【新教材】新人教A版必修一 函数模型的应用实例 学案

3.2.2函数模型的应用实例

学习目标1。能利用已知函数模型求解实际问题;2.能自建确定性函数模型解决实际问题；3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性．

知识点一几类已知函数模型

思考指数型函数与指数函数在解析式上有什么不同？

答案指数函数y＝a x(a>0,a≠1)的系数为1，且没有常数项．确定一个指数函数解析式只需要一个条件;指数型函数模型f（x)＝ba x＋c（a,b，c为常数，b≠0,a＞0且a≠1)指数式前的系数不一定是1,而且可能还有常数项．所以确定指数型函数通常需要3个条件．

几类函数模型：

思考数据拟合时，得到的函数为什么要检验？

答案因为限于我们的认识水平和一些未知因素的影响，现实可能与我们所估计的函数有误差或甚至不切合客观实际，此时就要检验,调整模型或改选其他函数模型．

面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：

(1)收集数据；

（2)画散点图;

（3)选择函数模型;

(4）求函数模型；

(5）检验;

（6）用函数模型解释实际问题．

类型一利用已知函数模型求解实际问题

例1某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km。火车出发10min开出13km后，以120km/h 的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系,并求火车离开北京2h内行驶的路程．

解因为火车匀速运动的时间为(277－13)÷120＝错误!（h),所以0≤t≤错误!。

因为火车匀速行驶时间t h所行驶路程为120t，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t 之间的关系是S＝13＋120t（0≤t≤错误!).2h内火车行驶的路程S＝13＋120×（2－错误!)＝233 （km)．

反思与感悟在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0）或直线下降(自变量的系数小于0），构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．

跟踪训练1商店出售茶壶与茶杯，茶壶每个定价20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:

①买一个茶壶送一个茶杯，②按购买总价的92%付款．某顾客购买茶壶4个，茶杯若干个（不少于4个)，若购买茶杯数x个，付款为y(元），试分别建立两种优惠办法中

y与x的函数关系式，并指出如果该顾客需要购买茶杯40个，应选择哪种优惠办法?

解由优惠办法①得函数关系式为

y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60（x≥4，x∈N*）．

由优惠办法②得函数关系式为

y2＝（20×4＋5x)×92%＝4。6x＋73.6（x≥4,x∈N＊）．

当该顾客购买茶杯40个时,采用优惠办法①应付款y1＝5×40＋60＝260元；采用优惠办法②应付款y2＝4.6×40＋73.6＝257。6元，由于y2〈y1，因此应选择优惠办法②.

类型二自建确定性函数模型解决实际问题

例2某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝错误!－48x＋8000,已知此生产线年产量最大为210吨．若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

解设可获得总利润为R（x）万元,

则R(x)＝40x－y＝40x－错误!＋48x－8000

＝－错误!＋88x－8000

＝－错误!(x－220)2＋1680 （0≤x≤210)．

∵R(x）在［0，210]上是增函数,∴x＝210时，

R（x)有最大值为－错误!（210－220）2＋1680＝1660.

∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．

反思与感悟自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么,列什么，限制什么"．

求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．

设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素,谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．

列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来,可以是方程、函数、不等式等．

限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件,在实际问题中，除了要使函数式有意义外,还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．

跟踪训练2有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入的资金x万元的关系是Q1＝错误!x，Q2＝错误!错误!.现有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润？

解设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资（3－x）万元，总利润为y万元．

∴Q1＝错误!x,Q2＝错误!错误!。

所以y＝错误!x＋错误!错误!(0≤x≤3），

令t＝错误!（0≤t≤错误!)，则x＝3－t2。

所以y＝错误!（3－t2)＋错误!t＝－错误!（t－错误!)2＋错误!.

当t＝错误!时，y max＝错误!＝1。05（万元)，即x＝错误!＝0。75（万元)，所以3－x＝2。25（万元)．

由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元,总共获得利润为1。05万元．

类型三拟合函数模型

例3人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y＝y0e rt，其中t表示经过的时间，y0表示t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．下表是1950~1959年我国的人口数据资料：

用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；

(2)如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？

解(1）设1951~1959年的人口增长率分别为r1，r2，…,r9.由55196(1＋r1) ＝56300，可得1951年的人口增长率r1≈0。0200.同理可得,r2≈0.0210,r3≈0.0229,r4≈0。0250，r5≈0。0197，r6≈0。0223,r7≈0.0276，r8≈0。0222，r9≈0。0184.于是，1951～1959年期间,我国人口的年均增长率为r＝(r1＋r2＋…＋r9）÷9≈0.0221.令y0＝55196，则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y＝55196e0。0221t，t∈N。根据表中的数据作出散点图,并作出函数y＝55196e0。0221t （t∈N)的图象．

由图可以看出,所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合．

（2)将y＝130000代入y＝55196e0。0221t，

由计算器可得t≈38.76.

所以，如果按表的增长趋势，那么大约在1950年后的第39年（即1989年)我国的人口就已达到13亿．

反思与感悟1.已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是何种函数,并要注意定义域,然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．

2．判断所得到的数学模型是否拟合,必须使所有数据基本接近数学模型，对于一般的应用问题，不会让数学模型完全符合，只是基本符合，对此，无最优解,只有满意解．

跟踪训练3已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2。1%。

(1)用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍?什么时候世界人口是1970年的2倍？

（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有达到72亿．你对同样的模型得出的两个结果有何看法？

解（1)已知人口模型为y ＝y 0e rt ,其中y 0表示t ＝0时的人口数，r 表示人口的年增长率． 若按1650年世界人口5亿，年增长率为0.3％估计，有y ＝5e 0。003t . 当y ＝10时，解得t ≈231.

所以，1881年世界人口约为1650年的2倍． 同理可知，2003年世界人口数约为1970年的2倍．

（2）由此看出,此模型不太适宜估计时间跨度非常大的人口增长情况。

1．从2013年起,在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%,则达到翻两番目标的最少年数为(） A ．17B ．18C ．19D ．20 答案C

2．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s 关于时间t 变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是()

A ．分段函数

B ．二次函数

C ．指数函数

D ．对数函数 答案A

3．若镭经过100年后剩留原来质量的95。76%,设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是(）

100

A 0.957 6

x

y ．＝B ．y ＝（0.9576)100x

C ．y ＝（错误!）x 100

D 10.0424x y ．＝

－

答案A

4．某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表：

下面的函数关系式中，拟合效果最好的是（)

A．y＝2x－1B．y＝x2－1

C．y＝2x－1D．y＝1。5x2－2.5x＋2

答案D

5．某同学最近5年内的学习费用y千元与时间x年的关系如图所示，可选择的模拟函数模型是（）

A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c

C．y＝a e x＋b D．y＝a ln x＋b

答案B

解函数应用问题的步骤(四步八字)

（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型;

（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

(3）求模:求解数学模型,得出数学结论；

（4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．

一、选择题

1．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线:一种是即时价格曲线y＝f(x）,另一种是平均价格曲线y＝g(x）．例如，f（2）＝3是指开始买卖2小时的即时价格为3元；g（2）＝3是指开始买卖2小时内的平均价格为3元．下图给出的四个图象中，实线表示y＝f（x）,虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是（）

答案C

解析开始时平均价格与即时价格一致，排除A、D；平均价格不能一直大于即时价格，排除B。

2．春天来了，某池塘中的荷叶铺展开来．已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶第20天就可以完全覆盖池塘水面,则当荷叶覆盖水面面积的错误!时，荷叶已生长了（)

A．5天B．10天

C．18天D．19天

答案C

解析因为每一天覆盖面积均为前一天的2倍,所以第19天覆盖整个水面面积的一半，第18

天覆盖1

4.

3．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗,开源节

流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分）备用，当截取

的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为(）

A．x＝15，y＝12B．x＝12，y＝15

C．x＝14，y＝10D．x＝10,y＝14

答案A

解析由三角形相似得24－y

24－8

＝错误!，

得x＝错误!(24－y），

∴S＝xy＝－错误!(y－12）2＋180（8≤y<24）．

∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.

4．某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%),仍可获利10％（相对进货价)，则该家具的进货价是（)

A．118元B．105元

C．106元D．108元

答案D

解析设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10％·a，解得a＝108，故选D.

5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝错误!x 2＋2x ＋20（万元)．一万件售价是20万元,为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（） A ．18万件B ．20万件 C ．16万件D ．8万件 答案A

解析利润L （x )＝20x －C (x )＝－错误!(x －18）2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值． 6．4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元,而6个茶杯和3包茶叶的价格之和大于24元,则2个茶杯和3包茶叶的价格大小关系是（) A ．2个茶杯贵B ．3包茶叶贵 C ．二者相同D ．无法确定 答案A

解析设茶杯单价为x 元，茶叶的单价为y 元，则有4x ＋5y 〈22且6x ＋3y 〉24，试确定t ＝2x －3y 与0的大小．设m ＝4x ＋5y ，n ＝6x ＋3y ，解得2x ＝错误!,3y ＝错误!，故t ＝2x －3y ＝错误!－错误!＝错误!>错误!＝0，即t >0，故2x >3y ，两个茶杯贵． 二、填空题

7．工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·0。5x ＋b ，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1。5万件．则此工厂3月份生产该产品的产量为________万件． 答案1。75 解析由题意有错误! 解得错误!, ∴y ＝－2×0.5x ＋2,

∴3月份产量为y ＝－2×0。53＋2＝1.75万件．

8．某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为:y ＝????

?

4x ，1≤x <10，x ∈N ＊

，，2x ＋10，10≤x <100x ∈N *，1.5x ，x ≥100，x ∈N ＊，

其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人

数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为________． 答案25

解析令y ＝60，若4x ＝60,则x ＝15〉10，不合题意;

若2x＋10＝60,则x＝25,满足题意；

若1。5x＝60，则x＝40〈100，不合题意．故拟录用人数为25人．

9．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25％的速度减少,为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0。09 mg/mL，那么,一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过________小时才能开车．(精确到1小时)（参考数据：lg3≈0。477，lg4≈0。602）答案5

解析设至少经过x小时才能开车，由题意得0。3（1－25%）x≤0。09，∴0.75x≤0。3,x≥log0.750.3≈4.2.

10．现测得（x，y）的两组对应值分别为(1,2），(2，5),现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1,乙：y＝3x－1，若又测得(x,y）的一组对应值为（3，10.2)，则应选用________作为函数模型．答案甲

解析将x＝3分别代入y＝x2＋1及y＝3x－1，得y＝32＋1＝10，y＝3×3－1＝8。由于10更接近10。2，所以选用甲模型．

三、解答题

11．牧场中羊群的最大蓄养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y（只)和实际蓄养量x(只）与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k＞0）．

（1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；

（2）求羊群年增长量的最大值；

（3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．

解（1）由题意，知空闲率为错误!,

∴y＝kx错误!(0＜x＜m)．

(2)对原二次函数配方,得y＝－错误!(x2－mx）

＝－k

＋错误!，

m错误!2

即当x＝错误!时，y取得最大值错误!，

即羊群年增长量的最大值为错误!只．

（3）由题意知，实际蓄养量与年增长量的和不大于最大蓄养量，即0＜x＋y≤m。

∵当x＝错误!时，y最大＝错误!，

∴0＜m

2＋错误!≤m ，解得－2＜k ≤2.

又∵k ＞0，∴0＜k ≤2。

12．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1。80元,当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y 元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x 吨，3x 吨． (1）求y 关于x 的函数;

（2）若甲、乙两户该月共交水费26。4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 解（1)当甲的用水量不超过4吨时,即5x ≤4,乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x ）＝14.4x ； 当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时, 即3x ≤4,且5x 〉4时，

y ＝4×1.8＋3x ×1。8＋3（5x －4）＝20.4x －4。8。 当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，

y ＝2×4×1。8＋3×［(3x －4）＋(5x －4)]＝24x －9.6. 所以y ＝错误!

(2）由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增； 当x ∈[0，错误!]时，y ≤f （错误!)〈26。4； 当x ∈(错误!，错误!］时，y ≤f （错误!)<26.4;

当x ∈（错误!，＋∞)时，令24x －9。6＝26。4，解得x ＝1。5。 所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5(吨）； 付费S 1＝4×1。8＋3.5×3＝17。70（元）; 乙户用水量为3x ＝4.5(吨)，

付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8。70(元)．

13．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年;当4〈x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年． （1)当0〈x ≤20时,求函数v 关于x 的函数表达式;

(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大?并求出最大值．

解(1）由题意得当0〈x≤4时，v＝2;

当4

显然v＝ax＋b在(4,20]内是减函数，

由已知得错误!解得错误!

所以v＝－错误!x＋错误!,

故函数v＝错误!

(2）设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f(x)＝错误!

当0

故f（x)max＝f（4)＝4×2＝8;

当4

＝f（10）＝12。5.

max

所以当0〈x≤20时，f（x)的最大值为12。5。

即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大,最大值为12。5千克/立方米．

高中数学人教版必修函数模型的应用实例教案(系列三)

3.2函数模型及其应用 3.2.2函数模型的应用实例 ●三维目标 1．知识与技能 (1)能利用给定函数模型解决实际问题； (2)通过给出数据进行分析，画出散点图，并能验证问题中的数据与所提供的函数模型是否相吻合； (3)增强读图、画图、识图的意识，全面提高阅读理解的能力． 2．过程与方法 (1)通过对给出的图形和数据的分析，抽象出相应的确定性函数的模型； (2)根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式．3．情感、态度与价值观 应用数学知识解决实际问题．培养学生高尚的品德，使其树立远大的理想，并能利用所学知识为社会服务． ●重点难点 重点：根据收集到的数据作出散点图，并通过观察图象判断问题所适用的函数模型，利用计算器的数据拟合功能得出具体的函数解析式． 难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．

重难点突破：结合学生的知识水平，在引导学生选择数学模型分析解决实际问题的同时总结该类问题的解法： (1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解； (2)列式比较法：若题中所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较； (3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决. 课前自主导学

二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 指数函数模型 f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0) 分段函数模型 f (x )＝????? f 1(x )，x ∈D 1f 2(x )，x ∈D 2……f n (x )，x ∈D n 知识2 应用函数模型解决问题的基本 过程 课堂互动探究 类型1 一次(二次)函数建模问题

函数模型及其应用(教学案)-2015年高考数学(文)一轮复习精品资料(新课标)(精品解析版)

2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】 第二章 函数与基本初等函数I 第10节 函数的综合问题与实际应用 一、课前小测摸底细 1.(教材习题改编2 )(x x f =，x x g 2)(=，x x h 2log )(=，当),4(+∞∈x 时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( ) A ．)()()(x h x g x f >> B ．)()()(x h x f x g >> C ．)()()(x f x h x g >> D ．)()()(x g x h x f >> 【答案】B 【解析】由图像知，当),4(+∞∈x 时，增长速度由大到小依次为)()()(x h x f x g >>．选B. 2.【2013年长沙调研】已知某食品厂生产100克饼干的总费用为1.80元，现该食品厂对饼干采用两种包装，其包装费及售价如下表所示： 下列说法中： ①买小包装实惠； ②买大包装实惠； ③卖3包小包装比卖1包大包装盈利多； ④卖1包大包装比卖3包小包装盈利多． 所有正确的说法是( ) A ．①④ B ．①③ C ．②③ D ．②④ 【答案】D 【解析】1包小包装每元买饼干1003克，1包大包装每元可买饼干3008.4＞100 3克，因此，买大包装实惠．卖3 包小包装可盈利2.1元，卖1包大包装可盈利2.2元，因此，卖3包小包装比卖1包大包装盈利少. 选D. 3.某物体一天中的温度T (℃)是时间t (h)的函数：T (t )＝t 3－3t ＋60(℃)，t ＝0表示中午12：00，其后t 取正值，则下午3时温度为( ) A ．8 ℃ B ．78 ℃ C ．112 ℃ D ．18 ℃

高一数学《函数模型及其应用》教案

高一数学《函数模型及其应用》教案 函数模型及其应用(1) 【学习导航】 知识网络 学习要求 1.了解解实际应用题的一般步骤; 2.初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法; 3.渗透建模思想，初步具有建模的能力. 自学评价 1.数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述. 2. 数学建模就是把实际问题加以抽象概括 建立相应的数学模型的过程，是数学地解决问题的关键. 3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察定义域. 【精典范例】 例1.写出等腰三角形顶角(单位：度)与底角的函数关系. 例2.某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为万元,生产每台计算机的可变成本为元,每台计算机的售价为元.分别写出总成本(万元)、单位成本(万元)、销售收入(万元)以及利润(万元)关于总产量(台)的函数关系式. 分析：销售利润销售收入成本,其中成本(固定成本可变

成本). 【解】总成本与总产量的关系为 课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。单位成本与总产量的关系为 销售收入与总产量的关系为 要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。 我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟

高中数学学案：函数模型及其应用

高中数学学案:函数模型及其应用 1. 能根据实际问题建立合理的函数模型． 2. 初步运用函数思想,理解和处理现实生活中的简单问题. 1. 阅读:必修1第98～100页． 2. 解悟:①读题:读懂和深刻理解题意,译为数学语言,找出主要关系；②建模:把主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题；③求解:化归为常规问题,选择合适的数学方法求解；④检验:对结果进行验证或评估,对错误加以调整,最后将结果应用于现实,做出解释或验证． 3. 践习:在教材空白处,完成第100页练习第3题. 基础诊断 1. 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,一个这样的细胞分裂x 次后,得到的细胞个数y 与x 的函数关系式是__y ＝2x (x ∈N *)__． 2. 某人若以每股17.25元购进股票一万股,一年后以每股18.96元抛售,假定手续费为交易额的0.3%.该年银行月复利率为0.8%,按月计算．为获取最大利润,此人应将钱__存入银行__. (填“购买股票”或“存入银行”) 解析:买股票获得的利润为18.96×10 000×(1－0.3%)－17.25×10 000＝16 531.2(元)；存入银行获得的利润为(17.25×10 000)×(1＋0.8%)12－(17.25×10 000)＝17 308.42(元)．因为16 531.2<17 308.42,所以存入银行获取最大利润． 3. 司机酒后驾驶危害他人的安全,一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg /mL ,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg /mL ,那么一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过__5__h ,才能开车. (精确到1 h ) 解析:设x h 后,驾驶员血液中的酒精含量不超过0.09 mg /mL ,则0.3×(1－25%)x ≤0.09,即? ??? ? 34x ≤0.3.令x ＝1,2,3,4,可得? ????34x >0.3.当x ＝5时,? ?? ??345 <0.3,故至少经过5 h ,才能开车． 4. 在某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元,若每批生产x 件,则平均仓储时间x 8 天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用

函数模型的应用实例 说课稿 教案 教学设计

函数模型的应用实例 课型：新授课 教学目标 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价. 二、教学重点 重点：利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题. 难点：将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价. 三、学法与教学用具 1.学法：自主学习和尝试，互动式讨论. 2.教学用具：多媒体 四、教学设想 （一）创设情景，揭示课题. 现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度. （二）实例尝试，探求新知 例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示. 1）写出速度v关于时间t的函数解析式； 2）写出汽车行驶路程y关于时间t的函数关系式，并作图象； 3）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； 4）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象. 本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题. 教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征. 注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式. 例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： 0rt y y e 其中t表示经过的时间， y表示t=0时的人口数，r表示人口的年均增长率.下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人） 年份1950 1951 1952 1953 1954 人数55196 56300 57482 58796 60266 年份1955 1956 1957 1958 1959

2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9讲函数模型及其应用学案

第9讲 函数模型及其应用 板块一 知识梳理·自主学习 [必备知识] 考点1 常见的函数模型 [必会结论] “f (x )＝x ＋a x (a ＞0)”型函数模型

形如f (x )＝x ＋a x (a ＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0]和(0，a ]上单调递减． (2)当x ＞0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x ＜0时，x ＝－a 时取最大值－2a . [考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2 的函数值大．( ) (2)幂函数比一次函数增长速度快．( ) (3)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中．( ) (4)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．( ) (5)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件商品仍能获利．( ) (6)当x ＞4时，恒有2x ＞x 2 ＞log 2x .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ (6)√ 2．[2018·长沙模拟]小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( ) 答案 C 解析 出发时距学校最远，先排除A ，中途堵塞停留，距离没变，再排除D ，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B. 3．[课本改编]已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为( ) A ．800米 B ．900米 C ．1000米 D ．1200米 答案 A 解析 设这个广场的长为x 米，则宽为40000x 米，所以其周长为l ＝2? ?? ? ?x ＋40000x ≥800， 当且仅当x ＝40000x ，即x ＝200时取等号． 4．[课本改编]某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相

2019-2020年高中数学 第三章函数的应用§3.2.2函数模型的应用实例(Ⅲ)教案 新人教A版必修1

2019-2020年高中数学第三章函数的应用§3.2.2函数模型的应用实例 （Ⅲ）教案新人教A版必修1 一、教学目标 1、知识与技能能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。 2、过程与方法体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。 3、情感、态度、价值观深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。 二、教学重点、难点： 重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。 难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。 三、学学与教学用具 1、学法：学生自查阅读教材，尝试实践，合作交流，共同探索。 2、教学用具：多媒体 四、教学设想 （一）创设情景，揭示课题 2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。 这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。 本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。 （二）尝试实践探求新知 例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表 （身高：cm；体重：kg） 1）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。 2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg的在校男生的体重是事正常？ 探索以下问题：

函数模型及其应用教案

Modeling and Problem Solving ——函数模型及其应用教案 中澳课程部王晓叶 学情分析：澳方MathB每次的Paper Test都分为两部分，其中Knowledge and Procedures（知识与过程）这个和普通高中数学相似，学生A/B率比较高，但是另外一部分Modeling and Problem Solving（建模与实际问题的解决）学生的A／B率不高。这一部分内容题目普遍很长、生词量较多，并且都是将数学知识应用于实际生活中，所以大多数学生遇到此类题目都是放弃不做。MathB这门课又特别注重实际生活问题的解决，而我们的学生这方面意识比较薄弱，抽象概括能力较弱。所以，我们的教学任务是提高学生的考试成绩等级，提高OP成绩。但是另一方面，12年级的学生大多数能灵活的使用图形计算器，具有一定的英语语言基础。 教学目标：1.了解函数模型在现实生活中的运用。 2.能够建立恰当的函数模型，并对函数模型进行简单的分析。 3.利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测。 教学重难点：1.建立合适的函数模型 2.利用得到的函数模型解决实际问题 教学过程 一、引入案例、探索新知（如何确定最合适的函数模型）（18分钟） 案例：根据《Daily Mail》报道，上个月一名中国留学生将自己车速飙到180公里／小时的录像传到了Instagram个人网页上，并以配以中文：“从Albany开回Perth，一路180公里／小时，将4.5小时的车程缩短到3.5小时。” 目前，他正在接受警方调查。 警察表示，视频显示这名男子在限速110公里／小时的高速公路开到了180公里／小时，他将面临巨额罚款、吊销驾照以及拘留。 Example1:The table below shows the relationship between the velocity of a car and the Velocity 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Distance 2 10 15 20 27 38 47 60 75 a. Use the calculator to find the relationship between the velocity of a car and the distance after it braking. b. What’s the minimum safe following distance for a car travelling at 110 km/h on the motor way? 项目罚款扣分超速少于10km/h 163澳元扣2分超速10km/h－20km/h 357澳元扣3分 超速20km/h－30km/h 726澳元扣5分 超速30km/h－40km/h 866澳元扣7分未系安全带341澳元扣3分闯红灯437澳元扣3分开车使用手机315澳元扣3分

函数模型的应用实例教学设计

《函数模型的应用实例》教学设计 一、教学内容 普通高中课程标准实验教科书（人民教育出版社A版）数学1（必修），3.2.2 函数模型的应用实例. 二、教学目标 知识与技能目标： 1.能根据图象和表格提供的有关信息和数据，建立函数模型； 2.会利用建立的函数模型解决实际问题； 3.培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换、数学建模等数学能力. 过程与方法目标： 1.通过实例分析，使学生感受函数的广泛应用，体会建立函数模型解决实际问题的思维过程； 2.渗透数形结合、分类讨论、化归转换等数学思想方法. 情感、态度与价值观目标： 1.让学生体验“问题解决”的成功喜悦，激发学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心； 2.培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度； 3.经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟“认识来源于实践又服务于实践”的辩证观点. 三、教材分析 本小节教材共有4个例题，大致分为两类，其中例3和例5是根据图表信息建立确定性函数模型解决实际问题；例4和例6是建立拟合函数模型解决实际问题.本小节分两个教学课时，本节课是第一课时.我以教材例3和例5为基础，分别在图形和数表两种不同应用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决实际问题.因此，本节课的教学重点是：根据图、表信息建立函数模型解决实际问题. 四、学情分析 学生已掌握了一些基本初等函数的相关知识，并在上一节《几类不同增长的函数模型》的学习中，初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程，这为本节课的学习奠定了知识基础.但学生的应用意识、应用能力比较弱，且正确运用数学知识解决实际问题，需要有较高的抽象概括能力、整体驾驭能力和局部处理能力，这些能力要求对学生的学习造成了一定的困难.因此，本节课的教学难点是：将实际问题抽象为数学问题，完成从文字语言、图表语言向符号语言的转化，并建立函数模型. 五、教学过程 （一）交流成果提出课题 学生交流上节课作业题“请举出生活中函数模型的应用实例”的成果，提出课题. 【设计意图】让学生体会函数与现实生活的密切联系，感受建 立函数模型解决实际问题的必要性，从而激发他们的学习内驱力， 也很自然地引入课题. （二）分析探究解决实例 【例1】一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系，如 图1所示. （1）求出图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际意义；

函数模型的应用实例(Ⅲ)

函数模型的应用实例（Ⅲ） 一、教学目标 1、知识与技能能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。 2、过程与方法体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。 3、情感、态度、价值观深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。 二、教学重点、难点： 重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。 难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。 三、学学与教学用具 1、学法：学生自查阅读教材，尝试实践，合作交流，共同探索。 2、教学用具：多媒体 四、教学设想 （一）创设情景，揭示课题 2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。 这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典

至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。 这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。 本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。 （二）尝试实践探求新知 例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表 （身高：cm；体重：kg） 1）根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。 2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg的在校男

2021年高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质.9函数模型及函数的综合应用课时练理

2021年高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质2.9函数 模型及函数的综合应用课时练理 1.[xx·衡水二中猜题]汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( ) 答案 A 解析 汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与t 的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的，故选A. 2．[xx·衡水中学月考]某种电热水器的水箱的最大容积是200升，加热到一定温度可以浴用，浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水2t 2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现在假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供( ) A ．3人洗澡 B ．4人洗澡 C ．5人洗澡 D ．6人洗澡 答案 B 解析 设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝17 2时，y 有最小 值，此时共放水34×17 2 ＝289升，可以供4人洗澡． 3．[xx·枣强中学预测]若函数f (x )＝a ＋|x |＋log 2(x 2＋2)有且只有一个零点，则实数a 的值是( ) A ．－2 B ．－1

C ．0 D ．2 答案 B 解析 将函数f (x )＝a ＋|x |＋log 2(x 2 ＋2)的零点问题转化为函数f 1(x )＝－a －|x |的图象与f 2(x )＝log 2(x 2＋2)的图象的交点问题．因为f 2(x )＝log 2(x 2＋2)在[0，＋∞)上单调递增，且为偶函数，因此其最低点为(0,1)，而函数f 1(x )＝－a －|x |也是偶函数，在[0，＋∞)上单调递减，因此其最高点为(0，－a )，要满足题意，则－a ＝1，因此a ＝－1. 4．[xx·冀州中学模拟]某购物网站在xx 年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C 解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，所以最少需要下的订单张数为3张，选C. 5. [xx·武邑中学预测]已知函数f (x )＝(x －a )2 ＋(ln x 2 －2a )2 ，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤4 5 成立，则实数a 的值为( ) A.15 B.25

函数模型及其应用教案_00002

适用学科
高中数学
适用年级
高一
适用区域 苏教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 几类不同增长的函数模型的特点、用已知函数模型解决实际问题、建立函数模型解决实际
问题
教学目标 利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、
指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；
了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实
例。
教学重点 了解函数模型的广泛应用。
教学难点 了解函数模型的广泛应用。
【知识导图】
教学过程
一、导入
函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升 的趋势。高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。出于“立意”和创 设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函 数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。
函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训 练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。
（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题； （2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最 值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。
二、知识讲解
考点 1 解决实际问题的解题过程第 1 页

2015届高考数学总复习第二章函数与导数第13课时函数模型及其应用教学案(含最新模拟、试题改编)

第二章 函数与导数第13课时 函数模型及其应用 第三章 (对应学生用书(文)、(理)33～36页 ) , 1. (必修1P 110练习1)某地高山上温度从山脚起每升高100 m 降低0.6 ℃.已知山顶的温度是14.6 ℃，山脚的温度是26 ℃，则此山的高为________m. 答案：1 900 解析：(26－14.6)÷0.6×100＝1 900. 2. (必修1P 71习题10改编)已知某种产品今年产量为1 000件，若计划从明年开始每年的产量比上一年增长10%，则3年后的产量为________件． 答案：1 331 解析：1 000×(1＋10%)3＝1 331. 3. (必修1P 35练习3改编)已知等腰三角形的周长为20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则该函数的定义域为________． 答案：(5，10) 4. (必修1P 110复习10)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)的函数关系式为v ＝2 000ln ????1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可以达到12 km/s. 答案：e 6－1 解析：由2 000ln ????1＋M m ＝12 000，得1＋M m ＝e 6，所以M m ＝e 6－1. 5. (必修1P 100练习3改编)某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数 关系为P ＝? ????t ＋20，0

2.9 函数模型及其综合应用-5年3年模拟北京高考

2.9 函数模型及其综合应用 五年高考 考点 函数的实际应用 1．（2013天津，8，5分）已知函数|).|1()(x a x x f +=设关于x 的不等式)()(x f a x f <+的解集为A ．若 ,]21 ,21[A ?-则实数a 的取值范围是( ) )0,251.(-A )0,231.(-B )231,0()0,251.(+- C )2 51,.(--∞D 2．（2012北京，8,5分）某棵果树前n 年的总产量S 。与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为 ( ) 5.A 7.B 9.C 11.D 3．（2013湖南．16,5分）设函数,)(x x x c b a x f -+=其中.0,0>>>>b c a c (1)记集合c b a c b a M ,,1),,{(=不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则M c b a ∈),,(所对应的 )(x f 的零点的取值集合为 (2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ;0)(),1,(>-∞∈?x f x ① ,R x ∈?②使c b a xx x ,,不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则),2,1(∈?x 使.0)(=x f 4．（2013课标全国I ．21，12分）设函数)(,)(2x g b ax x x f ++=).(d cx e x +=若曲线)(x f y =?和曲 线)(x g y =都过点P(O ，2)，且在点P 处有相同的切线.24+=x y (1)求a ，b ，c ，d 的值； (2)若2-≥x 时，),()(x kg x f ≤求k 的取值范围． 5．（2012江苏，17，14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程k x k kx y <+- =22)1(20 1 )0>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程；

第17讲 函数模型的应用实例(基础)

函数模型的应用实例 【学习目标】 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法. 2.通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用. 3.通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识. 【要点梳理】 要点一、解答应用问题的基本思想和步骤 1.解应用题的基本思想 2.解答函数应用题的基本步骤 求解函数应用题时一般按以下几步进行： 第一步：审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. 第二步：建模 在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求. 第三步：求模 运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果. 第四步：还原 把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实际背景. 上述四步可概括为以下流程： 实际问题(文字语言)?数学问题(数量关系与函数模型)?建模(数学语言)?求模(求解数学问题)?反馈(还原成实际问题的解答). 要点二、解答函数应用题应注意的问题 首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它. 其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号”表达出来，建立函数关系.

苏教版高中数学必修一学案：3.4函数模型及其应用

§34 函数的模型及其应用 主备：曹广明 审核：汪显林 做题：王建亚 一、教学重、难点 针对实际问题，掌握数据与各变量之间的对应关系，掌握几种常见函数模型的应用. 二、新课导航 1. 问题情境： 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依赖关系的有效工具，利用函数模型可以处理生产，生活中许多实际问题 三、合作探究 活动1 ： 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元。分别写出总成本C(单位：万元)\单位成本P(单位：万元)\销售收入R(单位：万元)以及利润L （单位：万元）关于总产量x （单位：台）的关系式． 活动2 ： 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ， 经过一定时间t 后的温度是T ，则h t a a T T T T )2 1()(0?-=-，其中a T 表示环境温度，h 称为半衰期。现有一杯用C ?88热水冲的速溶咖啡，放在C ?24的房间中，如果咖啡降温到C ?40需要min 20，那么降温到C ?35时，需要多长时间（结果精确到1.0）？ 活动3： 在经济学中，函数)(x f 的边际函数)(x Mf 定义为)()1()(x f x f x Mf -+=。某

公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x 台)(+∈N x 的收入函数为2203000)(x x x R -=（单位：元），其成本函数为()500+4000C x x =（单位：元），利润是收入与成本之差。 （1）求利润函数)(x P 及边际利润函数)(x MP ； （2）利润函数)(x P 与边际利润函数)(x MP 是否具有相同的最大值？ 活动4： 有十米的钢材,要做成如图的窗架,上半部分是半圆,下半部分为6个小长方形组 成的长方形,试问小长方形的长,宽为多少时窗户所通过的光线最多,求窗户面积的最大值（刚才宽度忽略不计）? 四、提高拓展 1．课本P100第3题． 五、教学反思 §34 函数的模型及其应用作业 班级 姓名 学号 日期 得分 一、填空题

3.2.2几种函数模型的应用举例

第三章 函数的应用 3.2.2几种函数模型的应用举例 【导学目标】 1．通过实例感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用，体会解决实际问题中建立函数模型的过程，从而进一步加深对这些函数的理解与应用； 2．初步了解对统计数据表的分析与处理． 【自主学习】 1、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型： ①一次函数模型：()(0);f x kx b k =+≠ ②二次函数模型：2()(0);g x ax bx c a =++≠ ③指数函数模型：()x f x a b c =+g （0,a b ≠＞0，1b ≠） ④对数函数模型：()log a f x m x b =+g （0,m ≠01a a >≠且） ⑤幂函数模型：12 ()(0);h x ax b a =+≠ 2、一般函数模型应用题的求解方法步骤： 1） 阅读理解，审清题意：逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解题中所反映的实际问题，明白已知什么，所求什么，从中提炼出相应的数学问题。 2）根据所给模型，列出函数表达式：合理选取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，而将实际问题转化为函数模型问题。 3）运用所学知识和数学方法，将得到的函数问题予以解答，求得结果。 4）将所解得函数问题的解，翻译成实际问题的解答。 在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制. 【典型例题】 例1：某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元． 销售单价与日均销售量的关系如下表所示： 请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?

高中数学必修一《函数模型及其应用》优秀教学设计

人教版数学必修① 3.2 函数模型及其应用 【课时安排】第4 课时 【教学对象】高一学生 【教材分析】数学建模是高中数学新课程的新增内容，但《标准》中没有对数学建模的课时和内容作具体安排，只是建议将数学建模穿插在相关模块的教学中。而"3.2 函数模型及其应用"一节只是通过六个例子介绍一次函数、二次函数、指数函数、对数函数与幂函数在解决实际问题中的作用，为以后的数学建摸实践打基础，还未能使学生真正理解数学建模的真实全过程。本节课通过一个较为真实的数学建模案例，以弥补教材的这一不足。 【学情分析】高一学生在进入本节课的学习之前，需要熟悉前面已学过的二次函数与三角函数的相关性质。 【教学目标】 知识与技能 （1）初步理解数学模型、数学建模两个概念； （2）掌握框图2——数学建模的过程。 过程与方法 （1）经历解决实际问题的全过程，初步掌握函数模型的思想与方法； 情感态度价值观 （1）体验将实际问题转化为数学问题的数学化过程； （2）感受数学的实用价值，增强应用意识； （3）体会数学以不变应万变的魅力。 【教学重点】框图2——数学建模的过程。 【教学难点、关键】方案二中答案的探究；关键是运用合情推理。 【教学方法】引导探究、讨论交流。 教学手段】计算机、PPT、几何画板。

教学过程设计】、教学流程设计

1： 教学节环教学内容教活师动学活生动设意计图 （五）最优解的探究：预计时间7 分钟 我们前面的设计是将横截面设计成矩形，将深 度、宽度分别设计为a/4 和a/2 时，可得到最大的 横截面积。 如果将水槽的横截面分别按照下图中的五种方 案进行设计，结果又如何呢？ 教 师将 学生 分成 五个 小 组， 并巡 视指 导学 生解 决问 题。 由于 缺少 导数 工 学生 动手探 究各自 的设计 方案 1、让 学生经 历数学 建模中 的优化 过程； 2、培 养学生 的探究 意识。 数学建模过程：预计时间2 分钟引导 分析 讲解 听讲 思考 这一实 际问题 的解决 过程， 概括出 数学建 模的基 本过 程，以 实现由 具体到 抽象的 升华。

《3.2函数模型及其应用》教学案

《3.2函数模型及其应用》教学案 一、教学目的 1、利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异； 2、结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸，对数增长等例外增长的函数模型的意义； 3、运用函数的三种表示法(解析式、图象、表格)并结合信息技术解决一些实际问题； 4、以一些实际例子，让学生了解社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的广泛应用. 二、教学重点、难点 重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等例外函数类型增长的含义.难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题. 三、教学过程 第一课时几类例外增长的函数模型 1、复习引入 师：在我们的生活中，有没有用到函数的例子？ 生：细胞分裂；银行储蓄；早晨跑步锻炼时速度与时间的关系；…… 师：很好，生活中，数学无处不在，用好数学，将会给我们带来很大的便当.今天，我们就来看一个利用数学为我们服务的例子. 2、新课 (用幻灯片展示例题) 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：1)每天回报40元； 2)第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 3)第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.

请问：你会选择哪一种投资方案？(让学生充分讨论) 教师提示： 1)、考虑回报量，除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑什么？(回报的累积值).2)、本题中涉及哪些数量关系？如何利用函数描述这些数量关系？ 教师引导学生分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作合适的指导. 设问：根据所列的表格中提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？ 教师引导学生观察表格中三个方案的数量变化情况，对“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等；让学生通过观察，说出自己的发现，并进行交流. 利用计算机作出函数图象，引导学生根据三个方案的例外变化趋势，描述三个方案的特点，为方案的选择提供依据. 通过自主活动，使学生认识到怎样选择才是正确的.综合学生的分析意见，教师总结：选择最佳方案，除了要考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益. 由上面的分析可见：投资8天以下(不含8天)，应选择第一种投资方案；投资8～10天，应选择第二种方案；投资11天(含11天)以上，则应选择第三种方案. 设问：若有人给你这么一个建议：投资前8天用第一种方案，第9天到第10天用第二种方案，投资第11天开始用第三种方案.你觉得这建议如何？ 3)、(幻灯片展示例题2) 设问：本题中涉及了哪几类函数模型？实质是什么？

《函数模型的应用实例》说课稿

《函数模型的应用实例》说课稿 一、教材分析 “加强数学应用，形成和发展学生的数学应用意识”是新课标数学教育教学的基本理念之一，为此，新课标实验教材（人教A版）特将“函数的应用”独立成章，其中“函数模型的应用实例”是本章教材的核心内容.从教材体系和内容分析，本小节教材内容彰显如下三个特点： （1）教材围绕具体实例展开研究，各例题涉及的实际问题既有社会性，又具有浓郁的生活气息，在情感上体现了一种亲和力，易于学生理解和接受. （2）在知识层面上本节教材没有新增内容，要求学生运用已有函数知识，体会建立函数模型的过程，感受函数在生产、生活、科学、社会等领域中的广泛应用，理解函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，培养数学建模能力. （3）本小节教材是上小节“几类不同增长的函数模型”的延续和发展.上小节主要学习如何根据给定的几个函数模型，通过比较其增长速度，选择合适的函数模型解决实际问题.本小节要求根据背景材料中的有关信息，建立函数模型解决实际问题，体现了更高层次的能力要求. 本小节是一节例题教学课，教材共安排了4个例题(例3～例6)，大致分为两类，其中例3和例5是根据图、表信息建立确定的函数模型解决实际问题，例4和例6是建立函数模型对样本数据进行拟合，再根据拟合函数模型解决实际问题.本小节分两个教学课时，本节课是第一课时.我将以教材例3和例5为基础，分别在图形和数表两种不同应用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决实际问题. 二、教学目标分析 知识与技能目标： 1.通过例3的教学，使学生能根据图象信息建立分段函数模型；通过例5的教学，使学生能根据表格提供的数据抽象出函数模型； 2.学生在根据图表信息建立函数模型后，要求会利用所建立的函数模型解决实际问题，体现函数建模的应用价值； 3.解决数学应用性问题，是培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言