广义四元数群和同阶二面体群的常特征标表
2008年第29卷第1期中北大学学报(自然科学版)V o l.29 N o.1 2008 (总第117期)JOURNAL OF NORTH UN IVERSIT Y OF CH INA(NATURAL SC IENCE ED ITI ON)(Sum N o.117)
文章编号:167323193(2008)0120001203
广义四元数群和同阶二面体群的常特征标表Ξ
闫春苗1,李丽萍2,姬小龙3
(1.中北大学理学院,山西太原030051;2.太原科技大学数学系,山西太原030026;
3.济源职业技术学院基础部,河南济源454650)
摘 要: 考虑到四元数群Q8和同阶的二面体群D8有许多相似的结构性质,对广义四元数群Q4m和同阶的
二面体群D2n做了相应的推广.在分析群结构的基础上,主要讨论了广义四元数群和同阶的二面体群的常特
征标表,指出满足一定条件的广义四元数群和同阶的二面体群有相同的特征标表.
关键词: 有限群;特征标;不可约特征标;群作用
中图分类号: O152 文献标识码:A
Character Tables of Generalized Quatern ion
Group and Sam e-Order D ihedral Group
YAN Chun2m iao1,L I L i2p ing2,J I X iao2long3
(1.Schoo l of Science,N o rth U n iversity of Ch ina,T aiyuan030051,Ch ina;
2.D ep t.of M athem atics,T aiyuan U n iversity of Science and T echno logy,T aiyuan030026,Ch ina;
3.Fundam en tal D epartm en t,J iyuan V ocati onal and T echn ical Co llege,J iyuan454650,Ch ina)
Abstract:Con sidering m any si m ilar p rop erties in the quatern i on group Q8and the dihedral group D8, the generalized quatern i on group Q4m and sam e2o rder dihedral group D2n are ex tended acco rdingly.A f2 ter analyzing the structu re of the fin ite group,the character tab les of generalized quatern i on group and sam e2o rder dihedral group are discu ssed,w h ich have the sam e tab le under certain conditi on s.
Key words:fin ite group;character;irreducib le character;acti on of group
0 引 言
四元数群Q8=〈x,y x4=y4=1,x2=y2,y-1xy=x-1〉和与其同阶的二面体群D8=〈x,y x4=y2=1,
y-1xy=x-1〉有许多相似的性质[1],比如有相同的阶,相同的特征标表等.本文将在此基础上进一步讨论推广了的四元数群(即广义四元素群Q4m)和与其同阶的二面体群之间的区别和联系.注意到一个简单的事实:对于二面体群G=D2n=〈x,y x n=y2=1,y-1xy=x-1〉,当n是奇数时,没有同阶的广义四元数群,此时它是一个F roben iu s群,核为〈x〉,补是〈y〉.根据文献[2]中定理6.34,可以求出它的特征标表.给定一个有限群,如何求出它的特征标表,在特征标理论中是一个基本而重要的问题,文献[3]就此给出了许多相关结论,提供了一些一般性的方法.本文将具体地讨论n=2m是偶数时,广义四元数群Q4m和二面体群D4m之间的关系,尤其是两者常特征标表之间的关系.
Ξ收稿日期:2007206216
作者简介:闫春苗(19802),女,助教,硕士.主要从事基础数学研究.
1 定理及证明
首先给出所要讨论的广义四元数群
Q 4m =〈x ,y x 2m =y 4=1,x m =y 2,y -1x y =x -1〉={1=x 2m ,x ,…,x 2m -1,y ,y x ,…,y x 2m -1},
和与其同阶的二面体群D 4m =〈x ,y x 2m =y 2=1,y -1x y =x -1〉={1=x 2m ,x ,…,x 2m -1,y ,y x ,…,y x 2m -1},
由以上群结构分析可以形象地认为:Q 4m 和D 4m 是同一个集合{1=x 2m ,x ,…,x 2m -1,y ,y x ,…,y x 2m -1}上定义了不同的运算而得到的两个不同结构的群.
为方便起见,以下如果没有特别说明,G 总表示以上给出的二面体群D 4m 或者是广义四元数群Q 4m .设X =〈x 〉,Y =〈y 〉,N =G ′.由G 的生成关系可知,对于上述的二面体群和广义四元数群,两者的导群和中心有相同的形状,即G ′=〈x 2〉,Z (G )=〈x m 〉.
引理1 如果G 是二面体群D 4m ,则G G ′是4阶初等交换群.如果G 是广义四元数群Q 4m ,当2 m
时,G G ′是4阶循环群.当2 m 时,G G ′是4阶初等交换群.证明 根据G 的生成关系,可以计算出G G ′={1,x θ,y θ,y x }.如果G 是二面体群D 4m ,直接计算元素x θ,y θ,y x 的阶,可知全是2阶元,也即G G ′
是4阶初等交换群.如果G 是广义四元数群Q 4m ,注意到x m =y 2,可知当2 m 时,y 2∈G ′.这说明y θ是2阶元,故G G ′
是4阶初等交换群.可知当2 m 时,y 2|G ′.这说明y θ不是2阶元,只能是4阶元,故G G ′
是4阶循环群.
引理2[2] 设A 为交换群,A δ=I rr (A )为其不可约特征标集合,则有A A δ.
引理3[2] 设G 为一般有限群,G ′为G 的导群,则有I rr (G G ′
)={Κ∈I rr (G ) Κ(1)=1}.定理1 当2 m 时,广义四元数群Q 4m 和二面体群D 4m 有不同的线性特征标,从而有不同的特征标
表.
证明 由引理3可得{Κ∈I rr (Q 4m ) Κ(1)=1}=I rr (Q 4m Q ′4m ).{Κ
∈I rr (D 4m ) Κ(1)=1}=I rr (D 4m D ′4m ).由于Q 4m Q ′4m 和D 4m D ′4m 均为交换群,由引理2可知道Q 4m Q ′4m I rr (Q 4m Q ′4m ),D 4m D ′4m
I rr (D 4m D ′4m ).又引理1中当2 m 时,Q 4m Q ′4m 是4阶循环群,而D 4m D ′
4m 是4阶初等交换群,它们有不同的结构,进而有不同的线性特征标,使广义四元数群Q 4m 和二面体群D 4m 在2 m 时有不同的线性特征
标.
引理4(C liffo rd 定理)[2] 设G 为一般有限群,N G ,?∈I rr (G ),Η是?N 的一个不可约分量且Η=
Η1,Η2,…,Ηt 是Η的互不相同的G 2共轭,则?N =e ∑t i =1
Ηi ,其中e =[?N ,Η].引理5 二面体群D 4m 和广义四元数群Q 4m 有相同个数的共轭类.
证明 设G ={1=x 2m ,x ,…,x 2m -1,y ,y x ,…,y x 2m -1}是二面体群D 4m 或者是广义四元数群Q 4m .记X =〈x 〉,N =G ′=〈x 2〉,G N ={N ,xN ,yN ,y xN }.显然G 可以共轭作用在陪集N ,xN ,yN ,y xN 上
.由于x -1y x =yy -1x -1y x =y x 2,所以,X 在陪集yN 和y xN 上的共轭作用是传递作用[4],因此,yN ={y ,y x 2,…,y x 2m -2}和y xN ={y x ,y x 3,…,y x 2m -1}恰是G 的两个共轭类.
为确定所有共轭类个数,考虑G 在X 的共轭作用.根据生成关系,可知G 在X 上的共轭作用产生m +1个轨道:{1},{x m },{x ,x -1},{x 2,x -2},…,{x m -1,x 1-m }.
所以,G 共有m +3个共轭类.上述讨论,只涉及元素的形状,而不涉及D 4m 和Q 4m 的不同之处,因而两者有相同的共轭类数.
以下是本文的主定理:
定理2 当2 m 时,广义四元数群Q 4m 和二面体群D 4m 有相同的特征标表.
在主定理证明之前,先介绍一个常见结论:
2中北大学学报(自然科学版)2008年第1期
设G 是有限群,I rr (G )表示G 的所有不可约常特征标集合.N G ,对于Η∈I rr (N ),如果令Ηg (n g )=Η(n ),Πg ∈G ,Πn ∈N ,则易知Ηg ∈I rr (N )[5].这意味着,G 可以作用在集合I rr (N )上
.设S ={+1,+2,…,+s }为该作用的s 个G 2轨道集合.设?,Γ∈I rr (G ),称?,Γ是N 2相关的,如果[?N ,ΓN ]≠
0,即?N 和ΓN 有相同的不可约分量
.由C liffo rd 定理(引理4)可知,这是一个等价关系.可见G 作用在集合I rr (N )上,不仅把集合I rr (N )分成了s 个轨道,还把集合I rr (G )分成了一些N 2相关的等价类.仍由C liffo rd 定理,I rr (G )恰有s 个N 2相关的等价类,设T ={81,82,…,8s }是I rr (G )的N 2相关等
价类集合.设+∈S ,8∈T ,记+∴8,如果Η∈+,则存在8∈T ,使得Π?∈8都有[ΗG ,?]≠0,则∴
给出了集合{+1,+2,…,+s }到集合{81,82,…,8s }的一个双射,并且该双射由G 在集合I rr (N )上的作用所唯一确定.如此可得:
引理6 设G 是有限群,N G .G 在集合I rr (N )上如上的作用,可以诱导出如上S 到T 的双射.当G N 是素数阶循环群时,如果8={?}只有一个元素,由文献[2]定理6.18可知,必有?N =
++,其中++表示与8对应的+所含特征标的和.容易知道,?=Η
G ΠΗ∈+.又使用诱导特征标的定义,可知?零化G -N .因此,此时?的取值由+所唯一确定.
以下是定理2的证明.
证明 由引理1和引理2,可知两者有相同的线性特征标.为完成证明,只需指出两者有相同的非线性不可约特征标.
以下约定,G 或者是二面体群D 4m ,或者是广义四元数群Q 4m .并记X =〈x 〉.
由引理2可知I rr (X )也是循环群,设Κ:X →C ,x →Ε,其中Ε是2m 次本原单位根,则Κ是X 的一个线性特征标,并且I rr (X )=〈Κ〉.考虑G 在I rr (X )的自然作用,易知G 在I rr (X )上的轨道为{1},{Κm },{Κ,Κ-1},{Κ2,Κ-2},…,{Κm -1,Κ1-m }.由C liffo rd 定理,可知除了主特征标和Κm 外,其余X 的不可约特征标诱导到G 上都是不可约特征标;等价地说,G 的每个非线性不可约特征标都是X 的某个特征标
诱导得来.设?∈I rr (G )是非线性不可约特征标,则有Η∈I rr (X ),使得?=ΗG ,?X =Η+Η-1,并且?在
G -X 上取零值,因而?的取值由Η所确定
.上述讨论,只涉及元素的形状,而不涉及D 4m 和Q 4m 的不同之处,因而两者有相同的特征标表.参考文献:
[1] 徐明曜.有限群导引[M ].北京:科学出版社,2001.
[2] ISAA CS IM .Character T heo ry of F in ite Group s [M ].N ew Yo rk :A cadem ic P ress ,1976.
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[4] Rob in son D J S .A Cou rse in the T heo ry of Group s [M ].N ew Yo rk :Sp ringer 2V erlag ,1982.
[5] N agao H ,T su sb i m a Y .R ep resen tati on s of F in ite Group s [M ].N ew Yo rk :A cadem ic P ress ,1989.
3
(总第117期)广义四元数群和同阶二面体群的常特征标表(闫春苗等)
狭义相对论和广义相对论
要了解狭义相对论和广义相对论的区别，我们首先要搞清楚，这两个理论大概说了什么？ 狭义相对论 我们先从狭义相对论说起，其实狭义相对论解决了一个物理学的重大矛盾。在爱因斯坦之前，最成功的两个理论分别是牛顿提出的牛顿力学和麦克斯韦提出麦克斯韦方程。只不过，这两个理论有个矛盾，那就是：光速。 具体来说，牛顿的理论认为，速度可以不断地进行叠加，没有上限，只要你加得上去就行。可是，麦克斯韦方程得出的光速是一个固定值，似乎暗示着光速无论在什么惯性坐标系下都是一样的。要知道，我们在使用牛顿力学时，是需要先选定参考坐标的。因此，科学家就在思考，是不是存在一个奇怪的坐标系，让光速一直保持一个速度，它们管这个叫做以太。于是，一群科学家就拼了命地去找“以太”，然后他们接二连三地失败了。 后来，26岁的爱因斯坦提出了狭义相对论。
有人说他高举了奥卡姆剃刀原理才成功的，这个奥卡姆剃刀原理大意是：如无必须勿增实体。翻译过来就是，咋简单咋来。既然光速是不变的，那为啥还要假设“以太”？ 于是，爱因斯坦就以“光速不变原理”和“相对性原理”为基础假设，推导出了狭义相对论。这个过程就有点像平面几何，就只有五条公设，但是能搞出一整套体系。而这里的相对性原理，说白了就是经典物理学的老套路，在研究运动时，需要先选个惯性参考系。 通过这两条假设，爱因斯坦出了很多奇葩的结论，比如：时间膨胀。说的是，如果你想对于我高速运动，那我看你的时间就会变慢，这种变慢可以理解成，如果你在高速的飞船里做操，那我这里看到的就是你在慢动作做操。而你自己其实感觉到的时间是正常流逝。所以，是以我参考系看你时间膨胀了。如果你也 看到，你也会发现我的时间也变慢了，因为我想对于你也是在高速运动的。
广义相对论的理解
11、广义相对论的几 个疑难问题 1、暗物质的本质：现代宇宙学观测表明宇宙中存在暗物质和暗能量。但是它们的起源仍然是个谜。我们能找到的普通物质仅占整个宇宙的4%，各种测算方法都证实，宇宙的大部分是不可见的。要说宇宙中仅仅就是暗色尘云和死星体是很容易的，但已发现的有力证据说明，事实并非如此。正是对宇宙中未知物质的寻找，使宇宙学家和粒子物理学家开始合作，最有可能的暗物质成分是中微子或其它两种粒子：neutralino和axions（轴子），但这仅是物理学的理论推测，并未探测到，据认为，这三种粒子都不带电，因此无法吸收或反射光， 但其性质稳定，所以能从创世大爆炸后的最初阶段幸存下来。 天文学家已经证明：宇宙中的天体从比我们银河系小100万倍的星系到最大星系团，都是由一种物质形式所维系在一起的，这种物质既不是构成我们银河系的那种物质，也不发光。这种物质可能包括一个或更多尚未发现的基本粒子组成，该物质的聚集产生导致宇宙中星系和大尺寸结构形成的万有引力。同时，这些粒子可能穿过地面实验室。 美国能源部LANL实验室的液体闪烁体中微子探测器、加拿大Sudbury中微子观测站和日本超级神冈加速器实验的最新结果给出 有力的证据：中微子以各种形式“振荡”，因此必定会具有质量。虽然质量很小，但宇宙中大量的中微子加起来可使总的质量达到相当高。美国费米国家实验室新的加速器实验MiniBooNE和MINOS将研究中微子震荡和中微子质量。 尚未发现的其它粒子有可能存在，例如一种称为超对称的新对称理论预言有一种大的新类型的粒子，其中有些可解释暗物质。现正在费米实验室TeV能级加速器进行的和计划在CERN正建造的大型强子对撞机（LHC）上开展的实验，以及地下低温暗物质寻找和空间利用伽马射线大面积天体望远镜所进行的实验，目的都是要寻找超对称粒子。 阿尔法磁谱仪（AMS）安装在国际空间站上，寻找反物质星系和
广义相对论简介
广义相对论简介 引子 由牛顿力学到狭义相对论，基本观念的发展是，其一：由一切惯性系对力学规律平权到一切惯性系对所有物理规律平权；其二：由绝对时空到时空与运动有关。 爱因斯坦进一步的思考：非惯性系与惯性系会不平权吗？物质与运动密不可分，那么时空与物质有什么关系？关于惯性和引力的思考，是开启这一迷宫大门的钥匙，最终导致广义相对论的建立。 §1 广义相对论的基本原理 一、等效原理 1. 惯性质量与引力质量 实验事实：引力场中同一处，任何自由物体有相同的加速度。 根据上述事实及力学定律，可得任一物体的惯性质量 与引力质量 满足 常量，与运动物体性质无关，选择合适的单位，可令 ＝ ＝ ， 即惯性质量与引力质量相等。从而，在引力场中自由飞行的物体，其加速度必等于 当地的引力强度 。 2. 惯性力与引力 已知在非惯性系中引入惯性力后，可应用力学规律，而惯性力。在 此基础上，讨论下述假想实验。 1) 自由空间中的加速电梯(如图1) 以 为参考系,无法区分ma 是惯性力还是引力。因此，也可以认为是在引力场中 匀速运动的电梯。 2) 引力场中自由下落的电梯S*(如图2) 以S*为参考系，无法区分是二力平衡 还是无引力。因此，也可认为S*是 自由空间中匀速运动的电梯。 以上二例表明，由 ＝ ， 可导出惯性力与引力的力学效应不可区分， 或者说，一加速参考系与引力场等效。当然，由于真实引力场大范围空间内不均匀， 图 图1 图 2
因此，这种等效只在较小范围空间内才成立，我们称之为局域等效。 3. 等效原理 弱等效原理：局域内加速参考系与引力场的一切力学效应等效。 强等效原理：局域内加速参考系与引力场的一切物理效应等效。 广义相对论的等效原理是指强等效原理。 4.对惯性系的再认识——局域惯性系 按牛顿力学的定义，惯性定律成立的参考系叫惯性系。恒星参考系是很好的惯性 系，不存在严格符合此定义的真正的惯性系。惯性系之间无相对加速度。 按爱因斯坦的定义，狭义相对论成立的参考系，或（总）引力为零的参考系叫惯 性系。因此，以引力场中自由降落的物体为参考的局域参考系是严格的惯性系，简 称为局惯系。引力场中任一时空点的邻域内均可建立局惯系，在此参考系内运用狭 义相对论。同一时空点的各局惯系间无相对加速度，不同时空点的各局惯系间有相 对加速度。 二、广义相对性原理 原理叙述为：一切参考系对物理规律平权，即物理规律在一切参考系中的表述形 式相同。 为了在广义相对性原理的基础上建立广义相对论理论，爱因斯坦所做的进一步工 作是使引力几何化，即把引力场化作时空几何结构加以表述。对广义相对论普遍理 论的研究数学上涉及黎曼几何、张量分析等，超出本简介范围，下面只作浅显的说 明。 §2 引力场的时空弯曲 一、弯曲空间的概念 从高维平直空间可观测低维平直空间与弯曲空间的差异。 平面——二维平直空间内：测地线（即两点间距离的极值线）为直线，三角形内 角和＝，圆周长＝。 球面——二维弯曲空间：测地线为弧线，如图。三角形(PMN)的内角和＞， 圆周长＜。 故通过测量可判定空间弯曲。(如图3) Array二、引力场的空间弯曲 讨论爱因斯坦转盘(如图4) 相对惯性系S以角速度均匀 转动的参考系。由S系可推知 系中的测量结果（狭义相对论） 图 3
群论复习思考题
群论复习思考题 2006.12 1． 写出C 4v 对称性群的类、元素的阶及所有不变子群，并证明下述结论： （1） C 4v 的不变子群H 的不变子群K 不一定是C 4v 的不变子群。 （2） C 4v 的不变子群的交集仍是C 4v 的不变子群。 2． 试由???? ??-0110和??? ? ??00i i 生成一矩阵群。证明此群为8阶群，分五类，但与C 4v 不同构。 （提示：证明该矩阵群中四阶元有6个，而C 4v 中只有2个） 3． 若一群的元素均为2阶，证明它可以是4阶Abel 群。 4． （1）设a 2=b 3=(ab)2=e,由a ，b 生成的群为几阶群？列举两个与其同构的群的例子。 （2）若a ，b 乘积可对易，且a 2=b 3=e,证明a ，b 生成的群定是循环群。 5． 叙述同态核定理，并加以证明。 6． 若G 群是2n 阶的，H 为G 的n 阶子群，则H 必为G 的不变子群。其商群必为二阶循环群。 7． 若群G=H ?K ，试证明（1）商群G/H 与K 同构;（2）群G 的类数等于两因子群类数之积。 8． （1）证明有限群共轭类中所含元素数目也是群阶的因子。 （2）证明置换群S n 中属于同一配分的各种可能置换元素属于同一类。 9．（1）设a,b,c 为群元，试证 abc,bca,cab 同阶。 （2）证明下列循环积恒等式： ()()()()y b X a y Xb a ab = 10．证明在适当的基函数下，群G 可约表示的形式是 ()()()()()()??? ? ??=A D A X O A D A D 21 其中()()A D 1和()()2D A 分别是m 阶和n 阶方阵； ()A X 是n 行m 列的矩阵，而O 是m 行n 列的零矩阵。 （提示：采用行矢量基矢，()00,1,0,0 i i =? ）
爱因斯坦广义相对论
爱因斯坦广义相对论 广义相对论是爱因斯坦继狭义相对论之后，深入研究引力理论，于1913年提出的引力场的相对论理论。这一理论完全不同于牛顿的引力论，它把引力场归结为物体周围的时空弯曲，把物体受引力作用而运动，归结为物体在弯曲时空中沿短程线的自由运动。因此，广义相对论亦称时空几何动力学，即把引力归结为时空的几何特性。 如何理解广义相对论的时空弯曲呢？这里我们借用一个模型式的比拟来加以说明。假如有两个质量很大的钢球，按牛顿的看法，它们因万有引力相互吸引，将彼此接近。而爱因斯坦的广义相对论则并不认为这两个钢球间存在吸引力。它们之所以相互靠近，是由于没有钢球出现时，周围的时空犹如一张拉平的网，现在两个钢球把这张时空网压弯了，于是两个钢球就沿着弯曲的网滚到一起来了。这就相当于因时空弯曲物体沿短程线的运动。所以，爱因斯坦的广义相对论是不存在“引力”的引力理论。 进一步说，这个理论是建立在等效原理及广义协变原理这两个基本假设之上的。等效原理是从物体的惯性质量与引力质量相等这个基本事实出发，认为引力与加速系中的惯性力等效，两者原则上是无法区分的；广义协变原理，可以认为是等效原理的一种数学表示，即认为反映物理规律的一切微分方程应当在所有参考系中保持形式不变，也可以说认为一切参考系是平等的，从而打破了狭义相对论中惯性系的特殊地位，由于参考系选择的任意性而得名为广义相对论。 我们知道，牛顿的万有引力定律认为，一切有质量的物体均相互吸引，这是一种静态的超距作用。 在广义相对论中物质产生引力场的规律由爱因斯坦场方程表示，它所反映的引力作用是动态的，以光速来传递的。 广义相对论是比牛顿引力论更一般的理论，牛顿引力论只是广义相对论的弱场近似。所谓弱场是指物体在引力场中的引力能远小于固有能，力场中，才显示出两者的差别，这时必须应用广义相对论才能正确处理引力问题。 广义相对论在1915年建立后，爱因斯坦就提出了可以从三个方面来检验其正确性，即所谓三大实验验证。这就是光线在太阳附近的偏折，水星近日点的进动以及光谱线在引力场中的频移，这些不久即为当时的实验观测所证实。以后又有人设计了雷达回波时间延迟实验，很快在更高精度上证实了广义相对论。60年代天文学上的一系列新发现：3K微波背景辐射、脉冲星、类星体、X射电源等新的天体物理观测都有力地支持了广义相对论，从而使人们对广义相对论的兴趣由冷转热。特别是应用广义相对论来研究天体物理和宇宙学，已成为物理学中的一个热门前沿。 爱因斯坦一直把广义相对论看作是自己一生中最重要的科学成果，他说过，“要是我没有发现狭义相对论，也会有别人发现的，问题已经成熟。但是我认为，广
广义相对论
广义相对论是阿尔伯特●爱因斯坦于1916年发表的用几何语言描述的引力理论，它代表了现代物理学中引力理论研究的最高水平。广义相对论将经典的牛顿万有引力定律包含在狭义相对论的框架中，并在此基础上应用等效原理而建立的。在广义相对论中，引力被描述为时空的一种几何属性（曲率）；而这种时空曲率与处于时空中的物质与辐射的能量-动量张量直接相关系，其关系方式即是爱因斯坦的引力场方程（一个二阶非线性偏微分方程组）。 从广义相对论得到的有关预言和经典物理中的对应预言非常不相同，尤其是有关时间流逝、空间几何、自由落体的运动以及光的传播等问题，例如引力场内的时间膨胀、光的引力红移和引力时间延迟效应。广义相对论的预言至今为止已经通过了所有观测和实验的验证——虽说广义相对论并非当今描述引力的唯一理论，它却是能够与实验数据相符合的最简洁的理论。不过，仍然有一些问题至今未能解决，典型的即是如何将广义相对论和量子物理的定律统一起来，从而建立一个完备并且自洽的量子引力理论。 爱因斯坦的广义相对论理论在天体物理学中有着非常重要的应用：它直接推导出某些大质量恒星会终结为一个黑洞——时空中的某些区域发生极度的扭曲以至于连光都无法逸出。有证据表明恒星质量黑洞以及超大质量黑洞是某些天体例如活动星系核和微类星体发射高强度辐射的直接成因。光线在引力场中的偏折会形成引力透镜现象，这使得人们能够观察到处于遥远位置的同一个天体的多个成像。广义相对论还预言了引力波的存在，引力波已经被间接观测所证实，而直接观测则是当今世界像激光干涉引力波天文台（LIGO）这样的引力波观测计划的目标。此外，广义相对论还是现代宇宙学膨胀宇宙论的理论基础。 相关简介 相对论是现代物理学的理论基础之一。论述物质运动与空间时间关系的理论。20世纪初由爱因斯坦创立并和其他物理学家一起发展和完善，狭义相对论于1905年创立，广义相对论于1916年完成。19世纪末由于牛顿力学和（苏格兰数学家）麦克斯韦（1831~1879年）电磁理论趋于完善，一些物理学家认为“物理学的发展实际上已经结束”，但当人们运用伽利略变换解释光的传播等问题时，发现一系列尖锐矛盾，对经典时空观产生疑问。爱因斯坦对这些问题，提出物理学中新的时空观，建立了可与光速相比拟的高速运动物体的规律，创立相对论。狭义相对论提出两条基本原理。（1）光速不变原理。即在任何惯性系中，真空中光速c都相同，与光源及观察者的运动状况无关。（2）狭义相对性原理是物理学的基本定律乃至自然规律，对所有惯性参考系来说都相同。
特征标表
1若干对称操作对特征标的贡献 对称操作对特征标的贡献对称操作对特征标的贡献 E3i-3 C2-1σ1 C 30S 3-2 C 41S 4-1 2点群特征标表 1.C s 点群 CsE σh A'11x,y,R z x 2 ,y 2,z 2 ,xy A"1-1z,R x ,R y yz,xz 2.C n 点群 C2EC2 A11z,R z x 2 ,y 2,z 2 ,xy B1-1x,y,Rx,Ryyz,xz 2C 65 C 6EC 6C 3C 2C 3 A111111 B1-11-11-1 E 11 ε * -ε 1-ε * ε 1 * ε -ε 1 * -ε ε E21 1 * -ε -ε -ε * -ε 1 1 * -ε -ε -ε * -ε Γφ600000 3.C nv 点群 C2νEC2σν(xz)σν'(yz) 222 A11111zx,y,z A 211-1-1R z xy B 11-11-1x,R y xz B21-1-11y,Rxyz C3νE2C33σν A1111zx 2 +y 2,z 2 A211-1Rz 2 E2-10(x,y)(R x ,R y )(x –y 2 ,xy)(xz,yz) 2 ,xy)(xz,yz )
C4vE2C4C22σν2σd 2 A111111zx 22 +y,z 1
B 11-111-1x 2 –y 2 B 21-11-11xy E20-200(x,y)(Rx,Ry)(xz,yz) 4.C nh 点群 C 2h EC 2i σh Ag1111Rzx 2 ,y 2,z 2 ,xy B g 1-11-1R x ,R y xz,yz A u 11-1-1z Bu1-1-11x,y 5.D n 点群 D 3E2C 33C 2 A 1111x 2 +y 2,z 2 A211-1z,Rz 2 E2-10(x,y)(Rx,Ry)(x –y 2 ,xy)(xz,yz) 2 ,xy)(xz,yz ) 22C 2'2C 2"D 4E2C 4C 2=C 4 A111111x 2 +y 2,z 2 A2111-1-1z,Rz 2 B 11-111-1x 2 –y B 21-11-11xy E20-200(x,y)(Rx,Ry)(xz,yz) 6.D nh 点群 D2hEC2(z)C2(y)C2(x)i σ(xy)σ(xz)σ(yz) A g 11111111x 2 ,y 2,z 2 B 1g 11-1-111-1-1R z xy B 2g 1-11-11-11-1R y xz B3g1-1-111-1-11Rxyz A u 1111-1-1-1-1 B 1u 11-1-1-1-111z B2u1-11-1-11-11y B3u1-1-11-111-1x D 3h E2 C 33C 2σh 2S 33σv
广义相对论的思想起源
广义相对论的思想起源 在狭义相对论中，自然定律在所有的惯性系中都保持着不变的形式。然而，这种理论却依然留下了两个疑难：l）引力定律不能被纳人狭义相对论的体系之中；2）惯性系不是宇宙中的真实存在。这两大疑难被爱因斯坦描述为狭义相对论“固有的认识论上的缺陷”。毫无疑问，这些缺陷构成了广义相对论的“科学问题”。 第一节马赫和马赫原理 尽管狭义相对论完全废除了以太概念，即电磁运动的绝对空间，但却仍然没有对经典力学把绝对空间当作世界的绝对惯性结构的理由做出解释，也没有为具有绝对惯性结构的力学提供新的替换。也就是说，惯性系的存在，对于力学和电磁学都是必不可少的。 狭义相对论紧紧地依赖于惯性参考系。它们在自然界中确立了“特权阶级”。它们是一切非加速度的标准；它们使一切物理定律的形式表达实现了最简化。惯性系的这种特权在很长时间里保持着一种神秘性。广义相对论阐明了这种“特权”的局限性。 经常有人说，为了满足狭义相对论而修改牛顿引力（平方反比）理论的失败，导致了广义相对论的兴起。的确，广义相对论是现代引力理论。如果不是日常计算实践的需要的话，在原理上它已经取代了牛顿的引力理论。不过，有一点很清楚，爱因斯坦是出于一种哲学欲望才把绝对空间彻底地从物理学中清除出去的。自一开始，狭义相对论就把惯性系当作一种当然的存在。可能，爱因斯坦本来也不反对（但也不怎么满意）在狭义相对论基础上建立的引力论。由此，爱因斯坦不得不超越狭义相对论。 在这一工作中，他十分诚恳地反复强调，他得益于物理学家兼哲学家马赫（Ernst Mach，1836～1916）的思想。 爱因斯坦说：“事实是，马赫曾经以其历史的批判的著作①对我们这一代自然科学家起过巨大的影响，在这些著作中，他以深切的感情注意各门科学的成长，追踪这些领域中起开创作用的研究工作者，一直到他们的内心深处。我甚至相信，那些自命为马赫的反对派的人，可以说几乎不知道他们曾经如同吸取他们母亲的乳汁那样吮吸了多少马赫的思维方式。” “没有人能够否认，那些认识论的理论家们曾为这一发展铺平了道路；从我自己来说，我至少知道：我曾经直接地或间接地特别从体馍和马赫那里受到莫大的启发。” 也许可以公正地反过来说，马赫应该感谢爱因斯坦，正是爱因斯坦对惯性的思索、研究并赋之以相对性观念，才使得马赫的科学思想和哲学思维方法大放异彩。 马赫（Ernst Mach，1838～1916）是斯洛伐克物理学家、生理学家、心理学家和哲学家。②他14岁才上学，也许是世界著名科学家中人学年龄最大的一个。他的启蒙老师就是他的父亲。1860年，马赫获得维也纳大学的博士学位，然后又在这所大学执教4年。他的第一篇论文是以实验支持多普勒定律。这篇文章反映了马赫坚持传统的物理学观点的倾向。他完全接受了物质的原子性分子理论和气体运动论。1864年，他移居到格拉兹（Graz）。从此，他的研究兴趣转向关于感觉的心理学和生理学。在格拉兹，他发现了现在称之为“马赫带”的光学现象。1867年，他在布拉格的查尔斯大学担任实验物理学教授，在超声研究方面做出了突出贡献。“马赫数”就是他的发现。马赫成为世界级的著名科学家兼哲学家，源自他的科学史和科学哲学研究。其中一项是关于知识理论的“思维经济原则”；另一项便是由爱因斯坦命名的“马赫原理”。 马赫的知识理论认为，我们所接受的是感觉，经验客体（事物、物体，物质，等等）都是感觉的符号。科学的产生，源于把相当复杂的感觉世界用最经济的方式来满足自我接受的需要。根据这些观点，马赫反对把“实体”（如原子）作为一种存在来建构理论。按照“马赫准则”，理论只能由那些可观察的现象归纳出来的命题构成；“证据”必然与经验相联系。马赫的这些认识论观点，曾经受到过科学上无知的哲学家们粗俗的谩骂，正是这些谩骂使马赫的哲学蜚声世界。 马赫原理早在17世纪贝克莱主教的著作中就已经有了萌芽。大略地讲，马赫的惯性思想包括四个方面的内容： 1）空间本身并不是一种“事物”，它纯粹是物质间距离关系总体的抽象。
爱因斯坦《狭义与广义相对论浅说》
狭义与广义相对论浅说 爱因斯坦 .
第一部分狭义相对论·············································································································· ····································································································································································································································· ················································································································································································································· ······································································································· ················································································· ····································································· ············································································································ ············································································································ ························································································································································································································· ··························································································· ······················································································· ······································································································· ··························································································· ······································································································· ··································································································· ·········································································································· ························································································································································································································· ········································ ····························· ······················································································· ·························································································································································································· ················································ ······················································ ······················································································· ···································································· ··················································································· ··················································································· ···························································· ····················································································································································································································· ······························································································· ··············································································· ······························································································· ····························································································· ····················································································· ····························································································· ······································································· (4) 1．几何命题的物理意义 4 2．坐标系 5 3．经典力学中的空间和时间7 4．伽利略坐标系8 5．相对性原理（狭义）8 6．经典力学中所用的速度相加定理10 7．光的传播定律与相对性原理的表面抵触10 8．物理学的时间观12 9．同时性的相对性14 10．距离概念的相对性15 11．洛伦兹变换16 12．量杆和钟在运动时的行为19 13．速度相加定理斐索实验20 14．相对论的启发作用22 15．狭义相对论的普遍性结果22 16．经验和狭义相对论25 17．闵可夫斯基四维空间27 第二部分广义相对论29 18．狭义和广义相对性原理29 19．引力场31 20．惯性质量和引力质量相等是广义相对性公设的一个论据32 21．经典力学的基础和狭义相对论的基础在哪些方面不能令人满意34 22．广义相对性原理的几个推论35 23．在转动的参考物体上的钟和量杆的行为37 25．高斯坐标41 26．狭义相对论的空时连续区可以当作欧几里得连续区43 27．广义相对论的空时连续区不是欧几里得连续区44 28．广义相对性原理的严格表述45 29．在广义相对性原理的基础上解引力问题47 第三部分关于整个宇宙的一些考虑49 30．牛顿理论在宇宙论方面的困难49 31．一个“有限”而又“无界”的宇宙的可能性50 32．以广义相对论为依据的空间结构53 附录54 一、洛伦兹变换的简单推导54 二、闵可夫斯基四维空间（“世界”）57 三、广义相对论的实验证实58 （1）水星近日点的运动59 （2）光线在引力场中的偏转60 （3）光谱线的红向移动62 四、以广义相对论为依为依据的空间结构64 五、相对论与空间问题65
特征标和特征标表
5.04, 无机化学原理 II 麻省理工学院化学系 第4讲 特征标和特征标表 '' v 在前面一讲中，我们构建了一套操作为2 ' 33E C C v v σσσ、 、、、、的特征标表。但因为我们选择的三角形基组是不完全的，所以并没有揭示所有不可约表示Γirr 。可以用一个三角形代表笛卡儿坐标空间（x, y, z ），在该空间中可以确定不可约表示Γirr ，也可以尝试选择其他的基以揭示其他的不可约表示Γirr 。例如，考察绕z 轴的旋转， 在群的操作（因为同一类操作的特征标是相同的，因此对每一类只选择一个操作）下，这个基fn 、Rz 的变换特性如下： ()z z 3z z v z z →'' v E R R C R R xy R R σ→→：：： 注意：这些变换特性产生不包括在三角形基之内的不可约表示。可得到一个新的（1×1）的表示[representation ，原文误为：basis ]Γ3，这个表示描述R z 的变换 特性。由2'33E C C v v σσσ、 、、、、定义的群的Γi 总结如下：
不可约表示及其特征标服从五个重要规则： 规则1： 群的不可约表示Γi的维数（l i）平方和等于群的阶h，即： 由于恒等操作下特征标等于Γi的维数（因为E总是单位矩阵），该规则也可表述如下： 原文误为： 规则2：不可约表示Γi的特征标的平方和等于h 原文误为： 规则3：两个不同不可约表示的特征标作为分量的矢量正交 原文误为：
规则4：对于给定的表示，所有属于同类操作的矩阵的迹（trace ，原文误为character ）相等 。 规则5：群中不可约表示Γi 的数目等于群中类的数目 运用这些规则，我们就可以从代数学角度构建特征标表。下面仍以前面的例子为例来构建缺乏任一基时的特征标表： 规则5：E ，()2C C 、33，() ''' v v v σσσ、、，可分为3类，∴3Γi 规则1：2 2261,l l l l l l 1 231232++=∴===， 规则2：所以特征标表都具有一个全对称表示，这样，其中的一个不可约表示Γi 具有特征标χ1（E ）＝1，χ1＝（C 3，C 32）＝1（原文误为：σ1＝），χ1＝（σv ，σv ′，σv ″）＝1。应用规则2，我们可求得维数为1的其他不可约表示， 因为， ()E χ=21()()()()232v 232v 12C 30C 1,1χχσχχσ+?+?=∴==?， 在Γ3（l 3=2）的情况下，规则2没有唯一解 ()()333v 22C 30χχσ+?+?= 但是，规则2应用于Γ3可以得到一个含有两个未知数的方程。可以有几种选择得到第二个独立的方程：
广义相对论
第一&二章 1. 设想有一光子火箭，相对于地球以速率v=0.95c 飞行，若以火箭为参考系测得火箭长度为15 m ，问以地球为参考系，此火箭有多长 ？ 解 ：固有长度, 2. 一长为 1 m 的棒静止地放在 O ’x ’y ’平面内，在S ’系的观察者测得此棒 与O ’x ’轴成45°角，试问从 S 系的观察者来看，此棒的长度以及棒与 Ox 轴的夹角是多少？设想S ’系相对S 系的运动速度 4.68m l ==
第三章 1.简述狭义相对论与广义相对论的基本原理。P9、15、2* ①狭义相对论：所有的基本物理规律都在任一惯性系中具有相同的形式。这就叫狭义相对性原理。 相对性原理：一切惯性参照系等效，即物理规律在所有的惯性系中都具有完全相同的形式。 光速不变原理：真空中的光速是常量，它与光源或观察者的运动状态无关，即不依赖于惯性系的选择。 ②广义相对论：一切参照系都是平权的。或者说，客观的物理规律应在任意坐标变换下保持形式不变。 等效原理：惯性力场与引力场的动力学效应是局部不可分辨的。 广义相对性原理：一切参考系都是平权的或客观的真实的物理规律应该在任意坐标变换下形式不变，即广义协变性。 2.什么是广义相对论的等效原理？强等效原理与弱等效原理有何区别？ 等效原理：惯性力场与引力场的动力学效应是局部不可分辨的。 3.在牛顿力学中是否能够定义惯性参照系？什么是局部惯性系？P12、29 引力与惯性力有何异同？ 定义不同：惯性力的度量是惯性质量写为F=ma，而引力的度量是引力质量， 由万有引力定律写成 (1)(2) 2 g g m m F G r ，从物理本质上是不同的。 相同：二者的实验量值是相等的，根据等效原理引力与惯性力的任何物理效果都是等效的 4.弯曲时空是用什么几何量来描述的？什么是引力场的几何化？P35 处于形变的四维时空区域，从物理上说可以认为是有引力存在的时空区域。所以，表示时空弯曲的几何量，同时也表示了引力场的状态。 引力场中的物理问题便等价于弯曲时空的几何问题，这种看法就称为引力场的几何化。 5.如何利用等效原理说明引力场中光线弯曲与谱线的红向偏移?
广义相对论_第1章
第一章狭义相对论 1.1 经典物理学的时空观 时间和空间是物质的基本属性，如果我们仔细分析一下这两个概念就会发现，时间概念来自于事物运动变化的顺序性；空间概念则来自于物质实体的广延性。显然，没有物质的存在，就不会有抽象的位置排列、运动和变化，时间和空间的概念也就失去了存在的前提了。可是，20世纪之前的经典物理学（牛顿力学）却认为时间和空间与运动着的物质没有任何联系，它们是先验地存在的。只是在建立了相对论以后，人们才认识到时间和空间与运动着的物质密切相关。 经典时空观首先由牛顿提出，在他1687年发表的名著《自然哲学的数学原理》中，对绝对时间和绝对空间是这样表述的：“绝对的、真正的、数学的时间，本质上是一种与外界物体无关的匀速流动。”“绝对的空间，本质上是与外界无关的，是同一的和静止的、不动的。”因此，经典时空观又叫牛顿时空观，或者绝对时空观。有了绝对空间，那么惯性系的定义就水到渠成了，只要相对于绝对空间静止或作匀速直线运动的参考系，就是惯性参考系。从操作的角度，人们无法找到精确的惯性系，只能说地球是一个较好的、常用的惯性系，太阳系是一个更好的适用惯性系，而FK4系是目前所使用的最好的实用惯性
系，它选取1535颗星体作为一个体系，把这个体系的平均不动的状态作为参照物。 1.1.1 伽利略变换 经典时空观认为时间、空间独立无关，具体反映在不同惯性系之间的变换关系上，就有所谓的伽利略变换。如图1-1-1，设S和'S是两个惯性参考系，取x轴沿两者的相对速度方向，并且开始时两坐标系的原点重合。 图1-1-1 惯性参考系和伽利略变换 牛顿力学告诉我们，此时固连在两个参考系上的坐标系之间应当存在如下的变换关系：
广义相对论的基本思想
广义相对论的基本思想 摘要:所有参考物体,不论他们的运动状态如何,对于描述自然现象(表述普遍的自如定律)是有效的.”这就是爱因斯坦"广义相对性原理"的一种叙述.所有参考系在描述普遍的自然界定律时是等效的,而不是这些参考系在物理上是没有区别的。关键词:广义相对论 引言 自然界中并不广泛地存在一种优越的,专能体现自然规律的特殊参考系.这就表明,自然界中存在的一切参考系(物)都应能同样有效地体现出自然规律,即"描述上等效".这是广义相对论中蕴含着的一种哲学思想. 1.非惯性系与弯曲时空 （1）匀速转动：一种不需要由外力维持，而且在自然界中广泛存在的非惯性系。（2）在同一非惯性系中没有统一的时间，各处时钟的快慢是不同的，即，在同一惯性系中各处都有当地的时间进程。在非惯性系中不但空间是弯曲了，而且时间的进程也复杂化了。比如：同一圆周上的钟，钟慢效应是相同的，应能互相校准，其实不然。这一情况与“佯谬”有关。 2.牛顿桶与马赫原理 牛顿为了证明绝对空间的存在和加速度的绝对性，曾提出了一个著名的假想实验——牛顿桶实验：一桶水旋转，当桶还没有将角动量传递给水之前，水是静止的，水面呈水平状，这时水和桶之间有相对运动，以后，水随桶一起旋转，水和桶之间没有相对运动，水面呈凹形。此实验表明，水面呈水平还是凹形，与水和桶之间的相对运动无关，而与水本身是否在旋转，也就是相对于“绝对空间”是否在旋
转有关。努道认为:“转动必须看是绝对运动”。这个例子十分有力地否定了加速运动的相对性，而证实了绝对空间的存在。对爱因斯坦的思想具有重大影响的奥地利物理学家兼哲学家马赫对怒道的观点提出了反对意见。他只承认相对运动，但不承认存在绝对运动。他认为水面之所以呈凹形，是由于水相对于宇宙中无数的恒星和天体有相对转动而引起的。马赫认为，物体的惯性不是物体本身所固有的属性。而是由宇宙中无数巨大的天体对该物体的作用所产生的。 爱因斯坦接受了马赫思想中正确的一面，认定了引力是建立非惯性系理论的关键所在。要解决引力问题必须考虑非惯性系的理论. 3.惯性质量和引力质量 从哲学观上讲,质量是所含物质多少的度量.度量必须根据某些可度量的属性(效应).质量的主要效应是具有惯性效应和引力效应,此外,前面还证明了每一份质量都联系着一份巨大的能量.这些属性都可以用来度量质量. 惯性质量m1是通过牛顿第二定律定义的： F= m1a 即m1=F/a 即惯性质量等于作用在物体上的力与所产生的家速度之比。 引力质量m2是通过万有引力定律定义的，重力。 W=GMm2/R^2 式中M为地球的引力质量，G为引力常数，R为地球半径的“平均半径”令g=GM/R^2 则有W=m2g或m2=W/g G为重力加速度，为常数。 用不同的物质做类似实验，都证明了落体加速度是常数，从而证明了引力质量和
第1部分第3章 特征标理论(1)
第一部分群论基础第三章群表示特征标理论(1)
(一) 群表示的特征标及其性质 2 一, 特征标的定义 群表示的特征标是群表示矩阵的迹 ( 对角矩阵元之和 ) χ ( R ) = tr D ( R ) = ∑αDαα ( R ) ------------- (1) 二, 特征标的性质 (1) 同类群元的特征标相同 证明: R 和 S 同类, 则有 T 使 S = T-1 R T 因此, χ ( S ) = tr D ( S ) = tr D ( T-1 R T ) = tr [ D ( T-1 ) D ( R ) D ( T ) ] = tr [ D -1( T ) D ( R ) D ( T ) ] = tr D ( R ) = χ ( R ) 即特征标是类的函数 *
(2) [ 提问: 等价表示的特征标是否相同? 为什么? ] 3 [ 答案: 相同, 矩阵作相似变换其迹不变 ] (3) [ 提问: 可约表示与所含不可约表示的特征标有什么关系? ] [答案: 可约表示的特征标是所含不可约表示特征标之和]三, 对特征标的评价 1, 以3 × 3 的表示矩阵为例, 一个特征标比九个矩阵元简单得多, 可使问题大大简化; 2, 特征标保留了群的重要信息. 不少情况下, 利用特征标就能解决问题; 3, 与表示矩阵相比, 特征标丢掉了一些信息. [ 提问: 丢掉了什么信息? ] [ 答案: 丢掉了类里的信息, 即类中群元间关系的信息. ] [ 提问: 为什么 ? ] [ 答案: 同类元的特征标相同, 特征标是类的函数. ] *
（二）可约表示的约化 ( 简捷有效的约化途径 ) 4 1, 群的不可约表示的（矩阵）形式一般说来不是唯一的。通过相似变换, 可以得到许多不同的彼此等价的不可约表示，但它们的特征标相同，是确定的。 2, 群的任何一个可约表示都可以通过相似变换将其（准）对角化,这就是可约表示约化的过程。如果该表示不能再进一步对角化, 则该表示就可写成其对角线上的不可约表示的直和。 3, 因此，群的可约表示可以由不可约表示线性组合（直和）而成 D ( R ) = ∑i D i ( R ) a i ( i = 1 ------ r ) ------ (2) 并有χ ( C ) = ∑i χi ( C ) a i ( i = 1 ------ r ) ------ (3) 其中 a i 为约化系数，即第 i 个不可约表示出现的次数。 可约表示的约化就是求约化系数a i ，这可通过公式 (3) 获得。4, 由公式 (3)可知，如某群表示与其某不可约表示的特征标完全相同，则该群表示为不可约表示；否则，为可约表示。 *