2-提公因式法
〖进门测〗
1、下列从左到右的变形，属于因式分解的有（ ）
（1）2(1)(2)2x x x x +-=-- （2）()ax ay a a x y a --=-- （3）2323623x y x y =? （4）24(2)(2)x x x -=+- （5）3229633(32)a a a a a a -+=-
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个 2、下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A.()33535x y x y +-=+-
B.()()2111x x x +-=-
C.()
2
2211x x x ++=+
D.()2x x y x xy
-=-
3、选择：若二次三项式2
1x ax +-可分解为(2)()x x b -+,则a b +的值为（ ） A.1- B.1 C.2- D.2
4、下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？ （1）a （x + y ）= ax + a y ； （2）10x 2 - 5x = 5x （2x - 1）； （3）y 2 - 4y + 4 =（y - 2）2； （4）t 2 - 16 + 3t =（t + 4）（t - 4）+ 3t.
5、利用因式分解说明：514 - 512 能被 120 整除.
数学学科教师讲义教务主任签字：签字日期：
要点二、提取公因式
1、把多项式
分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是
，即
，而
正好是
除以m 所得的商，这种因式
分解的方法叫提公因式法．
2、提公因式法的一般步骤 （1）确定多项式的公因式
（2）提取这个公因式，并把原多项式提取后公因式所得的商作为另一个因式。 （3）把多项式写成这两个因式的乘积的形式。 例题二：利用提公因式法因式分解 1、把下列各式因式分解：
（1）12a+6b-18c （2）6x 3y 2+12x 2y 3-6x 2y 2 （3）9m 2n+27mn 2-18mn
随堂练习1：
（1）49a 2bc-14ab 2
c+7ab （2）2
363x xy -+ （3）324168mn m m --
要点三、提取公因式负号
在提取公因式时，若首项系数为负数时，一般要先处理“-”号（提取“-”号），要注意此时括号内各项都要变号。
例题三：提取公因式负号 1、把下列各式因式分解：
（1）-12a+6b-18c （2）-6x 3y 2+12x 2y 3-6x 2y 2 （3）-9m 2n+27mn 2
-18mn
随堂练习3：
（1）-49a 2bc-14ab 2
c+7ab （2）-2
363x xy -+ （3）-324168mn m m --
要点四、提取多项式公因式
（1）括号前面添 ，括到括号里面的各项都 ；括号前面添 ，括到括号里面的各项都 。即a-b+c=+（a-b+c ），a-b+c=-（-a+b-c ）。
（2）当公因式是一个多项式时，应先变形确定公因式，再提出来，提公因式后，括号内的式子经整理后，若仍有公因式，则应继续提，直到多项式的每个因式都提完为止。
一、进门测答案
1、B
2、C
3、A
4、（2）（3）
5、能
一、出门测答案
1.D 2．－a（a－b）2 3.（a－b＋x－y）
4.（1）3（a－b）（5ax－5bx＋y）；（2）（a－3）（a－5）；（3）－5a（4＋3x）；（4）－2q（m＋n）
5.由4a2b＋4ab2－4a－4b＝4（a＋b）（ab－1）＝－16
三、作业答案
1.D
2.C
3.C
4.D
5.B
6.偶数奇数
7.6x n3x－4
8.（1）原式＝39×37-39×33＝39（37-27）＝390
（2）原式＝19.99（29+72+13-14）＝19.99×100＝1999
9.U=I(R1+R2+R3)=2.3(12.9+18.5+18.6)=2.3×50=115
2.2.1 提公因式法(一)
2.2.1 提公因式法（一） 第二课时●课题§2.2.1 提公因式法（一）●教学目标（一）教学知识点让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.（二）能力训练要求通过找公因式，培养学生的观察能力.（三）情感与价值观要求在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用.●教学重点能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.●教学难点让学生识别多项式的公因式.●教学方法独立思考——合作交流法.●教具准备投影片两张第一张（记作§2.2.1 A）第二张（记作§2.2.1 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课投影片（§2.2.1 A）一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为，，，宽都是,求这块场地的面积.解法一：S= × + × + × = + + =2解法二：S= × + × + × = （+ + ）= ×4=2［师］从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法.Ⅱ.新课讲解1.公因式与提公因式法分解因式的概念.［师］若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m（a+b+c），可以用等号来连接.ma+mb+mc=m（a+b+c）从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？［生］等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式（a+b+c）的乘积，从左边到右边是分解因式.［师］由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式.由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.2.例题讲解［例1］将下列各式分解因式：（1）3x+6;（2）7x2－21x;（3）8a3b2－12ab3c+abc（4）－24x3－12x2+28x.分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.［师］请大家互相交流.［生］解：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）;（2）7x2－21x=7x·x－7x·3=7x（x－3）;（3）8a3b2－12ab3c+abc=8a2b·ab－12b2c·ab+ab·c=ab （8a2b－12b2c+c）（4）－24x3－12x2+28x=－4x（6x2+3x－7）3.议一议［师］通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤.［生］首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4.其次找各项中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有ab,相同字母的指数取次数最低的.4.想一想［师］大家总结得非常棒.从例1中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？［生］提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式.Ⅲ.课堂练习（一）随堂练习1.写出下列多项式各项的公因式.（1）ma+mb （m）（2）4kx－8ky （4k）（3）5y3+20y2 （5y2）（4）a2b－2ab2+ab （ab）2.把下列各式分解因式（1）8x－72=8（x－9）（2）a2b－5ab=ab（a－5）（3）4m3－6m2=2m2（2m－3）（4）a2b－5ab+9b=b（a2－5a+9）（5）－a2+ab－ac=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c）（6）－2x3+4x2－2x=－（2x3－4x2+2x）=－2x（x2－2x+1）（二）补充练习投影片（§2.2.1 B）把3x2－6xy+x分解因式［生］解：3x2－6xy+x=x（3x－6y）［师］大家同意他的做法吗？［生］不同意.改正：3x2－6xy+x=x（3x－6y+1）［师］后面的解法是正确的，出现错误的原因是受到1作为项的系数通常可以省略的影响，而在本题中是作为单独一项，所以不能省略，如果省略就少了一项，当然不正确，所以多项式中某一项作为公因式被提取后，这项的位置上应是1，不能省略或漏掉.在分解因式时应如何减少上述错误呢？将x写成x·1,这样可知提
2.2 提公因式法(有答案)
2.2 提公因式法 A卷：基础题 一、选择题 1．下列各组代数式中，没有公因式的是（） A．5m（a－b）和b－a B．（a+b）2和－a－b C．mx+y和x+y D．－a2+ab和a2b－ab2 2．下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（） A．x2－y B．x2+2x C．x2+y2 D．x2－xy+y2 3．下列用提公因式法分解因式不正确的是（） A．12abc－9a2b2c=3abc（4－3ab） B．3x2y－3xy+6y=3y（x2－x+2y） C．－a2+ab－ac=－a（a－b+c） D．x2y+5xy+y=y（x2+5x+1） 4．（－2）2007+（－2）2008等于（） A．2 B．22007 C．－22007 D．－22008 5．把代数式xy2－9x分解因式，结果正确的是（） A．x（y2－9） B．x（y+3）2 C．x（y+3）（y－3） D．x（y+9）（y－9）二、填空题 6．9x2y－3xy2的公因式是______． 7．分解因式：－4a3+16a2b－26ab2=_______． 8．多项式18x n+1－24x n的公因式是______，提取公因式后，另一个因式是______． 9．a，b互为相反数，则a（x－2y）－b（2y－x）的值为________． 10．分解因式：a3－a=______． 三、解答题 11．某中学有三块草坪，第一块草坪的面积为（a+b）2m2，第二块草坪的面积为a（?a+b）m2，第三块草坪的面积为（a+b）bm2，求这三块草坪的总面积．
12．观察下列等式，你得出了什么结论？并说明你所得的结论是正确的．1×2+2=4=22； 2×3+3=9=32； 3×4+4=16=42； 4×5+5=25=52； … B卷：提高题 一、七彩题 1．（巧题妙解题）计算：1233695101571421 13539155152572135??+??+??+?? ??+??+??+?? . 2．（多题一思路路） （1）将m2（a－2）+m（2－a）分解因式，正确的是（） A．（a－2）（m2－m） B．m（a－2）（m+1） C．m（a－2）（m－1） D．m（2－a）（m－1）（2）若x+y=5，xy=10，则x2y+xy2=_______； （3）mn2（x－y）3+m2n（x－y）4分解因式后等于_______．
6.2 提取公因式法(2)
第⒍2节提取公因式法 【教学背景】 “提取公因式法”是“新浙江版七年级数学（下）”第六章第二节内容。本课安排在“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的链结开拓作用。提取公因式法是因式分解的基础，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解整式方程（如一元二次方程）打下结实的基础，从而也为学生的运算能力拓展了道路。（老教材本小节是分两个课时上的） 【教学内容分析】 “提取公因式法”是因式分解的最基本、最常用的方法。它的理论依据是逆用分配律，因此，学生接受起来并不难，但因题目各有其特点，形式变化多，所以需要学生具有观察、分析能力和应变能力，这就需要在教学中加以指导、训练。例题讲授及练习题的匹配都要由浅入深，形式多样化。利用这个方法，首先对要分解的多项式进行考察，发现特点及多项式各项之间的内在联系，适当变形。（可利用计算机辅助教学手段，增大教学的容量和教学质量，改变传统的言传身教的方式。）【教学目标】 认知目标： ⑴在具体情境中认识公因式 ⑵通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式 能力目标： ⑴树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想。 ⑵树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思想能力。 情感目标：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性。 【教学重点、难点】 1．教学重点∶掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则。 ⒉．教学难点∶正确地找出公因式 【教学方法】理论与实例相结合（采用设问式、启发式） 【教学工具】应用投影仪（计算机） 【教学过程】 ㈠创设情境，提出问题 如图8－1，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是3.8m,6.2m,宽都是3.7 m,如何计算这块菜园的面积呢？ 3.8 列式：3.7×3.8+3.7×6.2 (学生思考后列式) 3.7 有简便算法吗? =3.7×(3.8+6.2) 3.7 =3.7×10=37(m2)错误！不能识别的开关参 数。 6.2 图8-1 在这一过程中,把3.7换成m,3.8换成a,6.2换成b,于是有:
2.2 提公因式法(含答案)-
2．2提公因式法 一、选择题： 1．多项式－4a2b2+12a2b2－8a3b2c的公因式是（） A．－4a2b2c B．－a2b2 C．－4a2b2D．－4a3b2c 2．若多项式－6mn+18mnx+24mny的一个因式是－6mn,那么另一个因式是（） A．－1－3x－4y B．1－3x－4y C．－1－3x+4y D．1+3x－4y 3．分解－3a2bc2+12a3b2c2+9a2bc3的结果是（） A．－a2bc2(3－12ab－9c) B．a2bc2(－3+12ab+9c) C．－3(a2bc2－4a3b2c2－3a2bc3) D．－3a2bc2(1－4ab－3c) 4．下列提公因式法分解因式正确的是（） A．12abc－9a2b2=3abc(4－3ab) B．3x2y－3xy+6y=3y(x2－x+2y) C．－a2+ab－ac=－a(a－b+c) D．x2y+5xy－y=y(x2+5x) 5．下列多项式中的公因式与多项式8x3+24x2+4x的公因式相同的有（） ①8y3+24y2+4y；②32x3y+16xy2+28x3；③4x4－12x3+16x2+20x；④－8x3+4x2－24x A．1个B．2个C．3个D．4个 6．下列各组多项式中,提取公因式后的剩余因式相同的是( ) A．3m2n+6mn2与2m2n+4mn2+mn B．a3+a2+a与b3+b2+b C．6x3+4x2+2x与6x2y+4xy+2y D．a(m－n)3－b(n－m)3与a(m－n)3－b(m－n)3 二、填空题： 1.单项式4a3,8a2b2,－30a2bc的公因式是_________；单项式8x m y n－1与–4x m+1y n的公因式是_________。 2.在下列各式右边的括号前填写“+”号或“－”号，使等式成立： (1)（b－a）2=_________(a－b)2; (2)(x－y)3=________(y－x)3 (3)－a－b=___________(a+b); (4)(－x－y)2=________(x+y)2 3．－6m3n2+12m2n3－3m2n2的公因式是_________；5a(x－y)－10b(y－x)的公因式是________． 4．在下列括号内填写适当的多项式，使等式成立： （1）14abx－8ab2x=2abx( ); (2)－7ab－14abx+49aby=－7ab( ) 5．分解因式：3a(m+n)－6(m+n)=___________． 6．利用分解因式计算：（－2）2003+（－2）2004－22003=__________。 三、计算题： 1．分解因式：（1）－24x2－12xy+28x (2)9a4x2－18a3x3－36a2x4 2.分解因式：（1）2x(a－b)－5y(a－b) (2)7ab(m+n)+21bc(m+n)
北师大八年级下册数学2《提公因式法》
2 提公因式法 第1课时直接提公因式因式分解 总体说明: 本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历从乘法的分配律的逆运算到提取公因式的过程，让学生体会数学的主要思想——类比思想，运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．(1)学生的技能基础：在上一节课的基础上，学生基本上解了分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，能通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，这为今天的深入学习提供了必要的基础．（2）学生活动经验基础：学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验． 一、教学目标 1．学会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解． 2．通过与因数分解的类比，感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想．
3．通过对因式分解的教学，培养学生“换元”的意识． 二、教学重难点 1．教学重点：直接提公因式因式分解． 2．教学难点：正确找出多项式中各项的公因式． 三、教学过程 环节1自学提纲，生成问题 阅读教材P95～P96的内容，完成下面练习． 1．多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式． 2．如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法． 3．当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数．在提出“－”号时，多项式的各项要变号． 4．把多项式6a2b＋10ab2分解因式时，应提取的公因式是2ab. 环节2合作探究，解决问题 活动1小组讨论 例1多项式6ab2c－3a2bc＋18a2b2中各项的公因式是() A．abc B．3a2b2 C．3ab D．3a2b2c 互动探索：(引发学生思考)如何确定一个多项式各项的公因式？ 分析：多项式中各项的公因式为3ab.
2.2提公因式法(2)
?课题 §2.2 提公因式法(二) ?教学目标 (一)教学知识点进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法. (二)能力训练要求进一步培养学生的观察能力和类比推理能力. (三)情感与价值观要求通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点. ?教学重点能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式. ?教学难点准确找出公因式，并能正确进行分解因式. ?教学方法 类比学习法 ?教具准备 无 ?教学过程 I ?创设问题情境，引入新课 ［师］上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与 一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭 开这个谜. n ?新课讲解 一、例题讲解 ［例2］把a(x－3)+2b(x－3)分解因式. 分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即 a (x—3)与2b (x—3)，每项中都含 有(x—3)，因此可以把(x—3)作为公因式提出来. 解：a( x—3) +2b( x—3) =( x—3)( a+2b) ［师］从分解因式的结果来看，是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢？［生］不是，是两个多项式的乘积. ［例3］把下列各式分解因式: ( 1) a( x—y) +b( y—x) ; ( 2) 6( m—n) 3—12( n—m) 2. 分析：虽然a (x—y)与b (y —x)看上去没有公因式，但仔细观察可以看出( x — y)
与（y — x ）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“― －x=－（ x － y ） .（ m －n ） 3与（ n －m ） 2 也是如此 . 解：（ 1） a （ x — y ） +b （ y — x ） =a （ x — y ）— b （ x — y ） =（ x — y ）（ a — b ） 32 （ 2） 6（ m — n ） 3— 12 （ n — m ） 2 二、做一做 5）— m — n=—（ m+n ） 2 2 2 2 6）— s 2+t 2= —（ s 2— t 2 ） 川?课堂练习 把下列各式分解因式： 解：（ 1） x （ a+b ） +y （ a+b ） =（ a+b ）（ x+y ） ; （ 2） 3a （ x — y ）—（ x — y ） =（ x — y ）（ 3a — 1） ; （ 3） 6（ p+q ） 2— 12（ q+p ） 2 =6（ p+q ） 2— 12 （ p+q ） =6（ p+q ）（ p+q — 2） ; （ 4） a （ m — 2） +b （ 2— m ） =a （ m — 2）— b （ m — 2） =6 （ m — n ） 3— 12[—（ m — n ）] =6 （ m — n ） 3— 12（ m — n ） 2 =6 （ m — n ） 2（ m — n — 2） . （ 1） 2— a= ______ （ a — 2 ） ; （ 2） y — x= ______ （ x — y ） ; （ 3） b+a= _______ （ a+b ） ; （ 4） （ b — a ） 2=__ ____ （ a — b ） （ 5） — m — n= __ ___ — （ m+n ） （ 6） 22 — s +t = _____ __ （ s 2— t 2） ? 解：（ 1） 2— a= —（ a — 2） ; （ 2） y — x=—（ x — y ） J （ 3） b+a=+ （ a+b ） J （ 4） （ b — a ） 2=+ （ a — b ） 2; 请在下列各式等号右边的括号前填入 ? 号，则可以出现公因式，如 +”或“— 号，使等式成立
《提公因式法(2)》教学设计
第四章因式分解 2．提公因式法（二） 教学目标 知识与技能： （1）使学生经历从简单到复杂的螺旋式上升的认识过程． （2）会用提取公因式法进行因式分解． 数学能力： （1）培养学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力．（2）从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式，进一步发展学生的类比思想． 情感与态度： 通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点． 教学重点 能观察出公因式是多项式的情况，并能合理的进行分解因式。 教学难点 准确找出公因式，并能正确进行分解因式。 教学方法 类比学习法 教学过程 本节课设计了七个教学环节：练一练——想一想——做一做——试一 试——议一议——反馈练习——学生反思． 一．板书课题，揭示目标 二．合作交流 第一环节练一练 活动内容：把下列各式因式分解： （1）am+an （2）a2b–5ab （3）m2n+mn2–mn （4）–2x2y+4xy2–2xy 注意事项：切忌采用死记硬背的方法让学生背诵提取公因式的基本方法与步骤，
最好用例题的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤，让学生真正理解是第一位的． 第二环节想一想 活动内容：因式分解：a（x–3）+2b（x–3） 活动目的：引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取的多项式公因式． 由于题中很显明地表明，多项式中的两项都存在着（x–3），通过观察，学生较容易找到公因式是（x–3），并能顺利地进行因式分解． 第三环节做一做 活动内容：在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：（1）2–a= （a–2） （2）y–x= （x–y） （3）b+a= （a+b） （4）（b–a）2= （a–b）2 （5）–m–n= （m+n） （6）–s2+t2= （s2–t2） 活动目的：培养学生的观察能力，为解决学生在因式分解中感到比较棘手的符号问题提供知识准备． 注意事项： （1）首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系； （2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”；（3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添上“–”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”． 第四环节试一试 活动内容： 将下列各式因式分解： （1）a（x–y）+b（y–x）（2）3（m–n）3–6（n–m）2
提公因式法(2)
东固民族中学八下数学导学案001 班级小组姓名 主备：审核：审批：辅导时间20 年月日课题：提公因式法（2） 学习目标1.根据题目的特点将多项式中的多项式公因式提出来 2.能准确找出公因式，并正确地进行因式分解 3.经历探索多项式各项公因式的过程，加强自己的直觉思维和整体思想 学习重、难点：会用提公因式法把多项式分解因式 导学流程 导学内容与方法时 间学习要求问题预见 预习导学 忆一忆1公因式的定义是什么，请你举例说明 2 公因式只能是单项式吗，可以是多项式吗，请你举例说明 知识点一公因式为多项式的分解因式 填一填我们现在思考并写出下列多项式中各项的公因式 （１）２（x+y）2+6(x+y)3 （２）A(x-5)+2b(x-5) （３）6(m-n)3-12(n-m)2 （４）9(p+q)2-12(q+p) 学一学1请同学们完成教材P50做一做 2 要将式子变成相等的形式时，如何变化等号右边各项的符号，其实质是什么 3 尝试利用上面的结论完成教材的例2，3，结合你的解答，请你思考 （1）例2中的公因式是——，可以把——作为一个整体当作公因式提出来 （2）例3第1题中虽然a(x-y)与b(y-x)看上去没有公因式，但仔细观察可以看出(x-y)与(y-x)——，如果把其中一个提取一个“-”号，则。因此公因式是——。同样，例题3第2题中(m-n)3=___(n-m)3,(m-n)2=___(n-m)2 (3)例3第2题你还有别的分解因式的方法吗 试一试完杨教材P51随堂练习中的2。3。5 互动探究一将3a(x-y)-b(x-y)用提公因式法分解因式，应提出的公因式是（） A3a-b B 3(x-y) C x-y D 3a+b 互动探究二下列提公因式分解因式中，正确的是（） A3(x-2)-2x(x-2)=(x-2)(3+2x) B 3(x-2)-2x(2-x)=(x-2)(3-2x) C B 3(x-2)-2x(2-x)=(x-2)(3+2x) D 3(x-2)-2x(2-x)=x(x-2) 互动探究三分解因式a(a-b)3+2a2(b-a)2-2ab(b-a) 方法归纳交流当为自然数时，两数差的偶次幂——，如(a-b)2n___(b-a)2n两数差的奇次幂互为——，(a-b)2n-1___(b-a)2n-1 互动探究四先分解因式，再计算求值9x2(a-2b)+6(2b-a),其中a=1,b=-1,x=0 互动探究五不解方程组2x+y=3，5x-3y=-2，求代数式（2x+y）（2x-3y）+3x（2x+y）的值 互动探究六在学习了提公因式分解因式后，老师给大家出了如下的题目。解方程（12x+6）（23x-18）+6（1+2x）（13-23x）=0，你会解这个方程吗，请尽量用多种方法解答。2 15 20 7 检查独学 情况，避免 假学、假合 作，关注精 力度，对预 习成果评 估。 展示时关 注学生的 胆识，语言 表达，动作 表情，声 音，团队协 作。非展示 组的精力 集中度和 聆听纪律。 行动听指 挥，步调一 致。
提公因式法(2)
提公因式法（2） 学习目标： 1、进一步孰悉找公因式. 2、进一步巩固提公因式法分解因式. 学习过程： 一、快乐自学（自信使人成功） 根据学习目标，自学教材P8“说一说”- P10内容，并完成下列问题： 1、提公因式法分解因式的关键是: 确定公因式. 确定多项式公因式的步骤是: ①公因式的系数取各项系数的____公约数；②字母(或式子)取各项____的字母(或式子),而且各字母(或式子)的指数取最__的；③先定系数再定字母和指数. 另还需注意: 首项符号和等号变形及整体项是公因式的等. 2、由例5和例6可归纳以下恒等变形, 经常在提取公因式时用到: ① a+b=b+a ② a-b=-(b-a) ③ ()2a b -=()2b a - ④ ()()33a b b a --=- 即当n 为偶数时 ()n b a -=_________; 当n 为奇数时()n b a -=________ 3、下面各组多项式有公因式吗？如果有怎样分解因式呢？ ① a (x-2)+b (2-x) ② a ()2a b -+b () 2b a - ③ a ()3a b --b ()3 b a - 4、⑴22()()x x y a y x ---的公因式是________________ ⑵把多项式(a+b-c) (a-b+c)-(b+c-a) (c-a-b)分解因式 ⑶、已知x,y 都是正整数，且x (x-y)- y(y-x)=12,求x 和y 二 、合作探究（团结就是力量） 三、拓展延伸（勇攀知识高峰） 1、725-125能被120整除吗? 2、解方程：2x(3x -1)+( 2x -2 )(1-3x )=28
提公因式法(2)
课时课题：第二章 第二节 提公因式法(2) 授课教师：枣庄市第二十四中学 杨彬 课 型： 新授课 授课时间：2014年4月24日 第1节 教学目标： 1.进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法. 2.进一步培养学生的观察能力和类比推理能力. 3.通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点. 教学重点:能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式. 教学难点:准确找出公因式，并能正确进行分解因式. 关键:准确确定多项式的公因式. 教法与学法指导： ★教法：启发诱导式教学.本节课是在学生已经掌握了公因式为单项式的提公因式法分解因式的基础上，对公因式为项多式的提公因式法分解因式的方法的探索．在教学过程中，通过创设丰富的问题情境，激发学生的学习兴趣，并注意通过有层次的问题串的精心设计，引导学生进行探究活动．在师生互动、生生互动的探究活动中，提高学生解决问题的能力． ★学法：合作探究的学习方式.让学生充分进行交流讨论在活动中体会 类似()()a c d b c d +++的形式和类似()()a c d b d c -+-的形式的因式分解的方法.从而激发学生的思维，培养学生的观察能力和类比推理能力. 课前准备： 教师：多媒体课件. 学生:复习上节内容,预习本节内容. 教学过程： 一、创设情境，导入新课 【师】：上节课我们学习了公因式是单项式形式的分解因式，主要要求同学们牢记“四看” “两步 ”，下面请同学们简单地回顾一下： 【想一想】确定公因式有哪“四看”？ 提公因式法分解因式有哪“两步”？ 【生1】 系数：提取各项系数的最大公约数(系数为整数); 确定公因式的“四看二看字母：提取各项都含有的字母; 三看指数：各字母的指数取次数最低的; 四看首项符号:若多项式首项系数为负数,则公因式符号 取负号. 【生2】第一步，找出公因式； 提公因式法分解因式的“两步第二步，提公因式,(即用多项式除以公因式). 【师】理论是要联系实际的，你能快速的完成下列题目吗？ 【做一做】把下列各式分解因式: ⑴ 2am bm + ⑵ 32339x x x -- ⑶ 323812a b ab c ab -+ ⑷332462a b a b ab -+- 请同学们独立完成上面两题，完成后互相校对你们的结果. 【生】认真解题后，交流校对.
提公因式法(2)
3.2 提公因式法（2） 三维目标 1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，?这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2．分解因式的结果只能是几个整式的乘积形式，而且要分解到不能再分解为止，相同因式要写成幂的形式． 3．运用提公因式法分解因式的关键是确定多项式各项的公因式，?公因式是指各项系数的最大公约数、各项共有字母的最低次幂的乘积．?公因式可以是单项式也可以是多项式． 典型例题 例．把下列多项式分解因式： （1）4a2-8ab+4a （2）12（y-x）2-18（x-y）3 分析：（1）观察发现多项式的公因式是4a，要注意提出公因式后，括号内还是三项：最后一项是1而不能省略．（2）先将（y-x）2变为（x-y）2，再运用提公因式法分解． 练习题 一、选择题： 1．下列从左到右的变形，属于正确的分解因式的是（） A．（y+2）（y-2）=y2-4 B．a2+2a+1=a（a+2）+1 C．b2+6b+9=（b+3）2 D．x2-5x-6=（x-1）（x+6） 2．把12a2b3c-8a2b2c+6ab3c2分解因式时，应提取的公因式是（） A．2 B．2abc C．2ab2c D．2a2b2c 3．多项式6（a-b）2+3（a-b）分解因式的结果是（） A．3（a-b）（2a-2b） B．（a-b）（6a-6b+3） C．3（a-b）（2a-2b+1） D．3（b-a）（2b-2a+1） 4．把（a+b-c）（a-b+c）+（b-a-c）2分解因式，结果是（） A．2a（a-b+c） B．2（a-c）（a-b+c） C．2（a-c）（b-c） D．2b （a-b+c） 二、填空题： 5．把一个多项式化成_______的形式，?这种变形叫做把这个多项式分解因式．6．在下列各式中等号右边的括号里填上适当的正号或负号，?使左右两边的值相等． ①-a+b=（）（a-b）②（a-c）2=（）（c-a）2 ③（n-m）3=（）（m-n）3 ④（x-y）（y-z）（z-x）=（）（y-x）（y-z）（x-z） 7．分解因式：①2a（x+y）-3b（y+x）=（x+y）（_____）； ②m（a-b）+n（b-a）=（a-b）（_______）. 8．已知代数式-8x2y+12xy2+20y3有一个因式是2x2-3xy-5y2，?则其另一个因式是________． 三、解答题 9．把下列多项式分解因式： ①21xy-14xz+35x2②15xy+10x2-5x
2-提公因式法
〖进门测〗 1、下列从左到右的变形，属于因式分解的有（ ） （1）2(1)(2)2x x x x +-=-- （2）()ax ay a a x y a --=-- （3）2323623x y x y =? （4）24(2)(2)x x x -=+- （5）3229633(32)a a a a a a -+=- A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 2、下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A.()33535x y x y +-=+- B.()()2111x x x +-=- C.() 2 2211x x x ++=+ D.()2x x y x xy -=- 3、选择：若二次三项式2 1x ax +-可分解为(2)()x x b -+,则a b +的值为（ ） A.1- B.1 C.2- D.2 4、下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？ （1）a （x + y ）= ax + a y ； （2）10x 2 - 5x = 5x （2x - 1）； （3）y 2 - 4y + 4 =（y - 2）2； （4）t 2 - 16 + 3t =（t + 4）（t - 4）+ 3t. 5、利用因式分解说明：514 - 512 能被 120 整除.
数学学科教师讲义教务主任签字：签字日期：
要点二、提取公因式 1、把多项式 分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是 ，即 ，而 正好是 除以m 所得的商，这种因式 分解的方法叫提公因式法． 2、提公因式法的一般步骤 （1）确定多项式的公因式 （2）提取这个公因式，并把原多项式提取后公因式所得的商作为另一个因式。 （3）把多项式写成这两个因式的乘积的形式。 例题二：利用提公因式法因式分解 1、把下列各式因式分解： （1）12a+6b-18c （2）6x 3y 2+12x 2y 3-6x 2y 2 （3）9m 2n+27mn 2-18mn 随堂练习1： （1）49a 2bc-14ab 2 c+7ab （2）2 363x xy -+ （3）324168mn m m -- 要点三、提取公因式负号 在提取公因式时，若首项系数为负数时，一般要先处理“-”号（提取“-”号），要注意此时括号内各项都要变号。 例题三：提取公因式负号 1、把下列各式因式分解： （1）-12a+6b-18c （2）-6x 3y 2+12x 2y 3-6x 2y 2 （3）-9m 2n+27mn 2 -18mn 随堂练习3： （1）-49a 2bc-14ab 2 c+7ab （2）-2 363x xy -+ （3）-324168mn m m -- 要点四、提取多项式公因式 （1）括号前面添 ，括到括号里面的各项都 ；括号前面添 ，括到括号里面的各项都 。即a-b+c=+（a-b+c ），a-b+c=-（-a+b-c ）。 （2）当公因式是一个多项式时，应先变形确定公因式，再提出来，提公因式后，括号内的式子经整理后，若仍有公因式，则应继续提，直到多项式的每个因式都提完为止。
2.提公因式法(二)教案
第二章分解因式 2．提公因式法（二） 学生知识状况分析 上一节课，学生学习了提取单项式公因式的基本方法，这为今天的深入学习提供了必要的基础。学生对于本节课采用的观察、对比、讨论等方法非常熟悉，他们有较好的活动经验。 教学任务分析 学生在初步感知提取公因式的魅力之后，并对数学的逆向思维能力和类比思想有了简单的认识，本课时让学生体会如何将这些简单的知识和能力进一步升华，使学生逐步从提取的单项式公因式过渡到提取的多项式公因式， 教学目标： 知识与技能： （1）使学生经历从简单到复杂的螺旋式上升的认识过程。 （2）会用提取公因式法进行因式分解。 过程与方法： （1）培养学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力。 （2）从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式，进一步发展学生的类比思想。 情感与态度： 通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观
点。 教学过程分析 第一环节练一练 活动内容：把下列各式因式分解： （1）am+an（2）a2b–5ab （3）m2n+mn2–mn（4）–2x2y+4xy2–2xy 活动目的：回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤，为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础。 注意事项：切忌采用死记硬背的方法让学生背诵提取公因式的基本方法与步骤，最好用例题的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤，让学生真正理解是第一位的。 第二环节想一想 活动内容：因式分解：a（x–3）+2b（x–3） 活动目的：引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取的多项式公因式。 由于题中很显明地表明，多项式中的两项都存在着（x–3），通过观察，学生较容易找到公因式是（x–3），并能顺利地进行因式分解。 第三环节做一做 活动内容：在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立： （1）2–a= （a–2） （2）y–x= （x–y）
6.2提取公因式法教案
⒍2 提取公因式法 【教学背景】 “提取公因式法”是“新浙江版七年级数学（下）”第六章第二节内容.本课安排在“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的链结开拓作用.提取公因式法是因式分解的基础，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解整式方程（如一元二次方程）打下结实的基础，从而也为学生的运算能力拓展了道路.（老教材本小节是分两个课时上的） 【教学内容分析】 “提取公因式法”是因式分解的最基本、最常用的方法.它的理论依据是逆用分配律，因此，学生接受起来并不难，但因题目各有其特点，形式变化多，所以需要学生具有观察、分析能力和应变能力，这就需要在教学中加以指导、训练.例题讲授及练习题的匹配都要由浅入深，形式多样化.利用这个方法，首先对要分解的多项式进行考察，发现特点及多项式各项之间的内在联系，适当变形.（可利用计算机辅助教学手段，增大教学的容量和教学质量，改变传统的言传身教的方式.）【教学目标】 认知目标： ⑴在具体情境中认识公因式 ⑵通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式 能力目标： ⑴树立学生“化零为整”、“化归”的数学思想，培养学生完整地、辨证地看问题的思想. ⑵树立学生全面分析问题，认识问题的思想，提高学生的观察能力，分析问题及逆向思想能力. 情感目标：在观察、对比、交流和讨论的数学活动中发掘知识，并使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性. 【教学重点、难点】 1．教学重点∶掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则. ⒉．教学难点∶正确地找出公因式 【教学方法】理论与实例相结合（采用设问式、启发式） 【教学工具】应用投影仪（计算机） 【教学过程】 ㈠创设情境，提出问题 如图8－1，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是3.8m,6.2m,宽都是3.7 m,如何计算这块菜园的面积呢？ 列式：3.7×3.8+3.7×6.2(学生思考后列式) 有简便算法吗? =3.7×(3.8+6.2) 3.7=3.7×10=37(m2) 在这一过程中,把3.7换成m,3.8换成a,6.2换成b,于是有: ma＋mb =m(a＋b) 利用整式乘法验证: m(a＋b)=ma＋mb