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高考数学典型例题详解汇编

详解高考数学典型例题奇偶性与单调性

函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成用更加突出..

应用意识

●难点磁场f∞)上为增函数，且f(2)=0,解不等式+(★★★★★)已知偶函数f(x)

在(0，20.+4)+5x［log(x］≥2

●案例探究－f(x(f(x)是定义在－3，3)上的减函数，且满足不等式1［例］已知奇函数22x－x)=－3x4(+3x{3)<0,－设不等式解集为A，B=A∪x|1≤x},≤求函数g((3)+fx5.

的最大值B∈)考生必须具有综合运用知识分本题属于函数性质的综合性题目，命题意图：.

析和解决问题的能力，属★★★★级题目.

知识依托：主要依据函数的性质去解决问题”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定f错解分析：题目不等式中的“.

区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域不等式，利用数形结合技巧与方法：借助奇偶性脱去“f”号，转化为xcos.

进行集合运算和求最值6?0?x3?3?3?x???, 0<0,故x<解：由且x≠6得

??23?x?3?3?6?x??6??22),又f(x)在x(33)=(－－(是奇函数，∴xf又∵()fx3)

22即x,<得x>2或x<－3,综上得∴x－3>3－x2<,即x6>0,+x－解6},

－在B上为减函数，∴g(x)=g(1)=知：g(x)max

上是增函数，是(x)在［0，+∞)f［例2］已知奇函数(x)的定义域为R，且f?都成立？0,］对所有θ∈［m,使f(cos2θ－3)+f(4m－2cosθ)>f(0)否存在实数m2.

的范围，若不存在，说明理由若存在，求出符合条件的所有实数m主要考查考

生的综合分析能力和逻辑思维本题属于探索性问题，命题意图：.

能力以及运算能力，属★★★★★题目利用等价转化的思想方法把问主要依据函数的单调性和奇偶性，知识依托：.

题转化为二次函数在给定区间上的最值问题特别不易考虑运用等错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，.

价转化的思想方法. 技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题上的增是R)上是增函数，∴f(x)上的奇函数，且在［解：∵f(x)是R0，+∞),

m(2mcosθ－4于是不等式可等价地转化为函数.f(cos2θ－3)>f22>0. cosθ+2m－cosθ－4m,即cosmθ－cos2即θ－3>2m m22－

－t)－mt+2m－2=(tt设=cosθ,则问题等价地转化为函数g(t)=22m］上的最小值，1(1］上的值恒为正，又转化为函数gt)在［0－+2m2在［0，4.

为正m∴当>1与m<0不符；m<0<0,即m时，g(0)=2m－2>0?22mm2>0

m－g≤2时，(m)=－+2m10当≤≤时，即0≤422.

m<,<4+24－≤m4－2<2222?m>2 ∴mm(1)=gm－1>0>1.时，m当>1,即>2?22－mm综上，符合题目要求的的值存在，其取值范围是>4.

2．

●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：此类题目要求考生必.运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目(1).

须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还(2)应用问题.要用到等价转化和数

形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最基本的简单的式子去解决..

值问题

●歼灭难点训练一、选择题时，≤1x),当0≤x(是(－∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=－f(1.(★★★★)设fx))

f(7.5)等于( 则f(x)=x, B.－0.5

A.0.5 C.1.5

D.－1.5

(9af(★★★★)已知定义域为－1，1)的奇函数y=(x)又是减函数，且f(－3)+f2.(2)

)<0,a的取值范围是( －a

A.(2，，) 3)

B.(3102

C.(2

D.( － 2 ，3)

，4) 2

二、填空题

3.(★★★★)若f(x)为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f(－3)=0,则xf(x)<0的解集为_________.

4.(★★★★)如果函数f(x)在R上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且

f(x+2)=12_________.

的大小关系f(f(f),(－fx试比较),),(1)33

三、解答题－在(上是减函数，判断f(x)f(x)是偶函数而且在(0，+∞)5.(★★★★★)已知.

,0)上的增减性并加以证明∞

x1?a?2 R上的奇函数，∈R)是)已知f(x)= (a6.(★★★★x2?1 a的值；(1)求1－);

xf(((2)求fx)的反函数x?11+－. ,解不等式fRx)>lg((3)对任意给定的k∈k

－f(sinx)≤,4)定义在(－∞］上的减函数f(x)满足f(m－7.(★★★★m?2172. x∈m 的取值范围R+cos都成立，求实数x)对任意4

21ax?>0x是奇函数，当,a>0,b>0),(x)= (a,bc∈R8.(★★★★★)已知函数y=f

c?bx5.

(1)<且f，其中b∈N时，f(x)有最小值22 )的解析式；试求函数f(x(1)对称的两点，若存在，求出点的，0)x)图象上是否存在关于点(1(2)问函数f(.

坐标；若不存在，说明理由

参考答案

难点磁场

2+5x+4)］≥ff［log(x(2). ∴原不等式可化为解：∵f(2)=0,2又∵f(x)为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上为增函数，

∴f(x)在(－∞,0）上为减函数且f(－2)=f(2)=0

2+5x+4)≥2 x∴不等式可化为log( 2①2≤－x(log或x+5+4)2

2②

24 由①得x≥+5x+4 x≤－5或x≥0 ∴③1105?10?5??2≤1＜x＜－≤x由②得0＜x+5x+4≤得4或－224④

由③④得原不等式的解集为105??10??5≤或x≥0} ≤－4或－15{x|x≤－＜或x ≤x22

歼灭难点训练－(1.5)=(5.5)=f－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f1.一、解析：

f(7.5)=f(5.5+2)=－0.5+2)=

－f(0.5. f(－0.5)=－f(0.5)=－B

答案：－f(9(a－3)+f)2.解析：∵f(x是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且20.

a＜)29).

－(aa∴f(－3)＜f13???1?a??2,3). ∴∴a∈(21??1a9??2??29a?3?a??答案：A

x?0x?0??＜0二、3.解析：由题意可知：xf(x)或???f(x)?0f(x)?0??x?0x?0x?0x?0????或??或????f(x)?f(?3)f(x)?f(3)x??3x?3????∴x∈(－3,0)∪(0,3)

答案：(－3，0）∪(0，3）

4.解析：∵f(x)为R上的奇函数

1122上是增函数且，－在xf1),(－f－(－(f－(－(f∴)=f),)=f),(1)=f－又()(10) 3333．

－321.

－－>32112(1).

＜f＜f()－∴f(－)>f(－)>f(1),∴f()333321(1)

f＜f()＜答案：f()33

是偶函数，)x＜0,因为f(x－∞5.解：函数f(x)在(,0）上是增函数，设x＜三、21所以上x)(0，+∞))=f(x),由假设可知－x>－x>0,又已知f((f(－x)=f(x),f－x

221211,0)(x)在(－∞),即f(x)＜f(x),由此可知，函数f(是减函数，于是有f－x)＜f(－x2211.

上是增函数=1.

）a6.解：(1x1?2x?1-1－.

1)=log(x＜x＜(－1x(2)f()= (x∈R)f?)2x1?2x?1x1?x?1不等式解集为＜2时，x)＜logk(3)由log,∴当0>log＜klog(1－?2222kx?1.

＜12时，不等式解集为{x|－1＜xk{x|1－＜x＜1;当k≥}}??4x?m?sinxsinm?4???7??2，对解：7.4?cosx1?2 即m????7241sinx?m???sinx?m?1?2??4?7?2x?cos?x1?2m?m?sin?4?, R恒成立x∈3m??13?}.

{∈［,3］∪∴m??1322?mm?或?22?221?1axax? (x),即∴f(－x)=－f(8.解：(1)∵fx)是奇函数，cbx????bx?c?cbx??bx?c2a111axa?时等=≥2，当且仅当x(a∵>0,b>0,x>0,∴fx)=∴c=0,??x2abxbxbb2a5551a?1b?22－5bb+22,

即得＜f,=∴=2,号成立，于是2ab由(1)＜＜∴2b222bb

11.

+∴a=1,∴f(x)=xb＜＜0,解得＜b2，又b∈N,∴=1,x2－(2－x,，y((2)设存在一点x,y)在=f(x)的图象上，并且关于(10）的对称点0002?1x?0y??0x?0 y)图象上，则(x)也在y=f?021(?x)2??0y???0x?2?02.

±1=0,x=1－得消去yx－2x200002)关于(1，－,),(1图象上存在两点xfy∴=()(1+,2－0)对称.2222

高考数学大题经典习题

1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。（1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围；（2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1 (2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立，而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1．故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ??? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B 分别为函数)(x f 的极大值点和极小值点，且|AB|＝2，αββα-=-)()(f f .

高考数学典型例题---数学归纳法解题

数学归纳法每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释; 积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁? 结合起来看效果更好体会绝妙解题思路建立强大数学模型感受数学思想魅力品味学习数学快乐数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法. ●难点磁场 (★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+… +n(n+1)2= 12)1 ( n n (an2+bn+c). ●案例探究［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：a n+c n＞2b n.

命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目. 错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况. 技巧与方法：本题中使用到结论：(a k －c k )(a －c )＞0恒成立(a 、b 、c 为正数)，从而a k +1+c k +1＞a k ·c +c k ·a . 证明：(1)设a 、b 、c 为等比数列，a =q b ,c =bq (q ＞0且q ≠1) ∴a n +c n =n n q b +b n q n =b n (n q 1+q n )＞2b n (2)设a 、b 、c 为等差数列，则2b =a +c 猜想2n n c a +＞(2 c a +)n (n ≥2且n ∈N *) 下面用数学归纳法证明： ①当n =2时，由2(a 2 +c 2 )＞(a +c )2 ，∴222)2 (2c a c a +>+ ②设n =k 时成立，即,)2 (2k k k c a c a +>+ 则当n =k +1时， 4 1 211=+++k k c a (a k +1+c k +1+a k +1+c k +1) ＞41(a k +1+c k +1+a k ·c +c k ·a )=41 (a k +c k )(a +c ) ＞(2c a +)k ·(2c a +)=(2 c a +)k +1 ［例2］在数列{a n }中，a 1=1，当n ≥2时，a n ,S n ,S n －2 1 成等比数列. (1)求a 2,a 3,a 4，并推出a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论； (3)求数列{a n }所有项的和. 命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识. 知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明. 错解分析：(2)中，S k =－ 3 21 -k 应舍去，这一点往往容易被忽视. 技巧与方法：求通项可证明{ n S 1}是以{11S }为首项，2 1 为公差的等差数列，

高中数学经典例题

高中数学经典例题讲解高中数学经典例题讲解典型例题一例1下列图形中，满足唯一性的是（）． A．过直线外一点作与该直线垂直的直线 B．过直线外一点与该直线平行的平面C．过平面外一点与平面平行的直线D．过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点、平面，过点有两条直线、都垂直于，由于、为相交直线，不妨设、所确定的平面为，与的交线为，则必有，，又由于、、都在平面内，这样在内经过点就有两条直线和直线垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故选D．说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作

已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．典型例题二例2 已知下列命题：（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．上述命题正确的是（）． A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（3）、（4） D．（2）、（4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系； - 1 - 高中数学经典例题讲解（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．故选D．说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如E、FGBC在

数学百大经典例题

典型例题一例1 三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的个数是（）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．1或3 分析：本题显然是要应用推论2判断所能确定平面的个数，需要在空间想象出这三条直线所有不同位置的图形，有如下图的三种情况（如图）：答案：D ．说明：本题启发我们考虑问题不要只局限于平面图形，应养成在三维空间考虑问题的习惯．典型例题二例2 一条直线与三条平行直线都相交，求证这四条直线共面．分析：先将已知和求证改写成符号语言．证明诸线共面，可先由其中的两条直线确定一个平面，然后证明其余的直线均在此平面内．也可先由其中两条确定一个平面α，另两条确定平面β，再证平面α，β重合．已知：c b a ////，A a l = ，B b l = ，C c l = ．求证：直线a ，b ，c ，l 共面．证明： ∵ b a //， ∴ a ，b 确定一个平面α． ∵ A a l = ，B b l = ， ∴ α∈A ，α∈B ，故α?l ．又 ∵ c a //， ∴ a ，c 确定一个平面β．同理可证β?l ． ∴ a =βα ，且l =βα ． ∵ 过两条相交直线a ，l 有且只有一个平面，故α与β重合即直线a ，b ，c ，l 共面．说明：本例是新教材第9页第9题的一个简单推广，还可推广到更一般的情形．本例证明既采用了归一法，同时又采用了同一法．这两种方法是证明线共面问题的常用方法．在证明α?c 时，也可以用如下反证法证明：假设直线α?c ，则c 一定与α相交，此时直线c 与a 内的所有直线都不会平行，这显然

与c a //矛盾．故α?c ．典型例题三例3 已知ABC ?在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P ，Q ，R 三点，证明P ，Q ，R 三点在同一条直线上．分析：如图所示，欲证P ，Q ，R 三点共线，只须证P ， Q ，R 在平面α和平面ABC ?的交线上，由P ，Q ，R 都是两平面的公共点而得证．证明：∵ P AB =α ，Q BC =α ， ∴ PQ 是平面α与平面ABC 的交线．又 ∵ R AC =α ， ∴ α∈R 且∈R 平面ABC ， ∴ PQ R ∈， ∴ P ，Q ，R 三点共线．说明：证明点共线的一般方法是证明这些点是某两个平面的公共点，由公理2，这些点都在这两平面的交线上．典型例题四例4 如图所示，ABC ?与111C B A ?不在同一个平面内，如果三直线1AA 、1BB 、1CC 两两相交，证明：三直线1AA 、1BB 、1CC 交于一点．分析：证明三线共点的一般思路是：先证明两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上即可．证明：由推论2，可设1BB 与1CC ，1CC 与1AA ，1 AA 与1BB 分别确定平面α，β，γ．取P BB AA =11 ，则1AA P ∈，1BB P ∈．又因1CC =βα ，则1CC P ∈（公理2），于是P CC BB AA =111 ，

高考数学题型全归纳

2010-2016高考理科数学题型全归纳题型1、集合的基本概念题型２、集合间的基本关系题型３、集合的运算题型４、四种命题及关系题型5、充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明题型６、求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数范围题型7、判断命题的真假题型8、含有一个量词的命题的否定题型９、结合命题真假求参数的范围题型10、映射与函数的概念题型11、同一函数的判断题型12、函数解析式的求法题型１3、函数定义域的求解题型14、函数定义域的应用题型15、函数值域的求解题型16、函数的奇偶性题型17、函数的单调性(区间）题型１８、函数的周期性题型１9、函数性质的综合题型20、二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系

题型21、二次方程ax2+ｂx+c=０（a≠0)的实根分布及条件题型２2、二次函数"动轴定区间"、"定轴动区间"问题题型２3、指数运算及指数方程、指数不等式题型24、指数函数的图像及性质题型25、指数函数中的恒成立的问题题型２6、对数运算及对数方程、对数不等式题型27、对数函数的图像与性质题型２８、对数函数中的恒成立问题题型29、幂函数的定义及基本性质题型30、幂函数性质的综合应用题型３1、判断函数的图像题型3２、函数图像的应用题型３3、求函数的零点或零点所在区间题型34、利用函数的零点确定参数的取值范围题型35、方程根的个数与函数零点的存在性问题题型３6、函数与数列的综合题型３7、函数与不等式的综合题型３８、函数中的创新题题型39、导数的定义题型4０、求函数的导数题型41、导数的几何意义题型4２、利用原函数与导函数的关系判断图像

[高考数学]高考数学函数典型例题

?0x时,总有 00 ?01}的四组函数如下: ①f(x)=x2,g(x)=x;②f(x)=10-x+2,g(x)=2x-3 x;

③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年高考江苏卷试题 11 ）已知函数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则满足不等式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年高考天津卷理科 16) 设函数 f ( x ) = x 2 - 1 ，对任意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长）梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围；（Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .

高考数学百大经典例题曲线和方程(新课标)

典型例题一例1 如果命题“坐标满足方程()0=y x f ，的点都在曲线C 上”不正确，那么以下正确的命题是（A ）曲线C 上的点的坐标都满足方程()0=y x f ，．（B ）坐标满足方程()0=y x f ，的点有些在C 上，有些不在C 上．（C ）坐标满足方程()0=y x f ，的点都不在曲线C 上．（D ）一定有不在曲线C 上的点，其坐标满足方程()0=y x f ，．分析：原命题是错误的，即坐标满足方程()0=y x f ，的点不一定都在曲线C 上，易知答案为D ．典型例题二例2 说明过点)1,5(-P 且平行于x 轴的直线l 和方程1=y 所代表的曲线之间的关系．分析：“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．解：如下图所示，过点P 且平行于x 轴的直线l 的方程为1-=y ，因而在直线l 上的点的坐标都满足1=y ，所以直线l 上的点都在方程1=y 表示的曲线上．但是以1=y 这个方程的解为坐标的点不会都在直线l 上，因此方程1=y 不是直线l 的方程，直线l 只是方程 1=y 所表示曲线的一部分．说明：本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性．典型例题三

例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程x y =所表示的直线之间的关系．分析：该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析．解：方程x y =所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等．但是“到坐标轴距离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程x y =，例如点)3,3(-到两坐标轴的距离均为3，但它不满足方程x y =．因此不能说方程x y =就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程，到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程x y =所表示的轨迹．说明：本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”，即满足完备性，而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”，即不满足纯粹性．只有两者全符合，方程才能叫曲线的方程，曲线才能叫方程的曲线．典型例题四例 4 曲线4)1(2 2 =-+y x 与直线4)2(+-=x k y 有两个不同的交点，求k 的取值范围．有一个交点呢？无交点呢？分析：直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点，就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解，也就是由两个方程整理出的关于x 的一元二次方程的判别式?分别满足0>?、0=?、0?即0)52)(12(<--k k ，即 25 21<--k k ，即21k 时，直线与曲线没有公共点．说明：在判断直线与曲线的交点个数时，由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数与由两方程联立所整理出的关于x (或y )的一元方程解的个数相同，所以如果上述一元方程是二次的，便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数，但如果是两个二次曲线相遇，两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同，所以遇到此类问题时，不要盲目套用上例方法，一定要做到具体问题具体分析．典型例题五

数学百大经典例题

例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01a [ ] A a x B x a ．＜＜．＜＜11a a C x a D x x a ．＞或＜．＜或＞x a a 11 分析比较与的大小后写出答案． a 1a 解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．选． 0a 1a a x A 11a a 例有意义，则的取值范围是．2 x x 2 --x 6 分析求算术根，被开方数必须是非负数．解据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2．例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．分析根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理．解根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知 -=-+=-=-=-???????b a a ()()121 1122 ×得 a b = =-12 12 ，．例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2) (4)3x 2 -+--+-3132 5113 12 2x x x x x x ＞＞ ()()

分析将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．答 (1){x|x ＜2或x ＞4} (2){x|1x }≤≤ 32 (3)? (4)R (5)R 说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．例不等式＋＞的解集为5 1x 11-x [ ] A ．{x|x ＞0} B ．{x|x ≥1} C ．{x|x ＞1} D ．{x|x ＞1或x ＝ 0} 分析直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞， 1x 0001111 2 2 ----x x x x x ∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ．说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．例与不等式 ≥同解的不等式是6 0x x --32 [ ] A ．(x －3)(2－x)≥0 B ．0＜x －2≤1 C ． ≥23 0--x x D ．(x －3)(2－x)≤0 解法一原不等式的同解不等式组为≥， ≠． ()()x x x ---???32020 故排除A 、C 、D ，选B ．解法二≥化为＝或－－＞即＜≤ x 320x 3(x 3)(2x)02x 3--x 两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ．说明：注意“零”．例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax x -1 [ ]

高考数学题型全归纳：数学家高斯的故事(含答案)

数学家高斯的故事高斯(Gauss,1777—1855)、著名的德国数学家。1777年4月30日出生在德国的布伦兹维克。父亲是一个砌砖工人,没有什么文化。还在少年时代、高斯就显示出了他的数学才能。据说、一天晚上,父亲在计算工薪账目、高斯在旁边指出了其中的错误、令父亲大吃一惊。10岁那年、有一次老师让学生将1、2、3、…连续相加、一直加到100、即1+2+3+…+100。高斯没有像其他同学那样急着相加、而是仔细观察、思考、结果发现： 1+100=101、2+99=101、3+98=101、…、50+51=101一共有50个101、于是立刻得到： 1+2+3+…+98+99+100=50×101=5050 老师看着小高斯的答卷、惊讶得说不出话。其他学生过了很长时间才交卷、而且没有一个是算对的。从此、小高斯“神童”的美名不胫而走。村里一位伯爵知道后、慷慨出钱资助高斯、将他送入附近的最好的学校进行培养。中学毕业后、高斯进入了德国的哥廷根大学学习。刚进入大学时、还没立志专攻数学。后来听了数学教授卡斯特纳的讲课之后、决定研究数学。卡斯特纳本人并没有多少数学业绩、但他培养高斯的成功、足以说明一名好教师的重要作用。从哥廷根大学毕业后、高斯一直坚持研究数学。1807年成为该校的数学教授和天文台台长、并保留这个职位一直到他逝世。高斯18岁时就发明了最小二乘法、19岁时发现了正17边形的尺规作图法、并给出可用尺规作出正多边形的条件、解决了这个欧几里得以来一直悬而未决的问题。为了这个发现、在他逝世后、哥廷根大学为他建立了一个底座为17边形棱柱的纪念像。

对代数学、高斯是严格证明代数基本定理的第一人。他的《算术研究》奠定了近代数论的基础、该书不仅在数论上是划时代之作、就是在数学史上也是不可多得的经典著作之一。高斯还研究了复数、提出所有复数都可以用平面上的点来表示、所以后人将“复平面”称为高斯平面、高斯还利用平面向量与复数之间的一一对应关系、阐述了复数的几何加法与乘法、为向量代数学奠定了基础。1828年高斯出版《关于曲面的一般研究》、全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学。并提出了内蕴曲面理论。高斯的数学研究几乎遍及当时的所有数学领域、而且在不少方面的研究走在了时代的前列。他在数学历史上的影响可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。高斯一生共有155篇论文。他治学严谨、把直观的概念作为入门的向导、然后试图在完整的逻辑体系上建立其数学的理论。他为人谨慎、他的许多数学思想与结果从不轻易发表、而且、他的论文很少详细写明思路。所以有的人说：“这个人、像狐狸似的、把沙土上留下的足迹、用尾巴全部扫掉。”