一、数列的概念选择题
1.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列,如数列1,3,6,10,前后两项之差得到新数列2,3,4,新数列2,3,4为等差数列,这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第19项为( ) A .184
B .174
C .188
D .160
2.在数列{}n a 中,11a =,11n n a a n +=++,设数列1n a ??
?
???
的前n 项和为n S ,若n S m <对一切正整数n 恒成立,则实数m 的取值范围为( ) A .()3,+∞ B .[
)3,+∞
C .()2,+∞
D .[)2,+∞
3.数列{}n a 的通项公式是2
76n a n n =-+,4a =( )
A .2
B .6-
C .2-
D .1
4.在数列{}n a 中,10a =
,1n a +,则2020a =( ) A .0
B .1
C
.D
5.数列23451,,,,,3579
的一个通项公式n a 是( ) A .
21n
n + B .
23
n
n + C .
23
n
n - D .
21
n
n - 6.
的一个通项公式是( )
A
.n a =
B
.n a =C
.n a =D
.n a =7.在古希腊,毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,36,45,…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ,则下面结论错误的是( ) A .1(1)n n a a n n --=> B .20210a =
C .1024是三角形数
D .123111121
n n a a a a n +++?+=+ 8.数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为( )
A .21n a n =-
B .()1(21)n
n a n =--
C .()
1
1(21)n n a n +=--
D .()
1
1(21)n n a n +=-+
9.设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数,且对任意的实数x 、y R ∈,都有
()()()f x f y f x y ?=+,若112
a =
,()()
*
n a f n n N =∈,则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足( ) A .
1324
n S ≤< B .
3
14
n S ≤< C .102
n S <≤
D .
1
12
n S ≤< 10.若数列{}n a 满足:存在正整数T ,对于任意正整数n 都有1n n a a +=成立,则称数列
{}n a 为周期数列,周期为T .
已知数列{}n a 满足()111,1
0,{1
,01n n n n n
a a a m m a a a +->=>=<≤ ,则下列结论错误的是( ) A .若34a =,则m 可以取3个不同的数; B
.若m =
,则数列{}n a 是周期为3的数列;
C .存在m Q ∈,且2m ≥,数列{}n a 是周期数列;
D .对任意T N *∈且2T ≥,存在1m >,使得{}n a 是周期为T 的数列. 11.数列{}n a 前n 项和为n S ,若21n n S a =+,则72019a S +的值为( ) A .2
B .1
C .0
D .1-
12.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+,则4a 的值为( ) A .4
B .6
C .8
D .10
13.已知在数列{}n a 中,112,1
n n n
a a a n +==+,则2020a 的值为( ) A .
1
2020
B .
1
2019
C .
11010
D .
11009
14.已知数列{}n b 满足1
2122n n b n λ-??=-- ???
,若数列{}n b 是单调递减数列,则实数λ的
取值范围是( ) A .
10
1,
3
B .110,23??- ???
C .(-1,1)
D .1,12??
-
???
15.数列{}n a 满足1
111,(2)2
n n n a a a n a --==≥+,则5a 的值为( )
A .
18
B .
17 C .
131
D .
16
16.已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+,且11
3
a =,则{}n a 的前2021项之积为( ) A .
23
B .
13
C .2-
D .3-
17.正整数的排列规则如图所示,其中排在第i 行第j 列的数记为,i j a ,例如4,39a =,则
645a ,等于( )
123
456
78910
A .2019
B .2020
C .2021
D .2022
18.在数列{}n a 中,11a =,()*
1
22,21
n n a n n N a -=≥∈-,则3
a =( )
A .6
B .2
C .
2
3 D .
211
19.在数列{}n a 中,已知13a =,26a =,且21n n n a a a ++=-,则2020a =( ) A .-6 B .6 C .-3
D .3
20.已知数列{}n a 的通项公式为()()2
11n
n a n
=--,则6a =( )
A .35
B .11-
C .35-
D .11
二、多选题
21.已知数列0,2,0,2,0,2,
,则前六项适合的通项公式为( )
A .1(1)n
n a =+-
B .2cos
2
n n a π= C .(1)2sin
2
n n a π
+= D .1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--
22.已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和,且S 5>S 6>S 4,以下有四个命题,其中正确的有( )
A .数列{}n a 的公差d <0
B .数列{}n a 中S n 的最大项为S 10
C .S 10>0
D .S 11>0
23.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若30S =,46a =,则( ) A .2
3n S n n =- B .2392
-=n n n
S
C .36n a n =-
D .2n a n =
24.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d ,且35a =,73a =,则( ) A .12
d =
B .12
d =-
C .918S =
D .936S =
25.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,218a =,512a =,则下列选项正确的是( )
A .2d =-
B .122a =
C .3430a a +=
D .当且仅当11n =时,n S 取得最大值
26.已知数列{}2n
n
a n +是首项为1,公差为d 的等差数列,则下列判断正确的是( ) A .a 1=3 B .若d =1,则a n =n 2+2n C .a 2可能为6
D .a 1,a 2,a 3可能成等差数列
27.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若10a >,717S S =,则( ) A .0d < B .120a > C .13n S S ≤
D .当且仅当0n
S <时,26n ≥
28.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,且56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d > B .70a =
C .95S S >
D .6S 与7S 均为n S 的最大值
29.(多选题)在数列{}n a 中,若22
1n n a a p --=,(2n ≥,*n N ∈,p 为常数),则称
{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( )
A .若{}n a 是等差数列,则{}
2
n a 是等方差数列
B .
(){}1n
-是等方差数列
C .若{}n a 是等方差数列,则{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方差数列
D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列 30.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,且3201911
111
a a e e +≤++,则( ) A .当数列{}n a 为等差数列时,20210S ≥ B .当数列{}n a 为等差数列时,20210S ≤ C .当数列{}n a 为等比数列时,20210T > D .当数列{}n a 为等比数列时,20210T <
31.已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 2
5,n S n n =-则下列说法正确的是( )
A .{}n a 为等差数列
B .0n a >
C .n S 最小值为214
-
D .{}n a 为单调递增数列
32.(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10a >,公差0d ≠,则下列命题正确的是( )
A .若59S S =,则必有14S =0
B .若59S S =,则必有7S 是n S 中最大的项
C .若67S S >,则必有78S S >
D .若67S S >,则必有56S S >
33.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d .已知312a =,120S >,70a <则( ) A .60a > B .数列1n a ??
????
是递增数列
C .0n
S <时,n 的最小值为13
D .数列n n S a ??
?
???
中最小项为第7项 34.公差为d 的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,110S >,120S <,下列说法正确的有( ) A .0d <
B .70a >
C .{}n S 中5S 最大
D .49a a <
35.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d ,且满足10a >,1118S S =,则对n S 描述正确的有( ) A .14S 是唯一最小值 B .15S 是最小值 C .290S =
D .15S 是最大值
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一、数列的概念选择题 1.B 解析:B 【分析】
根据高阶等差数列的知识,结合累加法求得数列的通项公式,由此求得19a . 【详解】
3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,
6,
所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=, 所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+
+-+
()()1213n n =-+-+
++()()()1111332
2
n n n n -+?--=
+=+.
所以191918
31742
a ?=+=. 故选:B 【点睛】
本小题主要考查数列新定义,考查累加法,属于基础题.
2.D
解析:D 【分析】
利用累加法求出数列{}n a 的通项公式,并利用裂项相消法求出n S ,求出n S 的取值范围,进而可得出实数m 的取值范围. 【详解】
11n n a a n +=++,11n n a a n +∴-=+且11a =,
由累加法可得
()()()()12132111232
n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=+++
+=
,
()122211
n a n n n n ∴
==-++,2222
2222222311n S n n n ?
?????∴=-+-+
+-=-< ? ? ?
++?
?????
, 由于n S m <对一切正整数n 恒成立,2m ∴≥,因此,实数m 的取值范围是[)2,+∞.
故选:D. 【点睛】
本题考查数列不等式恒成立问题的求解,同时也考查了累加法求通项以及裂项求和法,考查计算能力,属于中等题.
3.B
解析:B 【分析】 令4n = 代入即解 【详解】
令4n =,2
447466a =-?+=-
故选:B. 【点睛】
数列通项公式n a 是第n 项与序号n 之间的函数关系,求某项值代入求解.
4.A
解析:A 【分析】
写出数列的前几项,找寻规律,求出数列的周期,问题即可解.
10a =
,1n a +1n =
时,2a 2n =
时,3a 3n =
时,4a ; ∴ 数列{}n a 的周期是3
20206733110a a a ?+∴===
故选:A. 【点睛】
本题考查周期数列. 求解数列的周期问题时,周期数列的解题方法:根据给出的关系式求出数列的若干项,通过观察归纳出数列的周期,进而求有关项的值或者前n 项的和.
5.D
解析:D 【分析】
根据数列分子分母的规律求得通项公式. 【详解】
由于数列的分母是奇数列,分子是自然数列,故通项公式为21
n n
a n =-. 故选:D 【点睛】
本小题主要考查根据数列的规律求通项公式,属于基础题.
6.C
解析:C 【分析】
根据数列项的规律即可得到结论. 【详解】
因为数列3,7,11,15?的一个通项公式为41n -,
,
?
的一个通项公式是n a = 故选:C . 【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求法,利用条件找到项的规律是解决本题的关键.
7.C
解析:C 【分析】
对每一个选项逐一分析得解.
∵212a a -=,323a a -=,434a a -=,…,由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>,故A 正确;
将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)
22
n n n n n a a -++=+=,∴20210a =,故B 正确; 令
(1)
10242
n n +=,此方程没有正整数解,故C 错误; 12
1111111
1212231n a a a n n ????????+++
=-+-++- ? ? ???+????????
122111n n n ??=-= ?++??,故D 正确. 故选C 【点睛】
本题主要考查累加法求通项,考查裂项相消法求和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
8.C
解析:C 【分析】
分别观察各项的符号、绝对值即可得出. 【详解】
数列1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式()()112n
n a n =--. 故选C . 【点睛】
本题考查了球数列的通项公式的方法,属于基础题.
9.D
解析:D 【分析】
根据题意得出111
2
n n n a a a a +==
,从而可知数列{}n a 为等比数列,确定该等比数列的首项和公比,可计算出n S ,然后利用数列{}n S 的单调性可得出n S 的取值范围. 【详解】
取1x =,(
)y n n N
*
=∈,由题意可得()()()111
112
n n n a
f n f f n a a a +=+=?==
, 11
2n n a a +∴
=,所以,数列{}n a 是以12为首项,以12
为公比的等比数列, 11112211212
n n n S ??
- ???
∴==--,所以,数列{}n S 为单调递增数列,则11n S S ≤<,即
1
12
n S ≤<. 故选:D.
【点睛】
本题考查等比数列前n 项和范围的求解,解题的关键就是判断出数列{}n a 是等比数列,考查推理能力与计算能力,属于中等题.
10.C
解析:C 【解析】
试题分析:A:当01m <≤时,由34a =得1;125m m =
<≤时,由34a =得54
m =; 2m >时,()2311,,24a m a m =-∈+∞=-= 得6m = ;正确 .
B:
234111,11,1,m a a a =>∴==
==> 所以3T =,正
确.
C :命题较难证明,先考察命题
D .
D :命题的否定为“对任意的T N *∈,且2T ≥,不存在1m >,使得{}n a 是周期为T 的数列”,而由B 显然这个命题是错误的,因此D 正确,从而只有C 是错误. 考点:命题的真假判断与应用.
【名师点睛】本题主要考查周期数列的推导和应用,考查学生的推理能力.此题首先要理解新定义“周期为T 的数列”,然后对A 、B 、C 、D 四个命题一一验证,A 、B 两个命题按照数列的递推公式进行计算即可,命题C 较难证明,但出现在选择题中,考虑到数学选择题中必有一个选项正确,因此我们先研究D 命题,并且在命题D 本身也很难的情况下,采取“正难则反”的方法,考虑命题D 的否定,命题D 的否定由命题B 很容易得出是错误的,从而命题D 是正确的.
11.A
解析:A 【分析】
根据21n n S a =+,求出1a ,2a ,3a ,4a ,?
?,寻找规律,即可求得答案. 【详解】
21n n S a =+
当1n =,1121a a =+,解得:11a = 当2n =,122221a a a +=+,解得:21a =- 当3n =,32132221a a a a ++=+,解得:31a = 当4n =,4321422221a a a a a +++=+,解得:41a =-
??
当n 奇数时,1n a = 当n 偶数时,1n a =-
∴71a =,20191S =
故720192a S += 故选:A. 【点睛】
本题主要考查了根据递推公式求数列值,解题关键是掌握数列的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
12.C
解析:C 【分析】
利用443a S S =-计算. 【详解】
由已知22
443(44)(33)8a S S =-=+-+=.
故选:C .
13.C
解析:C 【分析】
由累乘法可求得2
n a n
=,即可求出. 【详解】
11
n n n a a n +=
+,即11n n a n a n +=+, 12
321123
21123
21
212
32n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n --------∴=
????
??=??????--2n
=, 202021
20201010
a ∴=
=. 故选:C.
14.A
解析:A 【分析】
由题1n n b b +>在n *∈N 恒成立,即16212n
n λ??-<+ ???
,讨论n 为奇数和偶数时,再利用数列单调性即可求出. 【详解】
数列{}n b 是单调递减数列,1n n b b +∴>在n *∈N 恒成立,
即()1
22112+1222n n n n λλ-????-->-- ? ?
????
恒成立,
即16212n
n λ??-<+ ???
, 当n 为奇数时,则()6212n
n λ>-+?恒成立,
()212n n -+?单调递减,1n ∴=时,()212n n -+?取得最大值为6-,
66λ∴>-,解得1λ>-;
当n 为偶数时,则()6212n
n λ<+?恒成立,
()212n n +?单调递增,2n ∴=时,()212n n +?取得最小值为20,
620λ∴<,解得103
λ<
, 综上,1013
λ-<<. 故选:A. 【点睛】
关键点睛:本题考查已知数列单调性求参数,解题的关键由数列单调性得出
16212n
n λ??
-<+ ???
恒成立,需要讨论n 为奇数和偶数时的情况,这也是容易出错的地方. 15.C
解析:C 【分析】
根据条件依次算出2a 、3a 、4a 、5a 即可. 【详解】 因为1
111,(2)2
n n n a a a n a --==
≥+,
所以211123a ==+,31131723a ==+,4117
11527a ==+,51
115131215
a ==+
故选:C 16.B
解析:B 【分析】
由111n n n n a a a a ++-=+,且113
a =,可得:111n n n a a a ++=-,可得其周期性,进而得出结论. 【详解】
因为111n n n n a a a a ++-=+,且113
a =, 所以111n
n n
a a a ++=
-, 21
132113
a +
∴==-,33a =-,412a =-,513a =,??, 4n n a a +∴=.
123411
···2(3)()132
a a a a ∴=??--??=.
则{}n a 的前2021项之积50511
133
=?=.
故选:B 【点睛】
方法点睛:已知递推关系式求通项:(1)用代数的变形技巧整理变形,然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式.(2)通过具体的前几项找到其规律,如周期性等求解.
17.C
解析:C 【分析】
根据题目中已知数据,进行归总结,得到一般性结论,即可求得结果. 【详解】
根据题意,第1行第1列的数为1,此时111(11)
112
a ?-=+=,, 第2行第1列的数为2,此时212(21)
122
a ?-=+=,, 第3行第1列的数为4 ,此时313(31)
142
a ?-=
+=,, 据此分析可得:第64行第1列的数为64164(641)
120172
a ?-=+=,,则6452021a =,, 故选:C.
18.C
解析:C 【分析】
利用数列的递推公式逐项计算可得3a 的值. 【详解】
()*122,21
n n a n n N a -=
≥∈-,11a =,212221
a a ∴=
=-,3222
213a a =
=-.
【点睛】
本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项,考查计算能力,属于基础题.
19.C
解析:C 【分析】
根据题设条件,得到数列{}n a 是以6项为周期的数列,其中
1234560a a a a a a +++++=,再由2020336644a a a ?+==,即可求解.
【详解】
由题意,数列{}n a 中,13a =,26a =,且21n n n a a a ++=-, 可得
3214325436547653,3,6,3,3,
a a a a a a a a a a a a a a a =-==-=-=-=-=-=-=-=,
可得数列{}n a 是以6项为周期的数列,其中1234560a a a a a a +++++=, 所以20203366443a a a ?+===-. 故选:C. 【点睛】
本题主要考查了数列的递推关系式,以及数列的周期性的应用,其中解答中得出数列的周期性是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
20.A
解析:A 【分析】
直接将6n =代入通项公式可得结果. 【详解】 因为()()2
11n
n a n
=--,所以626(1)(61)35a =--=.
故选:A 【点睛】
本题考查了根据通项公式求数列的项,属于基础题.
二、多选题 21.AC 【分析】
对四个选项中的数列通项公式分别取前六项,看是否满足题意,得出答案. 【详解】
对于选项A ,取前六项得:,满足条件; 对于选项B ,取前六项得:,不满足条件; 对于选项C ,取前六项得:,
【分析】
对四个选项中的数列通项公式分别取前六项,看是否满足题意,得出答案. 【详解】
对于选项A ,1(1)n
n a =+-取前六项得:0,2,0,2,0,2,满足条件;
对于选项B ,2cos 2
n n a π
=取前六项得:0,2,0,2,0,2--,不满足条件; 对于选项C ,(1)2sin
2
n n a π
+=取前六项得:0,2,0,2,0,2,满足条件; 对于选项D ,1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得:0,2,2,8,12,22,不满足条件; 故选:AC
22.AC 【分析】
由,可得,且,然后逐个分析判断即可得答案 【详解】
解:因为,所以,且,
所以数列的公差,且数列中Sn 的最大项为S5,所以A 正确,B 错误, 所以,,
所以C 正确,D 错误, 故选:AC
解析:AC 【分析】
由564S S S >>,可得650,0a a ,且650a a +>,然后逐个分析判断即可得答案 【详解】
解:因为564S S S >>,所以650,0a a ,且650a a +>,
所以数列的公差0d <,且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5,所以A 正确,B 错误, 所以110105610()
5()02a a S a a +=
=+>,11111611()1102
a a S a +==<, 所以C 正确,D 错误, 故选:AC
23.BC 【分析】
由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前项和公式 【详解】
解:设等差数列的公差为,
所以,解得, 所以, , 故选:BC
解析:BC 【分析】
由已知条件列方程组,求出公差和首项,从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】
解:设等差数列{}n a 的公差为d , 因为30S =,46a =,
所以1132302
36
a d a d ??
+
=???+=?,解得133a d =-??=?, 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-,
21(1)3(1)393222
n n n n n n n
S na d n ---=+=-+=
, 故选:BC
24.BD 【分析】
由等差数列下标和性质结合前项和公式,求出,可判断C ,D ,由等差数列基本量运算,可得公差,判断出A ,B . 【详解】 因为, 所以.
因为,,所以公差. 故选:BD
解析:BD 【分析】
由等差数列下标和性质结合前n 项和公式,求出9S ,可判断C ,D ,由等差数列基本量运算,可得公差,判断出A ,B . 【详解】
因为1937538a a a a +=+=+=, 所以()199998
3622
a a S +?=
==.
因为35a =,73a =,所以公差731
732
a a d -==--. 故选:BD
25.AC 【分析】
先根据题意得等差数列的公差,进而计算即可得答案. 【详解】
解:设等差数列的公差为, 则,解得. 所以,,,
所以当且仅当或时,取得最大值. 故选:AC 【点睛】
本题考查等差数列的
解析:AC 【分析】
先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-,进而计算即可得答案. 【详解】
解:设等差数列{}n a 的公差为d , 则52318312a a d d =+=+=,解得2d =-.
所以120a =,342530a a a a +=+=,11110201020a a d =+=-?=, 所以当且仅当10n =或11时,n S 取得最大值. 故选:AC 【点睛】
本题考查等差数列的基本计算,前n 项和n S 的最值问题,是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况:
(1)当10,0a d ><时,n S 有最大值,可以通过n S 的二次函数性质求解,也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定;
(2)当10,0a d <>时,n S 有最小值,可以通过n S 的二次函数性质求解,也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定;
26.ACD 【分析】
利用等差数列的性质和通项公式,逐个选项进行判断即可求解 【详解】
因为,,所以a1=3,an =[1+(n-1)d](n+2n).若d =1,则an =n(n+2n);若d
=0,则a2=
解析:ACD 【分析】
利用等差数列的性质和通项公式,逐个选项进行判断即可求解 【详解】 因为
1
112a =+,1(1)2
n n a n d n =+-+,所以a 1=3,a n =[1+(n -1)d ](n +2n ).若d =1,则a n =n (n +2n );若d =0,则a 2=6.因为a 2=6+6d ,a 3=11+22d ,所以若a 1,a 2,a 3成等差数列,则a 1+a 3=a 2,即14+22d =12+12d ,解得1
5
d =-. 故选ACD
27.AB 【分析】
根据等差数列的性质及可分析出结果. 【详解】 因为等差数列中, 所以, 又, 所以,
所以,,故AB 正确,C 错误; 因为,故D 错误, 故选:AB 【点睛】
关键点睛:本题突破口在于由
解析:AB 【分析】
根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】
因为等差数列中717S S =, 所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=,
又10a >,
所以12130,0a a ><,
所以0d <,12n S S ≤,故AB 正确,C 错误; 因为125251325()
2502
a a S a +==<,故D 错误, 故选:AB 【点睛】
关键点睛:本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=,结合10a >,进而得到
12130,0a a ><,考查学生逻辑推理能力.
28.BD 【分析】
设等差数列的公差为,依次分析选项即可求解. 【详解】
根据题意,设等差数列的公差为,依次分析选项: 是等差数列,若,则,故B 正确; 又由得,则有,故A 错误; 而C 选项,,即,可得,
解析:BD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项即可求解. 【详解】
根据题意,设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项:
{}n a 是等差数列,若67S S =,则7670S S a -==,故B 正确;
又由56S S <得6560S S a -=>,则有760d a a =-<,故A 错误; 而C 选项,95S S >,即67890a a a a +++>,可得()7820a a +>, 又由70a =且0d <,则80a <,必有780a a +<,显然C 选项是错误的. ∵56S S <,678S S S =>,∴6S 与7S 均为n S 的最大值,故D 正确; 故选:BD. 【点睛】
本题考查了等差数列以及前n 项和的性质,需熟记公式,属于基础题.
29.BCD 【分析】
根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】
对于A 选项,取,则不是常数,则不是等方差数列,A 选项中的结论错误; 对于B 选项,为常数,则是等方差数列,B 选项中的结论正
解析:BCD 【分析】
根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误. 【详解】
对于A 选项,取n a n =,则
()()()422444221111n n a a n n n n n n +????-=+-=+-?++????
()()221221n n n =+++不是常数,则{}
2
n a 不是等方差数列,A 选项中的结论错误;
对于B 选项,()()2
2
111110n n
+????---=-=????
为常数,则(){
}
1n
-是等方差数列,B 选项
中的结论正确;
对于C 选项,若{}n a 是等方差数列,则存在常数p R ∈,使得22
1n n a a p +-=,则数列
{}2n
a 为等差数列,所以(
)
2
21kn k n a a kp +-=,则数列{}kn a (*k N ∈,k 为常数)也是等方
差数列,C 选项中的结论正确;
对于D 选项,若数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,则存在m R ∈,使得
n a dn m =+,
则()()()()2
2
2
1112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++,
由于数列{}n a 也为等方差数列,所以,存在实数p ,使得22
1n n a a p +-=,
则()2
22d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立,则(
)2202d m d d p ?=?
?+=??,得0p d ==,
此时,数列{}n a 为常数列,D 选项正确.故选BCD. 【点睛】
本题考查数列中的新定义,解题时要充分利用题中的定义进行判断,也可以结合特殊数列来判断命题不成立,考查逻辑推理能力,属于中等题.
30.AC 【分析】
将变形为,构造函数,利用函数单调性可得,再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由,可得,令, ,
所以是奇函数,且在上单调递减,所以, 所以当数列为等差数列时,;
解析:AC 【分析】 将
3201911111a a e e +≤++变形为32019
1111
01212
a a e e -+-≤++,构造函数()11
12
x
f x e =
-+,利用函数单调性可得320190a a +≥,再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】
由
3201911111a a e e +≤++,可得32019111101212a a e e -+-≤++,令()11
12
x f x e =-+, ()()1111101111
x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++,
所以()1112
x
f x e =
-+是奇函数,且在R 上单调递减,所以320190a a +≥, 所以当数列{}n a 为等差数列时,()
320192*********
a a S +=
≥;
当数列{}n a 为等比数列时,且3a ,1011a ,2019a 同号,所以3a ,1011a ,2019a 均大于零, 故()2021
202110110T a =>.
故选:AC 【点睛】
本题考查等差数列与等比数列,考查逻辑推理能力,转化与化归的数学思想,属于中档题
31.AD 【分析】
利用求出数列的通项公式,可对A ,B ,D 进行判断,对进行配方可对C 进行判断 【详解】 解:当时,, 当时,, 当时,满足上式, 所以,
由于,所以数列为首项为,公差为2的等差数列, 因
解析:AD 【分析】
利用11,1,2
n n n S n a S S n -=?=?-≥?求出数列的通项公式,可对A ,B ,D 进行判断,对
25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断
【详解】
解:当1n =时,11154a S ==-=-,
当2n ≥时,22
15[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-,
当1n =时,14a =-满足上式, 所以26n a n =-,
由于()122n n a a n --=≥,所以数列{}n a 为首项为4-,公差为2的等差数列,
必修五数列复习综合练习题 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.2011是等差数列:1,4,7,10,…的第几项( ) (A )669 (B )670 (C )671 (D )672 2.数列{a n }满足a n =4a n-1+3,a 1=0,则此数列的第5项是( ) (A )15 (B )255 (C )20 (D )8 3.等比数列{a n }中,如果a 6=6,a 9=9,那么a 3为( ) (A )4 (B )2 3 (C ) 9 16 (D )2 4.在等差数列{a n }中,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,则a 20=( ) (A )-1 (B )1 (C )3 (D )7 5.在等差数列{a n }中,已知a 1=2,a 2+a 3=13,则a 4+a 5+a 6=( ) (A )40 (B )42 (C )43 (D )45 6.记等差数列的前n 项和为S n ,若S 2=4,S 4=20,则该数列的公差d=( ) (A)2 (B)3 (C)6 (D)7 7.等差数列{a n }的公差不为零,首项a 1=1,a 2是a 1和a 5的等比中项,则数列的前10项之和是( ) (A )90 (B )100 (C )145 (D )190 8.在数列{a n }中,a 1=2,2a n+1-2a n =1,则a 101的值为( ) (A )49 (B )50 (C )51 (D )52
9.计算机是将信息转化成二进制数进行处理的,二进制即“逢二进一”,如 (1101)2表示二进制的数,将它转化成十进制的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13,那么将二进制数16111???位 转换成十进制数的形式是( ) (A )217-2 (B )216-1 (C )216-2 (D )215-1 10.在等差数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3=32,a 11+a 12+a 13=118,则a 4+a 10=( ) (A )45 (B )50 (C )75 (D )60 11.(2011·江西高考)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n +S m =S n+m ,且a 1=1,那么a 10=( ) (A )1 (B )9 (C )10 (D )55 12.等比数列{a n }满足a n >0,n=1,2,…,且a 5·a 2n-5=22n (n ≥3),则当n ≥1时,log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1=( ) (A )n(2n-1) (B )(n+1)2 (C )n 2 (D )(n-1)2 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确的答案填在题中的横线上) 13.等差数列{a n }前m 项的和为30,前2m 项的和为100,则它的前3m 项的和 为______. 14.(2011·广东高考)已知{a n }是递增等比数列,a 2=2,a 4-a 3=4,则此数列的公比q=______. 15.两个等差数列{a n },{b n }, 12n 12n a a a 7n 2 b b b n 3 ++?++= ++?++,则55a b =______. 16.设数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +n+1,则通项a n =_____.
《数列》单元练习试题 一、选择题 1.已知数列}{n a 的通项公式432--=n n a n (∈n N *),则4a 等于( ) (A)1 (B )2 (C )3 (D )0 2.一个等差数列的第5项等于10,前3项的和等于3,那么( ) (A )它的首项是2-,公差是3 (B)它的首项是2,公差是3- (C )它的首项是3-,公差是2 (D )它的首项是3,公差是2- 3.设等比数列}{n a 的公比2=q ,前n 项和为n S ,则 =24a S ( ) (A )2 (B)4 (C)2 15 (D )217 4.设数列{}n a 是等差数列,且62-=a ,68=a ,n S 是数列{}n a 的前n 项和,则( ) (A)54S S < (B )54S S = (C)56S S < (D )56S S = 5.已知数列}{n a 满足01=a ,133 1+-=+n n n a a a (∈n N*),则=20a ( ) (A)0 (B)3- (C )3 (D) 23 6.等差数列{}n a 的前m 项和为30,前m 2项和为100,则它的前m 3项和为( ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)260 7.已知1a ,2a ,…,8a 为各项都大于零的等比数列,公比1≠q ,则( ) (A)5481a a a a +>+ (B )5481a a a a +<+ (C)5481a a a a +=+ (D )81a a +和54a a +的大小关系不能由已知条件确定 8.若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数 列有( ) (A )13项 (B)12项 (C)11项 (D)10项 9.设}{n a 是由正数组成的等比数列,公比2=q ,且30303212=????a a a a ,那么 30963a a a a ???? 等于( ) (A)210 (B)220 (C)216 (D)215 10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:
数列单元测试卷 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填涂在答卷相应位置. 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.数列3,5,9,17,33,…的通项公式a n等于( ) A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2n+1 2.下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是( ) A.1,1 2 , 1 3 , 1 4 ,… B.-1,2,-3,4,… C.-1,-1 2 ,- 1 4 ,- 1 8 ,… D.1,2,3,…,n 3..记等差数列的前n项和为S n,若a1=1/2,S4=20,则该数列的公差d=________.( ) A.2 B.3 C.6 D.7 4.在数列{a n}中,a1=2,2a n+1-2a n=1,则a101的值为( ) A.49 B.50 C.51 D.52 5.等差数列{a n}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列的前10项之和是( ) A.90 B.100 C.145 D.190 6.公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5=( ) A.1 B.2 C.4 D.8
7.等差数列{a n }中,a 2+a 5+a 8=9,那么关于x 的方程:x 2 +(a 4+a 6)x +10=0( ) A .无实根 B.有两个相等实根 C .有两个不等实根 D .不能确定有无实根 8.已知数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,又数列?? ?? ?? 11+a n 是等差数列,则a 11等于( ) A .0 B.12 C.2 3 D .-1 9.等比数列{a n }的通项为a n =2·3 n -1 ,现把每相邻两项之间都插入两个数,构成一个新的 数列{b n },那么162是新数列{b n }的( ) A .第5项 B.第12项 C .第13项 D .第6项 10.设数列{a n }是以2为首项,1为公差的等差数列,{b n }是以1为首项,2为公比的等比 数列,则 A .1 033 B.1 034 C .2 057 D .2 058 11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,且28,171==S a .记[]n n a b lg =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[]09.0=,[]199lg =.则b 11的值为( ) A.11 B.1 C. 约等于1 D.2 12.我们把1,3,6,10,15,…这些数叫做三角形数,因为这些数目的点可以排成一个正三角形,如下图所示: 则第七个三角形数是( ) A .27 B.28 C .29 D .30
第六章数列测试题 一,选择题 1,气象站一天各时刻测得的气温排成的一列数( ) A 不是数列B 是数列C 是无序数列D 是有序数但不是数列 2,已知数列{ a n }的通项公式为a n = n 2 +3n+2,以下四个数中,是数列{ a . }中 的一项是() A 18 3 ?数列 B54 1 22 1 32 C 102 D 156 —,二^ …的一个通项公式是( ) 1 4 1 A , a . 1 n 2 1 an =TTE a n = n(n 2) D 以上都不对 4. A C 下列各数列中, 0,1,0,1,0,1,? -1,1,-1,1, 是等差数列的是( B 0.3, 0.33, 0.333, D 8,8,8,8, 、5 —与另一个数的等差中项,则另一个数( ) 、3 ?、 5 6. 在等差数列 {a n }中,若 a 4 a 6 10,则 a 2 a 3 a 4 a 6 a ? 等于 9, 已知x,2x+2,3x+2是一个等比数列的前3项,贝U 等比数列的第4项是() A -27 B 12 C -13.5 D 13.5 10. 设等比数列的首项与第2项的和为30, a s a 4 120,则a s +a 6=() A 120 B 240 C 480 D 600 二,填空题 1. 数列 a n = (n+1) (n+2)的第 ___ 项为 110。 1 1 2 3 4 2. 数列--,0,-,-,-,-,…的一个通项公式为 ________________________ 2 4 5 6 7 3. 等差数列的第2项为-5,第6项与第4项之差为6,那么这个数列的首项是— 75 3 4. 已知 住公,?成等差数列,那么x= ______ 8 2 5. 等差数列的前4项之和为30,公差是3,则a s = ___________ 6. 在等比数列{ a n }中Q=9, a 6=243,则S 6= ____________ 3n 7. ___________________________________ 已知等比数列中,a n =一,则 a 1 = , q= ___________________________________ 6 1 8. 已知等比数列中,q=--,a * =1,S n =-20,则a 1 _________________________ 3 9. 110是通项公式为的a n n 1 n 2数列的第 _________________ 项 10. _________________________________________________ 首项为5,末项为 27,公差为2的等差数列共有 ________________________________ 项 三,解答题 1,已知成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上1, 3, 9后 得到的三个数成等比数列,求这三个数。 10 B 35 C 40 D 65 7, 等比数列前3项依次为、2,3.2,6 2,则第4项是() A 1 B 1212 C 9 12 D 3 2 8 .在0与16之间插入两个数,使前三个数成等差数列,后三个数成等比数列, 则这两个数的和等于() A 8 B 10 C12 D 16 2.已知数列{ a n }的通项公式为a n = (-1) 2n 1 n ---------- 求此数列的第 5 项。
一、数列的概念选择题 1.在数列{}n a 中,12a =,1 1 1n n a a -=-(2n ≥),则8a =( ) A .1- B . 12 C .1 D .2 2.数列{}n a 的通项公式是2 76n a n n =-+,4a =( ) A .2 B .6- C .2- D .1 3.已知数列{} ij a 按如下规律分布(其中i 表示行数,j 表示列数),若2021ij a =,则下列结果正确的是( ) A .13i =,33j = B .19i =,32j = C .32i =,14j = D .33i =,14j = 4.已知数列{}n a ,若()12* N n n n a a a n ++=+∈,则称数列{}n a 为“凸数列”.已知数列{} n b 为“凸数列”,且11b =,22b =-,则数列{}n b 的前2020项和为( ) A .5 B .5- C .0 D .1- 5.在数列{}n a 中,已知11a =,25a =,() * 21n n n a a a n N ++=-∈,则5a 等于( ) A .4- B .5- C .4 D .5 6.已知数列{}n a ,{}n b ,其中11a =,且n a ,1n a +是方程220n n x b x -+=的实数根, 则10b 等于( ) A .24 B .32 C .48 D .64 7.在数列{}n a 中,114a =-,1 11(1)n n a n a -=->,则2019a 的值为( )