第八章 离散因变量模型

第八章 离散因变量模型

离散（分类）因变量模型（Models with Discrete /Categorical Dependent Variables ）分为二元选择模型（Binary Choice Models ）和多类别选择（反应）模型（Multicategory Choice /Polytomous Response Models ）。在多类别选择模型中，根据因变量的反应类别（response category ）是否排序，又分为无序选择模型（Multinominal Choice Models ）和有序选择模型（Ordered Choice Models ）（也称有序因变量模型Ordered Dependent Variable Models 、有序类别模型Ordered Category Models 等）

一、二元选择模型

设因变量??

?=选择

某事件不发生或不做出选择某事件发生或做出某种

01Y

1、线性概率模型（LPM 模型） 如果采用线性模型i ki k i i X X Y εβββ++++= 110，

给定

ki i X X 1，设某事件发生的概率为P i ，则有

i i i ki i i P p P X X Y E =-?+?=)1(01)/(1

所以

ki

k i i X

X P βββ+++= 110

称之为线性概率模型。 不足之处：

1、不能满足对自变量的任意取值都有10≤≤i P 。

2、?

??=-=-=)0()

1(1i i i i i i Y P Y P ，，当当因为而是服从二项分布

不服从正态分布

εε

3、

)

1()1()()1()()(0

)(2

2

2

i i i i i i i i i i P P P P P P E Var E -?=-?-+?-===εεεε存在异方差

所以线性概率模型不是标准线性模型。 给定

ki i X X 1，为使10≤≤i P ，

可对i P 建立某个分布函数)(110ki k i X X F βββ+++ ，使i P 的取值在（0，1）。 2、Logit 模型（Dichotomous/ Binary Logit Model ）

Logit 模型是离散（分类）因变量模型的常用形式，它采用的是逻辑概率分布函数（Cumulative Logistic Probability Function ）Z

Z e

e

Z F +=

1)(（e 为自然对

数的底），逻辑曲线如图4-1所示。其中，二元Logit 模型是掌握多类别Logit 模型的基础。

图4-1 逻辑曲线（Logit Curve ）

以二元选择问题为例，设因变量Y 有0和1两个选择，由自变量X 来决定选择的结果。为了使二元选择问题的研究成为可能，首先建立随机效用模型：

令1

1

1

1

i i i X U μβα++=表示个体i 选择i y =1的效用，

00

0i i i X U μβα

++=表示个体i 选择i y =0的效用，

显然当01i i U U >时，选择结果为1，反之为0。将两个效用相减，即得随机效用模型：

)()()(0

101

0101i i i i i X U U μμββ

αα-+-+-=-，

记为 i

i i X y εβα++=*

（4-1）

当01

i

i

U U

>时，

*

>i y ，则个体i 选择i y =1的概率为：

)()0()0()1(*

i i i i i i X P X P y P y P βαεεβα-->=>++=>== 若i ε的概率分布为Logistic 分布，则有

)(1)()1(i i i i i X P X P y P βαεβαε--≤-=-->==

i

i

X X i i e

e

X F X F βαβαβαβα+++=

+=---=1)()(1

即 i

i

X X i e

e

y P βαβα+++=

=1)1( （4-2）

-0

.01

式（4-2）即为最常用的二元选择模型——Logit 模型。

二元Logit 选择模型的参数估计通常使用最大似然估计法，令似然函数

)

1(1

21))

1(1()1()(Pr )(Pr )(Pr i i y i n

i y

i n y P y P y ob y ob y ob L -==-==

=∏

，再求似然函

数L 的对数值最大时的参数估计量。

对（4-2）式进行适当的变换，得

i

e

X X X X i i X e

e

e e

y P y P i

X i

i

i i

βαβαβαβαβαβα+==+-

+==-=+++++log

111log

)

1(1)1(log

即 i

i i X

y P y P βα+==-=)

1(1)

1(l o g

（4-3）

式（4-3）与式（4-2）是等价的，而且更易于解释，式中)

1(1)1(=-=i i y P y P 为个体

i 做出选择1的机会比（odds ），式中的因变量是机会比（odds ）的自然对数，参数β的含义为自变量X 每增加一个单位机会比（odds ）的自然对数增加的数值。在多类别选择模型中，通常也是以机会比的自然对数(log-odds)作为因变量建立关于自变量X 的线性模型，统称为Logistic 回归。

3、Probit 模型

同Logit 模型的推导，不同在于取分布函数的形式为标准正态的分布函数，则有dt e

X F y P t

X i i i

2

2

21)()1(-

+∞

-?

=

+==βαπ

βα。

二、多类别Logit 模型（Polytomous Logit Model ）

对于多类别选择问题，即离散因变量Y 有两个以上的选择类别，可建立多类别Logit 模型来研究。根据因变量可供选择的结果类别是否排序，有几种不同类型的Logistic 回归，有的只适用于排序选择模型（如Cumulative logit models ，Adjacent Categories Models 等），有的对于非排序选择模型也适用（如Baseline Logit Models, Conditional Logit Models 等）。

1．基准类别Logit 模型(Baseline-Category Logit Model )

对于非排序选择问题，通常用基准类别Logit 模型来研究。

设离散因变量Y 有r 类可能结果，令r j ,2,1=代表r 个不同的结果类别，各类结果之间相互独立，不存在等级排序关系，定义j y ij =代表个体i 选择结果

j

，则个体i 的可能选择),2,1(),,(21r y y y y ir i i i ==；),,(21k X X X X =为k 个

影响因变量选择结果的自变量；定义ij π为个体i 选择结果j 的概率，即

)(j y P i ij ==π，则个体i 做出各类选择的概率),,(21ir i i i ππππ = ，

11

=∑=r

j ij

π

。

以*j 作为基准类别，可定义1-r 个机会比的自然对数（log-odds ）

)

,1(log

*

*

j j r j ij

ij ≠= ππ，引入自变量X ，则可得基准类别Logit 模型

（Baseline-Category Logit Model ）如下：

j i j

ij

ij X βα

ππ+=*

log

),1(*j j r j ≠= （4-4）

式中， ),,(21ik i i i X X X X =，n i ,2,1=，n 为样本容量，k 为自变量个数；

T

jk

j j j )

,,(2

1β

β

ββ =，r j ,2,1=，r 为离散因变量结果分类的个数。

可见，模型（4-4）中包括1-r 个方程，有)1()1(+?-k r 个待估参数。

与模型（4-4）等价的是各类结果出现的概率函数，当j 为非基准类别，即

*

j

j ≠时，

∑

≠+++

=

*

)

()

(1j

j X X ij j i j j i j e

e βαβαπ （4-5）

当j 为基准类别，即*j j =时，

∑

≠++

=

*

*

)

(11

j

j X ij j i j e

βαπ （4-6）

模型（4-4）—（4-6）是等价的，同样可以用最大似然估计法进行参数估计，通

过)1,1(r j n i y ij ==的联合概率函数导出似然函数：

ij

I n

i r

j ij L )

(1

1

∏∏

===

π （4-7）

其中，1=ij I ，如果个体i 选择结果j ；反之，0=ij I 。把（4-5）式和（4-6）式

代入（4-7）式并取对数得对数似然函数ij

I n

i r

j ij

L )

(log log 1

1

∏∏===π

，再通过对数似

然函数最大化的一阶条件求解模型参数。

模型（4-4）的参数jk β表示当其它自变量保持不变时，自变量k X 每变化一个单位，个体i 的选择落入第j 类的概率对比落入第*j 类的概率得到的机会比对数（log-odds ）变化jk β个单位。

对于基准类别（Baseline-Category ）Logit 模型而言，任可一个类别都可被选作基准类别，不会影响模型的拟合，只是式（4-4）的参数估计值及其解释发生变化，模型的对数似然函数值和因变量各个类别的概率预测值都不会改变。

基准类别（Baseline-Category ）Logit 模型非常灵活，通过式（4-4）可以求个体i 的选择落入任意两个类别的机会比对数（log-odds ），如要求结果j 对比结果m 的机会比对数，有

*

*

*

*

log

log

log

log

ij

im ij

ij ij

im

ij ij

im

ij ππππππππππ-==

)

()(m j

i m j

X ββ

αα

-+-= ),,1,(**

j m j j r m j ≠≠=

（4-8）

2．相邻级别Logit 模型(Adjacent-Category Logit Model )

若因变量各选择类别之间存在排序等级关系，如研究个体对某一产品的偏好程度，用1，2，3分别代表厌恶、一般、喜欢，则因变量Y=（1，2 ，3）为排序因变量（Ordered Dependent Variable ），对应的排序选择问题可以用相邻级别(Adjacent-Category )Logit 模型来研究。

设排序因变量有r 个选择类别，),2,1(r Y =，r j ,2,1=代表第j 个选择；

),,(21r ππππ =代表各个选择出现的概率（为简便起见，省略表示个体的下标

i

，下同）；),,(21k X X X X =代表k 个影响个体选择的自变量。定义个体的选

择落入相邻两个级别的机会比对数（log-odds ）为 )

1,2,1(log

1-=+r j j

j π

π，引

入自变量X ，可得相邻级别(Adjacent-Category )Logit 模型如下：

k

k j

j

j X

X

X βββα

π

π +++=+2

2111l o g

（1,2,1-=r j ） （4-9）

或

k

k j

j j X

X

X βββα

π

π

----=+2

2111

l o g

（1,2,1-=r j ）

模型（4-9）包括1-r 个回归方程和)1(-+r k 个待估参数。

相邻级别(Adjacent-Category )Logit 模型与基准类别（Baseline-Category ）Logit 模型（4-4）最大的区别在于它考虑了因变量的各选择类别之间的等级排序关系，并假设自变量X 对任意两个相邻级别的机会比对数的影响系数是相同的，因此模型（4-9）中回归系数β在所有相邻级别的回归方程中数值是一样的。事实上，若在基准类别（Baseline-Category ）Logit 模型（4-4）中加入因变量各类别内在等级排序的约束条件，可以得到与（4-9）式等价的相邻级别(Adjacent-Category )Logit 模型。

假设对排序因变量),2,1(r Y =，选择基准类别r j =*，根据式（4-4）建立Baseline-Category Logit 模型：

k

k j j j j r

j k

jk

j j j

r j

k

k r k

k r X

X

X X

X

X X

X

X X

X X )1(2

)1(11)1(1

1

2

2

11

22

221212212

1211111log log

log

log

++++++++=+++=+++=+++=βββα

ππβ

β

β

α

ππ

βββαππβββαππ （4-10）

由于因变量Y 的取值是排序的，因此如果自变量1X 有助于提高Y 的等级（设1

+j

的等级高于j ），则1X 增加一个单位，Y 取值为1+j 的可能性大于Y 取值为j 的可能性，这意味着11)1(j j ββ>+。不失一般性，假设对于任意X 均有j j ββ>+1，

)

,,(2

1

jk

j j j

β

β

β

β

=，并假设j β随着等级j 的提高而成比例增加，不妨设

β

β

j j

=，),,(21k ββββ =，将约束条件ββj j =代入（4-10）式，则可求得

（4-9）式的相邻级别(Adjacent-Category )Logit 模型：

)log(

)log(

log

1

1r

j

r

j j

j ππ

ππ

π

π-=++

k jk

k j j j j j j j X X X )()()()()1(22

2)1(111)1(1

β

ββ

βββαα

-+-+-+-=++++

k k j X X X βββα++++= 2211'

同理，可求得相邻p 个等级的任意两个类别的机会比对数为： )

log(

)log(

log

r

j

r

p

j j

p j ππ

ππ

π

π

-=++

k

jk k p j j p j j p j j p

j X

X

X )()()()()(222)(111)(β

ββ

ββ

βαα

-+-+-+-=++++

k

k j X p X p X p βββα++++= 2211'

(4-11)

模型（4-9）同样可以用极大似然估计法估计，利用计量软件包可以方便地求得因变量的取值落入各个等级的概率，模型参数k β表示当其它自变量保持不变时，自变量k X 每变化一个单位，因变量的取值落入任意两个相邻等级1+j 和

j

的机会比对数（log-odds ）都变化k β个单位。

3．比例优势累积Logit 模型(Proportional-Odds Cumulative Logit Model) 比例优势模型（Proportional Odds Model ，简称POM)也称累积Logit 模型

（cumulative logit model ），最早由McCullagh (1980)提出，是排序Logistic 回归中最常用的模型。目前，POM 广泛应用在社会经济统计学和生物医学统计领域。与相邻级别(Adjacent-Category )Logit 模型相比，POM 更适合研究自变量的变化对因变量等级变化的影响效应，即自变量数值的增加或减小是否有助于因变量级别的提高或降低。

POM 假设排序因变量Y 的类别等级受不可观测的潜变量*y 的影响，并且存在1-r 个未知的潜在分割点（cutpoint 或threshold ）121-<<

r

个等级1，

即： ???

?

???

?

?-=如果

如果如果

如果r ，，r ，，Y 121 *11*

22

*

11

*

y

c c y c c y c c y r r r <<<<<<---

若*y 是自变量X 的线性函数，则εβ+=X y *，T k X X X X ),,(21 =代表k 个自变量，),,(21k ββββ =，设ε服从Logistic 分布Z

Z e

e

Z F +=1)(，则可得Y 的累

积概率函数：

)()(*

j c y P j Y P ≤=≤

X

c

X c

j

j

j j

j

e

e

X c F X c P c X P ββββεεβ--+=

-=-≤=≤+=1)

()

()( 1,2,1-=r j （4-12）

比例优势模型（POM ）就是使用累积概率来定义机会比(odds)：

)

(1)()

()(j Y P j Y P j Y P j Y P odds >->=

≤>=

1,2,1-=r j （4-13）

式（4-13）表示Y 的等级大于j 与Y 的等级小于或等于j 的概率比，odds 数值越大，说明Y 的等级大于j 的可能性越大。相应的机会比对数（log-odds ）为：

???

?

??≤≤-=???? ??≤>)()(1log )()(log j Y P j Y P j Y P j Y P

1,2,1-=r j

将（4-12）式代入机会比对数，得比例优势模型（POM ）：

1

可以把二元Logit 模型看作是POM 的特例，对于两个级别0和1，存在分割点0=c ，使得：

0=Y ，if 0*

>y ，与（4-1）式的随机效用模型推导的结论相同。

X

X c j Y P j Y P j

j βα

β+=+-=???

?

??≤>)()(log

121->>>r ααα ，

1,2,1-=r j （4-14） 模型（4-14）包括1-r 个方程，每个方程的截距项不同（注意POM 的截距项与潜在分割点的符号相反），但所有方程中X 的回归系数是相同的，这就是比例优势模型的重要假定（The Proportional Odds Assumption ）：对于任意一个等级j ，Y 高于该等级与低于该等级的机会比对数（log-odds ）受X 变动的影响是相同的，即不论我们选择哪个等级，X 变动一个单位，机会比对数（log-odds ）都变动β个单位。根据（4-14），可得等价模型

X

X j j e

e

j Y P βαβα+++=

>1)( （4-15）

容易看出，若β为正，意味着X 的提高总是有助于Y 等级的提高，并且，相同

的β表示對任何j ，)(j Y P >的形态是相同的，图4-2表现了比例优势模型（POM ）

中X 和Y 的这种关系。

图4-2 比例优势模型（POM ）图示（0>β）

)(j Y P >

1 X

根据（4-12）式可计算Y 的各个等级出现的概率：

)

1()()(-≤-≤==j Y P j Y P j Y P 1,2,1-=r j

X

c X c X

c X c j j j j j j e

e

e e

X c F X c F ββββββ-------+-

+=

---=1111)()(1

)(1)(1X c F r Y P r β--==-

令),,(21ir i i i ππππ =代表个体i 各个等级出现的概率，则相应的对数似然函数

∑∑

===

n

i r

j ij

ij I L 1

1

log log π（其中，1=ij I ，如果个体i 出现等级j ；反之，0=ij I ），

模型的参数（包括j c 和β）估计量可通过最大化对数似然函数求得。

值得强调的一点，比例优势模型（4-14）中的每一个方程都可以看作是一个二元Logit 模型，此时，对每一个j ，令j Y >时用1表示，j Y ≤时用0表示。

三、Logit 模型参数的估计方法 1、数据是分组观测资料

对自变量的某组观测值i X ，因变量i Y 的i n 个观测值中有i r 个观测值取值为

1，其余为0，则i Y 等于1出现的概率i P 的估计值i

i i

n r P =?，

有i i i

i

X P P εβα++=-?1?log

， 若i ε满足经典假定，则可对上式用OLS 法进行估计，否则再对模型进行修正。

则i Y 等于1出现的概率i

i

X X i e

e

P βαβα+++=

1?

2、数据是未分组资料 用极大似然估计法。

四、Logit 模型参数的解释

建模的目的都是为了了解自变量对因变量的影响效应，在一般线性回归模型中，影响效应可以通过回归系数得到直接的解释，但对于非线性Logit 模型而言，对回归系数的解释就复杂得多，自变量的影响效应也较难计算，因为自变量对因变量的影响是通过对因变量各可能结果（outcome/category ）出现概率的影响来表现的，而Logit 模型都是定义因变量各可能结果的机会比对数（log-odds ）为自变量的线性函数，因此模型系数直观的解释是自变量每变动一个单位，在保持其它自变量不变的情况下，因变量各可能结果的机会比对数（log-odds ）变动的数值。显然，Logit 模型回归系数本身无法直接解释自变量对因变量的非线性影响（见（4-15）式和图4-2），正是这种复杂的内在联系使得Logit 模型中很难对回归系数做出直接的易于理解的解释，而通常是通过适当的变换用机会比变动的比率（Odds Ratio ）来解释模型。

Odds Ratio 的含义是自变量增加一个单位，在其它自变量保持不变的情况下，因变量出现不同结果类别的机会比（odds ）变动的比率。显然，Odds Ratio 比起回归系数而言，更进一步解释了自变量对因变量的影响效应，并且Odds Ratio 与回归系数联系紧密，它等于对相应自变量的回归系数按e 取幂，即等于

回归系数

e

，因此常被用来替代回归系数对模型进行解释。若回归系数>0，相应

的Odds Ratio>1，说明自变量增加一个单位导致机会比（odds ）数值增大，由于机会比（odds ）是因变量两类可能结果的概率之比，odds 数值增大，说明作为机会比分子的类别出现的可能性增大；若回归系数<0，相应的有0

以二元Logit i i i i i X y P y P y P y P βα+=====-=)

0()1(log

)

1(1)1(log

为例，

机会比Odds =

X

i i e

y P y P βα+===)

0()1(

Odds Ratio =

)

0()1()

10()11(111j X y P j X y P j X y P j X y P i i i i i ====+==+===

j

j e

e

βαβα+++)

1(

=1

βe

(11-=r j )

不妨设5.01=β，则65.11

=βe ，说明X 的数值增加1，某事件发生与不发生

的机会比（odds ）为原来的1.65倍，增加了65%，说明事件发生的概率增大（但并不意味着发生的概率增大为原来的1.65倍，因为Odds Ratio 是机会比的比率，而不是概率的比率）。

第八章 离散因变量模型

第八章离散因变量模型 离散（分类）因变量模型（Models with Discrete /Categorical Dependent Variables）分为二元选择模型（Binary Choice Models）和多类别选择（反应）模型（Multicategory Choice /Polytomous Response Models）。在多类别选择模型中，根据因变量的反应类别（response category）是否排序，又分为无序选择模型（Multinominal Choice Models）和有序选择模型（Ordered Choice Models）（也称有序因变量模型Ordered Dependent Variable Models、有序类别模型Ordered Category Models等） 一、二元选择模型 设因变量 1、线性概率模型（LPM模型） 如果采用线性模型， 给定，设某事件发生的概率为P i，则有 所以 称之为线性概率模型。 不足之处： 1、不能满足对自变量的任意取值都有。 2、 3、 所以线性概率模型不是标准线性模型。 给定，为使， 可对建立某个分布函数，使的取值在（0，1）。 2、Logit模型（Dichotomous/ Binary Logit Model） Logit模型是离散（分类）因变量模型的常用形式，它采用的是逻

辑概率分布函数（Cumulative Logistic Probability Function）（e为自然对数的底），逻辑曲线如图4-1所示。其中，二元Logit模型是掌握多类别Logit模型的基础。

图4-1 逻辑曲线（Logit Curve） 以二元选择问题为例，设因变量有0和1两个选择，由自变量来决定选择的结果。为了使二元选择问题的研究成为可能，首先建立随机效用模型： 令表示个体i选择=1的效用， 表示个体i选择=0的效用， 显然当时，选择结果为1，反之为0。将两个效用相减，即得随机效用模型： ， 记为（4-1） 当时，，则个体i选择=1的概率为： 若的概率分布为Logistic分布，则有 即（4-2） 式（4-2）即为最常用的二元选择模型——Logit模型。 二元Logit选择模型的参数估计通常使用最大似然估计法，令似然函数，再求似然函数L的对数值最大时的参数估计量。 对（4-2）式进行适当的变换，得 即（4-3） 式（4-3）与式（4-2）是等价的，而且更易于解释，式中为个体i做出选择1的机会比（odds），式中的因变量是机会比（odds）的自然对数，参数的含义为自变量每增加一个单位机会比（odds）的自然对数

离散系统的数学模型

6.4 离散系统的数学模型 为了研究离散系统的性能，需要建立离散系统的数学模型。本节主要介绍线性定常离散系统的差分方程及其解法，脉冲传递函数的定义，以及求开、闭环脉冲传递函数的方法。 6.4.1 差分方程及其解法 1. 差分的概念 设连续函数为，其采样函数为，简记为，则一阶前向差分定义为 ()e t ()e kT ()e k ()(1)()e k e k e k Δ=+? (6-32) 二阶前向差分定义为 2()[()][(1)()](1)()(2)2(1)(e k e k e k e k e k e k e k e k e k ΔΔ=Δ=Δ+?=Δ+?Δ=+?++) 1? (6-33) n 阶前向差分定义为 1()(1)()n n n e k e k e n ?Δ=Δ+?Δ (6-34) 同理，一阶后向差分定义为 ()()(1)e k e k e k ?=?? (6-35) 二阶后向差分定义为 2()[()][()(1)]()(1)()2(1)(2) e k e k e k e k e k e k e k e k e k ?=??=???=????=??+? (6-36) n 阶后向差分定义为 11()()(1)n n n e k e k e n ???=???? (6-37) 2. 离散系统的差分方程 对连续系统而言，系统的数学模型可以用微分方程来表示，即 **00d ()d ()d d i j n m i j i i j c t r t a b t t ===∑∑j (6-38) 式中，分别表示系统的输入和输出。如果把离散序列，看成连续系统中，的采样结果，那么式（6-38）可以化为离散系统的差分方程。 ()r t ()c t ()r k ()c k ()r t ()c t 设系统采样周期为T ，当T 足够小时，函数在()r t t kT =处的一阶导数近似为 ()[(1)]()r kT r k T r kT T ??≈& 可简写为 ()(1)()()r k r k r k r k T T ???≈=& (6-39) 同理，可以写出二阶导数

Simulink中连续与离散模型的区别(DOC)

Simulink中连续与离散模型的区别 matlab/simulink/simpowersystem中连续vs离散! 本文中的一些具体数学推导见下面链接：计算机仿真技术 1.连续系统vs离散系统 连续系统是指系统状态的改变在时间上是连续的，从数学建模的角度来看，可以分为连续时间模型、离散时间模型、混合时间模型。其实在simpowersystem的库中基本所有模型都属于连续系统，因为其对应的物理世界一般是电机、电源、电力电子器件等等。 离散系统是指系统状态的改变只发生在某些时间点上，而且往往是随机的，比如说某一路口一天的人流量，对离散模型的计算机仿真没有实际意义，只有统计学上的意义，所以在simpowersystem中是没有模型属于离散系统的。但是在选取模型，以及仿真算法的选择时，常常提到的discrete model、discrete solver、discrete simulate type等等中的离散到底是指什么呢？其实它是指时间上的离散，也就是指离散时间模型。 下文中提到的连续就是指时间上的连续，连续模型就是指连续时间模型。离散就是指时间上的离散，离散模型就是指离散时间模型，而在物理世界中他们都同属于连续系统。为什么要将一个连续模型离散化呢？主要是是从系统的数学模型来考虑的，前者是用微分方程来建模的，而后者是用差分方程来建模的，并且差分方程更适合计算机计算，并且前者的仿真算法（simulationsolver）用的是数值积分的方法，而后者则是采用差分方程的状态更新离散算法。 在simpowersystem库中，对某些物理器件，既给出的它的连续模型，也给出了它的离散模型，例如： 离散模型一个很重要的参数就是采样时间sampletime，如何从数学建模的角度将一个连续模型离散化，后面会有介绍。在simpowersystem中常用powergui这个工具来将系统中的连续模型离散以便采用discrete算法便于计算机计算。

第八章_Black-Scholes_模型(金融衍生品定价理论讲义)

第八章 Black-Scholes 模型 金融学是一门具有高度分析性的学科，并且没有什么能够超过连续时间情形。概率论和最优化理论的一些最优美的应用在连续时间金融模型中得到了很好地体现。Robert C. Merton ，1997年诺贝尔经济学奖得主，在他的著名教科书《连续时间金融》的前言中写到： 过去的二十年证明，连续时间模型是一种最具有创造力的多功能的工具。虽然在数学上更复杂，但相对离散时间模型而言，它能够提供充分的特性来得到更精确的理论解和更精练的经验假设。 因此，在动态跨世模型中引入的真实性越多，就能够得到比离散时间模型越合理的最优规则。在这种意义上来说，连续时间模型是静态和动态之间的分水岭。 直到目前为止，我们已经利用二项树模型来讨论了衍生证券的定价问题。二项树模 型是一种离散时间模型，它是对实际市场中交易离散进行的一种真实刻画。离散时间模型的极限情况是连续时间模型。事实上，大多数衍生定价理论是在连续时间背景下得到的。与离散时间模型比较而言，尽管对数学的要求更高，但连续时间模型具有离散时间模型所没有的优势：（1）可以得到闭形式的解。闭形式解对于节省计算量、深入了解定价和套期保值问题至关重要。（2）可以方便的利用随机分析工具。 任何一个变量，如果它的值随着时间的变化以一种不确定的方式发生变化，我们称它为随机过程。如果按照随机过程的值发生变化的时间来分，随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。如果按照随机过程的值所取的范围来分，随机过程可以分为连续变量随机过程和离散变量随机过程。在这一章中，我们先介绍股票价格服从的连续时间、连续变量的随机过程：布朗运动和几何布朗运动。理解这个过程是理解期权和其他更复杂的衍生证券定价的第一步。与这个随机过程紧密相关的一个结果是Ito 引理，这个引理是充分理解衍生证券定价的关键。 In this chapter we study the best-known continuous time model, the Black-SCHOLES MODEL. This model, developed by Fischer Black and Myron Scholes in 1973, describes the value of a European option on an asset with no cash flows. The model has had a huge influence on the way that traders price and hedge options. It has also been pivotal to the growth and success of financial engineering in the 1980s and 1990s. The model requires only five inputs: the asset price, the strike price, the time to maturity, the risk-free rate of interest, and the volatility. The Black-Scholes model has becomes the basic benchmark model for pricing equity options and foreign currency options. It is also sometimes used, in a modified form, to price Eurodollar futures options, Treasury bond options, caps, and floors. We cannot say that we have mastered option pricing theory unless we understand the Black-Scholes formula. 本章的第二部分内容在连续时间下推导Black-Scholes 欧式期权定价公式，我们分别利用套期保值方法和等价鞅测度方法。并对所需的参数进行估计。最后讨论标的股票支付红利的欧式期权定价问题。 1．连续时间随机过程 我们先介绍Markov 过程。 定义：一个随机过程{}03t t X 称为Markov 过程，如果预测该过程将来的值只与它的目 前值相关，过程过去的历史以及从过去运行到现在的方式都是无关的，即 [][]t s t s X X E X E =Y （1） 这里，t s 3，t Y 表示直到时间t 的信息。 我们通常假设股票的价格过程服从Markov 过程。假设IBM 公司股票的现在的价格是100元。如果股票价格服从Markov 过程，则股票一周以前、一个月以前的价格对于预测股票将来价格是无用的。唯一相关的信息是股票当前的价格100元。由于我们对将来价格

第五章离散选择模型

第五章离散选择模型 在初级计量经济学里，我们已经学习了解释变量是虚拟变量的情况，除此之外，在实际问题中，存在需要人们对决策与选择行为的分析与研究，这就是被解释变量为虚拟变量的情况。我们把被解释变量是虚拟变量的线性回归模型称为离散选择模型，本章主要介绍这一类模型的估计与应用。 本章主要介绍以下内容： 1、为什么会有离散选择模型。 2、二元离散选择模型的表示。 3、线性概率模型估计的缺陷。 4、Logit模型和Probit模型的建立与应用。 第一节模型的基础与对应的现象 一、问题的提出 在研究社会经济现象时，常常遇见一些特殊的被解释变量，其表现是选择与决策问题，是定性的，没有观测数据所对应；或者其观测到的是受某种限制的数据。 1、被解释变量是定性的选择与决策问题，可以用离散数据表示，即取值是不连续的。例如，某一事件发生与否，分别用1和0表示；对某一建议持反对、中立和赞成5种观点，分别用0、1、2表示。由离散数据建立的模型称为离散选择模型。 2、被解释变量取值是连续的，但取值的范围受到限制，或者将连续数据转化为类型数据。例如，消费者购买某种商品，当消费者愿意支付的货币数量超过该商品的最低价值时，则表示为购买价格；当消费者愿意支付的货币数量低于该商品的最低价值时，则购买价格为0。这种类型的数据成为审查数据。再例如，在研究居民储蓄时，调查数据只有存款一万元以上的帐户，这时就不能以此代表所有居民储蓄的情况，这种数据称为截断数据。这两种数据所建立的模型称为受限被解释变量模型。有的时候，人们甚至更愿意将连续数据转化为上述类型数据来度量，例如，高考分数线的设置，

就把高出分数线和低于分数线划分为了两类。 下面是几个离散数据的例子。 例5.1 研究家庭是否购买住房。由于，购买住房行为要受到许多因素的影响，不仅有家庭收入、房屋价格，还有房屋的所在环境、人们的购买心理等，所以人们购买住房的心理价位很难观测到，但我们可以观察到是否购买了住房，即 我们希望研究买房的可能性，即概率(1) P Y=的大小。 例5.2 分析公司员工的跳槽行为。员工是否愿意跳槽到另一家公司，取决于薪资、发展潜力等诸多因素的权衡。员工跳槽的成本与收益是多少，我们无法知道，但我们可以观察到员工是否跳槽，即 例5.3 对某项建议进行投票。建议对投票者的利益影响是无法知道的，但可以观察到投票者的行为只有三种，即 研究投票者投什么票的可能性，即(),1,2,3 ==。 P Y j j 从上述被解释变量所取的离散数据看，如果变量只有两个选择，则建立的模型为二元离散选择模型，又称二元型响应模型；如果变量有多于二个的选择，则为多元选择模型。本章主要介绍二元离散选择模型。 离散选择模型起源于Fechner于1860年进行的动物条件二元反射研究。1962年，Warner首次将它应用于经济研究领域，用于研究公共交通工具和私人交通工具的选择问题。70-80年代，离散选择模型被普遍应用于经济布局、企业选点、交通问题、就业问题、购买行为等经济决策领域的研究。模型的估计方法主要发展于20世纪80年代初期。（参见李子奈，高等计量经济学，清华大学出版社，2000年，第155页-第156页） 二、线性概率模型 对于二元选择问题，可以建立如下计量经济模型。

计量经济学经典eviews 离散和受限因变量模型

离散和受限因变量模型 前面所描述的回归方法要求能在连续和无限制的规模上观察到因变量。然而，也经常出现违背上述条件的情形，即产生非连续或受限因变量。我们将会识别三种类型的变量： 1．定性（在离散或排序的规模上）； 2．审查或截断； 3．整数估值（计数数据）。 在这章里我们讨论这几种定性和受限因变量模型的估计方法。EViews 提供了二元或排序（普罗比特probit 、逻辑logit 、威布尔gompit ），审查或截断（托比特tobit 等），和计数数据模型的估计程序。 §17.1 二元因变量模型 二元因变量模型（Binary Dependent V ariable Models ）估计方法主要发展与20世纪80年代初期。普遍应用于经济布局、企业定点、交通问题、就业问题、购买决策领域的研究。例如，公共交通工具和私人交通工具的选择问题。选择利用公共交通工具还是私人交通工具，取决于两类因素：一类是诸如速度、耗费时间、成本等两种交通工具所具有的属性；一类是决策个体所具有的属性，诸如职业、年龄、收入水平、健康状况等。从大量的统计中，可以发现选择结果与影响因素之间具有一定的因果关系。研究这一关系对制定交通工具发展规划无疑是十分重要的。 在本节介绍的模型中，因变量y 只具有两个值：1或者0。y 可能是代表某一事件出现的虚拟变量，或者是两种选择中的一种。例如，y 可能是每个人（被雇佣或不被雇佣）雇用状况的模型，每一人在年龄、教育程度、种族、婚姻状况和其它可观测的特征方面存在差异，我们将其设为x 。目标是将个体特征和被雇用的概率之间的关系量化。 假定一个二元因变量y ，具有0和1两个值。y 对x 简单的线性回归是不合适的。而且从简单的线性回归中得到y 的的拟合值也不局限于0和1之间。替代地，我们采用一种设定用于处理二元因变量的特殊需要。假定我们用以下模型刻画观察值为1的概率为： Pr )(1),1(ββi i i x F x y '--== 这里F 是一个连续、严格单调递增的函数，它采用实际值并返回一个介于0和1之间的数。F 函数的选择决定了二元模型的类型。可以得到 Pr )(),0(ββi i i x F x y '-== 给出了这样的设定以后，我们能用极大似然估计方法估计模型的参数。极大似然函数为 ∑=--+'--==n i i i i i x F y x F y L 0))(log )1())(1log(()(log )(ββββ 极大似然函数的一阶条件是非线性的，所以得到参数估计需要一种迭代的解决方法。缺省地，EViews 使用二阶导数用于参数估计的协方差矩阵的迭代和计算。 有两种对这种设定的重要的可选择的解释。首先，二元变量经常作为一种潜在的变量规定被生成。假定有一个未被观察到的潜在变量*i y ，它与x 是线性相关的： i i i u x y +'=β* 这里i u 是随机扰动。然后被观察的因变量由*i y 是否超过临界值来决定

离散选择模型1121

Logistic回归在SPSS中应用讲课人：谢小燕 Email：xiexy@https://www.sodocs.net/doc/d617496605.html,.cm 办公室：通博楼B座211 1

内容 第一节模型的种类和形式 第二节模型系数的检验和拟合优度 第三节应用SPSS完成模型估计和输出解读 2

第一节模型的种类和形式 当遇到被解释变量是分类变量时，我们可能选择离散选择模型来建立变量间的因果关系，而不是用线性回归方程。这类模型可以用来了解客户的信用度、消费者的消费行为、癌症是否转移、医生是否选择多点从业和出行选择何种交通工具等。根据被解释变量分类变量和概率分布函数的类型，产生了不同的离散选择模型。 3

二元Logistic模型—如果被解释变量是二分变量，连接分布函数（link function）为逻辑斯蒂函数。 多元Logistic模型—如果被解释变量是多分类无序次变量，连接分布函数为逻辑斯蒂函数。 有序Logistic模型—如果被解释变量是多分类有序次变量，连接分布函数为逻辑斯蒂函数。 Probit模型—连接分布函数是标准正态分布函数。 为了说明这类模型的机理，我们以二元Logistic回归为例，介绍模型形成过程。从而理解一些概念。 4

5 一、二元Logistic 模型 在讨论家庭是否购房的问题中，可将家庭购买住房的决策用数字1 表示，而将家庭不购买住房的决策用数字0表示。 1 yes y no ?=?? 考虑某个家庭在一定的条件下是否购买住房问题时，表示状态的虚拟变量作为一个被说明对象的因变量出现在经济模型中。 后面变量下标i 表示各不同的样本点，取值0或l 的因变量i y 表示第i 个样本点具体选择，而影响其进行选择的自变量i x 。如果选择响应YES 的概率为(1/)i p y =i x ，则经济主体选择响应NO 的概率为1(1/)i i p y -=x 。 则(/)1(1/)0(0/)i i i i i i E y p y p y =?=+?=x x x ＝(1/)i i p y x =。

第十八章-离散选择模型和受限因变量模型

第18章离散选择模型和受限因变量模型 18.1概述 在经典计量经济学模型中，被解释变量通常被假定为连续变量，但在现实的经济决策中经常面临许多选择问题。在这样的决策问题中，或者选择问题中，人们必须对可供选择的方案作出选择。通常被解释变量是连续的变量，但此时的因变量只取有限多个离散的值。例如：人们对交通工具的选择，是选择坐轻轨、地铁还是公共汽车；某大型企业是否合并另一企业；对某一方案的建议持强烈反对、反对、中立、支持和强烈支持5种态度，可以分别用0，1，2，3和4表示。以这样的选择结果作为被解释变量建立的计量经济学模型，称为离散被解释变量数据计量经济学模型（models with discrete dependent variables），或称为离散选择模型（DCM，discrete choice model）。如果被解释变量只能有两种选择，称为二元选择模型（binary choice model）；如果被解释变量有多种选择，称为多元选择模型（multiple choice model）。20世纪70和80年代，离散选择模型普遍应用于经济布局、企业定点、交通问题、就业问题、购买决策等经济决策领域的研究。 在实际中，还会经常遇到因变量受到某种限制的情况，这种情况下，取得样本数据来自总体的一个子集，可能不能完全反映总体。例如，小时工资、住房价格和名义利率都必须大于零。这时需要建立的经济计量模型称为受限因变量模型（limited dependent variable model）。这两类模型经常用于调查数据的分析中。 本章将讨论三类模型及其估计方法和软件操作。一是定性（观测值为离散的或者表示排序）；二是截取或者截断问题；三是观测值为整数值的计数模型。 18.2二元因变量模型 在这个模型中，被解释变量只取两个值，可以是代表某件事发生与否的虚拟变量，也可以是两个决策中选一个，称为二元因变量模型。例如：对样本个体是否就业的研究，个体的

离散选择模型完整版

离散选择模型 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

第五章离散选择模型 在初级计量经济学里，我们已经学习了解释变量是虚拟变量的情况，除此之外，在实际问题中，存在需要人们对决策与选择行为的分析与研究，这就是被解释变量为虚拟变量的情况。我们把被解释变量是虚拟变量的线性回归模型称为离散选择模型，本章主要介绍这一类模型的估计与应用。 本章主要介绍以下内容： 1、为什么会有离散选择模型。 2、二元离散选择模型的表示。 3、线性概率模型估计的缺陷。 4、Logit模型和Probit模型的建立与应用。 第一节模型的基础与对应的现象 一、问题的提出 在研究社会经济现象时，常常遇见一些特殊的被解释变量，其表现是选择与决策问题，是定性的，没有观测数据所对应；或者其观测到的是受某种限制的数据。 1、被解释变量是定性的选择与决策问题，可以用离散数据表示，即取值是不连续的。例如，某一事件发生与否，分别用1和0表示；对某一建议持反对、中立和赞成5种观点，分别用0、1、2表示。由离散数据建立的模型称为离散选择模型。 2、被解释变量取值是连续的，但取值的范围受到限制，或者将连续数据转化为类型数据。例如，消费者购买某种商品，当消费者愿意支付的货币数量超过该商品的最低价值时，则表示为购买价格；当消费者愿意支付的货币数量低于该商品的最低价值时，则购买价格为0。这种类型的数据成为审查数据。再例如，在研究居民储蓄时，调查数据只有存款一万元以上的帐户，这时就不能以此代表所有居民储蓄的情况，这种数据称为截断数据。这两种数据所建立的模型称为受限被解释变量模型。有的时候，人们甚至更愿意将连续数据转化为上述类型数据来度量，例如，高考分数线的设置，就把高出分数线和低于分数线划分为了两类。 下面是几个离散数据的例子。 例研究家庭是否购买住房。由于，购买住房行为要受到许多因素的影响，不仅有家庭收入、房屋价格，还有房屋的所在环境、人们的购买心理等，所以人们购买住

离散数学建模

离散建模 专业计算机科学与技术班级 姓名 学号 授课教师 二 O 一七年十二月

离散建模是离散数学与计算机科学技术及IT技术应用间的联系桥梁。也是学习离散数学的根本目的。 它有两部分内容组成: 1.离散建模概念与方法 2.离散建模应用实例 一.离散建模概念与方法 1.1离散建模概念 在客观世界中往往需要有许多问题等待人们去解决。而解决的方法很多，最为常见的方法是将客观世界中的问题域抽象成一种形式化的数学表示称数学模型，从而将对问题域的求解变成为对数学表示式的求解。而由于人们对数学的研究已有数千年历史，并已形成了一整套行之有效的对数学求解的理论与方法，因此用这种数学方法去解决实际问题可以取得事倍功半的作用。而采用这种方法的关键之处是数学模型的建立，它称为数学建模，而当这种数学模型是建立在有限集或可列集之上时，此种模型的建立称离散建模。 1.2.离散建模方法 （1）两个世界理论 在离散建模中有两个世界，一个是现实世界另一个是离散世界。现实世界是问题域产生的世界，离散世界则是一种数学世界，它有三个特性：离散世界采用离散数学语言，该语言具有简洁性且表达力丰富。 离散世界所表示的是一种抽象符号，它是一种形式化符号体系。 离散世界中的环境简单，它在离散建模时设立，可以屏蔽大量无关信息对问题求解的干扰。 为求解问题须将问题域转换成离散模型,然后对离散模型求解,再逆向转换成现实世界中的解. （2）两个世界的转换 在离散建模方法中需要构作两种转换，即由现实世界到离散世界的转换以及由离散世界到现实世界的逆转换，而其中第一种转换尤为重要，这种转换我们一般即称之为离散建模。 下面对两种转换作介绍： 现实世界到离散世界的转换

离散选择模型

离散选择模型 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

第五章离散选择模型 在初级计量经济学里，我们已经学习了解释变量是虚拟变量的情况，除此之外，在实际问题中，存在需要人们对决策与选择行为的分析与研究，这就是被解释变量为虚拟变量的情况。我们把被解释变量是虚拟变量的线性回归模型称为离散选择模型，本章主要介绍这一类模型的估计与应用。 本章主要介绍以下内容： 1、为什么会有离散选择模型。 2、二元离散选择模型的表示。 3、线性概率模型估计的缺陷。 4、Logit模型和Probit模型的建立与应用。 第一节模型的基础与对应的现象 一、问题的提出 在研究社会经济现象时，常常遇见一些特殊的被解释变量，其表现是选择与决策问题，是定性的，没有观测数据所对应；或者其观测到的是受某种限制的数据。 1、被解释变量是定性的选择与决策问题，可以用离散数据表示，即取值是不连续的。例如，某一事件发生与否，分别用1和0表示；对某一建议持反对、中立和赞成5种观点，分别用0、1、2表示。由离散数据建立的模型称为离散选择模型。 2、被解释变量取值是连续的，但取值的范围受到限制，或者将连续数据转化为类型数据。例如，消费者购买某种商品，当消费者愿意支付的货币数量超过该商品的最低价值时，则表示为购买价格；当消费者愿意支付的货币数量低于该商品的最低价值时，则购买价格为0。这种类型的数据成为审查数据。再例如，在研究居民储蓄时，调查数据只有存款一万元以上的帐户，这时就不能以此代表所有居民储蓄的情况，这种数据称为截断数据。这两种数据所建立的模型称为受限被解释变量模型。有的时候，人们甚至更愿意将连续数据转化为上述类型数据来度量，例如，高考分数线的设置，就把高出分数线和低于分数线划分为了两类。 下面是几个离散数据的例子。 例研究家庭是否购买住房。由于，购买住房行为要受到许多因素的影响，不仅

离散系统的Simulink仿真

电子科技大学中山学院学生实验报告 院别：电子信息学院课程名称：信号与系统实验 一、实验目的 1.掌握离散系统Simulink的建模方法。 2.掌握离散系统时域响应、频域响应的Simulink仿真方法。 二、实验原理 离散系统的Simulink建模、仿真方法与连续系统相似，其系统模型主要有z域模型、传输函数模型和状态空间模型等形式。 现采用图1的形式建立系统仿真模型，结合如下仿真的命令，可得到系统的状态空间变量、频率响应曲线、单位阶跃响应和单位冲激响应的波形。 图1 系统响应Simulink仿真的综合模型 仿真命令： [A,B,C,D]=dlinmod（‘模型文件名’）%求状态空间矩阵，注意：‘模型文件名’不含扩展名 dimpulse(A,B,C,D) %求冲激响应 dimpulse(A,B,C,D,1,N 1:N 2 ) %求k=N 1 ~N 2 区间（步长为1）的冲激响应 dimpulse(A,B,C,D,1,N 1:△N: N 2 ) %求冲激响应在k=N 1 ~N 2 区间（步长为△N） 的部分样值 dstep(A,B,C,D) %求阶跃响应 dstep(A,B,C,D,1,N 1:△N:N 2 ) dbode(A,B,C,D,T s )%求频率响应（频率范围： Ts ~ π ω=，即π ~ 0=）。T s 为 取样周期，一般去T s =1. dbode(A,B,C,D, T s ,i u ,w :△w:w 1 ) %求频率响应（频率=范围：ω=w ~w 1 ， 即θ=（w0~w1）T s，△w为频率步长）；i u为系统输入端口的编号，系统只有一个输入端

第8章 离散模型

第8章 离散模型 8.1 设n 阶矩阵A 为一致阵，证明A 具有下列性质： （1）A 的秩为1，唯一的非零特征根为n ； （2）A 的任一列向量都是对应于n 的特征向量。 解： （1） 由一致阵的定义， ik ij jk a a a =，1,2,k n = ，所以A 的任意两行成比例，对A 进行初等行变换得B B=111210000 00n a a a ????? ??? ? ? ?? ，所以A 的秩为1。 由初等变换及初等矩阵的关系得，存在可逆阵P ，使得PA=B ，所以 11PAP BP --== 1112 100000 0n c c c ???????? ? ??? =C ，则A 与C 相似，便有相同的特征根。 易知C 的特征根为11c （一次根），0；由于对任意矩阵A 有12()n tr A λλλ+++= ，于是11c =n ， 所以A 的唯一非零特征值为n 。 （2） 对于A 的任一列向量[]12,,,T k k nk a a a ，有： []12,,,T k k nk A a a a =12111,,,T n n n j jk j jk nj jk j j j a a a a a a ===??????∑∑∑ =12111,,,T n n n k k nk j j j a a a ===?????? ∑∑∑ =[]12,,,T k k nk n a a a 所以，每一列均为对应于n 的特征向量。 8.2 若发现一成对比较矩阵A 的非一致性较为严重，应如何寻找引起非一致性的元素？例如，设已构造了成对比较矩阵 ?? ?? ? ?????=16131615311A （1）对A 作一致性检验； （2）若A 的非一致性较严重，应如何作修正。 解：（1） 对A 作一致性检验，算出A 的最大特征值，

离散选择模型在市场研究中的应用

离散选择模型在市场研究中的应用 黄晓兰沈浩 北京广播学院, 北京100024 摘要：离散选择模型是一种复杂、非线性的多元统计分析方法和市场研究技术，主要基于消费者对产品/服务的选择来模拟消费者的购买行为。本文通过手机话费价格研究介绍了离散选择模型的基本原理和操作步骤，以及采用M ultinomial Logit Model计算属性效用值、选择概率和模拟市场占有率，获得价格弹性曲线的方法。 关键词：属性；水平；正交实验设计、选择集、效用值、选择概率、M ultinomial Logit Model 离散选择模型（Discrete Choice Model），也叫做基于选择的结合分析模型（Choice-Based Conjoint Analysis），是一种非常有效且实用的市场研究技术。该模型是在实验设计的基础上，通过模拟所要研究产品/服务的市场竞争环境，来测量消费者的购买行为，从而获知消费者如何在不同产品/服务属性水平和价格条件下进行选择。这种技术可广泛应用于新产品开发、市场占有率分析、品牌竞争分析、市场细分和价格策略等市场营销领域。同时离散选择模型也是一种处理离散的、非线性的定性数据的复杂高级多元统计分析技术，它采用Multinomial Logit Model进行数据统计分析。目前，国内在采用该模型进行市场研究方面还是一项空白，本文主要介绍了离散选择模型的基本原理，选择集实验设计、问卷设计、数据收集和处理、模型分析和结果解释等主要操作步骤，并给出了一个手机市场价格研究的应用案例。 1离散选择模型的基本概念和原理 离散选择模型主要用于测量消费者在实际或模拟的市场竞争环境下如何在不同产品/服务中进行选择。通常是在正交实验设计的基础上，构造一定数量的产品/服务选择集（Choice Set），每个选择集包括多个产品/服务的轮廓（Profile），每一个轮廓是由能够描述产品/服务重要特征的属性(Attributes)以及赋予每一个属性的不同水平（Level）组合构成。例如消费者购买手机的重要属性和水平可能包括：品牌（A，B，C）、价格（1500元，1750万元，2000元）、功能（短信，短信语音，图片短信）等，离散选择模型是测量消费者在给出不同的产品价格、功能条件下是选择购买品牌A，还是品牌B或者品牌C，还是什么都不选择。离散选择模型的一个重要的假定是：消费者是根据构成产品/服务的多个属性来进行理解和作选择判断；另一个基本假定是：消费者的选择行为要比偏好行为更接近现实情况。 它与传统的全轮廓结合分析（Full Profiles Conjoint Analysis）都是在全轮廓的基础上采用分解的方法测量消费者对某一轮廓（产品）的选择与偏好，对构成该轮廓的多个属性和水平的选择与偏好，用效用值（Utilities）来描述。但是，它与传统的结合分析的最大区别在于：离散选择模型不是测量消费者的偏好，而是获知消费者如何在不同竞争产品选择集中进行选择。因此，离散选择模型在价格研究中是一种更为实际、更有效、也更复杂的技术。具体表现在： ●将消费者的选择置于模拟的竞争市场环境，“选择”更接近消费者的实际购买行为； 消费者的选择行为要比偏好态度更能反映产品不同属性和水平的价值，也更具有针 对性； ●消费者只需做出“买”或“不买”的回答，数据获得更容易，也更准确； ●消费者可以做出“任何产品都不购买”的决策，这与现实是一致的； ●实验设计可以排除不合理的产品组合，同时可以分析产品属性水平存在交互作用的

离散系统的数学模型

232 6.4 离散系统的数学模型 为研究离散系统的性能，需要建立离散系统的数学模型。线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种。本节主要介绍差分方程及其解法，脉冲传递函数的定义，以及求开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的方法。有关离散状态空表达式及其求解，将在第8章介绍。 6.4.1 线性常系数差分方程及其解法 对于线性定常离散系统，k 时刻的输出)(k c ，不但与k 时刻的输入)(k r 有关，而且与k 时刻以前的输入 ), 2(), 1(--k r k r 有关，同时还与k 时刻以前的输出 ), 2(), 1(--k c k c 有关。这种关系 一般可以用n 阶后向差分方程来描述，即 ∑∑==-+ --=m j j n i i j k r b i k c a k c 0 1 )()()( (6-34) 式中，i a ，i =1，2，…，n 和j b ，j ＝0，1，…，m 为常系数，n m ≤。式(6-34)称为n 阶线性常系数差分方程。 线性定常离散系统也可以用n 阶前向差分方程来描述,即 ∑∑==-++ -+-=+m j j n i i j m k r b i n k c a n k c 0 1 )()()( (6-35) 工程上求解常系数差分方程通常采用迭代法和z 变换法。 1. 迭代法 若已知差分方程式(6-34)或式(6-35)，并且给定输出序列的初值，则可以利用递推关系，在计算机上通过迭代一步一步地算出输出序列。 例6-10 已知二阶差分方程 )2(6)1(5)()(---+=k c k c k r k c 输入序列1)(=k r ，初始条件为1)1(,0)0(==c c ， 试用迭代法求输出序列)(k c ， ,5,4,3,2,1,0=k 。 解 根据初始条件及递推关系，得 0)0(=c 1)1(=c 6)0(6)1(5)2()2(=-+=c c r c 25)1(6)2(5)3()3(=-+=c c r c 90)2(6)3(5)4()4(=-+=c c r c 301)3(6)4(5)5()5(=-+=c c r c 2. z 变换法

数学建模专题汇总_离散模型

离散模型 § 1 离散回归模型 一、离散变量 如果我们用0，1，2，3，4，…说明企业每年的专利申请数，申请数是一个离散的变量,但是它是间隔尺度变量，该变量类型不在本章的讨论的被解释变量中。但离散变量0和1可以用来说明企业每年是否申请专利的事项，类似表示状态的变量才在本章的讨论中。在专利申请数的问题中，离散变量0，1，2，3和4等数字具有具体的经济含义，不能随意更改；而在是否申请专利的两个选择对象的选择问题中，数字0和1只是用于区别两种不同的选择，是表示一种状态。本专题讨论有序尺度变量和名义尺度变量的被解释变量。 .word版.

.word 版. 二、离散因变量 在讨论家庭是否购房的问题中，可将家庭购买住房的决策用数字1 表示，而将家庭不购买住房的决策用数字0表示。 10yes x no ?=?? 如果x 作为说明某种具体经济问题的自变量，则应用以前介绍虚拟变量知识就足够了。如果现在考虑某个家庭在一定的条件下是否购买住房问题时，则表示状态的虚拟变量就不再是自变量，而是作为一个被说明对象的因变量出现在经济模型中。因此，需要对以前讨论虚拟变量的分析方法进行扩展，以便使其能够适应分析类似家庭是否购房的问题。因为在家庭是否购房问题中,虚拟因变量的具体取值仅是为了区别不同的状态，所以将通过虚拟因变量讨论备择对象选择的回归模型称为离散选择模型。

.word 版. 三、线性概率模型 现在约定备择对象的0和1两项选择模型中，下标i 表示各不同的经济主体，取值0或l 的因变量i y 表示经济主体的具体选择结果，而影响经济主体进行选择的自变量i x 。如果选择响应 YES 的概率为(1/)i p y =i x ，则经济主体选择响应NO 的 概率为1(1/)i i p y -=x ， 则(/)1(1/)0(0/)i i i i i i E y p y p y =?=+?=x x x ＝(1/)i i p y x =。 根据经典线性回归，我们知道其总体回归方程是条件期望建立的，这使我们想象可以构造线性概率模型 (1/)(/)i i i i i p y x E y x '===x β 011i k ik i x x u βββ=++++ 描述两个响应水平的线性概率回归模型可推知，根据统计数据得到的回归结果

第八章离散选择模型Logist回归

第八章离散选择模型—Logistic回归 基于logistic回归模型的企业信用评价 ——以材料和机械制造行业上市公司为例 一、引言 中国市场经济制度的日益健全与完善以及证券债券等金融市场的逐步建立与发展，信用成为经济交往、债务形成的一个重要的基础，信用风险越来越受到市场交易者的关注。信用风险是指借款人、证券发行人或交易方由于各种原因不愿或无能力履行商业合同而违约，致使债权人、投资者或交易方遭受损失的可能性。对于上市公司而言，这种违约行为经常表现为拖欠账款、资不抵债以及以发行证券或债券进行圈钱等失信行为。对这种违约失信的可能性的度量显得十分重要。怎样分析公司的信用状况，对信贷管理者如何分析企业的信用，对证券投资者如何衡量投资项目的风险和价值以及企业家如何评价自己管理的公司，都有极大的价值。 自上世纪中期以来，国内外以计算违约率(本文计算守信率,守信率=1-违约率)对信用风险进行评价和度量的方法和模型得到了迅速发展。对企业的信用评价主要是基于综合财务指标特征计算违约风险并用来划分等级。以综合财务指标为解释变量，运用计量统计方法建立模型，分析信用在金融和学术界成为主流，并且评价效果显著。特别对于logistic回归模型效果更好，因为该模型没有关于变量分布的假设，也不要求假设指标存在多元正态分布。最早有Martin（1977）建立logistic回归模型预测公司的破产以及违约的概率。Madalla(1983)建立logistic回归模型来区分违约和非违约贷款申请人，并确认0.551为两者的分界线。比如在我国，张后启等（2002），杨朝军等（2002），应用Logistic模型研究上市公司财务危机，得出有效结论等等。 面对我国在深沪两家证券市场上市的一千多家上市公司，由于公司体制和管理机制缺陷，或者自身利益最大化利益驱使，或者多部分有国企改制而来等各种原因，信用风险程度变的更大。若能够应用一个较简单的计量模型对他们的信用状况进行评价，对债权人选择贷款对象，投资者投资和交易方的选取都有较大帮助。本文则利用上市公司综合财务数据，运用主成分分析，建立logistic回归模型。并为了消除行业因素的影响，仅对材料和机械制造行业的100家上市企业作为样本进行建立模型，对于其他行业可依次方法进行评价。 二、指标选取与数据搜集 ㈠选择指标的类别 一般而言，企业信用评价及违约风险大小与企业财务状况密切相关的，企业财务状况良好时，资本运营顺畅、现金流量管理较好，企业就可能守信、有能力且可及时还款。反过来，当一个企业财务出现危机时，企业的经营、运作和盈利均处于不利状态，可能出现拖欠货款，圈钱，丧失信誉等行为，导致企业信用危机，更加剧了财务困境。从而企业信用评价基于企业财务状况，在建立信用评价模型时，就选择几个有代表性的综合财务指标作为分析的对象。

离散系统的Simulink仿真

电子科技大学中山学院学生实验报告 院别：电子信息学院 课程名称：信号与系统实验 一、实验目的 1.掌握离散系统Simulink 的建模方法。 2.掌握离散系统时域响应、频域响应的Simulink 仿真方法。 二、实验原理 离散系统的Simulink 建模、仿真方法与连续系统相似，其系统模型主要有z 域模型、传输函数模型和状态空间模型等形式。 现采用图1的形式建立系统仿真模型，结合如下仿真的命令，可得到系统的状态空间变量、频率响应曲线、单位阶跃响应和单位冲激响应的波形。 图1 系统响应 Simulink 仿真的综合模型 仿真命令： [A,B,C,D]=dlinmod （‘模型文件名’） %求状态空间矩阵，注意：‘模型文件名’ 不含扩展名 dimpulse(A,B,C,D) %求冲激响应 dimpulse(A,B,C,D,1,N 1:N 2) %求k=N 1~N 2区间（步长为1）的冲激响应 dimpulse(A,B,C,D,1,N 1:△N: N 2) %求冲激响应在k=N 1~N 2区间（步长为△N ） 的部分样值 In1 Out1

dstep(A,B,C,D) %求阶跃响应 dstep(A,B,C,D,1,N 1:△N:N 2) dbode(A,B,C,D,T s ) %求频率响应（频率范围： Ts ~ 0π ω=，即π~00=）。T s 为 取样周期，一般去T s =1. dbode(A,B,C,D, T s ,i u ,w 0:△w:w 1) %求频率响应（频率=范围：ω=w 0~w 1， 即θ=（w 0~w 1）T s ，△w 为频率步长）；i u 为系统输入端口的编号，系统只有一个输入端口时取i u =1. 以上命令，可以逐条在MATLAB 命令窗口输入、执行，也可编写成M 文件并运行。 三、实验内容 1.离散系统时域框图如图2所示。建立Simulink 模型，求其状态空间矩阵、系统函数、冲激响应、阶跃响应和频率特性。 图2 图3 2.离散系统z 域框图如图3所示。建立Simulink 模型，求其状态空间矩阵、系统函数、冲激响应、阶跃响应和频率特性。 3.离散系统差分方程为)2(2)()2(6 1 )1(61)(-+=---+ k f k f k y k y k y 。建立Simulink 模型，求其状态空间矩阵、系统函数、冲激响应、阶跃响应和频率特性。 四、实验结果