 )(sin 2x c x y -=- 《数学分析选讲》课程教学大纲 一、《分析选讲》课程说明 课程代码：0741123110 课程英文名称：Selective Lectures of Mathematic Analysis 开课对象：数学与应用数学本科生 课程的性质：考试 学时：72 数学分析选讲是数学与应用数学专业重要的选修课,它是学生进一步学习分析数学的分支和科学研究必不可少的专业基础知识, 同时也可使其他理科专业学生进一步了解微积分学知识，是报考对数学要求较高的硕士学位研究生同学的必修课程。 本课程的前导课程为数学分析。 教学目的： 通过本课程的教学，使学生系统拓展和加深数学分析中的基本技能、基本思想和方法,主要培养学生分析论证问题的能力、抽象思维能力和科学研究的初步能力. 教学内容： 本课程主要系统拓展和加深学习极限理论, 实数的连续性, 微分中值定理的及其应用, 常数项级数和广义积分,与“一致性”有关的几个概念及判别法, 多元函数微分学,多元函数积分学，两个极限过程的换序这八个核心内容。 教学时数 教学时数：７2学时 学分数：学分 教学时数具体分配： 教学方式 课堂讲授,课外习作及批改. 考核方式和成绩记载说明 考核方式为考试。严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量则取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末考试成绩评定，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%。 二、讲授大纲与各章的基本要求 第一章 函数与极限 教学要点： 本章主要研究内容为函数性质的确定；通过实例总结求数列与函数极限的方法，以及如何确定极限的存在性等。 教学时数：8学时。 教学内容： 第一节 函数 1.1 求函数的定义域与值域 1.2 由已知函数关系求函数)(x f 的表达式 1.3 确定函数的性质 1.4 函数方程 第二节 极限 2.1 极限的概念 2.2 求极限的方法 2.3 确定极限存在性的方法 考核要求： 通过本章的学习，学生应能理解函数的定义，准确地确定函数的性质；熟练掌握极限的概念及耱极限的各种常用方法；掌握判断极限存在性的常用方法。 第二章 实数的连续性 教学要点： 本章主要研究 《数学分析选讲》第二次作业 一．叙述下列定理 1.闭区间套定理； 答：若]},{[n n b a 是一个区间套，则存在唯一一点ξ，使得 Λ,2,1],,[=∈n b a n n ξ或Λ,2,1,=≤≤n b a n n ξ 2.聚点定理； 答：实轴上的每一个有界无穷点集必有聚点. 3.有限覆盖定理 答：闭区间的任一开复盖必有有限子复盖. 4.积分第一中值定理 答：若f 在[]b a ,上连续，则至少存在一点[]b a ,∈ξ，使得 ()()().a b f dx x f b a -=?ξ 二．求积分 （1）?-+-dx x x x )11(323 331233 :(111324 x x dx dx xdx x dx x x x x -+=-+-=-+-????解 （2）?+22d x x 222221 d 1112:d d arctan 222221122 x x x x x x x ===+++???解 （3）dx e e x x 3)1(+? **** 3341:(1)(1)(1)(1)4 x x x x x e e dx e d e e +=++=+??解 （4）?-357x dx *** ()()() 1322331:75755133755210x d x x x -=---=-?=--=?解 （5）? xdx x arctan ()2222222222222211:arctan arctan arctan arctan 22 1111arctan arctan 21211111arctan 1arctan 212111(1)arctan 22 x xdx x xdx x x x x x x x x dx x x dx x x x x dx x x dx dx x x x x x C ==-????+-=-=- ? ?++??????????=--=-+ ? ? ?++??? ???=+-+????????解 （6）? 'dx x f e x f )()( ()()()():()f x f x f x e f x dx e df x e c '==+??解 （7）?2ln e e x x dx 2222ln ln ln 1:ln ln ln ln ln 2ln ln e e e e e x e e e dx d x x x x ===-=??解 （8）? -1024dx x :32π=+? 解 （9）?-1 22d ||x x x 1 1 2222||d ||d x x x x x x --=??解: 三．讨论无穷积分dx x p ?+∞ 11的收敛性。 解：当1p ≠时 知到全套答案工科数学分析下提高版2020 章节测试答案 问：“一带一路”重大倡议首次写入联合国大会决议是在（） 答：2016年 问：具备（）素质的创业者往往能够在创业的过程中先拔头筹。 答：把握机遇 问：有一分数序列： 2/1 ， 3/2 ， 5/3 ， 8/5 ， 13/8 ， 21/13 ，…求出这个数列的前 20 项之和。 答：略 问：孔子主张“克己复礼”的修养方法，要求我们做到（） 答：非礼勿视非礼勿听非礼勿言非礼勿动 问：当气压降低时，水的沸点随之（）。 答：降低 问：毛泽东指出：“反对主观主义以整顿党风，反对宗派主义以整顿学风，反对党八股以整顿文风，这就是我们的任务。” 答：× 问：“一带一路”建设不是另起炉灶、推倒重来，而是实现战略对接、优势互补，以下属于“一带一路”建设中中国与其他国家实现规划对接的项目是（） 答：越南提出的“两廊一圈” 哈萨克斯坦提出的“光明之路” 波兰提出的“琥珀之路” 俄罗斯提出的欧亚经济联盟 问：X射线由德国物理学家（）于1895年发现。 答：伦琴 问：《红楼梦》模仿明清传奇用（）开场的惯例，开幕的时候，两个人物出来对话，预报整个剧情。 答：副末 问：以下体现为归因的一致性和共同性的是（）。 答：讲秩序的人通常是遵守规则的人 问：共建“一带一路”不仅是经济合作，而且是完善全球发展模式和全球治理、推进经济全球化健康发展的重要途径。 答：正确 问：()是社会主义核心价值体系的内核。 答：社会主义核心价值观 问：计算理论是研究用计算机解决计算问题的数学理论，有3个核心领域，但不包括（）。（5.0分） 答：抽象理论 问：1931年8月，鲁迅邀请谁从木刻的起稿、用刀、刻法、拓印、套版等问题做了深入讲授？（）。 答：内山嘉吉 问：社会学恢复重建后，费孝通说：“我认为社会学最根本的任务是要解决一个生活在社会里的人，怎样学会做人的问题。”这是指社会学的（） 答：教育功能 问：《红楼梦》的哪些设定体现了隐喻方法？ 答：人名地名正邪对比男女对比阴阳互转 问：细菌性食物中毒的特点? 《数学分析选讲》 第一次作业 一、判断下列命题的正误 1. 设S 为非空数集。若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界. 2. 函数()sin =f x x 为(,)-∞+∞上的有界函数. 3．函数()sin cos f x x x =-既不是奇函数，也不是偶函数. 4. 若数列{}n a 收敛，则数列2{}n a 收敛. 5．若数列{}n a 有界，则数列{}n a 一定收敛. 6．若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 的任何子列都收敛. 7. 设数列{}n a 与{}n b 都发散，则数列{}n n a b +一定发散. 8．若S 为无上界的数集,则S 中存在一递增数列趋于正无穷. 9．若函数)(x f 在0x 的极限存在，则)(x f 在0x 处一定连续. 二、选择题 1．设2,1 ()3,1 x x f x x x +≤?=? ->?, 则 [(0)]=f f ( ) A 1 ； B 2 ； C 3 ； D 0 2．设函数1,()0,x f x x ?=?? 为有理数 为无理数 ， 则 1)=f （ ）． A 1- ； B 1 ； C 0 ； D 1 2 3．若数列}{n x 有极限a ,则在a 的(0)ε>邻域之外，数列中的点（ ） A 必不存在 ； B 至多只有有限多个； C 必定有无穷多个 ； D 可以有有限个，也可以有无限多个 4．数列}{n x 收敛，数列}{n y 发散，则数列{}n n x y + （ ）． A 收敛； B 发散； C 是无穷大； D 可能收敛也可能发散 5．设lim ||2n n x →∞ =，则 （ ） A 数列}{n x 收敛； B lim 2n n x →∞ =； C 数列}{n x 可能收敛，也可能发散； D lim 2n n x →∞ =-； 6．已知 2 lim( )01 x x ax b x →∞--=+，其中b a ,是常数，则（ ） A 1,1==b a ； B 1,1-==b a ； C 1,1=-=b a ； D 1,1-=-=b a数学分析选讲
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