Matlab线性方程组求解(Gauss消去法)

Matlab线性方程组求解

1. Gauss消元法：

function x=DelGauss(a,b)

% Gauss消去法

[n,m]=size(a);

nb=length(b);

det=1; %存储行列式值

x=zeros(n,1);

for k=1:n-1

for i=k+1:n

if a(k,k)==0

return

end

m=a(i,k)/a(k,k);

for j=k+1:n

a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j);

end

b(i)=b(i)-m*b(k);

end

det=det*a(k,k); %计算行列式

end

det=det*a(n,n);

for k=n:-1:1 %回代求解

for j=k+1:n

b(k)=b(k)-a(k,j)*x(j);

end

x(k)=b(k)/a(k,k);

end

Example:

>> A=[1.0170 -0.0092 0.0095;-0.0092 0.9903 0.0136;0.0095 0.0136 0.9898];

>> b=[1 0 1]';

>> x=DelGauss(A,b)

x =

0.9739

-0.0047

1.0010

2. 列主元Gauss消去法：

function x=detGauss(a,b)

% Gauss列主元消去法

[n,m]=size(a);

nb=length(b);

det=1; %存储行列式值

x=zeros(n,1);

for k=1:n-1

amax=0; %选主元

for i=k:n

if abs(a(i,k))>amax

amax=abs(a(i,k));r=i;

end

end

if amax<1e-10

return;

end

if r>k %交换两行

for j=k:n

z=a(k,j);a(k,j)=a(r,j);a(r,j)=z;

end

z=b(k);b(k)=b(r);b(r)=z;det=-det;

end

for i=k+1:n %进行消元

m=a(i,k)/a(k,k);

for j=k+1:n

a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j);

end

b(i)=b(i)-m*b(k);

end

det=det*a(k,k);

end

det=det*a(n,n);

for k=n:-1:1 %回代求解

for j=k+1:n

b(k)=b(k)-a(k,j)*x(j);

end

x(k)=b(k)/a(k,k);

end

Example:

>> x=detGauss(A,b)

x =

0.9739

-0.0047

1.0010

Gauss列主元素消去法实验

Lab06．Gauss 列主元素消去法实验 【实验目的和要求】 1．使学生深入理解并掌握Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法步骤； 2．通过对Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法的程序设计，以提高学生 程序设计的能力； 3．对具体问题，分别用Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法求解。通过对结果的分析比较，使学生感受Gauss 列主元素消去法优点。 【实验内容】 1．根据Matlab 语言特点，描述Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法步骤。 2．编写用不选主元的直接三角分解法解线性方程组Ax=b 的M 文件。要求输出Ax=b 中矩阵A 及向量b ，A=LU 分解的L 与U ，det A 及解向量x 。 3．编写用Gauss 列主元素消去法解线性方程组Ax=b 的M 文件。要求输出Ax=b 中矩阵A 及向量b 、PA=LU 分解的L 与U 、det A 及解向量x ，交换顺序。 4．给定方程组 (1) ???? ? ?????=????????????????????--11 134.981 .4987 .023.116.427.199.103.601.3321x x x (2) ????? ???????=????????????????????????----15 900001.5820 1 2 151********.2310710 4321x x x x 先用编写的程序计算，再将(1)中的系数3.01改为3.00，0.987改为0.990；将(2)中的系数2.099999改为2.1，5.900001改为9.5,再用Gauss 列主元素消去法解，并将两次计算的结果进行比较。 【实验仪器与软件】 1．CPU 主频在1GHz 以上，内存在128Mb 以上的PC ； 2．Matlab 6.0及以上版本。 实验讲评： 实验成绩： 评阅教师：

matlab求解代数方程组解析

第三讲 Matlab 求解代数方程组 理论介绍：直接法+迭代法，简单介绍相关知识和应用条件及注意事项 软件求解：各种求解程序 讨论如下表示含有n 个未知数、由n 个方程构成的线性方程组： 1111221121122222 1122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪ ⎪+++=⎩ （1） 一、直接法 1.高斯消元法： 高斯消元法的基本原理： 在（1）中设110,a ≠将第一行乘以1 11 ,k a a - 加到第(2,3,,),k k n = 得： (1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2) 22112 (2)(2)(2)22n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x a x b ⎧+++=⎪++=⎪⎨⎪ ⎪++=⎩ （2） 其中(1) (1)1111,.k k a a b b ==再设(2)22 0,a ≠将（2）式的第二行乘以(2)2 (2)22 ,(3,,)k a k n a -= 加到第k 行，如此进行下去最终得到： (1)(1)(1)(1)11112211(2)(1)(2) 22112(1)(1)(1) 1,111,1()() n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x b a x a x b a x b --------⎧+++=⎪++=⎪ ⎪ ⎨⎪+=⎪ ⎪=⎩ （3） 从（3）式最后一个方程解出n x ，代入它上面的一个方程解出1n x -，并如此进行 下去，即可依次将121,,,,n n x x x x - 全部解出，这样在() 0(1,2,,)k kk a k n ≠= 的假设 下，由上而下的消元由下而上的回代，构成了方程组的高斯消元法. 高斯消元法的矩阵表示： 若记11(),(,,),(,,)T T ij n n n n A a x x x b b b ⨯=== ，则（1）式可表为.Ax b =于是高斯

利用matlab解线性方程组

数值计算实验 ——解线性方程组 西南交通大学 2012级茅7班 20123257 陈鼎 摘要 本报告主要介绍了基于求解线性方程组的高斯消元法和列主消元法两种数值分析方法的算法原理及实现方法。运用matlab数学软件辅助求解。

实验内容 1．编写用高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证。 2．编写用列主消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证。 给定方程组如下： ①0.325x1+2.564x2+3.888x3+5x4=1.521 ②-1.548x1+3.648x2+4.214x3-4.214x4=2.614 ③-2.154x1+1.647x2+5.364x3+x4=3.978 ④0x1+2.141x2-2.354x3-2x4=4.214 A.高斯消元法 一、算法介绍 高斯消元法是一种规则化的加减消元法。基本思想是通过逐次消元计算把需要求解的线性方程组转化成为上三角方程组，即把现形方程组的系数矩阵转化为上三角矩阵，从而使一般线性方程组的求解转化为等价的上三角方程组的求解。 二、matlab程序 function [RA,RB,n,X]=gaus(A,b) B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0, disp(‘因为RA~=RB，所以此方程组无解.') return end if RA==RB if RA==n disp(‘因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.')

matlab求线性方程组的解

matlab求线性方程组的解 求解线性方程分为两种方法–直接法和迭代法常见的方法一共有8种直接法Gauss消去法Cholesky分解法迭代法Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法超松弛迭代法共轭梯度法Bicg迭代法Bicgstab迭代法 这里我从计算代码的角度来解释一下，代码按以下顺序给出。把方程组直接带入已知条件，就可以得到答案。 适用条件Gauss消去法：求解中小规模线性方程（阶数不过1000），一般用于求系数矩阵稠密而且没有任何特殊结构的线性方程组 Cholesky分解法：对称正定方程优先使用，系数矩阵A是n 阶对称正定矩阵 Jacobi迭代法非奇异线性方程组，分量的计算顺序没有关系 Gauss-Seidel迭代法与Jacobi迭代法相似，但计算的分量不能改变 超松弛迭代法Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的加速版，由Gauss-Seidel迭代法改进而来，速度较快 共轭梯度法需要确定松弛参数w,只有系数矩阵具有较好的性质时才可以找到最佳松弛因子。但好处是不用确定任何参数，他是对称正定线性方程组的方法也是求解大型稀疏线性方程组最热门的方法 Bicg迭代法本质是用双共轭梯度求解线性方程组的方法，对求解的方程没有正定性要求

Bicgstab迭代法本质是用稳定双共轭梯度求解线性方程组的方法，对求解的方程没有正定性要求 Gauss消去法第一、二个函数ltri、utri是一定要掌握的，后面的几乎每个函数都要用到ltri简单来说，当Ly=bb,L(非奇异下三角矩阵）已知求y function y =ltri(L,b) n=size(b,1); y=zeros(n,1);for j =1:n- 1y(j)=b(j)/L(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-y(j)*L(j+1:n,j); end y(n)=b(n)/L(n,n); utri简单来说，当Ux=yy,U(非奇异上三角矩阵）已知求x function x =utri(U,y) n=size(y,1); x=zeros(n,1);for j = n:-1:2x(j)=y(j)/U(j,j);y(1:j- 1)=y(1:j-1)-x(j)*U(1:j-1,j); end x(1)=y(1)/U(1,1); gauss算法，计算时粘贴过去就好 function[L,U]=gauss(A) n=size(A,1);for k =1:n- 1A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k +1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); end L=tril(A,-1)+eye(n);U=triu(A); 使用例子已经知道一个线性方程组，这里我就不写出数学形式了，A是系数矩阵，直接把上面写好的函数复制过来在运算就

Matlab求解线性方程组、非线性方程组

求解线性方程组 solve，linsolve 例： A=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1]; %矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格 B=[3;1;1;0] X=zeros(4,1);%建立一个4元列向量 X=linsolve(A,B) diff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。 例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）; %sym（）用来定义一个符号表达式 diff(F); %matlab区分大小写 pretty(ans) %pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式 非线性方程求解 fsolve(fun,x0,options) 其中fun为待解方程或方程组的文件名； x0位求解方程的初始向量或矩阵； option为设置命令参数 建立文件fun.m： function y=fun(x) y=[x(1)-0.5*sin(x(1))-0.3*cos(x(2)), ... x(2) - 0.5*cos(x(1))+0.3*sin(x(2))]; >>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve')) 注： ...为续行符 m文件必须以function为文件头，调用符为@；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。

Matlab求解线性方程组 AX=B或XA=B 在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。如： X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解； X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。 对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。 如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有： m＝n 恰定方程，求解精确解； m>n 超定方程，寻求最小二乘解； m

高斯列主元消去法

问题提出： 采用高斯列主元消去法解线性方程组。 算法（公式）推导： 高斯顺序消去法有一个最大的缺点就是一旦对角元素为0，就进行不下去了，为了解决这个问题就有了高斯主元消去法。 如果在高斯顺序消去法消去过程进行到第i 步时，先选取a ri ()n r i ≤≤中（即第i 列）绝对值最大的元素，设为第j 行的元素aji ， 然后将第i+1行至第n 行中的每一行减去第i 行乘以 ii kj a a （k 代表行号），依 次进行消元，这样得到的算法叫高斯按列主元消去法。 高斯按列主元消去法的算法步骤介绍如下: 1. 将方程组写成以下的增广矩阵的形式： 4 3 21 44434241343332312423222114131211b b b b a a a a a a a a a a a a a a a a 2. 对k=1，2，3，…..，n-1,令∑==n k s sk pk a a max ，交换增广矩阵的第k 行与第p 行； 对j=k+1,K+2,……..,n,计算 *km jk jm jm kk a a a a a =-（m=k,k+1,....n) kk jk k j j a a b b b *- = 算法结束。 3. 在MATLABE 中编程实现的高斯按列主元消去法函数为：GaussXQLineMain 功能：高斯按列主元消去法求线性方程组Ax=b 的解 调用格式：[x,XA]=GaussXQLineMain(A,b) 其中，A ：线性方程组的系数矩阵；

B：线性方程组中的常数向量； x：线性方程组的解： XA：消元后的系数矩阵（可选的输出参数）。 高斯列主元消去法用MATLAB实现如下所示： 4.其中用到上三角矩阵求解函数： 在MATLABE中编程实现的上三角系数矩阵求解函数为：SolveUPTriangle 功能：求上三角系数矩阵的线性方程组Ax=b的解 调用格式：x=SolveUpTriangel(A,b)

gauss消去法求解方程组matlab

高斯消去法是一种用于求解线性方程组的经典方法，它可以通过矩阵的初等变换将方程组化为上三角形式，然后通过回代的方式求解方程组。在Matlab中，我们可以利用高斯消去法求解方程组，这样可以更加高效地进行数值计算。下面我们将简要介绍高斯消去法的原理，并通过Matlab代码演示如何使用高斯消去法求解方程组。 一、高斯消去法原理及步骤 高斯消去法是一种通过矩阵的初等变换将线性方程组化为上三角形式的方法，其求解过程主要包括以下几个步骤： 1. 将系数矩阵增广为增广矩阵； 2. 首先通过初等行变换将增广矩阵化为上三角矩阵； 3. 然后通过回代的方式求解方程组。 通过这样的步骤，我们可以将原始的线性方程组化简为上三角形式，从而更容易求解方程组。 二、Matlab代码演示 在Matlab中，我们可以通过编写代码实现高斯消去法来求解线性方程组。下面是一个简单的例子代码，用来演示如何在Matlab中使用高斯消去法求解方程组：

```matlab function x = gauss_elimination(A, b) [n, m] = size(A); if n ~= m error('A must be a square matrix'); end Ab = [A, b]; for k = 1 : n - 1 for i = k + 1 : n factor = Ab(i, k) / Ab(k, k); Ab(i, k : n + 1) = Ab(i, k : n + 1) - factor * Ab(k, k : n + 1); end end x = zeros(n, 1); x(n) = Ab(n, n + 1) / Ab(n, n); for i = n - 1 : -1 : 1 x(i) = (Ab(i, n + 1) - Ab(i, i + 1 : n) * x(i + 1 : n)) / Ab(i, i); end end ```

用Gauss列主元消去法求解方程组

\\本程序适用于n个方程，n个未知数的线性代数方程组 # include "stdio.h" # include"math.h" # define eps 1e-8 # define n 2 \\以上为定义部分 main() { int t,i,j,k; double T,m[3][3],x[3]; double A[3][3]={{2,2,3},{4,7,7},{-2,4,5}}; double b[3]={3,1,-7}; \\以上为输入部分 for(k=0;k

最新Matlab求解线性方程组、非线性方程组

Matlab求解线性方程组、非线性方程组

求解线性方程组 solve，linsolve 例： A=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1]; %矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格 B=[3;1;1;0] X=zeros(4,1);%建立一个4元列向量 X=linsolve(A,B) diff〔fun，var，n〕：对表达式fun中的变量var求n阶导数。 例如：F=sym〔'u(x,y)*v(x,y)'〕; %sym〔〕用来定义一个符号表达式 diff(F); %matlab区分大小写 pretty(ans) %pretty〔〕：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式 非线性方程求解 fsolve(fun,x0,options) 其中fun为待解方程或方程组的文件名； x0位求解方程的初始向量或矩阵； option为设置命令参数 建立文件fun.m： function y=fun(x) y=[x(1)-0.5*sin(x(1))-0.3*cos(x(2)), ... x(2) - 0.5*cos(x(1))+0.3*sin(x(2))]; >>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve')) 注： ...为续行符 m文件必须以function为文件头，调用符为@；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve〔〕主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。

Matlab求解线性方程组 AX=B或XA=B 在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/〞和“\〞。如： X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解； X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。 对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。 如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，那么有： m＝n 恰定方程，求解精确解； m>n 超定方程，寻求最小二乘解； m

数值分析计算实习题列主元高斯消去法解线性方程组

数值分析计算实习题 第5章解线性方程组的直接方法 列主元高斯消去法解线性方程组。 书上的计算实习题1、2、3都要求用列主元高斯消去法解线性方程组，所 以考虑写一个普适的程序来实现。 对于线性方程组Ax=b,程序允许用户从文件读入矩阵数据或直接在屏幕输入数据。 文件输入格式要求： (1)第一行为一个整数n (2<=n<=100),表示矩阵阶数。 (2)第2〜n+1行为矩阵A各行列的值。 (3 )第n+2〜n+n+2行为矩阵b各行的值。 屏幕输入：按提示输入各个数据。 输出：A、b、det(A)、列主元高斯消去计算过程、解向量X。

【算法说明】 设有线性方程组Ax=b,其中设A为非奇异矩阵。方程组的增广矩阵为 [a,b] = a n… 第1步(k=l)：首先在A的第一列中选取绝对值最大的元素％,作为第一步的主元素： 如凜产如工0 然后交换(A, b)的第1行与第1行元素，再进行消元计算。 设列主元素消去法已经完成第1步到第k・l步的按列选主元，交换两行，消元计算得到与原方程组等价的方程组A(k)x=b(k) 用姐…哦盘…於？ MB • ■•■■ [A,b]T[A（?b （*）] = ■ …盅 •a"〉 ■ 唱” ■ ■ ■• • • • ...卅 • 第k步计算如下： 对于k=l, 2, n-1 |時卜maxaf" (1)按列选主元：即确定t使 (2)如果tHk,则交换［A, b］第t行与第k行元素。 (3)消元计算

a ik J叫=-bgk + X・・Ji) a kk % <-%+叫ciy (i,j = k + l,…川) »〜乞+叫几 (j = k + l,…屮) 消元乘数mik满足: M =吃 + 1,产•,) （4）回代求 解 （b厂工陶形） 兀＜ ----- -- ---- ,（'=〃_1屮_2,・・、1）

高斯列主元消去法

高斯列主元消去法 2.3高斯列主元消去法解线性方程组 一：问题的提出 我们都知道，高斯列主元素消去法是计算机上常用来求解线性方程组的一种直接的方法。就是在不考虑舍入误差的情况下，经过有限步的四则运算可以得到线性方程组的准确解的一类方法。实际运算的时候因为只能有限小数去计算，因此只能得到近似值。在实际运算的时候，我们很多时候也常用高斯消去法。但是高斯消去法在计算机中运算的时候常会碰到两个问题。 1．一旦遇到一些主元等于0，消元过程便无法进行下去。 2．在长期使用中还发现，即使消元过程能进行下去，但是当一些主元的绝对值很小时，求解出的结果与真实结果相差甚远。 为了避免高斯消去法消元过程中出现的上述两个问题，一般采用所谓的选择主元法。其中又可以分为列选主元和全面选主元两种方法。目前计算机上常用的按列选主元的方法。因此我在这里做的也是列选主元高斯消去法。 二、算法的基本思想 大家知道，如果一个线性方程组的系数矩阵是上三角矩阵时，即这种方程组我们称之为上三角方程组，它是很容易求解的。我们只要把方程组的最下面的一个方程求解出来，在把求得的解带入倒数第二个方程，求出第二个解，依次往上回代求解。然而，现实中大多数线性方程组都不是上面所说的上三角方程组，所以我们有可以把不是上三角的方程通过一定的

算法化成上三角方程组，由此我们可以很方便地求出方程组的解。高斯消元法的目的就是把一般线性方程组简化成上三角方程组。于是高斯消元法的基本思想是：通过逐次消元将所给的线性方程组化为上三角形方程组，继而通过回代过程求解线性方程组。 三、算法的描述 1、设有n元线性方程组如下： ＝ 2、 第一步：如果a11!=0,令 li1= ai1/a11, I= 2,3,……,n 用（-li1）乘第一个方程加到第i个方程上,得同解方程组： a(1)11 a(1)12 ...a(1)1n x1 b(1)1 a(1)21 a(1)22 ...a(1)2n x2

用gauss消去法求解大型稀疏方程组的改进算法

用gauss消去法求解大型稀疏方程组的改进算法 高斯消去法是一种用于求解线性方程组的经典方法，但是当方程组很大且稀疏时，高斯消去法的效率会变得非常低。为了解决这个问题，可以采用一种改进算法，称为稀疏高斯消去法。 稀疏高斯消去法的基本思想是利用方程组的稀疏性质，尽量减少计算的量，以提高求解效率。在讲解稀疏高斯消去法之前，我先介绍一下稀疏矩阵。 稀疏矩阵是指矩阵中绝大多数元素为零的矩阵。在实际问题中，很多矩阵都是稀疏的，例如线性方程组的系数矩阵。稀疏矩阵通常具有以下两个特点：1）非零元素的数量相对于矩阵的总元素数量来说很小；2）非零元素的位置分布比较随机。 在稀疏高斯消去法中，主要有两个改进步骤：1）稀疏高斯消元；2）回代求解。 1）稀疏高斯消元 稀疏高斯消去法的第一步是进行稀疏高斯消元。在传统的高斯消去法中，我们需要对每一行中的所有元素进行高斯消去，这样做的复杂度是 O(n^3)。而在稀疏高斯消去法中，我们只对非零元素所在的行进行高斯消去。这样可以大大减少计算量。 具体来说，稀疏高斯消元的做法是，首先找到第一个非零元素所在的行，然后对该行进行消去操作，将该行前的元素都变为零。然后再找到下一个非零元素所在的行，对该行进行消去操作，以此类推，直到所有的非零元素都被消为零。

2）回代求解 稀疏高斯消去法的第二步是进行回代求解。在进行稀疏高斯消元的过程中，我们已经将方程组化简为上三角形式，即矩阵的下半部分都是零。这样，在进行回代求解时，我们只需要从最后一行开始，逐行求解即可。而不需要对每一行的所有元素进行回代。 总结一下，稀疏高斯消去法的改进算法可以通过两个步骤来减少计算量：稀疏高斯消元和回代求解。首先，通过精确地找到非零元素的位置，并只对这些行进行消去操作，减少计算量。然后，在回代求解时，只处理上三角矩阵的非零元素。这样一来，可以大大提高求解大型稀疏方程组的效率。 当然，稀疏高斯消去法也有其局限性。由于稀疏高斯消去法需要寻找非零元素的位置，如果矩阵的非零元素位置分布比较密集，那么稀疏高斯消去法的效率就会降低。此外，稀疏高斯消去法还需要对稀疏矩阵进行存储和操作，这会增加一定的空间复杂度。 综上所述，稀疏高斯消去法是一种针对大型稀疏方程组的改进算法。通过利用稀疏性质，减少计算量和存储空间，可以提高求解效率。但是稀疏高斯消去法的适用范围有限，需要根据具体问题进行选择。

gauss列主元素消去法matlab

高斯列主元素消去法是一种解线性方程组的常用方法，特别在数值分 析和线性代数中应用广泛。在Matlab中，我们可以使用该方法来解 决大规模的线性方程组，包括矩阵的求解和矩阵的反转。 一、高斯列主元素消去法的基本原理 高斯列主元素消去法是一种基于矩阵消元的方法，它通过一系列的矩 阵变换将原始的线性方程组转化为上三角形式，然后再进行回代求解。这个方法的核心就是通过矩阵的变换来简化原始的线性方程组，使得 求解过程更加简单高效。 在Matlab中，我们可以利用矩阵运算和函数来实现高斯列主元素消 去法，如`lu`分解函数和`\"`运算符等。通过这些工具，我们能够快速 地求解各种规模的线性方程组并得到准确的结果。 二、高斯列主元素消去法在Matlab中的实现 在Matlab中，我们可以通过调用`lu`函数来实现高斯列主元素消去法。该函数返回一个上三角矩阵U和一个置换矩阵P，使得PA=LU。通过对U进行回代求解，我们可以得到线性方程组的解。 除了`lu`函数之外，Matlab还提供了一些其他的函数和工具来帮助我 们实现高斯列主元素消去法，比如`\"`运算符和`inv`函数等。通过这些工具的组合使用，我们能够更加灵活地进行线性方程组的求解，并且 可以方便地处理特殊情况和边界条件。

三、高斯列主元素消去法的应用与局限性 高斯列主元素消去法在实际应用中具有广泛的适用性，特别是对于大 规模的线性方程组或者稀疏矩阵的求解。通过Matlab中的工具和函数，我们可以快速地求解各种规模的线性方程组，并得到高精度的数 值解。 然而，高斯列主元素消去法也存在一些局限性，比如对于奇异矩阵或 者接近奇异矩阵的情况时，该方法的求解精度可能会下降。在实际应 用中，我们需要结合具体的问题和矩阵特性来选择合适的求解方法， 以确保得到准确的结果。 四、个人观点和总结 作为一种经典的线性方程组求解方法，高斯列主元素消去法在Matlab 中具有较好的实现和应用效果。通过对其原理和实现细节的深入理解，我们能够更加灵活地应用该方法，并且能够更好地理解其适用性和局 限性。 高斯列主元素消去法在Matlab中的应用具有重要的意义，它为我们 提供了一种快速、高效地求解线性方程组的方法。然而，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的求解方法，并且对结果进行合 理的分析和验证，以确保得到准确可靠的数值解。

线性代数线性方程组求解

线性代数线性方程组求解 线性代数中，线性方程组求解是一个重要的问题。在实际应用中，求解线性方程组是解决很多问题的基础。本文将介绍线性代数中线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、矩阵的逆和行列式等方法。 1. 高斯消元法 高斯消元法是求解线性方程组的一种常见方法。它基于矩阵变换的原理，通过对增广矩阵进行一系列的变换，将线性方程组转化为简化的阶梯形矩阵，从而求解方程组的解。 首先，将线性方程组写成增广矩阵的形式，例如： [ [a11, a12, a13, ..., a1n, b1], [a21, a22, a23, ..., a2n, b2], ... [an1, an2, an3, ..., ann, bn] ] 其中，a11到ann是系数矩阵的元素，b1到bn是常数矩阵的元素。 然后，通过一系列的行变换，将增广矩阵转化为阶梯形矩阵。具体的行变换包括交换两行、某一行乘以非零常数、某一行加上另一行的若干倍等。

接着，从底部开始，依次回代求解未知数的值。由于阶梯形矩阵的特点，可以从最后一行开始，将已求解的未知数代入到上一行的方程中，以此类推，最终求解出所有未知数的值。 2. 矩阵的逆和行列式 除了高斯消元法外，还可以通过矩阵的逆和行列式来求解线性方程组。 当系数矩阵存在逆矩阵时，可以直接通过逆矩阵求解线性方程组。假设系数矩阵为A，未知数向量为X，常数向量为B，那么可以使用以下公式求解线性方程组： X = A^(-1) * B 其中，A^(-1)表示A的逆矩阵。 当系数矩阵不可逆时，可以通过行列式来判断是否有唯一解。如果系数矩阵的行列式为非零，说明线性方程组存在唯一解；如果行列式为零，说明线性方程组没有解或者有无穷多个解。 3. MATLAB求解线性方程组 除了手动求解线性方程组外，还可以借助计算工具如MATLAB进行求解。MATLAB提供了函数例如“linsolve”、“inv”等，可以方便地求解线性方程组。

gauss消去法matlab

gauss消去法matlab Gauss消去法是一种常用的线性方程组求解方法，它可以通过消元和回代的方式，将一个复杂的线性方程组转化为一个简化的三角形方程组，从而得到方程组的解。在MATLAB中，我们可以使用高斯消去法函数来求解线性方程组。 我们需要明确线性方程组的形式。一个典型的线性方程组可以表示为： Ax = b 其中，A是一个n×n的系数矩阵，x是一个n×1的未知向量，b是一个n×1的常数向量。 接下来，我们可以使用MATLAB中的高斯消去法函数来求解线性方程组。在MATLAB中，我们可以使用“[L,U,P] = lu(A)”函数来进行高斯消去法的分解，其中L是单位下三角矩阵，U是上三角矩阵，P 是置换矩阵。通过高斯消元法的分解，我们可以得到三角形方程组：L(Ux) = b 然后，我们可以使用“y = L\b”函数来求解下三角方程Ly = b，再使用“x = U\y”函数来求解上三角方程Ux = y。最终，我们可以得到线性方程组的解x。 除了使用MATLAB中的高斯消去法函数，我们还可以手动实现高斯消去法。首先，我们可以通过消元操作将系数矩阵A转化为上三角矩阵U。消元操作的基本步骤如下：

1.选择主元：选择第一列中绝对值最大的元素作为主元，并将其所在的行交换到第一行。 2.消元操作：对于第一行以下的每一行，将其第一列元素消为0。具体操作是，将第一行乘以一个适当的倍数，然后从当前行中减去第一行的倍数。 3.重复以上步骤，直到所有的主元都不为0或者所有的行都消元结束。 接下来，我们可以使用回代操作将上三角矩阵U转化为解向量x。回代操作的基本步骤如下： 1.确定最后一个未知量：将最后一行的最后一个元素设为1。 2.回代计算：从最后一行开始，依次计算每个未知量的值。具体操作是，将当前行的右侧元素减去已知的未知量的倍数，然后除以当前行对角线上的系数。 通过手动实现高斯消去法，我们可以更好地理解高斯消去法的原理和过程。然而，使用MATLAB中的高斯消去法函数可以更加方便和高效地求解线性方程组。 高斯消去法是一种常用的线性方程组求解方法，可以通过消元和回代的方式得到方程组的解。在MATLAB中，我们可以使用高斯消去法函数来求解线性方程组，也可以手动实现高斯消去法。无论是使用MATLAB函数还是手动实现，高斯消去法都是解决线性方程组的一种有效方法。

线性方程组及MATLAB应用

数值实验 线性方程组与MATLAB 应用 王 1．实验目的：理解矩阵的范数与条件数。 实验内容：已知矩阵 ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛------=1111111111 111111A 求1A ，2A ，∞A 和)(2A cond 。 解：编写了一个M 文件来求矩阵A 的范数与条件数： test3_1.m 如下： A=[1 1 1 1;-1 1 -1 1;-1 -1 1 1;1 -1 -1 1]; norm(A,1) norm(A,2) norm(A,inf) cond(A,2) 计算结果依次是： 4 2 4 1.0000 2．实验目的：研究高斯消去法的数值稳定性（出现小主元）。 实验内容：设方程组b Ax =，其中两个矩阵如下，分别对以上两个方程组 （1）⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣⎡--⨯=-11212592.1121130.6291 .513 14 .59103.0151A ，⎥ ⎥⎥⎥ ⎦⎤ ⎢⎢⎢ ⎢⎣⎡=2178.4617.591b （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢ ⎢⎢ ⎢⎣⎡----=2010 1515269999 0999999999.2310 710 2A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=15 00019000000000.582b （1）计算矩阵的条件数，判断系数矩阵是良态的还是病态的？ 解： 本题编写了一个test3_21的M 文件如下： A1=[0.3*1e-15 59.14 3 1;5.291 -6.130 -1 2;11.2 9 5 2;1 2 1 1]; A2=[10 -7 0 1;-3 2.099999999999999 6 2;5 -1 5 -1;0 1 0 2]; cond(A1) cond(A2) 求得两个矩阵的条件数分别为68.4296和8.9939，易知这矩阵A1的条件数远远大于1，而矩阵A2的条件数刚大于1，故这,矩阵A1为病态矩阵，矩阵A2为良态矩阵。 （2）用列主元消去法求得L 和U 及解向量412,∈R x x ； 解：本题利用Matlab 的列主元三角分解函数lu()；具体求解如下： >> A1=[0.3*1e-15 59.14 3 1;5.291 -6.130 -1 2;11.2 9 5 2;1 2 1 1]; >> A2=[10 -7 0 1;-3 2.099999999999999 6 2;5 -1 5 -1;0 1 0 2];

高斯顺序gauss消去法

现代数值计算方法 matlab版程序 function x=magauss2(A,b,flag) A=[1 1 1 1;-1 2 -3 1;3 -3 6 -2;-4 5 2 -3]; b=[10 -2 7 0]'; if nargin<3,flag=0;end n=length(b); for k=1:n-1 [ap,p]=max(abs(A(k:n,k))); p=p+k-1; if p>k t=A(k,:);A(k,:)=A(p,:);A(p,:)=t; t=b(k);b(k)=b(p);b(p)=t; end m=A(k+1:n,k)/A(k,k); A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-m*A(k,k+1:n); b(k+1:n)=b(k+1:n)-m*b(k); A(k+1:n,k)=zeros(n-k,1); if flag~=0,Ab=[A,b], end end %huidai x=zeros(n,1); x(n)=b(n)/A(n,n); for k=n-1:-1:1 x(k)=(b(k)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n))/A(k,k); end >> x=magauss2(A,b,1) Ab = -4.0000 5.0000 2.0000 -3.0000 0 0 0.7500 -3.5000 1.7500 -2.0000 0 0.7500 7.5000 -4.2500 7.0000 0 2.2500 1.5000 0.2500 10.0000 Ab = -4.0000 5.0000 2.0000 -3.0000 0 0 2.2500 1.5000 0.2500 10.0000 0 0 7.0000 -4.3333 3.6667 0 0 -4.0000 1.6667 -5.3333 Ab = -4.0000 5.0000 2.0000 -3.0000 0 0 2.2500 1.5000 0.2500 10.0000 0 0 7.0000 -4.3333 3.6667 0 0 0 -0.8095 -3.2381 x = 1.0000 2.0000 3.0000