计算方法习题及答案
第一章 绪论
一.
填空题
1.*
x 为精确值x 的近似值；()
**x f y
=为一元函数
()x f y =1的近似值；
()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：
**e x x =-：***r
x x e x -=
()
()()*'1**y f x x εε≈? ()()()
()'
***1*
*r r x f x y x f x εε≈? ()()()()()*
*,**,*2**f x y f x y y x y x y
εεε??≈?+???
()()()()()
*
*
**,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε??≈?+???
2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。
3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，
则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取
1.73≈（三位有效数字），则
-21
1.73 10 2
≤?。
4、
设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。
5、
设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。
6、
已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.000021 .
7、
递推公式,?????0n n -1y =y =10y -1,n =1,2,
如果取0 1.41y ≈作计算,则计算
到10y 时,误差为81
10 2?;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 .
8、
精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位和 4 位有效数字。 9、
若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5
。
10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n 的相对误差0.02n 二、计算题
1. 有一个长方形水池,由测量知长为(50±0.01)米,宽为(25±0.01)米,深
为(20±0.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形水池的长为L ，宽为W,深为H ，则该水池的面积为
V=LWH
当L=50,W=25,H=20时，有 V=50*25*20=25000(米3) 此时，该近似值的绝对误差可估计为
()()()()
()()()
=V V V
V L W H L W H
WH L HL W LW H ????≈
?+?+?????+?+? 相对误差可估计为：()()
r V V V
??=
而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足
()()()0.01,0.01,0.01L W H ?≤?≤?≤
故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为
()()()()
()()3
25*20*0.0150*20*0.0150*25*0.0127.5027.50
1.1*1025000
r V WH L HL W LW H V V V -?≤?+?+?≤++=??=
≤=
2.已知测量某长方形场地的长a=110米,宽b=80米.若
()()**0.1 0.1a a b b -≤-≤米，米
试求其面积的绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形的面积为
s=ab
当a=110,b=80时，有 s==110*80=8800(米2) 此时，该近似值的绝对误差可估计为
()()()
()()
=b s s
s a b a b
a a
b ???≈
?+????+? 相对误差可估计为：()()
r s s s
??=
而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足
()()0.1,0.1a b ?≤?≤
故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为
()()()()() 80*0.1110*0.119.019.0
0.0021598800
r s b a a b s s s ?≤?+?≤+=??=
≤= 绝对误差限为19.0；相对误差限为0.002159。 3、设x*的相对误差为2％，求(x*)n 的相对误差
'1**1**
**(),(),()()()
0.02()n n n n n r r n f x x f x nx x x n x x x x x
n n n
x x
εε
εε--===-≈--=≈==解：由于故
故
4、计算球体积要使相对误差为1%，问度量半径R 允许的相对误差限是多少？
解：令()34
3
V f R R π==，根据一元函数相对误差估计公式，得
()()()()()()'2
3431%43
R R f R R V R R R f R R πεεεεπ≤?=?=≤
从而得()1
300R R ε≤
5.正方形的边长大约为100cm ，问怎样测量才能使面积的误差不超过1cm 2
da=ds/(2a)=1cm 2/(2*100)cm=0.5*10-2cm,即边长a 的误差不超过0.005cm 时，才能保证其面积误差不超过1平方厘米。
6．假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为50.00m 和100.00m ，且已知其测量误差为0.005m 。试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。 解：h r V 2π=
)*(2*r r rh V V -=-π=2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325
V V V -*=2r
r
r -*=0.0002
第二章插值法
一、问答题
1.什么是Lagrange插值基函数?它们有什么特性？
答：插值基函数是满足插值条件
的n次插值多项式，它可表示为并有以下性质，
2.给定插值点可分别构造Lagrange插值多项式和Newton插值多项式，它们是否相同？为什么?它们各有何优点？
答：给定插值点后构造的Lagrange多项式为 Newton插值多项式为
它们形式不同但都满足条件,于是
它表明n次多项式有n+1个零点，这与n次多项式只有n个零点矛盾，故即与是相同的。
是用基函数表达的，便于研究方法的稳定性和收敛性等理论研究和应用，但不便于计算，而每增加一个插值点就增加一项前面计算都有效，因此较适合于计算。
3.Hermite插值与Lagrange插值公式的构造与余项表达式有何异同？
答：Hermite插值的插值点除满足函数值条件外还有导数值条件比Lagrange 插值复什一些，但它们都用基函数方法构造，余项表达式也相似，对Lagrange
插值余项表达式为，而Hermite插值余项在有条件的点看作重节点，多一个条件相当于多一点，若一共有m+1个条件，则余
项中前面因子为后面相因子改为即可得到Hermite插值余项。
二、填空题
1.设x i (i=0,1,2,3,4)为互异节点，l i (x)为相应的四次插值基函数，则
()()4
40
2i
i i x
l x =+∑＝(x 4+2).
2.设x i (i=0,1,2,3,4，5)为互异节点，l i (x)为相应的五次插值基函数，则
()()5
5430
21i
i i i i x
x x l x =+++∑=54321x x x +++
3.已知
]5,4,3,2,1[,2]4,3,2,1[52)(3==
+=f f x x f 则，
4.2
f (x)3x 1,f[1,2,3]____3_____,f[1,2,3,4]___0______=+==则。 5.设
则＝
3,
=0
6.
设和节
点
则=
4.
7.设()()()00,116,246,f f f ===则[][]0,1 16 ,0,1,2 7 ,f f ==()f x 的二次牛顿插值多项式为 0+16(x-0)+7(x-0)(x-1) 。 8.如有下列表函数:
i x
0.2 0.3 0.4 ()i f x
0.04
0.09
0.16
则一次差商[]0.2,0.4f = 0.6 。 二、计算题
1、设()7351f x x x =++,求差商
0101201
701
82,2,2,2,2,2,2,,2,2,2,,2f f f f ?????????????
??
?
解：012
27,2169,216705f f f ??????===??????，故
0112012
2,2162,2,28268,2,2,22702f f f ??????===??????
根据差商的性质，得
()()
()
()70
1
7
80182,2,
,21
7!2,2,
,20
8!
f f f f ξξ??==????==??
2、求满足下列条件的埃尔米特插值多项式:
'
:12
2311
i i i x y y - 解：根据已知条件可求得
()()()()()()()()()()()()
22
012
2
01212,25112,21x x x x x x x x x x x x ααββ=--=-+-=--=--
代入埃尔米特三次插值多项式公式
()()()()()
()()()()()()()()00'
'30011012222
=221232511221p x y x y x y x y x x x x x x x x x ααββ=+++--+-+-+-----
3、如有下列表函数:
i x
0 1 2 3 4 ()i f x
3
6
11
18
27
试计算此列表函数的差分表,并给出它的牛顿插值多项式及余项公式. 解：查分表如下：
N 4(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x 2+2x+3,0≤x ≤1
4、给出x ln 的函数表如下：
试用线性插值和抛物插值求54.0ln 的近似值。
5．已知
请依据上述数据求f(x)的2次Lagrange 插值多项式。
01201202122010102100201220211,1,2,()3,()1,()1()()()()
()()
()
()()()()
()()()
()()
(1)(2)(1)(2)31(11)(12)(11)(12)(1)x x x f x f x f x x x x x x x x x L x f x f x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x =-=====-----=+------+----+-=?+?
----+++-解：记则所以(1)(1)
(21)(21)111
(1)(2)(1)(2)(1)(1)223
x x x x x x x x +-?
+-=---+--+-
6.用插值法求满足以下条件的不超过三次的插值多项式
f(0)=1,f(1)=2,f (2)=9,f ’(1)=3,并写出插值余项。 解：根据Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式得出
()()222321L x N x x x ==-+ 设待插值函数为：
()()()()()32012H x N x k x x x =+--- 根据
()()'3113, H f ==’得参数1, k =则
()33 1.H x x =+
插值余项为：
()()()()()()()42
33124!
f R x f x H x x x x ξ=-=--
第三章 数值积分
一、问答题
1.什么是求积公式的代数精确度？如何利用代数精确度的概念去确定求积公式中的待定参数？
答：一个求积公式如果当为任意m 次多项式时，
求积公式精确成立，而当
为次数大于m 次多项式时，它不精确成立，则称此
求积公式具有m 次代数精确度。根据定义只要令
代入求积
公式两端，公式成立，得含待定参数的m+1个方程的方程组，这里m+1为待定参数个数，解此方程组则为所求。 二、填空题 1.求
?
2
1
2dx x ，利用梯形公式的计算结果为 2.5 ，利用辛卜生公式的计算
结果为2.333 。
2． n 次插值型求积公式至少具有 n 次代数精度，如果n 为偶数，则有 n+1 次代数精度。
3． 梯形公式具有1次代数精度，Simpson 公式有 3 次代数精度。 4.插值型求积公式()()0
n
b
k k a
k A f x f x =≈∑?的求积系数之和 b-a 。
5、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式
所具有的代数精确度.
(1)
解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。
令代入公式两端并使其相等，得
解此方程组得，于是有
再令，得
故求积公式具有3次代数精确度。
（2）
（3）
解：令
代入公式精确成立，得
解得，
得求积公式
对
故求积公式具有2次代数精确度。 6.求积公式
1
'0100
()(0)(1)(0)f x dx A f A f B f ≈++?
，已知其余项表达式为
'''()(),(0,1)R f kf ξξ=∈，试确定系数010,,A A B ，使该求积公式具有尽可能高的代
数精度，并给出代数精度的次数及求积公式余项。
'20102
010*******
321110
36
1
'211336
1
3
3140
(0),,()1,,,()1,1(),,,(),()(0)(1)(0)
(),f A A B f x x x f x A A A f x x A B A f x x A B f x dx f f f f x x x dx ==+==????
=+==????===
??=
+
+
==?
?解：本题虽然用到了的值，仍用代数精度定义确定参数。令分别代入求积公式，令公式两端相等，则得求得则有
再令此时，而上式13
,2=
右端两端不相等，故
它的代数精度为次。
31
''''2
113
3
6
3'2'''''1
31114
3
72
'''172
()()(0)(1)(0)(),(0,1)
()()3,()6,()6,6,,
()(),(0,1)
f x x f x dx f f f kf f x x f x x f x x f x x dx k k R f f ξξξξ==
+
+
+∈=====
=
+=-
=-
∈?
?
为求余项可将代入求积公式
当，代入上式得
即所以余项7.根据下面给出的函数sin ()x
f x x
=的数据表，分别用复合梯形公式和复合辛甫生公式 计算1
0sin x
I dx
=?
解 用复合梯形公式,这里n=8,0.1258
h =
=, ()1
sin 0.125
{(0)2[(0.125)(0.25)2
(0.375)(0.5)(0.625)(0.75)(0.875)]1}0.94569086
x dx f f f x f f f f f f ≈++++++++=?
用复合辛甫生公式: 这里n=4,1
0.254
h ==.可得 10
sin 0.25
{(0)4[(0.125)(0.375)6
x dx f f f x ≈++?
(0.625)(0.875)]2[(0.25)(0.5)(0.75)](1)}0.946083305
f f f f f f ++++++=
第五章 常微分方程
一、计算题
1.用改进欧拉方法计算初值问题100)0(y x dx
dy 2
<
x ，取步长h=0.1计
算到y 5。
解：改进的欧拉公式??
???++=+=++++)]
,(),([2y y )
,(1~111~
n n n n n n n n n n y x f y x f h
y x hf y y 代入有且,nh x ,),(n 2=-+=y x x y x f
)4,3,2,1,.0n (0.11)
1.9y -
2.1x (1.9x 05.0y )]
y x x (h y x x y x x [2
y y n n 2n n n n 2
n n 1n 21n n n 2n 1=++?+=-+--++-++=+++h n n n n x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5y 0.00550 0.02193 0.05015 0.09094 0.14500
2. 用梯形法解初值问题
取步长h=0.1,计算到
x=0.5，并与准确解
相比较
解：用梯形法求解公式，得
解得
精确解为
3．用改进的Euler 法解初值问题()',01
01,y x y x y =+<<=??? ；取步长h=0.1计算()0.5y ，
并与精确解12x y x e =--+相比较。(计算结果保留到小数点后4位) 解：改进的尤拉公式为：
()()1111,,,2n n n n n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y -
+-+++=+=++??
?????
? ? ?
?????
代入(),f x y x y =+和n x nh =，有
()()[]
()12
2
2
222
22 222
2n n n
n
n h y y h x h y
h h h h h y nh nh +=+
++++++=+++??
???
代入数据，计算结果如下：
4.设初值问题()'2100,00y x y y =+=，
a) 由Euler 方法、取步长h=0.1写出表示上述初值问题数值解的公式； b) 由改进Euler 方法、取步长h=0.1写出上述初值问题数值解的公式。 解：a ）根据Euler 公式：()1,n n n n y y hf x y +=+
()2
1100n n n n y y hf x y +=++
21110.001n n y y n +=+ 3分
b ）根据改进Euler 公式：()()(
)(
)
1111,,,2
n n n n n n n n n n y y hf x y h
y y f x y f x y ++++?=+??=++?? 5分
()
()(
)(
)
()22
111222
12
21001002 =1001001002
=1200120.20.012
=610.0060.0010.0005 n n n n n n n n n n n n n n n n n n h y y x y x y h y x y x y h x y h y y x x y n n ++++=+
++++++++++++++++ 5.设初值问题'y 0y(0)1
x y
x ?=->?
=?，
a) 写出由Euler 方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式； b) 写出由改进Euler 方法、取步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式。 解：a ）根据Euler 公式：
()1,n n n n y y hf x y +=+
10.1()0.90.1n n n n n n y y n x y y x +=+-=-
b ）根据改进Euler 公式：()()(
)(
)
1111,,,2
n n n n n n n n n n y y hf x y h
y y f x y f x y ++++?=+?
?=++??
()
()()
()
()1111222
2 =2 =2222 =222
=0.9050.0950.005n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n h
y y x y x y h
y x y x y h x y h
y x y x h y hx hy h h h h h y x y x ++++=+
-+-+-+-+-+-++--+-+-++
++
第六章 方程求根
一、问答题
1.什么是不动点？如何构造收敛的不动点迭代函数？ 答：将方程改写为
若
使
则称点
为不动点
而
就是不动点的迭代函数，迭代函数可以有很多，但必须使构造的
满足条件 （1）
（2）()'1a x b
MAX x L φ≤≤≤< 若已知，且
时也收敛，称为局部收敛。 2.对于迭代法初始近似，当
时为什么还不能断
定迭代法收敛？
答：迭代法是否收敛一定要按收敛定理的条件判断，定理6.1是全局收敛性，需要在包含的区间上证明
且
才能说明由出是迭
代法
收敛
如果用局部收敛定理6.2，则要知道不动点为才可由
证明其收
敛性，由
还不能说明迭代法收敛。
3.怎样判断迭代法收敛的快慢？一个迭代公式要达到P 阶收敛需要什么条件？
答：衡量迭代法快慢要看收敛阶P 的大小，若序列
收敛于
，记为
若存在及，使则称序列为P 阶收敛，P 越
大收敛越快，当P ＝1，则越小，收敛越快。一个迭代公式若
为
的不动点，P 为大于1的整数，
在
连续，且
而
则此迭代公式为P 阶收敛。
4.方程求根的Newton 法是如何推出的？它在单根附近几阶收敛？在重根
附近是几阶收敛？
答：用曲线
在点
上的切线
的零点近似曲线
零点得到就是Newton 法，在单根附近2阶收敛，当为重根
时是线性收敛。 5、简述二分法的优缺点
答：优点(a)计算简单，方法可靠；(b)对f (x ) 要求不高(只要连续即可) ；(c)收敛性总能得到保证。缺点(a)无法求复根及偶重根 ; (b)收敛慢 6、画图说明牛顿迭代公式的几何意义。
牛顿迭代公式就是切线与 x 轴交点的横坐标， 所以牛顿法是用切线与 x 轴的交点的横坐标来近 似代替曲线与x 轴交点的横坐标。
二、填空题
1、已知方程 1.5x 08.0x x 023==--在附近有一个根，构造如下两个迭代公式：
k 1k 1(1)x (2)x ++==
则用迭代公式(1)求方程的根收敛_，用迭代公式(2)求方程的根_发散_。 2、设()f x 可微，求方程(
)x f x =的
根的牛顿迭代格式为
()
()
1'1k k k k k x f x x x f x +-=-- 。
3、
()()2
5x x a x ?=+-,要是迭代法()1k k x x φ+=局部收敛
到*x =，则a
的取值范围是0a <<
4、迭代法的收敛条件是（1）
（2）()'1a x b
MAX x L φ≤≤≤<。
)
()
(1
k k k k x f x f x x '-
=+
5.
的牛顿迭代公式
3
12
13
3
k
k k
k
x
x x
x
+
-
=-
6．用二分法求解方程3
()10
f x x x
=--=在[1，2]的近似根，准确到10-3，要达到此精度至少迭代 9 次。
三、计算题
1、用二分法求方程的正根，使误差小于0.05.
解使用二分法先要确定有根区
间。本题f(x)=x2-x-1=0,因
f(1)=-1,f(2)=1,故区间[1,2]为有根区间。另一根在[-1,0]内，故正根在[1,2]内。用二分法计算各次迭代值如表。
其误差
2. 求方程在=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.
(1) ，迭代公式.
(2) ,迭代公式.
(3)，迭代公式.
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根.
解：（1）取区间
且
，在且
计算方法的课后答案
《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称
计算方法——第二章——课后习题答案刘师少
2.1 用二分法求方程013=--x x 在[1, 2]的近似根，要求误差不超过3102 1-?至少要二分多少？ 解：给定误差限ε＝0.5×10－3，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(2 11 a b k 即可，亦即 96678.912lg 10lg 35.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝10. 2.3 证明方程1 -x –sin x ＝0 在区间[0, 1]内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5×10-4的根要二分多少次？ 证明 令f (x )＝1－x －sin x ， ∵ f (0)=1>0，f (1)=－sin1<0 ∴ f (x )=1－x －sin x =0在[0，1]有根.又 f '(x )=-1－c os x<0 (x ∈[0.1]),故f (x ) 在[0，1]单调减少，所以f (x ) 在区间 [0，1]内有唯一实根. 给定误差限ε＝0.5×10－4，使用二分法时，误差限为 )(211*a b x x k k -≤-+ 只要取k 满足ε<-+)(211 a b k 即可，亦即 7287.1312 lg 10lg 45.0lg 12lg lg )lg(=-+-=---≥εa b k 只要取n ＝14. 2.4 方程0123=--x x 在x =1.5附近有根，把方程写成四种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式： （1）211x x +=，迭代公式2111k k x x +=+ （2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+ （3）112-=x x ，迭代公式111-=+k k x x （4）13-=x x ，迭代公式131-=+k k x x 试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。 解：（1）令211)(x x f + =，则3 2)(x x f -='，由于 159.05.112)(33<≈≤='x x f ，因而迭代收敛。 （2）令321)(x x f +=，则322)1(3 2)(-+='x x x f ，由于
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为
( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。
计算方法练习题与答案
练习题与答案 练习题一 练习题二 练习题三 练习题四 练习题五 练习题六 练习题七 练习题八 练习题答案 练习题一 一、是非题 1.–作为x的近似值一定具有6位有效数字，且其误差限。() 2.对两个不同数的近似数，误差越小，有效数位越多。() 3.一个近似数的有效数位愈多，其相对误差限愈小。()
4.用近似表示cos x产生舍入误差。 ( ) 5.和作为的近似值有效数字位数相同。 ( ) 二、填空题 1.为了使计算的乘除法次数尽量少，应将该表达式改写 为； 2.–是x舍入得到的近似值，它有位有效数字，误差限 为，相对误差限为； 3.误差的来源是； 4.截断误差 为； 5.设计算法应遵循的原则 是。 三、选择题 1．–作为x的近似值，它的有效数字位数为( ) 。 (A) 7； (B) 3； (C) 不能确定 (D) 5. 2．舍入误差是( )产生的误差。 (A) 只取有限位数 (B) 模型准确值与用数值方法求得的准确值 (C) 观察与测量 (D) 数学模型准确值与实际值 3．用 1+x近似表示e x所产生的误差是( )误差。 (A). 模型 (B). 观测 (C). 截断 (D). 舍入 4．用s*=g t2表示自由落体运动距离与时间的关系式 (g为重力加速度)，s t是在时间t内的实际距离，则s t s*是（）误差。 (A). 舍入 (B). 观测 (C). 模型 (D). 截断 5．作为的近似值，有( )位有效数字。 (A) 3； (B) 4； (C) 5； (D) 6。
四、计算题 1．，，分别作为的近似值，各有几位有效数字？ 2．设计算球体积允许的相对误差限为1%，问测量球直径的相对误差限最大为多少？ 3．利用等价变换使下列表达式的计算结果比较精确： (1)， (2) (3) ， (4) 4．真空中自由落体运动距离s与时间t的关系式是s=g t2，g为重力加速度。现设g是精确的，而对t有秒的测量误差，证明：当t增加时，距离的绝对误差增加，而相对误差却减少。 5*. 采用迭代法计算，取 k=0,1,…, 若是的具有n位有效数字的近似值，求证是的具有2n位有效数字的近似值。 练习题二 一、是非题 1.单点割线法的收敛阶比双点割线法低。 ( ) 2.牛顿法是二阶收敛的。 ( ) 3.求方程在区间[1, 2]内根的迭代法总是收敛的。( ) 4.迭代法的敛散性与迭代初值的选取无关。 ( ) 5.求非线性方程f (x)=0根的方法均是单步法。 ( ) 二、填空题
数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)
数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)
数值分析 （p11页） 4 试证：对任给初值x 0, (0) a a >的牛顿 迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 21 12(1)(,0,1,2,.... (2),1,2,...... k k k x k x a x a k x a k +-= -=≥= 证明： （1） ( 2 2 112222k k k k k k k k x a a x ax a x a x a x x x +-??-+-=+-== ? ?? （2） 取初值0 >x ，显然有0 >k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而 ( )k k k k k x x x x x 28882182 1-=-??? ? ??+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.221041 85 .28--+?=??<-∴>≥ 1 k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021* ?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1 a 为* x 中第一个非零数） 则7 .21 =x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 111=??≤--x x e 71 .22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718 x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7 .21 =x ，0183.01 <-e x ∴ 其相对误差限为00678.07 .20183.01 1≈<-x e x 同理对于71 .22 =x ，有 003063.071 .20083 .022≈<-x e x
数值计算方法》试题集及答案
《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度 为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001-
计算方法习题
《计算方法》练习题一 练习题第1套参考答案 一、填空题 1．Λ14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（ 210- ）。 2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （ ))((!2) (b x a x f --''ξ ） 。 3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （5 2 ）。 4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。 5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ]0,2[-）。 二、单选题 1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（Ｃ ）。 A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+ 2．设x x x f +=2)(，则=]3,2,1[f （ Ａ ）。 Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝? ? ????3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ Ｃ ）． Ａ． 2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6 π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（Ｂ ）敛速． Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）. A ．)(h o Ｂ．)(2h o Ｃ．)(3h o Ｄ．)(4h o 三、计算题 1．求矛盾方程组：??? ??=-=+=+2 42321 2121x x x x x x 的最小二乘解。 22122122121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ?， 由0,021=??=??x x ? ?得：???=+=+96292321 21x x x x ，
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的ＬU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； ５、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ）； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ ６、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 )，=]4,3,2,1,0[f ( ０ )； 7、计算方法主要研究（ 截断 ）误差和( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 （ 1 2+-n a b ); １０、已知f （１）＝2,f (2)=３,ｆ(４)＝5.９，则二次Ne ｗton 插值多项式中x 2系数为 ( ０.15 )； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为（A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该
数值计算方法习题答案(绪论,习题1,习题2)
引论试题（11页） 4 试证：对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 2112(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-=≥= 证明： （1 ）(2 2 11222k k k k k k k k x a x a x x x x x +-??-+=+= =? ?? （2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ??+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为
025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x ∴其相对误差限为 00678.07 .20183 .011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有 003063 .071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ，有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。 （2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ......142857.3722≈，.......1415929.3113 255≈ 21021 722-?≤-∴ π，具有3位有效数字 6102 1 113255-?≤-π，具有7位有效数字
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习题一 1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？ 数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法 x max x i , x ( x 1 , x 2 , x n ) T R n 及 A n R n n . 2. 试证明 max a ij , A ( a ij ) 1 i n 1 i n 1 j 证明： （ 1）令 x r max x i 1 i n n p 1/ p n x i p 1/ p n x r p 1/ p 1/ p x lim( x i lim x r [ ( ] lim x r [ lim x r ) ) ( ) ] x r n p i 1 p i 1 x r p i 1 x r p 即 x x r n p 1/ p n p 1/ p 又 lim( lim( x r x i ) x r ) p i 1 p i 1 即 x x r x x r ⑵ 设 x (x 1,... x n ) 0 ，不妨设 A 0 ， n n n n 令 max a ij Ax max a ij x j max a ij x j max x i max a ij x 1 i n j 1 1 i n j 1 1 i n j 1 1 i n 1 i n j 1 即对任意非零 x R n ，有 Ax x 下面证明存在向量 x 0 0 ，使得 Ax 0 ， x 0 n ( x 1,... x n )T 。其中 x j 设 j a i 0 j ，取向量 x 0 sign(a i 0 j )( j 1,2,..., n) 。 1 n n 显然 x 0 1 且 Ax 0 任意分量为 a i 0 j x j a i 0 j ， i 1 i 1 n n 故有 Ax 0 max a ij x j a i 0 j 即证。 i i 1 j 1 3. 古代数学家祖冲之曾以 355 作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？ 113 解： x 325 &0.314159292 101 133 x x 355 0.266 10 6 0.5 101 7 该近似值具有 7 为有效数字。
六年级数学简便计算专项练习题(附答案+计算方法汇总)
六年级数学简便计算专项练习题（附答案＋计算方法汇总） 小学阶段（高年级）的简便运算，在一定程度上突破了算式原来的运算顺序，根据运算定律、性质重组运算顺序。如果学生没真正理解运算定律、性质，他只能照葫芦画瓢。在实际解题的过程当中，学生的思路不清晰，常出现这样或那样的错误。因此，培养学生思维的灵活性就显得尤为重要。 下面，为大家整理了8种简便运算的方法，希望同学们在理解的基础上灵活运用，不提倡死记硬背哟！ 1.提取公因式 这个方法实际上是运用了乘法分配律，将相同因数提取出来，考试中往往剩下的项相加减，会出现一个整数。 注意相同因数的提取。 例如： 0.92×1.41＋0.92×8.59 =0.92×（1.41+8.59） 2.借来借去法 看到名字，就知道这个方法的含义。用此方法时，需要注意观察，发现规律。还要注意还哦,有借有还，再借不难。 考试中，看到有类似998、999或者1.98等接近一个非常好计算的整数的时候，往往使用借来借去法。 例如： 9999+999+99+9 =9999+1+999+1+99+1+9+1－4 3.拆分法
顾名思义，拆分法就是为了方便计算把一个数拆成几个数。这需要掌握一些“好朋友”，如：2和5，4和5，2和2.5，4和2.5，8和1.25等。分拆还要注意不要改变数的大小哦。 例如： 3.2×12.5×25 =8×0.4×12.5×25 =8×12.5×0.4×25 4.加法结合律 注意对加法结合律 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 的运用，通过改变加数的位置来获得更简便的运算。 例如： 5.76＋13.67＋4.24＋ 6.33 =（5.76＋4.24）＋(13.67＋6.33) 5.拆分法和乘法分配律结合 这种方法要灵活掌握拆分法和乘法分配律，在考卷上看到99、101、9.8等接近一个整数的时候，要首先考虑拆分。 例如： 34×9.9 = 34×(10－0.1) 案例再现：57×101=？ 6.利用基准数 在一系列数种找出一个比较折中的数字来代表这一系列的数字，当然要记得这个数字的选取不能偏离这一系列数字太远。 例如： 2072+2052+2062+2042+2083
现代设计方法复习题集含答案
《现代设计方法》课程习题集 西南科技大学成人、网络教育学院 版权所有 习题 【说明】：本课程《现代设计方法》（编号为09021）共有单选题,计算题,简答题, 填空题等多种试题类型，其中，本习题集中有[ 填空题,单选题]等试题类型未进入。 一、计算题 1. 用黄金分割法求解以下问题（缩小区间三次）。 342)(m in 2+-=x x x f ，给定初始区间[][]3,0,=b a ，取1.0=ε。 2. 用黄金分割法求解以下问题（缩小区间三次） 32)(m in 2+=x x f ，给定[][],1,2a b =-，取1.0=ε 3. 用黄金分割法求解以下问题（缩小区间三次） 432+=x )x (f min ，给定[][]40,b ,a =，取10.=ε。 4. 用黄金分割法求解以下问题（缩小区间三次）。 12)(m in 3+-=x x x f ，给定初始区间[][]3,0,=b a ，取5.0=ε 5. 用黄金分割法求解以下问题（缩小区间三次）。 107)(m in 2+-=x x x f ，给定初始区间[][]3,0,=b a ，取1.0=ε 6. 用梯度法求解无约束优化问题： 168)(m in 22221+-+=x x x X f ，取初始点[]T X 1,1)0(= ，计算精度1.0=ε。 7. 用梯度法求解96)(m in 12221+-+=x x x X f ，[]T X 1,1)0(= ，1.0=ε。 8. 用梯度法求解44)(m in 22221+-+=x x x X f ，[]T X 1,1)0(=，1.0=ε 。 9. 用梯度法求解无约束优化问题：1364)(m in 222 121+-+-=x x x x X f ，取初始点
计算方法习题
《计算方法》练习题一 练习题第1套参考答案 一、填空题 1． 14159.3=π的近似值3.1428，准确数位是（ 2 10- ）。 2．满足d b f c a f ==)(,)(的插值余项=)(x R （ ))((!2) (b x a x f --''ξ ） 。 3．设)}({x P k 为勒让德多项式，则=))(),((22x P x P （5 2 ）。 4．乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。 5．欧拉法的绝对稳定实区间是（ ]0,2[-）。 二、单选题 1．已知近似数,,b a 的误差限)(),(b a εε，则=)(ab ε（Ｃ ）。 A ．)()(b a εε Ｂ．)()(b a εε+ Ｃ．)()(b b a a εε+ Ｄ．)()(a b b a εε+ 2．设x x x f +=2 )(，则=]3,2,1[f （ Ａ ）。 Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 3．设Ａ＝?? ? ? ??3113，则化Ａ为对角阵的平面旋转=θ（ Ｃ ） ． Ａ． 2π Ｂ．3π Ｃ．4π Ｄ．6 π 4．若双点弦法收敛，则双点弦法具有（Ｂ ）敛速． Ａ．线性 Ｂ．超线性 Ｃ．平方 Ｄ．三次 5．改进欧拉法的局部截断误差阶是（ Ｃ ）. A ．)(h o Ｂ．)(2 h o Ｃ．)(3 h o Ｄ．)(4 h o 三、计算题 1．求矛盾方程组：??? ??=-=+=+2 42321 2121x x x x x x 的最小二乘解。 2 212 212 2121)2()42()3(),(--+-++-+=x x x x x x x x ?， 由 0,021=??=??x x ? ?得：???=+=+9 629232121x x x x ， 解得14 9 ,71821== x x 。
计算方法模拟试题及答案
计算方法模拟试题 一、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1．近似值210450.0?的误差限为（ ）。 A ． 0.5 B. 0.05 C ． 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3 1 )1(34)0(31)(2 0f f f dx x f ++≈ ?的代数精确度为（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若实方阵A 满足（ ）时，则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ，使LR A =。 A. 0det ≠A B. 某个0 det ≠k A C. )1,1(0det -=≠n k A k D. ),,1(0det n k A k =≠ 4.已知?? ?? ? ?????=531221112A ，则=∞A （ ）。 A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ，则乘幂法计算公式1e =（ ）。 A. 1+k x B. k k x x 11λ++ C. k x D. k k x x 11λ-+ 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 14159.3=π，具有4位有效数字的近似值为 。 2. 已知近似值21,x x ，则=-?)(21x x 。 3．已知1)(2-=x x f ，则差商=]3,2,1[f 。 4．雅可比法是求实对称阵 的一种变换方法。