_质数、合数和分解质因数讲义

质数、合数和分解质因数讲义

1.质数与合数

一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

要特别记住：1不是质数，也不是合数。

2.质因数与分解质因数

如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例：把30分解质因数。

解：30＝2×3×5。

其中2、3、5叫做30的质因数。

又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。

二、例题

例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.

解：∵210=2×3×5×7

∴可知这三个数是5、6和7。

例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？

解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：

40=17+23=11＋29=3+37。

∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。

∴所求的最大值是391。

答：这两个质数的最大乘积是391。

例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？

解：123456789是合数。

因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。

例4 有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，

a×c＝10.求a×b×c是多少？

解：∵6＝2×3，15=3×5，10＝2×5。

（a×b）×（b×c）×（a×c）

=（2×3）×（3×5）×（2×5）

∴a2×b2×c2=22×32×52

∴（a×b×c）2＝（2×3×5）2

a×b×c=2×3×5＝30

例5 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。

分析∵a与1080的乘积是一个完全平方数，

∴乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。

解：∵1080×a=23×33×5×a，

又∵1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，

∴a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。

∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。

答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。

例六．王老师带领一班学生去种树，学生恰好平均分成3组，已知师生每人种的树一样多，共种了112棵，那么，这班学生有多少人，每人种多少棵树？

五年级质数合数的讲义

偶数、奇数、质数和合数 五年级杨皓 一、知识归纳： 1、2的倍数的特征：个位是上0，2，4，6，8的数 2、3的倍数的特征：一个数的各数位上的数字之和是3的倍数的数 3、5的倍数的特征：个位上是0或5的数 同时是2和5的倍数的特征：个位上是0的数 奇数和偶数的含义： 奇数：不是2的倍数的数 偶数：是2的倍数的数 奇数、偶数的运算性质： 奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数 奇数+偶数=奇数奇数× 奇数=奇数 奇数× 偶数=偶数偶数× 偶数=偶数 典例剖析（基础篇）： 例1 101以内2的倍数有哪些你发现了什么规律 例2 下列各数中，哪些是奇数哪些是偶数 55 96 455 688 0 234 4678 7089 2000 555 4545 991例3 101以内5的倍数有哪些你发现了什么规律 例4 101以内3的倍数有哪些你发现了什么规律 【基础训练】 填空题 个位是（）的数，都是2的倍数。 （）的数叫做偶数，（）的数叫做奇数。

用0，1，3，7这四个数字组成一个最大的偶数是（），最大的奇数是（）。 判断题 一个自然数，不是奇数就是偶数。（）是3的倍数的数一定是奇数。（）偶数都比奇数大。（）个位上是3，6，9的数，都是3的倍数。（）个位上是0的数，既是2的倍数，也是5的倍数。（） 选一选，填一填。 48 51 65 78 260 104 36 157 是2的倍数是5的倍数是3的倍数 按要求写数。 1、写出一个同时 2、5、3的倍数的最小自然数（0除外） 2、写出最小的两位奇数。 3、写出最大的三位偶数。 典例剖析（提高篇）： 例1 从三个数0、4、5中取出两个组成一个两位数，分别满足下面的条件：（1）是2的倍数（2）是5的倍数（3）既是2的倍数，又是5的倍数 例2 在方框里填上适当的数字，使得到的三位数同时是3和5的倍数。 415□513□ 例3 如果用a表示自然数，那么偶数可以表示为（） +2 +1

第3讲：质数、合数及分解质因数讲解及习题

第3讲：质数、合数及分解质因数 (数学：老师) 【知识点1】质数和合数 一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数，也叫质数． 一个数，如果除了１和它本身以外还有别的因数，这样的数叫合数． 质因数是指：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数 【考点分析】对于质数与合数的考查主要放在概念的理解上，主要以填空、选择的形式出现，一种是文字描述的形式出现，另一种是给定某数让你判别它是质数还是合数；而对于质因数考查的一般是判别给定的数是否为某数的质因数（或者说求某数的质因数），还有一种考法是对给定的数进行质因数的分解。 【典型例题】 1、填空：在正整数中，既不是质数也不是合数的数是_____，既是质数又是偶数的数是______ 分析：这类题目的解答中要记住特殊情况，针对上面的题目，我们得记住1既不是质数，也不是合数。而2是唯一一个属于质数的偶数，且2是最小的质数。 2、39、47、57、83中为质数的有（） （A） 39，47 (B) 47，57 （C）57，83 （D）47，83 分析：对于这类题目我们可以根据数的特征来进行判断。 3、下列说法中正确的是（） （A）自然数包括质数和合数两类 (B）不存在最小的质数 （C）1既不是质数，也不是合数（D）2是最小的合数 分析：记住1这个特殊情况。 4、两个质数相乘的积一定是（） （A）奇数（B）偶数（C）质数（D）合数 分析：用排除法，其中对于D选项，如果有两个质数相乘所得来的数，除了含有这两个质数作它的因数外，至少还有1。所以得数肯定不能为质数。 5、根据要求填空：在1，2，9，21，43，51，59，64这八个数中， （1）是奇数又是质数的数是（）；（2）是奇数不是质数的数是（）； （3）是质数而不是奇数的数是（）；（4）是合数而不是偶数的数是（）； （5）是合数而不是奇数的数是（）．

第四讲 质数、合数、与分解质因数

第四讲：质数、合数、分解质因数 【知识概述】 1、一个数的约数只有1和它本身的数叫做质数，也叫素数。反之，一个数的约数除了1和它本身以外，还有其他的约数，这个数就叫合数。 2、由于1的约数只有1个，所以1既不是质数，也不是合数。 3、两个数的公约数只有1，而没有其他公约数的，这两个数就叫互质数。 4、质数与互质数 这两个概念没有什么联系。两个质数，不能肯定就是互质数。只有两个不相同的质数，才能肯定是互质数。另外，两个合数既可能是互质数，也可能不是互质数，但不能说两个合数一定不是互质数。 5、把一个合数分解成几个质数相乘的过程，就叫做分解质因数。 【例题精讲】 例题1 用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数? 解要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用． 有1、4、8、9可以组成质数、，而6可以与前面的一位质数中的组合成质数。所以这9个数字最多组成了这6个质数。 例题2 四个小孩，恰好一个比一个大一岁，其年龄之积是3024，这四个小孩中最大的一个是多少岁？解：将3024分解后再重新组合，看怎么才能组合成四个连续自然数相乘 3024= 重新组合后 3024= 所以这四个小朋友中最大的一个是。 例题3月明×中秋＝（月明和中秋分别代表不同的两位数，圆圆圆表示三位数）。则“月明”和“中秋”这两个两位数各是多少？ 解：因为圆圆圆=111×圆=3×37×圆 所以圆= 所以月明= 中秋= 例题4、有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140．如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少? 解有140=2×2×5×7，因为这些分数的分子与分母的乘积均为140，当分母越大时，分子越小，所以对应的分数也越小． 有分母从大到小依次为140、70、35、28、20、14、10、7、5、4、2、1； 对应分子从小到大依次为1、2、4、5、7、10、14、20、28、35、70、140； 对应分数从小到大依次为而 其中第三个最简真分数为。 例题5、在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”(脱靶)，或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙

小学思维数学讲义：分解质因数(一)-含答案解析

分解质因数（一） 1. 能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...???☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一” 一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. （3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212 263 ，（┖是短除法的符号） 所以12223=??； 二、唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =????其中为质数， 12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7. 三、部分特殊数的分解 111337=?；100171113=??；1111141271=?；1000173137=?；199535719=???；1998233337=????；200733223=??；2008222251=???；10101371337=???. 模块一、分解质因数 【例 1】 分解质因数20034= 。 【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分 【解析】 原式323753=??? 【答案】323753??? 例题精讲 知识点拨 教学目标

_质数、合数和分解质因数讲义

质数、合数和分解质因数讲义 1.质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2.质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：把30分解质因数。 解：30＝2×3×5。 其中2、3、5叫做30的质因数。 又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。 二、例题 例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 解：∵210=2×3×5×7 ∴可知这三个数是5、6和7。 例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17+23=11＋29=3+37。 ∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。 ∴所求的最大值是391。 答：这两个质数的最大乘积是391。

例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。 因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。 例4 有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15， a×c＝10.求a×b×c是多少？ 解：∵6＝2×3，15=3×5，10＝2×5。 （a×b）×（b×c）×（a×c） =（2×3）×（3×5）×（2×5） ∴a2×b2×c2=22×32×52 ∴（a×b×c）2＝（2×3×5）2 a×b×c=2×3×5＝30 例5 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。 分析∵a与1080的乘积是一个完全平方数， ∴乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。 解：∵1080×a=23×33×5×a， 又∵1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数， ∴a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。 ∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。 答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。 例六．王老师带领一班学生去种树，学生恰好平均分成3组，已知师生每人种的树一样多，共种了112棵，那么，这班学生有多少人，每人种多少棵树？

第二讲 质数与合数 提高班 教师版(带完整答案)_5年级奥数讲义与课件

第二讲质数与合数 知识说明 1.质数与合数：一个数除了1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。一个数除了1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：0 和 1 不是质数，也不是合数。常用的100 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25 个；除了2 其余的质数都是奇数；除了2 和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7 或9。 考点：（1）值得注意的是很多题都会以质数2 的特殊性为考点，例如:两个质数之和为39，求这两个质数的乘积。分析：因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是 2，另一个是 37，乘积为 74。我们要善于抓住此类题的突破口。 （2）除了2 和5，其余质数个位数字只能是1，3，7 或9。这也是很多题解题思路，需要大家注意 2.质因数与分解质因数 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 互质数：公约数只有1 的两个自然数，叫做互质数。 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例如：30＝2×3×5。其中2、3、5 叫做30 的质因数。又如12＝2×2×3＝22 ×3，2、3 都叫做12 的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式。分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征。 例如：三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数.分析：210 分解质因数：210=2×3×5×7，可知这三个数是5、6 和7。 3.判断一个数是否为质数的方法：根据定义如果能够找到一个小于P 的质数p（均为整数），使得p能够整除P，那么P 就不是质数，所以我们只要拿所有小于P 的质数去除P 就可以了；但是这样的计算量 很大，对于不太大的P，我们可以先找一个大于且接近P 的平方数K 2 ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除P，如没有能够除尽的那么P 就为质数。 例如：149 很接近144=12×12，根据整除的性质143 不能被2、3、5、7、11 整除，所以143 是质数。 4. a2＝22，b2＝32，c2＝52，其中22＝4，32＝9，52＝25，像4、9、25 这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。如.12=1，22＝4，32＝9，42＝16，…，112 ＝121，122＝144，…其中1，4，9，16，…，121，144，…都叫做完全平方数。平方数分解质因数后，它的质因数必定会成对出现。而且平方数有奇数个因数。 例如：46305 乘以一个自然数a 后，乘积是一个平方数，a 最小是多少？分析：46305 分解质因数：

二讲质数合数和分解质因数

第二讲质数、合数和分解质因数 一．根本概念和知识 1．质数和合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数〔也叫做素数〕。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2．质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 二．例题 例1：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。 ∵210=2×3×5×7 ∴可知这三个数是5、6、7。 例2：两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17＋23=11＋29=3＋37 ∵17×23==391＞11×29=319＞3×37=111， ∴所求的最大值是391。 例3：自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。 因为它除了约数1和它本身，至少还有约数3，所以它是一个合数。 例4：连续9个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数〔如：1~9中有4个质数2、3、5、7〕。 如果这连续的九个自然数中最小的不小于13，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个。这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数。这样，至多另4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。 例5：把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解：∵5=5，7=7，6=2×3，14=2×7，15=3×5。 这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14〔=2×7〕放在第一组，那么7和6〔=2×3〕只能放在第二组，继而15〔=3×5〕只能放在第一组，那么5必须放在第二组。 这样，14×15=210=5×6×7。

五年级数学下册试题因数和倍数重难点讲解(质数和合数、分解质因数)+答案

数学学科专属辅导讲义 学员姓名教师姓名班主任 上课日期上课时间年级课时教学内容因数与倍数2 教学目标1、理解掌握质数和合数 2、学会分解质因数 教学重难点1、理解掌握质数和合数 2、学会分解质因数 教学内容 1、理解掌握 2、 3、5的倍数的特征 1、把55个橘子分给甲、乙、丙三人，甲得到的橘子数是乙的2 倍，且甲、乙得到的橘子数都比丙多，丙得到的橘子数比10 多，则甲、乙、丙三人各得多少个？ 2、一个数加3是5的倍数，减去3是6的倍数，这个数最小是多少？

【课前导入1】 写出3、5、7、8、10、12、13、15这7个数的所有因数 观察以上数的因数，他们有什么特点。 总结：像2、3、5这几个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数，也称为素数；像6，8、9这几个数，除了1和它本身还有别的因数，也就是有两个以上因数，这样的数叫作合数。 练习1： (1)质数只有( )个因数，合数至少有( )个因数。 (2) 自然数中，最小的质数是( )，最小的合数是( )。 (3) 比10小的数里，质数有( )个，合数有( )个。 (4) 20的因数有( )，其中是质数的有( )。 问题1：1是质数还是合数？说说想法。 问题2：可以将大于O的自然数还可以按什么分类，分成几类？ 问题3：按质数和合数的分类和偶数、奇数的分类比较，有什么不同？ 总结：20以内的质数是：2、3、5、7、1 1、1 3、1 7、19。质数不都是奇数，因为2是质数。 【课前导入2】请把5和28分别写成两个数相乘的形式。

77=53+17+7 再任取一个奇数461,那么 461=449+7+5 也是三个素数之和.461还可以写成 257+199+5 仍然是三个素数之和. 这样,我就发现: 任何大于5的奇数都是三个素数之和. 1、30的所有因数有( ) A.1、2、3、5和10 B. 2、3、5、10和15 C. 1、2、3、5、6、10、15和30 2、当两个数互质时，它们的最大公因数是( )。 A. 1 B. 2 C. 无法确定 3、把20分解质因数应该写成（） A. 20=1×2×2×5 B. 2×2×5=20 C. 20=2×2×5 4、14和28的公倍数（）。 A.有无数个 B. 只有1个 C. 一定比28小 D. 是28 5、36的因数有（）个。 A. 6 B. 5 C. 9 6、15和16的最大公因数是（）。 A. 1 B. 2 C. 3 7、两个数的最大公因数是12，最小公倍数是60，这两个数分别是( )。 A. 1和12 B. 1和60 C. 12和60 D. 12和720 二、判断题 8、一个数的倍数一定大于它的因数。（） 9、所有的偶数都是合数，所有的质数都是奇数。（） 10、因为60=3×4×5，所以3、4、5都是60的质因数。（） 11、奇数与奇数的积一定还是奇数．（）

奥数质数合数分解质因素讲义及答案

奥数质数合数分解质因素讲义及答案 数的整除（2）质数、合数、分解质因数 教室姓名学号 【知识要点】 1、质数与合数 自然数按其因数的个数可以分成三类： （1）单位1：只含有1这一个因数的自然数。 （2）质数（也称为素数）：只含有1与它本身这两个因数的自然数。（质数有无穷多个，不存在最大的质数，但有最小的质数2，而且2是质数中唯一的偶数。）（3）合数：含有三个或三个以上因数的自然数。 （4）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。（5）因数个数定理： 例如：1980=22×32×5×11 所以：（T表示因数个数）T（1980）=（1+2）×（1+2）×（1+1）×（1+1）=36 （6）因数和的定理： 例如：1980=22×32×5×11 所以：S（1980）=（02+12+22）×（03+13+23）×（05+15）×（0 11+111） =7×13×6×12=6552 【典型例题】 例1、两个质数的和是49，这两个质数的积是多少？ 解：因为两个质数的和49是奇数，所以必有一个质数是偶数，另一个质数是奇数，而偶数中只有2是质数，于是另一个质数是49－2=47，从而得到它们的积是2×47=94。 例2、有三张卡片，上面分别写着2、3、4三个数字，从中任意抽出一张、两张、三张，按任意顺序排列起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数，写出其中的质数。

解：由于2+3+4=9是3的倍数，所以任意排出的三位数都不是质数。任意取两张卡片排出的两位数，末尾数字不能是2和4，只能排3.所以用2、3、4三个数字排出两位质数有23和43.取一张卡片排出的质数有2和3.所以最后排出的质数有2、3、23、43这四个。 例3、360这个数的因数有多少个？这些因数的和是多少？ 解：360=2×2×2×3×3×5=23×32×5，所以360有（3+1）×（2+1）×（1+1）=24个因数。 因数的和是：（1+2+22+23）×（1+3+32）×（1+5）=1170 例4、筐里共有96个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时，又正好不多不少，有多少种不同的拿法？ 解：每次拿的个数都是96的因数（除96和1之外），这样问题转化为求96的因数个数，将96分解质因数，得96=2×2×2×2×2×3，除去96和1之外，96的因数有10个：2、3、4、6、8、12、16、24、32、48.有10种不同拿法。 【精英班】例5、504乘一个自然数a，得到一个平方数，求a的最小值和这个平方数。 解：一个数的平方数所含不同的质因数的个数为偶数。504=23×32×7=22×32×（2×7），还少（2×7），使得504×a是个平方数，所以所求的a的最小值是2×7=14；这个平方数是504×14=7056。 【竞赛班】例6、将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等，可以怎样 分？说明理由。 14，33，35，30，75，39，143，169. 解：14=2×7，33=3×11，35=5×7，30=2×3×5，75=3×5×5，39=3×13，143=11×13，169=13×13.这八个数分解质因数后共有质因数18个（包括相同的），其中：质因数2有两个，质因数3有4个，质因数5有4个，质因数7有2个，质因数11有2个，质因数13有4个。相同的质因数应该平均分摊在两个乘积里，因此可以分为：

质数和合数、分解质因数 教案

质数和合数、分解质因数教案 一、教学目标: 1、在探索活动中，初步了解概念学习的基本方法。加深理解知识和提高学习水平。 2、理解并记住质数和合数的定义。 3、学会分解质因数。 二、教学重点、难点:质数、合数的特征。会分解质因数 三、教具准备:电脑课件、计数器、数字卡片 四、教法:演示、讲解 五、课时;1课时 六、教学过程: 一、复习1、2、3、5的倍数特征； 2、偶数、奇数 3、找一个数的倍数 二、导入:1、看情景图，你看到了什么？ 2、看到了许多的队伍，整齐的排列在一起，我们给他们起名叫各个方队。 3、那每个方队的人数都是多少呢？怎么求出来的？用式子表达。（板书） 4、能够写出两个数相乘的式子，这两个数叫因数。得到的数是我们学过的倍数。找一个数的因数要一对一对的找。 5、注意最大的因数是他本身，最小的因数是1。 6、写出情景图给的数的因数有哪些？ 7、例如:24的因数有:1、2、3、4、6、8、12、24 25的因数有:1、5、25 我发现有的数有两个以上的因数，这样的都能排成方阵么？（用教具操作） 8、我们来看一下从1开始的这些数的因数都有哪些。 9、1的因数:1；2的因数:1、2；3的因数:1、3 4的因数:1、2、4;6的因数:1、2、3、6；等 为什么这些数的因数个数不同呢？ 10、像这样只含有1和它本身两个因数的数，叫做质数（素数）；除了1和它本身以外还含有其他因数的数，叫做合数；1只有一个因数，既不是质数也不是合数。 11、我们知道什么样的数叫质数什么叫合数，那我们就来找几个数来判断一下了。（举例） 12、你能写出一个合数用几个质数相乘的式子来表示么，怎么写的？用了什么方法啊？（小组讨论） 13、老师这有两种方法:分解法和短除法（重点讲解短除法） 14、注意分解到最后一定要是质数相乘的形式，有一个合数在里面都是错的。 15、那我们就叫这几个相乘的质数为质因数，由于它们既是质数又是因数。

第二讲 质数、合数和分解质因数

第2讲质数、合数和分解质因数 一、基本概念和知识 1.质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 要特别记住：1不是质数，也不是合数。 2.质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例：把30分解质因数。 解：30＝2×3×5。 其中2、3、5叫做30的质因数。 又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。 二、例题 例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 解：∵210=2×3×5×7 ∴可知这三个数是5、6和7。 例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 40=17+23=11＋29=3+37。 ∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。 ∴所求的最大值是391。 答：这两个质数的最大乘积是391。

例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。 因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。 例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。 如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。 综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。 例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5， 这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14 （=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。 这样14×15=210=5×6×7。 这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。 例6 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。 分析先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560.40×40×40＝64000，远大于42560.因此，要求的三个自然数在30～40之间。 解：42560=26×5×7×19 ＝25×（5×7）×（19×2） ＝32×35×38（合题意） 要求的三个自然数分别是32、35和38。 例7 有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，

【讲义】5年级第03讲_质数与合数

第三讲 质数与合数 什么是质数？ 每一个数都能写成若干个数相乘的形式，考虑到任何一个数都能写成若干个1乘以它本身的形式，所以不考虑1作为乘数的情况：623=⨯，824222=⨯=⨯⨯，122634223=⨯=⨯=⨯⨯……这些数都能拆成若干个不为1的数相乘的形式， 我们把这样的数称为合数．而像2，3，7……这些不能拆成若干个不为1的数相乘形式的数，我们称之为质数．如果说得形象一点，质数就是“拆不开”的数，合数就是拆得开的数． 严格说来，质数就是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数．注意，1既不是质数也不是合数． 我们先来看一个关于质数的小问题，提高大家对质数的熟悉程度：请写出所有颠倒个位十位之后还是质数的两位质数． _____________________________________________（填写在横线上）

相信对100以内的质数比较熟悉的同学，做这个题目会很轻松．质数是我们后面学习的基础，因此同学们一定要牢牢记住常见的质数．请同学们在下面的横线上写出100以内的所有质数： 同学们还可以这样做：从大到小．．．．写出100以内的质数．如果你能一个不少地写出来，说明你对100以内的质数确实掌握得很牢固了^_^． 当然，同学们写出的这些质数只是质数大军中的冰山一角．在100以上还有无穷多个质数，比如接着100的就有四个质数：101，103，107，109． 【分析】1~56以内的质数有哪些？把它们列出来，然后依次找出对应的汉字，这句话就出来了． 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗： 美少年华朋会友，幼长相亲同切磋； 杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多； 九天九霄志凌云，九七共庆手相握； 聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌． 将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话．

质数与合数讲义

课题 质数与合数 教学目标①使学生掌握质数和合数的概念，知道它们之间的联系和区别 ②能正确判断一个常见数是质数还是合数。 ③培养学生判断、推理的能力。 重点、难点教学重点：质数和合数的概念。 教学难点：正确判断一个常见数是质数还是合数。 考点及考试要求正确判断一个常见数是质数还是合数以及知道它们之间的区别与联系 教学内容 知识梳理 考点一、质数与和合数 质数——只有两个因数。 自然数（按因数的个数分为）合数——两个以上的因数 1——只有1个因数 0——没有因数 问：“自然数中，除了质数就是合数。”这句话对吗？ 定义：质数；只有1和他本身两个约数的叫质数 合数：除了1和他本身两个约数，还有其他约数的叫合数 （1既不是质数也不是合数） 考点二、分解质因数及方法 1、分解质因数定义：把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来。 2、质因数定义：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这 个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 判断“2是质数，对吗？”“2是质因数，对吗？” 分解质因数方法： （1）直接分解 例：把6、28、60分解质因数右以写成： 6=2×3 28=2×2×7 60=2×2×3×5 书写格式说明：要分解的合数写在等号左边，把它的质因数相乘的形式写在等号的右边。质因数按从小往大的顺序排列。 （2）短除法分解 短除法：它是笔算除法的简化“”叫做短除号。 除数…2 6 …被除数

3 …商 用短除法分解质因数。 2 28 2 60 2 14 2 30 7 3 15 5 28=2×2×7 60=2×2×3×5 相关练习： 1、写出20 以内的质数有（ ）， 写出20 以内的合数有（ ）。 2、用短除法分解质因数：32、95、45、70 3、选择。 4、（1）正方形的边长是质数，它的周长是（）数。 5、 A、质数B、合数 C、可能是质数也可能是合数 6、(2）合数有（）个因数。 7、 A、只有１个B、只有两个 C、有两个以上 8、(3)20以内有（）个质数。 9、A、9B、5 C、8 10、(4)两个质数的和是15，这两个质数分别是（）。 11、 A、3和12 B、2和13 C、5和10 12、4、我是小法官。 13、(1) 任何一个自然数，不是质数就是合数。（） 14、(2) 偶数都是合数，奇数都是质数。（） 15、(3) 11的倍数都是合数。（） 16、 (4) 1是除0以外的最小自然数，也是最小的质数。（） 17、 (5) 除2以外，所有的偶数都是合数。（） （6）如果a是b的倍数，a一定是合数（） 5、精挑细选。 13 24 29 41 57 63 79 87 质数：（ ）。合数：（ ）。

分解质因数讲义

分解质因数 【适用场景】 沪教版--六年级上册--新课 【知识定位】 分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。 【知识梳理】 1.质数、合数的定义： 问： 1的约数有：1； 2的约数有：1，2； 3的约数有：1，3； 4的约数有：1，2，4； 6的约数有：1，2，3，6； 7的约数有：1，7； 12的约数有：1，2，3，4，6，12； …… 从上面各数的约数的个数中我们可以看到：一个自然数的约数的个数有三种情况： ①只有一个约数的，如1。因此，1不是质数，也不是合数。 ②只有两个约数的（1和它本身），如2，3，7…… ③有两个以上约数的，如4，6，12…… 所以，我们将属于第__②__种情况的，即：除了1和本身以外，不再有别的约数，这样的数叫做质数。 我们将属于第__③__种情况的，即：除了1和本身以外，还有别的约数，这样的数叫做合数。 2.质因数：如果某个质数是一个数的因数，那么这个质数就是这个数的质因数。我们观察下面这些式子：

4=1×2×2； 6=1×2×3 8=1×2×2×2； 10=1×2×5； 12=1×2×2×3； …… 从上面各数的约数的情况中我们可以看到：一个合数最终总是能被写成质数相乘的形式，这里，我们就将这些质数叫做这个合数的质因数。 例如：18=2×3×3 这里的2、3、3都是18的因数，而2和3本身又都是质数，于是我们就把2、3、3叫做18的质因数。 这里需要注意的是：18也可以写成3与6的乘积，即：18=3×6，无疑3和6都是18的因数，但3本身是质数，可以称做18的质因数，而6是合数，则不能称做6是18的质因数。 3.互质数：两个或几个自然数，当它们的最大公约数是1的时候，这两个或几个数，就叫做互质数（也叫互素数）。 例如：5和7，4和11，8和9，7、11和15，12、20和35……。 上述这几组数，它们的最大公约数都是1，因此，它们都是互质数。 在以上两个互质数中，如7、11和15这三个数，7和11是互质数，11和15是互质数，7和15也是互质数。这类情况，我们就叫做这三个数“两两互质”。但12、20和35这组数中，虽然它们也是互质数，但不是两两互质，因为12和35是互质数，至于12和20、20和35都不是互质数。 注意：互质的两个数或是几个数，它们本身不一定是质数。 如5和7是互质数，它们本身都是质数；4和11是互质数，其中4并不是质数；8和9是互质数，但8和9本身都不是质数。 总结：质数是指一个数。譬如说：“2是质数，11是质数”等等。 质因数虽然也是指一个数，但是它是针对另一个数而说的。譬如说：“5是35的质因数。”如果离开35，孤立地说：“5是质因数。”则是不妥当的。因此，质因数具有双重身份：第一必须是个质数；第二必须是另一个数的因数。 互质数同质数、质因数都不同，它不是指一个数，而是指除了1以外，再没有其他公约数的两个或两个以上的数。 由此可见：掌握质数、质因数和互质数这几个术语的概念，其中质数是基础，这三者之间既有联系，又有区别，要透彻理解和正确区分，才能防止混淆。 4.分解质因数：

小学奥数讲义5年级-11-质数与合数-难版

质数与合数 自然数按照能被多少个不同的自然数整除可以分为三类： 第一类：只能被一个自然数整除的自然数，这类数只有一个，就是1。 第二类：只能被两个不同的自然数整除的自然数。因为任何自然数都能被1和它本身整除，所以这类自然数的特征是大于1，且只能被1和它本身整除。这类自然数叫质数（或素数）。例如，2，3，5，7，… 第三类：能被两个以上的自然数整除的自然数。这类自然数的特征是大于1，除了能被1和它本身整除外，还能被其它一些自然数整除。这类自然数叫合数。例如，4，6，8，9，15，… 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数. 常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9. 质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. 互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. 知识梳理

质数与合数 【例1】 ★1～100这100个自然数中有哪些是质数？ 【解析】先把前100个自然数写出来，得下表： 1既不是质数也不是合数。 2是质数，留下来，后面凡能被2整除的数都是合数，都划去； 3是质数，留下来，后面凡能被3整除的数都是合数，都划去； 类似地，把5留下来，后面凡是5的倍数的数都划去； 把7留下来，后面凡是7的倍数的数都划去。 经过以上的筛选，划去的都是合数，余下26个数，除1外，剩下的25个都是质数。这样，我们便得到了100以内的质数表： 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41， 43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。 【例2】★判断269，437两个数是合数还是质数。 【解析】对于一个不太大的数N ，要判断它是质数还是合数，可以先找出一个大于N 且最接近N 的平方数K 2 ，再写出K 以内的所有质数。如果这些质数都不能整除N ，那么N 是质数；如果这些质数中有一个能整除N ，那么N 是合数。 因为269＜172=289。17以内质数有2，3，5，7，11，13。根据能被某些数整除的数的特征，个位数是9，所以269不能被2，5整除；2+6+9=17，所以269不能被3整除。经逐一判断或试除知，这6个质数都不能整除269，所以269是质数。 典型例题

六年级数学专题讲义质数、分解质因数

质数、分解质因数与约数、倍数 “质数与合数”是我们之后学习“约数与倍数”的基础，分解质因数甚至是解决很多问题的出发点，因此不容忽视，需要掌握得非常熟练．而且质数本身来说就是奇妙无穷的，它包含一群没有直观规律，却具有一些简洁的内在规律的数，比如说著名的歌德巴赫猜想就是建立在质数(也称为素数)的概念之下的：(1)大于4的偶数都可以表达成两个奇素数之和，(2)大于7的奇数都可以表达成三个奇素数之和．这个猜想至今无法完全证明，更加使得我们为这个结论的简洁完美而惊叹．最基本的概念和性质，如下： 1、质数与合数 一个数除了l 和它本身，不再有别的约数，那么这个数叫做质数．比如2，3，7，37，…．一个数除了1和它本身，还有别的约数，那么这个数是合数．比如4，8，14，48，…．特别的：1既不是质数也不是合数．（同学们一定注意0这个数只有在做判断题时是自然数，平时做题目我们都不考虑0这个数。） 对于一个不很大的自然数n(n>1,n 为非完全平方数)，可用下面方法判断它是质数还是合数： 先找出一个大于n 的最小的完全平方数2k ，再写出k 以内的所有质数；若这些质数都不能整除n ，则n 是质数；若这些质数中有一个质数能整除n ，则n 为合数。 2、质因数与分解质因数 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数．把一个合数用质因 数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数．任意大于1的自然数都唯一的表示为 1212n b b b n A a a a =的形式（其中12,,n a a a 都是质因数） 。比如：把42分解质因数应该是42=2×3×7，其中2，3，7是42的质因数．又如：35423=⨯，其中2和3都是54的质因数． 〖经典例题〗 例1、两个质数的和是99，那么这两个质数的积是多少？ 【分析】考虑到奇偶性，99=奇数＋偶数，而质数中唯一的偶数是2，所以99=2＋97，乘积为2×97=194. 〖方法总结〗 从本题中我们可以看到质数和奇偶性常常“并肩作战”，考虑奇偶性会带给我们意想不到的结果。尤其是在质数中2是唯一的偶数，而5是唯一的末尾是5的数。 〖巩固练习〗