苏教版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
分式的加减(提高)
【学习目标】
1.能利用分式的基本性质通分.
2.会进行同分母分式的加减法.
3.会进行异分母分式的加减法.
【要点梳理】
【403995 分式的加减运算 知识讲解】
要点一、同分母分式的加减
同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减;
上述法则可用式子表为:
a b a b c c c
±±=. 要点诠释:(1)“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减,即各个分子都应用
括号,当分子是单项式时,括号可以省略;当分子是多项式时,特别是
分子相减时,括号不能省,不然,容易导致符号上的错误.
(2)分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.
要点二、异分母分式的加减
异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.
上述法则可用式子表为:
a c ad bc ad bc
b d bd bd bd
±±=±=. 要点诠释:(1)异分母的分式相加减,先通分是关键.通分后,异分母的分式加减法变
成同分母分式的加减法.
(2)异分母分式加减法的一般步骤:①通分,②进行同分母分式的加减运算,
③把结果化成最简分式.
【典型例题】
类型一、同分母分式的加减
【403995 分式的加减运算 例1】
1、计算:(1)222
56343333a b b a a b a bc ba c cba +-++-;(2)2222()()a b a b b a ---; (3)
22m n n m n m m n n m ++----; (4)33()()x y x y y x ---. 【答案与解析】
解:(1)原式2(56)(34)(3)3a b b a a b a bc ++--+=
225634323a b b a a b a bc a c ++---==. (2)2222()()a b a b b a ---222222()2()()()a b a b a b a b a b a b
-=-==----; (3)22m n n m n m m n n m
++---- 22221m n n m m n n m n m n m n m n m n m n m
++---=--===-----; (4)33()()x y x y y x ---333
()()()x y x y x y x y x y +=+=---. 【总结升华】根据乘法交换律有222333a bc ba c cba ==,所以本题是三个同分母分式的加
减法,根据法则:分母不变,分子相加减.注意把分子看成一个整体用括号括起来,再加减.仔细观察分母中2()a b -与2()b a -,()n m -与()m n -、3()x y -与3
()y x -的互相转化中符号的变化. 类型二、异分母分式的加减
2、(新罗区校级月考)计算:
.
【答案与解析】
解:原式=. 【总结升华】此题考查了分式的加减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 举一反三:
【变式】计算(1)(2016·十堰)222442242x x x x x x
-+-++-+; (2)
222()()()()()()
a b c b c a c b a a b a c b c b a c b c a ------++------. 【答案】 解:(1)222442242x x x x x x
-+-++-+ ()()()()2
222222x x x x x x --=+++-+
()22222x x x x x
--=++++ ()()()()()
2222222x x x x x x x x x x x -+-=+++++ ()2222242x x x x x x x -+-++=+
()
23322x x x x +-=+; (2)原式111111a c a b b a b c c a c b
=
+++++------ 1111110a c a c a b a b b c b c =-+-+-=------.
3、 化简222236523256
x x x x x x x x ++++-++++ 【答案与解析】 解:原式2244113256x x x x ????=+
-- ? ?++++???? 22443256x x x x =
+++++ 44(1)(2)(2)(3)
x x x x =+++++ 4(3)4(1)(1)(2)(3)(2)(3)(1)
x x x x x x x x ++=+++++++ 816(1)(2)(3)
x x x x +=+++ 8(1)(3)x x =
++. 【总结升华】本题按照常规方法先将所有的分母进行因式分解,然后通分计算,不难发现:所有的分子计算较复杂.通过观察不妨将每一个分式化简使它们的分子变得简单,然后再计算就非常的容易了.所以,在进行分式化简时不能盲目地计算,首先应该观察分式的特点,然后选择合适的计算方法.
举一反三:
【变式】某商场文具专柜以每支a (a 为整数)元的价格购进一批“英雄”牌钢笔,决定每
支加价2元销售,由于这种品牌的钢笔价格廉、质量好、外观美,很快就被销售一
空,结账时,售货员发现这批钢笔的销售总额为(399a +805)元.你能根据上面的信息求出文具专柜共购进了多少支钢笔吗?每支钢笔的进价是多少元?
【答案】
解:设文具专柜共购进了钢笔y 支, 则39980539979877399222
a a y a a a +++=
==++++. 因为a 为正整数,y 也为正整数,所以a +2是7的正约数,
所以a +2=7或a +2=1.
所以a =5或a =-1(不合题意,舍去).
所以当a =5时,y =400. 即文具专柜共购进了400支钢笔,每支进价为5元.
类型三、分式的加减运算的应用
4、 已知34(1)(2)12
x A B x x x x -=+----,求整式A ,B . 【思路点拨】首先对等式的右边进行通分,可得
(2)(1)(1)(2)A x B x x x -+---.已知两个分式相等,分母相等,则分子也相等,即34()(2)x A B x A B -=+-+.多项式恒等即对应项的系数相等,由待定系数法可得3,(2)4,A B A B +=??
-+=-?可求得A ,B . 【答案与解析】 解法一:由已知得34(2)(1)(1)(2)(1)(2)
x A x B x x x x x --+-=----, 即34()(2)(1)(2)(1)(2)
x A B x A B x x x x -+-+=----. 所以3,24,A B A B +=??+=? 所以1,2.A B =??=?
解法二:等式两边同时乘以(1)(2)x x --,得34(2)(1)x A x B x -=-+-,
令1x =,则A =1.令2x =,则B =2.
所以A =1,B =2.
【总结升华】解法一是利用多项式恒等,则对应项的系数分别相等,列出方程组,求出A ,B 的值.解法二是运用特殊值法,因为多项式恒等,与x 取值无关,故令x =1,x =2简化式子,求出A ,B 的值.
举一反三:
【变式】(2015春?东台市校级期中)已知计算结果是
,求常数A、B的值.解:因为
=
=
=
所以,
解得,
所以常数A的值是1,B的值是2.
3 分式的加减法 第1课时 一、教学目标 1.知识与技能 (1)同分母的分式的加减法的运算法则及其应用; (2)简单的异分母的分式相加减的运算. 2.过程与方法 (1)经历用字母表示数量关系的过程,发展符号感; (2)会进行同分母分式的加减运算和简单的异分母分式的加减运算,并能类比分数的加减运算,得出同分母分式的加减法的运算法则,发展有条理的思考及其语言表达能力. 3.情感态度及价值观 (1)从现实情境中提出问题,提高“用数学”的意识; (2)结合已有的数学经验,解决新问题,获得成就感以及克服困难的方法和勇气. 二、教学重点、难点 重点:(1)同分母的分式加减法; (2)简单的异分母的分式加减法. 难点:当分式的分子是多项式时的分式的减法. 三、教具准备 课件. 四、教学过程 (一)创设现实情境,提出问题 [师]上一节我们学习了分式的乘除法运算法则,学会了分式乘除法的运算,这节课我们先来看下面的问题: 问题1:从甲地到乙地有两条路,每条路都是3 km,其中第一条是平路,第二条有1 km的上坡路,2 km的下坡路.小丽在上坡路上的骑车速度为v km/h,在平路上的骑车速度为2v km/h,在下坡路上的骑车速度为3v km/h,那么 (1)当走第二条路时,她从甲地到乙地需多长时间? (2)她走哪条路花费的时间少?少用多长时间? 问题2:某人用电脑录入汉字文稿的效率相当于手抄的3倍,设他手抄的速度为a字/时,那么他录入3000字文稿比手抄少用多少时间? [师]问题1,根据题意可得如图3-1的线段图.
图3-1 (1)当走第二条路时,她从甲地到乙地需要的时间为(v 1+v 32)h . (2)走第一条路,小丽从甲地到乙地需要的时间为v 23h .但要求出小丽走哪条路花费的时间少.就需要比较(v 1+v 32)与v 23的大小,少用多少时间,就需要用它们中的较大者减去较小者,便可求出. [生1]如果要比较( v 1+v 32)与v 23的大小,就比较难了,因为它们的分母中都含有字母. [生2]比较两个数的大小,我们可以用作差法.例如有两个数a ,b . 如果a -b >0,则a >b ;如果a -b =0,则a =b ;如果a -b <0,则a <b . [师]这位同学想的方法很好,显然(v 1+v 32)和v 23中含有字母,但它们也是用来表示数的,所以我认为可以用实数比较大小的方法来做. [生3]如果用作差的方法,例如( v 1+v 32)-v 23,如何判断它大于零,等于零,小于零呢? [师]我们不妨观察(v 1+v 32)-v 23中的每一项都是分式,这是什么样的运算呢? [生]分式的加减法. [师]很好!这正是我们这节课要学习的内容——分式的加减法(板书课题). 我们再来看一下问题2. [师]问题2中这个人用电脑录入3000字的文稿需a 33000小时,利用分式的基本性质化简,即为a 1000小时;用手抄3000字文稿则需用a 3000小时,因此这个人录入3000字的文稿比手抄少用(a 3000-a 1000)小时.
17.2.2 分式的加减法(1) 同步练习 一、请你填一填(每小题4分,共36分) 1. 异分母分式相加减,先________变为________分式,然后再加减. 2. 分式xy 2,y x +3,y x -4 的最简公分母是________. 3. 计算:222321xyz z xy yz x +-=_____________. 4. 计算:)1 1(1x x x x -+-=_____________. 5. 已知22y x M -=2222y x y xy --+y x y x +-,则M=____________. 6. 若(3-a )2与|b -1|互为相反数,则b a -2 的值为____________. 7. 如果x <y <0,那么x x | |+xy xy | |化简结果为____________. 8. 化简y x y x --2 2 的结果为____________. 9. 计算22+-x x -22 -+x x =____________. 二、判断正误并改正: (每小题4分,共16分) 1. a b a b a a b a a b a --+=--+=0( ) 2. 11 )1(1 )1(1)1()1(1)1(22222-=--=---=-+-x x x x x x x x x ( ) 3. )(21 21 21 2222y x y x +=+( ) 4.222b a c b a c b a c +=-++( ) 三、认真选一选:(每小题4分,共8分) 1. 如果x >y >0,那么x y x y -++11的值是( ) A.零 B.正数 C.负数 D.整数
绝密★启用前 分式的加减法 一、选择题 1.分式3a 2,56ab ,7a 8b 2的最简公分母是( ) A.48a 3b 2 B.24a 3b 2 C.48a 2b 2 D.24a 2b 2 2、在中考复习中,老师出了一道题:“化简x+3x+2+2-x x 2-4 ”.下列是甲、乙、丙三位同学的解法: 甲:原式= (x+3)(x -2)x 2-4 -x -2x 2-4= (x+3)(x -2)-x -2x 2-4 =x 2-8 x 2-4; 乙:原式=(x+3)(x-2)+(2-x)=x 2 +x-6+2-x=x 2 -4; 丙:原式= x+3 x+2- x -2 (x+2)(x -2)= x+3 x+2- 1 x+2 = x+3-1x+2 =1. 下列说法正确的是( ) A.甲正确 B.乙正确 C.丙正确 D.三人均不正确 3、化简x x+1-1 x 2+x 的结果为( ) A.x 2 B. x -1x C. x+1x D. x x -1 4、已知1m +1 n = 1 m+n ,则n m +m n 等于( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 二、填空题 5.计算: 3-x 2x -4- 5 x -2 = . 6、已知a,b 互为相反数,且a≠0,b≠0,则a -b a -b -a b 的值等于 . 7.已知A= 4 x 2-4 ,B= 1 x+2+ 1 2-x ,其中x≠±2,则A 与B 的关系是 . 三、解答题 8.计算: (1)2 x+1-x x -1-x+5 x 2-1; (2)2x+2+ 5x -1. 9.已知a,b 为实数,且ab=1,M=a a+1+ b b+1 ,N= 1 a+1+ 1 b+1 ,试确定M 、N 的大小关系. 参考答案 一、选择题 1.答案 D 因为三个分式的分母的系数的最小公倍数是24,字母a 的最高次幂是2,字母b 的最高次幂是2,所以这三个分式的最简公分母是24a 2b 2 ,故选D. 2.答案 C 原式= (x+3)(x -2)x 2-4+2-x x 2-4= x 2+x -6+2-x x 2-4 =x 2-4 x 2-4=1,则丙正确,故选C. 3.答案 B 原式=x 2 x (x+1)-1 x (x+1) =(x+1)(x -1)x (x+1) = x -1x , 故选B. 4.答案 B ∵1m +1 n =1 m+n , ∴ m+n mn = 1 m+n , ∴(m+n)2 =mn, ∴m 2 +n 2 =-mn, ∴n m +m n = n 2+m 2mn =-mn mn =-1,故选B. 二、填空题 5.答案 -7-x 2x -4 解析 3-x 2x -4- 5 x -2= 3-x 2(x -2)- 10 2(x -2)= -7-x 2x -4 . 6.答案 0 解析 ∵a,b 互为相反数,且a≠0,b≠0, ∴a+b=0,即a=-b, ∴a -b a - b -a b = -2b -b -2b b =2-2 =0. 7.答案 A+B=0 解析 B=x -2-(x+2)(x+2)(x -2)=-4 x 2-4=-A,故A+B=0. 三、解答题 8.解析 (1)原式=2(x -1) (x+1)(x -1)-x (x+1) (x -1)(x+1)-x+5x 2-1=2x -2-x 2-x -x -5 x 2-1 =-7+x 2 x 2-1. (2)原式= 2(x+1)(x -1)+5x -1 = 2(x 2-1)+5x -1 = 2x 2+3 x -1 .
分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义: 例:下列式子中,y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为( ) (A ) 2 (B ) 3 (C ) 4 (D) 5 练习题:(1)下列式子中,是分式的有 . ⑴275x x -+; ⑵ 123 x -;⑶25a a -;⑷22x x π--;⑸22b b -;⑹22 2xy x y +. (2)下列式子,哪些是分式? 5a -; 234x +;3 y y ; 78x π+;2x xy x y +-;145b -+. 2、分式有,无意义,总有意义: 例1:当x 时,分式 51 -x 有意义; 例2:分式x x -+212中,当____=x 时,分式没有意义 例3:当x 时,分式112-x 有意义。 例4:当x 时,分式1 2+x x 有意义 例5:x ,y 满足关系 时,分式 x y x y -+无意义; 例6:无论x 取什么数时,总是有意义的分式是( ) A . 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7:使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为( )A .2≠x B .2-≠x C .2->x D .2 分式的混合专题练习 3234)1(x y y x ? x y xy 22 63)3(÷ a a a a 21 22)2(2+? -+ 41441)4(222--÷+--a a a a a 5、x y x y x y -+- 6、a a a 31211++ 7、4 )223(2 -÷+-+x x x x x x 8、44212-+-m m 9、423)231(--÷--m m m 10、2 2 22x xy y xy xy y x ---- 11、224+--a a 12、112+-+x x x 13、1 )111(-÷ -+-a a a a a 14、 1 1 12112--+--x x x 15、m m -+-329122 16、a+2-a -24 17、2 2221106532x y x y y x ÷? 18、ac a c bc c b ab b a -+-++ 19、2 22 24421y xy x y x y x y x ++-÷ +-- 20、224)2222(x x x x x x -?-+-+- 21、262--x x ÷ 443 2+--x x x 22、 1?? ? ???÷ ÷a b b a b a 324923 23、m n n n m m m n n m -+-+--2 24、1 111-÷? ?? ??--x x x 25、( ﹣)÷ 26、( 22+--x x x x )2 4-÷x x ; 27、??? ? ??++÷--ab b a b a b a 22222 28、??? ??--+÷--13112x x x x 。 29、、() 2 211n m m n m n -??? ? ??-÷??? ??+; 30、16842 2+--x x x x ,其中x =5、 31、已知2 1)2)(1(12++-=+-+x B x A x x x ,求A 、 B 的值。 32、先化简,再求值2 2 )11(y xy y x y y x -÷-++,其中2-=x ,1=y 、 33、3,3 2 ,1)()2(2 22222-==+--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中 八年级数学上册 分式加减运算 计算题练习 1、化简: a 2 - b 2 a - b ÷ (2 + a 2 + b 2 ab ) . 2、化简: 1 - x 2 - 4x + 4 x + x 2 - 4 1 . 2x + 4 3、化简: a + 2 a - 2 ÷ 1 a 2 - 2a . 4、化简: 1 a -1 -1- a . 5、化简: (m + 2mn + n 2 ) ? m m 2 - mn m 2 - n 2 . 6、化简: 2x - 4 ÷ x 2 - 4 2x x + 2 -1. 7、化简: (1+ 1 a -1 ) ÷ ( 1 a 2 -1 +1) . 8、化简: ( x +1 + x -1 1 ) ÷ x 2 - 2x +1 x . x -1 9、化简: (1- 1 ) ÷ a -1 a 2 - 4a + 4 a 2 - a . 10、化简: (x - 4 - x ) ÷ x -1 x 2 - 4x + 4 . x -1 11、化简: a + 3 ? a 6 + a 2 + 6a + 9 2a - 6 a 2 - 9 . 12、化简: 2x 2 - 2x - x 2 -1 x . x +1 13、化简: 2x - x +1 2x + 6 ÷ x 2 -1 x + 3 x 2 - 2x +1 . 14、化简: (1+ 2 ) ÷ x -1 x 2 + x . x 2 - 2x +1 15、化简: x x 2 -1 ÷ (1- 1 x +1 ) . 16、化简: (1- 1 ) ÷ x + 2 x 2 + x . x 2 + 4x + 4 17、化简: (x - x ) ÷ x -1 x 3 - 2x 2 - x 2 - 2x +1 x x +1 . 18、化简: (x + 2 - 12 ) ÷ x - 2 4 - x . x - 2 19、化简: x - 2 ÷ x 2 -1 2x + 2 + x 2 + 2x +1 1 x -1 . 20、化简: 3x - 3 ÷ x 2 -1 3x - x +1 1 . x +1 21、化简: ( 2 + x + 3 1 ) ÷ 3 - x x x 2 - 9 . 22、化简: ( x 2 + x - 2 4 ) ÷ 2 - x x + 2 . x +1 一、分式方程计算: (1) 21)2(11+-?+÷-x x x x (2)32232)()2(b a c ab ---÷ (3)2323()2()a a a ÷- (4)0142)3()101( )2()21(-++-----π (5)222)()()(b a a b ab ab b a b a b -?-+-÷- (6 )(3103124π--????-?-÷ ? ????? (7)2211y x xy y x y x -÷???? ??++- 二、分式方程 1、(1)3513+=+x x ; (2) 11322x x x -+=--- (4)512552x x x =--- (5) 25231x x x x +=++. (6) (7) (8) 三、1、先化简,再求值)1121(1 222+---÷--x x x x x x ,其中31-=x 1 211422+=+--x x x x x 233321122--=++-x x x x x x x x 231392---++ 2、若使 互为倒数,求x 的值。 3、若分式方程 3234=++x m mx 的解为1=x ,求m 的值。 2 3223+---x x x x 与 四、二元一次方程组 解方程组: 五、可化为一元二次方程的分式方程、二元二次方程组 56556--=--x x x 22(1)(5)2511 x y x y ?++-=?+=? 226232x x x x +---=0 |a + b + 7| + a 2b 2–10ab + 25=0 2123x x x ++-+2226x x x -+-=2632x x x --+ 授课内容: 分式的加减法 教学目标: 1、掌握同分母分式的加减运算法则,会进行同分母分式的加减运算. 2、理解通分的概念,能对异分母的分式进行通分. 3、掌握异分母分式的加减运算法则,会进行异分母分式的加减运算. 4、会进行分式的混合运算. 教学重难点:通分 授课内容: 1、同分母分式的加减(这是重点) 法则: 同分母的分式相加减,分母不变,分子相加减. 用式子可以表示为: c b a c b c a ±=± 注意:同分母分式的加减运算法则和分数的加减运算法则在实质上是相同的,但分式的分子常常是一个多项式,“把分子相加减”就是把各个分式的“分子整体”相加减,各分子都应加括号,尤其是相减时,要注意避免符号错误,分子相加减的实质就是整式的加减.最后结果要求是最简分式. 2、通分(这是重点、难点) 根据分式的基本性质,异分母的分式可化为同分母的分式,这一过程称为分式的通分.为了计算方便,异分母分式通分时,通常取最简单的公分母(简称最简公分母)作为它们的共同分母. 确定最简公分母的方法: 先对分式的分母进行分解因式,如果分母中含有相同字母,则取相同字母的最高次幂作为最简公分母的一个因式,如果只在一个分母中出现的字母,则连同它的指数作为最简公分母的一个因式. 举例说明: ab a 3,22 最简公分母:b a 2. 16 24,432--x x 最简公分母: (x+4)(x -4) 3、异分母分式的加减(这是重点、难点) 法则: 异分母分式相加减,先通分化为同分母的分式,然后再加减. 注意:异分母分式的加减必须转化为同分母分式的加减,然后按照同分母分式加减法的法则进行计算,转化的关键是通分.异分母分式的加减运算综合性较强,运算时要用到前面的一系列知识,如整式的四则运算、因式分解、约分、通分等. 其一般步骤为: ①通分:将异分母的分式化成同分母的分式; ②写成“分母不变,分子相加减”的形式; ③分子去括号,合并同类项; ④分子、分母约分,将结果化成最简分式的形式. 15 . 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者:) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h,它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间, 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ● 自主学习指向目标 1.自学教材第 127 至 128 页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一:阅读教材思考问题:式子a ,S以及式 子20+ v 和 20- v 有什么共同特点?它们与 分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果 A,B 表示两个 ________( 整式 ) ,并且 B 中含有 ________( 字母 ) ,那么式A 子B叫做分式. 小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?八年级数学上册分式混合计算专题练习80题
八年级数学上册分式加减运算计算题练习(含答案)(可编辑修改word版)
初二下册数学分式计算题题目
八年级数学下册分式加减法教案
(完整版)人教版八年级数学上分式教案.docx