二次函数(第一课时)教学设计
26.1 二次函数（第1课时）教学设计
重庆市渝北区沙坪中学熊高全
一.内容和内容解析
（一）内容
对实际问题列二次函数关系式；二次函数的概念。
（二）内容解析
从教材编写的顺序看，本节是在一元二次方程的基础上，引进二次函数的概念。在这之前，学生已经学习了一次函数、反比例函数、一元二次方程等知识。二次函数概念的学习，不仅是后续学习抛物线性质、图像法解一元二次方程、锐角三角函数等知识的基础，也是学习高中数学函数、一元二次不等式等知识的基础。因此，本节的内容是函数的重要组成部分，在中学数学中居于核心地位，起着承上启下的作用，成为历年中考的热点，在考查学生数学综合能力、数形结合思想、科学探究意识等方面有突出表现。
从教材编写的内容看，本节是二次函数的概念课。学生从实际问题出发，通过列方程的方法得到函数关系式，再对函数关系式进行观察、分析、归纳等活动，发现它们的共同点，抽象得出二次函数概念及一般式y=ax2+bx+c(a、b、c是常数， a≠0)。然后，学生对函数关系式中a、b、c的取值问题进行分类讨论，进一步认识二次函数模型，从中发现，函数的名称都反映了函数表达式与自变量之间的关系，为后续其它函数的命名提供实践经验和科学方法。由此可见，学生对二次函数的认识是逐步加深的。
基于以上分析，本节课的教学重点是：探索二次函数的概念，确定二次函数关系式。
二.目标和目标解析
（一）目标
1.知识技能
（1）对实际问题，会用方程法求二次函数关系式。
（2）理解二次函数的概念，初步体会函数的名称与函数表达式之间的关系。
2. 数学思考
二次函数与生活实际问题之间的密切关系。
3. 问题解决
能从实际问题中抽象出二次函数并确定其表达式。
4. 情感态度
（1）经历二次函数概念的形成过程，使学生体验函数是描述变量间对应关系的重要数学模型。
（2）通过观察、操作、讨论、归纳等活动，培养他们合作交流意识和探索能力。
（二）目标解析
达成知识技能目标(1)的标志是：对数学问题，能用方程法求出函数关系式，实际问题，能指出自变量的取值范围。
达成知识技能目标(2)的标志是：给定一个函数关系式，能判断是否是二次函数，同时，会用二次函数的概念解决简单的实际问题。
达成情感态度目标的标志是：学生能积极参与到学习活动中去，独立思考，合作探究，展示自我，敢于质疑释疑，从中体验到成功的喜悦，感知到数学知识来源于生活，服务于生活。
三.教学问题诊断分析
（一）学生认知基础分析
1.学生会用一个未知数的代数式去表示另一个未知数，为列函数关系式作准备。
2.学生能确定多项式的次数和系数，并根据函数关系式中自变量的最高次数给函数命名，为二次函数概念的形成作铺垫。
3.具备“通过观察、操作、分类讨论、探究、归纳等活动获得数学结论”的经验，有一定的抽象概括能力，为本节课的教学设计提供了前提条件。
4.对函数概念的学习有一些活动经验和基本方法，为类比迁移法的使用打下了基础。
（二）学生认知障碍分析
1.忽视图形语言的作用，解题思路狭窄化
教材上正方体的表面积问题，学生只凭公式直接得答案，根本不思考表面积的其它解法，对教材上正方体的展开图26.1-1熟视无睹，有的学生还认为展开图是多余的。针对展开图问题，教师可引导学生构建面积问题的解法及思路：立体图形平面化，平面图形规则化，规则图形公式化。即立体图形，转化为平面图问题解决；平面规则图形，套公式直接求面积；平面不规则图形，割补为规则图形，采取面积和差法求解。从这个角度讲，教材上的展开图并不是多余的，是编者给师生留下的发散思维空间。
2.不懂符号语言的意义，列错函数关系式
教材上n 边形的对角线问题，学生已经知道从一个顶点可以作n-3条对角线，据此推理：n 个顶点就可以作n(n-3)条对角线，于是列出函数关系式d = n(n-3)。有的学生还得意忘形地说：“老师，教材上的答案()132
d n n =-是错误的。”作为老师，必须对学生的认知错误当面纠正，帮助他们找到出错的原因：对符号语言()132
d n n =-中1
2的实际意义不清楚。为此，教师可以采取一般问题特殊化的方法进行诱导。学生动手操作，画一画四边形、五边形和六边形对角线的总条数，从做中领悟12
的实际意义——所有顶点作出的对角线重复了一次。所以学生的答案是错误的。同时，又教会学生检验函数关系式正误的方法：只要能指明符号语言的实际意义，就可以判断函数关系式的对错问题。
3.讨论二次函数关系式y=ax 2+bx+c 中a 、b 、c 的取值范围时，由于已有知识经验产生的负迁移，学生对自变量的系数b ≠0不理解。教师可以用二次函数概念的方法给学生释疑。
基于上述分析，本节课的教学难点为：对实际问题，列二次函数关系式。教学疑点为：二次函数关系式y=ax 2+bx+c 中一次项系数b 的取值范围。
四.教学过程设计
（一）教学流程和教学流程解析
1.教学流程框图
2. 教学流程解析
二次函数第一课时的教学流程设计，以建模思想为核心理念，问题为载体，学生为主体。通过在教学过程中，预设观察、猜想、探究、讨论、类比、归纳等活动，让学生在实际问题的基础上主动建构二次函数模型，同时，用这个模型解决实际问题，全面达成教学目标。
（二）教学过程设计
1. 创设情景，猜想函数关系，引入新课
问题情景：节日的喷泉给人们带来喜庆，夏日的喷泉给人们带来凉爽。你是否注意到喷泉水流所经过的路线？
学生活动：学生联想不同季节、不同地方见过的喷泉及水流经过的路线，产生曲线的印象。
设计意图：让学生从喷泉中抽象出数学曲线模型。
追问1：你是否能列举与水流经过的路线相似的生活情景？
预设情景：篮球入篮的路线、竹稍曲线和饰品曲线等
竹稍曲线饰品曲线
师生活动：教师把竹稍图和饰品画投影到大屏幕上，让学生在轻音乐的伴奏下尽情地欣赏和观察。
设计意图：欣赏生活美景，培养学生数学思考意识，强化曲线模型。
追问2：直线可以用一次函数来表示，双曲线可以用反比例函数来表示，上述情景中的曲线，是否可以用一种函数来表示？带着疑问，进入本章学习，期待上述问题解决。
设计意图：借助学生感兴趣的情景提出问题，吸引注意力，激发求知欲。
2. 实际问题，列出函数关系式，探究新知
问题1：已知正方体粉笔盒的棱长x，粉笔盒的表面积为y，探讨y与x有什么关系？
问题2：多边形的对角线数d与边数n有什么关系？[1]
问题3：某工厂一种产品的年产量是20件，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？[2]
学生活动：学生自主学习教材第4-5页，发现书中显性问题，找出隐含问题，提出新问题，并尝试解决，记录解决问题的方案。然后，以小组为单位进行合作探究，讨论上述问题的解决方案，并进行组际交流，确定疑难点。
师生活动：教师或者学生充当能者，对小组共同筛选出的问题、重难点进行部分教学，对关键点进行点睛引导，师生互动，思维接龙，旨在突破难点。
预案：对问题1而言，如果学生不看展开图，直接说出答案，教师可追问：教材上展开图对求面积有什么作用？提醒学生思考展开图问题。如果学生看了展开图，却不知道它有何用？教师可追问：同学们，说一说符号语言y=6x2中6的实际意义。请以小组为单位进行讨论。同时，对学生讨论的结果作鼓励性评价。如学生的答案是 y=4x?x+x2+x2时，老师务必当众大力表扬：你的答案非常有创意，观察图很仔细，能够灵活利用书上的展开图求解，打破了思维定势，而且对过去学过的基础知识、方法、思想、基本活动经验进行了整合，变成了自己解决问题的锋利武器，你太有才了！同学们，这个同学就是我们学习的榜样，他今后很可能成为一位伟大的发明家。
对问题2而言，如果学生不能正确得到结论，教师用作图法引导：从一个顶点可以作多少条对角线？n个顶点呢？从所有顶点作出的对角线是否有重复的？如果学生能得出正确结论，
教师也可追问：同学们，说一说符号语言()132d n n =-中12
的实际意义。请同学们先作图，再回答。同时，对他们的解题思路作点评，鼓励他们用不同方法发现规律，树立学习自信心。
设计意图：以粉笔盒为教具，通过对粉笔盒面积求法的探究，不但能给学生提供展示平台，体验成功的机会，对学习产生自信，而且可以培养他们一题多解能力，筛选通法通解的意识。此外，对简单的实际问题，列出二次函数关系式，既巩固了方程法求函数关系式的思想，又为二次函数概念的形成提供感性素材。
3. 观察式子，形成二次函数概念
问题4：观察: ① y = 6x 2
； ② 213-22
d n n =； ③ y = 20x 2+40x+20. 想一想函数①②③有什么共同点？
师生活动：针对问题4，教师追问：同学们，函数关系式①、②、③究竟表示的是哪种函数？能否给这种函数取个名字？学生仔细观察，讨论函数的共同点，由此给函数取名。当学生取名困难时，老师可以从方法的角度进行诱导：根据函数表达式与自变量的关系，类比一次函数的命名，让学生对函数y=ax 2
+bx+c 进行命名，引出二次函数概念。
设计意图：启发学生观察，思考，归纳三个函数关系式的共同点，通过类比方法，得出二次函数的概念，培养学生类比迁移、归纳推理能力。
4. 合作学习，理解二次函数概念
问题5：探讨二次函数y=ax 2+bx+c 自变量x 的取值范围及a 、b 、c 的取值问题。
师生活动：学生围绕问题5进行小组讨论，并把讨论结果进行组际交流，确定疑难点。教师对疑难点进行点拨。例如概念中 “形如”二字，说明由形来定义函数名称。二次函数即y 是关于x 的二次式，而且该二次式一定是整式。又如二次函数中b 、c 的取值范围，教师可用分类讨论的方法进行点拨，得到二次函数三种特殊形式：(1) y=ax 2；(2) y=ax 2＋c ；(3) y=ax 2＋bx.
设计意图:深入理解二次函数的概念，掌握二次函数的特征，为进一步学习二次函数图像打下坚实的基础
练习：判断下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a 、b ．
(1) s=10πr2； (2) y=22+2x； (3) y=ax 2+bx+c.
师生活动：学生根据二次函数的概念进行判断。教师在教室里来回走动，巡视学生们的练习情况，并根据学生的反馈信息，作简要点评。
设计意图：对二次函数概念进行深入理解。
5. 练习编题，运用二次函数概念
学生活动：根据生活实例，编一道含有二次函数关系式的应用题，并在课堂上展示交流。 设计意图：让学生体会生活问题与二次函数之间的密切关系，同时，培养学生命题能力，深化对二次函数模型的认识。
6. 课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么疑惑与师生交流。
师生活动：学生先小结，教师对学生的总结作点评和补充。
设计意图：让学生对本节课的知识、方法和数学思想进行梳理，培养他们整合知识能力和自我建构知识体系的习惯。同时，教师还可以知道学生不懂的知识，便于在今后的教学中及时弥补。
7. 布置作业
必做题：教科书习题26.1第1,2题，复习题26第1,2题；
选作题：已知函数 是二次函数，求m 的值。 72)3(--=m x m y
设计意图:作业分必做和选做，体现新课标的分层教学思想、做中学的理念。
8. 板书设计
26.1二次函数（第1课时）
一. 二次函数概念的形成
① y = 6x 2
； ② 213-22
d n n =； ③ y = 20x 2+40x+20. 二. 二次函数概念的理解
1. 二次函数的一般式：y=ax 2
+bx+c(a 、b 、c 为常数，且a ≠0) 2. 二次函数三种特例：(1) y=ax 2；(2) y=ax 2＋c ；(3) y=ax 2
＋bx.
三. 二次函数概念的运用
设计意图：通过板书，展示教学环节，让学生感知本节内容，理解知识。
五.目标检测设计
1.判断下列函数是否为二次函数？请说明理由。
(1) s=3-2t2； ()242m n n =-； (3) y=ax 2+1.
2.已知函数()22x -5y a =+是关于x 的二次函数，则a 的取值范围是 .
设计意图:主要考查学生对二次函数概念的掌握。
3.篱笆墙长30m ，靠墙围成一个矩形花坛，写出花坛面积y(m 2)与长x 之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
设计意图：本题主要考查学生对实际问题列二次函数关系式的能力。
参考文献：
[1] 义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级下册第4页，人民教育出版社，2006年
6月第1版.
[2] 义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级下册第5页，人民教育出版社，2006年
6月第1版.
苏教版九年级下册6.1二次函数教案
6.1 二次函数 一.学习目标 1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。 2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。 二.知识导学 （一）情景导学 1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函 数关系式是 。 2．用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,怎样围可使小兔的活动范围较大? 设长方形的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么变量y 与x 之间的函数关系式为 . 3．要给边长为x 米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢 脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y 为多少元？ 在这个问题中，地板的费用与 有关，为 元,踢脚线的费用与 有关，为 元；其他费用固定不变为 元，所以总费用y （元）与x （m ） 之间的函数关系式是 。 （二）归纳提高。 上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不 同？ 。 一般地，我们称 表示的函数为二次函数。其中 是自变量， 函数。 一般地，二次函数c bx ax y ++=2中自变量x 的取值范围是 ，你能 说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？ （三）典例分析 例1、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c 的值. (1) y ＝1— 23x (2)y ＝x(x －5) (3)y ＝ x 21－23x ＋1 (4) y ＝3x(2－x)＋ 3x 2 (5)y ＝ 12312++x x (6) y ＝652++x x (7)y ＝ x 4＋2x 2－1 (8)y ＝ax 2＋bx ＋c 例2．当k 为何值时，函数1)1(2+-=+k k x k y 为二次函数？ 例3．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． ⑴正方体的表面积S （cm 2）与棱长a （cm ）之间的函数关系； ⑵圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系； ⑶某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所
二次函数教学设计方案(共5讲)
二次函数教学设计方案 单元知识集锦： 教学重点：二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题． 教学难点：二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题． 第一讲 二次函数的概念 一般地，形如_______________的函数，叫做二次函数.图像是__________. 例:下列各式中,y 是x 的二次函数的是（ ） A.3 230x y --= B.2 (2)(2)(5)y x x x =+--- C.21 y x x = + D.2(1)210x y --+= 练习：若232 (3)1k k y k x kx -+=-++的图象是抛物线，则k= 注意：
2y ax =的图像和性质 （1）顶点坐标___________ 对称轴___________. （2）开口方向由_________决定. __0__0 a a （3）增减性: 如果a ＞0. 00x x >< 如果a ＜0. 00 x x >< （4）开口大小由________决定. _______越大开口越________. 例1 若抛物线2 10 (3)m y m x -=+的开口向下，则m 为_______. 例2 已知直线y ax b =+经过二、三、四象限，则抛物线2 y abx =（ ） A.开口向上，有最低点 B. 开口向下，有最高点 C.开口向下，有最低点 D. 开口向上，有最高点 练习：已知函数2 5y x =-+，当x 取1x ，2x 12()x x ≠，函数值相等，则当x 取12x x +时， 函数值为_______. 2y ax c =+的图像和性质 （1）顶点坐标___________ 对称轴___________. （2）开口方向由_________决定. __0__0 a a （3）增减性: 如果a ＞0. 00x x >< 如果a ＜0. 00 x x >< （4）开口大小由________决定. _______越大开口越________. 例1 在抛物线2 132 y x =- -的对称轴左侧（ ） A.y 随x 的增大而增大 B. y 随x 的增大而减小
二次函数教案设计(全)
课题：1.1二次函数 教学目标： 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式 教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学设计： 一、创设情境，导入新课 问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题） 二、 合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： （1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2) （一）教师组织合作学习活动： 1、先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。 2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。 x
22.2 二次函数与一元二次方程 两课时 优秀教案
22.2 二次函数与一元二次方程 第1课时二次函数与一元二次方程文档设计者： 设计时间：文档类型： 文库精品文档，欢迎下载使用。Word精品文档，可以编辑修改，放心下载 教学目标 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系. 2.经历用图像法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验与方法. 3.理解二次函数的图象和与横轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解方程何时有两个不等实根、两个相等实根和没有实根. 4.进一步发展学生的估算能力,体会数形结合思想. 教学重难点 理解一元二次方程与函数的关系. 教学过程与方法 1.自主阅读课本(10分钟) 2.交流互动(10分钟) 知识点一:二次函数与一元二次方程之间的关系 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位 置关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根 的情况b 2-4ac的值 有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac>0 只有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0无公共点无实数根b2-4ac<0 知识点三:求方程的近似解 3.课堂练习(11分钟) 习题22.2第2题(1)、(2). 4.拓展性练习(11分钟) (1)已知二次函数y=-x2+4x+k的部分图象如图所示,则关于x的方程-x2+4x+k=0的两根为x1=-1,x2=5 .
(2)抛物线y=-x2+2kx+2与x轴交点的个数为( C ) A.0 B.1 C.2 D.以上都不对 (3)下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据,x1是方程ax2+bx+c=0的一个解,则下列 x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y-0.80-0.54-0.200.220.72 A.1.6 滨泉中学教学设计 课题22.1 二次函数（1）课时 1 设计教师李春丽备课组长 学科书写授课班级9.2 课型新授课审核领导 三维目标知识与技能 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值 范围。 过程与方法通过实际问题的探究，认识二次函数，认识二次项、一次项、常数项。 情感态度与价 值观 注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 教学 重点 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围 教学 难点 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围 教学 方法 自主学习辅导法 教学 资源 多媒体课件 教学 流程 教师活动学生活动设计意图 情境导入 一、试一试 1、设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为 xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长， 进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下 表的空格中， AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC长(m) 12 面积y(m2) 48 2、x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3、我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积 (y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数 的关系式， 可让学生根据表中给出 的AB的长，填出相应的 BC的长和面积，然后引 导学生观察表格中数据 的变化情况，提出问题： (1)从所填表格中，你能 发现什么？(2)对前面提 出的问题的解答能作出 什么猜想?让学生思考、 交流、发表意见，达成共 识。 可让学生分组讨论、交 流，然后各组派代表发表 意见。形成共识，x的值 不可以任意取，有限定范 围，其范围是0 ＜x ＜ 10。 实际问题导入， 体现新知识的产生 源于生活实际的需 要。 22.1.1 二次函数 一、教学目标 1.结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 二、课时安排 1课时 三、教学重点 体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念. 四、教学难点 能够表示简单变量之间的二次函数关系. 五、教学过程 （一）导入新课 情景问题：正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y.显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为 y=6x2. （1） （二）讲授新课 问题1：n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ 分析：每个队要与其他（n-1）支球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比 赛，所以比赛的场次数是1 (1) 2 n n-（2） 问题2：某种产品现在的年常量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 分析：这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是20(1+x) t，再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x) t，即两年后的产量 22 20(1)204020 y x x x =+=++（3） 活动2：探究归纳 函数（1）（2）（3）有什么共同点？ 明确：一般地，形如y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数. （三）重难点精讲 例1 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m 2)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？ 2(602)30.2 a S a a a -=? =-+ 例2 （1）m 取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m 取什么值时，此函数是二次函数？ 解：由（1）可知, 271, 30,m m ?-=?+≠? 解得：=m ± 由（2）可知，272,30,m m ?-=?+≠? 解得m=3 归纳：本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题紧扣概念的特征进行解题.尤其第2问要保证二次项系数m+3≠0. 例3 下列函数中，（x 是自变量），哪些是二次函数？为什么？ ① y=ax 2+bx+c ② s=3-2t 2 ③y=x 2 ④21y x = ⑤y=x 2+x 3+25 ⑥ y=(x +3)2-x 2 明确：②③ ①不一定是，缺少a ≠0的条件；④不是，右边是分式；⑤不是，x 的最高次数是3；⑥可以化成y=6x+9。 （四）归纳小结 小结：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax 2+bx+c(a ≠0)外，还有其特殊形式如y=ax 2,y=ax 2+bx,y=ax 2 +c 等. （五）随堂检测 1、把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项系数为______，常数项为 . 2.函数 y=(m-n)x 2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m,n 是常数,且m ≠0 B . m,n 是常数,且n ≠0 C. m,n 是常数,且m ≠n D . m,n 为任何实数 课题：一元二次函数、方程和不等式（衔接课） 一、教学设计 1.教学内容解析 在现行人民教育出版社A版高中数学教材中，“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节，学生高二时才学习，导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时，有一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到《必修1》之前，或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函数”之前比较好. 本节课的产生正是基于以上原因，但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课，也不是一节复习课，而是一节衔接课，以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 三个“二次”是初中三个“一次”（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如，解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题，导数中导函数为二次函数时的许多问题等，同时，此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材，本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面. 根据以上分析，本节课的教学重点确定为 教学重点：一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用. 2.学生学情诊断 本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生，华中师大一附中是湖北省示范高中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律. 教学难点：含参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式. 3.教学目标设置 (1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系； (2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性； (3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养. 4.教学策略分析 本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”，有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆 个性化教学辅导 设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2 的两个实数根. （5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由 方程组 c bx ax y n kx y ++=+=2 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交 点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交点. （6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴两交点为 ()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 a c x x a b x x = ?-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?=-=-?? ? ??-=--= -= -=44422 212 212 2121 课 后 作 业 １.抛物线y ＝x 2 ＋2x －2的顶点坐标是 （ ） A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3） ２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0 C A E F B D 第２,３题图 第4题图 ３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 《二次函数复习》教学案 班级：初三18班年级：九设计者：李玲时间：2015年10月16日 关基础知识．同学们之间可以相互补充，体现团结协作精神．同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性． 基础知识之基础演练 二次函数是生活中最常见的一类函数，它有着自己固有的性质，反映的是轴对称性和增减性； 我们要突出反映二次函数的轴对称性、顶点坐标，我们就可以把一般式改写成顶点式；如果想知道抛物线与x轴两个交点的情况，我们可以把一般式写出交点式； 刚刚我们回顾了二次函数的性质，我们发现二次函数的图像能够直观地反映函数的特性，而数又能细致刻画函数图像的大小和位置，下面就让我们遵循着数形结合的线索，继续对二次函数进行深入的研究。 难点突破之思维激活1、如果把抛物线绕 ()4 12+ + - =x y顶点旋转 180°，则该抛物线对应的解析式是 . 若把新抛物线再向右平移2个单位，向下平 移3个单位，则得到的抛物线对应的解析式 是 . 抛物线的平移——点的平移 难点突破之聚焦中考2、问题①，结合图像思考： 方程 ()1 4 12= + + -x 有几个实数解？ 问题②，结合图像思考： 当m为何值时，方程 ()m x= + + -4 12 1）有两个不相等的实数根； 2）有两个相等的实数根； 3）没有实数根？ 问题③ 其实方程、不等式本身就 有一个代数的解法，我们现在 也用图像解法 我们通过三个题目把这 个知识的层次性展示出来，方 程、不等式都可以转化成函数 的图像来解 若直线 m kx y +=1与抛物线 c bx ax y ++=22交于A （1,0） 、B （-1，4） 两点，观察图像填空： 1）方 程 m kx c bx ax +=++2的解 为 ； 2）不等式 m kx c bx ax +>++2的解 为 ； 3）不等式 m kx c bx ax +<++2的解 为 ； 反思与 提高 1、本节课你印象最深的是什么？ 2、通过本节课的函数学习，你认为自己 还有哪些地方是需要提高的？ 3、在下面的函数学习中，我们还需要注意 哪些问题？ 教者归纳本章知识网络图示 让学生自己总结一节课的得失，教者进行适当的点评．真正体现出学生是学习的主体．为今后自主学习奠定基础，由此达到数学教学的新境界——提升思维品质，形成数学素养． 2.5.1二次函数与一元二次方程教学设计 教学目标： 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系，理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根. 2.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神，通 过观察二次函数与x轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想.通过学生共同观察和讨论，培养合作交流意识 3.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受 数学的严谨性以及数学结论的确定性，具有初步的创新精神和实践能力 教学重点： 理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根；理解一元二次方程的根就 是二次函数与y二h交点的横坐标. 教学难点： 探索方程与函数之间的联系的过程；理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根 的个数之间的关系. 教法与学法指导： 在教学中，为了更好地体现在课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，在本节课的教学过程中，我将紧紧围绕教师组织一一启发引导，学生探究一一交流发现，组织开展教学活动 教学准备：多媒体课件 教学过程： 一、设问题情境，弓I入新课 【师】我们已学过一元一次方程kx ? b = 0（k = 0）和一次函数y二kx ? b（ k = 0）的关系， 你还记得吗？处理方式：学生交流后回答. 【师】现在我们学习了一元二次方程ax+ bx （0（a0和二次函数 2 y=ax + b x（ c 0 ）它们之间是否也存在一定的关系呢？（学生可进行猜测）今天这 节课我们就来探索他们之间的关系?（教师板书课题） 设计意图：这一环节主要是激发学生的求知欲望，使学生通过解决问题，让学生有种成就 感.同时也可使学生养成一个主动思考和善于思考的学习习惯 二、活动探究 探究一：二次函数与一元二次方程的内在联系 （多媒体展示） 1.以具体实践案例为基础，理解二次函数的深刻内涵及有关概念，感受现实问题中两个变 2.体会数量关系变化的过程，学会使用“二次函数”这一数学模型； 3. 使学生能够正确建立直角坐标系，从而应用二次函数的图象和性质解决实际问题； 4. 培养学生数学建模能力（包括理解实际问题的能力，抽象分析问题的能力，运用数学知识的能力和通过实际加以检验的能力，体会数学知识的现实意义，激发学生学习数学的热情； 教学重点及难点： ㈠教学重点： 1、将生活中的实际问题转化为数学问题。 2、将实际问题中的数量关系，归结二次函数变量之间的关系，从而利用二次函数知识解 决实际问题。 ㈡教学难点： 1、将实际问题转化为数学问题。 解：如图，建立平面直角坐标系，点（4，4）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数为：2 (4)4y a x =-+, (08)x ≤≤ 209 抛物线经过点（0，） 220(04)49 a ∴=-+ 19 a ∴=- 21(4)49 y x ∴=--+ 208y 9 x ==当时， ∵篮圈中心距离地面3米,20y 39 =< ∴此球不能投中 问题;若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中? 预设:（1）跳得高一点 （2） 向前平移一点 【设计意图】通过这一问题，让学生思考角度和力度都不变,，与哪些数学知识点有关，体会实际问题中的语言，与数学知识点的转化，进而体会抛物线上下、左右的平移应用。 (1)在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈? (2)在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮圈？ 三、学以致用，巩固提高 练习： 一场足球比赛中, 一球员从球门正前方17m 处将球踢起正射向球门, 球飞行路线为抛物线, 当球飞行水平距离为1 0m时，球到达最高点，此时球高4米。在球门正前方1m 处只有一名身高1.85m的后卫, 他的最大弹跳高度为o.8m，若此时该后卫起跳及时，他能否拦住球? 为什么? 若没有这名后卫, 球能否射进球门(在不考虑守门员等情况下) ? ( 球门高:2.44m)二次函数教学设计
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