3.3.3 点到直线的距离
1.掌握点到直线的距离公式,明确公式中各字母表示的含义.
2.能利用点到直线的距离公式解决相关问题.
点到直线的距离公式
点P 0(x 0,y 0)到直线l :A x +B y +C =0的距离d =__________.
点到几种特殊直线的距离:
(1)点P(x 0,y 0)到x 轴的距离d =|y 0|;
(2)点P(x 0,y 0)到y 轴的距离d =|x 0|;
(3)点P(x 0,y 0)到直线y =a 的距离d =|y 0-a|;
(4)点P(x 0,y 0)到直线x =b 的距离d =|x 0-b|.
【做一做】 点(1,-5)到直线2x -y -2=0的距离d =__________.
答案:|Ax 0+By 0+C |A 2+B 2
【做一做】 5
1.理解点到直线的距离公式
剖析:(1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离.
(2)公式的形式是:分母是直线A x +B y +C =0的x ,y 项系数平方和的算术平方根,分子是用x 0,y 0替换直线方程中x ,y 所得实数的绝对值.要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式,应先化成一般式再用公式.例如求P(x 0,y 0)到直线y =kx +b 的距离,应先
把直线方程化为kx -y +b =0,得d =|kx 0-y 0+b|k 2+1
. (3)点P 在直线l 上时,点到直线的距离为零,公式仍然适用,故应用公式时不必判定点
P与直线l的位置关系.
(4)直线方程A x+B y+C=0中A=0或B=0时,公式也成立,但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直),故也可采用数形结合法求点到直线的距离.
2.推导点到直线的距离公式
剖析:如图所示,设坐标平面上有点P(x1,y1)和直线l:A x+B y+C=0(A,B不同时为零).
作直线m通过点P(x1,y1),并且与直线l垂直,设垂足为P0(x0,y0).
容易求得直线m的方程为B(x-x1)-A(y-y1)=0.
由此得B(x0-x1)-A(y0-y1)=0.(*)
因为点P0又在直线l上,可知A x0+B y0+C=0,
即C=-A x0-B y0.
所以A x1+B y1+C=A x1+B y1-A x0-B y0,
即A(x1-x0)+B(y1-y0)=A x1+B y1+C.(**)
把等式(*)和(**)两边平方后相加,整理可得
(A2+B2)[(x1-x0)2+(y1-y0)2]=(A x1+B y1+C)2,即(x1-x0)2+(y1-y0)2=(Ax1+By1+C)2
.
A2+B2
容易看出,等式左边即为点P(x1,y1)到直线l的距离的平方.
由此我们就可以得到点P(x 1,y 1)到直线l 的距离d 的计算公式为d =|Ax 1+By 1+C|A 2+B
2.
题型一:求点到直线的距离
【例1】 求点P 0(-1,2)到下列直线的距离:
(1)2x +y -10=0 (2)x =2 (3)y -1=0.
反思:求点到直线的距离的步骤:
(1)将直线方程化为一般式A x +B y +C =0;
(2)将点(x 0,y 0)代入公式d =|Ax 0+By 0+C|A 2+B
2,计算可得. 题型二:点到直线的距离公式的应用
【例2】 求过点A(2,1)且与原点距离为2的直线方程.
反思:利用点到直线的距离公式,列方程求出与x 轴不垂直时直线的斜率.这种用公式列方程(组)的方法是解析几何中的一种重要方法,在今后的学习中会经常用到.
本题容易漏掉直线x =2,用直线的点斜式求方程时,一定要注意斜率不存在的直线是否符合题意.
题型三:易错辨析
易错点 求点到直线距离时直线方程没有化成一般式
【例3】 点P(-1,4)到直线3x +4y =2的距离d =__________.
错解:d =|3×(-1)+4×4+2|32+4
2=3.故填3. 错因分析:错解中没有将直线方程3x +4y =2化为一般式,导致出错.
反思:求点到直线的距离时,务必将直线方程化为一般式A x +B y +C =0(A ,B 不同时为0),否则无法代入点到直线的距离公式.
答案:【例1】 解:(1)由点到直线的距离公式知
d =|2×(-1)+2-10|22+1
2=105=2 5.
(2)解法一:把直线方程化为一般式为x -2=0.
由点到直线的距离公式,
得d =|-1+0×2-2|12+0
2=3. 解法二:∵直线x =2与y 轴平行,
∴由下图知d =|-1-2|=3.
(3)解法一:由点到直线的距离公式,得d =|-1×0+2-1|02+1
2=1. 解法二:∵直线y -1=0与x 轴平行,
∴由下图知d =|2-1|=1.
【例2】 解:若直线与x 轴垂直,则直线为x =2,
∴d =|2-0|=2.
故x =2符合题意.
当直线不与x 轴垂直时,设直线为y -1=k (x -2),
即kx -y -2k +1=0.
∴原点到直线的距离d =|-2k +1|k 2+1
=2.
∴k =-34
, ∴直线为3x +4y -10=0.
综上所述,所求直线为x =2或3x +4y -10=0.
【例3】 115
1.原点到直线x +2y -5=0的距离为( )
A .1
C .2
D. 2.已知直线l 过点(3,4)且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离,则直线l 的方程为( )
A .2x +3y -18=0
B .2x -y -2=0
C .3x -2y +18=0或x +2y +2=0
D .2x +3y -18=0或2x -y -2=0
3.点P(3,-1)到直线x =-3的距离d =__________.
4.点P(m,1)到直线l :2x +y -1=0的距离d =1,则实数m 的值等于__________.
5.求经过点A(-1,-2),且到原点距离为1的直线方程.
答案:1.D 2.D 3.6
5.解:当过点A (-1,-2)的直线斜率不存在,即垂直于x 轴时,它到原点的距离为1,即此时满足题设条件,则其方程为x =-1.
当过点A 的直线不与x 轴垂直时,
设所求的直线方程为y +2=k (x +1),
即kx -y +k -2=0.
因为原点到此直线的距离等于1,
=1,解之,得k =34
. 故所求的直线方程为y +2=34
(x +1),即3x -4y -5=0. 综上所述,所求的直线方程为x =-1或3x -4y -5=0.