人教新课标版数学高一A版必修2导学案 点到直线的距离

3．3.3 点到直线的距离

1．掌握点到直线的距离公式，明确公式中各字母表示的含义．

2．能利用点到直线的距离公式解决相关问题．

点到直线的距离公式

点P 0(x 0，y 0)到直线l ：A x ＋B y ＋C ＝0的距离d ＝__________.

点到几种特殊直线的距离：

(1)点P(x 0，y 0)到x 轴的距离d ＝|y 0|；

(2)点P(x 0，y 0)到y 轴的距离d ＝|x 0|；

(3)点P(x 0，y 0)到直线y ＝a 的距离d ＝|y 0－a|；

(4)点P(x 0，y 0)到直线x ＝b 的距离d ＝|x 0－b|.

【做一做】 点(1，－5)到直线2x －y －2＝0的距离d ＝__________.

答案：|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2

【做一做】 5

1．理解点到直线的距离公式

剖析：(1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离．

(2)公式的形式是：分母是直线A x ＋B y ＋C ＝0的x ，y 项系数平方和的算术平方根，分子是用x 0，y 0替换直线方程中x ，y 所得实数的绝对值．要注意直线方程必须是一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如求P(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离，应先

把直线方程化为kx －y ＋b ＝0，得d ＝|kx 0－y 0＋b|k 2＋1

. (3)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点

P与直线l的位置关系．

(4)直线方程A x＋B y＋C＝0中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离．

2．推导点到直线的距离公式

剖析：如图所示，设坐标平面上有点P(x1，y1)和直线l：A x＋B y＋C＝0(A，B不同时为零)．

作直线m通过点P(x1，y1)，并且与直线l垂直，设垂足为P0(x0，y0)．

容易求得直线m的方程为B(x－x1)－A(y－y1)＝0.

由此得B(x0－x1)－A(y0－y1)＝0.(*)

因为点P0又在直线l上，可知A x0＋B y0＋C＝0，

即C＝－A x0－B y0.

所以A x1＋B y1＋C＝A x1＋B y1－A x0－B y0，

即A(x1－x0)＋B(y1－y0)＝A x1＋B y1＋C.(**)

把等式(*)和(**)两边平方后相加，整理可得

(A2＋B2)[(x1－x0)2＋(y1－y0)2]＝(A x1＋B y1＋C)2，即(x1－x0)2＋(y1－y0)2＝(Ax1＋By1＋C)2

.

A2＋B2

容易看出，等式左边即为点P(x1，y1)到直线l的距离的平方．

由此我们就可以得到点P(x 1，y 1)到直线l 的距离d 的计算公式为d ＝|Ax 1＋By 1＋C|A 2＋B

2.

题型一：求点到直线的距离

【例1】 求点P 0(－1,2)到下列直线的距离：

(1)2x ＋y －10＝0 (2)x ＝2 (3)y －1＝0.

反思：求点到直线的距离的步骤：

(1)将直线方程化为一般式A x ＋B y ＋C ＝0；

(2)将点(x 0，y 0)代入公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B

2，计算可得． 题型二：点到直线的距离公式的应用

【例2】 求过点A(2,1)且与原点距离为2的直线方程．

反思：利用点到直线的距离公式，列方程求出与x 轴不垂直时直线的斜率．这种用公式列方程(组)的方法是解析几何中的一种重要方法，在今后的学习中会经常用到．

本题容易漏掉直线x ＝2，用直线的点斜式求方程时，一定要注意斜率不存在的直线是否符合题意．

题型三：易错辨析

易错点 求点到直线距离时直线方程没有化成一般式

【例3】 点P(－1,4)到直线3x ＋4y ＝2的距离d ＝__________.

错解：d ＝|3×(－1)＋4×4＋2|32＋4

2＝3.故填3. 错因分析：错解中没有将直线方程3x ＋4y ＝2化为一般式，导致出错．

反思：求点到直线的距离时，务必将直线方程化为一般式A x ＋B y ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，否则无法代入点到直线的距离公式．

答案：【例1】 解：(1)由点到直线的距离公式知

d ＝|2×(－1)＋2－10|22＋1

2＝105＝2 5.

(2)解法一：把直线方程化为一般式为x －2＝0.

由点到直线的距离公式，

得d ＝|－1＋0×2－2|12＋0

2＝3. 解法二：∵直线x ＝2与y 轴平行，

∴由下图知d ＝|－1－2|＝3.

(3)解法一：由点到直线的距离公式，得d ＝|－1×0＋2－1|02＋1

2＝1. 解法二：∵直线y －1＝0与x 轴平行，

∴由下图知d ＝|2－1|＝1.

【例2】 解：若直线与x 轴垂直，则直线为x ＝2，

∴d ＝|2－0|＝2.

故x ＝2符合题意．

当直线不与x 轴垂直时，设直线为y －1＝k (x －2)，

即kx －y －2k ＋1＝0.

∴原点到直线的距离d ＝|－2k ＋1|k 2＋1

＝2.

∴k ＝－34

， ∴直线为3x ＋4y －10＝0.

综上所述，所求直线为x ＝2或3x ＋4y －10＝0.

【例3】 115

1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( )

A ．1

C ．2

D. 2．已知直线l 过点(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l 的方程为( )

A ．2x ＋3y －18＝0

B ．2x －y －2＝0

C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0

D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0

3．点P(3，－1)到直线x ＝－3的距离d ＝__________.

4．点P(m,1)到直线l ：2x ＋y －1＝0的距离d ＝1，则实数m 的值等于__________．

5．求经过点A(－1，－2)，且到原点距离为1的直线方程．

答案：1．D 2.D 3.6

5．解：当过点A (－1，－2)的直线斜率不存在，即垂直于x 轴时，它到原点的距离为1，即此时满足题设条件，则其方程为x ＝－1.

当过点A 的直线不与x 轴垂直时，

设所求的直线方程为y ＋2＝k (x ＋1)，

即kx －y ＋k －2＝0.

因为原点到此直线的距离等于1，

＝1，解之，得k ＝34

. 故所求的直线方程为y ＋2＝34

(x ＋1)，即3x －4y －5＝0. 综上所述，所求的直线方程为x ＝－1或3x －4y －5＝0.