矩阵的满秩分解

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§4.3矩阵的满秩分解

本节讨论一个n m ?复矩阵A 可以分解为两个与A 的秩相同的矩阵之积的问题。

定义4.3.1设n m ?复矩阵A 的秩为r ，如果存在两个与A 的秩相同的复矩阵F 与G ，使得FG A =，则称此式为复矩阵A 的满秩分解。

当A 是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A 可以分解为单位矩阵与A 自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。

定理4.3.1设n m ?复矩阵A 的秩为r 0>，则A 有满秩分解。

证：因为0>=r rankA ，对A 施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵???

?

??=0G B ， 其中G 为n r ?矩阵，并且0>=r rankG ；因此存在着有限个m 阶初等矩阵之积，

记作P ，有B PA =，或者B P A 1-=，将矩阵1-P 分块为()S F P =-1 ，其中F 为r m ?矩阵，S 为)(r n m -?矩阵，并且r rankF =，r n rankS -=。

则有()FG G S F B P A =???

? ??==-01 ，其中F 是列满秩矩阵，S 是行满秩矩阵。 ▌ 但是，矩阵A 的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个r 阶非奇异矩阵D ，则有

G F G D FD FG A ~~))((1===-。

例1、 求矩阵????

? ??----=122211212101A 的满秩分解。

解：对矩阵A 进行初等行变换

()???? ??==????

? ??--→????? ??----=0111000001130200012101100122201011210012101G B I A 其中???? ??-=30202101G 所以????? ??-=000030202101B ，????

? ??-=111011001P ；而()S F P =????? ??--=-1120110011

，其中????

? ??--=121101F 由此可见，所以有()????

? ??--==???? ??==-12110101FG G S F B P A ???? ??-30202101。

110 定义4.3.2设n m ?复矩阵H 的秩为r ()0>r ，并且满足以下条件：

1）矩阵H 的前r 行中的每一行至少含有一个不为零的元素，并且第一个不为零的元素是1，而后r m -行的元素均为零；

2）如果矩阵H 的第i 行的第一个不为零的元素1在第i j 列()r i ,,2,1 =，

则r j j j <<< 21；

3）矩阵H 的r j j j ,,,21 列是单位矩阵m I 的前r 列；

则称矩阵H 为Hermite 标准形(最简型)。

由此定义可见，对于任意一个秩为r 的n m ?复矩阵A ，均可以经过初等行变换将其化为Hermite 标准形H ，而且矩阵H 的前r 列元素组成的列向量组线性无关。

定义 4.3.3以n 阶单位矩阵n I 的n 个列向量n e e e ,,,21 为列构成的n 阶矩阵()

n j j j e e e P ,,,21 =叫做置换矩阵。其中n j j j ,,,21 是n ,,2,1 的一个全排列。

定理4.3.2设n m ?复矩阵A 的秩为r ()0>r ，矩阵A 的Hermite 标准形为H ，则在矩阵A 的满秩分解FG A =中，可以取矩阵F 为A 的r j j j ,,,21 列构成的r m ?列矩阵，G 为H 的前r 行构成的n r ?列矩阵。 例2、求矩阵????

? ??----=122211212101A 的满秩分解。

解：先求出矩阵A 的Hermite 标准形

H A =????

? ??-→????? ??----=0000230102101122211212101，H 的第1列与第2列构成3I 的前两

列，所以矩阵F 为A 的第1列与第2列构成的23?矩阵，G 为H 的前2行构成的42?矩

阵，即????

? ??-=222101F ，???? ??-=230102101G ， 所以????

? ??-==222101FG A ???? ??-230102101。

对比例1，可以看出矩阵A 的满秩分解不唯一。

矩阵分解在优化方法中的应用

矩阵分解以及矩阵范数在数值计算中的应用 张先垒 （自动化与电气工程学院 控制科学与工程 2012210186） 【摘要】矩阵的分解是将一个矩阵分解为较为简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或 者乘积，这是矩阵理论及其应用中比较常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵的分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，它是应用于解最优化问题、特征值问题、最小二乘方问题的主要数学工具。 关键词 ： 矩阵分解 对角化 逆矩阵 范数 条件数 1. 引言 矩阵分解在工程中的应用主要是在解线性方程组中,而这主要就是关系到储存和计算时间的问题上面,如何实现最小的储存和最少的计算时间是在工程计算中的头等问题。在这方年就牵涉到很多对矩阵进行怎样的分解，这篇文章介绍了基本的关于三角分解相关的内容以及关于界的稳定性的考虑。 2. 矩阵的三角分解求解线性方程组 数值求解线性方程组的方法中有一个主要是直接法，假设计算中没有舍入误差，经过有限次算术运算能够给出问题的精确解的数值方法。其中高斯消去法就是利用矩阵的分解实现的。矩阵论一种有效而且应用广泛的分解法就是三角分解法，将一个矩阵分解为一个酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积。（见课本P93例4.3）考虑一般的线性方程组，设其中的系数矩阵A 是可逆的， 1111 n m mn a a A a a ?? ? = ? ??? （1-1） 设矩阵A 的第一列中至少有一个是非零元素（否则A 就是奇异矩阵）不妨设为1i a 若一 般的记初等矩阵 [1] 如1-2式及矩阵论课本上的Givens 矩阵。

矩阵的满秩分解

§4.3矩阵的满秩分解 本节讨论一个复矩阵可以分解为两个与的秩相同的矩阵之积的问题。定义4.3.1设复矩阵的秩为，如果存在两个与的秩相同的复矩阵与，使得，则称此式为复矩阵的满秩分解。 当是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）可以分解为单位矩阵与自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。 定理4.3.1设复矩阵的秩为，则有满秩分解。 证：因为，对施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵， 其中为矩阵，并且；因此存在着有限个阶初等矩阵之积， 记作，有，或者，将矩阵分块为，其中为矩阵，为矩阵，并且，。 则有，其中是列满秩矩阵，是行满秩矩阵。▌ 但是，矩阵的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个阶非奇异矩阵，则有 。 例1、求矩阵的满秩分解。 解：对矩阵进行初等行变换 其中所以，；而，其中 由此可见，所以有。 定义4.3.2设复矩阵的秩为，并且满足以下条件： 1）矩阵的前行中的每一行至少含有一个不为零的元素，并且第一个不为零的元素是1，而后行的元素均为零； 2）如果矩阵的第行的第一个不为零的元素1在第列， 则； 3）矩阵的列是单位矩阵的前列； 则称矩阵为Hermite标准形(最简型)。 由此定义可见，对于任意一个秩为的复矩阵，均可以经过初等行变换将其化为Hermite标准形，而且矩阵的前列元素组成的列向量组线性无关。 定义4.3.3以阶单位矩阵的个列向量为列构成的阶矩阵叫做置换矩阵。其中是的一个全排列。 定理4.3.2设复矩阵的秩为，矩阵的Hermite标准形为，则在矩阵的满秩分解中，可以取矩阵为的列构成的列矩阵，为的前行构成的列矩阵。例2、求矩阵的满秩分解。 解：先求出矩阵的Hermite标准形

矩阵论知识点

矩阵论知识点 第一章：矩阵的相似变换 1. 特征值，特征向量 特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量 2. 相似对角化 充要条件：（1）（2）（3）（4） 3. Jordan标准形 计算：求相似矩阵P及Jordan标准形 求Jordan标准形的方法： 特征向量法，初等变换法，初等因子法 4. Hamilton-Cayley定理 应用：待定系数法求解矩阵函数值 计算：最小多项式 5. 向量的内积 6. 酉相似下的标准形 特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵。

第二章：范数理论 1. 向量的范数 计算：1，2， 范数2. 矩阵的范数 计算：1，2，，m , F 范数，谱半径 3. 谱半径、条件数 第三章：矩阵分析 1. 矩阵序列 2. 矩阵级数 特别的：矩阵幂级数 计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和 3. 矩阵函数 计算：矩阵函数值， At e ，Jordan 矩阵的函数值 4. 矩阵的微分和积分 计算：函数矩阵，数量函数对向量的导数 如，dt dA(t),dt dA(t) ,)()(X R AX X X X X f T T T 等 5. 应用 计算：求解一阶常系数线性微分方程组

第四章：矩阵分解 1. 矩阵的三角分解 计算：Crout分解，Doolittle分解，Choleskey分解2. 矩阵的QR分解 计算：Householder矩阵，Givens矩阵， 矩阵的QR分解或者把向量化为与1e同方向3. 矩阵的满秩分解 计算：满秩分解，奇异值分解 4. 矩阵的奇异值分解 第五章：特征值的估计与表示 1. 特征值界的估计 计算：模的上界，实部、虚部的上界 2. 特征值的包含区域 计算：Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值 3. Hermite矩阵特征值的表示 计算：矩阵的Rayleigh商的极值 4. 广义特征值问题 AX转化为一般特征值问题 计算：BX

矩阵分解及其应用

《线性代数与矩阵分析》课程小论文 矩阵分解及其应用 学生姓名：****** 专业：******* 学号：******* 指导教师：******** 2015年12月

Little Paper about the Course of "Linear Algebra and Matrix Analysis" Matrix Decomposition and its Application Candidate:****** Major:********* StudentID:****** Supervisor:****** 12,2015

中文摘要 将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。本文主要介绍几种矩阵的分解方法，它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和 Fitting 分解等。矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分，在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。因此，本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。 关键词：等价分解,三角分解,奇异值分解,运用

Abstract Many particular types of matrix are split into the product of a matrix of several matrices, which is called decomposition of matrix. In this paper, we introduce some methods of matrix decomposition, which are equivalent decomposition, triangular decomposition, spectral decomposition, singular value decomposition, Fitting decomposition and so on. The decomposition theory and method of matrix is an important part of matrix analysis, which is widely used in solving the characteristic value, solving linear equations and the practical engineering. In this paper, we will introduce the theory of matrix equivalence decomposition, triangular decomposition, singular value decomposition and the engineering application of triangular decomposition. Key words：Equivalent Decomposition, Triangular Decomposition, Singular Value Decomposition, Application

矩阵的满秩分解

§矩阵的满秩分解 本节讨论一个n m ?复矩阵A 可以分解为两个与A 的秩相同的矩阵之积的问题。 定义设n m ?复矩阵A 的秩为r ，如果存在两个与A 的秩相同的复矩阵F 与G ，使得FG A =，则称此式为复矩阵A 的满秩分解。 当A 是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A 可以分解为单位矩阵与A 自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。 定理设n m ?复矩阵A 的秩为r 0>，则A 有满秩分解。 证：因为0>=r rankA ，对A 施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵???? ??=0G B ， 其中G 为n r ?矩阵，并且0>=r rankG ；因此存在着有限个m 阶初等矩阵之积， 记作P ，有B PA =，或者B P A 1-=，将矩阵1-P 分块为()S F P =-1 ，其中F 为r m ?矩阵，S 为)(r n m -?矩阵，并且r rankF =，r n rankS -=。 则有()FG G S F B P A =??? ? ??==-01 ，其中F 是列满秩矩阵，S 是行满秩矩阵。 ▌ 但是，矩阵A 的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个r 阶非奇异矩阵D ，则有 G F G D FD FG A ~~))((1===-。 例1、 求矩阵???? ? ??----=122211212101A 的满秩分解。 解：对矩阵A 进行初等行变换

()???? ??==???? ? ??--→????? ??----=0111000001130200012101100122201011210012101G B I A 其中???? ??-=30202101G 所以????? ??-=000030202101B ，???? ? ??-=111011001P ；而()S F P =????? ??--=-1120110011 ，其中???? ? ??--=121101F 由此可见，所以有()???? ? ??--==???? ??==-12110101FG G S F B P A ???? ??-30202101。 定义设n m ?复矩阵H 的秩为r ()0>r ，并且满足以下条件： 1）矩阵H 的前r 行中的每一行至少含有一个不为零的元素，并且第一个不为零的元素是1，而后r m -行的元素均为零； 2）如果矩阵H 的第i 行的第一个不为零的元素1在第i j 列()r i ,,2,1 =， 则r j j j <<< 21； 3）矩阵H 的r j j j ,,,21 列是单位矩阵m I 的前r 列； 则称矩阵H 为Hermite 标准形(最简型)。 由此定义可见，对于任意一个秩为r 的n m ?复矩阵A ，均可以经过初等行变换将其化为Hermite 标准形H ，而且矩阵H 的前r 列元素组成的列向量组线性无关。 定义以n 阶单位矩阵n I 的n 个列向量n e e e ,,,21 为列构成的n 阶矩阵() n j j j e e e P ,,,21 =叫做置换矩阵。其中n j j j ,,,21 是n ,,2,1 的一个全排列。 定理设n m ?复矩阵A 的秩为r ()0>r ，矩阵A 的Hermite 标准形为H ，则在矩阵A 的满秩分解FG A =中，可以取矩阵F 为A 的r j j j ,,,21 列构成的

几类特殊矩阵的满秩分解及其应用.doc

目录 0 引言 (1) 1 预备知识 (1) 2 几类特殊矩阵满秩分解 (2) 2.1酉对称矩阵的满秩分解 (2) 2.2行（列）对称矩阵的满秩分解 (3) 2.3行（列）反对称矩阵的满秩分解 (4) 2.4全对称矩阵中具有轴对称结构矩阵的满秩分解 (4) 2.5广义延拓矩阵的满秩分解 (5) 3 矩阵的满秩分解的应用 (6) 3.1利用矩阵A的满秩分解求广义逆矩阵 (6) 3.1.1 利用矩阵A的满秩分解求广义逆矩阵-A (6) 3.1.2 利用矩阵A的满秩分解求M-P广义逆矩阵 A (7) 3.2线性方程组的极小最小二乘问题 (8) 参考文献 致谢

赵爱霞 （天水师范学院数学与统计学院, 甘肃天水741001） 摘要介绍了五类特殊矩阵，即酉对称矩阵、行（列）对称矩阵、行（列）反对称矩阵、全对称矩阵及广义延拓矩阵，的满秩分解和求解方法，并说明了满秩分解在求广义逆中的应用. 关键词酉对称矩阵;行（列）对称矩阵; 行（列）反对称矩阵;全对称矩阵;广义延拓矩阵;广义逆矩阵;满秩分解. Full Rank Decomposition and Application for some kinds of Special Matrix ZHAO Aixia (School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741001) Abstract The formulas and methods, for full rank decompositions of five kinds of special matrices, such as unitary symmetric matrix, row (column) symmetric matrix,row (column) negative symmetric matrix, full symmetric matrix, are given, Moreover, we show the importance of the full rank decomposition in finding generalized inverse of matrix, Key words unitary symmetric matrix, row (column) symmetric matrix,row (column) negative symmetric matrix, full symmetric matrix, generalized inverse matrix, generalized continuation matrix, full rank decomposition.

矩阵论研究生复习题

矩阵理论及应用证明题复习题 正规矩阵（包括Hermite 矩阵；Hermite 正定矩阵等） 1. 设()ij n n A a ?=是n 阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ 是A 的特征值，且12n λλλ≥≥≥ ， 证明：（1）1H n H x Ax x x λλ≤≤ ；（2）{}11max n kk k n a λλ≤≤≤≤. 2.假设n 阶Hermite 矩阵A 是正定的。证明：(1)存在正定矩阵S 使得2 A S =； （2）对任意n 维列向量,X Y ，有2 H H H Y AX X AX Y AY ≤，并且，等号成立当 且仅当,X Y 线性相关。 3.证明：设,A B 都是Hermite 矩阵，A 的特征值都大于a ，B 的特征值都大于b ， 则A B +的特征值都大于a b +。 4.设A 为n 阶正定Hermite 矩阵，证明（1）H nn A G a ββ?? = ??? 是正定的的充分必要条件为1H nn a A ββ->，（2）H nn A G a ββ ?? = ??? 正定时有不等式：nn G a A ≤. 5.A 是n 阶Hermite 矩阵，证明：2 46A A I -+是正定Hermite 矩阵 6.A 、B 都为n 阶正定Hermite 矩阵，且AB BA =，则AB 亦为正定Hermite 矩阵 范数 1.设?为n n C ?上的矩阵范数，λ为复矩阵A 的特征值，证明：m m A λ ≤（m 为正整数） 2.设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，A 是A 的任意一种范数 证明：1 1 A λ -≥ 3.设A 是n 阶可逆矩阵，A 是A 的任意一种范数.证明：A 的谱半径()1 1A A ρ-≥ 4.A 是n 阶复矩阵，证明22 1A A A ∞ ≤ 5.假设A 是s n ?矩阵，,U V 分别是s s ?、n n ?酉矩阵。证明：F F A UAV =， 22A UAV =。 6.设() ij n n A a ?=为n 阶Hermite 矩阵,证明：（1）2()A A ρ=；（2）()ij a A ρ≤.

南京航空航天大学研究生课程《矩阵论》内容总结与习题选讲

《矩阵论》复习提纲与习题选讲 Chapter1 线性空间和内积空间 内容总结： z 线性空间的定义、基和维数； z 一个向量在一组基下的坐标； z 线性子空间的定义与判断； z 子空间的交 z 内积的定义； z 内积空间的定义； z 向量的长度、距离和正交的概念； z Gram-Schmidt 标准正交化过程； z 标准正交基。 习题选讲： 1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成 的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。 （1） 求的维数；并写出的一组基；求在所取基下 的坐标； 3]x [R 3]x [R 221x x ++ （2） 在中定义 3]x [R ， ∫?=1 1)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明：上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基； 3][x R （3）求与之间的距离； 221x x ++2x 2x 1+?（4）证明：是的子空间； 2][x R 3]x [R （5）写出2[][]3R x R x ∩的维数和一组基；

二、 设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法）。 （1） 求22R ×的维数，并写出其一组基； （2） 在(1)所取基下的坐标； ?? ??????3111（3） 设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵 的加法和数与矩阵的乘法）。 证明：W 是22R ×的子空间；并写出W 的维数和一组基； （4） 在W 中定义内积 ， )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈ 求出W 的一组标准正交基； （5）求与之间的距离； ??????0331?? ?????1221 （6）设V 是实数域R 上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩 阵的加法和数与矩阵的乘法）。 证明：V 也是22R ×的子空间；并写出V 的维数和一组基； （7）写出子空间的一组基和维数。 V W ∩

矩阵的满秩分解

109 §4.3矩阵的满秩分解 本节讨论一个n m ?复矩阵A 可以分解为两个与A 的秩相同的矩阵之积的问题。 定义4.3.1设n m ?复矩阵A 的秩为r ，如果存在两个与A 的秩相同的复矩阵F 与G ，使得FG A =，则称此式为复矩阵A 的满秩分解。 当A 是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A 可以分解为单位矩阵与A 自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。 定理4.3.1设n m ?复矩阵A 的秩为r 0>，则A 有满秩分解。 证：因为0>=r rankA ，对A 施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵??? ? ??=0G B ， 其中G 为n r ?矩阵，并且0>=r rankG ；因此存在着有限个m 阶初等矩阵之积， 记作P ，有B PA =，或者B P A 1-=，将矩阵1-P 分块为()S F P =-1 ，其中F 为r m ?矩阵，S 为)(r n m -?矩阵，并且r rankF =，r n rankS -=。 则有()FG G S F B P A =??? ? ??==-01 ，其中F 是列满秩矩阵，S 是行满秩矩阵。 ▌ 但是，矩阵A 的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个r 阶非奇异矩阵D ，则有 G F G D FD FG A ~~))((1===-。 例1、 求矩阵???? ? ??----=122211212101A 的满秩分解。 解：对矩阵A 进行初等行变换 ()???? ??==???? ? ??--→????? ??----=0111000001130200012101100122201011210012101G B I A 其中???? ??-=30202101G 所以????? ??-=000030202101B ，???? ? ??-=111011001P ；而()S F P =????? ??--=-1120110011 ，其中???? ? ??--=121101F 由此可见，所以有()???? ? ??--==???? ??==-12110101FG G S F B P A ???? ??-30202101。

矩阵论之矩阵的分解

矩阵的分解 一、矩阵的三角分解 定义 3.1 设.n n A F ?∈ (1) 若,n n L U F ?∈分别为下三角矩阵和上三角矩阵，,A LU =则称A 可作LU 分解。 (2) 若,n n L U F ?∈分别是对角线元素为1的下三角矩阵和上三角矩阵，D 为对角矩阵。 ,A LDU = 则称A 可作LDU 分解。 用Gauss 消去法，一个方阵总可以用行初等变换化为上三角矩阵，若只用第i 行乘以数k 加到第j 行（i j <）型初等变换就能把A 化为上三角矩阵U ，则有下三角形可逆矩阵,P 使 ,PA U =从而有LU 分解：1.A P U -= 例1 设223477245A ????=????-?? ，求A 的LU 分解和LDU 分解。 解 为求,P 对下面的矩阵做如下行初等变换： 32 23100223100()4 77010031210245001068101223100031210006521A I ???? ????=→-???? ????-???? ????→-????-?? 因此 100223210,031521006P PA ????????=-=????????-????. 令1 100223210,031121006L P U -????????===????????-???? 则223031.006A L LU ????==?????? 再利用初等变换，有

311 2100212103013121600 1A ?? ??????????????=??????????-??????????? ? 就得到A LDU = 其中 311 210021210,3,0131216001L D U ? ? ??????????????===??????????-????? ?????? ? 一般来说，,LU LDU 分解一般不是惟一的。下面讨论方阵的LU 和LDU 分解的 存在性和唯一性。 定理 3.1 设(),n n ij n n A a F ??=∈ 则A 有惟一LDU 分解A LDU =的充分必要条件是A 的 顺序主子式 11 1212122201 2......0,1,2,...,;1,...... ... ... ...k k k k k kk a a a a a a k n a a a ?= ≠=?= 其中 1 2 1,;1,2,...,...k k k n d d D d k n d -??? ??? ?===?????? ? 证明：只证充分性：对A 的阶数n 进行归纳证明 11111111,()(1)()(1)n A a a L DU ==== 所以定理对1n =成立，设定理对1n -成立，即 (1)(1)111()ij n n n n n A a L D U -?----== 则对,n 将A 分块成 1 n n T n nn A A u a τ-?? =???? 其中 121,12,1(,,...,),(,,...,),T T n n n n n n n n n n a a a u a a a τ--==

矩阵论矩阵分解精品

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【关键字】方法、条件、问题、矛盾、有效、继续、充分、保持、提出、研究、位置、需要、
需求、作用、标准、反映、检验、分析、逐步、推广、满足、保证、解决、优化、方向、转
变、规范、不改变、规范化
第四章 矩阵分解
把矩阵分解为形式比较简单或具有某种特性的一些矩阵的乘积，在矩阵理论的研究与应 用中，都是十分重要的．因为这些分解式的特殊形式一方面能明显地反映出原矩阵的某些数 值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等，另一方面分解的方法与过程往往提供了 某些有效的数值计算方法和理论分析根据．本章将介绍几种常用的矩阵分解形式．
§4．1 矩阵的三角分解 三角矩阵的计算，如求行列式、求逆矩阵、求解线性方程组等，都是很方便的，因此首 先研究是否可将矩阵分解成一些三角矩阵的乘积． 一、三角分解及其存在惟一性问题
定义 4.1 设 A Cnn ，如果存在下三角矩阵 L Cnn 和上三角矩阵 R Cnn ，使得
A=LR 则称 A 可以作三角分解．
关于三角分解的存在性有如下一些结论．
定理 4.1
设
A
C
nn n
，则
A
可以作三角分解的充分必要条件是
k
≠0
(k=1，2，…，n
－1)，其中 k det Ak 为 A 的 k 阶顺序主子式，而 Ak 为 A 的 k 阶顺序主子阵。
证 必要性．已知 A 可以作三角分解，即 A＝LR，其中 L＝ lij nn lij 0，i＜j ，
R rij nn rij 0，i＞j ．将 A，L 和 R 进行分块，得
这里 Ak ， Lk 和 Rk 分别是 A，L 和 R 的 k 阶顺序主子阵，且 Lk 和 Rk 分别是上三角矩阵
和下三角矩阵．由矩阵的分块乘法运算，得
由于
所以
＝ l11 lkkr11 rkk≠0 (k 1, 2, , n 1)
充分性．对阶数 n 用归纳法证明．当 n=1 时， A1 a11 1a11 ，结论成立．设对
n=k 结论成立，即 Ak Lk Rk ，其中 Lk 和 Rk 分别是上三角矩阵和下三角矩阵，且由 k det Ak det Lk det Rk≠0 知， Lk 与 Rk 均可逆．则当 n=k+1 时，有
其中 ck a1,k1 , , ak ,k1 T ，rkT ak1,1 , , ak1,k ．故由归纳假设知 A 可以作三角分解．
证毕
这个定理说明，并不是每个可逆矩阵都可以作三角分解．如矩阵
A

0 1
1
0

就不能作
三解分解．
定理 4.2
设
A
Cnn r
，且
A
的前
r
个顺序主子式不为零，即
k
≠0
(k=1，2，…，r)，
见 A 可以作三角分解．
证 由定理 4.1 知， Ar 可以作三角分解，即 Ar Lr Rr ，且 Lr 和 Rr 分别是可逆的上三
角矩阵和下三角矩阵．将矩阵 A 分块为
由于 rankAr ＝rankA=r，所以 A 的后 n－r 行可由前 r 行线性表示，即存在矩阵 B Cnrr ，
使得 A21 BAr ， A22 BA12 ，从而
即得到 A 的一种三角分解．
证毕
该定理的条件仅是充分的．如矩阵
A

0 1
0 2

的秩为
1，不满足定理的条件，但
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