第七章 曲线曲面的投影[19页]

第七章曲线曲面的投影

二、曲线的投影

1、一般曲线的投影

平面曲线的投影一般仍是曲线，当平面曲线所在的平面垂直于投影面时，它在该投影面上的投影积聚成为直线；当这个平面平行于投影面时，平面曲线在该投影面上的投影反映实形。

空间曲线的投影在

任何情况下都是曲线。

图7-1 曲线的投影

2、圆的投影

当圆所在的平面平行

于投影面时圆的投影反映

实形；当圆所在的平面垂

直于投影面时圆的投影积

聚成一个线段，线段的长

度为圆的直径；当圆所在

的平面倾斜于投影面时圆

的投影为椭圆，椭圆的长

轴等于圆的直径，方向平

行于平面上的该投影面的

平行线，椭圆的短轴方向

为平面上的该平面的最大

斜度线方向。图7-2 圆的投影

例题1如图7-3所示，已知平

面ABCE上有一圆，圆心为O，半径

为R，完成圆的两面投影。

图7-3 求圆的两面投影

作法如图7-3（b）所示

1、先作圆的正面投影：过O点作正平

线ⅠⅡ，求出ⅠⅡ的正面投影1′2′，

1′2′为圆的正面投影椭圆的长轴方向，

长半轴长度为R，作出两个长轴端点；过

O点作平面的最大斜度线ⅢⅣ，

3′4′⊥1′2′，3′4′为圆的正面投

影椭圆的短轴方向，求出OⅣ的实长，在

OⅣ的实长上截取长度R，返回到o′4′

上得到5′，5′即为椭圆的一个短轴端

点，作出另一个短轴端点；根据椭圆的

四个端点，画出椭圆。

图7-3 求圆的两面投影

2、用同样的方法作出圆的

水平投影，图7-3（c）。

图7-3 求圆的两面投影

画椭圆几种的方法:

方法一：同心圆法（图7-4）

以椭圆的长短轴为直径画两个同心圆，从圆心向任意方向作一条射线（图中每隔30°画一条），射线与大小圆各有一个交点，过与大圆的交点作短轴的平行线，过与小圆的交点作长轴的平行线，这两条线的交点是椭圆上的点。求出椭圆上适当多的点后，将其光滑的连接起来即可得到椭圆。

图7-4 同心圆法画椭圆

方法二：四心扁圆法

（图7-5）

AB、CD 分别为

椭圆的长轴和短轴。

图7-5 四心扁圆法画椭圆

第七章 曲线与曲面积分导学答案12-16(第一、二类曲面积分)

第七章 曲线与曲面积分 7.2.5第一类曲面积分 7.2.6 第二类曲面积分（导学解答） 一、相关知识 1．物质曲面的质量问题? 答：设∑为面密度非均匀的物质曲面, 其面密度为ρ(x , y , z ), 求其质量，把曲面分成n 个小块: ?S 1, ?S 2 , ? ? ?, ?S n (?S i 也代表曲面的面积);求质量的近似值: i i i i n i S ?=∑),,(1 ζηξρ((ξi , ηi , ζi ) 是?S i 上任意一点); 取极限求精确值: i i i i n i S M ?==→∑),,(lim 1 0ζηξρλ(λ为各小块曲面直径的最 大值). 2.空间曲面在坐标面上的有向投影？ 答：空间面积为S ?的有向平面在坐标面上的投影 将有向平面S ?投影到xoy 坐标面，所得投影记为xy S )(?，投影区域的面积记为()xy σ?；设平面S ?的法向量n 与z 轴正向的夹角为γ，则 ()xy S ?()c o s 0 0c o s 0 () c o s 0 xy xy σγγσγ??>? =≡? ?-?γ（上侧）， 则xy xy S )()(σ?=?；如果 πγπ ≤<2 ，0cos <γ（下侧），则xy xy S )()(σ?-=?；如果 2 π γ= ，0cos =γ，则0cos )(=?=?S S xy γ。 同理可以定义S ?在yoz 、zox 坐标面上的投影为()yz S ?及()zx S ?为： ()cos 0()0 cos 0() cos 0yz yz yz S σαασα??>? ?=≡??-??? ?=≡? ?-?

曲线、曲面积分方法小结

曲线、曲面积分方法小结

求曲线、曲面积分的方法与技巧 一.曲线积分的计算方法与技巧 计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。 例一．计算曲线积分?+L xdy ydx ,其中L 是圆)0(222>=+y x y x 上从原点 )0,0(O 到)0,2(A 的一段弧。 本题以下采用多种方法进行计算。 解1：A O )的方程为?????-==, 2, 2 x x y x x L 由,A O →x 由,20→.212 dx x x x dy --= ? +L xdy ydx dx x x x x x x ?--+-=2 02 2 ]2)1(2[ dx x x x x dx x x x x x x x ? ? --+----=20 2 20 2 2 2)1(2)1(220 .00442=--= 分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为.x 因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。 解2：在弧A O ) 上取)1,1(B 点， B O )的方程为 ?? ???--==,11,2y x y y L 由,B O →y 由 ,10→.12 dy y y dx -= A B ) 的方程为 ?????-+==, 11,2y x y y L 由,A B →y 由 ,01→.12 dy y y dx -- =

曲面立体表面点的投影

曲面立体表面点的投影

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《机械制图》课程教案 《第三章立体表面交线的投影作图§3－1 立体表面上点的投影》教案 授课教师：杨秋颖班级:机加14-1 时间：２01４.9.4 课题：曲面立体的投影及表面取点 教学方法:讲授法 教学目的：1、讲解曲面立体的种类及其三视图画法 ２、讲解在圆柱和圆锥体表面取点、取线的作图方法 目的要求:1、能够熟练掌握圆柱和圆锥体的三视图画法 2、能够熟练运用利用点所在的面的积聚性法和辅助线法在曲面立体表面取点、取线 教学重点:１、曲面立体的种类及其三视图画法。 2、在曲面立体表面取点、取线的作图方法 教学难点:在圆柱和圆锥体表面取点、取线的作图方法 【教学媒体和资源利用】多媒体课件 【教学过程设计】组织教学—引入—新授—小结—学生练习—作业

教学过程备注组织教学 目的是让学生进入学习状态。 复习旧课 结合作业复习平面立体表面取点方法 引入 曲面立体的投影及表面取点 ?曲面立体的曲面是由一条母线(直线或曲线）绕定轴回转而形成的。在投影图上表示曲面立体就是把围成立体的回转面或平面与回转面表示出来。 新授 一、圆柱 圆柱表面由圆柱面和两底面所围成。圆柱面可看作一条直母线ＡB围绕与它平行的轴线OO1回转而成。圆柱面上任意一条平行于轴线的直线，称为圆柱面的素线。 (1)圆柱的投影 画图时，一般常使它的轴线垂直于某个投影面。 举例：如图３－4(a）所示,圆柱的轴线垂直于侧面,圆柱面上所有素线都是侧垂线,因此圆柱面的侧面投影积聚成为一个圆。圆柱左、右两个底面的侧面投影反映实形并与该圆重合。两条相互垂直的点划线,表示确定圆心的对称中心线。圆柱面的正面投影是一个矩形，是圆柱面前半部与后半部的重合投影，其左右两边分别为左右两底面的积聚性投影,上、下两边a′a′1、b′b′1分别是圆柱最上、最下素线的投影。最上、最下两条素线AA1、ＢB１是圆柱面由前向后的转向线，是正面投影中可见的前半圆柱面和不可见的后半圆柱面的分界线,也称为正面投影的转向轮廓素线。同理，可对水平投影中的矩形进行类似的分析。课件展示课件展示

机械CAD-CAM(第7章)-自由曲线和自由曲面

《机械CAD/CAM》 第七章
自由曲线和自由曲面
机电工程学院CIMS应用研究中心
张宇
Email: zhangyu@https://www.sodocs.net/doc/cd5804503.html,
曲线和曲面的数学表达
? 曲线和曲面的数学表达方法： ? 显式表达：如 y=a0+a1x+a2x2+a3x3 ? 隐式表达：如 a1x3+a2x2y+a3xy2+a4y3=0 ? 参数表达：如 P(t) = [x(t), y(t), z(t)]
P(t) P(u, v)
2011-3-15
昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇
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曲线和曲面的数学表达
? 为什么采用参数方程描述自由曲线和自由曲面？
? 所描述的曲线/曲面形状与坐标系的选取无关。
? 参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分 离的，且对变量的个数无限制，便于把低维空间中的 曲线/曲面扩展到高维空间。
? 采用参数求导便于处理斜率无穷大的问题，且采用程 序处理时不会因此而中断计算。
? 规格化的参数变量 t∈[0，1]，使其相应的几何分量是 有界的，不需要另设其他参数来定义其边界。
? 有更大的自由度来控制曲线/曲面的形状。
? 易于用向量和矩阵表示几何分量，简化计算。
2011-3-15
昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇
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几个基本术语
2011-3-15
? 点： ? 构造曲线/曲面的最基本的几何元素。 ? 常用的点有型值点、控制点（特征点）和插值点。
? 插值： ? 函数逼近的重要方法。 ? 插值要求严格通过预先给定的各个型值点。
? 逼近： ? 寻找一个函数，使其最佳逼近各个型值点。 ? 逼近不要求严格通过各型值点，但要求是对所有型 值点的最佳逼近。 ? 最小二乘法是最常用的逼近方法。
昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇
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插值与逼近
f(x) 插值点
给定的型值点
g(x) 给定的型值点
2011-3-15
昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇
插值 逼近
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几个基本术语
? 光顺： ? 使构造的曲线/曲面光滑且无多余的拐点。 ? 相对光顺的条件：曲线具有二阶几何连续、不存在多余的拐点和奇 异点、曲率变化较小。 ? 几何连续性：曲线或曲面在连接处的连接状态。 ? 零阶连续：边界重合。 ? 一阶连续：一阶导数连续，即切线矢量连续。 ? 二阶连续：二阶导数连续，即曲率连续。
? 拟合： ? 在曲线和曲面的设计过程中，用插值或逼近的方法使生成的曲线、 曲面达到某些设计要求，在允许的范围内通过或贴近给定的型值点 或控制点序列，从而使构造的曲线或曲面光滑连续。
2011-3-15
昆明理工大学机电工程学院CIMS中心 张宇
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CATIAV5-6R2013中文版曲面设计教程第七章曲线曲面分析

第7章 曲线曲面分析 本章导读： 完成曲面模型之后，进行曲线曲面的分析，便于查找设计中的矛盾和不符合要求的地方。曲线曲面分析包括曲线连续性和曲率分析、距离、截面曲率、反射、曲率、拐点曲线、高亮、环境和斑马线分析这些命令，本章主要对这些内容进行介绍。

196 7.1 曲线分析 曲线分析包括曲线连续性分析和曲线曲率梳分析，在曲线分析当中要经常用到这两种方法。 7.1.1 曲线连续性分析 单击【形状分析】工具栏上的【连接检查器分析】按钮，系统弹出如图7-1所示的【连接检查器】对话框。单击【元素】选项组中的【源】和【目标】文本框，从绘图区中选择分析元素。从【类型】选项组中选择分析类型，分别是【曲线-曲线连接】、【曲面-曲面连接】、【曲面-曲线连接】、【边界】、【投影】。在【快速】选项卡中设置简单分析条件，分别是G0、G1、G2、G3、【交叠缺陷】，在其后的微调框中输入分析的最小数值。 图7-1 【连接检查器】对话框 单击【显示】选项组中的【有限色标】按钮，系统弹出如图7-2所示的【连接检查器分析】对话框。单击【完整色标】按钮，系统弹出如图7-3所示的【连接检查器分析】对话框。 按下【梳】 开关按钮，图形中显示分析结果，如图7-4所示。按下【包络】 开关按钮，图形中显示分析结果，如图7-5所示。在【连接】选项组中【最小间隔】和【最大间隔】微调框中输入分析的范围。在【信息】选项组中设置显示内容，分别是【最大值】、【最小值】、【G1模式下的相切】、【G2模式下的凹面】。在【离散化】选项组中设置显示离散程度，分别是【轻度离散化】、【粗糙离散化】、【中度离散化】、【精细离散化】。在【最大偏差】选项组中显示G0、G1、G2、G3模式下的最大偏差值。