地球重力场,大地测量

1位理论基础

地球重力场反映了地球物质的空间分布及地球的旋转运动，它不仅决定了地球的形状和大小，而且反映了地球表面、内部以及大气和海洋的物质分布、运动和变化。根据场的概念：如果某一空间区域V中的每一点都有唯一的一个数量或矢量与之对应，则在空间V 中给定了一个数量场或矢量场。研究地球重力场就需要找到唯一的数量与矢量与外部空间每一点对应，而重力与重力位满足这样的条件，其中，重力是重力位的梯度。地球重力位等于引力位和离心力位之和，离心力位可以由空间一点的地心坐标与地球自转角速度求得，而引力位具有以下性质：

（1）引力位函数对任意方向的导数等于引力在该方向上的分力；

（2）引力位是一个在无穷远处的正则函数；

（3）质面引力位是连续的、有限的和唯一的，而其一阶导数在经过层面时是不连续的；（4）质体的引力位及其一阶导数是处处连续的、有限的和唯一的，而其二阶导数在密度发生突变时是不连续的；

（5）质体引力位在吸引质量外部满足拉普拉斯方程；

（6）质体引力位在质体内部满足泊松方程；

如果想借助牛顿引力理论得到地球外部引力位，必须知道地球内部各点的密度，而后进行体积分。根据格林公式，我们可以将体积分转化为面积分，只要知道了水准面σ上的重力值，就可以计算地球外部任意一点的重力位或引力位，这正是解引力位边值问题的理论基础。

位理论的边值问题就是根据某一空间边界上给定的已知条件，求出该空间中满足拉普拉斯方程的解。当空间位于边界的内部时，称为内部边值问题。当空间位于边界的外部时，称为外部边值问题。我们知道地球外部引力位在地球外部调和（满足拉普拉斯方程），并且在无穷远处正则，显然它可以通过求解外部边值问题的方法来求解。

首先，我们关注外部边值问题解的唯一性：第一类边值问题——已知边界上的调和函数值的解唯一，第二类边值问题——已知边界上的调和函数的导数值的解唯一，第三类边值问题——已知边界上的调和函数与调和函数导数的线性组合的值，如果线性组合的系数异号，那么解唯一。

接下来我们关注拉普拉斯方程的球函数解：借助于球坐标系，利用分离变量解的方法确定了拉普拉斯方程的通解的形式，其中含有勒让德多项式，我们顺带研究了勒让德多项式的性质和递推公式。根据质体引力位公式，将引力位展开成球函数级数展开式，并研究了低阶位系数的物理意义：零阶位表示地球质量全部集中在地球质心上所产生的引力位，因此零阶项与地球质量有关；一阶项与地球质心坐标有关，如果将坐标原点选在地球质心，则一阶项为零；二阶项系数与转动惯量和惯性积分有关。

最后从重力等位面的概念及其曲率的定义以及铅垂线的曲率的推导中，我们可以得出：水准面是不平行的、铅垂线是一条空间曲线。

2 地球正常重力场

在测量中我们通常选择旋转椭球面作为参考面，所以我们就自然希望用一个与地球形状最为接近的、质量等于地球总质量、自转角速度等于地球自转角速度、并且其表面为等位面的旋转椭球体的重力位来近似表示地球的重力位，根据斯托克斯定理（地球外部重力位和重力完全由形状已知的重力位水准面σ、质量M、角速度ω确定），这样定义的旋转椭球体的外部重力位是唯一确定的，取名为正常重力位，产生正常重力位的椭球体，称之为水准椭球，又称平均椭球体。然后我们就根据水准椭球和引力的性质来推导正常位的解析表达式。

第一步，在椭球坐标系下，得到调和函数（水准椭球外部正常引力位）的椭球谐函数展开式。

第二步，由于水准椭球的旋转对称性，水准椭球外部正常引力位与经度无关，进行化简。

第三步，结合离心力位的椭球坐标表示，令u=b得到关于水准椭球上的正常重力位的方程，而且水准椭球是重力等位面，那么这个方程就与纬度无关，便可将无穷级数的个数缩简为有限个数。

第四步，利用数学关系式，以及地球质量和水准椭球上的正常重力位的关系，可以得到水准椭球上的正常重力和正常重力位，水准椭球外部正常引力位的椭球谐函数展开式。

仿照引力位的球函数展开式，可以将正常引力位展开成球函数，结合水准椭球的性质（旋转对称）以及椭球谐函数展开式（两式在极点的坐标、引力位相等），对其进行化简，得到可以进行应用的正常引力位的球谐函数展开式，以及系数的计算式。

由于扰动位的边值问题的解算中经常会用到大地水准面上的正常位，我们就需要根据水准椭球面上正常重力线的曲率得到正常重力向上延拓的方向和数值改正。

3 斯托克斯边值问题

斯托克斯边值问题，又称大地测量边值问题，它将地表重力观测值归算到大地水准面上，计算出重力异常，然后假定大地水准面外部没有质量，解算大地水准面外部的扰动位，从而确定地球外部重力场。

地球周边空间的每一点都有确定的正常重力位，定义扰动位为同一点上的真实重力位与正常力位之差。因为正常力位是已知的，所以如果确定了扰动位，重力位也就确定了。另一方面，由于我们规定平均椭球体的质心与地球的质心重合，自转角速度与地球的自转角速度相等，所以正常重力位中的离心力位部分就等于地球重力位中的离心力位，因此扰动位实际上等于两者引力位之差。定义扰动重力为同一点上真实重力与正常重力之差，它等于扰动位的梯度。

先引入重力异常的概念：大地水准面上的重力与水准椭球面上的投影点的

正常重力之差。再介绍扰动位的三类边值问题。地球外部扰动位是调和函数，满足拉普拉斯方程和无穷远处正则。我们可以借助于前面外部格林第三公式的推导式和边值问题，分别得到扰动位三类边值问题。

Dirichlet（第一）边值问题：在陆地用GPS水准、海洋通过卫星测高，得到大地水准面差距，进而根据布隆斯公式得到大地水准面上的扰动位，假定大地水准面外没有质量，则大地水准面外的扰动位就由唯一的满足在大地水准面上等于扰动位的调和函数确定（调和函数第一边值问题的解的唯一性）。

Neumann（第二）边值问题：重力测量得到地面重力g，GPS测定地面重力观测点的地心坐标，转换为大地坐标，水准测量获得地面重力观测点的正高，由大地高和正高可得到大地水准面差距。根据正高将地面重力归算到大地水准面上，根据大地水准面差距将水准椭球面上的正常重力归算成大地水准面上的正常重力，进而求得大地水准面上的扰动重力。假定大地水准面外没有质量，则大地水准面外的扰动位就由唯一的满足在大地水准面上的数值等于扰动重力的调和函数确定（调和函数第二边值问题解的唯一性）

Stokes（第三）边值问题：由重力测量基本微分方程可知，重力异常是扰动位在水准椭球上的值与扰动重力在大地水准面上的值的线性组合，假定大地水准面外没有质量，则大地水准面外的扰动位就可以由满足在大地水准面上的函数值与其导数值的线性组合等于重力异常，而且具有相同线性系数的调和函数来描述（调和函数的第三边值问题）。

扰动位的三类边值问题的球近似解：因扰动位是小量，当大地水准面界面作球近似时，所引起的误差约为1/300。球近似后，借助于拉普拉斯方程的球函数展开式，可以得到三类边值问题的球近似解，分别为：泊松Poisson公式、贝克聂尔公式和Stokes公式。

第三边值问题中的大地水准面形状是未知的，它本身依赖于扰动位，这样的边值问题又称之为自由边值问题。我们把自由边值问题转化为固定边值问题，即把大地水准面近似为一个半径为地球平均半径的球面，或者是相当于平均椭球体表面的椭球面。把引力位与正常位展开成球谐函数展开式，利用T=V-U，可以得到扰动位的球谐函数展开式。

如果我们求解出扰动位，就可以求解扰动重力，由于正常重力是已知的，从而可以求得地球外部重力。同时，还也可以用布隆斯公式和垂线偏差的级数解公式计算大地水准面差距和垂线偏差分量。

4 计算实例

用EIGEN-6C4模型，取华北地区：北纬200-350、东经1000-1200，以0.50×0.50为单位对每个点计算其正常重力、扰动位、大地水准面差距、重力异常以及垂线偏差（南北方向ξ、东西方向η），结果如图所示（横坐标为经度，纵坐标为纬度）：

图4-1 eigen-6c4重力场模型计算扰动位

图4-2 eigen-6c4重力场模型计算大地水准面差距

图4-3 eigen-6c4重力场模型计算重力异常

图4-4 eigen-6c4重力场模型计算垂线偏差（南北方向ξ）

图4-5 eigen-6c4重力场模型计算垂线偏差（东西方向η）

5 重力归算

在运用斯托克斯公式求解地球外部重力场时，不仅要把地表的重力观测值归算到大地水准面上，而且要保证大地水准面外部没有质量。实际上，我们观测的重力值在地球的表面，大地水准面外部仍然存在质量，所以必须对地表的重力观测进行归算。

：假设大地水准面外部原本就没有质量，将重力由地面归算至大地水准

面，即空间改正。相应地，求得的重力异常称之为空间重力异常。

：假定大地水准面和测站所在的地表面是相互平行的水平面。将这两个

面之间的水平层质量去掉，对重力观测值加以改正，即层间改正。空间改正与层间改正之和称为不完全布格改正，对应的重力异常称之为不完全布格重力异常。

：因地形不规则, 改正时需将地形分成许多小块, 每一小块的地形改正

之和，即地形改正。空间改正、层间改正、地形改正之和称为地形改正，相应的重力异常称为完全布格重力异常。另外，空间改正与地形改正之和也叫做法耶改正，对应的重力异常称为法耶重力异常。

：如果大地水准面外部的质量是引起重力异常的主要原因，那么在做了

上面的完全布格重力异常改正后，重力异常值应该很小，但在工作中发现, 经布格改正后的布格重力异常在山区偏小。地壳均衡理论解释了山区下面的质量有

亏空, 需要补偿，即均衡改正。相应的重力异常为均衡重力异常。

重力归算涉及的质量移动如图所示：

理想的归算方法希望所施加的质量移动和再分配不会改变地球质心的位置和地球的总质量，也不会改变大地水准面的形状和地球外部的重力场。但实际上这五点是不可能同时实现的。在计算重力异常时，由于移动质量而导致的大地水准面高变化，称为间接效应。布格异常的间接效应太大，多用于勘探，而均衡异常和空间异常的间接效应都比较小可以用于解算地球外部的重力场。

6 Molodensky边值理论与重力内插推估

Stokes问题有以下缺点：

1，正高不能精确确定；

2，重力归算要假设密度和移动质量；

3，边界面未知。

为了克服Stokes 问题的这些缺点，大地测量学家莫洛金斯基提出了直接以地球表面作为边界的解法。Molodensky边值问题的解的边值条件是由扰动位是调和函数，而且无穷远处正则以及Molodensky问题基本微分方程在地球表面满足边值条件构成的。

边值问题求解涉及到重力异常的全球积分，但由于人们进行重力测量沿交通道进行，因此, 需要在没有实测数据的区域进行内插和推估。具体内插、推估方法为：由空间重力异常加上布格或均衡改正求得布格或均衡重力异常；对布格或均衡重力异常按照一定的方法（根据重力异常图内插、解析内插、点重力异常的最小二乘拟合法等）进行内插；将求得的内插点的布格或均衡重力异常扣除布格或均衡改正，求得内插点的空间重力异常。

积分按区域分块数值计算, 因此要用每个积分块的平均重力异常进行计算。当地面起伏不大时，可以用以下实用的算法：网格中只有一个重力点，以该点的重力异常代表；网格中有多个重力点，取其重力异常的加权平均值；网格中没有重力点，用临近重力点内插；加权平均计算以重力点所代表的面积为权。

7 大地水准面差距的积分解

积分解的主要困难在于：在P点附近, 当ψ趋向于0时, Stokes函数S(ψ)奇异，为了简化问题，以P点为圆心, ψ为半径作一个圆,将区域分成两部分，圆

外区域没有奇异点, 它对大地水准面差距的贡献为, 圆内区域的贡献为，

计算公式为：

上述公式避免了积分奇异，两部分之和为大地水准面差距N。