用构造法求数列的通项公式汇总

用构造法求数列的通项公式

上海外国语大学嘉定外国语实验学校 徐红洁

在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：

一．利用倒数关系构造数列。

例如：}{n a 数列中，若),(41

1,

211N n a a a n

n ∈+==+求a n n n n

n b b a b ==+1,1

则设+4,

即n n b b -+1＝４，

n b {∴｝是等差数列。

可以通过等差数列的通项公式求出n b ,然再求后数列{ a n }的通项。

练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足),(,311

,2

111N n a a a n

n ∈+==+求a n 2)数列{ a n }中，,2

2,111+==+n n

n a a a a 求a n 通项公式。

3)数列{ a n }中,),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-?+≠=--且求a n .

二．构造形如2

n n a b =的数列。

例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52

2

11∈-==+ 解：设4,4,112

-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则

)

,71(,429429429)4()1(25254}{2

2

11N n n n a n

a n n

b a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-?-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列

练习：已知正数数列{ a n }中，),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-, 求数列{ a n }的通项公式。 三．构造形如n n a b lg =的数列。 例：正数数列{ a n }中，若a 1=10,且),,2(,lg 2

1

lg 1N n n a a n n ∈≥=-求a n . 解：由题意得：n n n n a b a a lg 2

1

lg lg 1=∴=-可设，， 即

,2

1

1=-n n b b

110lg 2

1

1==∴b b n ，是等比数列，公比为

)(,)2

1()21(11

1N n b n n n ∈=?=∴--.

即1)21

(1

10,)2

1(lg -=∴=-n n n n a a

练习：（选自2002年高考上海卷）

数列{ a n }中，若a 1=3,2

1n n a a =+,n 是正整数，求数列{ a n }的通项公式。 四．构造形如m a b n n +=的数列。 例：数列{ a n }中，若a 1=6,a n+1=2a n +1, 求数列{ a n }的通项公式。 解：a n+1+1=2a n +2, 即a n+1+1=2（a n +1） 设 b n = a n +1, 则b n = 2 b n-1

则数列{ b n }是等比数列，公比是2,首项b １= a １+1＝7, 11271,27--?=+?=∴n n n n a b 即

1271-?=∴-n n a ，)(N n ∈

构造此种数列，往往它的递推公式形如：

的形式和2)1(,1+=+≠+?=+n a S c d a c a n n n n 。 如：a n+1＝c a n +d,设可化成a n+1+x=c(a n +x),

a n+1=c a n +(c-1)x

用待定系数法得： (c-1)x ＝d

∴ x=1

-c d

.

又如：Ｓn +a n =n+2, 则 Ｓn-1+a n-1=n+1,

二式相减得：Ｓn －Ｓn-1 +a n －a n-1 =１，即a n +a n －a n-1 =１，

∴ 2 a n －a n-1=１，

a n =21a n-1+2

1.

如上提到b n = a n ＋1

1

-c d = a n –1

练习：1.数列{ a n }满足a n+1=3a n +2, 求a n

2.数列{ a n }满足Ｓn +a n =2n+1,求a n 五．构造形如n n n a a b -=+1的数列。

例：数列{ a n }中，若a 1=１，a ２=3,a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0 (n ∈N),求a n 。

解： a n+2 + 4 a n+1 - 5a n =0得： a n+2 － a n+1 = - 5（a n ＋１ － a n ） 设b n = a n ＋１ －a n ，

则数列{ b n }是等比数列，公比是-5,首项b １= a 2- a 1＝2,

∴a n ＋１ －a n =2?(-5)n-1

即a ２ －a １=2?(-5) a ３ －a ２=2?(-5)２ a ４ －a ３=2?(-5)３

┄

a n －a n －１=2?(-5)n-2

以上各式相加得：a n －a １=2?［（-5）＋(-5)２＋(-5)３＋┄＋（-5）n-1］

即：a n －a １=2?)

5(1511

-----n ）

（

3

)5(111---+=∴n n a ，即3)5(41

---=n n a ，（n )N ∈

当递推公式中，a n ＋１与a n 的系数相同时，我们可构造b n = a n ＋１ －a n ，然后用叠加法得：b 1+b 2+b 3+b 4+┄+b n = a n -a 1

通过求出数列｛b n ｝前n-1项和的方法，求出数列{ a n }的通项公式。 1) 当递推公式中形如:

a n+1=a n +an+

b ; a n+1=a n +q n (q ≠1) ; a n+1=a n +q n +an+b 等情形时， 可以构造b n = a n ＋１－a n ,得: b n = an+b ； b n = q n ; b n =q n +an+b 。 求出数列前n-1项的和T n-1,

T n-1=

b n n

n a )1(2

)1(-+-; T n-1=q

q q n ---1)1(1；

T n-1=q

q q n ---1)1(1+

b n n

n a )1(2)1(-+- 即： a n －a １=

b n n

n a )1(2

)1(-+-; a n －a １=q q q n ---1)

1(1;

a n －a １=

b n n n a )1(2)1(-+-+q q q n ---1)

1(1 从而求出 a n =a １+

b n n

n a )1(2

)1(-+-; a n = a １+q q q n ---1)

1(1;

a n =a １+

b n n n a )1(2)1(-+-+q

q q n ---1)

1(1。 2）当递推公式中形如:

a n+1=a n +)1(1+n n ；a n+1=a n +)12(121+-n n ）（；a n+1=a n +1

1

++n n 等情形

可以构造b n = a n ＋１－a n ,得:：b n =)1(1+n n ；b n =)12(121+-n n ）（；b n =1

1

++n n

即b n =111+-n n ；b n =)1

21

121(

21+--n n ；b n =n n -+1 从而求出求出数列前n-1项的和T n-1,

T n-1=n 11-；T n-1=)1

21

1(21--

n ；T n-1=1-n 即： a n －a １=n 1

1-;

a n －a １=)1

21

1(21--

n ;

a n －a １=1-n

从而求出 a n =a １+n 1

1-;

a n = a １+)1

21

1(21--

n ; a n =a １+1-n

练习：1）数列{ a n }中，若a 1=1，a n+1-a n =2n, 求通项a n.

2）数列{ a n }中，若a 1=1，a n+1-a n =2n , 求通项a n.

3) 数列{ a n }中，若a 1=2，n a a n n n -+=+21，求通项a n.

六．构造形如n

n n a a

b 1+=的形式。

例：数列{ a n }中，若a 1=1，n n na a n =++1)1(，求a n.

解：由n n na a n =++1)1(得：11+=

+n n

a a n n ∴2112=a a ， 3223=a a ， 4334=a a ，…n

n a a n n 1

1-=-

用累乘法把以上各式相乘得：n a a n 1

1=

∴n

a n 1

=。

当递推公式形如：n n n a q a =+；n n na a n =++1)1(；n n a n na )1(1+=+等形式，

我们可以构造n

n n a a b 1

+=

。 可得: n n q b =;1+=

n n b n ;n n b n 1+=. 然后用叠乘法得：1

1321a a

b b b b n n =- 。

令数列{b n }的前n-1项的积为A n-1,则

2

)

1(1--=n n n q

A ；n A n 11=

-;n

A n 11=- 从而得到：=1a a n 2)

1(-n n q ；=1a a n n 1；=1a a n n

1

1a a n =2

)1(-n n q

；n a a n 11?

=；n

a a n 11?=。 练习：1）数列{ a n }中，若a 1=2，n n n a a 2=+，求a n.

七．构造形如n n n ma a b -=+1的形式。 例：数列{ a n }中，a 1=2，S n =4a n-1+1，求a n. 解：S n =4a n-1+1，S n-1=4a n-2+1

二式相减：S n -S n-1=4a n-1-4a n-2 a n =4a n-1-4a n-2

a n -2a n-1=2（a n-1-a n-2）

设b n =a n+1-2a n ，

当递推公式形如S n+1=4a n+2;a n+2=pa n+1+qa n(p+q=1) 等形式时，因

a n-2a n+1=2(a n+1-2a n);a n+2-a n+1=(p-1)(a n+1-a n),

我们构造b n=a n+1-2a n; b n=a n+1-a n,

由等比数列知识得b n=(a2-a1)·2n-1; b n=(a2-a1)·(p-1)n-1

从而得到a n+1=2a n+(a2-a1)2n-1;a n+1=a n(a2-a1)(1-q)n-1

由类型四求出a n。

总之，对于很多数列，我们都可以由递推公式构造新数列的方法求出他们的通项公式。当然，在教学中我们应当充分调动学生的积极性，努力培养学生的创造能力，让学生自己去构造，自己去探索，使学生亲尝到成功乐趣，激起他们强烈的求知欲和创造欲。

高中数学必修5 用构造法求数列的通项公式

用构造法求数列的通项公式 在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法： 一．利用倒数关系构造数列。 例如：}{n a 数列中，若),(41 1, 21 1N n a a a n n ∈+= =+求a n n n n n b b a b == +1,1 则设+4, 即n n b b -+1＝４， n b {∴｝是等差数列。 可以通过等差数列的通项公式求出n b ,然再求后数列{ a n }的通项。 练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足),(,311 ,2 111N n a a a n n ∈+==+求a n 2)数列{ a n }中，,2 2,111+= =+n n n a a a a 求a n 通项公式。 3)数列{ a n }中,),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-?+≠=--且求a n . 二．构造形如2 n n a b =的数列。 例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52 2 11∈-==+ 解：设4,4,112 -=--==++n n n n n n b b b b a b 即则 ) ,71(,429429429)4()1(25254}{2 2 11N n n n a n a n n b a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-?-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列 练习：已知正数数列{ a n }中，),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-, 求数列{ a n }的通项公式。 三．构造形如n n a b lg =的数列。 例：正数数列{ a n }中，若a 1=10,且),,2(,lg 2 1 lg 1N n n a a n n ∈≥=-求a n . 解：由题意得： n n n n a b a a lg 2 1 lg lg 1=∴=-可设，， 即 ,2 1 1=-n n b b 110lg 2 1 1==∴b b n ，是等比数列，公比为 )(,)2 1 ()21(111N n b n n n ∈=?=∴--. 即1)21 (1 10,)2 1(lg -=∴=-n n n n a a 练习：（选自2002年高考上海卷） 数列{ a n }中，若a 1=3,2 1n n a a =+,n 是正整数，求数列{ a n }的通项公式。 四．构造形如m a b n n +=的数列。 例：数列{ a n }中，若a 1=6,a n+1=2a n +1, 求数列{ a n }的通项公式。 解：a n+1+1=2a n +2, 即a n+1+1=2（a n +1） 设 b n = a n +1, 则b n = 2 b n-1 则数列{ b n }是等比数列，公比是2,首项b １= a １+1＝7, 11271,27--?=+?=∴n n n n a b 即 1271-?=∴-n n a ，)(N n ∈ 构造此种数列，往往它的递推公式形如： 的形式和2)1(,1+=+≠+?=+n a S c d a c a n n n n 。 如：a n+1＝c a n +d,设可化成a n+1+x=c(a n +x), a n+1=c a n +(c-1)x 用待定系数法得： (c-1)x ＝d

高二数学必修5数列通项公式的求法归纳

数列通项公式的求法 一、定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目． 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公 式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列，∴9123 a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=? ∵0≠d ， ∴d a =1………………………………① ∵255a S = ∴211)4(2 455d a d a +=??+…………② 由①②得：531=a ，53=d ∴n n a n 5 353)1(53=?-+=】 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。 二、公式法 若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-2111n S S n S a n n n 求解。 例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。 解：由1121111=?-==a a S a 当2≥n 时，有 ,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -?+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+?- ,)1(22221----?+=n n n a a ……，.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+?-+?-++?-L ].)1(2[323])2(1[2)1(2)] 2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n n n n n n n Λ 经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3 212---+=n n n a 点评：利用公式???≥???????-=????????????????=-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．

数列的通项公式与求和的常见方法

数列的通项公式与求和 的常见方法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

常见数列通项公式的求法 类型一：公式法1（或定义法） 例1. 已知数列{}n a 满足11a =， 12n n a a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =，13n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =， 110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-， 13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足21 1=a ，n a a n n 21+=+， * ()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈，13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11 ln(1)n n a a n +=++， 求数列{}n a 的通项公式。 类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，251n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+， 求数列{}n a 的通项公式。 类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数， )0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可 得数列λ+=n n a b 为等比数列 例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-*()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。 类型六：交叉项问题 解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新 的等差数列。 例：已知数列{}n a 满足11a =， 122 n n n a a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足11a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， *()n N ∈，求数列{} n a 的通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{}n b （0n b ≠*n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b = 求数列{}n c 的通项公式。 类型七：（公式法2） （n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ =-++11，即数列?? ????n n p a 为以 p λ 为公差的等差数列； 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1155+++=n n n a a ，11=a ，求数列{}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一：公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2 232221n a a a a ++++ . 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n 项和： 2321 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 21 )12(++=，求n S . 类型三：倒序相加法 例.求 88sin 3sin 2sin 1sin 2 222+???+++ 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法： 例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列， 且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；

数列之 求通项公式之 构造新数列之 其他方法

数列之 求通项公式之 构造新数列之 其他方法 1.已知数列{}n a 满足n n n a a n n a a 求,1 ,3211+==+ 2.设{a n }是首项为1的正项数列，且（n +1）a n +12－na n 2+a n +1a n =0（n ∈N *），则它的通项公式a n =_______________ 4.()n f pa a n n +=+1 ())(b kn n f +=。 解法（待定系数法）：只需把原递推公式转化为：)1(1+++n g a n =p [)(n g a n +],其中s tn n g +=)(，再构造等比数列)}({n g a n +求解。 4.已知数列{}n a 中，11=a ，1231-+=+n a a n n ，求n a . 5.n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 11+=+再待定系数法解决。 5.在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+，求n a 。 6.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1 1+=+，求n a 。 7.已知数列{a n }满足a 1=1,且1n n a a +=1n n +，则a 2012=() A.2010 B.2011 C.2012 D.2013 8．已知各项均不为零的数列{}n a ,定义向量()1,+=n n n a a c ，()1,+=n n d n ，n ∈*N . 下列命题中真命题是（ ） A ．若n ?∈*N 总有n n d c ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列 B ．若n ?∈*N 总有n n d c ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列 C ．若n ?∈*N 总有n n d c //成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若n ?∈*N 总有n n d c //成立，则数列{}n a 是等比数列 答案 1.解：由条件知,1 1+=+n n a a n n 分别令n=1,2,3, ……(n-1), 代入上式得（n-1） 个等式累乘之，即 n a a n n a a a a a a a a n n n 1143322111342312=?-??????????=????????- 又∵,321=a ∴n a n 32= 2.n 1

数列通项公式的求法(较全)

常见数列通项公式的求法 公式： 1、 定义法 若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或 11-=n n q a a 中即可. 例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式. 练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何* n N ∈都有 1234127 ,0,,,,6954 n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.

2、 累加法 形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时，() 11n n a a f n --=-， () 122n n a a f n ---=-， ()322a a f -=， () 211a a f -=， 以上()1n -个等式累加得 ()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+ ++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+ ++ （3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和； ③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.

数列求通项公式及求和9种方法

数列求通项公式及求和 9种方法 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a 的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都 有2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通项公式． （二）.累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =

1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，12 121 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---???=?-?? 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-??，检验1n =的情况 【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知2 11=a ，)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ，求 n a . （2）已知数列 {}n a 满足1 2 n n n a a n +=+，且32 1=a ，求n a .

构造法求数列通项公式

构造法求数列通项公式 求数列通项公式就是高考考察的重点与热点,本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍,供同学们学习时参考。 一、构造等差数列求数列通项公式 运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法,将递推公式变形成为 (1)()f n f n +-=A(其中A 为常数)形式,根据等差数列的定义知)(n f 就是等差数列,根据等 差数列的通项公式,先求出)(n f 的通项公式,再根据)(n f 与n a ,从而求出n a 的通项公式。 例1 在数列{}n a 中,1a = 12 ,1n a +=33n n a a +(n N + ∈),求数列{}n a 通项公式、 解析:由a n+1=33+n n a a 得,a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0,两边同除以a n+1 a n 得,= -+n n a a 11 13 1 , 设b n =n a 1 ,则b n+1- b n =31,根据等差数列的定义知, 数列｛b n ｝就是首相b 1=2,公差d=31的等差数列, 根据等差数列的通项公式得b n =2＋31(n-1)=31n ＋35 ∴数列通项公式为a n =53 +n 评析:本例通过变形,将递推公式变形成为 A a a n n =- +1 11 形式,应用等差数列的通项公式,先求出 n a 1 的通项公式,从而求出n a 的通项公式。 例2 在数列｛a n ｝中,S n 就是其前n 项与,且S n ≠0,a 1=1,a n =12 22-n n S S (n ≥2),求S n 与a n 。 解析:当n ≥2时,a n =S n -S n-1 代入a n =1 2 22-n n S S 得,S n -S n-1= 1 222-n n S S ,变形整理得S n -S n-1= S n S n-1两 边除以S n S n-1得,n S 1-11-n S =2,∴｛ n S 1｝就是首相为1,公差为2的等差数列 ∴ n S 1=1+2(n-1)=2n-1, ∴ S n = 121 -n (n ≥2),n=1 也适合,∴S n = 1 21-n (n ≥1) 当n ≥2时,a n =S n -S n-1= 1 21-n -321-n =- 3 8422+-n n ,n=1不满足此式, ∴a n = { 2 11 3 8422 ≥=+--n n n n 评析:本例将所给条件变形成A n f n f =-+)()1(,先求出)(n f 的通项公式,再求出原

高中数学数列通项公式的求法(方法总结)

（1）主题：求数列通项n a 的常用方法总结 一、 形如：特殊情况：当n+11,n n A B C A a a A =*+*+≠，常用累加法。 (n n a a +-,z 构建等比数列()1y n z *++z ； 的通项公式，进而求得n a 。 二、 形n a a * ；

三、 形 ()x f x =） 情形1：1n n A B a a +=*+型。设λ是不动点方程的根，得数列 {}n a λ-是 以公比为A 的等比数列。 情形2：1*n n n A B C D a a a +*+=+型。 设1λ和2λ 是不动点方程 *A x B x C x D *+=+的两个根； （1）当12λλ≠时，数列n 12n a a λλ??-?? ??-????是以12 A C A C λλ -*-*为公比的等比数列； （2）当12 =λλλ =时，数列1n a λ???? ??-???? 是以2*C A D +为公差的等差数列。 【推导过程：递推式为a n+1= d ca b aa n n ++（c ≠0,a,b,c,d 为常数）型的数列 a n+1－λ= d ca b aa n n ++－λ= d ca c a d b a c a n n +--+ -) )((λλλ，令λ＝－λ λc a d b --，可得λ＝d c b a ++λλ ……（1）。（1）是a n+1=d ca b aa n n ++中的a n ，a n+1都换成λ后的不动点方程。 ○ 1当方程（1）有两个不同根λ１，λ２时，有 a n+1－λ１＝ d ca a c a n n +--))((11λλ，a n+1－λ２＝d ca a c a n n +--) )((22λλ ∴ 2111λλ--++n n a a ＝21λλc a c a --?21λλ--n n a a ，令b n =21λλ--n n a a 有b n ＋１＝ 2 1 λλc a c a --?b n ○ 2当方程（1）出现重根同为λ时， 由a n+1－λ＝ d ca a c a n n +--))((λλ得λ-+11n a ＝))((λλ--+n n a c a d ca ＝λ c a c -＋))((λλλ--+n a c a c d （ “分离常数”）。设c n =λ-n a 1 得c n ＋１＝ λ λc a c d -+?c n ＋ λ c a c -】

数列的通项及求和公式

数列的通项及求和公式专题课内导学案11 一、基本公式法：等差数列，等比数列。 例1、（1）若{}n a 是等差数列，公差0d ≠， 236,,a a a 成等比，11a =，则n a =_________。 （2）若{}n a 是等比数列，243,,a a a 成等差， 13a =，则n a =_________。 二、已知n S 求n a ：11 (2) (1)n n n S S n a S n --≥?=? =?。 类型1、（1）已知2 1n S n n =++，求n a 。 （2）已知101n n S =-，求n a 。 类型2、（1）已知32n n S a =-，求n a ； （2）已知3 32 n n S a =-，求n a ； （3）已知22n n S a +=，求n a 。 类型3、（1）2 24n n n a a S +=，0n a >，求n a ； （2）2 1056n n n S a a =++，0n a >，求n a ； （3）2111 424 n n n S a a = ++，0n a >，求n a 。 类型4、（1）11a =，12n n a S +=，求n a ； （2）11a =，12n n S a +=，求n a ； （3）13a =，11n n S a +=+，求n a 。

类型5、（1）122n n a a a ++???+=，则n a =_____ （2）123n a a a a n ?????=，则n a =_____ （3）12323n a a a na n +++???+=，则n a =_____ （4） 3 12123n a a a a n n +++???+=，则n a =_____ （5）231233333n n a a a a n +++???+=，n a =___ 三、形如1()n n a a f n +-=的递推数列求通项公式，使用累加法。 例1、（1）数列{}n a 中满足12a =，1n n a a n +=+，求n a 的通项公式。 （2）已知数列{}n a 中满足13a =， 12n n n a a +=+，求n a 的通项公式。 （3）求数列2,4,9,17,28,42,???的通项公式。 四、形如 1 ()n n a f n a +=的递推数列求通项公式，使用累乘法。 例1、（1）数列{}n a 中满足15a =，12n n n a a +=?， 求n a 的通项公式。 （2）数列{}n a 中满足14a =，11 n n n a a n +=?+，求n a 的通项公式。 （3）112a = ，111 n n n a a n --=+（2n ≥），求n a 的通项公式。 五、构造法 例1、（1）14a = 2=，求n a ； （2）14a =，22 12n n a a +-=，求n a ； （3）14a =， 144 2n n a a +-=，求n a ； （4）12a =，112(1)n n a a +-=-，求n a ； （5）11a =，1(1)3n n n a na ++=，求n a ； （6）11a =，121n n a a n n +-=+，求n a 。

求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式的十种方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以1 2 n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 1 1==为首项，以2 3 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2 n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、利用 { 1(2)1(1) n n S S n S n n a --≥== 例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数 2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式； 解 ： 22(1) 4 2 31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=-- 23435T S n n n n n ∴=+=--… …2分 当1,35811n T b ===--=-时 当2,62 6 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分 练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等 比数列，求数列{a n }的通项a n 解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，② 由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2) 当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3 2．（2006年全国卷I ）设数列{}n a 的前n 项的和

数列通项公式的求法(类型总结)

构造法在数列中的应用——数列通项公式的求法 一、形如)(1 n f a a n n +=+(其中f （n ）不是常数函数)型数列（累加法） 一般地，对于形如)(1 n f a a n n +=+(其中f （n ）不是常数函数)类的通项公式，且 )()2()1(n f f f +++ 的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a 。 即：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥； 〖例1〗.（2015江苏理数11）.数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列 }1 { n a 的前10项和为 。 二、形如 n 1 n a a +=f （n ）（f （n ）为可求积的数列）型数列（累乘法） 一般地对于形如“已知a 1，且 n 1 n a a +=f （n ）（f （n ）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。即：1 2 112 1 n n n n n a a a a a a a a ---= ??? ?(2)n ≥； 〖例2〗．在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n·n a ，求n a 的表达式。 〖练1〗.在数列{an}中，a1=1，（n+2）?an+1=（n+1）?an ，则an= 〖练2〗.数列{}n a 中，2 11=a ，前n 项的和n n a n S 2=，求1+n a .

三、形如1n n a pa q +=+型数列 构造的思路有两种： （1）是待定系数法构造，设1()n n a m p a m ++=+，展开整理1n n a pa pm m +=+-，比 较系数有 pm m b -=，所以1b m p =-，所以1 n b a p +-是等比数列，公比为p ，首项为 11 b a p + -。（2）是用作差法直接构造，1n n a pa q +=+，1n n a pa q -=+，两式相减有11()n n n n a a p a a +--=-，所以1n n a a +-是公比为p 的等比数列。 〖例3〗、已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式. 〖例4〗、在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求{}n a 的通项公式。 四、形如 C Bn Aa a n n ++=+1型数列， 一 般地，对于型如C Bn Aa a n n ++=+1型数列可化为 ])1([21211λλλλ+-+=+++n a A n a n n 的形式来求通项。 〖例5〗、设数列{}n a 中，111,321n n a a a n +==++，求{}n a 的通项公式。

数列求通项公式及求和9种方法

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a。 【注意】漏检验n的值(如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列 {} n a的通项公式． （二）.累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =

1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-?? 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-? ?，检验1n =的情 况 【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知21 1=a ，)2(1 1 2 1≥-+ =-n n a a n n ，求n a . （2）已知数列{}n a 满足1 2n n n a a n +=+，且3 21=a ，求n a .

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【最新整理，下载后即可编辑】 构造法求数列通项公式 求数列通项公式是高考考察的重点和热点，本文将通过构造等比数列或等差数列求数列通项公式作以简单介绍，供同学们学习时参考。 一、构造等差数列求数列通项公式 运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为(1)()f n f n +-=A （其中A 为常数）形式，根据等差数列的定义知)(n f 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出)(n f 的通项公式，再根据)(n f 与n a ，从而求出n a 的通项公式。 例1 在数列{}n a 中，1a = 1 2，1n a +=33n n a a +（n N +∈），求数列{}n a 通 项公式. 解析：由a n+1= 3 3+n n a a 得，a n+1 a n =3 a n+1-3 a n =0，两边同除以a n+1 a n 得，=-+n n a a 11131， 设b n =n a 1，则b n+1- b n =31，根据等差数列的定义知， 数列｛b n ｝是首相b 1=2，公差d=31的等差数列， 根据等差数列的通项公式得b n =2＋31（n-1）=31 n ＋35 ∴数列通项公式为a n =53 +n 评析：本例通过变形，将递推公式变形成为A a a n n =- +1 11 形式，应用等差数列的通项公式，先求出 n a 1 的通项公式，从而求 出n a 的通项公式。 例2 在数列｛a n ｝中，S n 是其前n 项和，且S n ≠0，a 1=1，a n =1 2 22-n n S S (n ≥2)，求S n 与a n 。 解析：当n ≥2时，a n =S n -S n-1 代入a n =1 2 22-n n S S 得，S n -S n-1=1 2 22-n n S S ， 变形整理得S n -S n-1= S n S n-1两边除以S n S n-1得，n S 1-1 1-n S =2，∴｛n S 1｝是首相为1，公差为2的等差数列 ∴n S 1=1+2（n-1）=2n-1, ∴ S n =121-n (n ≥2),n=1也适合，∴

数列通项公式的求法集锦

数列通项公式的求法集锦 非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。 一、累加法 形如1()n n a a f n --= (n=2、3、4…...) 且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累加法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例1. 在数列{n a }中，1a =1，11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ，求{n a }的通项公式。 解：∵111n a ==时， 213243121 23.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=?? -=? ? -=??? -=-??时, 这n-1个等式累加得：112...n a a -=+++（n-1）=(1)2n n - 故21(1)222n n n n n a a --+=+= 且11a =也满足该式 ∴222 n n n a -+= (n N * ∈). 例2．在数列{n a }中，1a =1，12n n n a a +-= (n N * ∈),求n a 。 解：n=1时, 1a =1212323431 122 22.......2n n n n a a a a a a a a --≥-=?? -=? ? -=????-=? 时, 以上n-1个等式累加得 2 1 122 (2) n n a a --=+++=12(12)12 n ---=22n -，故12221n n n a a =-+=- 且11a =也满 足该式 ∴21n n a =- (n N * ∈)。 二、累乘法 形如 1 ()n n a f n a -= (n=2、3、4……)，且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累乘法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例3．在数列{n a }中，1a =1，1n n a na +=，求n a 。

史上最全的数列通项公式的求法13种

最全的数列通项公式的求法 数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。 一、直接法 根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。 二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项 ②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥???????-=????????????????=-2 1 11n S S n S a n n n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式. ②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2 1n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式. ③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<