上海中考数学压轴题带来的启示

，

射线 AB 上，且满足 PQ

（Q ）

C

：

。

）

条 条 大 路 通 罗 马

-----2009 年上海中考数学压轴题带来的启示

今年上海中考数学试卷设计的思路是“注重双基、体现新意、适度区分” 尤其最后一 题在体现新意方面做了一些有益的尝试。

（题目：已知∠ABC =90°，AB =2，BC =3，AD ∥BC ．P 为线段 BD 上的动点，点 Q 在

AD

= PC AB

（如图 1 所示）．

（1）当 AD =2，且点 Q 与点 B 重合时（如图 2 所示），求线段 PC 的长；

（2）在图 1 中，联结 AP ，当 AD = 3 2

，且点 Q 在线段 AB 上时，设 B 、Q 之间的距离为 x ，

S

S ?APQ

?PBC

= y ，其中 S ?APQ △表示 APQ 的面积， S ?PBC △表示 PBC 的面积，求 y 关于 x 的函数 解析式，并写出函数定义域；

（3）当 AD < AB,且点 Q 在线段 AB 的延长线上时（如图 3 所示），求∠QPC 的大小）

A

D A D

A

D

Q B

P

图1

C B

P

图2

P

B C

图3

Q

一、稳中求变，变中求新，促进探究型教与学

虽然，今年中考数学的压轴题仍然是“动态几何 +函数”，但与往年的压轴题也有着几

处明显的区别。

首先，体现在函数的定义域上。往年也有求函数定义域的问题，但大都是以最初的动

点（主动点）与某定点的线段长度为自变量，主要考查考生对动态图形的观察能力，特别是 对特殊位置的观察；今年的函数自变量选择了从动点 Q 与定点 B 之间的距离为自变量 x ， 使得求函数定义域的主要手段不再是直观的观察，而是理性的推导和计算，体现了数学的理 性思维要求，这一变化击中了我们几何复习教学的“软肋” 用直观观察代替理性思考。 其次，在判定三角形相似的方法上。我们知道，一般情况下是不能用“SSA ”（边边角）

来判定两个三角形相似的，但是在特殊情况下它是可以用来判定两个三角形相似的，例如， 在两个直角三角形中、在两个钝角三角形中、在两个等腰三角形中。平时教学中，老师们非

常重视和强调一般情况下的“不能”，却缺乏引导学生进行反思和研究特殊情况下的“能” 其三、在数量关系与位置关系的推理上。往年动态几何题中由位置关系探求数量关系

的较多，今年是由数量关系（ PQ AD

= ，探究 PQ 与 PC 的位置关系（虽然问的是∠QPC

PC AB

的大小），更看重考生从“数”走向“形”的判断和探究能力。

可见，今年的压轴题对初中数学进行探究型的教与学，倡导教与学的反思，有着很好

的导向作用。

二、新中求通，通中求异，促进合作型教与学

与往年一样，压轴题涉及到的知识点和思想方法较多，今年压轴题涉及到的知识和定理

图7C

，∵，∴

，而PM=BN，∴，∴

，∴2

有：平行线的性质、等腰直角三角形、相似三角形的判定和性质运用、勾股定理及其逆定理、三角形的面积表示或三角形面积之间的关系、矩形的性质、锐角三角比等。考查了学生的转化能力、证明能力、计算能力，同时又考查了学生在图形动态情况下的想象能力以及运用一般与特殊、数形结合等思想方法，从而考查考生综合运用数学知识和数学思想方法解决问题的能力。

本题由于涉及的知识点较多，沟通了许多数学知识之间的联系，所以解题的方法也较多。特别是第（3）小题，以运用相似三角形的性质为基础，可从几何论证入手，也可用同一法的思想从构造法入手；以代数式的恒等变形和整体代入为基础，可以用勾股定理的逆定理进行思考，还可利用高中的函数思想和解析法来解决问题。

解法一、如图1

过点P作P M⊥BC于M，过点P作P N⊥AB于N，

则四边形PMBN是矩形，∴PN//BM,PM=BN,∠MPN=900

A D

PN AD

∵AD//BC，∴PN//AD，

=

BN AB PN AD AD PQ PN PQ

∴=== PM AB AB PC PM PC

又∠PMC=∠PNQ=900，

∴?PCM∽?PQN，∴∠CPM=∠QPN，，

N

B

Q

P

M

图1

∴∠QPC=∠CPM+∠MPQ=∠NPQ+∠QPM=∠NPM=900.

解法二、如图1

假设∠QPC=900，过点P作P M⊥BC于M，过点P作P N⊥BC于N，则四边形PMBN是矩形，∠NPQ+∠QPM=∠QPM+∠MPC=900,∴∠NPQ=∠MPC,

又∠PNQ=∠PMC∴?NPQ∽?MPC，∴PQ PN PQ PN ==

PC PM PC BN，

PN AD PQ AD

又PN//AD，∴==

BN AB PC AB 解法三、如图2，且以上每步可逆。综上，可得∠QPC=900.

A D

过点P作P M⊥BD交直线BC于M，∵∠ADB=∠PBM

且∠DAB=∠MPB=900，P

AD PB

∴?ADB∽?PBM，∴=

AB PM AD PQ PB PQ

∵==，AB PC PM PC ，

B

Q

图图8

M C

∵∠PBQ与∠PMC都是钝角，∴?PBQ∽?PMC，∴∠BPQ=∠MPC，∴∠QPC=∠CPM+∠MPQ=∠QPB+∠QPM=∠BPM=900.

解法四、如图3

过点P作P K使∠PKC=∠PBQ，

P K与BC交于点K，则∠ABP=∠PKB，A D

∵AD//BC，∴∠ADB=∠PBK，

PB AD PQ ∴?BPK∽?DAB∴∠BPK=900,==,

PK AB PC

又∠PKC=∠PBQ,且它们都是钝角

∴?PKC∽?PBQ，∴∠BPQ=∠KPC，

∴∠QPC=∠CPK+∠KPQ=∠QPB+∠QPK=∠BPK=900.B

Q

P

图9

K

图3

C

+ ∠BQ P ， ∠PCQ

= ∠PCB + ∠BCQ = = ’ PN PQ PM PC ' M

C ’

C ，∴ ，而 ，∴

' 5 = BM AD PQ AD

N BM PQ PM BM PM PN B C

图76 图 即 ，而 PN = BM ，∴ ， ，又 学习必备

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解法五、如图 4

过点 P 作 PQ ' ⊥ PC 交直线 AB 于 Q ' ，连 Q 'C ,

则 ∠Q ' PC = 90 0 ，又 ∠Q ' BC = 90 0 ，∴P 、B 、Q 、C 四点共圆， ∴ ∠BQ ' P = ∠BCP ， ∠BPQ ' = ∠BCQ ' ，

而 ∠ABD = ∠BPQ ' ' ' ' ∴ ∠ABD = ∠PCQ ' ，

A D

P

B

C

又 ∠BAD = ∠Q ' P C = 90 0 ，∴ ?ABD ∽ ?PCQ ' ，

PQ ' AD PQ

∴ ，∴ PQ ' = PQ ，

PC AB PC

Q ‘ Q

图10

图 4

又∵点 Q ' 与点 Q 都在线段 AB 的延长线上，∴点 Q ' 与点 Q 重合，∴ ∠QPC = ∠Q ' P C = 900

解法六、如图 5

过点 P 作 P C ‘⊥PQ 交直线 BC 于点 C ，则 ∠QPC ' = 900

A

过点 P 作 P M ⊥BC 于 M ，过点 P 作 P N ⊥AB 于 N ，则 ∠QPC ' = 900 ,

D

PM // AQ ，∴ ∠BQP = ∠QPM ，

∠QPM = ∠PC 'M ，∴ ∠BQP = ∠PC 'M ，

N P

又 A D /

/ P N

，∴

===

=

B

又 ∠PNQ = ∠PMC ' = 900 ，∴ ?PNQ ∽ ?PMC ' ，∴ = ， Q

PN AD AD PQ PQ AD PQ PQ BN AB AB PC PC AB PC PC

' 图 11

，∴ PC ' PC ，

又∵点 C ' 与点 C 都在点 B 的右侧， ∴点 C ' 与点 C 重合，∴ ∠QPC = ∠QPC ' = 900 .

解法七、如图 6

A

D

过点 P 作 P M ⊥BC 于 M ，过点 P 作 P N ⊥AB 于 N ，∵ AB // PM ， ∴ ∠PBA = ∠BPM ，又 ∠BAD = ∠PMB = 900 ， P

∴ ?BAD ∽ ?PMB ，∴ =

=

，

PM

AB PC

AB

M

∴

= = =

PM PC PC PQ PC PQ

Q

即 sin ∠PQN = sin ∠PCM ，∵ ∠PQN 、∠ PCM 都是锐角，∴ ∠PQN = ∠PCM ，即 ∠PQB = ∠ P CB ，∴P 、B 、Q 、C 四点共圆，∴ ∠QPC = ∠QBC = 90 0 .

∴ PQ 2 = c 2 +（x + ）2 ，在 Rt ?PMC 中， PM =

=

2

+

2

== =

，∴

2

解法八、如图 7

过点 P 作 P M ⊥BC 于 M ，过点 P 作 P N ⊥BC 于 N ， 则 PN // AD , MP = BN ，设 AD=a ， PN = c ，

A D

BN AB 2c

由 PN // AD ，得 = ，∴ MP = BN = ，

PN AD a

2c

在 Rt ?QPN 中， PN = c ， Q N = QB + BN = x + ，

a

2c 2c a a

MC = BC - BM = BC - PN = 3 - c ，∴ PC 2

（3 - c ） （ 2c

a

N B Q

），

P

M

图 7

C

连 QC ，在 Rt ?QBC 中， BQ = x ，BC = 3 ，∴ QC 2 = x 2 + 9 ，

PQ

AD a PQ 2 a 2

又∵

， 整理得 a 2c - 3a 2 + 2ax + 4c = 0 ①

PC AB 2 PC

4

）2 +（3 - c ）2 +（ ）2 = x 2 + 9 + （a 2c - 3a 2 + 2ax + 4c ） + ∴ P （c ， ），∴ PQ 2 = c 2 +（x + ）2 ， PC 2 =（3 - c ）2 +（ ）

2 ， A D 2 2 c c - 3

2c 2c 4c + 2ax 4c + 2ax c ，∵点 P 在直线 OD 上，∴ P （c ， ），∴ PQ 2 =c 2 +（x + ）

，PC 2 =（3 - c ）2 +（ ）2 ， A D 2 2

∴ PQ 2 + PC 2 = c 2 （x +

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2c 2c 2c

a a a 2

由①得， PQ 2 + PC 2 = x 2 + 9 ，即 PQ 2 + PC 2 = QC 2 ，∴ ∠QPC = 900

解法九、如图 8

建立如图所示直角坐标系，则 （0，2），Q （0，-x ），

设 （a ，），点 P 的横坐标为 c ，∵点 P 在直线 OD 上，

2c 2c 2c

a a a

y

A D

P

PQ AD a PQ 2 a 2

∵ = = ，∴ = ， PC AB 2 PC 2 4 由 c < 3 ，可整理得 4c + 2ax = a （3 - c ）

②

O （B ）

图12 图 8

C

x

又 k PQ 2c 2c + x = a , k = a ，∴ k

PC

PQ ? k PC = a ? a

= ，

Q + x c c - 3 a 2 (c - 3)

由②得， k

PQ

? k

PC

2c 2c

+ x

= a ? a =

c c - 3

a 2 (c - 3)

= -1 ， ∴ PQ ⊥ PC ，∴ ∠QPC = 900 .

解法十：如图 8

建立如图所示直角坐标系，则 （0，2），Q （0，-x ），设 （a ，），点 P 的横坐标为

2c 2c 2c

2 a a a

∵ PQ AD a

= = ，∴

PC AB 2

PQ 2 a 2 = PC 2 4 ， 由 c < 3 ，可整理得 4c + 2ax = a （3 - c ） ③

2c 2c 2c 2c

又 PQ = (-c, - x - ), PC = (3 - c, - ) ， ∴ PQ ? PC = c(c - 3) + ( x + )

a a a a = c a 2

[(4c + 2ax) - a 2 (3 - c)] ，由③可得， PQ ? PC = 0 ，∴ PQ ⊥ PC ，∴ ∠QPC = 900 .

从以上多种解法(除解法九、十用到高中数学知识和方法)，我们可以看出，初中数学教 学的首要问题是解决通性通法的问题 ,但又不能满足于通性通法的教与学 ,一定要注重一题 多解，重视数学知识之间的联系，重视数学思想方法的不同功能,重视学生不同的认知角度 和不同的认知水平在同一个数学问题上的不同反应 ,营造师生、生生之间的教学合作氛围 , 使课堂教学涌现出更多更精彩的“意外”的生成.

2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学 旋转的经典综合题附详细答案

2020-2021备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题附详细答案 一、旋转 1．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN． （1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形； 猜想与发现： （2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论． 结论1：DM、MN的数量关系是； 结论2：DM、MN的位置关系是； 拓展与探究： （3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明参见解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由参见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出 MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直. 试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF 是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF， ∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN 是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM， AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，

中考数学压轴题专题

中考数学压轴题专题 一、函数与几何综合的压轴题 1.如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得02x y =??=-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2 +bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） 图① 图②

E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2 -2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2 =1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标； （2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明； （3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若 4 21h S S =，抛物线 y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1， 在Rt△AOM 中，AO ＝ 122=-OM AM ， ∴点A 的坐标为A （0，1） （2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B（—1，0），

2020上海中考数学压轴题专项训练

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得 1, 1643 c b c =-?? ++=-?， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12b c =-=- …………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12y x x =- - …………………………………………… （1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5AOH OBC ∠=∠= ……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511AH ABO BH ∠==÷= ………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =--， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分） 所以符合题意的点N 有4 个35 (22),(22),(1,),(3,)22 --+--- ……………………………………………………………………………………（1分） 25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5

上海市各区县历年中考数学模拟压轴题汇总及答案

1．（本小题满分10分） 已知，如图，△ABC 是等边三角形，过AC 边上的点 作 DG x 2 bx c y ax ++=知C(2，4)，BC= 4. (1)求过O 、C 、B 三点的抛物线解析式，并写出顶点 坐标和对称轴； (2)经过O 、C 、B 三点的抛物线上是否存在P 点(坐标轴的距离相等.如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由. 4、 (本题12分)如图，AD(1)求证:四边形AEFD 是菱形； (2)若BE=EF=FC ，求∠BAD+∠ADC 的度数； (3)若BE=EF=FC ，设AB = m ，CD = n ，求四边形ABCD 的面积. 5、 (本题14分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线6422++-=x x y 与 x 轴交于A 、B 两点(A 点在B 点左侧)，与y 轴交于C 点，顶点为D.过点 C 、D 的直线与x 轴交于E 点，以OE 为直径画⊙O 1，交直线CD 于P 、E 两点. (1)求E 点的坐标； (2)联结PO 1、PA.求证:BCD ?～A PO 1?； (3) ①以点O 2 (0，m)为圆心画⊙O 2，使得⊙O 2与⊙O 1相切， 当⊙O 2经过点C 时，求实数m 的值； ②在①的情形下，试在坐标轴上找一点O 3，以O 3为圆心画 ⊙O 3，使得⊙O 3与⊙O 1、⊙O 2同时相切.直接写出满足条件的点O 3的坐标(不需写出计算过程). 6．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） （第24题图）

如图，EF 是平行四边形ABCD 的对角线BD 的垂直平分线，EF 与边AD 、BC 分别交于点E 、F ． （1）求证：四边形BFDE 是菱形； （2）若E 为线段AD 的中点，求证：AB ⊥BD . 7．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2 ）小题6分） 在平面直角坐标系中，抛物线2 y x bx c =++经过点（0，2）和点（3，5）． （1）求该抛物线的表达式并写出顶点坐标； （2）点P 为抛物线上一动点，如果直径为4⊙P 与y 轴相切，求点P 的坐标. 8．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（25分） 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC = 90°，AB =3，E 、F 分别是AB 边和AC 边上的动点，且∠EDF = 90°． （1）求DE ︰DF 的值； （2）联结EF ，设点B 与点E 间的距离为x ，△DEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； （3）设直线DF 与直线AB 相交于点G ，△EFG 能否成为等腰三角形？若能，请直接写出线段BE 的长；若不能，请说明理由. 9．（本题满分12分，每小题各如图10，已知抛物线交于点B ，且OB OA =. (1) 求c b +的值； (2) 若点C 第24题图 A D E C O 第25题B C D E F A

中考数学压轴题专集二一次函数

中考数学压轴题专集二：一次函数 1、如图，在平面直角坐标中，点A 的坐标为（4，0），直线AB ⊥x 轴，直线y ＝－ 1 4 x ＋3经过点B ，与y 轴交于点C ． （1）求点B 的坐标； （2）直线l 经过点C ，与直线AB 交于点D ，E 是直线AB 上一点，且∠ECD ＝∠OCD ，CE ＝5，求直线l 的解析式． 解：（1）∵A （4，0），AB ⊥x 轴，∴点B 的横坐标为4 把x ＝4代入y ＝－ 1 4 x ＋3，得y ＝2 ∴B （4，2） （2）∵AB ⊥x 轴，∴∠EDC ＝∠OCD ∵∠ECD ＝∠OCD ，∴∠EDC ＝∠ECD ∴ED ＝EC ＝5 在y ＝－ 1 4 x ＋3中，当x ＝0时，y ＝3 ∴C （0，3），OC ＝3 过C 作CF ⊥AB 于F ，则CF ＝OA ＝4 ∴EF ＝ EC 2 －CF 2 ＝ 5 2 －4 2 ＝3 ∴FD ＝5－3＝2，∴DA ＝1 ∴D （4，1） 设直线l 的解析式y ＝kx ＋b ，把C （0，3），D （4，1）代入 得：?????b ＝3 4k ＋b ＝1 解得 ?????k ＝－ 1 2 b ＝3 ∴直线l 的解析式为y ＝－ 1 2 x ＋3

2、如图，直线y＝2x＋4交坐标轴于A、B两点，点C为直线y＝kx（k＞0）上一点，且△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形． （1）求点C的坐标和k的值； （2）若在直线y＝kx（k＞0）上存在点P，使得S△PBC＝1 2S△ABC，求点P的坐标． （1）过点C分别作坐标轴的垂线，垂足为G、H 则∠HCG＝90° ∵∠ACB＝90°，∴∠ACG＝∠BCH 又∠AGC＝∠BHC＝90°，AC＝BC ∴△ACG≌△BCH，∴CG＝CH 在y＝2x＋4中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y＝4 ∴A（－2，0），B（0，4），OA＝2，OB＝4 设CG＝CH＝x，则2＋x＝4－x 解得x＝1，∴C（1，1） ∴k＝1 （2）由（1）知，CG＝1，AG＝3 ∴AC2＝BC2＝12＋32＝10 ∴S△ABC＝1 2AC 2＝5，S △PBC ＝ 1 2S△ABC＝ 5 2 当点P在点G左侧时 S△PBC＝S△PBO＋S△BOC－S△PCO ∴1 2OP×4＋ 1 2×4×1－ 1 2OP×1＝ 5 2 解得OP＝1 3，∴P1（－ 1 3，0） 当点P在点G右侧时 S△PBC＝S△PBO－S△BOC－S△PCO ∴1 2OP×4－ 1 2×4×1－ 1 2OP×1＝ 5 2 解得OP＝3，∴P2（3，0）

2017上海历年中考数学压轴题专项训练

24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得1, 1643c b c =-?? ++=-? ， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12 b c =-=-…………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12 y x x =- -……………………………………………（1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5 AOH OBC ∠=∠=……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= g ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511 AH ABO BH ∠==÷=………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =- -， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2 291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分）

2018年度中考数学压轴题

1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC的长； （2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC 是否相似，请说明理由； （4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由． 解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm； （2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，

∵AP=x ，∴BP=10﹣x ，BQ=2x ，∵△QHB ∽△ACB ， ∴ QH QB AC AB = ，∴QH=错误!未找到引用源。x ，y=错误!未找到引用源。BP ?QH=1 2 （10﹣x ）?错误!未找到引用源。x=﹣4 5 x 2+8x （0＜x ≤3）， ②当点Q 在边CA 上运动时，过点Q 作QH ′⊥AB 于H ′， ∵AP=x ， ∴BP=10﹣x ，AQ=14﹣2x ，∵△AQH ′∽△ABC ， ∴'AQ QH AB BC =，即：' 14106 x QH -=错误!未找到引用源。，解得：QH ′=错误!未找到引用源。（14﹣x ）， ∴y= 12PB ?QH ′=12（10﹣x ）?35（14﹣x ）=310x 2﹣36 5 x+42（3＜x ＜7）； ∴y 与x 的函数关系式为：y=2 248(03)5 33642(37)10 5x x x x x x ?-+<≤????-+<

上海历年中考数学压轴题复习(试题附答案)

上海历年中考数学压轴题复习 2001年上海市数学中考 27．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2． （1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． 图8 ①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长． （2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么 ①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）． 27．（1）①证明： ∵ ∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，∠BPC ＝∠A ，∴ ∠ABP ＝∠DPC ．∵ 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴ ∠A ＝∠D ．∴ △ABP ∽△DPC ． ②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得 DC PD AP AB =，即252x x -=，解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4． （2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴ DQ AP PD AB =．即y x x +=-252，得22 521 2-+-=x x y ，1＜x ＜4．

②AP＝2或AP＝3－5． （题27是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．） 上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试 27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q． 图5图6图7 探究：设A、P两点间的距离为x． （1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论； （2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由． （图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用） 五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分）

届上海初三数学各区一模压轴题汇总(15套全)

2016~2017学年度 上海市各区初三一模数学压轴题汇总 （18+24＋25） 共1５套 整理廖老师

宝山区一模压轴题 18(宝山)如图，D 为直角 ABC 的斜边AB 上一点,DE AB 交AC 于E ， 如果AED 沿着DE 翻折,A 恰好与B 重合，联结CD 交BE 于F ,如果8AC ，1 tan 2 A ，那么:___________.CF DF ２４（宝山）如图，二次函数2 32(0)2 y ax x a 的图像与x 轴交于A B 、 两点,与y 轴交于点,C 已知点(4,0)A . (１)求抛物线与直线AC 的函数解析式; （２）若点(,)D m n 是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA 的面积为S ,求S 关于m 的函数关系; (３）若点E 为抛物线上任意一点，点F 为x 轴上任意一点，当以A C E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出满足条件的所有点E 的坐标． 25（宝山）如图（1)所示,E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P Q 、 同时从点B 出发,点P 以1/cm s 的速度沿第18题 A 第24题

-- 着折线BE ED DC 运动到点C 时停止，点Q 以2/cm s 的速度沿着BC 运动到点C 时停止。设P Q 、 同时出发t 秒时,BPQ 的面积为2ycm ,已知y 与t 的函数关系图像如图(2)（其中曲线OG 为抛物线的一部分，其余各部分均 为线段). (１)试根据图（2）求0 5t 时，BPQ 的面积y 关于t 的函数解析式； (2)求出线段BC BE ED 、、的长度； （3)当t 为多少秒时，以B P Q 、、为顶点的三角形和ABE 相似; （4)如图（3)过点E 作EF BC 于F ，BEF 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度,如果BEF 中E F 、 的对应点H I 、恰好和射线BE CD 、的交点G 在一条直线，求此时C I 、两点之间的距离. 崇明县一模压轴题 18(崇明)如图,已知 ABC ?中，45ABC ∠=，AH BC ⊥于点H ,点D 在AH 上,且DH CH =，联结BD ,将BHD 绕 （3） （2）（1） 第25题 B B

中考数学压轴题专题

中考数学压轴题专题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

专题1：抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB，抛物线()0 2≠ bx y，点P在抛物线上（或坐 c ax =a + + 标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P坐标。 分两大类进行讨论： =）：点P在AB的垂直平分线上。 （1）AB为底时（即PA PB 利用中点公式求出AB的中点M； k，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进利用两点的斜率公式求出AB 而求出AB的垂直平分线的斜率k； 利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式； 将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对 称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 （2）AB为腰时，分两类讨论： =）：点P在以A为圆心以AB为半径的圆 ①以A ∠为顶角时（即AP AB 上。 =）：点P在以B为圆心以AB为半径的圆 ②以B ∠为顶角时（即BP BA 上。 利用圆的一般方程列出A(或B)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 专题2：抛物线中的直角三角形

基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标 轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐 标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对 称 轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出 PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解 析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()221221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-=22，得到方程☆：()()22 2R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。

上海历年中考数学压轴题复习[试题附答案解析]

历年中考数学压轴题复习 2001年市数学中考 27．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2． （1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ． 图8 ①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长． （2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么 ①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）． 27．（1）①证明： ∵ ∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，∠BPC ＝∠A ，∴ ∠ ABP ＝∠DPC ．∵ 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴ ∠A ＝∠D ．∴ △ABP ∽△DPC ． ②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得 DC PD AP AB = ，即252x x -=，解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4． （2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴ DQ AP PD AB =．即y x x += -252，得22 5 212-+-=x x y ，1＜x ＜4． ②AP ＝2或AP ＝3－5．

（题27是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．） 市2002年中等学校高中阶段招生文化考试 27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q． 图5图6图7 探究：设A、P两点间的距离为x． （1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论； （2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由． （图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用） 五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分） 27．

中考数学压轴题专题 动点问题

2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编 专题01：动点问题 25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到 点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s). （1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值． （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． （4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围． 【答案】解：（1）t－2。 （2）当点N落在AB边上时，有两种情况： ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。 ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上． ∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。 ∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=20 3 。 综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=20 3 。 （3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况：

2019年各省市中考数学压轴题合辑5(湖南专辑)

【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 2019年各省市中考数学压轴题合辑（五） 1．（2019?长沙）如图，抛物线26(y ax ax a =+为常数，0)a >与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 的坐标为(t ，0)(30)t -<<，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的P e 相交于点C ． （1）求点A 的坐标； （2）过点C 作P e 的切线CE 交x 轴于点E ． ①如图1，求证：CE DE =； ②如图2，连接AC ，BE ，BO ，当3a = ，CAE OBE ∠=∠时，求11OD OE -的值．

2．（2019?长沙）已知抛物线22(2)(2020)(y x b x c b =-+-+-，c 为常数）． （1）若抛物线的顶点坐标为(1,1)，求b ，c 的值； （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c 的取值范围； （3）在（1）的条件下，存在正实数m ，n （m ＜n ），当m ≤x ≤n 时，恰好≤≤， 求m ，n 的值．

3．（2019?长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． （1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”)． ①四条边成比例的两个凸四边形相似；(命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；(命题） ③两个大小不同的正方形相似．(命题） （2）如图1，在四边形ABCD和四边形 1111 A B C D中， 111 ABC A B C ∠=∠， 111 BCD B C D ∠=∠，111111 AB BC CD A B B C C D ==．求证：四边形ABCD与四边形 1111 A B C D相似． （3）如图2，四边形ABCD中，// AB CD，AC与BD相交于点O，过点O作// EF AB分 别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为 1 S，四边形EFCD的面积为 2 S，若 四边形ABFE与四边形EFCD相似，求2 1 S S 的值．

上海中考数学压轴题专题：圆的经典综合题资料

1．如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 是AB ︵ 上的一个动点（不与点A 、B 重合），OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ． （1）当BC ＝1时，求线段OD 的长； （2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由； （3）设BD ＝x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域． A E C D O B

2．如图，已知在△ABC中，AB＝15，AC＝20，cot A＝2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长．当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P 与边AC相交于点M和点N时，设AP＝x，MN＝y． （1）求⊙P的半径； （3）当AP＝65时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由．

3．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，∠B＝60°，AB＝10，AD＝4，⊙M 与∠BAD的两边相切，点N在射线AB上，⊙N与⊙M是等圆，且两圆外切． （1）设AN＝x，⊙M的半径为y，求y关于x的函数关系式； （2）当x为何值时，⊙M与CD相切？ （3）直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长是否可能相等？如果能，求出符合要求的x的值；如果不能，请说明理由．

4．已知：半圆O 的半径OA ＝4，P 是OA 延长线上一点，过线段OP 的中点B 作OP 的垂线交半圆O 于点C ，射线PC 交半圆O 于点D ，连接OD ． （1）当AC ︵ ＝CD ︵ 时，求弦CD 的长； （2）设PA ＝x ，CD ＝y ，求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； （3）设CD 的中点为E ，射线BE 与射线OD 交于点F ，当DF ＝1时，求tan ∠P 的值． 备用图 备用图

中考数学压轴题专题

中考数学压轴题专题Prepared on 21 November 2021

专题1：抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB，抛物线()0 2≠ bx y，点P在抛物线上（或坐 c ax =a + + 标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P坐标。 分两大类进行讨论： =）：点P在AB的垂直平分线上。 （1）AB为底时（即PA PB 利用中点公式求出AB的中点M； k，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进利用两点的斜率公式求出AB 而求出AB的垂直平分线的斜率k； 利用中点M与斜率k求出AB的垂直平分线的解析式； 将AB的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对 称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 （2）AB为腰时，分两类讨论： =）：点P在以A为圆心以AB为半径的圆 ①以A ∠为顶角时（即AP AB 上。 =）：点P在以B为圆心以AB为半径的圆 ②以B ∠为顶角时（即BP BA 上。 利用圆的一般方程列出A(或B)的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P坐标。 专题2：抛物线中的直角三角形

基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标 轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称 轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出 PA （或PB ）的斜率k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-=。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。

中考数学压轴题集锦

中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 1、（本题满分10分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－ 3 2x 2 +b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2 -x 1=5． （1）求b 、c 的值；（4分） （2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对 角线的菱形；（3分） （3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分） 2、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，3OB = ABOC 绕点O 按顺时针 方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2 y ax bx c =++过点 A E D ，，． （1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． y O 第26题图 D E C F A B （第25题图） A x y B C O

3、如图16，在平面直角坐标系中，直线33y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2 23 (0)y ax x c a =- +≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标； （2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由． 4、如图14，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为 1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经 过A B ，两点． （1）求二次函数的解析式； （2）求切线OM 的函数解析式； （3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 5、ABC △中，90C ∠=，60A ∠=，2AC =cm ．长为1cm 的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运动前点M 与点A 重合）．过M N ，分别作AB 的垂线交直角边于P Q ，两点，线段MN 运动的时间为t s ． （1）若AMP △的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）； （2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由； （3）t 为何值时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似？ 图14 y x O A B M O 1 A O x y B F C

中考数学压轴题专题训练

2018中考数学压轴专题一、动点与面积问题 例1 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于A (－1, 0)，B (4, 0)两点，与y 轴交于点C (0, 2)．点M (m , n )是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上．过点M 作x 轴的平行线交y 轴于点Q ，交抛物线于另一点E ，直线BM 交y 轴于点F ． （1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）当S △MFQ ∶S △MEB ＝1∶3时，求点M 的坐标． 例2如图，已知抛物线2 12 y x bx c = ++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)． （1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）； （2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ． ①求S 的取值范围； ②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个． 例3如图，已知二次函数的图象过点O (0,0)、A (4，0)、B (43 2,3 -)，M 是OA 的中点． （1）求此二次函数的解析式； （2）设P 是抛物线上的一点，过P 作x 轴的平行线与抛物线交于另一点Q ，要使四边形PQAM 是菱形，求点P 的坐标； （3）将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，得曲线OB ′A （B ′为B 关于x 轴的对称点），在原抛物线x 轴的上方部分取一点C ，连结CM ，CM 与翻折后的曲线OB ′A 交于点D ，若△CDA 的面积是△MDA 面积的2倍，这样的点C 是否存在？若存在求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． 例4如图，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线m y x = (x ＞0)交于点B (2，1)．过点(,1)P p p -(p ＞1)作x 轴的平 行线分别交曲线m y x =(x ＞0)和m y x =-(x ＜0)于M 、N 两点． （1）求m 的值及直线l 的解析式； （2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；