高考数学一轮复习专题函数模型及其应用教学案文WORD

专题12 函数模型及其应用

1.综合考查函数的性质；

2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；

3.考查函数的最值．

1．几类函数模型及其增长差异

(1)几类函数模型

函数模型函数【解析】式

一次函数模型f(x)＝ax＋b (a、b为常数，a≠0)

反比例函数模型f(x)＝

k

x

＋b (k，b为常数且k≠0)

二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

指数函数模型f(x)＝ba x＋c

(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)

对数函数模型f(x)＝b log a x＋c

(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)

幂函数模型f(x)＝ax n＋b (a，b为常数，a≠0)

(2)三种函数模型的性质

函数

性质y＝a x(a>1)

y＝

log a x(a>1)

y＝

x n(n>0)

在(0，＋

∞)

上的增减

性

单调递增单调递增单调递增

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

图象的变

化

随x的增大逐

渐表现为及y

轴平行

随x的增大逐

渐表现为及x

轴平行

随n值变

化而各有

不同

值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x

2.

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；

(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．

以上过程用框图表示如下：

【疑点清源】

1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．

2．解决实际应用问题的一般步骤

(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质．

(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题．

(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题．

(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．

高频考点一、用函数图象刻画变化过程

例1、(1)设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )

(2)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q及时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )

【答案】(1)D (2)B

【感悟提升】判断函数图象及实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．

(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．

【变式探究】已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )

【答案】D

【解析】依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4

高频考点二已知函数模型的实际问题

例2、候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类

的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)及其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q 10

(其中a 、b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.

(1)求出a 、b 的值；

(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？

解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧

量为30个单位，故有a ＋b log 33010

＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.

【感悟提升】求解所给函数模型解决实际问题的关注点

(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．

(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．

(3)利用该模型求解实际问题．

【变式探究】某般空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)及其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.

【答案】 19

【解析】 由图象可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19.

高频考点三 构造函数模型的实际问题

例3、某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：

万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售

16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )

A ．10.5万元

B ．11万元

C ．43万元

D ．43.025万元

【答案】 C

【解析】 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－

0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1(x －212)2＋0.1×2124＋32. 因为x ∈[0,16]，且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．

【变式探究】(1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)( )

A ．1.5%

B ．1.6%

C ．1.7%

D ．1.8%

(2)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )

A ．略有盈利

B ．略有亏损

C ．没有盈利也没有亏损

D ．无法判断盈亏情况

【答案】 (1)C (2)B

【举一反三】某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km 按起步价付费)；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了km.

【答案】 9

【解析】 设出租车行驶x km 时，付费y 元，

则y ＝????? 9，0

8＋2.15×5＋2.85x －8＋1，x >8，

由y ＝22.6，解得x ＝9.

思维升华构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．

【变式探究】 (1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过小时才能开车．(精确到1小时)

(2)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )

A．10B．11C．13D．21

【答案】(1)5 (2)A

高频考点四、函数应用问题

例4、已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝????? 400－6x ，040.

(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数【解析】式；

(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

解 (1)当0

＝－6x 2＋384x －40，

当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－40000x

－16x ＋7360. 所以W ＝????? －6x 2＋384x －40，040.

当x ＝32时，W 取得最大值6104万元。

【特别提醒】(1)此类问题的关键是正确理解题意，建立适当的函数模型．(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．

【方法技巧】

1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础．

2．实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值．

3．解函数应用题的五个步骤：①审题；②建模；③解模；④还原；⑤反思．

高频考点五、构建函数模型解决实际问题

例5、(1)(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)()

A．2018年 B．2019年C．2020年D．2021年

(2)为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)及隔热层厚度x(单位：cm)满

足关系：C(x)＝k

3x＋5

(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用及20年的能源消耗费用之和．

①求k的值及f(x)的表达式；

②隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．

【答案】 B

(2)解 ①当x ＝0时，C ＝8，∴k ＝40，

∴C (x )＝403x ＋5

(0≤x ≤10)， ∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5

(0≤x ≤10)． ②由①得f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5

－10. 令3x ＋5＝t ，t ∈[5，35]，

则y ＝2t ＋800t －10，∴y ′＝2－800t 2， 当5≤t <20时，y ′<0，y ＝2t ＋800t

－10为减函数； 当200，y ＝2t ＋800t

－10为增函数． ∴函数y ＝2t ＋800t

－10在t ＝20时取得最小值，此时x ＝5， 因此f (x )的最小值为70.

∴隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元.

【方法规律】(1)构建函数模型解决实际问题的常见类型及求解方法： ①构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解． ②构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．