高中数学必修四第一章题型汇总

第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数

[考纲传真] 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．

1．若αA ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限

D ．第三或第四象限

A [当k ＝2n (n ∈Z )时，α＝2n ·180°＋45°＝n ·360°＋45°，α为第一象限角；

当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，α＝(2n ＋1)·180°＋45°＝n ·360°＋225°，α为第三象限角，所以α为第一或第三象限角．故选A.]

2．若角α是第二象限角，则α

2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第三象限角

D ．第二或第四象限角

C [∵α是第二象限角，∴π

2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π

2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α

2是第一象限角； 当k 为奇数时，α

2是第三象限角． 综上，α

2是第一或第三象限角，故选C.]

3．与－2 015°终边相同的最小正角是________．

145° [－2 015°＝6×(－360°)＋145°，因此与－2 015°终边相同的最小正角是145°.] 4．终边在直线y ＝3x 上的角的集合是________．

{β|β＝60°＋k ·180°，k ∈Z } [如图，直线y ＝3x 过原点，倾斜角为60°，

【例1】 (2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？ [解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，则 ????

?

2r ＋rθ＝10，12

θ·r 2＝4，解得???

r ＝1，

θ＝8(舍去)或?????

r ＝4，θ＝1

2

，

∴扇形的圆心角为1

2.

(2)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40.

又S ＝12θr 2＝1

2r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100.

当且仅当r ＝10时，S ma x ＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．

(1)若扇形的圆心角α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，

则弧长l ＝________cm.

83

3π [设扇形的半径为r cm ，如图．

由sin 60°＝6

r ，得r ＝4 3 cm ， ∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π cm.]

(2)已知扇形AOB 的周长为C ，当圆心角为多少时，扇形的面积最大？ [解] 设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，由题意可知 ?

????

C ＝l ＋2r ①S ＝12lr ②∴l ＝C －2r ，代入②可得：S ＝12(C －2r )·r ＝C 2r －r 2? ??

??0＜r ＜C 2，

∵S ＝－? ??

??r －C 42＋C

2

16，0＜r ＜C 2，∴当r ＝C 4时，S 最大，此时l ＝C －C 2＝C 2，∴α＝l r ＝2.

?考法1 【例2】 (1)已知点P 在角4π

3的终边上，且|OP |＝4，则点P 的坐标为( ) A ．(－2，－23) B.? ????12

，－32

C ．(－23，－2)

D.? ????

－32

，－12

(2)已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1

tan α＝________. (1)A (2)－2

3 [(1)设P (x ，y )，由三角函数的定义知，y 4＝sin 4π3，x 4＝cos 4π3，即y ＝4sin 4π3

＝－23，x ＝4cos 4π

3＝－2，即点P 的坐标为(－2，－23)，故选A.

(2)r ＝x 2＋36，由cos α＝－5

13得－x x 2＋36

＝－5

13 解得x ＝52或x ＝－5

2(舍去) 所以P ? ??

??－52，－6，

所以sin α＝－1213，所以tan α＝sin αcos α＝125， 则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.] ?考法2 三角函数值的符号判定

【例3】 (1)若sin αtan α＜0，且cos α

tan α＜0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角

D ．第四象限角 (2)sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0

D ．不确定 (1)C (2)A [(1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，从而可判断角α为第二或第三象限角．

由cos α

tan α＜0可知cos α，tan α异号，从而可判断角α为第三或第四象限角． 综上可知，角α为第三象限角．

(2)sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，则sin 2·cos 3·tan 4＜0，故选A.] ?考法3 三角函数线的应用

【例4】 函数y ＝2cos x －1的定义域为________．

???

???2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) [∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.

由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)． ∴x ∈????

??2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．] (1)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动

2π

3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )

A.? ????－12，32

B.? ????－32，－12

C.? ????－12，－32

D.? ??

??－32，12

(2)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝2

4m ，则cos θ的值为________． (3)函数y ＝lg(2sin x －1)的定义域为________．

(1)A (2)－64 (3)? ????2k π＋π6，2k π＋56πk ∈Z [(1)由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝3

2.

∴Q 点的坐标为? ????

－12，32，故选A.

(2)由题意知r ＝3＋m 2， ∴sin θ＝m 3＋m 2＝2

4

m ，

∵m ≠0，∴m ＝±5，∴r ＝3＋m 2＝22， ∴cos θ＝

－322

＝－6

4. (3)由题意知2sin x －1＞0，即sin x ＞1

2

，

根据三角函数线，画出x 满足条件的终边范围．(如图阴影所示)

∴?

?????

???

?x ???

2k π＋π6＜x ＜2k π＋5π

6，k ∈Z

1．(2014·全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin 2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0

D ．cos 2α>0

A [∵tan α>0，∴α∈? ?

???k π，k π＋π2(k ∈Z )是第一、三象限角．

∴sin α，cos α都可正、可负，排除B ，C. 而2α∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z )， 结合正、余弦函数图象可知，A 正确．

取α＝π

4，则tan α＝1>0，而cos 2α＝0，故D 不正确．]

2．(2014·大纲全国卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A ．45 B ．35 C ．－35

D ．－45

D [因为角α的终边经过点(－4,3)，所以x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－4

5.]

第2节 诱导公式

[考纲传真] 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出π

2

±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导

公式．

【例1】 (1)sin((2)已知cos ? ????π6－θ＝a ，则cos ? ????5π6＋θ＋sin ? ????

2π3－θ＝________.

(3)已知A ＝

sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)

cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是________．

(1)3

4 (2)0 (3){2，－2} [(1)原式＝－sin 1 200°cos 1290° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°) ＝－sin 120°cos 210°

＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＝32×32＝34.

(2)cos ? ????5π6

＋θ＝cos ??????π－? ????π6－θ＝－cos ? ????π6－θ＝－a ，sin ? ????

2π3－θ＝sin ??????π2＋? ????π6－θ＝cos ? ??

??

π6－θ＝a ∴cos ? ????5π6＋θ＋sin ? ??

??

2π3－θ＝－a ＋a ＝0.

(3)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos α

cos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2，因此A 的值构成的集合为{2，－2} .]

(1)已知α∈? ????

π2，π，且cos α＝－513，则

tan ? ?

???α＋π2cos (α＋π)

＝( )

A.12

13 B ．－1213 C.1312

D ．－1312

(2)已知sin ? ????α＋π3＝1213，则cos ? ??

??

π6－α＝________.

(1)C (2)12

13 [(1)tan ? ????α＋π2cos ()α＋π＝sin ? ?

???α＋π2cos ? ????α＋π2cos (α＋π)＝cos αsin αcos α＝1sin α，

又α∈? ????

π2，π，cos α＝－513，则sin α＝1213，

从而tan ? ?

???α＋π2cos (α＋π)＝1sin α＝13

12，故选C.

(2)因为? ????α＋π3＋? ????π6－α＝π

2.

所以cos ? ????

π6－α＝cos ??????π2－? ????α＋π3 ＝sin ? ?

?

??α＋π3＝1213.]

第3节 三角函数的图象与性质

[考纲传真] 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间? ??

??

－π2，π2内的单调性．

【例1A.??????π3，2π3 B.???

???2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) C.? ????2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z D.???

???k π＋π3，k π＋2π3(k ∈Z ) (2)函数f (x )＝3sin ? ????2x －π6在区间???

???0，π2上的值域为( )

A.????

??

－32，32 B.????

??

－32，3

C.??????

－

332，332 D.?

?????

－

332，3 (1)B (2)B [(1)由2sin x －3≥0得sin x ≥3

2， ∴π3＋2k π≤x ≤2

3π＋2k π(k ∈Z )，故选B. (2)因为x ∈??????0，π2，所以2x －π6∈????

??－π6，5π6， 所以sin ? ????2x －π6∈??????－12，1，所以3sin ? ?

???2x －π6∈??????－32，3，

所以函数f (x )在区间??????0，π2上的值域是????

??

－32，3，故选B.

(1)函数y ＝2sin ? ??

??

πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最

小值之和为( )

A ．2－3

B ．0

C ．－1

D ．－1－ 3

(2)函数y ＝1

tan x －1

的定义域为________．

(1)A

(2)??????

???

?x ???

x ≠π4＋k π，且x ≠π

2＋k π，k ∈Z [(1)因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π

3

≤7π6，所以sin ? ????πx 6－π3∈???

?

??－32，1.

所以y ∈[－3，2]，所以y ma x ＋y min ＝2－ 3.

(2)要使函数有意义，必须有????

?

tan x －1≠0，x ≠π

2＋k π，k ∈Z ，

即?????

x ≠π

4＋k π，k ∈Z ，x ≠π

2＋k π，k ∈Z .

故函数的定义域为

??????

???

?x ???

x ≠π4＋k π，且x ≠π

2＋k π，k ∈Z

.

【例2】 (1)函数f (x )＝sin ? ?

?

??－2x ＋π3的单调减区间为________．

(2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π4的一个单调递减区间为??????

π8，5π8，则ω＝________.

(3)(2018·全国卷Ⅱ改编)若函数f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是________．

(1)??????k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z (2)2 (3)3π4 [(1)f (x )＝sin ? ????－2x ＋π3＝－sin ? ?

???2x －π3，函数f (x )的单调减区间就是函数y ＝sin ? ?

?

??2x －π3的增区间．

由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π

2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π

12，k ∈Z .

故所给函数的减区间为???

???k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .

(2)由π8≤x ≤5π8得π8ω＋π4≤ωx ＋π4≤5π8ω＋π

4.

又函数f (x )的单调递减区间为???

?

??2k π＋π2，2k π＋32π(k ∈Z )，

则?????

π8ω＋π4＝2k π＋π2，58πω＋π4＝2k π＋3

2π，

k ∈Z 即?

???

?

ω＝16k ＋2ω＝16

5k ＋2，解得ω＝2.

(3)f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ? ????

x ＋π4，

当x ∈[0，a ]时，π4≤x ＋π4≤a ＋π

4，

由题意知a ＋π4≤π，即a ≤3π4，故所求a 的最大值为3π

4.]

[拓展探究] 本例(2)中，若函数f (x )＝sin ? ?

???ωx ＋π4在? ????π2，π上是减函数，试求ω的取值范围．

[解] 由π2＜x ＜π，得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π

4，

由题意，知? ????π

2ω＋π4，πω＋π4???????2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，

∴?????

π2ω＋π4≥2k π＋π2，k ∈Z πω＋π4≤2k π＋3π

2，k ∈Z ，

∴4k ＋12≤ω≤2k ＋5

4，k ∈Z ， 当k ＝0时，12≤ω≤5

4.

(1)函数f (x )＝tan ? ?

?

??2x －π3的单调递增区间是________．

(2)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间??????0，π3上单调递增，在区间??????

π3，π2上单调递减，则ω＝

________.

(1)? ????

k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) (2)32 [(1)由－π2＋k π＜2x －π3＜π2＋k π(k ∈Z )，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π

12(k ∈Z )．

故函数的单调递增区间为? ????

k π2－π12，k π2＋5π12.

(2)∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，

∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π

2ω时，y ＝sin ωx 是增函数； 当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π

2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在???

?

??0，π3上单调递增，

在????

??

π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32，此时，3π2ω＝π＞π2，符合题意，故ω＝32.]

?考法1 三角函数的周期性

【例3】 (2019·大连模拟)在函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos2x ＋π6，④y ＝tan ? ??

??2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．②④ B ．①③④ C ．①②③

D ．①③

C [①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图象知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π.

④T ＝π2.

综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③，故选C.] ?考法2 三角函数的奇偶性

【例4】 函数f (x )＝3sin ? ????

2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为________．

5π6 [由题意知f (x )为偶函数，关于y 轴对称，∴f (0)＝3sin ? ?

???φ－π3＝±3， ∴φ－π3＝k π＋π

2，k ∈Z ，又0＜φ＜π， ∴φ＝5π6.]

?考法3 三角函数的对称性

【例5】 (1)下列函数的最小正周期为π且图象关于直线x ＝π

3对称的是( ) A ．y ＝2sin ? ?

???2x ＋π3

B ．y ＝2sin ? ?

???2x －π6

C ．y ＝2sin ? ??

??

x 2＋π3

D ．y ＝2sin ? ?

?

??2x －π3

(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点? ????

4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )

A.π

6 B.π4 C.π3

D.π2

(1)B (2)A [(1)根据函数的最小正周期为π知，排除C ， 又当x ＝π3时，2x ＋π3＝π，2x －π6＝π2，2x －π3＝π

3，故选B. (2)由题意得3cos ? ??

??

2×4π3＋φ

＝3cos ? ????2π3＋φ＋2π＝3cos ? ????

2π3＋φ＝0，

∴2π3＋φ＝k π＋π

2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π

6，k ∈Z ，

取k ＝0，得|φ|的最小值为π

6.]

[规律方法] 三角函数的奇偶性、对称性和周期性问题的解题思路

(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式.

(2)周期的计算方法：

利用函数y ＝A sin (ωx ＋φ)，y ＝A cos (ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为，

函数y ＝A tan (ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为求解.

(3)对称性的判断：对于函数y ＝A sin (ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断.

(1)(2019·石家庄模拟)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋

φ)(A ＞0，ω＞0)的最小正周期为π，其图象关于直线x ＝π

3对称，则|φ|的最小值为( )

A.π12

B.π6

C.5π6

D.5π

12

(2)若函数y ＝cos ? ????ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是? ????

π6，0，则ω的最小值为( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

(1)B (2)B [(1)由题意，得ω＝2，所以f (x )＝A sin(2x ＋φ)．因为函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π－π6(k ∈Z )，当k ＝0时，|φ|取得最小值π

6，故

选B.

(2)由题意知πω6＋π6＝k π＋π

2(k ∈Z )?ω＝6k ＋2(k ∈Z )， 又ω∈N *，所以ωmin ＝2，故选B.]

1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin ? ????2x ＋π3的最小正周期为( ) A ．4π B ．2π C ．π D.π

2 C [函数f (x )＝sin ? ?

?

??2x ＋π3的最小正周期T ＝2π2＝π.

2．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x

1＋tan 2x 的最小正周期为( )

A.π4

B.π

2 C ．π

D ．2π

C [f (x )＝tan x 1＋tan 2x

＝sin x cos x 1＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x ＝sin x cos x ＝1

2sin 2x ，所以f (x )的最小正周期T

＝2π

2＝π.故选C.]

3．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ? ????

x ＋π3，则下列结论错误的是( )

A ．f (x )的一个周期为－2π

B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π

3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D ．f (x )在? ??

??

π2，π单调递减

D [A ，因为f (x )＝cos ? ????

x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．

B ，因为f (x )＝cos ? ????x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π

3对称，B 项正确．

C 项，f (x ＋π)＝cos ? ????

x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所

以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π

6，C 项正确．

D 项，因为f (x )＝cos ? ????x ＋π3的递减区间为???

???2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，递增区间为

??????2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以? ????π2，2π3是减区间，??????

2π3，π是增区间，D 项错误． 4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2

x ＋3cos x －34? ??

??x ∈??????0，π2的最大值是________．

1 [f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－? ????

cos x －322＋1.

∵x ∈???

?

??0，π2，∴cos x ∈[0,1]，

∴当cos x ＝3

2时，f (x )取得最大值，最大值为1.]

第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象

[考纲传真] 1.了解函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．

【例1】 (1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ? ????2x ＋2π3，则下面结论正确的

是( )

A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π

6个单位长度，得到曲线C 2

B ．把

C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π

12个单位长度，得到曲线C 2

C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π

6个单位长度，得到曲线C 2

D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π

12个单位长度，得到曲线C 2

D [因为y ＝sin ? ????2x ＋2π3＝cos ? ????2x ＋2π3－π2＝cos ? ?

???2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x 上各点的

横坐标缩短到原来的1

2倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y ＝cos 2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos 2? ????x ＋π12＝cos ? ?

?

??2x ＋π6，故选D.]

(2)已知函数f (x )＝12sin ωx ＋3

2

cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π.

①求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象；

②函数y ＝f (x )的图象可由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？ [解] ①

②将y ＝sin x 的图象上的所有点向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ? ????

x ＋π3的图象，再

将y ＝sin ? ????

x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数f (x )＝

sin ? ?

?

??2x ＋π3(x ∈R )的图象． (1)把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都

缩小为原来的12，纵坐标保持不变，再把图象向右平移π

6个单位长度，则所得图象的解析式为( )

A ．y ＝sin ? ?

???2x －π3

B ．y ＝sin ? ?

???2x －π6

C ．y ＝sin ? ??

??

x 2－π3

D ．y ＝sin ? ??

??

x 2－π6

(2)(2019·宝鸡模拟)为了得到函数y ＝sin ? ????2x －π3的图象，只需把函数y ＝cos ? ?

?

??2x －4π3的图象

A ．向左平移π4个单位长度

B ．向右平移π

4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度 D ．向右平移π

2个单位长度

(1)A (2)A [(1)把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的1

2，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x 的图象，再把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin ??????

2? ????x －π6，即

y ＝sin ? ?

?

??2x －π3的图象，故选A.

(2)y ＝cos ? ????2x －4π3＝sin ??????π2＋? ????2x －4π3＝sin ??????2? ????x －5π12，故要得到函数y ＝sin ? ?

???2x －π3的图象，只需要平移? ????x －π6－? ??

??x －5π12＝π

4个单位长度，又π4＞0，所以应向左平移，故选A.]

【例2】 (1)(2019·哈尔滨模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)? ???ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，

若x 1，x 2∈? ??

??

－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )

高一数学必修1知识点总结

高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集

高中数学必修一常见题型归类

常见题型归类 第一章集合与函数概念 1.1集合 题型１集合与元素 题型2 集合的表示 题型3 空集与0 题型4 子集、真子集 题型5 集合运算 题型５.1 已知集合，求集合运算 题型5.2 已知集合运算,求集合 题型５.３已知集合运算,求参数 题型6 “二维”集合运算 题型６自定义的集合 1.2函数及其表示 题型1 映射概念 题型2 函数概念 题型3 同一函数 题型4 函数的表示 题型5 已知函数解析式求值 题型6 求解析式 题型７定义域 题型7．1 求函数的定义域 题型7.2 已知函数的定义域问题 题型8 值域 题型8．1 图像法求函数的值域 题型８.2 转化为二次函数，求函数的值域 题型8.３转化为反比例函数,求函数的值域 题型8.4 利用有界性,求函数的值域 题型８.5单调性法求函数的值域 题型8.6 判别式法求函数的值域

题型8．7 几何法求函数值域 题型9 已知函数值域，求系数 1.3函数的基本性质单调性 题型1 判断函数的单调区间 题型２已知函数的单调区间，求参数 题型3 已知函数的单调性,比较大小 题型4 已知函数的单调性，求范围 1.4函数的基本性质奇偶性 题型1 判断函数的奇偶性 题型2 已知函数的奇偶性，求解析式 题型3 已知函数的奇偶性，求参数 题型4 已知函数的奇偶性,求值或解集等 1.5函数的图像 题型1 函数图像 题型2 去绝对值作函数图像 题型3 利用图像变换作函数图像 题型4 已知函数解析式判断图像 题型5 研究函数性质作函数图像 题型6 函数图像的对称性 第二章基本初等函数 2.1指数函数 题型1 指数运算7 题型２指数函数概念 题型３指数函数型的定义域、值域 题型4 指数函数型恒过定点 题型5 单调性 题型6 奇偶性 题型７图像 题型８方程、不等式 ２.２对数函数

高中数学必修2第四章测试及答案

高二数学周测 2012-9-15 一、选择与填空题（每题6分，共60分）（请将选择和填空题答案写在以下答题卡内） 1. 圆C 1 : x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0与圆C 2 : x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0的位置关系是（ ） A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．相离 2. 两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公共切线有( )． A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 > 3. 若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 4. 与直线l : y ＝2x ＋3平行，且与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相切的直线方程是（ ） A ．x －y ±5＝0 B ．2x －y ＋5＝0 C ．2x －y －5＝0 D ．2x －y ±5＝0 5. 直线x －y ＋4＝0被圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0截得的弦长等于( ) A ．2 B ．2 C ．22 D ．42 6. 圆x2＋y2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是（ ） A ．30 B ．18 C ．62 D ．52 】 7. 若直线3x －y ＋c ＝0，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，则c 的值为( ) A ．14或－6 B ．12或－8 C ．8或－12 D ．6或－14 8. 若直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为____________________ 9. 圆心在直线2x ＋y ＝0上，且圆与直线x ＋y －1＝0切于点M (2，－1)的圆的标准方程为__________ 10. 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的两

高一数学必修1试题附答案详解

1.已知全集I ＝{0，1，2}，且满足C I (A ∪B )＝{2}的A 、B 共有组数 2.如果集合A ＝{x |x ＝2k π+π，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝4k π+π，k ∈Z}，则集合A ，B 的关系 3.设A ＝{x ∈Z||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2 ＋1，x ∈A }，则B 的元素个数是 4.若集合P ＝{x |30，则a 的取值范围是

高中数学必修一知识点总结完整版

高中数学必修 1 知识点总结 集合 （1）元素与集合的关系：属于（ ）和不属于（ ） （2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性 集合与元素 （3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集 （4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法 子集：若 x A x ，则 A ，即 是 的子集。 B B A B 、若集合 中有 个元素，则集合 的子集有 2 n 个，真子集有 (2 n -1) 个。 1 A n A 、任何一个集合是它本身的子集，即 A A 注 2 关系 、对于集合 A,B,C, 如果 A ，且 B C, 那么 A C. 3 B 、空集是任何集合的（真）子集。 4 真子集：若 且 （即至少存在 x 0 但 ），则 是 的真子集。 集合 ABAB B x 0 A A B 集合相等： A 且 A B A B B 集合与集合 定义： A B x / x 且 x B 交集 A 性质： ， ， ， ， AAAA ABBAABA,ABBAB A 定义： A B x / x 或 x B 并集 A 性质： ， ， ， ， ， 运算 AAAA AABBAABAABBAB A Card( A B) Card( A) Card( B) - Card( A B) 定义： C U A x/ x U 且x A A 补集 性质： A) A ， A U ， C U (C U A) ， ， (C U (C U A) A C U (A B) (C U A) (C U B) C U (A B) (C U A) (C U B) 函数

高中数学必修4知识总结(完整版)

高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．

高中数学必修2第四章测试及答案

高二数学周测 一、选择与填空题（每题6分，共60分）（请将选择和填空题答案写在以下答题卡内） 1. 圆C 1 : x 2＋y 2＋2x ＋8y －8＝0与圆C 2 : x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0的位置关系是（ ） A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．相离 2. 两圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －1＝0的公共切线有( )． A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 3. 若圆C 与圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 4. 与直线l : y ＝2x ＋3平行，且与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相切的直线方程是（ ） A ．x －y ±5＝0 B ．2x －y ＋5＝0 C ．2x －y －5＝0 D ．2x －y ±5＝0 5. 直线x －y ＋4＝0被圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0截得的弦长等于( ) A ．2 B ．2 C ．22 D ．42 6. 圆x2＋y2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是（ ） A ．30 B ．18 C ．62 D ．52 7. 若直线3x －y ＋c ＝0，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，则c 的值为( ) A ．14或－6 B ．12或－8 C ．8或－12 D ．6或－14 8. 若直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴的交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为____________________ 9. 圆心在直线2x ＋y ＝0上，且圆与直线x ＋y －1＝0切于点M (2，－1)的圆的标准方程为__________ 10. 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形P ACB 面积的最小值为

高一数学必修1知识网络

高一数学必修1知识网络 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????? ???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ???? ?????????? ???????? ?????????????????????? ??????????????????????=???????

高中数学人教版必修4全套教案

第1，2课时1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 始 边 终 边 顶 点 A O B 负角：按顺时针方向旋转形成的角

角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究： 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{β|β=α+k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o

高中数学必修一集合经典题型总结高分必备

慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1．集合 一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为?.

知识点二 集合与元素的关系 1．属于 如果a 是集合A 的元素，就说a ________集合A ，记作a ________A . 2．不属于 如果a 不是集合A 中的元素，就说a ________集合A ，记作a ________A . 知识点三 集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示 知识点四 1．列举法 把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 用集合所含元素的 ________表示集合的方法称为描述法． 知识点五 集合与集合的关系 1．子集与真子集

2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等 4.集合相等的性质 如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________. 知识点六集合的运算 1．交集

人教版数学必修二第四章 圆与方程 知识点总结

第四章 圆与方程 4．1 圆的方程 4．1.1 圆的标准方程 1．以(3，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为( ) A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝16 D ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝16 2．一圆的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝8，则此圆的圆心与半径分别为( ) A ．(1,0)，4 B ．(－1,0)，2 2 C ．(0,1)，4 D ．(0，－1)，2 2 3．圆(x ＋2)2＋(y －2)2＝m 2的圆心为________，半径为________． 4．若点P (－3,4)在圆x 2＋y 2＝a 2上，则a 的值是________． 5．以点(－2,1)为圆心且与直线x ＋y ＝1相切的圆的方程是____________________． 6．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1 7．一个圆经过点A (5,0)与B (－2,1)，圆心在直线x －3y －10＝0上，求此圆的方程． 8．点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则a 的取值范围是( ) A ．|a |＜1 B ．a ＜1 13 C ．|a |＜1 5 D ．|a |＜1 13 9．圆(x －1)2＋y 2＝25上的点到点A (5,5)的最大距离是__________． 10．设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2 ＋(y －2)2 ＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为

高中数学必修一知识点总结(全)

第一章集合与函数概念 课时一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。 例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人…… （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

高中数学必修一、必修四、必修五知识点汇总

高中数学必修一、必修四、必修五知识点 一、知识点梳理 必修一第一单元 1.集合定义：一组对象的全体形成一个集合. 2.特征：确定性、互异性、无序性. 3.表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}、韦恩图、语言描述法{不是直角三角形的三角形} 4.常用的数集：自然数集N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、正整数集N *. 5.集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集φ 不含任何元素的集合 例：{x|x 2 =－5｝ 5.关系：属于∈、不属于?、包含于?(或?)、真包含于、集合相等＝. 6.集合的运算 （1）交集：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合；表示为：B A ? 数学表达式：{} B x A x x B A ∈∈=?且 性质：A B B A A A A A ?=?Φ=Φ?=?,, （2）并集：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合；表示为：B A ? 数学表达式：{} B x A x x B A ∈∈=?或 性质：A B B A A A A A A ?=?=Φ?=?,, （3）补集：已知全集I ，集合I A ?，由所有属于I 且不属于A 的元素组成的集合。表示：A C I 数学表达式：{} A x I x x A C I ?∈=且 方法：韦恩示意图, 数轴分析. 注意：① 区别∈与、与?、a 与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② A ?B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ. ③若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有真子集的个数是n 2-1, 所有非空真子集的个数是22-n 。 ④空集是指不含任何元素的集合。}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 ⑤符号“?∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；符号“,?”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。 8.函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =f （x ），x ∈A ，其中x 叫做自变量.x 的取值围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{f （x ）|x ∈A }叫做函数的值域. ①．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

高一数学必修一各章知识点总结技巧解答

高一数学必修1各章知识点总结 一、集合 1、集合的中元素的三个特性： 2、集合的表示方法：列举法与描述法、图示法 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数R 二、集合间的基本关系 1.?包含?关系—子集 注意：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A 与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．?相等?关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等? 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真 子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

例题： 1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 3.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0}，则M 与N 的关系是 . 4.设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人， 两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= . 7.已知集合A={x| x 2+2x-8=0}, B={x| x 2-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m 2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A ∩C=Φ，求m 的值

高中数学必修一必修四知识点总结(杠杠的)

数学知识点总结

高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象与集合的关系是，或者，两者必居其一. 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集().把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 【1.1.2】集合间的基本关系 1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的 子集。记作. 2、如果集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真子集.记作：A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有个子集，个真子集. 5、子集、真子集、集合相等 名称记号意义性质示意图 子集（或A中的任一元素都 属于B A (1)A (2) ，则 且 若 (3) ，则 且 若 (4)或

真子集 A B （或 B A） 中 B ，且 至少有一元素不属 于A 为非空子集） A （ ） 1 （ ，则 且 若 (2) 集合相等A中的任一元素都 属于B，B中的任 一元素都属于A B (1)A A (2)B 6、已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有 非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作：. 2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作：. 3、全集、补集 名称记号意义性质示意图 交集且 （1） （2） （3） 并集或 （1） （2） （3） 补集 2 1 【1.2.1】函数的概念 1、函数的概念 ①设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合A到集合B的一个函数，记作：. ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等 【1.2.2】函数的表示法 2、函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． ①解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． ②列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．

高一数学必修1知识点总结

高中数学必修1知识点 第一章、集合综合应用题；单调性、奇偶性证明与应用； 第二章、指数幂与对数的运算；指数函数与对数函数性质的应用； 第三章、零点问题，尤其是二次函数的零点、二次函数根的分布。 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念： 1、集合的含义： 2、集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 3、集合的表示： （Ⅰ）列举法： （Ⅱ）描述法： 4、常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）N ；正整数集N*或N+ ；整数集Z；有理数集Q；实数集R 5、“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a A 6、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 集合相等，子集，真子集，空集等定义 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集、并集、全集与补集的定义 2.性质：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A. ⑴C U(C U A)=A ⑵(C U A)∩A=Φ⑶(C U A)∪A=U (4)(C U A)∩(C U B)=C U(A∪B) (5)(C U A)∪(C U B)=C U(A∩B) 二、函数的有关概念 1．函数的概念：(看课本) 注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 定义域补充： 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是

高中数学必修一测试题及答案

一. 选择题（4×10=40分） 1. 若集合}8,7,6{=A ，则满足A B A =?的集合B 的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 7 D. 8 2. 如果全集}6,5,4,3,2,1{=U 且}2,1{)(=?B C A U ，}5,4{)()(=?B C A C U U ， }6{=?B A ，则A 等于（ ） A. }2,1{ B. }6,2,1{ C. }3,2,1{ D. }4,2,1{ 3. 设},2|{R x y y M x ∈==，},|{2 R x x y y N ∈==，则（ ） A. )}4,2{(=?N M B. )}16,4(),4,2{(=?N M C. N M = D. N M ≠? 4. 已知函数)3(log )(2 2a ax x x f +-=在),2[+∞上是增函数，则实数a 的取值围是（ ） A. )4,(-∞ B. ]4,4(- C. ),2()4,(+∞?--∞ D. )2,4[- 5. 32)1(2 ++-=mx x m y 是偶函数，则)1(-f ，)2(-f ，)3(f 的大小关系为（ ） A. )1()2()3(->->f f f B. )1()2()3(-<-b f a f D. )()(b f a f 的符号不定 7. 设)(x f 为奇函数且在)0,(-∞是减函数，0)2(=-f ，且0)(>?x f x 的解集为（ ） A. ),2()0,2(+∞?- B. )2,0()2,(?--∞ C. ),2()2,(+∞?--∞ D. )2,0()0,2(?-

高中数学必修1知识点、考点、题型汇总

集合与函数知识点讲解 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||2 2301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30555 501539252 2 ∈--->=+-0 义域是_____________。

人教版数学必修二第四章 圆与方程 知识点总结

第四章圆与方程 4.1 圆得方程 4.1、1 圆得标准方程 1.以(3,－1)为圆心,4为半径得圆得方程为() A.(x＋3)2＋(y－1)2＝4 B.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 C.(x－3)2＋(y＋1)2＝16 D.(x＋3)2＋(y－1)2＝16 2.一圆得标准方程为x2＋(y＋1)2＝8,则此圆得圆心与半径分别为() A.(1,0),4 B.(－1,0),2 2 C.(0,1),4 D.(0,－1),2 2 3.圆(x＋2)2＋(y－2)2＝m2得圆心为________,半径为________. 4.若点P(－3,4)在圆x2＋y2＝a2上,则a得值就是________. 5.以点(－2,1)为圆心且与直线x＋y＝1相切得圆得方程就是____________________. 6.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)得圆得方程为() A.x2＋(y－2)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1 C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1 7.一个圆经过点A(5,0)与B(－2,1),圆心在直线x－3y－10＝0上,求此圆得方程. 8.点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1得内部,则a得取值范围就是() A.|a|＜1 B.a＜1 13 C.|a|＜1 5 D.|a|＜1 13 9.圆(x－1)2＋y2＝25上得点到点A(5,5)得最大距离就是__________. 10.设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A,B两点,且弦AB得长为 2 3,求a得值. 4、1、2 圆得一般方程 1.圆x2＋y2－6x＝0得圆心坐标就是________. 2.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2,－4)为圆心,以4为半径得圆,则F＝________、 3.若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆,则k得取值范围就是() A.k>1 B.k<1 C.k≥1 D.k≤1 4.已知圆得方程就是x2＋y2－2x＋4y＋3＝0,则下列直线中通过圆心得就是() A.3x＋2y＋1＝0 B.3x＋2y＝0 C.3x－2y＝0 D.3x－2y＋1＝0 5.圆x2＋y2－6x＋4y＝0得周长就是________. 6.点(2a,2)在圆x2＋y2－2y－4＝0得内部,则a得取值范围就是()

高中数学必修4知识点(完美版)

高中数学必修 4 第一章三角函数 正角: 按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角负角: 按顺时针方向旋转形成的角 零角: 不作任何旋转形成的角 2、角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角． o o o 第一象限角的集合为k 360 k 360 90 , k o o o o 第二象限角的集合为k 360 90 k 360 180 ,k o o o o 第三象限角的集合为k 360 180 k 360 270 ,k o o o o 第四象限角的集合为k 360 270 k 360 360 ,k o 终边在x 轴上的角的集合为k 180 ,k o o 终边在 y 轴上的角的集合为k 180 90 ,k o 终边在坐标轴上的角的集合为k 90 , k 2 Ⅰ Ⅰ、Ⅲ 2 Ⅱ Ⅰ、Ⅲ 2 Ⅲ Ⅱ、Ⅳ 2 Ⅳ Ⅱ、Ⅳ 2 o 3、与角终边相同的角的集合为k 360 , k 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度． 5、半径为r 的圆的圆心角所对弧的长为l ，则角的弧度数的绝对值是l r ． o o ， 1 180 57.3 o，1 o． 6、弧度制与角度制的换算公式： 2 360 180

7、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为 C ，面积为S，则l r ，C 2r l ， 1

1 1 2 S lr r ． 2 2 8、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是x, y ，它与原点的距离是 2 2 0 r r x y ， 则sin y r ，cos x r y ，tan x 0 x ．y P T 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10、三角函数线：sin ，cos ，tan ． O M x A 11 、角三角函数的基本关系： 2 2 1 sin cos 1 2 2 2 2 sin 1 cos ,cos 1 sin ； sin 2 tan cos sin tan cos ,cos s in tan ． 12、函数的诱导公式： 1 sin 2k sin ，c os 2k cos ，t an 2k tan k ． 2 sin sin ，cos cos ，t an tan ． 3 sin sin ，cos cos ，tan tan ． 4 sin sin ，cos cos ，tan tan ． 口诀：函数名称不变，符号看象限． 5 sin cos 2 ，cos sin 2 ． 6 sin cos 2 ，cos sin 2 ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 13、①的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数y sin x 的图象；再将函数y sin x 1 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y sin x 的图象；再将 函数y sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数y sin x 的图象． 1 ②数y sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 y sin x 的图象；再将函数y sin x 的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数y sin x 的图象；再将函数y sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横