总习题七
1.设元件寿命X 服从正态分布),(2σμN ,其中参数μ、2
σ都是未知的,现随机抽取6个元件,测得其使用寿命(单位:小时)分别为:1498 1502 1578 1366 1454 1650 试求总体均值μ和方差2
σ 的矩估计值.
解:,?X =μ
故1508?=μ,()
()222E X E X σ=-, 故,2
2
218046.67.A A σ∧
=-=
2.电阻的使用寿命X 服从参数为β的指数分布,参数β未知。今抽查了6只电阻测得到以下数据(单位:年):4.24.31.38.47.29.1,求参数β的矩估计值.
解:()1
,E X β
=
1?,X β=1?0.32793.05β== 3.设一射手向某目标射击,直到击种目标为止,假定其命中率为p ,用X 表示射手射击的次数,写出X 的分布律.如果n X X X ,,,21 是取自X 的样本,求p 的矩估计和极大似然估计.
解:(1)X 的分布率为{}()
1
1,1,2,,k P X k p p k -==-=
()()
()
1
1
1
1
11k k k k E X k p p p k p ∞
∞
--===-=-∑∑,
令1,
q p =-()1
1
,k k kq
f q ∞
-==∑则()1
1
1
,1q
q
k k k k q
f t dt kt dt q q
∞
∞
-=====
-∑∑?? 故,()()
21,11q f q q q '??== ?--??()()2
1
,1p E X p q ==-1?.p X = (2){}()
1
1,k x k P X x p p -==-()()
()1
1
1
11,n
k k k n
x x n
n k L p p p p p =--=∑=-=-∏ ()()1ln ln ln 1,n k k L p n p x n p =??
=?+-?-?? ???
??
∑ 令
()1ln 01n
k k x n
d L p n dp
p p
=-????????
=-=-∑,故1?.p X = 4.设总体X 的概率密度为
??
???>=--其他,0,1),;()(μ
θθμθμx e x f x
其中)0>θθμ(,为待估参数。设n X X X ,,,21 是来自X 的样本,求θμ,的矩估计量. 解: ()1
x x x E X x e
dx xe
e
dx μ
μμ
θ
θ
θ
μ
μ
μ
θ
+∞
----
-
-
+∞
+∞=
??=-+??.μθ=+
()2
2
2
1
2x x x E X
x e
dx x e
xe
dx
μ
μμ
θ
θ
θ
μ
μ
μ
θ
+∞
----
-
-+∞
+∞
=??=-+?
?
()222222.μθμθμμθθ=++=++
1
2
22
1???????22?A A A S X θμθμμθθμ?
==??+=?????++=???=-=??
5.设n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本,求下列总体的密度函数中未知参数的矩估计量:
(1) ?
??>=+-其他,0,)()1(c
x x c x f θθθ
其中0>c 为已知,θθ,1>为未知参数
(2)?????≤≤=-其他,
01
0,)(1x x x f θθ
解:(1) ()()111c
c
x E X x c x dx c θ
θθθθθθ
+∞
-+∞
-+=
=-?
1
c θ
θ=
-1,A = 故11,A A c
θ=
-从而 .X X c θ
=-
(2) (
)1
1
1
1
10
,E X x dx A =
=
==?
2
111A A θ??= ?-??
2
.1X X θ??= ?
-??
6.设总体X 的概率密度为
??
???>=--其他,00
,);(1x e x x f x α
λαλαλ
其中0>λ是未知参数,0>α是已知常数。试根据来自总体X 的样本n X X X ,,,21 ,求λ的极大似然估计量λ
?. 解:()1
1
1
1
1n
k k
k n
n
x x n
n
k
k k k L x
e
x e
αααλλαλλαλα=--?
-?-==∑??=
???=??? ?
??
∏∏
()()1
1
ln ln ln 1ln n
n
k k k k L n n x x α
λλααλ===?+?+-?-?????∑∑
令()1
ln 0n k k n L x αλλ='=-=????∑,得 1
11n k k x n αλ==?∑ 7.设总体X 的概率密度为
??
???<<-=其他,00),(6)(3θθθx x x
x f
n X X X ,,,21 是取自总体X 的简单随机样本
(1)求θ的矩估计量θ?;
(2)求θ?方差)?(θ
D 解:(1)()()3413230
062322x x x E X x x dx A θ
θ
θθθθ
θ??=
?-=-==?????
, 2X θ= (2) ()
()
()()
()22442D D X D X E X E X n
n θ
??==?=?-?
?
()()452223230
063632510x
x x E X x x dx θ
θ
θθθθθ??=?-=-=?????
, 故 ()
2.5D n θθ= 8.设总体X 的数学期望为μ,方差为2
σ,n X X X ,,,21 和m Y Y Y ,,,21 分别来自X 的样本,
证明:])()([211
212
2
∑∑==-+--+=m
i i n i i Y Y X X m n S 是2σ的无偏估计量.
证明:()()()222
1
112n
m
i i i i E S E X X Y Y n m ==????=-+-????
+-????∑∑
()()22
221112n m
i i i i E X X Y Y n m ==??=-+-??+-??
∑∑ ()()()()()()222222
1
12n i i i i E X E X E X E X E X E X n m =???=-+-+-???+-?∑ ()()()()()()222222
1m
i i i i E Y E Y E Y E Y E Y E Y =???+-+-+-????
∑ ()()()()22221112n m
i i i i D X D X D Y D Y n m μμμμ==??????=+--++--??????+-??
∑∑ ()()()()1112n m i i D X D X D X D X n m n m ==????????=-+-??????+-????????
∑∑()2
D X σ== 9. 设总体X 服从参数为θ的指数分布,概率密度为?????>=-其他,
00
,1);(x e x f x
θ
θθ,其中参数
0>θ为未知,由设n X X X ,,,21 是来自X 的样本,试证X 和)],,,[min(21n X X X n nZ =都是θ的无偏估计量.
证明:(1) ()
(),E X E X θ==故X 是θ的无偏估计量.
(2) i X 的分布函数为()0,
01,0
i i i x
X i i x F x e x θ-≤??
=??->?,故Z 的分布函数为 ()0,01,0nz
z G z e z θ-≤??
=??->?,故Z 的密度函数为()0,0,0nz z g z n e z θθ
-≤??=?>??, 故n Z E θ??
???
,故()E nz n n θθ=?=,故nZ 是θ的无偏估计量. 10.设总体X 服从正态分布),0(2
σN ,2
σ为未知参数, n X X X ,,,21 是来自X 的一个样
本.试证明∑=n i i X n 121是2
σ的有效估计量.
证明: (
)22
2,,x f x σσ-=
()()2
21ln ,ln 2ln 22x f x σπσσ=---????,
()2
31ln ,,x f x σσσσ?=-+???
?? ()22231ln ,X E f x E σσσσ???????????=-?????? ?????????????????? 4464221X X E σσσ??=-+ ??? ()()42642121E X E X σσσ
=-+, 其中, (
)22
44
423,x E X x dx σσ-
+∞
-∞
=
=?
()()()222,E X D X E X σ=+=
故()2
22ln ,,E f x σσσ???????=???????????????
故2*
.2D n σ= 而()()422
21111i i i i i i i D X E X E X n n ==????=- ??
???∑∑ ()()422
211i i E X E X n =??=-??∑
44
4
21
123i
i n
n σσσ=??=-=??∑. 故11i i i X n =∑不是2
σ的有效估计量. 11.对铁的熔点作5次试验,其结果为:1550 1540 1560 1530 1540 (单位:C
),假设熔点服从正态分布,在05.0=α下,求总体均值μ的置信区间.
解:2
σ未知时,
μ
的置信度为1α-的置信区间
为2(1)X n α??- ???
,其中, ()0.0255,4 2.7764,1544,10.198,n t x s ====故μ的置信度为95%的置信区间为
()154412.6623±,即()1531.3377,1556.6623.
12.某中疾病的存活时间)9,(~μN X ,现随机抽查16个患此疾病的患者,得到88.13=x ,求μ的置信度为95.0的置信区间.
解:2
σ已知时, μ的置信度为1α-
的置信区间为2X z α??±
??
?
, 其中, 0.02516, 1.96,3,13.88,n Z x σ====故
μ
的置信度为95%的置信区间为
()13.88 1.47±,即()12.41,15.35.
13.随机抽取500克包装的食盐16袋,称得重量(单位:克)如下: 506 508 499
503 510 504 512 497 514 493 505 502 496 506 509 496 ,设重量近似地服从正态分布,试求总体均值μ的置信度为95.0的置信区间.
解:2
σ未知时,
μ
的置信度为1α-的置信区间
为2(1)X n α??- ???
,其中, ()0.02516,15 2.1315,503.75, 6.0052,n t x s ====故μ的置信度为95%的置信区间为
()503.75 3.2±,即()500.55,506.95.
14.设5岁儿童的身高X 服从),(2σμN ,随机抽查12名儿童,得到09.02
=s ,求2
σ的置信区间()1.0=α
解:μ
未知时, 2
σ的置信度为1α-的置信区间为????
?
??
-----)
1()1(,)1()1(22122
2
2n s n n s n ααχχ, 其中, ()()2
220.050.9512,0.09,
1119.675,11 4.575,n s χχ====
故2
σ的置信度为90%的置信区间为()0.05,0.216.
15.测试一批液晶显示屏的响应时间(单位:毫秒)如下:9.2 8.6 10.3 6.5 8.8 9.4 11.4 10.5 8.2 7.8 6.9 ,假设响应时间服从),(2σμN ,2
,σμ未知, 试求: (1)μ的置信度为0.95的置信区间. (2)2
σ的置信度为0.95的置信区间. 解:(1)2
σ未知时,
μ
的置信度为1α-的置信区间
为2(1)X n α??±
- ???
,其中, ()0.0250.05,11,10 2.2281,8.8727, 1.5054,n t x s α=====故μ的置信度为
95%的置信区间为()7.8615,9.884.
(2) μ未知时, 2
σ的置信度为1α-的置信区间为????
?
??-----)1()1(,)1()1(22122
2
2n s n n s n αα
χχ, 其中, ()()22
220.0250.97512, 1.5054,
1020.483,10 3.247,n s χχ====
故2
σ的置信度为95%的置信区间为()1.1064,6.9795.
16.一只新的过滤器用来替换旧的过滤器安装在医院的空调上,以减少空气中的细菌数。分
设两样本分别来自总体Y X ,,且),(~
2σμX N X ,),(~2σμY N Y ,2,,σμμY X 均未知,两样本相互独立。求Y X μμ-的置信度为0.9的置信区间. 解:2212σσ=未知时, Y X μμ-的置信度为1α-的置信区间为
122(1)X Y t n n s α?-±+-? ?
,
其中, ()120.050.1,7,12 1.7823,12.3,11.6249, 2.5093,w n n t x y s α======= 故Y X μ
μ-的置信度为90%的置信区间为()1.7335,3.0477-.
17.为了比较甲乙两类试验田的收获量,随机抽取甲类试验田8块,乙类试验田10块,测得收获量如下(单位:kg )
甲类:12.6 10.2 11.7 12.3 11.1 10.5 10.6 12.2
乙类:8.6 7.9 9.3 10.7 11.2 11.4 9.8 9.5 10.1 8.5 假定这两类试验田的收获量都服从正态分布且方差相同,求均值差21μμ-的置信度为0.95的置信区间.
解:2212σσ=未知时, 12μμ-的置信度为1α-的置信区间为
122(1)X Y t n n s α?-±+-? ?
,其中, ()120.050.05,8,10,12 1.7823,11.4,9.7, 1.0712,w n n t x y s α=======
故Y X μμ-的置信度为95%的置信区间为()0.6228,2.7772.
18.为比较两个煤矿所产煤的质量,测得以下的发热量(单位:百万卡/吨) 煤矿A : 8330 8500 8480 8030 7960 煤矿B : 7710 7920 7890 8270 7860
设样本来自总体),(2
X X N σμ,),(2
Y Y N σμ,2
2
,,,Y X Y X σσμμ均未知,且两样本独立,试
求方差比2
2
Y
X σσ的置信区间()10.0=α. 解:12,μμ未知时, 2
2X Y
σσ的置信度为1α-的置信区间为
()()22
112212122212211,1,11,1S S F n n F n n S S αα-
?? ?
?? ?---- ???
,
其中, 22120.1,63450,42650,s s α===
()()()
120.050.950.051
5,4,4 6.39,4,40.1565,4,4n n F F F ====
=
故2
2X Y
σσ的置信度为90%的置信区间为()0.2328,9.5064.
19.研究由机器A 和机器B 生产的钢管的内径,随机抽取机器A 生产的管子18只,测得样
本方差)(34.0221mm s =;抽取机器B 生产的管子13只,测得样本方差)(29.022
2mm s =.
设两样本相互独立,且设由机器A 、机器B 生产的管子的内径分别服从正态分布),(2
11σμN ,
),(222σμN ,这里2
2
2121,,,σσμμ均未知,试求方差比2221σσ的置信度为0.90的置信区间.
解:12,μμ未知时, 2
122
σσ的置信度为1α-的置信区间为
()()22
112212122
212211,1,11,1S S F n n F n n S S αα-?? ?
?? ?---- ???
,
其中, 22120.1,0.34,0.29,s s α===
()()()
120.050.950.051
18,13,17,12 2.57,17,120.4202,17,12n n F F F ====
=
故2
122
σσ的置信度为90%的置信区间为()0.4562,1.0857.
20设从一大批产品中随机取出200个,测得一级品为120个,试以0.95为置信度求这批产品中一级品的概率p 的置信区间.
解:10.95,0.05,αα-==p 的置信度为1α-的置信区间为
n n
μ
? ± ?
, 其中
, 0.025120,200,
0.6,
0.0346,
1.96,n
n n Z n
μμ=====
故μ的置信度为95%的置信区间为()0.5322,0.6678.
21.经市场调查,800名被调查者中有420人喜欢无糖饮料,求喜欢无糖饮料的人的概率作
置信度为0.95的置信区间.
解:10.95,0.05,αα-==p 的置信度为1α-的置信区间为
n n
μ
? ± ?
, 其中,
0.025420,800,
0.525,
0.0177,
1.96,n
n n Z n
μμ=====
故μ的置信度为95%的置信区间为()0.5073,0.5402.
习题八
1.某手表厂生产的女表表壳,正常情况下,其直径(单位:mm )服从正态分布)1,20(N ,在某天的生产过程中抽查5只表壳,测得直径分别为19 19.5 19 20 20.5,问生产是否正常?(05.0=α)
解:设00:μμ=H ,01:μμ≠H
检验统计量n X n
X U 10
μσμ-=-=, 拒绝域????
??≥=2αz U W
05.0=α,9612
.=αz ,
6192050.,,===X n μ 检验值894405
120
619..-=-=
u
961.
2.正常人的脉搏平均为72次/分,现某医生测得10例慢乙基上铅中毒患者的脉搏(次/分)如下:
54 67 78 68 70 67 66 70 69 65
已知乙基四铅中毒者的脉搏服从正态分布,试问:乙基四铅中毒者和正常人的脉搏有无显著的差异?(05.0=α)
解:由题意设72720100≠=μμ::H H
2σ未知,取检验统计量n
S X T 0
μ-=
,当0H 为真时 ()1-n t T ~,
拒绝域()?
??
???-≥=12n t T W α 05.0=α,10
=n ()2622292
.=αt
467.=x ,720=μ 935.=s 检测值453210
93
572
467...-=-=
t ,26222.>t
W t ∈,拒绝0H ,接受1H ,即乙基四铅中毒者和正常人的脉搏有显著的差异。
3.检查一批保险丝,抽取10根,在通过强电流后熔化后需时间(秒)为:65 42 78 75 71 69 68 57 55 54,在05.0=α下,问(已知熔化时间服从),(2σμN )。 (1)能否认为这批保险丝的平均熔化时间少于65秒? (2)能否认为熔化时间的方差不超过80? 解:(1)656510<≥μμ::H H
取检验统计量n
S X T 0
μ-=
,当0H 为真时 ()1-n t T ~,
拒绝域(){}1--≤=n t T W α 05.0=α,10
=n ()833119050..=t
463..=x ,14711.=s 650=μ 检测值454010
147
1165
463...-=-=
t ,
83311.->t ,W t ?,接受0H
即在显著性水平050.=α下,不能认为这批保险丝的平均熔化时间少于65秒。
(2)由14711.=s ,设80802
120>≤σσ::H H
检验统计量()2
2
2
1σχS n -=
拒绝域(){}
12
2
-≥=
n W α
λχ
10050==n ,.α ()919161102
.=-α
χ 802
0=σ 检验值 979132.=χ,919162.<χ
W ?2χ,接受0H ,即在显著性水平050.=α下,能认为熔化时间的方差不超过80。 4.某种导线,要求其电阻的标准差不得超过Ω005.0,今在生产的一批导线中抽取样品9根,测得Ω=007.0S ,设总体为正态分布,问在水平05.0=α下能认为这批导线电阻的标准差显著地偏大吗?
解:由0070.=s ,设0050005010.:.:>≤σσH H
检验统计量()2
2
2
1σχS n -=
拒绝域(){}
12
2
-≥=
n W α
λχ
9050==n ,.α ()50715192
.=-α
χ 00500.=σ , 检验值 68152.=χ,507152.>χ
W ∈2χ,拒绝0H ,接受1H ,即在显著性水平050.=α下,能认为这批导线电阻的
标准差显著地偏大。
5.使用A(电学法)和B(混合法)两种方法来研究冰的潜热,样本都是C
72.0-的冰,下列数据是每克冰从C
72.0- 变为C
0水的过程中热量变化(卡/克)
A:79.78 80.04 80.02 80.04 80.03 80.04 79.97 80.05 80.03 80.02 80.00 8.02 B:80.02 79.94 79.97 79.98 80.03 79.95 79.97
假定用每种方法测得的数据都服从正态分布,并且它们的方差相等,试在05.0=α下检验
0H :两种方法的总体均值相等.
解:210μμ=
:H ,211μμ≠:H
取检验统计量2
111n n S Y X T +-=
?
,当0H 为真时 ()221-+n n t T ~,
拒绝域()?
??
???-+≥=2212n n t T W α
05.0=α,12
1=n 72=n ()1098227120250..=-+t
003
80.=x ,
0735
01.=s
98
79.=y ,
033702.=s ()()062402
11212
22211.=-+-+-=
n n s n s n s ω 检测值77507
1
1210624
0987900380....=+-=
t ,
10982. 即在显著性水平050.=α下,两种方法的总体均值相等。 6.为比较成年男女红细胞数的差别,检查正常男子36名,女子25名,测得男性的均值和方差分别为465.13和54.802 ,测得女性的均值和方差分别为 422.16和49.302 ,假设血液中红细胞数服从正态分布,问(05.0=α) (1)男女的红细胞数目的不均匀性是否一致?即问两正态总体的方差是否相同? (2)性别对红细胞数目有无影响? 解:(1)设2 2 2112 2 210σσσσ≠=::H H 检验统计量22 2 1S S F =,当0H 为真时 ()1121--n n F F ,~ 拒绝域()()1212 1221,11,1W F F F n n F F n n αα- ????=≤--≥--?????? ,或者 360501==n , .α25 2=n ()18 224350250.,.=F , ()() 483035241 2435025002501.,,..== -F F 2218054.=s 22 23049.=s 检测值 23561.=f , W f ?,接受0H ,在显著性水平050.=α下,2 2 21σσ=即男女的红细胞数目 的不均匀性是一致。 (2)若2 2 21σσ=,210μμ=:H ,211μμ≠:H 取检验统计量2 111n n S Y X T +-= ? ,当0H 为真时 ()221-+n n t T ~, 拒绝域()? ?? ???-+≥=2212n n t T W α 05.0=α,36 1=n ,252=n ,()9612253602500250...=≈-+z t 13 465.=x , 2 218054.=s 16 422.=y , 22 23049.=s ()()632522 11212 22211.=-+-+-= n n s n s n s ω 检验值136325 1361632 521642213465....=+-= t , 961.>t ,W t ∈,拒绝0H ,接受1H , 即在显著性水平050.=α下,性别对红细胞数目有影响。 7.有一大批产品,从中随机抽查50件,查出其中有31件是一级品,问是否可以认为这批产品的一级品率为65%(10.0=α)? 解:设 0100650p p H p p H ≠==:.: 检验统计量 ()n p p p X U 000 1--= , 当n 充分大时,()10, N U 近似 ~,50=n 故拒绝域? ??? ??≥=2αz U W 10.0=α, 6412 .=αz 62050 31 .== x U 的观察值44470.-=u , 641. 8.为了考察某公路上通过汽车辆数的规律,记录每15秒内通过汽车的辆数,统计工作持续 了50分钟,得频数分布如下表: 问15秒钟内通过汽车的辆数是否服从泊松分布?(05.0=α) 解:设{}λλ-= =e k k X P H k ! : 由极大似然估计 810.==Λ x λ 0H 为真时,则()()∑ =---=4 1 22 2 114i i i i nP nP f χχ~ ()991 522 050..=χ,拒绝域{} 991522.≥=χχW , 9915900..<,故接受0H ,即15秒钟内通过汽车的辆数服从泊松分布。 总习题八 1.某产品按规定每包重为10kg ,现从中抽取6包进行测量,得9.7 10.1 9.8 10.0 10.2 9.6 kg ,若包重服从正态分布),(2σμN ,且05.02 =σ,问在05.0=α下,包的平均重量 是否为10kg ? 解: 令01:10, :10.H H μμ=≠ 取检验统计量:X U = 对应的拒绝域为2|W U U Z α?? =≥???? , 其中,009.9, 10,6,x n μσ====故U 的观测值为 1.0954u =-, 0.025 1.96,Z =故{}| 1.96W U U =≥, 1.0954,u W =-?∴ 接受0H ,即在显著性水平0.05α=下,不能认为平均重量为10kg 。 2.正常人的脉搏平均为72次/min ,现某医生从铅中毒的患者中抽取10个人,测得其脉搏为:54 68 67 78 70 67 66 70 69 65次/min 。设脉搏服从正态分布 ),(2σμN ,问在水平05.0=α下,铅中毒患者与正常人的脉搏是否有显著性差异? 解: 令01:72, :72.H H μμ=≠ 取检验统计量:X T =对应的拒绝域为()2|1W T T t n α??=≥-????, 其中,067.4, 72, 5.9292,10,x s n μ====故T 的观测值为 2.4534t =-, ()0.0259 2.2622,t =故{}| 2.2622W T T =≥, 2.4534,t W =-?∴ 接受0H ,即在显著性水平0.05α=下,中毒者脉搏与正常人无显著 差异。 3.某灯泡的使用寿命不低于1000 h 为合格,现从一大批灯泡中随机抽出25只,测得 950=x h ,已知灯泡寿命)100,(~2μN X ,问在05.0=α下,能否认为这批灯泡合格? 解:由于9501000,x =< 故令01:1000,:1000.H H μμ≥< 取检验统计量:X U = 对应的拒绝域为{}|W U U Z α=≤-, 其中,00950, 1000,100,25,x n μσ====故U 的观测值为 2.5u =-, 0.05 1.65,Z =故{}| 1.65W U U =≥, 2.5,u W =-∈∴ 拒绝0H ,即在显著性水平0.1α=下,不能认为这批灯泡合格。 4.设某次考试的考生成绩服从正态分步,从中随机抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为5.66分,标准差为15分。问在显著性水平05.0下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程。 解: 设成绩() 2 ,,X N μσ 则2215,σ= 令01:70,:70.H H μμ=≠ 取检验统计量:X U = 对应的拒绝域为2|W U U Z α?? =≥???? , 其中,0066.5, 70,15,36,x n μσ====故U 的观测值为 1.4u =-, 0.025 1.96,Z =故{}| 1.96W U U =≥, 1.4,u W =-?∴ 接受0H ,即在显著性水平0.05α=下,可以认为平均成绩为70。 5.某元件的寿命服从方差22 40=σ )(2h 的正态分布,今从中随机抽取25只进行测量,得 222500h s =,问在05.0=α下,这批元件的波动性较以往有无显著变化? 解:设寿命() 2 ,,X N μσ 令222201:40, :40.H H σσ=≠ 取检验统计量:()22 2 1,n S χσ-=对应的拒绝域为 ()()22222 122|11W n n ααχχχχχ- ??=≤-≥-???? , 其中,2 22025,2500, 40,n s σ===故2χ的观测值为237.5χ=, ()()220.0250.9752439.3646,2412.401,χχ==故{}222|12040139.364W χχχ=≤≥ , 237.5,W χ=?∴ 接受0H ,即在显著性水平0.05α=下,波动性无明显改善。 6.任取10根保险丝作熔化试验,得60=x ,8.1202 =s ,设熔化时间服从正态分布 ),(2σμN ,在01.0=α下,试问熔化时间的方差是否大于100? 解:2120.8100,S => 令2201:100, :100.H H σσ≤> 取检验统计量:()22 2 1,n S χσ-=对应的拒绝域为 (){}222|1W n αχχχ=≥-, 其中,22010,120.8, 100,n s σ===故2χ的观测值为210.872χ=, ()20.01921.666,χ=故{}22|21.666W χχ=≥, 210.872W χ=?,接受0H ,即在显著性水平0.10α=下,波动性无明显改善。 7.A 、B 两台机床,生产相同型号的滚珠。从A 机床生产的滚珠中任取8个,从B 机床生产 的滚珠中任取9个,测量直径得数据如下(单位:mm ): A 机床:15.0 14.5 15.5 15.2 14.8 15.2 15.1 14.8 B 机床:15.2 14.8 15.0 15.2 15.0 14.8 15.0 15.1 14.8 假设滚珠直径服从正态分布。问在05.0=α下,两台机床生产的滚珠的直径是否可以认为具有同一分布? 解:设A 机床生产的滚珠直径() 211,,X N μσ B 机床生产的滚珠直径() 2 22,,Y N μσ (1) 令012112:,:.H H μμμμ=≠ 取检验统计量:X Y T = , 对应的拒绝域为()122 |2W T T t n n α????=≥+-????? ? ,其中, 22121215.0125,14.9889,0.0955,0.0261,0.2418,8,9, w x y s s s n n =======故T 的观测值为0.2009t =, ()0.02515 2.1315,t =故{}|201315W T T =≥, 0.2009t W =?,接受0H ,即在即两者均值相等。 (2) 令2 2 22012112:, :.H H σσσσ=≠ 取检验统计量:2 122 S F S =, 对应的拒绝域为()()1221221|1,1,1,1W F F F n n F F n n αα?? ?? =≥--≤??--? ??? ,其中, 22120.0955,0.0261,s s ==故F 的观测值为 3.659f =, ()()() 0.0250.9750.02511 7,8 4.53,7,80.2041,8,7 4.9 F F F == = = 故{}| 4.53,0.2041,W T F F =≥≤ 3.659f W =?,接受0H , 即在即两者方差相等,所以,在显著性水平0.10α=下,可以认为两者服从同一分布。 8.设有两个来自不同正态总体的样本,5,421==n n ,25.2,60.021==x x ,07.1521=s , 81.1022=s ,在05.0=α下,试检验两个样本是否来自于相同方差的正态总体? 解:设两个方差分别为2212,,σσ 令2222012112:, :.H H σσσσ=≠ 取检验统计量:2 122 S F S =,对应的拒绝域为 ()()1221221|1,1,1,1W F F F n n F F n n αα?? ?? =≥--≤??--? ??? ,其中, 221215.07,10.81,s s ==故F 的观测值为 1.3941f =, ()()() 0.0250.9750.02511 3,49.98,3,40.0662,4,315.1 F F F == = = 故{}|9.98,0.0662,W T F F =≥≤ 1.3941f W =?,接受0H ,即两个样本是来自于相同方差的正态总体。 习题九 1.调查十家百货商店,每人月平均销售额和利润率的资料如下 计算相关系数,并说明人均销售额和利润率之间相关的方向和相关的密切程度。 解:设i x 表示第i 个商店每人月平均销售额,相应的利润率为i y ()1021,,, =i 5010 1 =∑=i i x ,,294101 2 =∑=i i x 9654101 .=∑=i i i y x ,8110101 .=∑=i i y ,10146510 1 2==∑=n y i i , 2 10110 121???? ??-=∑∑==i i i i xx x n x L 2 10110 12 1??? ? ??-=∑∑==i i i i yy y n y L ???? ?????? ??-=∑∑∑===10110110 1 1i i i i i i i xy y x n y x L 9870.==yy xx xy L L L r 所以人均销售额和利润率之间正相关且高度线性相关。 2.某工业公司为了调查某种产品的月产量和生产费用之间的相关关系,随机调查公司下属八家企业,调查资料如下 试计算月产量和生产费用之间的相关系数,并说明它们相关的方向和密切程度。 解:设i x 和i y 分别表示月产量和生产费用, ·1· 习 题 一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点: (1)掷一颗骰子,记录出现的点数. A =‘出现奇数点’; (2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’,B =‘第一次的点数,比第二次的点数大2’; (3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,A =‘球的最小号码为1’; (4)将,a b 两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,A =‘甲盒中至少有一球’; (5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量,A =‘通过汽车不足5台’,B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 (1)123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L , 135{,,}A e e e =。 (2){(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}; {(4,6),(5,5),(6,4)}A =; {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 ( 3 ) {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = ( 4 ) {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---,其中‘-’表示空盒; {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 (5){0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2.设,,A B C 是随机试验E 的三个事件,试用,,A B C 表示下列事件: ---------------------------------------- 说明:本试卷总计100分,全试卷共 5 页,完成答卷时间2小时。 ---------------------------------------- 一、填空题(本大题共8小题,每题4分,共32分) 1、随机事件A 、B 互不相容,且A =B ;则()P A = 2、已知,10/1)/(,5/1)(,5/2)(===B A P B P A P 则=+)(B A P 3、同时掷三枚均匀硬币,则恰有两枚正面向上的概率为 。 4、若随机变量)2.0,20(~B X ,则X 的最可能值是 。 5、若n X X X ,...,,21为来自泊松分布)(λP 的一个样本,2,S X 分别为样本均值和样本方差,则 =)(X E ,=)(2S E 。 6、样本0,5,10,-3样本均数为 ,样本方差为 。 7、2σ已知时检验假设0100:;:μμμμ≠=H H ,应构造统计量为 ,拒绝域为 。 8、考查4个3水平的因子A,B,C,D 及其交互作用A ×B 与A ×C ,则做正交实验设计时,可选用的行数最少的正交表为 。 二、单项选择题(本大题共8小题,每题4分,共32分) 1、设随机事件A 、B 互不相容,且()0,()0,P A P B >>则下列结论只有( ) 成立。 A 、A 、 B 是对立事件; B 、A 、B 互不相容; C 、A 、B 不独立; D 、 A 、 B 相互独立。 2、射击三次,事件i A 表示第i 次命中目标(i =1,2,3),下列说法正确的是( )。 A 、321A A A 表示三次都没击中目标; B 、313221A A A A A A ++表示恰有两次击中目标; C 、313221A A A A A A ++表示至多一次没击中目标;D 、321A A A 表示至少有一次没击中目标。 3、随机变量),(~2σμN X ,则随着σ的减小,)|(|σμ<-X P 应( )。 A 、单调增大; B 、单调减少; C 、保持不变; D 、增减不能确定 2.设A,B,C为三个事件,试用A,B,C的运算关系式表示下列事件: (1)A发生,B,C都不发生; (2)A与B发生,C不发生; (3)A,B,C都发生; (4)A,B,C至少有一个发生; (5)A,B,C都不发生; (6)A,B,C不都发生; (7)A,B,C至多有2个发生; (8)A,B,C至少有2个发生. 【解】(1)A BC(2)AB C(3)ABC (4)A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC (5) ABC=A B C (6) ABC (7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC 3. 略.见教材习题参考答案 4.设A,B为随机事件,且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P(AB). 【解】P(AB)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A,B是两事件,且P(A)=0.6,P(B)=0.7,求: (1)在什么条件下P(AB)取到最大值? (2)在什么条件下P(AB)取到最小值? 【解】(1)当AB=A时,P(AB)取到最大值为0.6. (2)当A∪B=Ω时,P(AB)取到最小值为0.3. 6.设A,B,C为三事件,且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC) =0, P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件发生的概率. 【解】P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) =1 4 + 1 4 + 1 3 - 1 12 = 3 4 7. 从52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃,3张红心,3张方块,2 张梅花的概率是多少? 【解】p=533213 1313131352 C C C C/C 数理统计 一、填空题 1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样,如果),,(21n X X X g , 则称),,(21n X X X g 为统计量。不含任何未知参数 2、设母体 ),,(~2 N X 已知,则在求均值 的区间估计时,使用的随机变量为 n X 3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布,根据来自母体的容量为100的子样,测得子样均值为5,则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 025.010 1 5u 4、假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生 5、某产品以往废品率不高于5%,今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%, 此问题的原假设为 。 0H :05.0 p 6、某地区的年降雨量),(~2 N X ,现对其年降雨量连续进行5次观察,得数据为: (单位:mm) 587 672 701 640 650 ,则2 的矩估计值为 。 1430.8 7、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N , 2 *2 2*1,S S 分别是两个子样的方差,令2*2222*121)(,S b a aS ,已知)4(~),20(~22 2221 ,则__________, b a 。 用 )1(~)1(22 2 * n S n ,1,5 b a 8、假设随机变量)(~n t X ,则 2 1 X 服从分布 。)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 X P ,则____ 。 用),1(~2 n F X 得),1(95.0n F 数理统计考试试卷 一、填空题(本题15分,每题3分) 1、总体得容量分别为10,15得两独立样本均值差________; 2、设为取自总体得一个样本,若已知,则=________; 3、设总体,若与均未知,为样本容量,总体均值得置信水平为得置信区间为,则得值为________; 4、设为取自总体得一个样本,对于给定得显著性水平,已知关于检验得拒绝域为2≤,则相应得 备择假设为________; 5、设总体,已知,在显著性水平0、05下,检验假设,,拒绝域就是________。 1、; 2、0、01; 3、; 4、; 5、。 二、选择题(本题15分,每题3分) 1、设就是取自总体得一个样本,就是未知参数,以下函数就是统计量得为( )。 (A) (B) (C) (D) 2、设为取自总体得样本,为样本均值,,则服从自由度为得分布得统计量为( )。 (A) (B) (C) (D) 3、设就是来自总体得样本,存在, , 则( )。 (A)就是得矩估计(B)就是得极大似然估计 (C)就是得无偏估计与相合估计(D)作为得估计其优良性与分布有关 4、设总体相互独立,样本容量分别为,样本方差分别为,在显著性水平下,检验得拒绝域为( )。 (A) (B) (C) (D) 5、设总体,已知,未知,就是来自总体得样本观察值,已知得置信水平为0、95得置信区间为(4、71,5、69),则取显著性水平时,检验假设得结果就是( )。 (A)不能确定(B)接受(C)拒绝(D)条件不足无法检验 1、B; 2、D; 3、C; 4、A; 5、B、 三、(本题14分) 设随机变量X得概率密度为:,其中未知 参数,就是来自得样本,求(1)得矩估计;(2)得极大似然估计。 解:(1) , 令,得为参数得矩估计量。 (2)似然函数为:, 而就是得单调减少函数,所以得极大似然估计量为。 四、(本题14分)设总体,且就是样本观察值,样本方差, 创作编号: GB8878185555334563BT9125XW 创作者: 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题(每空3分,共45分) 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学,求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率: ;没有任何人的生日在同一个月份的概率 ; 4、已知随机变量X 的密度函数为:, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? =≤?≥? , 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率 {0.51}P X -<<= ; 5、设随机变量X~ B(2,p)、Y~ B(1,p),若{1}5/9P X ≥=,则p = ,若X 与Y 独立,则Z=max(X,Y)的分布律: ; 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与 Y 相互独立,则 D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ; 7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本,则当k = 时, ~(3)Y t = ; 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数,12,,,n X X X 为其样本, 1 1n i i X X n ==∑为样本均值,则θ的矩估计量为: 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ,计算得样本观察值10x =, 求参数a 的置信度为95%的置信区间: ; 二、 计算题(35分) 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为: 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求:1){|21|2}P X -<;2)2 Y X =的密度函数()Y y ?;3)(21)E X -; 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<=? ?其他 1) 求边缘密度函数(),()X Y x y ??; 2) 问X 与Y 是否独立?是否相关? 3) 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ?; 3、(11分)设总体X 的概率密度函数为: 1, 0(),000 x e x x x θ?θθ -?≥?=>?? X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。 1)求参数θ的极大似然估计量?θ ; 2)验证估计量?θ 是否是参数θ的无偏估计量。 2.(10分)环境保护条例,在排放的工业废水中,某有害物质不得超过0.5‰,假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样,测定该有害物质含量,得如下数据: 0.530‰,0.542‰,0.510‰,0.495‰,0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)? 第一章:统计量及其分布 19.设母体ξ服从正态分布N (),,2 σμξ 和2 n S 分别为子样均值和子样方差,又设 ()21,~σμξN n +且与n ξξξ,,,21 独立, 试求统计量 1 1 1+--+n n S n n ξ ξ的抽样分布. 解: 因为ξξ-+1n 服从??? ??+21, 0σn n N 分布. 所以 ()1,0~12 1N n n n σξ ξ+-+ 而 ()1~22 2 -n nS n χσ 且2 n S 与ξξ-+1n 独立,, 所以 ()1~1111--÷+--+n t S n n n n S n n n σ ξ ξ分布. 即 1 1 1+--+n n S n n ε ε服从()1-n t 分布. 20. (),,,1,,n i i i =ηξ是取自二元正态分布 N () ρσσ μμ2 2212 1 ,,,的子样,设 ()∑∑∑===-===n i i i n i n i i n S n n 12 111, 1,1ξξηηξξξ 2 ,()2 1 21∑=-=n i i n S ηηη和 ()() () ()∑∑∑===----= n i i n i i i n i i r 1 2 21 1 ηηξξ ηηξξ 试求统计量 () 122 2 21--+---n S rS S S η ξηξμμηξ的分布. 解: 由于() .21μμηξ-=-E ()() = -+=-ηξηξηξ,c o v 2D D D n n n n 2 12 22 12σσρ σσ-+ . 所以 ()() n 2 12 22 121 2σρσσσμμ ηξ-+---服从()1,0N 分布 . () ()()()() ()()[] 2 1 1 2 1 2 1 212 22 122ηξηξ ηηξξηηξξ---=----+-=-+∑ ∑∑∑====i i n i i i n i i n i i n i S rS S S n 100 11 ==∑ =n i i x n x 34 11222 =-=∑ =n i i x x n s 第一章 1.在五块条件基本相同的田地上种植某种作物,亩产量分别为92,94,103,105,106(单位:斤),求子样平均数和子样方差。 解: 2.从母体中抽取容量为60的子样,它的频数分布 求子样平均数与子样方差,并求子样标准差。 解: 411 *==∑=l i i i x m n x 67.181122*2 =-=∑=l i i i x x m n s 32.467.18==s 3.子样平均数和子样方差的简化计算如下:设子样值n x x x ,,,21?的平均数为x 和方差 为2x ε。作变换c a x y i i -= ,得到n y y y ,,,21?,它的平均数为y 和方差为2 y s 。试证:222 ,y x s c s y c a x =+=。 解:由变换c a x y i i -= ,即i i cy a x += ()y cn na x n cy a x n i i n i i +=+=∑∑==,1 1 y c a x +=∴ 而()() () ∑∑∑====-= --+=-=n i y i n i i n i i x s c y y n c y c a cy a n x x n s 1 222 2 1212211 4.对某种混凝土的抗压强度进行研究,得到它的子样的下列观测数据(单位:磅/英寸2): 1939, 1697, 3030, 2424, 2020, 2909, 1815, 2020, 2310 采用下面简化计算法计算子样平均数和方差。先作变换2000-=i i x y ,再计算y 与2y s ,然 后利用第3题中的公式获得x 和2x s 的数值。 解:作变换2000-=i i x y ,2000=a 44.24021649 1 11=?==∑=n i i y n y 444.2240=+=y a x 247.1970321122 22=-==∑=n i i y x y y n s s 5.在冰的溶解热研究中,测量从℃72.0-的冰变成0℃的水所需热量,取13块冰分别作试验得到热量数据如下: 79.98, 80.04, 80.02, 80.04, 80.03, 80.03, 80.04, 79.97, 80.05, 80.03, 80.02, 80.00, 80.02 试用变换()80100-=i i x y 简化计算法计算子样平均数和子样方差。 解:作变换()80100-=i i x y ,1001,80==c a 229131 11=?==∑=n i i y n y 02.80100280=+=+=y c a x 41 2 2 2222103.5-=?=-= =∑n i i y x y y n c s c s 6.容量为10的子样频数分布为 试用变换()2710-=i i x y 作简化计算,求x 与2 x s 的数值。 解:作变换()2710-=i i x y ,10/1,27==c a ()5.11510 1 11*-=-?==∑=l i i i y m n y 学习好资料 第一套试卷及参考答案 一、选择题 ( 40 分) 1、根据某医院对急性白血病患者构成调查所获得的资料应绘制 ( B ) A 条图B 百分 条图或圆图C 线图D 直方图 2、均数和标准差可全面描述D 资料的特征 A 所有分布形式E负偏态分布C正偏态分布D正态分布和近似正态分布 3、要评价某市一名5岁男孩的身高是否偏高或偏矮,其统计方法是( A ) A 用该市五岁男孩的身高的95%或99%正常值范围来评价 B 用身高差别的假设检 验来评价 C 用身高均数的95%或99%的可信区间来评价 D 不能作评价 4、比较身高与体重两组数据变异大小宜采用( A ) A 变异系数 B 方差 C 标准差 D 四分位间距 5、产生均数有抽样误差的根本原因是( A ) A. 个体差异 B. 群体差异 C. 样本均数不同 D. 总体均数不同 6、男性吸烟率是女性的10 倍,该指标为( A ) (A)相对比(B)构成比(C)定基比(D )率 7、统计推断的内容为( D ) A.用样本指标估计相应的总体指标 B.检验统计上的“检验假设” C. A和B均不是 D. A和B均是 8、两样本均数比较用t 检验,其目的是检验( C ) A两样本均数是否不同B两总体均数是否不同 C 两个总体均数是否相同 D 两个样本均数是否相同 9、有两个独立随机的样本,样本含量分别为n i和住,在进行成组设计资料的t 检 验时,自由度是( D ) (A) n i+ n2 (B) n i+ n2 - C) n1+ n2 +1 D) n1+ n2 -2 10、标准误反映( A ) A 抽样误差的大小 B 总体参数的波动大小 C 重复实验准确度的高低 D 数据的离散程度 11、最小二乘法是指各实测点到回归直线的(C) A垂直距离的平方和最小E垂直距离最小 C纵向距离的平方和最小D纵向距离最小 12、对含有两个随机变量的同一批资料, 既作直线回归分析, 又作直线相关分析。 令对相关系数检验的t值为t r,对回归系数检验的t值为t b, 二者之间具有什么关系?( C) A t r >t b B t r 习题五 1 试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异?(=0.05) 解 根据问题,因素A 表示日期,试验指标为钢锭重量,水平为5. 假设样本观测值(1,2,3,4)ij y j =来源于正态总体2 ~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= . 检验的问题:01251:,:i H H μμμμ===不全相等 . 计算结果: 表5.1 单因素方差分析表 ‘*’ . 查表0.95(4,15) 3.06F =,因为0.953.9496(4,15)F F =>,或p = 0.02199<0.05, 所以拒绝0H ,认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异. 2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响,在四种不同催化剂下分别做试验 试检验在四种不同催化剂下平均得率有无显著差异?(=0.05) 解 根据问题,设因素A 表示催化剂,试验指标为化工产品的得率,水平为4 . 假设样本观测值(1,2,...,)ij i y j n =来源于正态总体2 ~(,),1,2,...,5i i Y N i μσ= .其中 样本容量不等,i n 分别取值为6,5,3,4 . 检验的问题:012341:,:i H H μμμμμ===不全相等 . 计算结果: 表5.2 单因素方差分析表 查表0.95(3,14) 3.34F =,因为0.952.4264(3,14)F F =<,或p = 0.1089 > 0.05, 所以接受0H ,认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异 . 3 试验某种钢的冲击值(kg ×m/cm2),影响该指标的因素有两个,一是含铜量A , 试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异?(=0.05) 解 根据问题,这是一个双因素无重复试验的问题,不考虑交互作用. 设因素,A B 分别表示为含铜量和温度,试验指标为钢的冲击力,水平为12. 假设样本观测值(1,2,3,1,2,3,4)ij y i j ==来源于正态总体2 ~(,),1,2,3,ij ij Y N i μσ= 1,2,3,4j = .记i α?为对应于i A 的主效应;记j β?为对应于j B 的主效应; 检验的问题:(1)10:i H α?全部等于零,11 :i H α?不全等于零; (2)20:j H β?全部等于零,21:j H β?不全等于零; 计算结果: 表5.3 双因素无重复试验的方差分析表 查表0.95(2,6) 5.143F =,0.95(3,6) 4.757F =,显然计算值,A B F F 分别大于查表值, 或p = 0.0005,0.0009 均显著小于0.05,所以拒绝1020,H H ,认为含铜量和试验温度都会对钢的冲击值产生显著影响作用. 4 下面记录了三位操作工分别在四台不同的机器上操作三天的日产量: 概率论与数理统计 答案 一.1.(D )、2.(D )、3.(A )、4.(C )、5.(C ) 二.1.0.85、2. n =5、3. 2 ()E ξ=29、4. 0.94、5. 3/4 三.把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分 (1)A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故 P (A )=5/625=1/125------------------------------------------------------5 分 (2) 5个盒子中选一个放两个球,再选两个各放一球有 302415=C C 种方法----------------------------------------------------7 分 4个球中取2个放在一个盒子里,其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此,B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故 125 72625360)(== B P --------------------------------------------------10分 四.解:(1) ?? ∞∞-==+=3 04ln 1,4ln 1)(A A dx x A dx x f ---------------------3分 (2)? ==+=<10 212ln 1)1(A dx x A P ξ-------------------------------6分 (3)3 300()()[ln(1)]1Ax E xf x dx dx A x x x ξ∞-∞= ==-++?? 13(3ln 4)1ln 4ln 4 =-=-------------------------------------10分 五.解:(1)ξ的边缘分布为 ??? ? ??29.032.039.02 1 0--------------------------------2分 η的边缘分布为 ??? ? ??28.034.023.015.05 4 2 1---------------------------4分 因)1()0(05.0)1,0(==≠===ηξηξP P P ,故ξ与η不相互独立-------5分 (2)ξη?的分布列为 概率论与数理统计复习题(1) 一. 填空. 1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。若A 与B 独立,则=-)(B A P ;若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0,则=-)(B A P 。 2.)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ,则=)(B P 。 3.设),(~2σμN X ,且3.0}42{ },2{}2{=<<≥= 长度愈 愈好。但当增大置信水平时,则相应的置信区间长度总是 。 二.假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处,当任一河流泛滥时,该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1;乙河流泛滥的概率为0.2;当甲河流泛滥时,乙河流泛滥的概率为0.3,试求: (1)该时期内这个地区遭受水灾的概率; (2)当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。 三.高射炮向敌机发射三发炮弹(每弹击中与否相互独立),每发炮弹击中敌机的概率均为0.3,又知若敌机中一弹,其坠毁的概率是0.2,若敌机中两弹,其坠毁的概率是0.6,若敌机中三弹则必坠毁。(1)求敌机被击落的概率;(2)若敌机被击落,求它中两弹的概率。 四. X 的概率密度为? ??<<=其它 ,0,0 ,)(c x kx x f 且E(X)=32。(1)求常数k 和c ;(2) 求X 的分布函数F(x); 五. (X,Y )的概率密度 ???<<<<+=otherwise ,02 0,42 ),2(),(y x y kx y x f 。求 (1)常数k ;(2) X 与Y 是否独立;(3)XY ρ; 六..设X ,Y 独立,下表列出了二维随机向量(X ,Y )的分布,边缘分布的部分概率,试 将其余概率值填入表中空白处. 概率论与数理统计B 一.单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设事件A 和B 的概率为12 () ,()23 P A P B == 则()P AB 可能为() (A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6 2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为() (A) 12 ; (B) 225; (C) 425 ; (D)以上都不对 3.投掷两个均匀的骰子,已知点数之和是偶数,则点数之和为6的概率为( ) (A) 518; (B) 13; (C) 1 2 ; (D)以上都不对 4.某一随机变量的分布函数为()3x x a be F x e += +,(a=0,b=1)则F (0)的值为( ) (A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对 5.一口袋中有3个红球和2个白球,某人从该口袋中随机摸出一球,摸得红球得5分,摸得白球得2分,则他所得分数的数学期望为( ) (A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对 二.填空题(每小题3分,共15分) 1.设A 、B 是相互独立的随机事件,P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B = . 2.设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξ ξξ==,则n =______. 3.随机变量ξ的期望为() 5E ξ=,标准差为()2σξ=,则2()E ξ=_______. 4.甲、乙两射手射击一个目标,他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击,若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的,则目标被射中的概率为_________. 5.设连续型随机变量ξ的概率分布密度为 2 ()22 a f x x x = ++,a 为常数,则P (ξ≥0)=_______. 三.(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里,求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 四.(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为 , 03()10, x<0x>3 A x f x x ?? =+???当≤≤当或 (1) 求常数A ; (2) 求P (ξ<1); (3) 求ξ的数学期望. 五.(本题10分) 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次,事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解:{=Ω(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)} {=A (正,正),(正,反)};{=B (正,正),(反,反)} {=C (正,正),(正,反),(反,正)} 2. 在掷两颗骰子的试验中,事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”,“点数之和小于5”,“点数相等”,“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解:{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω; {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ; {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ; Φ=C A ;{})2,2(),1,1(=BC ; {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件: (1)只订阅日报; (2)只订日报和晚报; (3)只订一种报; (4)正好订两种报; (5)至少订阅一种报; (6)不订阅任何报; (7)至多订阅一种报; (8)三种报纸都订阅; (9)三种报纸不全订阅。 解:(1)C B A ; (2)C AB ; (3)C B A C B A C B A ++; (4)BC A C B A C AB ++; (5)C B A ++; (6)C B A ; (7)C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ (8)ABC ; (9)C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次,事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果:2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解:甲未击中;乙和丙至少一人击中;甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中;甲和乙都未击中;甲和乙击中而丙未击中;甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ,试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和:C B A ++,C AB +,AC B -. 解:如图: ) 数理统计 一、填空题 1、设n X X X ,,21为母体X 的一个子样,如果),,(21n X X X g , 则称),,(21n X X X g 为统计量。不含任何未知参数 2、设母体σσμ),,(~2 N X 已知,则在求均值μ的区间估计时,使用的随机变量为 n X σ μ - 3、设母体X 服从修正方差为1的正态分布,根据来自母体的容量为100的子样,测得子样均值为5,则X 的数学期望的置信水平为95%的置信区间为 。 025.010 1 5u ?± ; 4、假设检验的统计思想是 。 小概率事件在一次试验中不会发生 5、某产品以往废品率不高于5%,今抽取一个子样检验这批产品废品率是否高于5%, 此问题的原假设为 。 0H :05.0≤p 6、某地区的年降雨量),(~2 σμN X ,现对其年降雨量连续进行5次观察,得数据为: (单位:mm) 587 672 701 640 650 ,则2 σ的矩估计值为 。 ~ 7、设两个相互独立的子样2121,,,X X X 与51,,Y Y 分别取自正态母体)2,1(2 N 与 )1,2(N , 2 *2 2*1,S S 分别是两个子样的方差,令2*2222*121)(,S b a aS +==χχ,已知)4(~),20(~22 2221χχχχ,则__________,==b a 。 用 )1(~)1(22 2 *--n S n χσ,1,5-==b a 8、假设随机变量)(~n t X ,则 21 X 服从分布 。)1,(n F 9、假设随机变量),10(~t X 已知05.0)(2 =≤λX P ,则____=λ 。 用),1(~2 n F X 得),1(95.0n F =λ 10、设子样1621,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N , X 为子样均值,而 01.0)(=>λX P , 则____=λ 01.04)1,0(~1z N n X =?λ 11、假设子样1621,,,X X X 来自正态母体),(2 σμN ,令∑∑==-=16 11 10 1 43i i i i X X Y ,则Y 的 分布 )170,10(2 σμN % 12、设子样1021,,,X X X 来自标准正态分布母体)1,0(N ,X 与2 S 分别是子样均值和子 样方差,令2*2 10S X Y =,若已知01.0)(=≥λY P ,则____=λ 。)9,1(01.0F =λ 13、如果,?1θ2?θ都是母体未知参数θ的估计量,称1?θ比2?θ有效,则满足 。 )?()?(2 1θθD D < 14、假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2σμN ,∑-=+-=1 1 2 12 )(?n i i i X X C σ 是2σ的一个无偏估计量,则_______=C 。 ) 1(21 -n 15、假设子样921,,,X X X 来自正态母体)81.0,(μN ,测得子样均值5=x ,则μ的置信度是95.0的置信区间为 。025.03 9 .05u ?± 16、假设子样10021,,,X X X 来自正态母体),(2 σμN ,μ与2 σ未知,测得子样均值 5=x ,子样方差12=s ,则μ的置信度是95.0的置信区间为 。 025.0025.0025.0)99(),99(10 1 5z t t ≈?± 17、假设子样n X X X ,,,21 来自正态母体),(2 σμN , μ与2σ未知,计算得 一.选择题(18分,每题3分) 1. 如果 1)()(>+B P A P ,则 事件A 与B 必定 ( ) )(A 独立; )(B 不独立; )(C 相容; )(D 不相容. 2. 已知人的血型为 O 、A 、B 、AB 的概率分别是; ;;。现任选4人,则4人血 型全不相同的概率为: ( ) )(A ; )(B 40024.0; )(C 0. 24; )(D 224.0. 3. 设~),(Y X ???<+=., 0, 1,/1),(22他其y x y x f π 则X 与Y 为 ( ) )(A 独立同分布的随机变量; )(B 独立不同分布的随机变量; )(C 不独立同分布的随机变量; )(D 不独立也不同分布的随机变量. 4. 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为. 则射击次数的数 学期望与方差分别为 ( ) 、 )(A 4934与; )(B 16934与; )(C 4941与; (D) 9434与. 5. 设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本,以下μ的四个估计量中最有效的是( ) )(A 32112110351?X X X ++=μ ; )(B 32129 4 9231?X X X ++=μ ; )(C 321321 6131?X X X ++=μ ; )(D 32141254131?X X X ++=μ. 6. 检验假设222201:10,:10H H σσ≤>时,取统计量)(~10 )(22 2 12n X i n i χμχ-= ∑=,其 拒域为(1.0=α) ( ) )(A )(21.02n χχ≤;)(B )(21.02n χχ≥;)(C )(205.02n χχ≤;)(D )(2 05.02n χχ≥. 二. 填空题(15分,每题3分) 1. 已知事件A ,B 有概率4.0)(=A P ,5.0)(=B P ,条件概率3.0)|(=A B P ,则 =?)(B A P . 2. 设随机变量X 的分布律为??? ? ??-+c b a 4.01.02.043 21 ,则常数c b a ,,应满足的条件 ) 为 . 3. 已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ,试用),(y x F 表示概率 数理统计汪荣鑫版习题答案 数理统计习题答案 第一章 1.解: () () ()()()()()122 5 2 1122222 19294103105106100 5 11100519210094100103100105100106100534 n i i n i i i i X x n S x x x n ===++++====-=-?? =-+-+-+-+-? ?=∑∑∑ 2. 解:子样平均数 * 1 1l i i i X m x n ==∑ ()1 18340610262604= ?+?+?+?= 子样方差 ( )2 2 *1 1l i i i S m x x n ==-∑ ()()()()2222 18144034106422646018.67?? = ?-+?-+?-+?-? ?= 子样标准差 4.32 S = 3. 解:因为 i i x a y c -= 所以 i i x a cy =+ 1 1n i i x x n ==∑ ()1 111n i i n i i a cy n na cy n ===+??=+ ??? ∑∑ 1 n i i c a y n a c y ==+ =+∑ 所以 x a c y =+ 成 立 ( )2 2 1 1n x i i s x x n ==-∑ () ( ) () 2 2 12 21 11n i i i n i i n i i a cy a c y n cy c y n c y y n ====+--=-=-∑∑∑ 因为 ()2 2 1 1n y i i s y y n ==-∑ 所以 222x y s c s = 成 立 ()()()()()17218120 3.2147.211.2 e n n e n M X X R X X M X X +?? ??? ??+ ??? ====-=--====4. 解:变换 2000 i i y x =- 1 1n i i y y n ==∑()61303103042420909185203109240.444 =--++++-++= ( )2 2 1 1n y i i s y y n ==-∑ ()()()()()()()()()222 2 2 2 222 161240.444303240.4441030240.4449 424240.44420240.444909240.444185240.44420240.444310240.444197032.247 =--+--+-+??-+-+-+ ?--+-+-? = 利用3题的结果可知 2220002240.444 197032.247 x y x y s s =+=== 5. 解:变换 () 10080i i y x =- 13 11 1113n i i i i y y y n ====∑∑ []1 2424334353202132.00= -++++++-+++++= 考试时间 120 分钟 班级 姓名 学号 一. 填空题(每题3分,共24分) 1.设 A 、B 为随机事件,P (A)=0.5,P(B)=0.6, P(B A)=0.8.则P(B )A U . 2. 三人独立的破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为1/5、1/4、1/3,此密码能被译出的概率是= . 3. 设随机变量2 (,)X μσN :,X Y e =,则Y 的分布密度函数为 . 4. 设随机变量2(,)X μσN :,且二次方程2 40y y X ++=无实根的概率等于, 则μ= . 5. 设()16,()25D X D Y ==, 0.3 X Y ρ=,则 ()D X Y += . 6. 掷硬币n 次,正面出现次数的数学期望为 . 7. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量,其期望是1两,标准差是两. 则100个该型号螺丝钉重量不超过斤的概率近似为 (答案用标准正态分布函数表示). 8. 设125,,X X X L 是来自总体(0,1)X N :的简单随机样本,统计量 12()/~()C X X t n +,则常数C = ,自由度n = . 二 计算题 1.(10分)设袋中有m 只正品硬币,n 只次品硬币(次品硬币的两面均有国徽),从袋中任取一只硬币,将它投掷r 次,已知每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率是多少? 2.(10分)设顾客在某银行窗口等待服务的时间(以分计)X 服从指数分布,其概率密度函数为 /5 (1/5)0 ()0 x e x f x -?>=? ?其它 某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟,他就离开. 他一个月到银行5次.以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,写出Y 的分布律,并求{1}P Y ≥. 3.(10分)设二维随机变量(,)X Y 在边长为a 的正方形内服从均匀分布,该正方形的对角线为坐标轴,求: (1) 求随机变量X ,Y 的边缘概率密度; (2) 求条件概率密度|(|)X Y f x y . . 4.(10分)某型号电子管寿命(以小时计)近似地服从 2(160,20)N 分布,随机的选取四只,求其中没有一只寿 命小于180小时的概率(答案用标准正态分布函数表示).(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
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