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相似中考专题复习

相似中考专题复习
相似中考专题复习

龙文教育个性化辅导授课案

教师: 卢天明 学生: 时间 2016年 月 日 时段

图形的相似复习

考点一、比例线段 (一)考点要求:

1、比例式与比例系数:

==d

c

b a ……=k (比例系数) 2、比例的基本性质:两内项之积等于两外项之积。即:b

c a

d d

c

b a =?= 黄金分割与比例中项:

ac b c

b

b a =?=2 3、等比性质:==d

c b a ……=k k d

c

b a d b

c a ===++++?ΛΛ

4、合分比性质:

??

?

??+=+-=-?=d d c b b a d d c b b a d c b a (二)精讲精练:

典型例题:

例01.已知

8

11

=+x y x ,求y x

变式:线段x ,y 满足1:4:)4(2

2

=+xy y x ,求y x :的值

说明 本题可用比例的基本性质求解,也可以运用合分比性质求解。 例02.已知

4

32z

y x ==,求

y x z y x -+-33的值 说明 本题考查比例的性质,解题关键是设

k z

y x ===4

32,将x 、y 、z 统一成k 。注意:设比例式的比值为k (比例系数),这是解比例式常用的有效方法,要注意掌握。

例03.若

3

753=+b b a ,则b a

的值是__________ 说明 本题可用比例的基本性质求解,也可以运用合分比性质求解,还可用方程思想求解。解题关键是灵活运

用比例的性质

例04.设

k y

x z

x z y z y x =+=+=+,求k 的值 说明 本题在运用合分比的性质求解时,易忽视0=++z y x 的情形,所以应该分类讨论。 变式:如图,已知,在ABC ?中,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,并且

2

3

===AE AC DE BC AD AB ,ABC ?的周长为12cm 。求:ADE ?的周长

针对练习:

1.如果0432≠==c b a ,求:

b

c a c

b a 24235-++-的值

2.已知:如图,在ABC ?中,12=AB ,6=AE ,4=EC ,且EC

AE

DB AD =

(1)求AD 的长;(2)求证:AC

EC

AB DB =

3.已知两数4和8,试写出第三个数,使这三个数中,其中一个数是其余两个数的比例中项,第三个数是________(只需写出一个)

考点二、相似三角形

类型1、相似三角形的定义:

⑴对应角相等、对应边成比例的两个三角形是相似三角形。 ⑵对应边的比值是相似三角形的相似比。

⑶基本性质定理:对应角相等;对应边成比例。

典型例题:

例01.已知:ABC ?的三边长分别是3,4,5,与其相似的C B A '''?的最大边长是15,求C B A '''?面积C B A S '''? 说明 本题考查相似三角形的定义,解题关键是求出C A '',C B ''的长

例02.已知:如图,在四边形ABCD 中,FD AF EB AE ::=, HC DH GC BG ::=.求证:OEF ?∽OHG ?

说明 本题考查相似三角形基本定理的应用,解题关键是证明GH EF //

例题03 如图所示,已知平行四边形ABCD 中,E 为AD 延长线上一点,DE AD 2=,BE 交DC 于F ,指出图中各对相似三角形及相似比.

说明:紧靠相似三角形定义、相似比定义和基本定理,充分利用平行四边形性质.

类型2、相似三角形的判定:

相似三角形的判定定理:①如果有两个角对应相等,那么这两个三角形相似; ②如果三条边对应成比例,那么这两个三角形相似;

③如果有两边对应成比例且夹角相等,那么这两个三角形相似。 精讲精练:

例01.如图,在ABC ?中,?=∠47A ,cm 5.1=AB ,cm 2=AC ;在DEF ?中,?=∠47E ,cm 8.2=DE ,cm 1.2=EF ,试判断这两个三角形是否相似.

说明 判定两三角形是否相似,不能依图形的放置方向来考查,而应该按相似三角形的判定方法仔细判定,若没有将夹已知角的长边与长边相对应,就会发生错误.

针对练习:

1.已知:如图,?=∠=∠90CDB ABC ,a AC =,b BC =,(1)当BD 与a ,b 之间满足怎样的关系时,ABC ?∽CDB ?;(2)当BD 与a ,b 之间满足怎样的关系时,ABC ?∽BDC ?;(3)当BD 与a ,b 之间满足怎样的关系时,这两个三角形相似

说明 本题是一个条件探索性问题,易错点是弄错对应边或第(3)小题不分类讨论.

例02.如图,已知:在ABC ?中,AC AB =,?=∠36A ,BD 是角平分线,

求证:AC DC AD ?=2

说明 “平方式”在相似三角形中经常出现,证明时可采用这样的方法:可以用相等的线段代替已知线段,从而创造出平方,或某线段是两个相似三角形的公共边,也可以创造出平方来

针对练习:

1.如图,已知:在梯形ABCD 中,BC AD //,x BC =,y AC =,z AD =,且02

=-xz y

求证:ACD B ∠=∠

例03.如图,已知:CD 是ABC ?Rt 的斜边AB 上的高,E 为BC 上任意一点,AB EF ⊥,垂足为F 求证:

EF CD AF AD AC ?+?=2

说明:应用直角三角形中的“射影定理”与几何证明中常用的“倒推法”。 针对练习:

1.如图,已知:在ABC ?中,?=∠90ACB ,AB CD ⊥于D ,E 在BC 上,若AE CF ⊥于F 求证:B AFD ∠=∠

例04.已知:如图,在ABC ?中,?=∠90C ,D 、E 分别是AB 、AC 上的两点,并且AC AE AB AD ?=? 求证:AB ED ⊥

说明 如果两个三角形没有互相平行的边,而有公共角时,我们一般使用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”来判定两个三角形相似

例05.如图,已知:在ABC ?中,?=∠60B ,AE 和CD 是ABC ?的高 求证:DE AC 2=

说明 证明线段的倍半问题有以下几种方法:(1)取长线段的中点,证其一半等于短线段(折半法);(2)延长短线段为其2倍,证其与较长线段相等(加倍法);(3)用其他线段作媒介,其中经常用的有①三角形两边(或梯形两腰)的中点连线等于底边(或两底之和)的一半;②直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半;③直角三

角形中?30角的对边等于斜边的一半;④利用三角形相似,通过成比例线段证明线段的倍半关系等

针对练习.

1.如图,BD ,CE 是ABC ?是高, 求证:ACB AED ∠=∠

2、如图,已知D 为ABC ?内一点,E 为ABC ?外一点,且21∠=∠,43∠=∠, 求证:ABC ?∽DBE ?

例06.已知:如图,在矩形ABCD 中,E 为AD 的中点,EC EF ⊥交AB 于F ,连结FC (AE AB >)

(1)AEF ?与EFC ?是否相似?若相似,证明你的结论;若不相似,请说明理由 (2)设

k BC

AB

=,是否存在这样的k 值,使得AEF ?与BFC ?相似?若存在,证明你的结论并求出k 值;若不存在,说明理由

分析 这既是一道判断推理性试题,又是一道探索存在性的试题

例07.如图,在矩形ABCD 中,12=AB 厘米,6=BC 厘米,点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2厘米/秒的速度移动;点Q 沿DA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动,如果P ,Q 同时出发,用t

(秒)表示移动的时间(60≤≤t ),那么:

(1)当t 为何值时,QAP ?为等腰直角三角形?

中考数学专题复习(一)相似三角形

2016年中考数学相似三角形专题复习(一) 一、填空题 1.下面图形中,相似的一组是___________. (1) (2) (1) (2) (3) (4) 2.若x ∶(x+1)=6∶9,则x= . 3.已知线段a 、b 、c 、d 成比例,且a=6,b=9, c=12,则d= 4.在比例尺为1:10000的地图上,量得两 点之间的直线距离是2cm ,则这两地的实际 距离是________米 5.如图,两个五边形是相似形,则=a ,=c ,α= ,β= . 6. 已知△ABC ∽△DEF,AB=21cm,DE=28cm,则△ABC 和△DEF 的相似比为 . 7.△ABC 的三边长分别为 2、10、3,△ C B A ''的两边长分别为1和5,若△ABC ∽△C B A '', 则△C B A ''的第三条边长为 . 8.如图,△ABC ∽△CDB ,且AC =4,BC =3, 则BD =_________. 9.若一等腰三角形的底角平分线与底边围成的三角形与原图形相似,?则等腰三角形顶角为________度. 10.△ABC 的三边之比为3:5:6,与其相似的△DEF 的最长边是24cm,那么它的最短边长是 ,周长是 . 二、选择题 11.已知4x -5y=0,则(x+y)∶(x -y)的值为( ) A. 1∶9 B. -9 C. 9:1 D. -1∶9 12.已知,线段AB 上有三点C 、D 、E ,AB=8,AD=7,CD=4,AE=1,则比值不为1/2的线段比为( ) A.AE :EC B.EC :CD C.CD :AB D.CE :CB ╮ 23a c β 1550 950 1150 12 5 7αb ╭╮ ╯650 1150 第5题图 B C D 第8题图

初三中考专题相似

相似 考点1. 线段的比和成比例线段 (1)两条线段的比:如果用同一个长度单位量得两条线段的长度分别是m 、n ,那么就说这两条线段的比是:m :n 或n m . (2)比例线段:四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即 d c b a =,那么,这四条线段a 、b 、 c 、 d 叫做成比例线段,简称比例线段. 如果作为比例内项的是两条相同的线段,即c b b a =或a :b=b : c ,那么线段b 叫做线 段a ,c 的比例中项。 (3)比例的性质 ①如果d c b a =,则ad=bc; ②合比性质:如果d c b a =,那么 d d c b b a +=+; ③等比性质:如果,n m f e d c b a ==== 且b+d+f +…+m ≠0,那么. n m n f d b m e c a =+++++++ (4)黄金分割 把线段AB 分成两条线段AC ,BC (AC>BC ),并且使AC 是AB 和BC 的比例中项,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AC= 2 1 5-AB ≈0.618AB 考点2. 平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例 推论:(1)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。 逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。(2)平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 考点3. 相似多边形 (1)定义:各角对应相等,各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应变的比叫做相似比. (2)相似多边形的性质:相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 考点4. 相似三角形 (1)定义:三个角对应相等,三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC 与△DEF 相似记作△ABC ∽△DEF.相似三角形对应边的比叫做相似比. (2)相似三角形的基本定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。 用数学语言表述如下:∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC (3)两个三角形相似的判定 ①定义法:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似 ②平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似 ③判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,可简述为两角对应相等,两三角形相似。 ④判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等,并且夹角相等,那么这两个三角形相似,可简述为两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。 ⑤判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似,可简述为三边对应成比例,两三角形相似。

2019届中考数学专题复习相似模型(一)

学生做题前请先回答以下问题 问题1:如图所示,相似的六种基本模型:3种A字型相似,2种X型相似,以及母子型相似,请注明使得两个三角形相似的条件. 问题2:如图,在△Rt ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC. 由此可以推导射影定理: 由_______∽_______,得______=______,即____________; 由_______∽_______,得______=______,即____________; 由_______∽_______,得______=______,即____________. 相似模型(一) 一、单选题(共8道,每道12分)

1.如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是边长为2的正方形,顶点A,C分别在x,y轴的正半轴上.点Q在对角线OB上,且OQ=OC,连接CQ并延长,交AB边于点P,则点P的坐标为() A. C. B. D. 2.△在ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,∠AED=∠B,如果AE=2△,ADE的面积为4,四边形BCED的面积为5,那么AB的长为() A.3 B. C. D. 3.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D.下列条件:①;②; ③.其中能证明△ABC是直角三角形的是()

A.①③ B.①② C.②③ D.①②③ 4.如图,在平行四边形ABCD中,E是BD上的点,BE:ED=1:2,F,G分别是BC,CD上的点,EF∥CD,EG∥BC,若,则的值为() A. C. B. D. 5.在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥BC,垂足为E,连接DE交AC于点P,过P作PF⊥BC,垂足为F,则的值为() A. C. B. D.

中考专题复习相似三角形专题

谢湘君中考专题复习·相似三角形专题 相似三角形性质定理: (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 (6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同,内切圆、外接圆面积比是相似比的平方 (7)若a/b =b/c,即b2=ac,b叫做a,c的比例中项 (8)c/d=a/b 等同于ad=bc. (9)不必是在同一平面内的三角形里 ①相似三角形对应角相等,对应边成比例. ②相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. ③相似三角形周长的比等于相似比 定理推论: 推论一:顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 推论二:腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 推论三:有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 推论四:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五:如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相似。推论六:如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相似。

E C D A F B 图 1 一、基础题。 1、如图1,平行四边形ABCD 中,E 是边BC 上的点,AE 交BD 于点F ,如果2 3 BE BC =, 那么BF FD = . 2、如图2,点1234A A A A ,,,在射线OA 上,点123B B B ,,在射线OB 上,且112233A B A B A B ∥∥, 213243A B A B A B ∥∥.若212A B B △,323A B B △的面积分别为1,4,则图中三个阴影三角形面积之和 为 . 3、如图,一束光线从y 轴上点A (0,1)发出,经过x 轴上点C 反射后,经过点B (6,2),则光线从A 点到B 点经过的路线的长度为 .(精确到0.01) (第2题图) O A 1 A 2 A 3 A 4 A B B 1 B 2 B 3 1 4

中考相似专题练习

考点名称:相似三角形得性质 ?相似三角形性质定理: (1)相似三角形得对应角相等。 (2)相似三角形得对应边成比例。 (3)相似三角形得对应高线得比,对应中线得比与对应角平分线得比都等于相似比。 (4)相似三角形得周长比等于相似比。 (5)相似三角形得面积比等于相似比得平方。 (6)相似三角形内切圆、外接圆直径比与周长比都与相似比相同,内切圆、外接圆面积比就是 相似比得平方 (7)若a/b =b/c,即b2=ac,b叫做a,c得比例中项 (8)c/d=a/b 等同于ad=bc、 (9)不必就是在同一平面内得三角形里 ①相似三角形对应角相等,对应边成比例、 ②相似三角形对应高得比,对应中线得比与对应角平分线得比都等于相似比、 ③相似三角形周长得比等于相似比 定理推论: 推论一:顶角或底角相等得两个等腰三角形相似。 推论二:腰与底对应成比例得两个等腰三角形相似。 推论三:有一个锐角相等得两个直角三角形相似。 推论四:直角三角形被斜边上得高分成得两个直角三角形与原三角形都相似。 推论五:如果一个三角形得两边与其中一边上得中线与另一个三角形得对应部分成比例,那么

C A B D O E F 第1题图 E A F 图5 这两个三角形相似。 推论六:如果一个三角形得两边与第三边上得中线与另一个三角形得对应部分成比例,那么这两个三角形相似。 一、选择题 1、(青海)如图,DEF △就是由ABC △经过位似变换得到得,点O 就是位似中 心,D E F ,,分别就是OA OB OC ,,得中点,则DEF △与ABC △得面积比就是 ( ) A.1:6 B.1:5 C.1:4 D.1:2 2、(山东烟台)如图,在Rt △ABC 内有边 长分别为,,a b c 得三个正方形,则,,a b c 满足得关系式就是( ) A 、b a c =+ B 、b ac = C 、222b a c =+ D 、22b a c == 3、(广东茂名市)如图,△ABC 就是等边三角形,被一平行于BC 得矩形所截, AB 被截成三等分,则图中阴影部分得面积就是△ABC 得面积得 ( ) A. 91 B.92 C.31 D.94 4、(江西南昌)下列四个三角形,与左图中得三角形相似得就是( ) 二、填空题 5、 (上海市)如图5,平行四边形ABCD 中,E 就是边BC 上得点,AE 交BD 于点F ,如果 23BE BC =, 那么BF FD = . 6、(浙江温州)如图,点1234A A A A ,,,在射线OA 上,点123B B B ,,在射线OB 上,且(第4题) A. B. C. D. E H F G C B A ((第3题图) (第6题图) O A 1 A 2 A 3 A 4 A B 1 B 2 B 3 1 4

中考图形的相似专题复习题及答案

热点13 图形的相似 (时间:100分钟 总分:100分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的) 1.已知:线段a=5cm ,b=2cm ,则a b =( ) A .14 B .4 C .52 D .25 2.把mn=pq (mn ≠0)写成比例式,写错的是( ) A .m q p n = B .p n m q = C .q n m p = D .m p n q = 3.某班某同学要测量学校升旗的旗杆高度,在同一时刻,量得某一同学的身高是1.5m ,影长是1m ,旗杆的影长是8m ,则旗村的高度是( ) A .12m B .11m C .10m D .9m 4.下列说法正确的是( ) A .矩形都是相似图形; B .菱形都是相似图形 C .各边对应成比例的多边形是相似多边形; D .等边三角形都是相似三角形 5.两个等腰直角三角形斜边的比是1:2,那么它们对应的面积比是( ) A .1 B .1:2 B .1:4 D .1:1 6.如图1,由下列条件不能判定△ABC 与△ADE 相似的是( ) A .AE AC AD A B = B .∠B=∠ADE C .AE DE AC BC = D .∠C=∠AED (1) (2) (3) 7.要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架,?已知三角形框架甲的三边分别为50cm ,60cm ,80cm ,三角形框架乙的一边长为20cm ,那么符合条件的三角形框架乙共有( )种 A .1 B .2 C .3 D .4 8.如图2,△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D ,若AB=2,BC=3,则CD 的长是( ) A .83 B .23 C .43 D .53 9.若3a b a b b c a c ==+++=k ,则k 的值为( ) A .12 B .1 C .-1 D .12 或-1 10.如图3,若∠1=∠2=∠3,则图中相似的三角形有( ) A .1对 B .2对 C .3对 D .4对 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分) 11.若235a b c ==(abc ≠0),则a b c a b c ++-+=_________. 12.把长度为20cm 的线段进行黄金分割,则较短线段的长是________cm .

2018中考专题相似三角形

2018中考数学专题相似形 (共40题) 1.如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点P为射线BD,CE的交点. (1)求证:BD=CE; (2)若AB=2,AD=1,把△ADE绕点A旋转,当∠EAC=90°时,求PB的长; 2.如图,直角△ABC中,∠BAC=90°,D在BC上,连接AD,作BF⊥AD分别交AD于E,AC于F. (1)如图1,若BD=BA,求证:△ABE≌△DBE; (2)如图2,若BD=4DC,取AB的中点G,连接CG交AD于M,求证:①GM=2MC; ②AG2=AF?AC. 3.如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC. (1)求证:△ADE∽△ABC; (2)若AD=3,AB=5,求的值.

4.如图,点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,连结DE,过顶点B作BF ⊥DE,垂足为F,BF分别交AC于H,交CD于G. (1)求证:BG=DE; (2)若点G为CD的中点,求的值. 5.(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,AE⊥BF于点M,求证:AE=BF; (2)如图2,将(1)中的正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=2,BC=3,AE⊥BF 于点M,探究AE与BF的数量关系,并证明你的结论. 6.如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,AC平分∠BAD,点P是AC延长线上一点,且PD⊥AD. (1)证明:∠BDC=∠PDC; (2)若AC与BD相交于点E,AB=1,CE:CP=2:3,求AE的长.

中考专题复习_相似三角形专题

谢湘君中考专题复习?相似三角形专题 相似三角形性质定理: (1) 相似三角形的对应角相等。' (2) 相似三角形的对应边成比例 (3) 相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4) 相似三角形的周长比等于相似比。 ⑸相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ⑹相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同,内切圆、外接圆面积比是相似比的平方 ⑺若a/b =b/c,即b2=ac, b叫做a,c的比例中项 (8)c/d=a/b 等同于ad=bc. (9)不必是在同一平面内的三角形里 ①相似三角形对应角相等,对应边成比例. ②相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比③相似三角形周长的比等于相似比定理推论: 推论一:顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 推论二:腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 推论三:有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 推论四:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五:如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相 似。推论六:如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相 似。

、基础题。 BE 1、如图1,平行四边形ABCD中,E是边BC上的点,AE交BD于点F,如果竺 BC 图1 2、如图2,点Ai, A2,A3,A在射线OA上,点Bi, B2, B3在射线OB上,且AiBi A2B1 // A3B2 // A4B3 .若△A2B1B2 , △A3B2B3的面积分别为1 , 4,则图中三个阴 影三角形面积之和 由平行可得△圧耳耳,相似△毘艮亦根据相似三角形的ffi积之比等于相似比的平方,得輕亠亞二鱼字二1根据平行鮭间的距冉相等,得学空二弊=2,则同理 Sy“= '0'5*故三个阴影三角形面积之和= 8^2^0.5=10.5 y轴上点A(0, 1)发出,经过x轴上点C反射后,经过点B( 6, 2),则光线从A点到B点 .(精确到0.01) 过E?作BE 丄兀花, ..^ACO=zDCO .■.A ACO£?A CCO ■OD=CA=1, 在直角iBE中.3E=e.. DE=2-H^3, .工吕=」旺2-文"」总2亠坐={45*71 「?旳线从A到B轻过圧路銭的検芟的圣氐7h -,那么西 3 FD // A2B2 // A3B3 , 述占-RrR; 3、如图,一束光线从 经过的路线的长度为

中考相似三角形专题复习

中考相似三角形专题复习 1、比例 对于四条线段a ,b ,c ,d ,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相 等,如a c b d = (即ab =bc ),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段. 1.若a c b d =, 则a c b d =; 2.以下列长度(同一单位)为长的四条线段中,不成比例的是( ) A .2,5,10,25 B .4,7,4,7 C .2,0.5,0.5,4 D .a c b d =,a c b d =,a c b d =,a c b d = 3.若a c b d =∶3 =a c b d =∶4 =a c b d =∶5 , 且a c b d =, 则a c b d =; 4.:若a c b d =, 则a c b d = 5、已知 ,求代数式 的值. 2、平行线分线段成比例、 定理: 推论: 练习1、如下图,EF ∥BC ,若AE ∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM ∶AN=____,B N ∶NC=_____ 2、已知:如图,ABCD ,E 为BC 的中点,BF ︰FA =1︰2,EF 与对角线BD 相交于G , 求BG ︰BD 。 3、如图,在ΔABC 中,EF//DC ,DE//BC ,求证: (1)AF ︰FD =AD ︰DB ; (2)AD 2 =AF ·AB 。 3 、相似三角形的判定方法

判定0.平行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交,所截得的三角形与 判定1. 两个角对应相等的两个三角形__________. 判定2. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似. 判定3. 三边对应成比例的两个三角形___________. 判定4.斜边和 对应成比例的两个直角三角形相似 常见的相似形式: 1. 若DE ∥BC (A 型和X 型)则______________. 2.子母三角形(1) 射影定理:若CD 为Rt △ABC 斜边上的高(双直角图形) (2)∠ABD=∠c ∽Rt △CBD 且AC 2=________,CD 2=_______,BC 2 =__ ____. E A D C B E A D C B A D C B 练习 1、如图,已知∠ADE=∠B ,则△AED ∽__________ 2、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,DE ⊥AB 于D ,则△ADE ∽_________ 3、如图;在∠C=∠B ,则_________ ∽_________,__________ ∽_________ 4.如图,具备下列哪个条件可以使⊿ACD ∽⊿BCA ( ) A a c b d = B a c b d = C a c b d = D a c b d = 5.下列四个三角形,与右图中的三角形相似的是( ) 6、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ,那么x 的值( ) A. 只有1个 B. 可以有2个 C. 可以有3个 D. 有无数个 4 、相似三角形的性质与应用 1. 相似三角形的对应边_________,对应角________. 2. 相似三角形的对应边的比叫做________,一般用k 表示. 3. 相似三角形的对应边上的_______?线的比等于_______比,周长之比也等于________比,面积比等于_________. O A C B A C B A B E C D E E D D A B C D

中考专题专题复习——相似三角形(含详解)

E A B D C 中考专题专题复习——相似三角形 1.如果 53 2x =,那么x 的值是( ) A . 310 B .215 C .152 D .103 2.如果4:7:2x =,那么x 的值是( ) A .14 B . 78 C .6 7 D . 7 2 3.已知:四条线段a 、b 、c 、d 之间有如下关系a ∶b= c ∶d ,且a =12,b=8,c=15, 则线段d= 10 . 4.如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,DF ∥AC ,则下列比例式 一定成立的是( ) A .AE DE EC BC = B .AE CF A C BC = C . AD BF AB BC = D . DE DF BC AC = 5.如图,在ΔABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点,连接DE , 那么ΔADE 与ΔABC 的面积之比是 A .1:16 B .1:9 C .1:4 D .1:2 6.如图,在△ABC 中,D 、E 两点分别在AB 、AC 边上,且DE ∥BC . 若3:2:=BC DE ,则ABC ADE S S ??:为的值为 A. 4:9 B. 9:4 C. 3:2 D. 3:2 7.已知:ABC ?中,E D ,分别是AC AB ,的中点,16=?ABC S 2 cm ,则=?ADE S ( ) A .2 16cm B .2 12cm C .2 8cm D . 2 4cm 8.已知ABC DEF △∽△,AB :DE =2:1,且ABC △的周长为16,则DEF △的周长为 A .4 B .6 C .8 D .32 (第2题) E D C B A

2020年中考数学 相似专题(含答案)

中考专题复习相似 1.在的交通旅游图上,南京玄武湖隧道长,则它的实际长度是() A. B. C. D. 2.在中,,,是的角平分线,下列结论: ①,都是等腰三角形;②;③; ④是的黄金分割点其中正确的是() A.个 B.个 C.个 D.个 3.有一个多边形的边长分别是 4 cm、5 cm、6 cm、4 cm、5 cm,和它相似的一个多边形最长边为8 cm,那么这个多边形的周长是( ) A. 12 cm B. 18 cm C. 32 cm D. 48 cm 4.如图,四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形,若OA∶OA′=2∶3,则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为( ) A.4∶9 B.2∶5 C.2∶3 D.∶ 5.如图,把△ABC绕点A旋转得到△ADE,当点D刚好落在BC上时,连接CE,设AC、DE相交于点F,则图中相似三角形的对数是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6.若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1∶3,则△ABC与△A′B′C′周长的比为( ) A.1∶3 B.3∶1 C.1∶9 D.9∶1 7.已知△ABC∽△A′B′C′,且=,则S△ABC∶S△A′B′C′为( ) A.1∶2 B.2∶1 C.1∶4 D.4∶1

8.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,则下列结论不正确的是( ) A.BC=2DE B.△ADE∽△ABC C.= D.S△ABC=3S△ADE 9.如图,矩形ABCD∽矩形ADFE,AE=1,AB=4,则AD等于( ) A. 2 B. 2.4 C. 2.5 D. 3 10.如图,圆内接四边形ABCD的BA,CD的延长线交于P,AC,BD交于E,则图中相似三角形有( ) A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 11.如图,矩形OABC与矩形ODEF是位似图形,点O为位似中心,相似比为1∶1.2,点B的坐标为(-3,2),则点E的坐标是( ) A. (3.6,2.4) B. (-3,2.4) C. (-3.6,2) D. (-3.6,2.4) 12.如图,中,,,,,则等于() A. B. C. D. 13.如图,,交,,于,,,交,,于,,,以下结论的错

中考数学压轴题专题相似的经典综合题附详细答案

一、相似真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD∥BC,交AB于点D,连接PQ分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t≥0). (1)直接用含t的代数式分别表示:QB=________,PD=________. (2)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.并探究如何改变Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,求点Q 的速度; (3)如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ中点M所经过的路径长. 【答案】(1)8-2t; (2)解:不存在 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8, ∴AB=10 ∵PD∥BC, ∴△APD∽△ACB, ∴,即, ∴AD= , ∴BD=AB-AD=10- , ∵BQ∥DP, ∴当BQ=DP时,四边形PDBQ是平行四边形, 即8-2t= ,解得:t= . 当t= 时,PD= ,BD=10- , ∴DP≠BD,

∴?PDBQ不能为菱形. 设点Q的速度为每秒v个单位长度, 则BQ=8-vt,PD= ,BD=10- , 要使四边形PDBQ为菱形,则PD=BD=BQ, 当PD=BD时,即 =10- ,解得:t= 当PD=BQ,t= 时,即,解得:v= 当点Q的速度为每秒个单位长度时,经过秒,四边形PDBQ是菱形. (3)解:如图2,以C为原点,以AC所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系. 依题意,可知0≤t≤4,当t=0时,点M1的坐标为(3,0),当t=4时点M2的坐标为(1,4). 设直线M1M2的解析式为y=kx+b, ∴, 解得 , ∴直线M1M2的解析式为y=-2x+6. ∵点Q(0,2t),P(6-t,0) ∴在运动过程中,线段PQ中点M3的坐标(,t). 把x= 代入y=-2x+6得y=-2× +6=t, ∴点M3在直线M1M2上.

中考相似三角形专题复习安徽中考相似压轴题

希望教育 2019年中考数学一轮复习讲义 学生:全慧 第一讲 相似三角形 1、比例 对于四条线段a ,b ,c ,d ,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等,如a c b d = (即ab =bc ),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段. 1.若 322=-y y x , 则_____=y x ; 2.以下列长度(同一单位)为长的四条线段中,不成比例的是( ) A .2,5,10,25 B .4,7,4,7 C .2,,,4 D .2,5,52,25 3.若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且6=-+c b a , 则___________,____,===c b a ; 4.:若 43===f e d c b a , 则______=++++f d b e c a 5、已知,求代数式的值. 2、平行线分线段成比例 定理:平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线(不少于3条)所截,截得的对应线段的长 度成比例。 推论:平行于三角形一边的直线,截其他两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例。 练习1,如下图,EF ∥BC ,若AE ∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,则AM ∶AN=____,BN ∶NC=_____ 2、已知:如图,ABCD ,E 为BC 的中点,BF ︰FA =1︰2,EF 与对角线BD 相交于G ,求BG ︰BD 。 3、如图,在ΔABC 中,EF 行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交,所截得的三角形与 判定1. 两个角对应相等的两个三角形__________. 判定2. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似. 判定3. 三边对应成比例的两个三角形___________. 判定4.斜边和 对应成比例的两个直角三角形相似 常见的相似形式: 1. 若DE∥BC(A 型和X 型)则______________. 2.子母三角形(1) 射影定理:若CD 为Rt△ABC 斜边上的高(双直角图形) (2)∠ABD=∠c

中考相似三角形专题

中考中的相似三角形 第一部分知识梳理 一、相似的性质 1、对应角相等,对应变成比例 2、对应边上的中线、高之比,对应角平分线之比等于相似比 3、周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方。 二、相似三角形的判定 1、平行于三角形一边的直线,截三角形两边或延长线,所得三角形与原三角形相似 2、两角对应性等的两三角形相似 3、两边对应成比例,且夹角对应相等的两个三角形相似 4、三边对应成比例,两个三角形相似 第二部分中考链接 一、相似三角形的性质 1.(2018?重庆)制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元,在每平方米制作成本相同的情况下,若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍,那么扩大后长方形广告牌的成本是()A.360元B.720元C.1080元D.2160元 2.(2018?玉林)两三角形的相似比是2:3,则其面积之比是() A.: B.2:3 C.4:9 D.8:27 3.(2018?重庆)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm,6cm 和9cm,另一个三角形的最短边长为2.5cm,则它的最长边为() A.3cm B.4cm C.4.5cm D.5cm 4.(2018?内江)已知△ABC与△A1B1C1相似,且相似比为1:3,则△ABC与△A1B1C1的面积比为()A.1:1 B.1:3 C.1:6 D.1:9 5.(2018?铜仁市)已知△ABC∽△DEF,相似比为2,且△ABC的面积为16,则△DEF的面积为()A.32 B.8 C.4 D.16 6.(2017?重庆)已知△ABC∽△DEF,且相似比为1:2,则△ABC与△DEF的面积比为()A.1:4 B.4:1 C.1:2 D.2:1 7.(2018?广东)在△ABC中,点D、E分别为边AB、AC的中点,则△ADE与△ABC的面积之比为()A.B.C.D. 8.(2018?自贡)如图,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点,若△ADE的面积为4,则△ABC的面积为()A.8 B.12 C.14 D.16

中考相似专题练习

考点名称:相似三角形的性质 相似三角形性质定理: (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 (6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同,内切圆、外接圆面积比是相似比的平方 (7)若a/b =b/c ,即b2=ac ,b 叫做a,c 的比例中项 (8)c/d=a/b 等同于ad=bc. (9)不必是在同一平面内的三角形里 ①相似三角形对应角相等,对应边成比例. ②相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. ③相似三角形周长的比等于相似比 定理推论: 推论一:顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 推论二:腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 推论三:有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 推论四:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五:如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相似。 推论六:如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相似。 一、选择题 1、(青海)如图,DEF △是由ABC △经过位似变换得到的,点O 是位似中心,D E F ,,分别是OA OB OC ,,的中点,则DEF △与ABC △的面积比是( ) A .1:6 B .1:5 C .1:4 D .1:2

A B D O E F 第1题图 E C A F B 图5 2、(山东烟台)如图,在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形,则,,a b c 满足的关 系式是( ) A 、b a c =+ B 、b ac = C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c == 3、(广东茂名市)如图,△ABC 是等边三角形,被一平行于BC 的矩形所截, AB 被截成三等分,则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 ( ) A.91 B.92 C.31 D.9 4 4、(江西南昌)下列四个三角形,与左图中的三角形相似的是( ) 二、填空题 5、 (上海市)如图5,平行四边形ABCD 中,E 是边BC 上的点,AE 交BD 于点F ,如果 2 3 BE BC =, (第4题) A . B . C . D . E H F G B A ((第3题图)

中考相似专题练习

. 考点名称:相似三角形的性质 相似三角形性质定理: (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 (6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同,内切圆、外接圆面积比是 相似比的平方 (7)若 a/b =b/c ,即 b2=ac ,b 叫做 a,c 的比例中项 (8)c/d=a/b 等同于 ad=bc. (9)不必是在同一平面内的三角形里 ①相似三角形对应角相等,对应边成比例. ②相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ③相似三角形周长的比等于相似比 定理推论: 推论一:顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 推论二:腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 推论三:有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 推论四:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五:如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那

B C 么这两个三角形相似。 推论六:如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么 这两个三角形相似。 一、选择题 1、(青海)如图,△DEF 是由 △ A BC 经过位似变换得到的,点 O 是位似中心,D ,E ,F 分别是 OA ,OB ,OC 的中点,则 △DEF 与 △ A BC 的面积比是( ) A .1: 6 B .1: 5 C .1: 4 D .1: 2 A D O E F 第 1 题图 2、(山东烟台)如图,在 △Rt ABC 内有边长分别为 a, b , c 的三个正方形,则 a, b , c 满足的 关系式是( ) A 、 b = a + c B 、 b = ac C 、 b 2 = a 2 + c 2 D 、 b = 2a = 2c 3、 (广东茂名市)如图,△ ABC 是等边三角形,被一平行于 BC 的矩形所截, AB 被截成三等分,则图中阴影部分的面积是△ ABC 的面积的 ( ) A. 1 2 1 4 B. C. D. 9 9 3 9 A E H F G B C ((第 3 题图) 4、(江西南昌)下列四个三角形,与左图中的三角形相似的是( )

中考数学考点专题训练相似

热点16 相似 【命题趋势】 相似是初中数学中比较难的一块内容,是中考必考内容,也是压轴题常考内容,所以每年中考,不论是哪个城市的中考试卷,相似都是一个重头戏。相似在中考数学试卷中所占比例较大,一般难度都是比较大的,综合性较强,对学生的综合运用知识的能力要求也更高,所以要熟练掌握这部分知识及其常见题型对在中考中取得优异的成绩至关重要。它往往与图形的三种运动变换或者与二次函数,反比例函数相结合而形成压轴题。 【满分技巧】 一、整体把握有关相似的知识结构 1.相似三角形:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 2.相似三角形的判定方法: ○1.平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似; ○2.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似; 3.如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似; ○ ○ 4.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似; 3.直角三角形相似判定定理: ○1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似,并且分成的两个直角三角形也相似。 4.相似三角形的性质: ○1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比。 ○2.相似三角形周长的比等于相似比。 ○3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。 二.把握中考常考相似模型 【限时检测】(建议用时:30分钟) 一、选择题 1. (2019 贵州省黔南州)如图,在一斜边长30cm的直角三角形木板(即Rt△ACB)中截取一个正方形CDEF,点D在边BC上,点E在斜边AB上,点F在边AC上,若AF:AC=1:3,则这块木板截取正方形CDEF后,剩余部分的面积为()

(完整版)中考相似专题复习

相似三角形基本类型一、“X”型. B C B C 二、“子母”,“A型”,“斜A ”. B B B 三、“K”型 C C C B D

四、共享型 B E B E B 一、圆中相似三角形的判定 例1、如图,△ABC 内接于⊙O ,AD 是△ABC 的边BC 上的高,AE 是⊙O 的直径,连接BE ,△ABE 与△ADC 相似吗?请证明你的结论. 例2、如图, △ABC 内接于⊙O,∠BAC 的平分线分别交⊙O,BC 于点D,E,连结BD.请找出图中各对相似三角形,并给出证明. 变式: 1.(滨州)如图,直线PM 切⊙O 于点M ,直线PO 交⊙O 于A ,B 点,弦AC ∥PM ,连接OM 、BC. 求证:(1)△ABC ∽△POM ;(2)2OA 2=OP ?BC . B P D C

2.(日照)如图,在△ABC 中,AB =AC ,以AB 为直径的⊙O 交AC 与E ,交BC 与D .求证: (1)D 是BC 的中点; (2)△BE C ∽△ADC ; (3)BC 2=2AB ·CE 二、利用圆中相似三角形证明圆中的比例线段 例3、如图,在圆内接四边形ABCD 中,CD 为∠BCA 的外角的平分线,F 为错误!未找到引用源。上一点,BC=AF ,延长DF 与BA 的延长线交于E . (1)求证:△ABD 为等腰三角形. (2)求证:AC?AF=DF?FE . 变式:如图,BD 为⊙O 的直径,AB =AC ,AD 交B C 于点E ,AE =2,ED =4, (1)求证:△ABE ∽△ADB ; (2)求AB 的长; (3)延长DB 到F ,使得BF =BO ,连接FA ,试判断直线FA 与⊙O 的位置关系,并说明理由. 三、利用圆中相似进行计算 例4、如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,过点C 的直线与AB 的 延长线交于点P ,AC=PC ,∠COB=2∠PCB. (1)求证:PC 是⊙O 的切线; (2)求证: AB =2BC ; (3)点M 是弧AB 的中点,CM 交AB 于点N ,若AB=4,求MN ·MC 的值. 变式1:如图,已知R t △ABC ,∠ABC =90°,以直角边AB 为直径作O ,交斜边AC 于点D , O E B

中考数学专题复习相似图形

中考数学专题复习相似图形 【基础知识回顾】 一、成比例线段: 1、线段的比:如果选用同一长度的两条线段AB,CD的长度分别为m、n 则这两条线段的比就是它们的比,即:AB CD= 2、比例线段:四条线段a、b、c、d如果a b=那么四条线段叫做同比例 线段,简称 3、比例的基本性质:a b= c d<=> 4、平行线分线段成比例定理:将平行线截两条直线 【提醒:表示两条线段的比时,必须使示用相同的,在用了相同的前提下,两条线段的比值与用的单位无关即比值没有单位。】 二、相似三角形: 1、定义:如果两个三角形的各角对应各边对应那么这两个三角形相似 2、性质:⑴相似三角形的对应角对应边 ⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应的比都等于 ⑶相似三角形周长的比等于面积的比等于 1、判定:⑴基本定理:平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交,三角形与原三 角形相似 ⑵两边对应且夹角的两三角形相似 ⑶两角的两三角形相似 ⑷三组对应边的比的两三角形相似 【名师提醒:1、全等是相似比为的特殊相似 2、根据相似三角形的性质的特质和判定,要证四条线段的比相等,一般要先证判定方法中最常用的是三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】 三、相似多边形: 1、定义:各角对应各边对应的两个多边形叫做相似多边形 2、性质:⑴相似多边形对应角对应边 ⑵相似多边形周长的比等于面积的比等于 【名师提醒:相似多边形没有专门的判定方法,判定两多边形相似多用在矩形中,一般用定义进行判定】 一、位似: 1、定义:如果两个图形不仅是而且每组对应点所在直线都经过那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做这时相似比又称为 2、性质:位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于 【名师提醒:1、位似图形一定是图形,但反之不成立,利用位似变换可以将一个图形放大或

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