格林函数
格林函数法求解稳定场问题
1 格林函数法求解稳定场问题(Green ’s Function) Green ’s Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。 从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系：
Heat Eq.：
()2
22
2 ,u a u f r t t
?-?=?
表示温度场u 与热源(),f r t
之间关系 Poission ’s Eq.：
()2
u f r ρε?=-=-
表示静电场u 与电荷分布()f r
之间的关系
场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。
例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势：
()'
'04r d V r r
ρ
φπεΩ
=
-?
这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。
或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。这里就引入Green ’s Functions 的概念。
Green ’s Functions ：代表一个点源所产生的场。普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green ’s Functions.
下面，我们先给出Green ’s Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。实际上，只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green ’s Functions 。
2 泊松方程的格林函数
静电场中常遇到的泊松方程的边值问题：
()()()()()201 f s u r r u r u r r n ρεαβ???=-??
?
????+=?????
??
这里讨论的是静电场()u r ， ()f r ρ
代表自由电荷密度。
格林函数(),G r r '
：位于'
r 的单位正电荷在r
处所激发的满足齐次边界条件的电势。
三维 Green ’s Functions 定解问题为：
① ()()()()2
30
1,,0
S G r r r r G r r G r n δεαβ?''?=--???'????+=?????
??
这里()3r r δ'-
表述了单位正电荷的体密度。
注意：对于第二类齐次边界条件且对于有限的研究区域，这个定解问题无解。这是因为，虽然方程说明V
内有单位正电荷存在，而边界条件
(),0S
G r r n
'?=?
说明
点源产生的场在边界S 上电场的法向分量(),n G r r E n
'?=-
?
处处为零，说明边界条
件与方程不相容。另外，可以对方程作积分
()()2
1,V
G r r d v r r d v δε''?=--??
这时要包含r ' 点，用高斯定理得 0
1
S
G ds n
ε
?=-?? 这就矛盾了！！！
注： 高斯定理 V
S
Adv n Ads ??=???
这时引入广义格林函数
② ()()()2
3
1,,0S G r r r
r C
G r r n δε?''?=--+??
?'??=???
其中C 为常数，还要增加一个条件，以保证解的唯一性。 求解上面方程组①或②，可得在给定区域V 的泊松方程的各类边值问题的格林函数。
3 镜像法求G . F.
用Green ’s Functions 去求解数理方程的定解问题，首先要求出相同边界、同类边值问题的Green ’s Function.
3.1 镜像法的基本概念
很多物理问题没有一个普遍奏效的解法，人们会发展许多方法，但往往每一种方法只能解决一部分问题。人们熟知的一种办法是所谓“猜解”，即“尝试解”，这要有所谓的“唯一性定理”做保证。 唯一性定理：
某些物理问题（如静电场边值问题）存在唯一解。可以通过并不唯一的方法找到这个唯一解，这样就意味着解决物理方法上的多样性和灵活性。
静电镜像法是一种特殊的猜解方法，其基本思想：利用点电荷模拟边界面上的感应电荷或极化电荷。
可用于镜像法解决的问题包括：
在点或线电荷与导体（或介质）共同存在的系统中，空间任一点的场是由点（或线）电荷与界面上感应（或极化）电荷共同产生的，而感应（或极化）电荷事先并不知道。通过分析边界条件可以找到一个（或多个）像电荷来等效地代替导体面（或介质面）上的感应（或极化）电荷，从而把点（或线）电荷与界面上感应（或极化）电荷在待求区域产生场的求解问题转化为真实点电荷和虚像电荷在待求区域所产生场的简单叠加。
镜像法求边值问题的一般步骤为（以静电场为例）：
1） 列出定解问题：电势在待求区域所满足的微分方程和边界条件； 2） 根据边界条件分析镜像电荷的个数和位置； 3） 写出电势分布的形式表达式（尝试解）；
4） 把边界条件带入形式表达式以确定像电荷的量值和位置； 5） 把已求出的像电荷带入形式解以得到真实的电势分布； 6） 根据题意要求可由电势求场强、电荷分布及受力等问题。 静电镜像法分为：
反射镜像法：
平面镜法 球面镜法
半透镜法：平面镜法
球面镜法
3．2 无界空间
定解问题
()()()2
30
1,,0
r G r r r r G r r δε→∞?''?=--??
?'=?
对应物理问题：单位正电荷1q =置于r ' ，求空间任一点(),,r x y z =
处的
电势(),?G r r '=
库仑定律给出的解――无界区域的Green ’s Function ：
(
)
01,41
G
r r r r πε'=
'
-=
又叫基本解。
3．3 上半空间
定解问题
()()()()2
30
01,, 0;,0, ,0
z r G r r r r z G r r G r r δε=→∞?''?=-->???''==?
这里实际上可以给出满足第一类边界条件的 G . F. of the first kind.
物理问题：在0z = 处，有一无限大接地金属板，在r '
处有一单位正电
荷q ，求金属板上方任一点r 处的电势分布(),?G r r '=
1
r
'
),G r r ''
镜像法的基本思想用在这里：当电荷q 置于导体板的上方时，由于静电感应，板上出现异号电荷，空间电场是由电荷q 及感应电荷共同激发的，即
01G G G =+。而且满足静电平衡条件时，电力线垂直于导体面。
格林等效层定理：带电导体面上的电荷分布在导体外产生的电势，可以用导体面内的一定的等效电荷分布来代替。
我们通过电场分布分析，引进像电荷――假想电荷――来代替感应电荷作用。在这里，我们在电荷q 相对于0z =平面的镜像位置引进1q '=-，那么q '和
q 激发电场与q 和真实感应电荷激发的电场相同。这里q '要满足q '和q 共同
在导体面上产生的电势为零。
这样引进的像电荷和原电荷一起产生的场，就是要求的由原电荷和感应电荷产生的场，这样我们只需要求出像电荷的位置和大小。 像电荷的正确引进要符合：
① 像电荷用在求解区域之外引入，因为感生电荷在上半空间的场1G 处处满足Laplace ’s Eq. 210G ?=, 即在上半平面内是无源的。
② 像电荷的电量q '和位置要满足边界条件：
()
,0r G r r ='=
和(),0r G r r →∞'=
。
Then,
1q =和1q '
=-激发的电势是待求的格林函数。
()
00011,4414G r r r r πεπεπε+
-
'=-
??=
金属板上的面电荷密度
00
?z G z σε=???
=-= ?
??? 应能证明：
金属板上总电荷 1dS
σ=-?
这说明金属板上总感应电荷等于像电荷。这是因为接地的导体平面相当于一面镜子，而1q '=-则是1q =的像，1q '=-称像电荷。
3．4 球外空间
这里还是考虑第一类G.F.函数的求解问题。 定解问题
()()()()02
300
1,, ;,0, ,0
r r r G r r r r r r G r r G r r δε=→∞?''?=-->??
?''==?
对应物理问题：接地金属球外r '
处，有一单位正电荷1q
=，求球外空间任
一点r 处的电势(),?G r r '=
首先引进像电荷q '，要不违反泊松方程，也就是让q '产生的电势1G 满足 Laplace ’s Eq.,
2
10G ?=, q '必须在求解区域之外一球内，
考虑到对称性，q '还必须在r ' 上，放在r ''
处。
为了保证球面电势为零，即()0
,0r r G r r ='=
成立，q '为负电荷。
q '＝？，r ''＝？ 应由边界条件定。考虑球面上一点0
P ，由边界条件得：
()
01
,04r r r r q q G r r r r r r πε==??
'
'=
+= ? ?'''--?? 也就是
00
q
q r r r r '
=-'''
-- 要求
p
00
00 const r r r q r q r r r r '-'
''?-===='''
-
注意，这里考虑了若有两个相似三角形'00O Q P O P Q ?? ，必有
'
c o n s t PQ PQ
=。
由此确定了像电荷的位置和电量
2
0r r r r q q
r ''=
''=-'
这样，q 和q '激发的电势就是 Green ’s Function
()01
,4q q G r r r r r r πε??
'
'=
+ ? ?'''--?
?
用球坐标表示：
场点： (),,r r θ?=
， q 电荷所在位置：(),,r r θ?''''= ，
像电荷q '所在位置：
()20,,,,r r r r θ?θ???''''''''''== ?'??
，
（这里,θθ??''''''==）
r r '-=
（余弦定理）
r r ''-==
（余弦定理） where
()
()()()c o s s i n c o s s i n c o s s i n s i n s i n s i n c o s
c o s
s i n s i n c o s c o s c o s
c o s s i n s i n c o s
c o s
c o s
r r r r x x y y z z
rr rr αθ?θ?θ
?θ?θθθθ??θθαθθ??θ
θ'''''?==
++''''''=++''''=-+
'''?=
-+
（()cos ??'-――加法公式） 在考虑1q =，0r q q r '=-
'
， 我们得
(
)01,4G r r πε?? ? ?'=-
?
场强： (),E G r r '=-?
球面上电荷分布： 0
0r r r φσε=???
=- ?
??? 球面上总电荷：
1ds σ=-?
由于球面上感应电荷在球外的场与像电荷－q '的场等效，所以电荷q 受感应
电荷的力为 ()
2014q q i F r r πε'=-
'''-
4 Green ’s Function ’s 对称性
()(),,G r r G r r ''=
重要物理意义：p '点的点源，在一定边界条件下，在p 产生的场等于：在p 置同样强度点源，在相同边界条件下在p '产生的场。
这就是物理学中常说的倒易性－互易性。实际上，并非所有格林函数都具有这种对称性，这与边值问题有关。
Proof. 泊松方程的Green ’s Fnuctions ’ 对称性。
定解问题 :
()()()()2
30
1,, (1) :,,0, s G r r r r r G r r G r r r n δεαβ?'''?=--??
?'????'+=?????
?? 源点：场点
又有:
()()()()2
30
1,, (2) :,,0, s G r r r r r G r r G r r r n δεαβ?''''''?=--???''????''+=?????
??
源点：场点
()(),E q (1),E q (2)G r r G r r '''*-*
对V 积分后：
()()()()()()()()()()223300
,,,,1
,,1
,,V
V G r r G r r G r r G r r dV G r r r r G r r r r dV G r r G r r δδεε''''''???-???
''''''??=-
---??''''''=-
-????
??
根据Green 公式第二式 ()22V
s v
u u v v u dV
u v dS n n ?????-?=
-
????
???
可得
()()()()()()0
,,1,,,,S G r r G r r G r r G r r G r r G r r dS
n n ε'''????'''''''''--=
-?????
?
???
??
（5）
与上类似，对定解条件做如下处理得
()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,0,, ,,0
S
S
S
G r r G r r G r r G r r n G r r G r r G r r G r r n G r r G r r G r r G r r n n αβαβ'???
'''''+??
????''???
''''-+?=?????'''????'''?-=??????
所以（5）式右边
00s
dS
=?
()() ,,G r r G r r ''''''?=
这就是格林函数的对称性。
5 求解泊松方程的第一类边值问题 泊松方程的第一类边值问题
()()()()()20, (1) , (2) : f f s r u r u r r u r ρρε???=-??
?=?
：自由电荷体密度静电势，
写出与()u r
有相同边界、同类边值问题的格林函数所满足的方程与边界条件
()()()2
301,, (3) ,0,
s G r r r r G r r δε?''?=--??
?'=?
写出自变量为r '
的Green ’s Formula
()()()()()()()()()2
2
V
s u r v r v r u r dV v r u r u r v r dS n n '''''''
?-?''????'''
=- ?''???
???
letting ()u r '
为待求电势，
()(),v r G r r ''=
，
便有（上式左端代入（3）和（1），右端()
()S
u r r ?''=
）
()()()()()()()()22,,,,V
s u r G r r G r r u r dV
G r r u r u r G r r dS n n '''''''???-???''????'''
=- ?''???
???
()()()()()()()()301
,, ,f V
s u r r r G r r r d V
G r r r r G r r d S n n δρε??'''''???-
--??''????'''=- ?''???
???
利用δ函数性质和()(),,0s S G r r G r r ''==
()()()()()00,11 ,f V s
G r r u r G r r r dV r dS n ρ?εε'?'''''?-=-+'???
()()()()()0, ,f V s
G r r u r G r r r dV r dS n ρε?'?'''''?=-'???
Where ()(),f V
G r r r dV ρ'''?
为V 内整个电荷分布在r
处激发电势；
()()
0,s
G r r r dS n ε?'?''-'??
为V 外电荷分布在r
处激发的电势。
6． 用正交函数组展开格林函数
一个求有界区域GF 的重要方法。
Example ： 求矩形区域内的Laplace ’s Eq. 第一边值问题的GF
()()22
2''
22
0,0,, (1) (0,0) 0, x x a y y b G G G x x y y x y
x a y b G δδ====???≡+=---??<<<<= (2)????
??
???
满足条件（2）的一组正交函数函数为：
()(),sin
sin
,1,2,... mn m m x y x y m n a b
ππΦ==， （3）
其正交归一关系为：
()()00
,, 4
a b
mn m n mm nn ab x y x y dxdy δδΦΦ=
??，
（4）
注意这里选得正交函数组实际上是有条件的： 1） 满足边界条件
2） 实际上是如下本征方程的解－本征函数：
()()2
, =,
m n m n
m n x y x y λ?Φ-
Φ
展开所求GF ：
()()()'
'
'
'
mn m,n
G ,;,=g , , mn x y x y x y x y Φ∑
（5）
带入原方程（1）得：
()()()()()()
2
'
'
2
m,n
22''
m,n '
'
=g , ,
= g ,, mn mn mn mn G x y x y m n x y x y a b x x y y
ππδδ??Φ??????-+Φ?? ? ?????????
=---∑∑
对于上式做以下积分：
()()()()()()22'
'
m,n 00'
'
00
g ,, , ,m n b a
mn m m a
n n b x y m n x y x y a b x dxdy x y d x xdy
y y ππδδ??
????-+Φ?? ? ????ΦΦ?????=---∑
????
We obtain that
()()22
''
''g ,=,4m n m n m n ab x y x y a b ππ??????+Φ?? ? ?????????
So
()()
'
'
'
'
2
2
2
,4
g ,=
m n m n x y
x y ab m n a b πΦ??
????
+?? ? ????????
?
And
()()
'
'
'
'
2
2
2
,4
g ,=
m n m n x y
x y ab m n a b πΦ??
???
?+?? ?
???
??????
()()
()
'
'
'
'
2
2
2
m,n
'
'
2
2
2
m,n
,4
G ,;,= ,sin sin
sin
sin 4 =
mn mn x y
x y x y x y ab m n a b m n m n x y x y
a b
a
b
ab
m n a b ππππππΦΦ??
????+?? ? ???????????
????
+?? ? ?????
????
∑
∑
（6）
问题：这里的二重级数收敛很慢，在使用到求普遍问题的解时不
太合适。
改进：
用一个变数的正交函数组
()(),sin
, 1,2,... mn m x y x m a
π?==
其正交归一关系为
()()0
,, 2a
m m
mm a
x y x y dx ??δ=?， 这组函数满足边界条件
()()00m m b ??==，
同时具有
()()2
2
, =, mn mn m x y x y a π?????- ???
。
使用(){},mn x y ?对GF 做展开有
()()()'
'
'
'
m m
G ,;,=g ;,, m x y x y y x y x y ?∑ （7）
带入原方程（1）得：
()()()()''2
'
'
m
m m m
g
g = m k x x x y y ?δδ-=---∑ (8)
Where
2
2
m m k a π??= ???
做运算
()0
.(7)*m
a
E x q dx ??
可得：
()''2''
m m m m 2g g sin k k x y y a
δ-=--
(9)
把（7）式带入原边界条件（2）式，可得相应边条件：
()()m m g 00, g 0b ==。 这样构成了一个本征值问题：
()()()''2'g g g 00, g 0
k C y y b δ?-=-??==?? （10） 这里已经暂时去掉了下标m ，并且令
'
m 2sin C k x a
=-
。
当'
y y ≠时，方程（10）是齐次方程，其通解为
() sh ch g y A ky B ky =+
由边界条件()g 00= 得 0,B = so () s h g y A
k y =。 但看另一端边界条件() g 0 b =，以上解不能满足。它却要求
sh ch 0A kb B kb +=
i.e. c h s h
B k b A kb =- we have
()()
'
ch ch sh
sh = sh kb g y B ky ky kb B k b y ??
=- ???- 所以，定解问题（10）的解为
()()()()''
A sh y
B k b y ??
=?-??
其中系数待定。
问题是()g y 在'
y y =点应该是连续的，否则()'
g y 在该点会变成无穷
大，这与方程（10）的奇异性不符合，因为该式右边的()'y y δ-函数的积分值是有限的。So
()'
'
sh sh A ky B k b y
=-
因此
()()()()()''
'
'
A sh y
（11）
如何定A ＝？对（10）式在'y 点附近求积分
'
'
'
'
y y ''2
y y g gdy dy k
C ε
ε
ε
ε
++---=?
?
Letting 0ε→，因g 连续，左方第二项积分趋于零，而得
'
'
'
'
g
g y y y y C =+=--= （12）
这说明：是()g y 的一阶导数在'
y y =点是间断的－有一个跳越；
由（12）式可以定出（11）式中的A:
()
()'
'
'
'
sh ch ch sh ky
Ak
k b y
Ak ky
C k b y --=-
()
()()()
'
'
'
'
'
'
sh sh ch sh ch sh sh k b y
C
A k ky k b y k b y ky k b y C k kb
-=-
-+--=-
so
()()()()()''
'' sh sh sh sh sh > sh C k b y ky y y k kb
g y C ky k b y y y k kb
?--
方程（9）在边界条件（10）之下的解是：
()()()()()'''
''sh sh 2sin sh sh sh m m m m m m m m k b y k y y y k x
g y k a k b k y k b y y y ?-
=?->??
代入（7）式得到
()()()()()''
'
'
'
m=1
''sh sh sin
sin G ,;,= sh
sh sh m m m m b y y y y x x
a a a
a x y x y m m m m b
y b y y y a
a a πππππππ?-??
∑
因为只要'y y ≠，当m 很大时，级数的通项() 0m e α
α-> ，这个级数收敛较快。
实际上，可以证明（6）式右方的二重级数是上式关于y 的傅立叶展开。
格林函数法求解场的问题
格林函数法求解稳定场问题 1 格林函数法求解稳定场问题(Green ’s Function) Green ’s Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。 从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系： Heat Eq.： ()2222 ,u a u f r t t ?-?=? 表示温度场u 与热源(),f r t 之间关系 Poission ’s Eq.： ()20 u f r ρε?=-=- 表示静电场u 与电荷分布()f r 之间的关系 场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。 例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势： () ' '0 4r d V r r ρφπεΩ=-? 这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。 或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。这里就引入Green ’s Functions 的概念。 Green ’s Functions ：代表一个点源所产生的场。普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green ’s Functions. 下面，我们先给出Green ’s Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。实际上，只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green ’s Functions 。 2 泊松方程的格林函数 静电场中常遇到的泊松方程的边值问题： ()()()()()201 f s u r r u r u r r n ρεαβ???=-??? ????+=??????? 这里讨论的是静电场()u r ， ()f r ρ 代表自由电荷密度。
格林函数
在线性媒质中，任意分布的简谐(或稳恒)源所激励的场，都可以化为单位点源所激励的场的线性组合。在确定的媒质和边界条件下，单位点源所激励的场矢量或势函数就称为该条件下场或势的格林函数。它们是场点位置矢径r和源点位置矢径r′的函数。电磁场边值问题的解可以表示成源函数与格林函数乘积的积分。 标量格林函数在均匀无界媒质中，自由电荷密度ρ所产生的标势φ在洛伦兹规范下满足方程 (1) 式中k2=ω2εμ，该标势的格林函数G(r，r′)应满足方程 (2) 式中2对r点的坐标作运算,δ(r－r′)是集中作用在r′点的狄拉克δ-函数。此方程的解是 (3) 由此可得标势的解是下列对r′的坐标的积分 (4) 当媒质为分区均匀时,在分界面上G应满足与φ相同的连续性条件。设G＝G0+G1,其中G1表示分界面的影响，且在r→r′时应为有限值。例如在理想导体平表面S的上半空间中的格林函数为 (5) 式中第一项即为G0，第二项表示导体表面的影响，r媴是r′关于平表面的镜象点。 如果均匀媒质空间V被闭曲面S0所包围,应用格林第二公式，并利用格林函数的对称性G(r′,r)＝G(r,r′)，可得 (6) 为了消除面积分中的未知项，应当根据φ的已知边界条件来规定G的边界条件，具体来说，当已知φ或或的边界值时，应相应地规定 例如，V是无限大平面S的上半空间,已知V内的源分布ρ和S上的φ值，利用格林函数（5）式并注意到以及对于S上的源点r i=r，有 和
于是 (7) 并矢格林函数以上的讨论也适合场或矢势的各直角坐标分量。对于矢量源函数，通常将r′点的源矢量分解为三个正交分量,分别求出在r点的场或势。于是对于电场和磁场矢量，共有6个矢量格林函数，采用并矢记法，则可合并为两个并矢格林函数。 设在r′点放置的电流源J，它的三个分别沿正交单位矢量e媴(i=1,2,3)的电偶极矩为 (8) 则体积V中的电流源J(r′)所产生的电场为 (9) 记电场和磁场的电并矢格林函数分别是 (10) 则(9)式可写成并矢的形式 (11) 一般情况下，沿e媴方向的电偶极矩所产生的电场E e(e媴)应满足方程 (12) 对应有电并矢格林函数的方程 (13) 和关系式 (14) 在无界均匀媒质中 (15) 对应有电并矢格林函数 (16)
格林函数()
§2.4 格林函数法 解的积分公式 在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法——格林函数方法。 格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 一、 泊松方程的格林函数法 为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。 设u （r ）和v （r ）在区域 T 及其边界 上具有连续一阶导数，而在 T 中具 有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分 ??∑ ??S d v u 化成体积积分 . )(??????????????+?=???=??∑ T T T vdV u vdV u dV v u S d v u （12-1-1） 这叫作第一格林公式。同理，又有 . ???????????+?=??∑ T T vdV u udV v S d u v （12-1-2） （12-1-1）与（12-1-2）两式相减，得 , )()(??????-?=??-?∑ T dV u v v u S d u v v u 亦即
.)(??????-?=??? ????-??∑T dV u v v u dS n u v n v u （12-1-3） n ?? 表示沿边界 的外法向求导数。（12-1-3）叫作第二格林公式。 现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。泊松方程是 )( ),(T r r f u ∈=? （12-1-4） 第一、第二、第三类边界条件可统一地表为 ),( M u n u ?βα=??????+??∑ （12-1-5） 其中 （M ）是区域边界 上的给定函数。＝0， ≠0为第一类边界条件， ≠0，＝0是第二类边界条件，、 都不等于零是第三类边界条件。泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。 为了研究点源所产生的场，需要找一个能表示点源密度分布的函数。§5.3中介绍的 函数正是描述一个单位正点量的密度分布函数。因此，若以v （r ，r 0 ） 表示位于r 0 点的单位强度的正点源在r 点产生的场，即v （r ，r 0 ）应满足方程 ).() ,(00r r r r v -=?δ （12-1-6） 现在，我们利用格林公式导出泊松方程解的积分表示式。以v （r ，r 0）乘（12-1-4）， u （r ）乘（12-1-6），相减，然后在区域T 中求积分，得 . )( )(0?????????--=?-?T T T dV r r u vfdV dV v u u v δ （12-1-7） 应用格林公式将上式左边的体积分化成面积分。但是，注意到在r ＝r 0 点，v 具有 函数的奇异性，格林公式不能用。解决的办法是先从区域T 中挖去包含r 0 的小体 积，例如半径为 的小球K （图12-1）， 的边界面为 。对于剩下的体积，
格林函数与输运
《多粒子物理学》读书报告：格林函数与输运 内容提要：1概述； 2单粒子性质的格林函数表述； 3用格林函数推导迁移率中1-α项 1概述 1． 1金属中电子输运特性 对于金属 * m e τμ- =， μσ0en -=， τ是输运驰豫时间，它的物理意义是处在某动量本征态的电子的平均寿命，即0=t 时一个处于某动量本征态的电子在τ=t 时完全失去了对其原有动量的记 忆。输运驰豫时间包括各种相互作用的贡献主要有杂质散射﹑电子-声子相互作用﹑电子-电子相互作用等等： ∑=--i i 11ττ 即输运驰豫时间由各种机构中i τ最小的决定。 绝对零度时，纯金属晶体中电子不受散射，具有无穷大电导。T >0时实际金属的电阻是由电子受到杂质和晶格振动的散射引起的。在室温时，典型金属的电阻率约为10-8Ω.m ，随着温度降低到室温以下，电阻近似线性地减小（图1,see, p.131 in Ref.[1]），在低温时水平地达到一定值。低温时的电阻率与试样的纯度密切相关，对于高纯度的退火单晶体，约可以达到室温电阻率的10-4倍。不纯试样中的附加电阻在整个温度范围内近似地与温度无关。这个事实叫做马赛厄司定则（Mathiessen rule ，又翻译为马提生定则（1862））。这个附加电阻是由于杂质引起的电子散射，在低温下它构成电阻的主要部分。杂质散射电阻与温度无关的事实暗示出可动电子的浓度与温度无关，这与半导体中电子浓度与温度呈指数函数关系大不一样。声子散射电阻依赖于温度，在高温时可变得很大。这两部分电阻具有可加性，因此可分别处理。 上述金属中的杂质不含磁性杂质。磁性杂质的散射将导致低温下电阻值的对数上升，称为近藤(Kondo)效应。 1． 2半导体输运特性 半导体中的散射仍可分为电离杂质和晶格振动的散射两大类。晶格振动的散射又分为声学波和光学波散射两种。声学波通过两种方式散射电子：引起密度变化从而产生形变势（声学声子形变势散射）；在没有反演中心的极性晶体中引起压电极化（压电散射,长声学波明显）。光学波也通过两种方式散射电子：二种不
数学物理方程-第五章格林函数法
第五章 格林函数法 在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问 题的解.本章利用Green 函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet 问题. 另外，也简单介绍利用Green 函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green 函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用. §5?1 格林公式 在研究Laplace 方程或Poisson 方程边值问题时，要经常利用格林（Green ）公式，它是高等数学中高斯（Gauss ）公式的直接推广. 设Ω为3R 中的区域，?Ω充分光滑. 设k 为非负整数，以下用()k C Ω表示在 Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体，()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实 函数全体. 如()10()()()()u C C C C ∈Ω?ΩΩ=Ω，表示(,,)u x y z 在Ω具有一阶连续偏导数而在Ω上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去. 如将(,,)P x y z 简记为P ，(,,)P x y z x ??简记为P x ??或x P 等等. 设(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 和(,,)R x y z 1()C ∈Ω，则成立如下的Gauss 公式 ( )P Q R dV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z Ω ?Ω ???++=++???????? (1.1) 或者 ( )(cos cos cos )P Q R dV P Q R ds x y z αβγΩ ?Ω ???++=++???????? (1.2) 如果引入哈米尔顿（Hamilton ）算子： ( ,,)x y z ??? ?=???，并记(,,)F P Q R = ，则Gauss 公式具有如下简洁形式 ???????=??Ω Ω ds n F dv F (1.3) 其中(cos ,cos ,cos )n αβγ= 为?Ω的单位外法向量. 注1 Hamilton 算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)F P Q R = 时，其运算定义为 (,,)(,,) , F P Q R x y z P Q R x y z ??? ??=???????=++???
第四章 Laplace方程的格林函数法
第四章 Laplace 方程的格林函数法 在第二、三两章，系统介绍了求解数学物理方程的三种常用方法—分离变量法、行波法与积分变换法，本章来介绍Laplace 方程的格林函数法。先讨论此方程解的一些重要性质，在建立格林函数的概念，然后通过格林函数建立Laplace 方程第一边值问题解的积分表达式。 §4.1 Laplace 方程边值问题的提法 在第一章，从无源静电场的电位分布及稳恒温度场的温度分布两个问题推导出了三维Laplace 方程 2 2 2 2 2 2 2 u u u u u x y z ????=?≡ + + =??? 作为描述稳定和平衡等物理现象的Laplace 方程，它不能提初始条件。至于边界条件，如第一章所述的三种类型，应用得较多的是如下两种边值问题。 （1）第一边值问题 在空间(,,)x y z 中某一个区域Ω的边界Γ上给定了连续函数f ，要求这样一个函数(,,)u x y z ，它在闭域Ω+Γ（或记作Ω）上连续，在Ω内有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程，在Γ上与已知函数f 相重合，即 u f Γ = （4.1） 第一边值问题也称为狄利克莱（Dirichlet ）问题，或简称狄氏问题，§2.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问题。
Laplace 方程的连续解，也就是所，具有二阶连续偏导数并且满足Laplace 方程的连续函数，称为调和函数。所以，狄氏问题也可以换一种说法：在区域Ω内找一个调和函数，它在边界Γ上的值为已知。 （2）第二边值问题 在某光滑的闭曲面Γ上给出连续函数f ，要求寻找这样一个函数(,,)u x y z ，它在Γ内部的区域Ω中是调和函数，在 Ω+Γ 上连续，在Γ上任一点处法向导数 u n ??存在，并且等于已知函数f 在该点的值： u f n Γ ?=? （4.2） 这里n 是Γ的外法向矢量。 第二边值问题也称纽曼（Neumann ）问题。 以上两个问题都是在边界Γ上给定某些边界条件，在区域内部要求满足Laplace 方程的解，这样的问题称为内问题。 在应用中我们还会遇到Dirichlet 问题和Neumann 问题的另一种提法。例如，当确定某物体外部的稳恒温度场时，就归结为在区域Ω的外部求调和函数u ，使满足边界条件u f Γ =，这里Γ是Ω的边界，f 表示物体表面的温度分布。像这样的定解问题称为Laplace 方程的外问题。 由于Laplace 方程的外问题是在无穷区域上给出的，定解问题的解是否应加以一定的限制？基于电学上总是假定无穷远处的电位为零，所以在外问题中常常要求附加如下条件： lim (,,)0(r u x y z r →∞ == （4.3） （3）狄氏外问题 在空间(,,)x y z 的某一闭曲面Γ上给定连续函数
格林函数(免费)
§2.4 格林函数法 解的积分公式 在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法——格林函数方法。 格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 一、 泊松方程的格林函数法 为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。 设u （r ）和v （r ）在区域 T 及其边界 ∑ 上具有连续一阶导数，而在 T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分 ??∑ ??S d v u ? 化成体积积分 . )(??????????????+?=???=??∑ T T T vdV u vdV u dV v u S d v u ? （12-1-1） 这叫作第一格林公式。同理，又有 . ???????????+?=??∑ T T vdV u udV v S d u v ? （12-1-2） （12-1-1）与（12-1-2）两式相减，得 , )()(??????-?=??-?∑ T dV u v v u S d u v v u ? 亦即 .)(??????-?=??? ????-??∑T dV u v v u dS n u v n v u （12-1-3） n ?? 表示沿边界 ∑ 的外法向求导数。（12-1-3）叫作第二格林公式。 现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。泊松方程是 )( ),(T r r f u ∈=?? ? （12-1-4）
格林函数以及拉普拉斯方程
格林函数 格林函数的概念及其物理意义 格林函数法是求解导热问题的又一种分析解法。 从物理上看，一个数学物理方程是表示一种特定的"场"和产生这种场的"源"之间的关系。例如，热传导方程表示温度场和热源之间的关系，泊松方程表示静电场和电荷分布的关系，等等。这样，当源被分解成很多点源的叠加时，如果能设法知道点源产生的场，利用叠加原理,我们可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就叫做格林函数。 物体中的温度分布随时间的变化是由于热源、边界的热作用以及初始温度分布作用的结果。这些热作用都可以看做广义上的热源。从时间的概念上说，热源可以使连续作用的，如果作用的时间足够短，则可以抽象为瞬时作用的热源。同样的热源在空间上是有一定分布的，但如果热源作用的空间尺度足够小，也可以抽象为点热源、线热源和面热源。在各种不同种类的热源中，瞬时点热源虽然仅是一种数学上的抽象，却有着重要的意义，因为在其他的各种热源都可以看作是许多瞬时热源的集合，即把空间中的热源看成是在空间中依次排列着的许多点热源，在特定的几何条件的导热系统中，在齐次边界条件和零初始条件下单位强度的瞬时点热源所产生的温度场称为热源函数，或称格（Green)函数。对于二维和一维导热问题，也把由线热源和面热源引起的温度场称为相应的格林函数。对于线性的导热问题，由各种复杂的热源引起的温度场可以由许多这样的瞬时热源引起的温度场叠加得到，数学上即成为某种几分。这就是热源法，或称格林函数法，求解非稳态导热问题的基本思路。采用格林函数法可以求解带有随时间变化的热源项且具有非齐次边界条件的导热微分方程，对于一维、二维和三维问题的解在形式上都可以表示的非常紧凑，而且解的物理意义比较清楚。格林函数法可以来求解不同类型的偏微分方程，包括线性的椭圆形的偏微分方程（如带有热源项的稳态导热问题）以及双曲型偏微分方程（如力学中的震动问题）。在此仅讨论用格林函数法求解非稳态导热问题。 用格林函数法求解的困难在于找到格林函数，而格林函数的形式取决于特定问题的具体条件，包括几何条件（即有限大、半无限大或无限大）、边界条件和坐标系的选取。因此用格林函数法求解非稳态导热问题首先需要对特定定解条件的导热系统确定其格林函数。本方法的第二个要点是确定有热源和非齐次边界条件的一般导热问题的温度分布与格林函数的关系。本节从几个较简单的例子开始介绍格林函数法在解决稳态导热问题中的应用，再推广到更为一般的情况。 “瞬时”和“点”热源的概念在数学上都可用狄克拉δ分布函数，简称δ函数，来表示。δ函数的定义为
格林函数法
§3.4 格林函数法 利用一个点电荷的边值问题的解，可以解决同类边值问题：对于给定空间区域V 内的电荷分布ρ和V 的边界S 上（第一类边值问题）各点的电势S ?，或者（第二类边值问题）各点的电场法向分量S n ???。 静电场的电势函数满足泊松（Simeon Denis Poisson, 1781-1840）方程 20 ρ ?ε?=? 其中()r ρG 为电荷密度。位于r ′G 处的单位点电荷的密度分布函数为()r r δ′?G G ，它所产生的静电势(,)G r r ′G G 满足类似的微分方程 2 ()(,)r r G r r δε′?′?=?G G G G ， (3.15) 和相应的边条件。以此Green 函数取代格林公式(0.12)中的函数()r ψG ，可得积分方程 0()(,)()(,)()(,)(),V S r G r r r G r r r dV G r r r dS n n ??ρε?′′????′′′′′′=+???′′??? ?∫∫∫∫∫G G G G G G G G G G w (3.16) 第一类边值问题的Green 函数：在边界S 上各点的电势为零的条件下，空间区域V 内x ′G 的单位点电荷产生的电势分布就是第一类Green 函数，记为1(,)G x x ′G G 。利用(3.16)式可以得到第一类边值问题的解，即 0(,)()(,)()().V S G r r r G r r r dV r dS n ?ρε?′?′′′′′=?′?∫∫∫∫∫G G G G G G G w (3.17) 第二类边值问题的Green 函数：在边界S 上各点的电场法线分量为常数01 S ε的条件下，空间区域V 内x ′G 的单位点电荷产生的电势分布就是第二类Green 函数，记为2(,)G x x ′G G 。利用(3.16)式可以得到第二类边值问题的解，即 0()1()(,)()(,)().V S S r r G r r r dV G r r dS r dS n S ??ρε?′?′′′′′′′=++′?∫∫∫∫∫∫∫G G G G G G G G w w (3.18) 【无界空间的格林函数】（P58） 【半无限空间的格林函数】（P59） 【球外空间的格林函数】（P60） 【球内空间的格林函数】（补充题）
§10 格林函数法求解稳定场问题
第十讲 格林函数法求解稳定场问题 1 格林函数法求解稳定场问题(Green ’s Function) Green ’s Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。 从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系： 热传导方程（Heat Eq.）： ()2 22 2 ,u a u f r t t ?-?=? 表示温度场 u 与热源(),f r t 之间关系 Poission ’s Eq.： ()20 u f r ρ ε?=-=- 表示静电场 u 与电荷分布()f r 之间的关系 场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。 例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势：
() ' ' ' 04V r dV r r ρ φπε=-? 这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。 或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。这里就引入Grenn ’s Functions 的概念。 Green ’s Functions ：代表一个点源所产生的场。 下面，我们先给出Green ’s Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。 （我们将不介绍格林函数法在热传导问题和波动方程求解中的应用。） 普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green ’s Functions. 我们只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green ’s Functions. 2 泊松方程的格林函数 静电场中常遇到的泊松方程的边值问题：
第5章格林函数法
第5章格林函数法
格林（Green）函数，又称为点源影响函数，是数学物理中 的一个重要概念．格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和初始条件下所产生的场．知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算出任意源所产生的场． 格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一． 5.1 格林公式 T Σ 上具有连续一阶导数, 在区域及其边界 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理 d d T T div = ?∫∫∫ ∫∫∫ i A V = A V (5.1.1) 单位时间内流体流过边界闭曲面S 的流量 单位时间内V 内各源头产生的流体的总量
将对曲面 Σ 的积分化为体积分 d ()d d d T T T u u V u V u V Σ ?=??=Δ+??∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫i i i S v v v v (5.1.2) ()uv u v u v ?=??+?以上用到公式称上式为第一格林公式．同理有 d ()d d d T T T u u V u V u V Σ ?=??=Δ+??∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫i i i S v v v v (5.1.3) 上述两式相减得到 ()d ()d T u u u u V Σ ???=Δ?Δ∫∫ ∫∫∫i S v v v v
的外法向偏导数． 5.1.4）为第二格林公式． 进一步改写为 ()d ()d T u S u u V n Σ???=Δ?Δ??∫∫∫∫∫ v u v v v n （5.1.4）
5.2 泊松方程的格林函数法 讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题．泊松方程()() u f Δ=?r r (5.2.1)（5.2.2） 是区域边界 Σ 上给定的函数. 是第一、第二、第三类边界条件的统一描述
格林函数
格林函数 这是一篇关于格林函数经典解法的文章。从现代的讨论中寻求根本的解法。在数学中，格林函数是一种用来解有边界条件的非齐次微分方程式的函数。 在多体理论中，这一术语也被应用于物理中，特别在量子场论，电动力学和统计领域的理论，尽管那些不适合数学定义。 格林函数的名称是来自于英国数学家乔治·格林（George Green ），早在1830年，他是第一个提出这个概念的人。 在线性偏微分方程的现代研究中，格林函数主要用于研究基本解。 内容 1、定义及用法 2、动机 3、非齐次边值问题的求解 3.1、研究框架 3.2、定理 4、寻求格林函数 4.1、特征矢量展开 5、拉普拉斯算子的格林函数 6、范例 7、其他举例 定义及用法 技术上来说，格林函数),(s x G 伴随着一个在流形M 中作用的线性算子L ，为以下方程式的解： )(),(s x s x LG -=δ (1) 其中δ为狄拉克δ函数。此技巧可用来解下列形式的微分方程： )()(x f x Lu = (2) 若L 的核是非平凡的，则格林函数不只一个。不过，实际上因为对称性、边界条件或其他的因素，可以找到唯一的格林函数。一般来说，格林函数只需是一种数学分布即可，不一定要具有一般函数的特性。 格林函数在凝聚态物理学中常被使用，因为格林函数允许扩散方程式有较高
的精度。在量子力学中，哈密顿算子的格林函数和状态密度有重要的关系。由于扩散方程式和薛定谔方程有类似的数学结构，因此两者对应的格林函数也相当接近。其方程如下： )(),(s x s x LG --=δ 这一定义并不显著改变格林函数的任何性质。如果运算符是平移不变量，即当L 与x 是线性关系时，那么格林函数可以转换成一个卷积算，即为： )(),(s x G s x G -= 在这种情况下，格林函数和线性不变系统理论中的脉冲响应是相同的。 动机 若可找到线性算符 L 的格林函数 G ，则可将(1)式两侧同乘)(s f ，再对变量 s 积分，可得： )()()()(),(x f ds s f s x ds s f s x LG =-=??δ 由公式 (2) 可知上式的等号右侧等于)(x Lu ，因此： ds s f s x LG x Lu )(),()(?= 由于算符 L 为线式，且只对变量x 作用，不对被积分的变量 s 作用），所以可以将等号右边的算符L 移到积分符号以外，可得： ))(),(()(ds s f s x G L x Lu ?= 而以下的式子也会成立： ds s f s x G x u )(),()(?= (3) 因此，若知道(1)式的格林函数，及(2)式中的)(x f ，由于L 为线性算符，可以用上述的方式得到)(x u 。换句话说，(2)式的解)(x u 可以由(3)式的积分得到。若可以找到满足(1)式的格林函数G ，就可以求出)(x u 。 并非所有的算符L 都存在对应的格林函数。格林函数也可以视为算符L 的左逆元素。撇开要找到特定算符的格林函数的难度不论,(3)式的积分也很难求解，因此
格林函数(免费)
§2.4 格林函数法解的积分公式 在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一 种常用的方法— —格林函数方法。 格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个 点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以 用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 一、 泊松方程的格林函数法 为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。 设 u （ r ）和 v （r ）在区域 T 及其边界 上具有连续一阶导数，而在 T 中具有连续二阶 导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分 u v dS 化成体积积分 u v dS (u v)dV u vdV u vdV . T T T （12-1-1） 这叫作第一格林公式 。同理，又有 v u dS v udV u vdV. T T （ 12-1-1）与（ 12-1-2）两式相减，得 (u v v u) dS (u v v u) dV , T 亦即 u v v u dS (u v v u)dV . n n T n 表示沿边界 的外法向求导数。（ 12-1-3）叫作 第二格林公式 。 现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。泊松方程是 （12-1-2） （12-1-3）
第一、第二、第三类边界条件可统一地表为 u u (M ), n （12-1-5） 其中 （M ）是区域边界 上的给定函数。 ＝ 0， ≠0 为第一类边界条件， ≠0， ＝ 0 是第二类边界条件， 、 都不等于零是第三类边界条件。泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作 第一边值问题或狄里希利问题 ，与第二类边界条件构成的定解问题叫作 第二边值问题或诺依曼问题 ，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题 。 为了研究点源所产生的场，需要找一个能表示点源密度分布的函数。 §5.3 中介 绍的 函数正是描述一个单位正点量的密度分布函数。因此，若以 v （ r ， r 0）表示位 于 r 0 点的单位强度的正点源在 r 点产生的场，即 v （r ， r 0 ）应满足方程 v(r , r 0 ) (r r 0 ). （12-1-6） 现在，我们利用格林公式导出泊松方程解的积分表示式。 以 v （ r ，r 0）乘（12-1-4）， u （r ）乘（ 12-1-6），相减，然后在区域 T 中求积分，得 (v u u v) dV z T vfdV u (r r 0 )dV . T T T （12-1-7） 应用格林公式将上式左边的体积分化 K r 0 成面积分。但是，注意到在 r ＝r 0 点， v 具有 函数的奇异性，格林公式不 能用。解决的办法是先从区域 T 中挖 O y 去包含 r 0 的小体积，例如半径为 的小 球 K （图 12-1）， 的边界面为 。 x 图 12-1 对于剩下的体积，格林公式成立， (v u u v) dV v u u v dS v u u v dS. T K n n n n （12-1-8） 把（ 12-1-8）代入挖去 K 的（ 12-1-7），并注意 r ≠ r 0 ，故 （r －r 0 ）＝ 0，于是 v u u v dS v u u v dS vfdV . n n n n T K （12-1-9） 当 r r 0 1 ，方程（ 12-1-6）的解 v （ r ，r 0）—→ 位于点 r 0 而电量为－ 0 的点电 r r