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第四章_平面任意力系习题

第四章平面任意力系

习题

4.1 重W ，半径为r 的均匀圆球，用长为L 的软绳AB 及半径为R 的固定光滑圆柱面支持如图，A 与圆柱面的距离为d 。求绳子的拉力T F 及固定面对圆球的作用力N F 。

题4.1图

F T

F N

解：软绳AB 的延长线必过球的中心，力N F 在两个圆球圆心线连线上N F 和T F 的关系如图所示：AB 于y 轴夹角为θ 对小球的球心O 进行受力分析：

0,sin cos T

X F F θθ==∑ 0,cos sin T

Y F F W θθ=+=∑

sin R r

R d

θ+=

cos L r

R d θ+=

+()()()()

T R d L r F W R r L r ++=+++ ()()()()

N R d R r F W

R r L r ++=

+++

4.2 吊桥AB 长L ，重1W ，重心在中心。A 端由铰链支于地面，B 端由绳拉住，绳绕过小滑轮C 挂重物，重量2W 已知。重力作用线沿铅垂线AC ，AC =AB 。问吊桥与铅垂线的交角θ为多大方能平衡，并求此时铰链A 对吊桥的约束力A F 。

题4.2图

A y

F A x

解：对AB 杆件进行受力分析：

20,sin cos 022

A L M W W L θθ=-=∑ 解得：

2arcsin

W W θ= 对整体进行受力分析，由:

20,cos

Ax X F W θ

=-=∑

2cos

Ax F W θ

210,sin

Ay Y F W W θ

=+-=∑

121

Ay W W F W +=

4.3 试求图示各梁支座的约束力。设力的单位为kN ，力偶矩的单位为kN ·m ，长度单位为m ，分布载荷集度为kN ／m 。 (提示：计算非均布载荷的投影和与力矩和时需应用积分。)

题4.3图

解：

F Ax

F By

F Ay

F By

F Ay

F Ax F A

（a ）受力如图所示

0,0.8cos300Ax

X F =-=∑

0,0.1

10.80.150.20A

M F

=?+?-=∑0,10.8sin300Ay By Y F F =+--=∑

, 1.1,0.3Ax By Ay F F KN F KN ===

（b ）受力如图所示

0,0.40Ax

X F =+=∑

0,0.820.5 1.60.40.720A By

M F

=?-?-?-=∑0,20.50Ay By Y F F =+-+=∑

0.4,0.26,0.24Ax By Ay F KN F KN F KN =-==

（c ）受力如图所示

0,sin300Ax B

X F F =-=∑

0,383cos300A

M F =+-=∑

0,cos3040Ay

Y F F =+-=∑

2.12, 4.23,0.3Ax By Ay F KN F KN F KN ===

（d ）受力如图所示

()()1

q x x =

- 0,0Ax

X F

==∑

()()33

0,3 1.53

Ay Y F q x dx x dx KN ===-=∑??

()3

0,0A A M M xq x dx =+=∑?

()3

3 1.53

A M x x dx KN m =-=-??

4.4 露天厂房立柱的底部是杯形基础。立柱底部用混凝土砂浆与杯形基础固连在一起。已知吊车梁传来的铅垂载荷为F ＝60 kN ，风压集度q ＝2kN ／m ，又立柱自重G =40kN ，长度a =0.5m ，h =10m ，试求立柱底部的约束力。

题4.4图

解：立柱底部A 处的受力如图所示，取截面A 以上的立柱为研究对象

0,0Ax

X F qh =+=∑

20Ax F qh KN =-=-

0,0Ay

Y F

G F =--=∑

100Ay F G F KN =+=

0,0h

A A M M qxdx Fa =--=∑?

11302

A M qh Fa KN m =

+=?

4.5

图示三铰拱在左半部分受到均布力q 作用，A ，B ，C 三点都是铰链。已知每个半拱重300=W kN ，16=a m ，4=e m ，q =10kN ／m 求支座A ，B 的约束力。

题4.5图

解：设A ，B 处的受力如图所示，整体分析，由：

()2

10,2202

A By

M aF qa Wa W a e =----=∑415By F KN = 0,20Ay

By Y F F W qa =+--=∑

1785Ay F KN =

取BC 部分为研究对象

()0,0C

By Bx M

aF F a W a e =+--=∑

191Bx F KN =-

再以整体为研究对象

0,191Ax

X F

KN ==∑

4.6 图示汽车台秤简图，BCF 为整体台面，杠杆AB 可绕轴O 转动，B ，C ，D 均为铰链，杠杆处于水平位置。求平衡时砝码重1W 与汽车重2W 的关系。

题4.6图

4.7 图示构架中，物体重W =1200N ，由细绳跨过滑轮E 而水平系于墙上，尺寸如图，求支承A 和B 处的约束力及杆BC 的内力BC F 。

题4.7图

解: （1）取系统整体为研究对象，画出受力如图所示。

显然，F W =，列平衡方程：

()0,M F

=∑ B 4 m

(1.5 m )(2 m )0y

F F r W r ?-?--?+=，B 10.5y

F =kN

∑=,0x F A 0x

F F -=，A 12 kN x

F F W ===

∑=,0y F A B 0y y F W F -+=，A B 1.5 kN y y

F W F =-=

（2）为了求得BC 杆受力，以ADB 杆为研究对象，画出受力图所示。列平衡方程

D ()0,M F =∑A B 2 m 2 m 2 m 0y y F F -?+?+

解得 BC 15F =-kN 解得负值，说明二力杆BC 杆受压。

4.8 活动梯子置于光滑水平面上，并在铅垂面内，梯子两部分AC 和AB 各重为Q ，置心在中点，彼次用铰链A 和绳子DE 连接。一人重为P 立于F 处，试求绳子DE 的拉力和B ，C 两点的约束力。

题4.8图

解：

先研究整体如（a ）图所示

0,cos 2cos 0C

NB M Fa F L θθ=-=∑ 再研究AB 部分，受力如（b ）图所示

0,cos 0A

T NB M

F h F L θ=-=∑

解得

cos ,22NB T Fa Fa F F L h

θ=

4.9刚架ACB 和刚架CD 凹通过铰链C 连接。并与地面通过铰链．A ，B ，D 连接．如图所示，载荷如图。试求刚架的支座约束力(尺寸单位为m ，力的单位为kN ．载荷集度单位为kN /m )。

题4.9图

F Ax

F F Ax

F By

F Dy

（a ）显然D 处受力为0

对ACB 进行受力分析，受力如图所示：

0,1000Ax

X F =+=∑

100Ax F KN =-

0,40Ay

By Y F F q =+-=∑

80Ay F KN =-

0,6600120A

By M

F q =--=∑

120By F KN =

（b ）

0,50Ax

X F

F KN ===∑

取CD 为研究对象

0,310302

C Dy

M F =-??=∑ 15Dy F KN =

取整体为研究对象

0,6937.51030A

By Dy M

F F F =++-??=∑

10By F KN =-

0,30Ay

By Dy Y F

F F q =++-=∑

25Ay F KN =

4.10 由AC 和CD 构成的组合梁通过铰链C 连接，其支座和载荷如图所示。已知10=q kN/m ，力偶矩40=M k N ·m ，不计梁重。求支座A 、B 、D 和铰链C 处所受的约束力。

题4.10图

q M

Cy F ND

先研究CD 梁，如右图所示

0,0Cx X F ==∑

0,20ND

Y F F q =+-=∑

0,4230D Cy

M F q M =-+?-=∑

解得

15,0,5ND

Cx Cy F KN F F KN ===

再研究ABC 梁，如图（b ）

0,0Ax Cx X F F =-=∑

0,20Ay

Cy Y F F q F =+--=∑

'0,22120B

Cy M F

q F =--?-=∑

解得

,0,15NB Ax Ay F KN F F KN ===-

4.11 承重框架如图4.11所示，A 、D 、E 均为铰链，各杆件和滑轮的重量不计。试求A 、D 、E 点的约束力。

题4.11图

解：去整体为研究对象，受力如图所示

F Ax

F Ay

0,2002500A

Ex M

F F =+=∑

250Ex F KN ∴=-

0,250Ax

Ex X F

F KN ==-=∑

取ED 为研究对象，受力如图所示

0,0Dx Ex

X F F F =+-=∑ 0,0Ey

Dy Y F F =+=∑

0,200300150D

Ey M F

F F =+=∑

200200

,450,33

Ey Dx Dy F N F N F N ∴=-

== 再去整体为研究对象

0,0Ey

Ay Y

F =+=∑

200

Ay F N =

4.12 三角形平板A 点铰链支座，销钉C 固结在杆DE 上，并与滑道光滑接触。已知

100 N F =，各杆件重量略去不计，试求铰链支座A 和D 的约束反力。

题4.12图

解：

120

140

160

F Ay

F C

F F

取ABC 为研究对象

0,05Ax

C X F

F F =-+=∑ 4

0,05

C Y F F =-=∑ 0,200140A

C M

F F ==∑

58,56Ax Ay F N F N ∴=-=

取整体为研究对象

0,0Ay

Dy Y F F =+=∑

0,20080200160E

Dx Ay M F

F F F =++=∑

62.8,56Dx Dy F N F N ∴==-

4.13 两物块A 和B 重叠地放在粗糙水平面上，物块A 的顶上作用一斜力F ，已知A 重100N ，B 重200N ；A 与B 之间及物块B 与粗糙水平面间的摩擦因数均为f =0.2。问当F =60N ，是物块A 相对物块B 滑动呢？还是物块A ，B 一起相对地面滑动？

题4.13图

解：A 与B 一起作为研究对象，则与地面摩擦力为60F N =地 A 与B 之间的摩擦力为20AB F N = F 力在水平与竖直方向分解

sin3030Ax F F N ==

cos30Ay F F ==

由于AB Ax F F F ≤≤地所以是A 与B 相对滑动

4.14 物块Ａ，Ｂ分别重1=A W kN ，50.=B W kN ，Ａ，Ｂ以及Ａ与地面间的摩擦因数均为f s =0.2，

Ａ，Ｂ通过滑轮C 用一绳连接，滑轮处摩擦不计。今在物块Ａ上作用一水平力F ，求能拉

动物块Ａ时该力的最小值。

题4.14图

解：A 与B 之间的摩擦力为：0.1AB s B F f W KN == A 与地面之间的摩擦力为：()0.3s A B F f W W KN =+=地

0.4AB F F F KN =+=地

4.15 重量为W 的轮子放在水平面上，并与垂直墙壁接触。已知接触面的摩擦因数为s f ，求使轮子开始转动所需的力偶矩M ？

题4.15图

解：s M f Wr =

4.16 均质梯长为l ，重为2200W =N ，今有一人重1600W =N ，试问此人若要爬到梯顶，而梯子不致滑倒，B 处的静摩擦因数sB f 至少应为多大？已知34arctan =θ，3

=sA f 。

题4.16图

4.17 砖夹的宽度250mm ，杆件AGB 和GCED 在点G 铰接。砖重为W ，提砖的合力F 作用在砖夹的对称中心线上，尺寸如图所示。如砖夹与砖之间的静摩擦因数f s =0.5，问d 应为多大才能将砖夹起（d 是点G 到砖块上所受正压力作用线的距离）。

题4.17图

解：

设提起砖时系统处于平衡状态，则由右图可知 W F =

接着取砖为研究对象（图（b ）），由0o

=∑，

可得SA SD F F =再由

0,0SA

Y W F F =--=∑

0,0NA ND

X F F =-=∑

得

SA SD NA ND W

F F F F ==

= 最后研究曲杆AGB ，如图（c ），由

0,95300G

SA NA M

F F dF =+-=∑

解出 220SA

F d F =

砖不下滑满足条件 SA S NA F f F ≤ 由此两式可得

110d mm ≤

4.18 一直角尖劈，两侧面与物体间的摩擦角均为f ?，不计尖劈自重，欲使尖劈打入物体后不致滑出，顶角α应为多大？

题4.18图

4.19 桁架的载荷和尺寸如图所示。求杆BH ，CD 和GD 的受力。

题4.19图

解：

F Bx

F IH

F BH

F BC

桁架中零力杆有BI ，HC ，GD 所以GD 受力为零，CD BC F F = 以整体为研究对象

0,0Bx X F ==∑ 0,100E

Y F F =-=∑ 0,20015600B

M F =+=∑

80220,33

E By

F KN F KN =

= 如图所示截取左部分

0,0

BH BC X F F F =+=∑ 0

BH By Y F =+=∑ 0,2005B

HI M

F ==∑

20,40,33BC HI BH F KN F KN F KN =-

==-

20,0,3CD GD BH F KN F F KN ∴=-

== 4.20 判断图示平面桁架的零力杆（杆件内力为零）。

题4.20图

解：（a ）1,2

(b) 1,2,5,11,13

4.21 利用截面法求出图中杆1、4、8的内力。

题

4.21图

F 1

F 4

F 10

F G

解：以G 点为研究对象

0,0HG GE X F =+=∑ 0GE Y F =-=∑ 101

HG F F F =-=

以右部分为研究对象，受力如图所示

18100,0X F F F =

+=∑ 480,0Y F F =+=∑

1480,20H

F F F =+-=∑ 1481,,22

F F F F F F ==-=-

4.22利用截面法求出杆4、5、6的内力。

题4.22图

GE GH

解：

F B

F 4

整体分析

0,0Ax X F ==∑

0,30Ay

Y F F =+=∑

0,4080120160A

M F

=++-=∑

15,15B Ay F KN F KN ==以m 线截取整体之右部分为研究对象，受力如图所示,设5杆与

GH 杆夹角为α

sin ,cos 55

αα==

564

0,05X F F F =++=∑ 530,305

B Y F F =-=∑ 60,340G

B M

F F =-=∑

45640,25,20F KN F KN F KN =-==

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