圆锥曲线常见题型小结

圆锥曲线常见题型小结

第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题

一．常考题型

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点问题

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题

题型七：弦或弦长为定值的问题 题型八：角度问题 题型九：四点共线问题

题型十：范围为题（本质是函数问题）

题型十一：存在性问题（存在点，存在直线y kx m =+，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）

二．热点问题

1.定义与轨迹方程问题

2.交点与中点弦问题

3.弦长及面积问题

4.对称问题

5.范围问题

6.存在性问题

7.最值问题

8.定值，定点，定直线问题

第二部分 知识储备

一． 与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠相关的知识（三个“二次”问题）

1. 判别式：24b ac ∆=-

2. 韦达定理：若一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则

12b x x a +=-

，12c

x x a

⋅= 3. 求根公式：若一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则

1,2x =

二．与直线相关的知识

1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式

2. 与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：tan y θ=，[0,)θπ∈；

②点到直线的距离公式：

d =

或d =

（斜截式）

3. 弦长公式：直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：

1212)AB x AB y =-==-或 4. 两直线11

11122222:,:l y k x b l y k x b =+=+的位置关系：

① 12121l l k k ⊥⇔⋅=- ②121212//l l k k b b ⇔=≠且

5. 中点坐标公式：已知两点1122(,),(,)A x y B x y ，若点(),M x y 线段AB 的中点，则

1112

,22

x x y y x y ++=

= 三．圆锥曲线的重要知识

考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。 文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线

1. 圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。

2. 圆锥曲线的标准方程：①椭圆的标准方程

②双曲线的标准方程 ③抛物线的标准方程 3. 圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数,,a b c 三者的关系，p 的几何意义等

4. 圆锥曲线的其他知识：①通径：椭圆22b a ，双曲线2

2b a

，抛物线2p

②焦点三角形的面积：p 在椭圆上时12

2tan

2

F PF S

b θ

=⋅

p 在双曲线上时12

2/tan

2

F PF S

b θ

=

四．常结合其他知识进行综合考查

1． 圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系

2． 导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识

3． 向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等 4． 三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质

5． 不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等

五．不同类型的大题 （1）圆锥曲线与圆

例1.（本小题共14分）

已知双曲线

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）

设直线是圆上动点处的切线，

与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值…

【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程

的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

（Ⅰ）由题意，得，解得，

∴，∴所求双曲线的方程为. （Ⅱ）点在圆上，

圆在点处的切线方程为， 化简得.

由及得， ∵切线与双曲线

C 交于不同的两点A 、B ，且

，

∴，且，

设A 、B 两点的坐标分别为，

则， ∵

，且

， 22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>x =C l 2

2

:2O x y +=0000(,)(0)P x y x y ≠l C ,A B AOB ∠2a c c a

⎧=⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩1,a c =2

2

2

2b c a =-=C 2

2

12

y x -=()()0000,0P x y x y ≠22

2x y +=()00,P x y ()0

000

x y y x x y -=-

-002x x y y +=2

20

012

2

y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩22

002x y +=()222000344820x x x x x --+-=l 2

002x <<2

0340x -≠()()

22200016434820x x x ∆=--->()()1122,,,x y x y 2

00

121222

00482,3434

x x x x x x x x -+==--cos OA OB AOB OA OB

⋅∠=

⋅()()121212010220

1

22OA OB x x y y x x x x x x y ⋅=+=+

--

.

∴ 的大小为.

【解法2】（Ⅰ）同解法1.

（Ⅱ）点在圆上，圆在点处的切线方

程为，化简得.由及得

①

②

∵切线与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且， ∴，设A 、B 两点的坐标分别为，

则， ∴，∴ 的大小为.

（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.

练习1：已知点是椭圆的左顶点，直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点.且当时，△的面积为. （Ⅰ）求椭圆的方程；

()2

1201201220

1422x x x x x x x x x ⎡⎤=+

-++⎣⎦-()222200002222

000082828143423434x x x x x x x x ⎡

⎤--⎢⎥=+-+----⎢⎥⎣⎦22002200828203434

x x x x --==-=--AOB ∠90︒

()()0000,0P x y x y ≠22

2x y +=()00,P x y ()0000

x y y x x y -=--002x x y y +=2

20

012

2

y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩22

002x y +=()222

00344820x x x x x --+-=()2

220

00348820x

y y x x ---+=l 2

002x <<2

0340x -≠()()1122,,,x y x y 2200121222

008228

,3434

x x x x y y x x --==--12120OA OB x x y y ⋅=+=AOB ∠90︒

22002x y +=000x y ≠220002,02x y <<<<2

0340x -≠A ()22

:109x y C t t

+

=>:1()l x my m =+∈R C ,E F x B 0m =AEF 16

3

C

（Ⅱ）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过点？并请说明理由.

（2）圆锥曲线与图形形状问题

例2.1已知A ，B ，C 是椭圆W ：2

4

x ＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．

(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；

(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．

解：(1)椭圆W ：24

x ＋y 2

＝1的右顶点B 的坐标为(2,0)．

因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．

所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2

＝1，即m

＝所以菱形OABC 的面积是12|OB |·|AC |＝1

2

×2×2|m |

(2)假设四边形OABC 为菱形． 因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．

由2244,x y y kx m

⎧+=⎨=+⎩消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则1224214x x km k +=-+，12122

2214y y x x m

k m k

++=⋅+=+. 所以AC 的中点为M 224,1414km

m k k ⎛⎫- ⎪

++⎝⎭

. 因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为1

4k

-.

因为k ·14k ⎛⎫

- ⎪⎝⎭

≠－1，所以AC 与OB 不垂直．

所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．

所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．

练习1：已知椭圆C ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 过点(2，1)，且以椭圆短轴的两个端点和

一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设M ,)x y （是椭圆C 上的动点，P ,0)p （是X 轴上的定点，求MP 的最小值及取最小值时点M 的坐标.

AE AF 3x =M N MN B

（3）圆锥曲线与直线问题 例3.1已知椭圆22:24C x y +=，

（1）求椭圆C 的离心率.

（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆2

22x

y +=的位置关系，并证明你的结论.

解析：⑴椭圆的标准方程为：22

142

x y +

=， 2a =

，b =

则c =

c e a ==;

⑵直线AB 与圆22

2x y +=相切.证明如下：

法一：

设点A B ,的坐标分别为()()002x y t ,,,，其中00x ≠. 因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即0020tx y +=，解得0

2y t x =-

. 当0x t =时，2

02

t y =-，代入椭圆C

的方程，得t =故直线AB

的方程为x =圆心O 到直线AB

的距离d 此时直线AB 与圆

222x y +=相切. 当0x t ≠时，直线AB 的方程为()002

2y y x t x t

--=--，

即()()0000220y x x t y x ty ---+-=. 圆心O 到直线AB 的距离

d .

又220

24x y +=，0

2y t x =-

，故

d =

=

=此时直线AB 与圆222x y +=相切. 法二：

由题意知，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y kx =，OA OB ⊥，

①当0k =时，()20A ±,，易知()02B ,，此时直线AB 的方程为2x y +=或2x y -+=， 原点到直线AB

，此时直线AB 与圆222x y +=相切； ②当0k ≠时，直线OB 的方程为1

y x k

=-，

联立2

2

24

y kx x y =⎧⎨+=⎩得点A

的坐标⎛⎫

或⎛⎫ ⎝；

联立12y x

k y ⎧

=-⎪⎨

⎪=⎩

得点B 的坐标()22k -,， 由点A 的坐标的对称性知，无妨取点

A ⎛⎫

进行计算， 于是直线AB

的方程为：

))2222y x k x k k

-=

+=

+，

即(

(2

1220k x y k -+++=，

原点到直线AB 的距离

d =

=此时直线AB 与圆222x y +=相切。 综上知，直线AB 一定与圆222x y +=相切. 法三：

①当0k =时，()20A ±,，易知()02B ,，此时

22OA OB =

,=，

AB ==，原点到直线

AB

的距离OA OB d AB

⋅=

=

=、

此时直线AB 与圆222x y +=相切； ②当0k ≠时，直线OB 的方程为1

y x k

=-，

设

()()

1122A x

y B x y ,,,，则

1

OA

，2OB ==

联立2

2

24

y kx x y =⎧⎨+=⎩得点A

的坐标⎛⎫

或⎛⎫ ⎝；

于是A OA ==

，OB =

21k AB +

所以

OA OB d AB

⋅=

==直线AB 与圆2

22x y +=相切；

综上知，直线AB 一定与圆222x y +=相切

练习1：已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=

>>过点(0,1). 过椭

圆左焦点F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，O 为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若直线AB 垂直于x 轴，判断点O 与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由； （Ⅲ）若点O 在以线段AB 为直径的圆内，求直线AB 的斜率k 的取值范围.

（4）圆锥曲线定值与证明问题

例4.1已知椭圆C

的中心在原点O ，焦点在x C 上的点到两个焦点的距离之和为4． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设A 为椭圆C 的左顶点，过点A 的直线l 与椭圆交于点M ，与y 轴交于点N ，过

原点与l 平行的直线与椭圆交于点P ．证明：2

||||2||AM AN OP ⋅=．

解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22

221(0)x y a b a b

+=>

>，

由题意知222,224,a b c c

a

a ⎧=+⎪

⎪=⎨⎪=⎪⎩

解得2a =，1b =．

所以椭圆C 的标准方程为2

214

x y +=．……………………………5分 （Ⅱ）设直线AM 的方程为：(2)y k x =+，则(0,2)N k ． 由 22

(2)44,

y k x x y =+⎧⎨

+=⎩，

得2222

(1+4)161640k x k x k ++-=（*）．

设(2,0)A -，11(,)M x y ，则2-，1x 是方程（*）的两个根，

所以2

12

2814k x k -=+．

所以222

284(

,)1414k k

M k k -++．

||AM =

==

．

||AN =

=

22

8(1)

||||14k AM AN k

+==+． 设直线OP 的方程为：y kx =．

由 22

44,y kx x y =⎧⎨+=⎩，得22

(14)40k x +-=． 设00(,)P x y ，则2

02

414x k =+，22

02

414k y k =+． 所以22

2

44||14k OP k +=+，22

2

882||14k OP k +=+． 所以2

||||2||AM AN OP ⋅=．

例4.2:已知椭圆C ：22221X y a b += （a>b>0

，A （a,0）,B(0,b)，O （0，

0），△OAB 的面积为1.

（I ）求椭圆C 的方程；

(I I)设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与Y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N 。 求证：AN BM ∙为定值。

练习1：已知椭圆

,椭圆短轴的一个端点与两个

焦点构成的三角形的面积为

. (Ⅰ)求椭圆的方程

;

(Ⅱ)已知动直线与椭圆相交于、两点. ①若线段中点的横坐标

为,求斜率的值;②若点,求证:为定值.

练习2：已知抛物线C : y 2 ＝2 px （p ＞ 0），其焦点为F ，O 为坐标原点，直线 AB （不垂直

于x 轴）

过点F 且抛物线C 交于 A ，B 两点，直线OA 与OB 的斜率之积为－p ． （1）求抛物线C 的方程；

（2）若M 为线段AB 的中点，射线OM 交抛物线C 于点 D ，求证：||

||

OD OM ＞2

:C 22

221(0)x y a b a b

+=>>3

C (1)y k x =+C A B AB 12-k 7

(,0)3

M -MA MB ⋅

练习3：动点),(y x P 到定点)0,1(F 的距离与它到定直线4:=x l 的距离之比为

2

1. (Ⅰ) 求动点P 的轨迹C 的方程； （Ⅱ） 已知定点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(4,)Q t 在直线l 上，作直线AQ 与轨迹C 的另一个交点为M ,作直线BQ 与轨迹C 的另一个交点为N ，证明：,,M N F 三点共线.

（5）圆锥曲线最值问题

例5： 已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>

C 与y 轴交于A B ，两点，||2AB =.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在y 轴的右侧. 直线PA ，PB 与直线4x =分

别相交于M N ， 两点. 若以MN 为直径的圆与x 轴交于两点E F ，，求点P 横坐标的取值范围及||EF 的最大值.

解：（Ⅰ）由题意可得，1b =， …………………1分

c e a == …………………2分 得22134

a a -=， …………………3分 解24a =， …………………4分

椭圆C 的标准方程为2

214

x y +=. …………………5分 （Ⅱ）设000(,)(02)P x y x <≤，(0,1)A ，(0,1)B -， 所以00

1PA y k x +=，直线PA 的方程为0

011y y x x +=-， …………………6分 同理：直线PB 的方程为00

11y y x x -=+， 直线PA 与直线4x =的交点为004(1)(4,

1)y M x -+， …………………7分

直线PB 与直线4x =的交点为00

4(1)(4,1)y N x +-， 线段MN 的中点00

4(4,)y x ， …………………8分 所以圆的方程为222000

44(4)()(1)y x y x x -+-=-， …………………9分 令0y =，则22

2002016(4)(1)4y x x x -+=-， …………………10分 因为220014x y +=，所以 2020114

y x -=-， …………………11分 所以20

8(4)50x x -+-=， 因为这个圆与x 轴相交,该方程有两个不同的实数解，

所以 0

850x ->，解得08(,2]5x ∈. …………………12分 设交点坐标12(,0),(,0)x x

，则12||x x -=0825

x <≤） 所以该圆被x 轴截得的弦长为最大值为2. …………………14分

练习1：已知椭圆C ：()22221x y a b a b +=>>0的一个焦点为F (2，0)，离心率为

点F 的直线l 与椭圆C 交于 A ，B 两点，线段 AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线交椭圆于M ，N 两点。

（1）求椭圆C 的方程；

（2）求四边形AMBN 面积的最大值。

练习2：已知椭圆C ：2231(0)mx my m +=>

的长轴长为O 为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；

（Ⅱ）设点(3,0)A ，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且P 在y 轴的右侧，若||||BA BP =，求四边形OPAB 面积的最小值.

（6）圆锥曲线存在性问题

例6.已知椭圆C ： ()012222>>=+b a b y a x 的离心率为2

2，点()1,0P 和点()()0,≠m n m A 都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m n 表示）；

（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得ONQ OQM ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 解析:

（I ）由题意得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+===,,22,1222c b a a

c b 解得22=a ， 故椭圆C 的方程为.12

22

=+y x 设).0,(M x M

因为0≠m ，所以.11<<-n 直线PA 的方程为x m

n y 11-=

-， 所以n m x M -=1，即).0,1(n m M - ()∏因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以()n m B -,.

设)0,(N x N ，则n

m x N +=1. “存在点),0(Q y Q 使得ONQ OQM ∠=∠”等价于“存在点),0(Q y Q 使得

ON

OQ OQ OM =”，即Q y 满足N M Q x x y =2. 因为n m x M -=1，n m x N +=1，.12

22=+n m 所以2=Q y 或2-=Q y ，

故在y 轴上存在点Q ，使得ONQ OQM ∠=∠，

点Q 的坐标为)2,0(或)2,0(-.

练习1：设F 1 ，F 2分别为椭圆()22

221x y a b a b

+=>>0的左、右焦点，点P （1，32） 在椭圆E 上，且点P 和F 1 关于点C （0，34

） 对称。 （1）求椭圆E 的方程；

（2）过右焦点F 2 的直线l 与椭圆相交于 A ，B 两点，过点P 且平行于 AB 的直线与椭圆交于 另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方 程；若不存在，说明理由。

练习2：设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点与抛物线：x 2＝4 2y 的焦点重合，F 1、

F 2分别是椭圆的左、右焦点，离心率e ＝

33，过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)是否存在直线l ，使得OM ON ⋅＝－1，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由

圆锥曲线基本题型总结

锥曲线基本题型总结: 提纲: 一、定义的应用： 1、定义法求标准方程： 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题： 3、焦点三角形问题： 二、圆锥曲线的标准方程： 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程（已经性质求方程） 3、各种圆锥曲线系的应用： 三、圆锥曲线的性质： 1、已知方程求性质： 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题： 四、直线与圆锥曲线的关系： 1、位置关系的判定： 2、弦长公式的应用： 3、弦的中点问题： 4、韦达定理的应用： 一、定义的应用： 1.定义法求标准方程： （1）由题目条件判断是什么形状，再由该形状的特征求方程：（注意细节的处理）

1?设F-F2为泄点,∣F1F2∣=6 ,动点M满足IMF I I+∣M F2I= 6 ,则动点M的轨迹是（） 1/1 C.圆 D.线段【注:2a>|Fi F2I是椭圆，2a=∣Fι F2 I是线段】 2.设％4, O), C(4,0) ,KZLlSC的周长等于18侧动点/1的轨迹方程为() A.5J+= 1 (yH0) - B.+ ? f ( X2,9)=1 (yH 0 ) C错误!-错误!=1 G?≠ 0) °D?错误! + = 1 (y≠0)【注:检验去点】 3.已知力(0, — 5)、B(0,5),昭I 一砂∣=2α,当α=3或5时，P点的轨迹为() A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线一支或一条直线 D.双曲线一支或一条射线【注:2a<|F I F2∣是双曲线，2a=∣ F1F2∣?射线，注意一支与两支的判断】 4?已知两左点巧(一 3,0),尸2(3.0),在满足下列条件的平而内动点P的轨迹中,是双曲线的是() A↑?PF i?-?PF2 I |=5 B.∣ I PFll-I PF2? I =6 C.∣∣PF1∣-∣PF2∣∣=7 D.∣ I PF1?-?PF2? I =0 【注ι2a<∣Fι F2∣是双曲线】 5?平而内有两个泄点Fι(-5,0)和F2( 5 ,0),动点P满足IPF I l-I PF沪6 ,则动点P的轨迹方程是() A.? f(x2, 1 6)- 错误! = l(xW-4) " B.错误!?=l(xW?3)

高考圆锥曲线题型归类总结

圆锥曲线的七种常考题型 题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义： （1）椭圆 （2）双曲线 （3）抛物线 2、定义的应用 （1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题 例1、动圆M 与圆C 1：()2 2 136x y ++=内切,与圆C 2：()2 2 14x y -+=外切,求圆心M 的 轨迹方程。 例2、方程() () 2 2 22668x y x y -+- ++=表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由2 2 x y 、分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由2 2 x y 、系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 例1、已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 例2、k 为何值时,方程 1592 2=---k y k x 表示的曲线： (1)是椭圆；(2)是双曲线.

题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、常利用定义和正弦、余弦定理求解 2、12PF m PF n ==，，2 2 m n m n mn m n +-+，，，四者的关系在圆锥曲线中的应用 典型例题 例1、椭圆x a y b a b 222 210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角α=∠21PF F ， 求21PF F ?的面积。 例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且 6021=∠PF F ， 31221=?PF F S ．求该双曲线的标准方程 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值； 2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围； 3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题 例1、已知1F 、2F 是双曲线122 22=-b y a x （00>>b a ，）的两焦点，以线段21F F 为边作 正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 2 1 3+ D. 13+ 例2、双曲线)00(122 22>>=-b a b y a x ，的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其 上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1，3) B.(]13， C.(3,+∞) D.[)3,+∞

圆锥曲线经典题型总结(含答案)

圆锥曲线整理 1．圆锥曲线的定义： (1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d . 圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时 要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1 （0a b >>）。 % （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。 （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。 2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 双曲线：由x 2 ,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222 c a b =+。 | 3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2 b 2＝λ(λ≠0)，渐近线方程为y ＝±b a x 的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．要求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)的渐近线，只需令λ＝0即可． 4．直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系． 解决直线与圆锥曲线问题的通法 (1)设方程及点的坐标． (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程． (3)应用韦达定理及判别式． (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． — 5．若直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且直线P 1P 2的斜率为k ， 则弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2|y 1－y 2|(k ≠0)．|x 1－x 2|，|y 1－y 2|的求法， 通常使用根与系数的关系，需要作下列变形：|x 1－x 2|＝x 1＋x 2 2－4x 1x 2，|y 1 －y 2|＝ y 1＋y 2 2－4y 1y 2. 6．与圆锥曲线的弦的中点有关的问题 (1)通法．联立方程利用根与系数的关系 (2)“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率． 点差法的步骤： ①将两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标代入曲线的方程． ②作差消去常数项后分解因式得到关于x 1＋x 2，x 1－x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2的关系式．

高考数学 圆锥曲线的概念,解题方法、题型、易误点总结

数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——圆锥曲线 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|F F|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如： ①已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A． B． C． D．（答：C）； ②方程表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在 轴上时＝1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A ≠B）。比如：

①已知方程表示椭圆，则的取值范围为____（答：）； ②若，且，则的最大值是____，的最小值是___（答：） （2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。方程 表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。比如： ①双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：）； ②设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为_______（答：） （3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：） （2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、

(完整版)圆锥曲线常见题型及答案

圆锥曲线常见题型归纳 一、基础题 涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意： （1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况； （3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中 222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=； 例题： （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ） A ．421=+PF PF B ．6 21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122 2 2 1 =+PF PF （答：C ）； （2） 方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支） （3）已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2） （4）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11 (3,) (,2)22 ---）； （5）双曲线的离心率等于25 ，且与椭圆14 922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2 214x y -=）； （6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为 _______（答：226x y -=） 二、定义题 对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理； 圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤； ②焦点：两个焦点(,0)c ±； ③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为 2a ，短轴长为2b ； ④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 例：（1）若椭圆1522=+m y x 的离心率510 = e ，则m 的值是__（答：3或325）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答： p e c b a ,,,,

圆锥曲线基本题型总结

圆锥曲线基本题型总结: 提纲: 一、定义的应用: 1、定义法求标准方程: 2、涉及到曲线上的点到焦点距离的问题: 3、焦点三角形问题: 二、圆锥曲线的标准方程: 1、对方程的理解 2、求圆锥曲线方程(已经性质求方程) 3、各种圆锥曲线系的应用: 三、圆锥曲线的性质: 1、已知方程求性质: 2、求离心率的取值或取值范围 3、涉及性质的问题: 四、直线与圆锥曲线的关系: 1、位置关系的判定: 2、弦长公式的应用: 3、弦的中点问题: 4、韦达定理的应用: 一、定义的应用: 1.定义法求标准方程: (1)由题目条件判断就是什么形状,再由该形状的特征求方程:(注意细节的处理) 1、设F1,F2为定点,|F1F2|＝6,动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6,则动点M的轨迹就是() A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段【注:2a>|F1 F2|就是椭圆,2a=|F1 F2|就是线段】 2、设B(－4,0),C(4,0),且△ABC的周长等于18,则动点A的轨迹方程为()

A 、x 225＋y 29 ＝1 (y ≠0) B 、y 225＋x 29＝1 (y ≠0) C 、x 216＋y 216＝1 (y ≠0) D 、y 216＋x 29 ＝1 (y ≠0) 【注:检验去点】 3、已知A (0,－5)、B (0,5),|P A |－|PB |＝2a ,当a ＝3或5时,P 点的轨迹为( ) A 、双曲线或一条直线 B 、双曲线或两条直线 C 、双曲线一支或一条直线 D 、双曲线一支或一条射线 【注:2a<|F 1 F 2|就是双曲线,2a=|F 1 F 2|就是射线,注意一支与两支的判断】 4、已知两定点F 1(－3,0),F 2(3,0),在满足下列条件的平面内动点P 的轨迹中,就是双曲线的就是( ) A 、||PF 1|－|PF 2||＝5 B 、||PF 1|－|PF 2||＝6 C 、||PF 1|－|PF 2||＝7 D 、||PF 1|－|PF 2||＝0 【注:2a<|F 1 F 2|就是双曲线】 5、平面内有两个定点F 1(－5,0)与F 2(5,0),动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝6,则动点P 的轨迹方程就是( ) A 、x 216－y 29 ＝1(x ≤－4) B 、x 29－y 216＝1(x ≤－3) C 、x 216－y 29＝1(x ≥4) D 、x 29－y 216 ＝1(x ≥3) 【注:双曲线的一支】 6、如图,P 为圆B :(x ＋2)2＋y 2＝36上一动点,点A 坐标为(2,0),线段AP 的垂直平分线交直线BP 于点Q ,求点Q 的轨迹方程、

完整版)圆锥曲线大题题型归纳

完整版)圆锥曲线大题题型归纳 圆锥曲线大题题型归纳 基本方法： 1.待定系数法：求解直线方程中的系数，求标准方程中的 待定系数a、b、c、e、p等； 2.齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有 关的问题； 3.韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。但是，如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4.点差法：解决弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五 条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；

5.距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问 题转化为水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题； 基本思想： 1.“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2.“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然 会无解； 3.证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将 对象表示出来，再说明与此变量无关； 4.证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则 必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5.有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能 使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；

6.大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表 达出来，即可自然而然产生思路。 题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 例1、已知F1，F2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两个焦点，P在椭圆上，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为多少？ 点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。 变式1、已知F1,F2分别是双曲线3x^2-5y^2=75的左右焦点，P是双曲线右支上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2 的面积。 变式2、已知F1，F2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点。 1）求|PF1|/|PF2|的最大值；

圆锥曲线大题题型总结

圆锥曲线大题题型总结 在数学学科中，圆锥曲线是一个重要的概念。它们由平面上一定点 到一定直线的距离比的几何特征来定义。而掌握圆锥曲线的性质和应 用是许多数学问题的关键。在国内高中数学教育中，圆锥曲线也是一 个考点重、难度大的知识点。下面将对圆锥曲线的大题题型进行总结。 一. 求曲线方程 求解曲线方程是圆锥曲线的基本题型之一。这类题目通常给出曲线 上的若干点或者一些特征条件，要求求出曲线的方程。常见的曲线方 程有抛物线、椭圆和双曲线。 对于抛物线，题目中通常会给出焦点、准线等信息，要求求出抛物 线的方程。解题的关键是利用焦距的定义关系，以及抛物线的几何特性，进行方程的推导。 椭圆需要通过给出的焦点和离心率来确定，其方程的求解要点是利 用椭圆的几何性质和椭圆的焦点位置来进行推断。 双曲线的方程求解也是一个常见的问题。对于已知双曲线的焦点和 离心率的情况，需要利用双曲线的几何性质和特征进行方程的推导。 以上三种曲线方程的求解方法都是基于焦点、准线和离心率等几何 性质进行的。 二. 判断曲线类型

判断给定的曲线是何种类型也是圆锥曲线大题中常见的一类题型。这类题目通常给出曲线方程，要求判断其类型。 对于抛物线，常用的判断方法是根据方程的系数来判断抛物线的开口方向以及是否与坐标轴相交。例如，当二次项系数为正时，抛物线的开口方向向上；当常数项为负时，抛物线与x轴相交。 判断椭圆和双曲线的类型则要利用离心率等几何性质。椭圆的离心率小于1，双曲线的离心率大于1。 三. 曲线性质应用题 利用曲线的性质进行应用题的解答也是圆锥曲线大题中常见的一类题型。这类题目通常会结合实际问题，利用曲线的性质进行问题的求解。 比如，题目给出一条抛物线和一个点，要求求解从该点到抛物线的切线方程。解答的关键是利用切线的几何性质和抛物线的方程，推导出切线方程。 另外，题目还可能给出一个曲线和一个点，要求求解过该点并且与曲线相切的直线方程。解答的关键是利用切线和直线的几何性质，结合曲线方程进行推导。 以上是圆锥曲线大题的一些常见题型和解答方法。掌握这些题型和应用方法，可以帮助我们更好地理解圆锥曲线的性质和应用，提高数学解题的能力。

高考圆锥曲线知识点、题型全总结

圆锥曲线全总结及全题型解析 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F ，F 的距离的和等于常，且此常数一定要大于，当常数等时，轨迹是线段 F F ，当常数小时，无 轨迹；双曲线中，与两定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于F |，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|F F |，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在轴上时（），焦点在轴上时＝1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（A B C≠0，且A，B，C同号，A≠B）。 （2）双曲线：焦点在轴上=1，焦点在轴上＝1（）。方表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时，开口向左，开口向上时，开口向下时。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由, 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由, 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，最大，在双曲线中，最大。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为，短轴长为；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点： 两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2 ，虚轴长为，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 ；④准线：两条准线；⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线

圆锥曲线大题题型分类归纳大全

圆锥曲线大题题型归纳梳理 圆锥曲线中的求轨迹方程问题 解题技巧 求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。 【例1.】已知平面上两定点),,(),,(2020N M -点P 满足MN MP =•求点P 的轨迹方程。 【例2.】已知点P 在椭圆14 22 =+y x 上运动，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足,PQ PM 3 1 =求动点M 的轨迹方程。 【例3.】已知圆),,(,)(:023622 2 B y x A =++点P 是圆A 上的动点，线段PB 的中垂线交 PA 于点Q ，求动点Q 的轨迹方程。 【例4.】过点),(10的直线l 与椭圆14 2 2 =+y x 相交于B A ,两点，求AB 中点M 的轨迹方程。 巩固提升 1. 在平面直角坐标系xOy 中，点()(),,,,4010B A 若直线02++-m y x 上存在点P ,使得 ,PB PA 2 1 = 则实数m 的取值范围为_________________.

2. 已知()Q P ,,24-为圆42 2 =+y x O :上任意一点，线段PQ 的中点为,M 则OM 的取值 范围为________________. 3. 抛物线x y C 42 :的焦点为,F 点A 在抛物线上运动，点P 满足,FA AP 2-=则动点P 的轨迹方程为_____________________. 4. 已知定圆,)(:10042 2 =++y x M 定点),,(40F 动圆P 过定点F 且与定圆M 内切，则动圆圆心P 的轨迹方程为____________________. 5. 已知定直线,:2-=x l 定圆,)(:442 2 =+-y x A 动圆H 与直线l 相切，与定圆A 外切，则动圆圆心H 的轨迹方程为____________________ 6. 直线033=+-+t y tx l :与抛物线x y 42=的斜率为1的平行弦的中点轨迹有公共点，则实数t 的取值范围为_________________. 7. 抛物线y x 42 =的焦点为,F 过点),(10-M 作直线l 交抛物线于B A ,两点，以BF AF ,为邻边作平行四边形,FARB 求顶点R 的轨迹方程。 8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 与椭圆112 242 2=+y x C : 相交于B A ,两点，O 为坐标原点。 （1）若直线l 的方程为,062=-+y x 求OB OA •的值； （2）若,12-=•OB OA 求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

圆锥曲线解答题12大题型解题套路归纳

【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】WILL COME ACROSS 圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问题（5）对称问题（6）向量问题（7）切线问题（8）面积问题（9）最值问题（10）焦点三角形问题。 中的2-----4 类；分门别类按套路求解； 1.高考最重要考：|直线与椭圆，抛物线的位置关系。第一问最高频考（总与三个问题有关）： （1） -------------- ；（2）---------------------- ；（3） --------------------- ； 2.圆锥曲线题，直线代入圆锥曲线的“固定3 步走|” : 3.圆锥曲线题固定步骤前9 步： 4.圆锥曲线题题型一：弦长问题的固定套路: STEP1首先看是否属于3种特殊弦长：（1）圆 的弦长问题；（2）中点弦长问题（3）焦点弦长问题；（1）圆的弦长问题：（2法）首选 方法：垂径定理+勾股定理：图示： ----------------------------------- ；公式为：；其中求“点线距”的方法：;次选：弦长公式；（2）中点弦长问题：（2法）首选方法：“点差法”，结论：中点弦公式:|椭圆:（公式一） ;（公式二）；副产品：两直线永远不可能垂直！原因： __________________ ；【两直线夹角的求法：（夹角公式）；】双曲线（公式一）；（公式二）；抛物线：形式一：；（公式一）；（公式二）；形式2 : ；（公式一）；（公式二） ------------------------- ;附:“点差法”步骤:椭圆:“点” _____________________________ ; _________________________________ ; “差”___________________________________________ “设而不求法” _______________________________________ “斜率公式” + “中点公式” ________________________ ; ______________ ; _____________ ;得公式：

圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型

圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型 常用的八种方法 1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法（点参数、K参数、角参数）' 7、代入法中的顺序 8、充分利用曲线系方程法 七种常规题型 （1）中点弦问题 （2）焦点三角形问题 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题 1•曲线的形状已知------- 这类问题一般可用待定系数法解决2•曲线的形状未知-----求轨迹方程 （6）存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题 常用的八种方法

lx定义法 (1) 椭圆有两种定义。第一定义中，人+厂2=20。第二定义中，r}=ed Xl r2=ed2O (2) 双曲线有两种定义。第一定义中，|人-厂2〔=2G,当r x>r2 时，注意卩的最小值为c_a:第二定义中r2=ed2l 尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与'点到准线距离” 互相转化。(3)抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲 线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 汇高中数字解题研究士M曲44%刃3、设而不求法 解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法“。设而不求法对于直线与圆

圆锥曲线题型归纳(经典附含答案解析)

椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义: 1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙:P 的轨迹是以A 、B 为焦 点的椭圆,则命题甲是命题乙的 < B > A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知1F 、2F 是两个定点,且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是〔 D A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动 点Q 的轨迹是< B > A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 4. 椭圆 19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2,N 为1MF 的中点,O 是椭圆的中心,则ON 的值是 4 。 5. 选做：F 1是椭圆15 92 2=+y x 的左焦点,P 在椭圆上运动,定点A 〔1,1,求||||1PF PA +的最小值。 解：26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA (二) 标准方程求参数范围 1. 试讨论k 的取值范围,使方程1352 2=-+-k y k x 表示圆,椭圆,双曲线。 〔略 2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 102 2=+>>< C > A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 若方程1cos sin 2 2 =+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆,α所在的象限是〔 A A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 方程2 31y x -=所表示的曲线是 椭圆的右半部分 . 5. 已知方程22 2 =+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 k>1 (三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程： 〔1两个焦点的坐标分别为〔0,5和〔0,－5,椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； 〔2长轴是短轴的2倍,且过点〔2,－6； 〔3已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程. 2. 简单几何性质 1． 求下列椭圆的标准方程〔1 32,8= =e c ； 〔2过〔3,0点,离心率为 36 = e 。 〔3椭圆的对称轴为坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆的最近距离是3。 〔4椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中心的距离为3,则椭圆的标准方程为 〔5已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为354和3 52,过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。

圆锥曲线的离心率14种题型归纳与专项练习

圆锥曲线的离心率14种题型归纳与专项练习 【题型一】 判断横放竖放求参 【典例分析】 已知实数1,,9m 成等比数列，则圆锥曲线2 21x y m +=的离心率为（ ） A B ．2 C 2 D 【答案】C 【分析】根据1,,9m 成等比数列求得 m ，再根据离心率计算公式即可求得结果. 【解析】因为实数1,,9m 成等比数列，故可得29m =，解得3m =或3m =-； 当3m =时，2 21x y m +=表示焦点在x 轴上的椭圆，此时e =； 当3m =-时，2 21x y m +=表示焦点在y 轴上的双曲线，此时2e ==. 故选：C. 【经验总结】 依据椭圆和双曲线定义好几何性质，对方程中含参判断，要从以下几方面： 1、通过讨论，确定焦点在x 轴还是在y 轴上判断（即俗称的横放还是竖放）。 2、“椭圆”要注意避开俩分母相等这个计算坑 【变式演练】 1.已知双曲线22 :1(0)8 x y M a a a - =>+的离心率为2，则双曲线M 的渐近线方程是（ ） A ．y = B ．y x = C ．3y x =± D ．y = 【答案】A 【分析】 先由离心率的值求出a 的值，则可得双曲线方程，从而可求出其渐近线方程 【解析】因为双曲线的离心率为2， 所以 84a a a ++=，解得4a =，所以双曲线方程为22 1412 x y -=，

由22 0412 x y - = ，得y = ，所以双曲线的渐近线方程为y =，故选：A 2.已知曲线C ：2231mx y += 的离心率e m 值为（ ） A ．6 B ．-6 C ．32 D ．32 - 【答案】D 【分析】 由曲线C ：2231mx y += 的离心率1e =>，得出是双曲线，进而得出213a =，2 1b m =-， 由离心率c e a === 【解析】因为曲线C ：2231mx y += 的离心率1e =>， 所以曲线C ：2231mx y +=为双曲线，即0m <，所以213a =，2 1b m =-， 所以离心率c e a ===32m =-， 故选：D ． 3.设e 是椭圆221(0)x my m +=>的离心率，且10,2e ⎛⎫ ∈ ⎪⎝ ⎭ ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．34,11,43⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．(0,1)(1,2) D ．4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B 【分析】根据椭圆焦点位置分情况讨论. 【解析】当椭圆焦点在x 轴上时，椭圆方程为221 1 1x y m += ，即1 11 2m ⎧<⎪，解得413m <<， 当椭圆焦点在y 轴上时，椭圆方程为22 111y x m += 即1112 m ⎧>⎪⎪，解得314m <<， 综上：34,11,43 m ⎛⎫⎛⎫ ∈ ⎪ ⎪⎝ ⎭⎝ ⎭ ，故选：B. 【题型二】 直接法 【典例分析】 椭圆上的点到椭圆的焦点的距离的最大值与椭圆的短轴长相等，则椭圆的离心率为（ ）

圆锥曲线常考七大题型汇总，一文全学透！

圆锥曲线常考七大题型汇总，一文全学透！ 都说数学中的圆锥曲线高考难题排名第二名，大部分同学抱怨无从下手，计算能力跟不上，算错一次没有勇气从头再来，今天小浙老师教大家如何学好！ 1、牢记核心知识点 核心的知识点是基础，好多同学在做圆锥曲线题时，特别是小题，比如椭圆，双曲线离心率公式和范围记不清，焦点分别在x轴，y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清，在做题时自然做不对。 2、计算能力与速度 计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些，计算能力是可以通过多做题来提升的。后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程，然后得到判别式，两根之和，两根之积的整式。 当然也要掌握一些解题的小技巧，加快运算速度。 3、思维套路 拿到圆锥曲线的题，很多同学说无从下手，从表面感觉很难。老师建议：山重水复疑无路，没事你就算两步。大部分的圆锥曲线大题，都有共同的三部曲：一设二联立三韦达定理。 一设：设直线与圆锥曲线的两个交点，坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线方程为y=kx+b。 二联立：通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。 三韦达定理：得到二次方程后立马得出判别式，两根之和，两根之积。 走完三部曲之后，在看题目给出了什么条件，要求什么。例如涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．总结起来：找值列等量关系，找范围列不等关系，通常结合判别式，基本不等式求解。 4、题型总结

圆锥曲线中常见题型总结 1、直线与圆锥曲线位置关系 这类问题主要采用分析判别式，有 △＞0，直线与圆锥曲线相交； △=0，直线与圆锥曲线相切； △＜0，直线与圆锥曲线相离． 若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。 2、圆锥曲线与向量结合问题 这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。 3、圆锥曲线弦长问题 弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则： 4、定点、定值问题 （1）定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结论，即可简化运算； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 5、最值、参数范围问题 这类常见的解法有两种：几何法和代数法． （1）若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法； （2）若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法． 在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：

高中数学丨圆锥曲线7大题型汇总

高中数学丨圆锥曲线7大题型汇总 学好圆锥曲线的几个关键点 1、牢记核心知识点 核心的知识点是基础，好多同学在做圆锥曲线题时，特别是小题，比如椭圆，双曲线离心率公式和范围记不清，焦点分别在x轴，y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清，在做题时自然做不对。 2、计算能力与速度 计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些，计算能力是可以通过多做题来提升的。后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程，然后得到判别式，两根之和，两根之积的整式。 当然也要掌握一些解题的小技巧，加快运算速度。 3、思维套路 拿到圆锥曲线的题，很多同学说无从下手，从表面感觉很难。老师建议：山重水复疑无路，没事你就算两步。大部分的圆锥曲线大题，都有共同的三部曲：一设二联立三韦达定理。 一设：设直线与圆锥曲线的两个交点，坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线方程为y=kx+b。 二联立：通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。

三韦达定理：得到二次方程后立马得出判别式，两根之和，两根之积。 走完三部曲之后，在看题目给出了什么条件，要求什么。例如涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．总结起来：找值列等量关系，找范围列不等关系，通常结合判别式，基本不等式求解。 4、题型总结 圆锥曲线中常见题型总结 1、直线与圆锥曲线位置关系 这类问题主要采用分析判别式，有 △＞0，直线与圆锥曲线相交； △=0，直线与圆锥曲线相切； △＜0，直线与圆锥曲线相离． 若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。 2、圆锥曲线与向量结合问题

高考数学圆锥曲线知识点、题型、易误点、技巧总结

高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结 一.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 练习： 1.已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（答：C ）； A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．10 21=+PF PF D ．122 2 2 1=+PF PF 2.方程8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） 3.已知点)0,22(Q 及抛物线4 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2） 二.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）⇔ { cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222b x a y +＝1（0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。