广义逆矩阵性质及其应用

广义逆矩阵

广义逆矩阵

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浅谈广义逆矩阵 摘要：文章介绍莫尔-潘鲁斯(moore-penrose)广义逆矩阵的概念及其与实际背景的联系。文章中定理1和定理2说明条件i与相容线性方程组的基本解的广义逆矩阵的联系，定理3说明条件i和iv与相容线性方程组的最小模解的广义逆矩阵的联系。abstract: the article introduces the concept of moore-penrose’s generalized inverse matrix and its relation with the actual background. theorem 1 and theorem 2 in this article illustrate the relation between conditions 1 and generalized inverse matrix of the fundamental solution of compatible linear equation.theorem 3 illustrates condition i and condition iv’s relation with generalized inverse matrix of the minimal model solution of compatible linear equation. 关键词：广义逆矩阵；相容线性方程组；最小模解 key words: generalized inverse matrix；compatible linear equation；minimal model solution 0 引言 在科技、工程、医学、经济、以及气象学的不同领域，经常会遇到求线性方程组 a■ξ■+a■ξ■+……+a■ξ■=β■a■ξ■+a■ξ■+…… +a■ξ■=β■……………………………a■ξ■+a■ξ■+……

第六章 广义逆矩阵

第六章 广义逆 广义逆矩阵的概念是方阵逆矩阵概念的推广，广义逆矩阵的基本知识是矩阵理论的重要组成部分，其在数理统计、数值分析、博弈论、控制论、计量经济、电网理论等中有重要的应用。本章首先给出各种广义逆矩阵的概念，重点介绍矩阵{}1-逆及矩阵Moore-Penrose 逆的性质、计算方法及这两种广义逆矩阵在线性方程组求解中的应用，最后给出方阵的群逆与Drazin 逆的基本性质。 §6.1 广义逆矩阵的概述 广义逆矩阵的概念渊源于线性方程组的求解问题。设n C 为复n 维向量空间， m n C ?为复m n ?矩阵全体。设矩阵m n A C ?∈，考虑线性方程组 Ax b = （6-1） 其中，m b C ∈为给定的m 维向量，n x C ∈为待定的n 维向量。 定义1 若存在向量n x C ∈满足线性方程组（6-1），则称线性方程组（6-1）是相容的；否则称线性方程组（6-1）是不相容的。 众所周知，当A 为可逆矩阵时，线性方程组（6-1）有唯一解1x A b -=，其中 1A -是A 的逆矩阵。当A 为不可逆矩阵或长方矩阵时，相容线性方程组（6-1）有 无数解；不相容线性方程组（6-1）无解，但它有最小二乘解，即求n x C ∈，使得 () min y R A Ax b y b ∈-=- （6-2） 成立，其中 代表任意一种向量范数，{} (),m n R A y C y Ax x C =∈=?∈。上述两 种情况的解是否也能表示成一种紧凑的形式x Gb =，其中， G 是某个n m ?矩阵？ 这个矩阵G 是通常逆矩阵的推广。 1920年，E.H. Moore 首先提出广义逆矩阵的概念，由于Moore 的方程过于抽象，并未引起人们的重视。1955年，R. Penrose 给出如下比较直观和实用的广义逆矩阵的概念。 定义2 设矩阵m n A C ?∈，若存在矩阵n m X C ?∈满足下列Penrose 方程 （1）AXA A =； （2）XAX X =； （3）()H AX AX =；

广义逆矩阵及其应用

题目广义逆矩阵及其应用学院 专业通信与信息系统学生 学号

目录 第一章前言 (1) 第二章广义逆矩阵 (2) §2.1广义逆矩阵的定义 (2) §2.2 广义逆矩阵的性质 (3) 第三章广义逆矩阵的计算 (12) §3.1 一般广义逆求解 (12) §3.2 Moore-Penrose 广义逆 (16) 结论 (19)

第一章前言 线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵,但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。 广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小范数解。 逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此，人们提出了下述关于逆矩阵的推广： （1）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在； （2）它具有通常逆矩阵的一些性质； （3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。 满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。 1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积分算子的一种广义逆。1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。美国芝加哥的穆尔(Moore)教授在1920年提出了任意矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣和美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆尔(Moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955年，英国数学物理学家彭罗斯(Penrose)以更明确的形式给出了与穆尔(Moore)等价的广义逆矩阵定义，因此通称为Moore-Penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。现如今，Moore-Penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。

M矩阵的性质、定理及证明

M 矩阵的性质、定理及证明 一、M 矩阵的概念 定义1 设n n ij a A ?=)(，且0≤ij a ，j i ≠，01≥-A ，称A 为M 矩阵。 定义2 设n n ij a A ?=)(，且0≥ij a ，若1-A 为M 矩阵，则称A 为逆M 矩阵。 引理1 如果n n ij a A ?=)(，且0≤ij a ，j i ≠，A 为M 矩阵的充要条件是A 可做三角分解，R L A ?=,其中L 为下三角阵，R 为上三角阵，L 和R 的主对角元都是正值。 二、M 矩阵的判定定理与证明 定理1 若n n ij a A ?=)(为M 矩阵，则R L A ?=，其中下三角阵L 和上三角阵R 的主对角线元素为正，且其余元素为非正值。 证明 若A 为M 阵，则当j i ≠，0≤ij a ；j i =，0>ij a 。由引理1，A 可做三角分解R L A ?=。设 ????????????=nn n n l l l l l l L 21222111000 ， ? ???? ? ??????=nn n n r r r r r r R 00 022211211 则?????? ??????+++++=nn nn n n n n n n n r l r l r l r l r l l r l r l r l r l r l r l r l A 1122 21211112212122221221112111112111111， 故0,,1111211≤n r l r l 。 因011>l ，故0,,112≤n r r ；因,0,0,,111111121>≤r r l r l n 故0,,121≤n r r ；因 022321231≤+r l r l ，故02221≤r l ，从而021≤l ；因023221321≤+r l r l ，故023≤r 。类

2-2广义逆矩阵

§2 矩阵的广义逆 一、广义逆矩阵的概念 定义1 设任意一个矩阵n m R A ?∈，若存在矩阵m n R X ?∈，满足 AXA =A （1） XAX =X （2） (AX )T =AX （3） (XA )T =XA （4） 这四个方程中的一个、两个、三个或全部，则称X 为A 的广义逆矩阵。 由上面的定义可知，广义逆矩阵有15C C C C 44342414=+++中 之多。本节介绍应用广泛的减号广义逆和加号广义逆。 定义2 对矩阵n m R A ?∈，一切满足方程组 A AXA = 的矩阵X ，称为矩阵A 的减号逆或g-逆。记为-A 。 例如，??? ??=010001B ，??? ??=100001C 都是??? ? ??=010101A 的减号逆。 下面的定理解决了-A 的存在性和构造性问题。 定理1(秩分解) 设A 为n m ?矩阵，()rank A r =，若 Q O O O I P A r ??? ? ?=， 或??? ? ??=--O O O I AQ P r 11

这里P ,Q 分别为n n m m ??,的可逆阵，则 12221 121---??? ??=P G G G I Q A r (5) 其中222112,,G G G 是相应阶数的任意矩阵。 证明 设X 为A 的广义逆，则有 Q O O O I P Q O O O I QXP O O O I P A AXA r r r ??? ? ??=???? ?????? ???= ??? ? ??=???? ?????? ???O O O I O O O I QXP O O O I r r r 若记 ???? ??=2221 1211G G G G QXP 则上式， ??? ? ??=???? ???00 000011r I G r I G =?11 于是， 12221121--??? ? ??=?=P G G G I Q X A AXA r 其中222112,,G G G 任意. 证毕. 定理1不但表明矩阵的减号逆总是存在的，通常也是不唯一的，而且还给出了计算减号逆的方法。

矩阵论知识点

矩阵论知识点 第一章：矩阵的相似变换 1. 特征值，特征向量 特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量 2. 相似对角化 充要条件：（1）（2）（3）（4） 3. Jordan标准形 计算：求相似矩阵P及Jordan标准形 求Jordan标准形的方法： 特征向量法，初等变换法，初等因子法 4. Hamilton-Cayley定理 应用：待定系数法求解矩阵函数值 计算：最小多项式 5. 向量的内积 6. 酉相似下的标准形 特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵。

第二章：范数理论 1. 向量的范数 计算：1，2，∞范数 2. 矩阵的范数 计算：1，2，∞，∞m , F 范数，谱半径 3. 谱半径、条件数 第三章：矩阵分析 1. 矩阵序列 2. 矩阵级数 特别的：矩阵幂级数 计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和 3. 矩阵函数 计算：矩阵函数值，At e ，Jordan 矩阵的函数值 4. 矩阵的微分和积分 计算：函数矩阵，数量函数对向量的导数 如，dt dA(t),dt dA(t),?? ???==)()(X R AX X X X X f T T T αα等 5. 应用 计算：求解一阶常系数线性微分方程组

1. 矩阵的三角分解 计算：Crout 分解，Doolittle 分解，Choleskey 分解 2. 矩阵的QR 分解 计算：Householder 矩阵，Givens 矩阵， 矩阵的QR 分解或者把向量化为与1e 同方向 3. 矩阵的满秩分解 计算：满秩分解，奇异值分解 4. 矩阵的奇异值分解 第五章：特征值的估计与表示 1. 特征值界的估计 计算：模的上界，实部、虚部的上界 2. 特征值的包含区域 计算：Gerschgorin 定理隔离矩阵的特征值 3. Hermite 矩阵特征值的表示 计算：矩阵的Rayleigh 商的极值 4. 广义特征值问题 计算：BX AX λ=转化为一般特征值问题

矩阵基本性质

矩阵的基本性质 矩阵的第?第列的元素为。我们?或（）表?的单位矩阵。 1.矩阵的加减法 （1）,对应元素相加减 （2）矩阵加减法满足的运算法则 a.交换律： b.结合律： c. d. 2.矩阵的数乘 （1），各元素均乘以常数 （2）矩阵数乘满足的运算法则 a.数对矩阵的分配律： b.矩阵对数的分配律： c.结合律： d. 3.矩阵的乘法 （1），左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则 a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有 b.分配律： c.结合律： d.数乘结合律： 4.矩阵的转置, （1）矩阵的幂：,,…,

（2）矩阵乘法满足的运算法则 a. b. c. d. 5.对称矩阵：即；反对称矩阵：即 （1）设为（反）对称矩阵，则仍是（反）对称矩阵。 （2）设为对称矩阵，则或仍是对称矩阵的充要条件=。 （3）设为（反）对称矩阵，则，也是（反）对称矩阵。 （4）对任意矩阵，则分别是对称矩阵和反对称矩阵且. （5） 6. Hermite矩阵：即；反Hermite矩阵，即 a. b. c. d. e. f.（当矩阵可逆时） 7.正交矩阵：若,则是正交矩阵 （1） （2）

8.酉矩阵：若,则是酉矩阵 （1） （2） （3）, （4） 9.正规矩阵：若,则是正规矩阵；若,则是实正规矩阵 10.矩阵的迹和行列式 （1）为矩阵的迹；或为行列式 （2）；注：矩阵乘法不满足交换律 （3） （4）,为酉矩阵，则 （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12）,，则其中为奇异分解值的特征值 11.矩阵的伴随矩阵 （1）设由行列式的代数余子式所构成的矩阵

第五章-广义逆矩阵

第五章 广义逆矩阵 广义逆矩阵是E. H. More 于1920年首次提出的，1995年R. Penrose 利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。其后，广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速发展。它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。广义逆矩阵是矩阵论的一个重要分支。 第一节 广义逆矩阵的概念 对于线性方程组Ax =b ，当方阵A 可逆时，其有唯一解x =A -1b 。但是，在许多实际应用中更多涉及到的是系数矩阵A 是奇异方阵或长方阵的情形。这就从客观上要求人们去探索把通常逆矩阵进行推广的问题。 若A 是可逆的，即有逆矩阵A －1，则A －1必满足下面四个等式 AA －1A =A A －1AA －1=A －1 (AA －1)H =AA －1 (A －1A )H =A －1A 若A 是一个一般的矩阵，是否有矩阵X 存在，满足 AXA =A （1） XAX =X （2） (AX )H =AX （3） (XA )H =XA （4） 这四个方程中的一个、二个、三个或全部呢？这就引出了广义逆矩阵的定义。 定义1 设A ∈C m ×n ，如果X ∈C n ×m 满足（1）—（4）式中的一个、二个、三个或全部，则称X 为A 的广义逆阵。 由上定义可知，广义逆阵有154 4342414=+++C C C C 种之多。为了方便，引进一些记 号：A (i )为满足第i 个方程的广义逆矩阵，即第i 个方程的解矩阵，A {i }为第i 个方程的解集，即A （i ）的全体。同样有记号A (i ，j )，A (i ，j ，k )，A (1，2，3)，A {i ，j }，A {i ，j ，k }，A {1，2，3，4}。 如，A (1，3)为满足第1、第3个方程的广义逆矩阵，A {1，3}为所有A (1，3)的全体构成的集合。 在这15种广义逆矩阵中，常用的有A {1}，A {1，3}，A {1，4}，A {1，2，3，4}。我们将结合线性方程组的解的不同情况，在本章后面各节中进行讨论。为此先了解一下线性方程组的解的问题。

线性代数的基本概念

《线性代数》根据“卓越工程师教育培养计划”的基本要求，突出基本概念、基本理论、基本技能，注重培养学生数学素质。教材在满足教学要求的前提下，适当降低理论推导的要求，但重视阐明基本理论的脉络。习题配置 中也突出基本题、概念题和与工程相关的实际应用题等。 由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察多元函数。如果所研究的关联性是线性的，那么称这 个问题为线性问题。历史上线性代数的第一个问题是关于解线性方程组的问题，而线性方程组理论的发展又促 成了作为工具的矩阵论和行列式理论的创立与发展，这些内容已成为我们线性代数教材的主要部分。最初的线 性方程组问题大都是来源于生活实践，正是实际问题刺激了线性代数这一学科的诞生与发展。另外，近现代数 学分析与几何学等数学分支的要求也促使了线性代数的进一步发展。 矩阵和行列式行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常 有用的工具。行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的。 1693 年4 月，莱布尼茨在写给洛比达的一封 信中使用并给出了行列式，并给出方程组的系数行列式为零的条件。同时代的日本数学家关孝和在其著作《解 伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法。 1750 年，瑞士数学家克莱姆 (G.Cramer,1704-1752) 在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱姆法则。稍后，数学 家贝祖 (E.Bezout,1730-1783) 将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解。总之，在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具 使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。 在行列式的发展史上，第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相 分离的人，是法国数学家范德蒙 (A-T.Vandermonde,1735-1796) 。范德蒙自幼在父亲的知道下学习音乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院士。特别地，他给出了用二阶子式和它们的余子式来展开 行列式的法则。就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772 年，拉普拉斯在一篇论文中证明 了范德蒙提出的一些规则，推广了他的展开行列式的方法。 继范德蒙之后，在行列式的理论方面，又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西。 1815 年， 柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理。其中主要结果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一个把行列式的元素排成方阵，采用双足标记法；引进了行列式特征方程的术语；给出了相似行列 式概念；改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明等。 19 世纪的半个多世纪中，对行列式理论研究始终不渝的作者之一是詹姆士?西尔维斯特 (J.Sylvester,1814-1894) 。他是一个活泼、敏感、兴奋、热情，甚至容易激动的人，然而由于是犹太人的缘故，他受到剑桥大学 的不平等对待。西尔维斯特用火一般的热情介绍他的学术思想，他的重要成就之一是改进了从一个次和一个次的多项式中消去 x 的方法，他称之为配析法，并给出形成的行列式为零时这两个多项式方程有公共根充分必要 条件这一结果，但没有给出证明。 继柯西之后，在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比 (J.Jacobi,1804-1851) ，他引进了函数 行列式，即“雅可比行列式”，指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数行列式的导数公式。雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成。由于行列式在数学分析、几 何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用，促使行列式理论自身在19世纪也得到了很大发展。整个19 世纪都有行列式的新结果。除了一般行列式的大量定理之外，还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到。 矩阵矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重 要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个 述语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为 了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列 式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。 英国数学家凯莱 (A.Cayley,1821-1895) 一般被公认为是矩阵论的创立者，因为他首先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先 引进矩阵以简化记号。 1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了 关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念， 指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩

相似矩阵的性质及应用

华北水利水电大学相似矩阵的性质及应用 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2013年11月6 日

摘要：若矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题 进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。 关键词：相似矩阵；对角化；Jordan标准型；特征向量；特征值 英文题目：The properties and application of similar matrix Abstract:There are a lot of applications about similar matrix. Matrix for further research is the concept of similarity matrix characteristics, and that part of the problem can be converted into similar problems with a diagonalization matrix to simplify the problem study, while others matrix cannot be similar to a diagonal

矩阵相似的性质

1 矩阵的相似 1.1 定义 1.2性质 1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件 3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵 相似矩阵与矩阵的对角化 相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】） 矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似 定义 1.1：设,A B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得1B X AX -=，就说A 相似于B 记作A B ∽ 1.2 相似的性质 （1）反身性A A ∽：；这是因为1A E AE -=. （2）对称性：如果A B ∽，那么B A ∽；如果A B ∽,那么有X ，使1B X AX -=，令1Y X -=，就有11A XBX Y BY --==，所以B A ∽。 （3）传递性：如果A B ∽，B C ∽，那么A C ∽。已知有,X Y 使1B X AX -=， C 1Y BY -=。令Z XY =，就有111C Y X AXY Z AZ ---==，因此，A C ∽。 1.3 相似矩阵的性质 若,n n A B C ?∈，A B ∽，则： （1）()()r A r B =； 引理：A 是一个s n ?矩阵，如果P 是一个s s ?可逆矩阵，Q 是n n ?可逆矩阵， 那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ） 证明：设,A B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=,由引理2可知，秩 （B ）=秩（1 B C AC -=）=秩（AC ）=秩（A ） （2）设A 相似于B ，()f x 是任意多项式，则()f A 相似于()f B ，即 11()()P AP B P f A P f B --=?= 证明：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=+++ 于是，1 110()n n n n f A a A a A a A a E --=+++ 1 110()n n n n f B a B a B a B a E --=++ + 由于A 相似于B ，则k A 相似与k B ，（k 为任意正整数），即存在可逆矩阵X ,使得

矩阵性质

关于实正交矩阵的某些性质 华东师范大学数学系04级基地班高等代数与解析几何04学年第二学期大作业 10041510134裘鹏翔 正交矩阵是实数域上一类十分特殊的矩阵，具有很多特殊的性质，经过一个学期来学习，也积累收集了不少正交矩阵的性质，罗列如下： 定义：满足的方阵称为正交矩阵（orthogonal matrix）。 n阶正交矩阵的集合记为。 本文摘要： 1正交矩阵与运算的关系 1.1和：正交矩阵的和不一定是正交矩阵； 1.2差：正交矩阵的差也不一定是正交矩阵； 1.3乘积：正交矩阵的乘积是正交矩阵； 1.4数乘：正交矩阵数乘后一般不是正交矩阵； 1.5直积：正交矩阵的直积还是正交矩阵； 1.6圈积：正交矩阵的圈积还是正交矩阵； 1.7转置：正交矩阵的转置还是正交矩阵； 1.8逆：正交矩阵的逆还是正交矩阵； 1.9伴随：矩阵的伴随矩阵是正交矩阵的充分必要条件是这个矩阵是正交矩阵；2正交矩阵的特征 2.1迹：迹小于阶数； 2.2特征值：实数域上,复数域上模为1； 2.3不定性：正交矩阵是不定矩阵； 2.4对角化：正交矩阵在对角化中的作用； 3正交矩阵与特殊矩阵的关系 3.1与数量矩阵：只有的数量矩阵和正交矩阵的乘积还是正交矩阵； 3.2与整系数矩阵：如果n阶正交矩阵是整系数矩阵（即），则它共有！ 种； 3.3与实可逆矩阵：分解为正交矩阵和三角矩阵； 与上（下）三角矩阵：每个实可逆矩阵的分解等等； 3.4与对角矩阵：特征值全是实数的对角化等等； 3.5与对称矩阵：特征值全是实数的正交矩阵是对称的等等； 3.6与反对称矩阵：可对角化情况下的典范型； 4正交矩阵的特殊构造 4.1整系数与非整系数实（反）对称正交矩阵； 5附录 :正规矩阵正交准对角化概述（纯矩阵的证明方法） 5.1定理１；上三角标准定理；

幂等矩阵的性质及其应用

幂等矩阵的性质及其应用 0 引言 幂等矩阵是一类性质特殊的矩阵，不仅在高等代数中有着重要的应用，在其它课程中，如计量经济学、统计学课程中也有着重要应用。在代数学中，线性变换的许多问题都可以转化为幂等矩阵来解决。但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的。因此本文对幂等矩阵的性质做出相关讨论。本文主要给出幂等矩阵特征值、特征子空间和Jordan标准型的基本性质，同时给出了一些相关的应用。 1 主要结果 首先给出幂等矩阵的定义和基本性质。 定义1：若n阶方阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵。 下面给出关于幂等矩阵的一些简单的性质。 定理1：幂等矩阵A的特征值只能是0或者1。 证明：设A为任意一个幂等矩阵。 由A2=A，可得 λ2=λ 其中λ为A的特征值。于是有 λ=1或0， 命题得证。 推论：可逆的幂等矩阵的特征值均为1。 证明：设A为一可逆的幂等矩阵。由A2=A可得 A2A-1=AA-1 即 A=E。 此时有 λE-E=0 即 λ=1 其中，λ为A的特征值。命题得证。 定理2：任意的幂等矩阵A都相似于对角阵，即存在可逆阵P，使得： P-1AP=E■ 00 0， 其中r=R（A）。 证明：A为任意幂等矩阵，J为其Jordan标准型，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=J=■， 其中Ji=■。 由此可得J 2=J。于是有，Ji 2=Ji。 此时，Ji只能为数量矩阵λ■E。 又因为A2=A，所以λ■=0或1，且r=R（A）。命题得证。 定理3：幂等矩阵的特征值为1的特征子空间为其值域，特征值为0的特征子空间为其零（核）空间。 证明：（i）A为一n阶幂等矩阵。？琢为其特征值1对应的特征向量。 则有，A？琢=？琢。由此可得？琢属于A的值域。

广义逆矩阵及其应用【文献综述】

毕业论文文献综述 数学与应用数学 广义逆矩阵及其应用 一、前言 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。 先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并首先发表了关于这个题目的一系列文章。凯莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858 年，他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念，指出了矩阵加法的可交换性与可结合性。另外，凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果。 1855 年，埃米特(C.Hermite，1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch，1831～1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。 在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题，引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。 1854 年，

矩阵论广义逆矩阵

第六章 广义逆矩阵 当A 是n 阶方阵，且det A ≠0时，A 的逆矩阵1A -才存在，此时线性方程组Ax =b 的解可以简洁地表示为x =1 A b -．近几十年来，由于解决各种问题的需要，人们把逆矩阵的概念推广到不可逆方阵或长方矩阵上，从而产生了所谓的广义逆矩阵．这种广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆时，它与通常的逆矩阵相一致；而且这种广义逆矩阵可以给出线性方程组(包括相容的和矛盾的方程组)各种“解”的统一描述． 1920年，，由于不知道它的应用，所以一直未受到重视．直到1955年R.Penrose 利用四个矩阵方程给出广义逆矩阵的更简便实用的定义后，它才引起普遍关注，并得到迅速发展．目前，广义逆矩阵已形成了一套既系统又完整的理论，并在许多学科得到广泛的应用．§6.1 广义逆矩阵的概念 定义6.1 设A ∈C m n ?，如果X ∈C n m ?满足下列四个Penrose 方程 (1)AXA =A ； (2)XAX =X ； (3)()AX AX =H ； (4)H ()=XA XA 的某几个或全部，则称X 为A 的广义逆矩阵，满足全部四个方程的广义逆矩阵X 称为A 的Moore-Penrose 逆． 显然，如果A 是可逆矩阵，则1 X A -=满足四个Penrose 方程． 按照这一定义，可以分为满足一个、二个、三个或四个Penrose 方程的广义逆矩阵，一 共有1234 4444C C C C 15+++=类． 以下定理表明，Moore-Penrose 逆是存在并且惟一的，从而上述的15类广义逆矩阵都是存在的． 定理6.1 设C m n A ?∈，则A 的Moore-Penrose 逆存在且惟一． 证 设rank A ＝r ．若r ＝0，则A 是m ×n 零矩阵，可以验证n ×m 零矩阵满足四个Penrose 方程．若r >0，由定理4．19知，存在m 阶酉矩阵U 和n 阶酉矩阵V 使得其中∑=diag ()12r σ，σ，…，σ，而()12r i i =σ，，…，是A 的非零奇异值．记 则易验证X 满足四个Penrose 方程，故A 的Moore-Penrose 逆存在． 再证惟一性．设X ，Y 都满足四个Penrose 方程，则(为了叙述简明，在等号上注明了推演时所依据的方程号)从而A 的Moore-Penrose 逆是惟一的． 证毕 需要指出的是只要A 不不可逆矩阵，则除Moore-Penrose 逆以外的其他14类广义逆矩阵都不是惟一的．

也谈矩阵的广义逆【开题报告】

开题报告 信息与计算科学 也谈矩阵的广义逆 一、综述本课题的研究动态, 说明选题的依据和意义 矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成. 1801年德国数学家高斯（F.Gauss, 1777~1855把一个线性变换的全部系数作为一个整体. 1844年, 德国数学家爱森斯坦（F.Eissenstein, 1823~1852）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积. 1850年, 英国数学家西尔维斯特 （James Joseph Sylvester, 18414-1897）首先使用矩阵一词. 1858年英国数学家凯莱（A.Gayley, 1821~1895）发表《关于矩阵理论的研究报告》. 他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究, 并在这个主题上首先发表了一系列文章, 因而被认为是矩阵论的创立者, 他给出了现在通用的一系 列定义, 如两矩阵相等, 零矩阵, 单位矩阵, 两矩阵的和, 一个数与一个矩阵的数量积, 两个矩阵的积, 矩阵的逆, 转置矩阵等. 并且凯莱还注意到矩阵的乘法是可结合的, 但一般不可交换, 且*m n 矩阵只能用*n k 矩阵去右乘. 1854年, 法国数学家埃米尔特（C.Hermite, 1822~1901）使用了“正交矩阵”这一术语, 但他的正式定义直到1878年才由德国数学家费罗贝尼乌斯（F.G.Frohenius, 1849~1917）发表. 1879年, 费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念. 矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质, 矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展, 现在已经成为一门数学分支——矩阵论. 而矩阵论又可分为矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论. 矩阵的应用时多方面的, 不仅在数学领域里, 而且在力学, 物理, 科技等方面都有十分广泛的应用. 广义逆的概念最早是由I.Fredholm 提出的, 他给出了积分算广义逆的定义, 并称为“伪逆”. 1904年, D.希尔伯特在广义格林函数的讨论中, 含蓄地提出了微分算子的广义逆. 而任意矩阵的广义逆定义最早是由E.H.穆尔在1920年提出的, 他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上, 他利用投影矩阵定义了矩阵唯一Moore 的广义逆. 1933年, E.H.Moore 的学生Y .Y.Tseng 又将Moore 广义逆推广到了Hilbert 空间, 提出了Hilbert 空间线性算子的广义逆的概念. 20世纪50年代围绕着某些广义逆的最小二乘性质的讨论重新引起了人们对这个课题的兴趣. 然而, 矩阵的广义逆真正得到迅速的发展并在各个领域获得卓有成效的应用实在

矩阵基本性质

矩阵的第?第列的元素为。我们?或（）表?的单位矩阵。1.矩阵的加减法 （1）,对应元素相加减 （2）矩阵加减法满足的运算法则 a.交换律： b.结合律： c. d. 2.矩阵的数乘 （1），各元素均乘以常数 （2）矩阵数乘满足的运算法则 a.数对矩阵的分配律： b.矩阵对数的分配律： c.结合律： d. 3.矩阵的乘法 （1），左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则 a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有 b.分配律： c.结合律： d.数乘结合律： 4.矩阵的转置, （1）矩阵的幂：,,…, （2）矩阵乘法满足的运算法则 a.

b. c. d. 5.对称矩阵：即；反对称矩阵：即 （1）设为（反）对称矩阵，则仍是（反）对称矩阵。 （2）设为对称矩阵，则或仍是对称矩阵的充要条件=。 （3）设为（反）对称矩阵，则，也是（反）对称矩阵。 （4）对任意矩阵，则分别是对称矩阵和反对称矩阵且. （5） 6. Hermite矩阵：即；反Hermite矩阵，即 a. b. c. d. e. f.（当矩阵可逆时） 7.正交矩阵：若,则是正交矩阵 （1） （2） （3）, 8.酉矩阵：若,则是酉矩阵 （1） （2） （3）, （4）

9.正规矩阵：若,则是正规矩阵；若,则是实正规矩阵 10.矩阵的迹和行列式 （1）为矩阵的迹；或为行列式 （2）；注：矩阵乘法不满足交换律 （3） （4）,为酉矩阵，则 （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12）,，则其中为奇异分解值的特征值 11.矩阵的伴随矩阵 （1）设由行列式的代数余子式所构成的矩阵 （2） 12.矩阵的逆（逆矩阵是唯一的） （1）A的逆矩阵记作,; （2）（为非奇矩阵）时， （3）且，则 （4）由，得 （5）

开题报告-矩阵逆的推广及应用

毕业论文开题报告 信息与计算科学 矩阵逆的推广及应用 一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势） 1． 选题的背景 Moore.E.H 是公认的研究广义逆矩阵的第一人，他在美国数学会1920年一个会议报告的摘要中，对任意矩阵定义了广义逆，当时他称之为general reciprocal 。Moore 关于广义逆的较详细结果发表在Moore(1935)的著名论文中。于是，许多学者通常把1935年作为广义逆研究的起点。在这篇论文中，对任意n m ?矩阵A ，Moore 用下面两个矩阵方程 )(A R P AX =，)(X R P XA = (1) 来定义广义逆X ，这里)()(X R A R P P 和分别是)()(X R A R 和上的正交投影算子。在这之后的20多年中，人们对广义逆的研究并未给予应有的重视。 到了二十世纪50年代，一些学者开始注意到广义逆矩阵的最小二乘性质。Bjerhammar （1951a,1951b ）在不知道Moore 结果的情况下，重新提出了广义逆矩阵的概念（他称之为reciprocal matrix ），并注意到了广义逆与线性方程组解的关系。Bott 和Duffin(1953)在研究电网理论时，引进了一种后来被称为Bott-Duffin 广义逆的逆矩阵。当时他们称为约束逆（constrained inverse ）。但这时期的研究工作缺少一般性，零散而不系统。 在广义逆研究中，一个重要的里程碑是Penrose （1955）的著名论文。在这篇文章中，Penrose 以非常简单、直观的形式叙述了广义逆矩阵+A 满足的四个条件（也称Penrose 条件）：设n m C A ?∈，则满足 XA XA AX AX X XAX A AXA ====H H ))(4(;))(3(;)2(; )1( (2) 的矩阵n m C X ?∈称为矩阵A 的广义逆（其中的共轭转置表示A A H ），并证明了（2）式

矩阵相关性质

等价：存在可逆矩阵Q P ,，使B PAQ =，则A 与B 等价； 相似：存在可逆矩阵P ，使B AP P =-1，则A 与B 相似； 合同：存在可逆矩阵C ，使B AC C T =，则A 与B 合同. 一、相似矩阵的定义及性质 定义1 设B A ,都是n 阶矩阵，若有可逆矩阵P ，使B AP P =-1 ，则称B 是A 的相似矩阵， 或说矩阵A 与B 相似，记为B A ~.对A 进行运算AP P 1-称为对A 进行相似变换，可逆矩阵P 称为把A 变成B 的相似变换矩阵. 注 矩阵相似是一种等价关系. （1）反身性：A A ~. （2）对称性：若B A ~，则A B ~. （3）传递性：若B A ~，C B ~，则C A ~. 性质1 若B A ~，则 （1）T T B A ~； （2）11~--B A ； （3）E B E A λλ-=-； （4）B A =； （5）)()(B R A R =. 推论 若n 阶矩阵A 与对角矩阵??????? ? ?=Λn λλλ 21相似，则n λλλ,,,21 是A 的n 个特征值. 性质2 若1-=PBP A ，则A 的多项式1)()(-=P B P A φφ. 推论 若A 与对角矩阵Λ相似，则 1211)()()()()(--?????? ? ??=Λ=P P P P A n λφλφλφφφ . 注 （1）与单位矩阵相似的只有它本身；

（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似. 二、矩阵可对角化的条件 对n 阶方阵A ，如果可以找到可逆矩阵P ，使Λ=-AP P 1为对角阵，就称为把方阵A 对角化。 定理1 n 阶矩阵A 可对角化（与对角阵相似）A ?有n 个线性无关的特征向量。 推论 如果n 阶矩阵A 的n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似.（逆命题不成立） 注：（1）若A ～Λ，则Λ的主对角元素即为A 的特征值，如果不计i λ的排列顺序，则Λ唯 一，称之为矩阵A 的相似标准形。 （2）可逆矩阵P 由A 的n 个线性无关的向量构成。 把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。 可对角化的矩阵主要有以下几种应用： 三、实对称矩阵的相似矩阵 实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化.即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1.更可找到正交可逆矩阵T ，使和Λ=-AT T 1 定理2 实对称矩阵的特征值为实数。 定理2的意义：因为对称矩阵A 的特征值1λ为实数，所以齐次线性方程组0)(=-x E A i λ是实系数方程组。又因为0=-E A i λ，可知该齐次线性方程组一定有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。 定理3：实对称矩阵A 的对应于不同特征值的特征向量正交。 定理4：A 为n 阶实对称矩阵，0λ是A 的k 重特征值，则对应于0λ的特征向量中，线性无关的个数为k ，即0)(0=-X E A λ的基础解系所含向量个数为k 。 定理5：（实对称矩阵必可对角化） 对于任一n 阶实对称矩阵A ，一定存在n 阶正交矩阵T ，使得Λ=-AT T 1。其中Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角阵。 定义2 若二次型Ax x f T =，则对称矩阵A 叫做二次型f 的矩阵，也把f 叫做对称矩阵A 的二次型.对称矩阵A 的秩就叫做二次型f 的秩. 推理 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正. 定理3 对称矩阵A 正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正，即