广义笛卡尔积

广义笛卡尔积

假设集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，则两个集合的笛卡尔积为

{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有，如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。

数据库求广域笛卡尔积问题

R： A B C S: A B C

a 3 d

b 1 f

b 4 t r 3 e

r 3 e d 3 t

求R×S

A B C A B C

A B C b 1 f

A B C r 3 e

A B C d 3 t

a 3 d A B C

a 3 d

b 1 f

a 3 d r 3 e

a 3 d d 3 t

b 4 t A B C

b 4 t b 1 f

b 4 t r 3 e

b 4 t d 3 t

r 3 e A B C

r 3 e b 1 f

r 3 e r 3 e

r 3 e d 3 t

(1) 选择（Selection）

在给定关系R中选择满足条件的元组。记为：

其中F表示选择条件，是一个逻辑表达式，它的值为“真”或“假”。

逻辑表达式是由属性名、常量、简单函数和比较运算符、逻辑运算符组成的有意义的式子。通常情况下，逻辑表达式是由逻辑运算符连接由比较运算符组成的比较关系式而成。即通过逻辑运算符将比较关系式XqY连接起来组成逻辑表

达式。当然单独的比较关系式也是一个逻辑表达式。

（2）投影（Projection）

在给定关系R(U)中选择若干属性列组成的新关系。记为：

其中A为R中属性组，且AíU。在关系二维表中，选择是一种水平操作，它针对二维表中行，而投影是一种垂直操作，它针对二维表中的属性列。

（3）连接（Join）

连接也称为条件连接，它从两个关系的笛卡儿积中选择满足条件的元组。记

为：

其中A和B分别是关系R和S上度数相同且可比属性组，q为比较运算符。

在连接中有三种最常见的连接，一种是等值连接，一种是自然连接，还有半连接。

①等值连接（equijoin）

当比较运算符q为“=”时的连接称为等值连接，其结果是从关系R和S的笛卡儿积中选取属性组A和B值相等的元组。记为：

②自然连接（Natural join）

自然连接是一种特殊的等值连接。当关系R和S有相同的属性组B，且该属性组的值相等时的连接称为自然连接。结果关系的属性集合为R的属性并上S 减去属性B后的属性集合，即Att(R)∪(Att(S)-B)。其中Att( R )为关系R的属性集。R和S的自然连接记为：

自然连接与等值连接的区别是：

ａ）自然连接要求两个关系中进行比较的属性或属性组必须同名和相同值域，而等值连接只要求比较属性有相同的值域。

ｂ）自然连接的结果中，同名的属性只保留一个。

③半连接（half join）

半连接是一种特殊的自然连接。它与自然连接的区别在于其结果只保留R

的属性。当关系R和S有相同的属性组B，且该属性组的值相等时进行连接，其结果只保留R的属性，这种连接称为半连接。记为：

（４）商（Division）

设关系R（X，Y）和S（Y，Z），其中X，Y，Z是属性集合，R中的Y

与S中的Y可以不同名，但必须出自同一域。R除以S的商定义为：

其中Yx为值x在R中的象集，即表示R中属性组X上的值为x（x=tr[X]）的元组在属性组Y上分量的集合。

R÷S是一个新关系，它是R中元组的X上分量的值为x的象集Yx包含S

在Y上投影的集合。

1)求R÷S

令X=A，Y={B，C} x=tx[X]={a1,a2,a3},则Yx分别为：

a1的象集为{（b1,c1）,(b1,c2),(b3,c2)}

a2的象集为{(b2,c3)}

a3的象集为{(b2,c1)}

所以只有a1的象集包含S在Y上的投影，即

故此R÷S为：

2）求σ-A=a1( R )为

4)求R >< S

5)求R>

例如将教务管理的E-R图（见图1.10）转换为四个关系模式及对应关系如下：

D（DNO,DNAME,DTEL）

D：系的基本信息，包含如下属性：（主码：DNO）

在课程类型表中每门课程只能指定一门课程做为先修课，而一门课程可以不是任何课程的先修课，也可以是多门课程的先修课。即先修课程与后继课程之间的联系为1：n。

C (CNO,CNAME,HOURS)

C：已开课表，包含如下属性：（主码：CNO）

S (SNO,SNAME,SSEX,SAGE,SNATIVE,DNO)

S：学生的基本情况，包含如下属性。（主码：SNO）

S-C (SNO,CNO,GRADE)

S-C：学生选课，包含如下属性：（主码：SNO+CNO）

在关系代数中，五种基本运算经过有限次的复合而成的式子称为关系代数表达式，这种表达式的运算结果是一个关系。

从上述实例中可以发现，自然连接是关系代数中最重要的运算之一。利用自然连接、投影、选择可以有效地分割和组装关系。这是关系模型的DML具有各种优点的原因所在。

树Tn与路Pm的笛卡尔积图的交叉数

第29卷第2期2017年6月 河南工程学院学报（自然科学版） JOURNAL OF HENAN UNIVERSITY OF ENGINEERING Vol.29,No.2 Jun.2017树7；与路的笛卡尔积图的交叉数 胡宁贝，魏首柳，白银燕 (闽江学院数学系，福建福州350121) 摘要：图的交叉数是图论中一个重要的研究课题.分别记含有n+ l个顶点的树和路为7；与/通过数学归纳法验证并计算得到了笛卡尔积图7；xPm的交叉数，其中 关键词：笛卡尔积图；好画法；交叉数;树;路 中图分类号:〇157.5 文献标志码：A 文章编号:1674 -330X(2017)02-0078 -05 令G表示一个简单连通图.设F(G)和￡( G)分别表示图G的顶点集和边集.^x G2表示图^和G2的笛卡尔积图，具体定义如下：K A x G2)= K G J x G2)=I^=1^且或者w2= d2卜图的交叉数问题是近代图论中——个重要的研究课题.图G的交叉数[1]指图G在平面上所有好画法中边与边之间相互交叉的最小顶点数，用cr(G)表示.其中，好画法满足:①相互交叉的任何两条边最多仅在顶点处交叉;②边不能自身相交;③有相同端点的两条边不交叉;④任 何3条边都不可能交叉于同一顶点.最优画法指含最小交叉数的好画法，用cr B(G)表示图G在好画法时D的交叉数.如果没有特别说明，本研究涉及的一些概念和术语均来自文献[2 ]. 图的交叉数的确定问题不仅在理论研究中具有非常重要的意义，而且在诸多实际问题中也有相应的研 究背景，如超大规模集成电路V LSL中圈的布局[3_5]、离散几何与计算几何的研究及软件开发过程中文档的 实体联系图（E R图）的自动生成和工业上电子线路板设计中的布线问题等. 国内外学者对图的交叉数的计算问题已经做了大量的分析和研究，也得到了一些成果.1993年，Garey 和J〇hns〇n[6]研究并证明了图的交叉数问题是一个NP-完全问题.但是，由于其研究方法不统一，导致能够 被准确计算出交叉数的显式表达式的图类比较少，主要针对一些相对比较特殊的图类（特别是笛卡尔积图）的交叉数[742]，而对于树与其他特殊图类的笛卡尔积图的交叉数的研究结果，目前集中在袁梓瀚[13]的博士 论文和刘伟[14]的硕士论文中，柯小玲[15]也研究了不大于5个顶点的树与圈的笛卡尔积图的交叉数问题，本 课题进一步研究不大于5个顶点的树与路的笛卡尔积图的结构并给出了其交叉数的显式表达式. 1预备知识 7；表示含有《 + 1个顶点的树；表示含有《+ 1个顶点的星图，g院全图; '表示含有《 + 1个顶 点的路；[*]表示不超过*的最大整数. 定义1 图G和为同构的，如果存在两个一一映射0: 和<^ ￡(G)—￡(tf)，使得0c(e)=?当且仅当 ，记为 G@ 引理1 若为图G的子图，则cr(tf)矣cr(G). 引理2( Jordan曲线定理）平面上的任一简单闭曲线将平面唯一地分成3个彼此不相交的点集_/，int(_/) ,ext(_/),贝I J 收稿日期：2017 -02-20 基金项目：福建省自然科学基金（2015J01589);福建省大学生创新创业训练项目（201510395050) 作者简介：胡宁贝（1994 -)，女，河南滑县人，本科生，主要研究图论及其应用. 通信作者：魏首柳（1978 -)，男，福建大田人，副教授，博士，主要研究图论及其应用.E-m a il:w S lwillow@126.C〇m.

离散数学26笛卡尔乘积及相关性质

笛卡尔乘积及相关性质

一、笛卡尔乘积 1、定义令A和B为任意两个集合, 如果序偶的第一元素是A 的元素, 第二元素是B的元素;所有这样的序偶的集合称为集合A 和B的笛卡尔乘积或者直积, 记作A ? B. 笛卡尔乘积的符号化表示为: A ? B = { | (x∈A)∧(y∈B) } 例如, 设A = { a, b }, B = { 0, 1, 2 }, 则 A ? B = { , , , , , } B ? A = { <0, a>, <0, b>, <1, a>, <1, b>, <2, a>, <2, b> } A?B≠B?A 即“?”是不满足交换律.

笛卡尔乘积举例 Jerry,Kelly,July三人去访友，可选择的汽车线路有：382，381。每人与一个汽车线路配对，共有多少种方式？ 设集合A={ Jerry,Kelly,July }， 集合B={ 382，381 } 所有可能的配对的集合是A B。共有6种方式.

2、笛卡尔积运算性质 1)．对任意集合A，根据定义有 A×Φ = Φ, Φ×A = Φ 2)．一般的说，笛卡尔积运算不满足交换律，即 A×B≠B×A(当A≠Φ∧B≠Φ∧A≠B时) 3)．笛卡尔积运算不满足结合律，即 (A×B)×C≠A×(B×C) (当A≠Φ∧B≠Φ∧C≠Φ时) 注意：(A×B)×C的元素是三元组，但A×(B×C)的元素不是三元组.

例1 设A={a，b}，B={1，2}，C={z} (A?B)?C={〈a,1〉,〈a,2〉,〈b,1〉,〈b,2〉}?{z} ={〈a,1,z〉,〈a,2,z〉,〈b,1,z〉,〈b,2,z〉} A? ( B?C ) ={a, b}?{〈1,z〉,〈2,z〉} ={〈a,〈1,z〉〉,〈a,〈2,z〉〉,〈b,〈1,z〉〉,〈b,〈2,z〉〉} 故（A?B）?C≠A?（B?C）“?”不满足结合律.

笛卡尔积

笛卡尔（Descartes）乘积又叫直积。假设集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1), (b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有，如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。 在日常生活中，有许多事物是成对出现的，而且这种成对出现的事物，具有一定的顺序。例如，上，下；左，右；3〈4；张华高于李明；中国地处亚洲；平面上点的坐标等。一般地说，两个具有固定次序的客体组成一个序偶，它常常表达两个客体之间的关系。记作〈x，y〉。上述各例可分别表示为〈上，下〉；〈左，右〉；〈3，4〉；〈张华，李明〉；〈中国，亚洲〉；〈a，b〉等。 序偶可以看作是具有两个元素的集合。但它与一般集合不同的是序偶具有确定的次序。在集合中{a，b}={b，a}，但对序偶〈a，b〉≠〈b，a〉。 设x，y为任意对象，称集合{{x},{x,y}}为二元有序组，或序偶（ordered pairs），简记为 。称x为的第一分量，称y为第二分量。 定义 3-4.1 对任意序偶 , , = 当且仅当a=c 且b = d 。 递归定义n元序组 ={{a1}，{a1 , a2}} = { {a1}，{a1 , a2},{a1 , a2 , a3}} = < , a3 > = <, an> 两个n元序组相等 < a1，…an >= < b1，…bn >Û(a1=b1) ∧ …∧ (an=bn) 定义3-4.2 对任意集合 A1，A2 , …，An， （1）A1×A2，称为集合A1，A2的笛卡尔积(Cartesian product)，定义为 A1 ×A2={x | $u $v(x = ∧u ÎA1∧vÎA2)}={ | u ÎA1∧vÎA2} （2）递归地定义A1 × A2× … × An A1 × A2×… × An= (A1× A2 × …× An-1)×An 例题1 若A={α，β}，B={1，2，3}，求A×B，A×A，B×B以及（A×B）Ç（B×A）。 解A×B={〈α，1〉，〈α，2〉，〈α，3〉，〈β，1〉，〈β，2〉，<β，3〉}

笛卡尔积、等值连接、自然连接的联系与区别

笛卡尔积、等值连接、自然连接的联系与区别虽然naturaljoin(自然连接)实际上的用的比较少，但实际上这个连接是非常有用的，若能经常使用一下，实际上是非常方便的。 自然连接是在两张表中寻找那些数据类型和列名都相同的字段，然后自动地将他们连接起来，并返回所有符合条件按的结果。 来看一下自然连接的例子。 Selectemp.ename,dept.dname Fromempnaturaljoindept; 这里我们并没有指定连接的条件，实际上oracle为我们自作主张的将，emp 中的deptno和dept中的deptno做了连接。 也就是实际上相当于 Selectemp.ename,dept.dname Fromempjoindeptonemp.deptno=dept.deptno; 因为这两张表的这两个字段deptno的类型个名称完全相同。所以使用naturaljoin时被自然的连接在一起了。 另外： 1.如果做自然连接的两个表的有多个字段都满足有相同名称个类型，那么他们会被作为自然连接的条件。 2.如果自然连接的两个表仅是字段名称相同，但数据类型不同，那么将会返回一个错误。 3.由于oracle中可以进行这种非常简单的naturaljoin，我们在设计表时，应该尽量在不同表中具有相同含义的字段使用相同的名字和数据类型。以方便以后使用naturaljoin 最后我们在前面举的例子都得到以下的结果： SQL>Selectemp.ename,dept.dname 2Fromempnaturaljoindept; ENAMEDNAME ——————–—————- SMITHRESEARCH ALLENSALES WARDSALES JONESRESEARCH MARTINSALES BLAKESALES CLARKACCOUNTING SCOTTRESEARCH KINGACCOUNTING TURNERSALES ADAMSRESEARCH JAMESSALES FORDRESEARCH MILLERACCOUNTING 内连接与等值连接是一回事情。 经常有人会问到selecta.id,https://www.sodocs.net/doc/d26877840.html,froma,bwherea.id=b.pid

广义笛卡尔积

广义笛卡尔积 假设集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，则两个集合的笛卡尔积为 {(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}。可以扩展到多个集合的情况。类似的例子有，如果A表示某学校学生的集合，B表示该学校所有课程的集合，则A与B的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。 数据库求广域笛卡尔积问题 R： A B C S: A B C a 3 d b 1 f b 4 t r 3 e r 3 e d 3 t 求R×S A B C A B C A B C b 1 f A B C r 3 e A B C d 3 t a 3 d A B C a 3 d b 1 f a 3 d r 3 e a 3 d d 3 t b 4 t A B C b 4 t b 1 f b 4 t r 3 e b 4 t d 3 t r 3 e A B C r 3 e b 1 f r 3 e r 3 e r 3 e d 3 t (1) 选择（Selection） 在给定关系R中选择满足条件的元组。记为： 其中F表示选择条件，是一个逻辑表达式，它的值为“真”或“假”。 逻辑表达式是由属性名、常量、简单函数和比较运算符、逻辑运算符组成的有意义的式子。通常情况下，逻辑表达式是由逻辑运算符连接由比较运算符组成的比较关系式而成。即通过逻辑运算符将比较关系式XqY连接起来组成逻辑表

达式。当然单独的比较关系式也是一个逻辑表达式。 （2）投影（Projection） 在给定关系R(U)中选择若干属性列组成的新关系。记为： 其中A为R中属性组，且AíU。在关系二维表中，选择是一种水平操作，它针对二维表中行，而投影是一种垂直操作，它针对二维表中的属性列。 （3）连接（Join） 连接也称为条件连接，它从两个关系的笛卡儿积中选择满足条件的元组。记 为： 其中A和B分别是关系R和S上度数相同且可比属性组，q为比较运算符。 在连接中有三种最常见的连接，一种是等值连接，一种是自然连接，还有半连接。 ①等值连接（equijoin） 当比较运算符q为“=”时的连接称为等值连接，其结果是从关系R和S的笛卡儿积中选取属性组A和B值相等的元组。记为： ②自然连接（Natural join） 自然连接是一种特殊的等值连接。当关系R和S有相同的属性组B，且该属性组的值相等时的连接称为自然连接。结果关系的属性集合为R的属性并上S 减去属性B后的属性集合，即Att(R)∪(Att(S)-B)。其中Att( R )为关系R的属性集。R和S的自然连接记为： 自然连接与等值连接的区别是： ａ）自然连接要求两个关系中进行比较的属性或属性组必须同名和相同值域，而等值连接只要求比较属性有相同的值域。 ｂ）自然连接的结果中，同名的属性只保留一个。 ③半连接（half join） 半连接是一种特殊的自然连接。它与自然连接的区别在于其结果只保留R 的属性。当关系R和S有相同的属性组B，且该属性组的值相等时进行连接，其结果只保留R的属性，这种连接称为半连接。记为： （４）商（Division） 设关系R（X，Y）和S（Y，Z），其中X，Y，Z是属性集合，R中的Y

离散数学计算笛卡尔乘积C++或C语言实验报告

离散数学实验报告 专业班级：12级计算机本部一班姓名：鲍佳珍 学号：201212201401016 实验成绩： 1．【实验题目】 通过编程实现求给定集合A和B的笛卡儿乘积C（C=A×B）的运算。 2．【实验目的】 已知所给集合A和B，求A与B的笛卡儿乘积C（C=A×B）。 假设集合A={1,2,3,4,5},集合B={2,3,8,9,10}, 3、实验原理与实现过程 笛卡儿集合：设A，B是两个集合，称集合A×B={|(x∈A)∧(y∈B)}为集合A与B的笛卡儿积。换句话说，笛卡儿乘积是以有序偶为元素组成的集合，它的定义为C={|x∈A∧y∈B}。所以，欲求笛卡儿乘积。只需取尽由集合A 的元素及集合B的元素，并构成序偶送入C之中即可。 算法描述：。 （1）将集合A的元素个数送入N。（2）将集合B的元素个数送入M。（3）1?i。 （4）若i>N,则结束。 （5）1?j。 （6）若j>M，则转（9）。 （7）?C。 （8）j+1?j，转（6）。 （9）i+1?i，转（4）。 4、C或C＋＋语言编程实现 将实验内容与结果按实验报告格式要求填写并上传。 5. 【算法描述】 1.实验原理

真值表:表征逻辑事件输入和输出之间全部可能状态的表格。列出命题公式真假值的表。通常以1表示真，0 表示假。命题公式的取值由组成命题公式的命题变元的取值和命题联结词决定，命题联结词的真值表给出了真假值的算法。真值表是在逻辑中使用的一类数学表，用来确定一个表达式是否为真或有效。 2.实验过程 首先是输入一个合理的式子，生成相应真值表，然后用函数运算，输出结果：要求可生成逻辑非、合取、析取、蕴含、双条件表达式的真值表，例如：输入 !a 输出真值表如下： a !a 0 1 10 输入a&&b 输出真值表如下： a b a&&b 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 输入a||b 输出真值表如下： a b a||b 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 输入a->b 输出真值表如下： a b a->b 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 输入a<>b (其中<>表示双条件) 输出真值表如下： a b a<>b 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

求两个关系的笛卡尔积

//求两个关系的笛卡尔积 #include #define R 2//宏定义第一个关系的行 #define L 3//宏定义第二个关系的列 #define M 2//宏定义第一个关系的行 #define N 3//宏定义第二个关系的列 main() { inti,j,z;//定义循环变量为整型 int k=0;//循环变量k的初始值为0 int a[10][10];//将第一个关系定义为数组a int b[10][10];//将第二个关系定义为数组b int c[10][10];//将两个关系的笛卡尔积定义为数组c printf(" ##### 欢迎您使用矩阵函数运算系统######\n"); printf("******************************************************************\n") ; printf("请输入第一个%dx%d的关系\n",R,L); for(i=0;i