奇妙的图形密铺
《苏教版小学数学教材中数学史的渗透的实践研究》
案例
案例一：
奇妙的图形密铺
教学内容：苏教版义务教育课程标准实验教科书五下P86~87。
教学目标：
1、通过观察生活中常见的密铺图案，使学生初步理解密铺的含义。
2、通过拼摆各种图形，认识一些可以密铺的平面图形，初步探索密铺的特点，了解密铺的条件。在探究规律的过程中培养学生的观察、猜测、验证、推理和交流的能力。
3、通过欣赏密铺图案和设计简单的密铺图案，使学生体会到图形之间的转换，充分感受数学知识与生活的密切联系，经历欣赏数学美、创造数学美的过程。教学重点：掌握密铺的特点，知道哪些平面图形可以进行密铺。
教学难点：理解密铺的特点，了解密铺条件，能进行简单的密铺设计。
教学过程：
一、感受密铺——观察与理解
1.谈话导入：同学们，老师这有一幅图片，你能看出是从哪里拍来的吗？
课件出示：
生答：某一个墙面。
师：那你能告诉大家它是用什么形状的瓷砖铺成的吗？
生：长方形。
依次出示：
师：这些呢？
生：可能是地面或墙面，分别用正六边形和正方形瓷砖铺设而成。
师：我们常用这样的图形铺设墙面或地面，有什么好处呢？
生：美观，平整，无空隙等。
师：如果只用圆形地砖铺设地面，好不好？为什么？出示幻灯片
生：不好。会有空隙。（师板书：空隙）
师：那再铺一层不就行了？动态演示
生：这样也不行，会有重叠。（师板书：重叠）
师：也就是咱们如果只用圆形地砖铺设地面要么就有空隙，要么就会重叠。再回过头来看，刚刚的三幅图片，它们铺的时候有什么共同特点？
生：既无空隙，又不重叠。
（师补全板书：既无空隙，又不重叠，铺在平面上）
师小结：无论什么形状的图形，如果能既无空隙、又不重叠地铺在平面上，
这就是平面图形的密铺。
2、从刚出示的几幅图中，你知道哪些图形能够密铺吗？（正六边形、长方形、
正方形）
3.继续出示图片：
课件出示：下面的三幅图，可以看作是密铺吗？为什么？
生：第一幅图是密铺，因为每个三角形之间既没有空隙，也不重叠；第二、
第三幅图都不是密铺，因为第二幅图图形之间有空隙，第三幅图图形之间是重叠的。
3.联系生活、揭示课题。
师：既然密铺的图形奇妙而美丽，生活中也有很多咱们一起来欣赏。
观看课件：生活中的密铺现象。（水立方，拼图，地面，墙面）
师：的确，我们的生活离不开密铺，密铺给我们的生活带来了丰富的变化
和美的享受。今天，我们就一同走进图形密铺世界。（板书：图形密铺）
二、探究密铺——猜想与验证
(一)我们先来研究一种平面图形的密铺
1.课件出示：下面哪些图形也能密铺？
2.学生猜测。
3.动手操作、实践验证。
(1)师：
那么这些猜测都对吗？怎样知道大家的猜测是否正确呢？就让我们
一起来动手来操作验证吧。
学生动手操作交流。
4.汇报结果、展示交流。
师：哪个小组说说你们的发现？
生汇报：能密铺的图形有平行四边形、正三角形、等腰梯形。不能密铺的有圆形与正五边形。
师课件展示部分作品验证。
5、归纳：通过刚才大家操作验证，我们知道正五边形、圆不能单独密铺平面，其他五种图形都能单独密铺一个平面。
小结：正五边形和圆不能够密铺。
6、延伸：
师：咱们知道正三角形能密铺，那一般的三角形呢？为什么？（同桌交流）生：我觉得能。可以将两个完全一样的三角形通过旋转平移转化为平行四边形。之前验证了平行四边形能密铺。所以一般的三角形能密铺。
师：那大家还能想到两个完全一样的什么图形能组成平行四边形？（梯形）（课件演示转化过程）
小结：形状、大小完全相同的三角形或梯形可以密铺。
7、猜一猜
怎样的图形能够密铺呢？？
学生说明猜想
老师给大家准备了正多边形的密铺阅读材料，看了也许能给大家启发哦。
学生自学阅读材料1——正多边形的密铺
(1)学生汇报收获
(正方形，它的每个角都是直角，那么4个正方形拼在一起，在公共顶点处的4个角，正好拼成一个360度的周角。正六边形的每个角都是120度， 3个正六边形拼在一起时，在公共顶点上的3个角度数的和正好是360度，正三角
形的每个内角都是60度， 6个正三角形拼在一起时，在公共顶点处的6个角的度数和正好是360度。)
(2)师：正五边形不能密铺，现在你能解释了吗？
生：360不是108的整数倍，在每个拼接点处的内角处不能保证没有空隙或重叠现象，所以正五边形不可以密铺。
出示：360÷108=3 (36)
（3）师：正八边形能密铺吗？解决这个问题，要知道什么条件呢？
生：只要知道正八边形的一个内角是多少度就行了。
师出示：（正八边形每个内角135°）现在你能判断了吗？
生：能。360÷135=2……90 ，正八边形不能密铺。（课件演示）
（4）现在你能再说说看怎样才能密铺吗？
小结：一周有360度，如果能正好把这360度铺严，（在公共顶点上几个角度数的和正好是360度）就可以进行密铺。
（5）师：平行四边形，长方形和梯形可以进行密铺，它们都是特殊的四边形，你想提出什么问题呢？
生：任意的四边形可以进行密铺吗？
通过动手拼一拼验证一下猜想。
四人小组，动手验证交流。汇报，演示。
师：通过动手去拼，发现任意的四边形可以进行密铺。那你能根据咱们刚刚总结的规律解释一下吗？
生：公共顶点处四个角正好是四边形四个内角，四边形内角和360°，所以任意的四边形可以密铺。
(二)两种平面图形的密铺
1、用同一种平面图形密铺图形会较为单调，看看下面的图形，与之前有何不同？（出示四幅组合密铺图形）
生：之前是一种图形单独密铺，这几幅图是由两种或以上的图形组合密铺。
师：你有什么感受？
生：很漂亮，美观，色彩鲜艳等。
小结：可以用同一种平面图形密铺,但生活中，常常为了使图案更加美观，可以用两种或者两种以上平面图形组合密铺。
2、用同一种平面图形如果不能密铺,用两种或者两种以上平面图形能不能密铺呢?
课件演示：
小结：用同一种平面图形如果不能密铺,可以用两种或者两种以上平面图形组合密铺。
3、七巧板
欣赏了这么多美妙的密铺图案，想不想自己动手试一试？
①铺一铺：同桌合作，选几种不同的图形铺一铺，把你的作品保留在桌面
上；
（4）小结延伸
通过刚才拼摆，你有什么发现？
小结：原来，不仅用一种平面图形密铺一个平面，用两种甚至更多的图形也能密铺成一个平面。设计师正是将数学与艺术的结合，用密铺的方法为我们设计了许多赏心悦目的图案。
三、欣赏与了解
（1）出示七巧板，七巧板表面这个图形属于密铺吗？它是由哪几种图形密铺而成的？你能从七巧板中选出几种不同的图形密铺一个平面吗？
（2）操作要求:
②品一品：小组成员相互欣赏和介绍各自的作品。
（3）学生作品欣赏与交流。
古往今来，许多艺术家、数学家对密铺都有浓厚的兴趣，咱们一起来了解密铺的历史吧。
（1）学生阅读材料2——密铺的历史
（2）生发表感受与收获
师：咱们刚刚都是用几何图形进行密铺，荷兰的艺术家埃舍尔用许多奇特的图形组成了密铺，像是人物、动物、甚至是一些凭空想象的事物，想不想一起来看看？
生：想。
出示埃舍尔人物图片及四幅作品展示。
师：你看出是由什么图形密铺而成的吗？
学生欣赏并说一说自己的发现（骑士和马、鸟、螃蟹、小丑）
四、回顾与总结
1、课后任务：自己设计一幅漂亮的密铺作品
2、谈话：同学们，今天我们一起研究了图形的密铺，你有什么收获？
师总结：是的，密铺就在我们的身边，无时无刻不在装点着我们的生活！希望大家学了今天的知识，能用眼睛去发现美，用心灵去感受美，用智慧去创造美。同时，它还是一门学问，在美丽的密铺后，还有太多的数学奥秘等待我们去探索。
数学史料
密铺的历史
1619年——数学家奇柏（J.Kepler）第一个利用正多边形铺嵌平面。
1891年——苏联物理学家费德洛夫（E.S.Fedorov）发现了十七种不同的铺嵌平面的对称图案。
1924年——数学家波利亚（Polya）和尼格利（Nigele）重新发现这个事实。
密铺图形奇妙而美丽，古往今来，不少艺术家都在这方面进行过研究。
最富趣味的是荷兰艺术家埃舍尔（M.C.Escher）与密铺。Escher于1898年生于荷兰。他到西班牙旅行参观时，对一种名为阿罕拉（Alhambra）的建筑物有很深的印象，这是一种十三世纪皇宫建筑物，其墙身、地板和天花板由摩尔人建造，而且铺了种类繁多、美仑美奂的马赛克图案。Escher用数日的时间复制了这些图案，并得到了启发，创造了各种并不局限于几何图案的密铺图案，这些图案包括人、青蛙、鱼、鸟、蜥蜴，甚至是他凭空想象的物体。他创作的艺术作品，结合数学与艺术，给人留下深刻的印象，更让人对数学产生了另一种看法。
案例二：
有趣的七巧板
教学内容:
苏教版二年级(上册) 第28-29页。
教学目标：
1、通过阅读寻找出有关七巧板的资料，获取有用的知识，为利用七巧板拼摆图形，进一步丰富学生对图形的感性认识奠定基础。
2、通过拼摆等操作活动，培养学生的观察、操作、想象和一定的创造能力，发展空间观念。
3、通过这节课让学生掌握寻找资料的方法，并养成数学阅读的习惯，在阅读中增强民族自豪感。
教学重难点：
1、通过阅读寻找出有关七巧板的资料，进一步丰富学生对图形的感性认识。
2、通过这节课让学生掌握寻找资料的方法，并养成数学阅读的习惯，在阅读中
增强民族自豪感。
教学准备：
课件、七巧板学具
教学过程：
一、创设情境，导入新课
同学们今天老师带来了一个谜语，想请同学们来猜谜，注意听：
一二三四五六七，
七个兄弟在一起，
齐心合力拼图形，
千变万化真神奇。
（七巧板）
是的，今天就让我们一起来认识这个新朋友，看看它有哪些本领。（板书：七巧板）
二、介绍七巧板
（1）集体阅读
在课前大家收集了许多关于七巧板的资料，谁来当小老师给大家说一说（指名说）
你是怎样收集到这些资料的？（上网、书店、图书馆）
还有谁想说？（同桌说）
（2）交流体会
小朋友真了不起，收集了这么多关于七巧板的资料，听了这些故事你有什么感受？（指名说）
（3）小结
七巧板是古时候我们中国人发明的一种非常有趣的玩具，利用它可以重新组合成几百种不同的图形呢!你们瞧(屏幕出示很多图)，变化多不多呀?外国朋友对我们中国的七巧板也很感兴趣，还给它取了个神奇的名字叫"东方魔板"。你们想不想来玩一玩这块"东方魔板？
三、初步感知，建立表象
1.认识七巧板。
谈话:老师也带来一副七巧板（点击课件）仔细观察：
（1）分一分:一副七巧板中有几种不同的图形呢?分别是？
（2）数一数:每一种图形有几个?
(3)比一比:哪些图形是完全一样的?(学生回答后电脑演示)
（4）小结：有几组完全一样的三角形？（2组）
四、动手操作，深入探索
1.用两块拼。
（1）谈话:我们先来简单一点的，拿出七巧板中的两块拼出一个我们认识的正方形。
你听懂了些什么？
（2）学生拼图。
(3)指名在实物投影仪上演示。
任意2块吗？（不是，要是）
(4)提问:你会再用这两块2块完全一样的三角形拼出其他图形吗？
(5)学生拼图。
(6)在实物投影仪上演示。
(7)小结:用这两个完全一样的三角形，可以拼成正方形、三角形、平行四边形、菱形。
2.用三块拼。
（1）谈话:再请小朋友拿出七巧板中的三块拼出我们认识的图形。
你想拿出哪三块？
（2）学生拼图。
(3)在黑板上展示，并让学生说说拼成了什么图形。
小结:用这3块，可以拼成正方形、长方形、三角形、平行四边形、五边形、梯形。
3.用四、五、六块拼。
（1）谈话:这一次我们要来难一点的了，大家可以小组合作，共同完成。要求是用七巧板中的四块、五块、六块来排出我们认识的图形。
（2）小组合作拼图。
介绍本组拼成了什么图形，是用哪些图形拼的。
4.用七块拼。
（1）谈话:七巧板不仅能拼出我们学过的图形，而且能排出我们生活中看到的各种有趣的图形。(点击课件)你们看看，这些图形像什么?
（2）谈话:请小朋友拿出自己的七巧板，用里面的七块图形排出你喜欢的图形。
(3)参观、评点作品(有自评、他评)。
（4）创新拼：你还想用七巧板拼出哪些图形？
全班展示、评点作品
五、全课总结，拓展延伸
1.谈话:看了黑板上同学们的作品，有什么感想?
数学史料
七巧板的来历
“七巧板”又称“智慧板”，是我国古代的一种拼板工具。七巧板中有长方形、平行四边形和三角形。它的数目不多，却能拼出很多种图形，如能拼出从0到9的十个数字，或汉语拼音字母，也能拼出几何图形、动物、建筑物等。那简简单单的七块板，竟能拼出千变万化的图形。谁能想到呢，这种玩具是由一种古代家具演变来的。
宋朝有个叫黄伯思的人，对几何图形很有研究，他热情好客，发明了一种用6张小桌子组成的“宴几”——请客吃饭的小桌子。
后来有人把它改进为7张桌组成的宴几，可以根据吃饭人数的不同，把桌子拼成不同的形状，比如3人拼成三角形，4人拼成四方形，6人拼成六方形……这样用餐时人人方便，气氛更好。
后来，有人把宴几缩小改变到只有七块板，用它拼图，演变成一种玩具。因为它十分巧妙好玩，所以人们叫它“七巧板”。
到了明末清初，皇宫中的人经常用它来庆贺节日和娱乐，拼成各种吉祥图案和文字，故宫博物院至今还保存着当时的七巧板呢！
18世纪，七巧板传到国外，立刻引起极大的兴趣，有些外国人通宵达旦地玩它，并叫它“唐图”，意思是“来自中国的拼图”。
案例三：
用字母表示数
教学目标：
1、使学生初步理解用字母表示数的方法，会用含有字母的式子表示简单的数量，数量关系和计算公式。
2、使学生完整地经历用含有字母的式子表示简单的数量，数量关系和计算公式的过程，进一步体会数学的抽象性和概括性，发展符号感。
3、培养学生用字母表示数的意识和兴趣，使学生进一步产生对数学学习的好奇心。
教学重难点：
1、让学生经历由具体到抽象的字母，由具体的乘法算式到含有字母的乘法式子的过程。
2、理解含有字母的式子表示的含义。
教学过程：
一、唤起经验，主动建构
1．利用四张扑克牌，算“24点”游戏。
课件呈现：6、7、A、10。
师：同学们，玩过24点吗？现在屏幕上给出4张牌，大家来算一算。
生1：6 ＋ 7 ＋ 1 ＋ 10 ＝ 24。
生2：（10 － 7 ＋ 1）× 6 ＝ 24。
师：你们算的很好，可这里没有1呀？
生：A就是1。
师：这里A表示特定的数1。
3．出示数列：2、4、6、m、10……
师：我们来看这个有规律的数列，你们知道m表示多少呢？
生：m表示8。
师：在算“24点”游戏中，在有规律的数列中，字母表示的都是特定的数。字母还能表示哪些数呢？今天我们一起来学习“字母表示数”。（出示课题）
二、层层递进，逐步建构
1．经历用字母表示数的抽象概括过程。
（1）课件演示用小棒摆三角形，学生用式子表示摆不同个数三角形所用小棒的根数。
师：摆1个三角形需要几根小棒？
生：3根
师：我们可以这样列式：1 × 3。板书（1 × 3）
如果摆2个这样的三角形需要几根小棒，怎样列式？
生：2 × 3。板书（1 × 3）
师：如果这样摆3个呢？会写吗？4个呢？……请把式子写在学习纸上的“书写天地”中。
学生书写、汇报，教师板书。
（2）让学生在写式子的过程中，认识到用一个算式来表示摆三角形小棒根数的局限性，产生需要字母来表示的主观需求。
师：一个式子可以表示摆的一种情况。谁能用更多的式子表示摆不同个数三角形时所用小棒的根数。
生：学生继续写下去。
学生开始写式子，写着写着，相继停笔。
师：为什么不写啦？
生1：这样写下去，永远写不完。
生2：可以写许多式子，写不完。
（3）寻求解决策略：用一个式子概括所有式子。
师：大家能不能想个办法，用一个式子概括所有的式子呢？
生1：a × 3，a表示三角形的个数。
师：你创造了用字母来概括的方法。还有其他想法吗？
生2：……× 3，用“……”表示许多三角形的个数。
生3：我× 3，用“我”表示三角形的个数。
生4：a × b，a表示三角形的个数，b表示3。
生5：b表示的一定是3，就应该直接写3，写成a × 3。
师：同学们想出了许多种表示三角形个数的办法，有用字母的，有用标点符号的，还有用汉字的，为了便于理解和应用，在数学中我们选择用字母来表示。
（4）同一题中可以用不同字母来表示。
师：除了用a表示三角形的个数，还可以用其他字母吗？
生1：可以写成b × 3。
生2：也可以写成n × 3。
生3：写成x × 3。
师：可以用不同的字母表示三角形的个数。这时的字母可以表示几呢？
生1：可以表示5。
生2：可以表示1、2、3、4、5、6、7等等。
生3：可以表示自然数。
师：看来，这里的字母所表示的数不再是特定的数了，而是变化的数，我们不确定的数，也就是未知的数。（板书：未知的数）
师：刚才有同学说这个字母所表示的是自然数，那它不可以表示什么数？
生1：不可以表示小数，因为三角形的个数如果是小数，那就不完整，不是三角形了。
生2：同样那也不能表示分数。
师：所以我们字母表示数是有一定范围的。
2．初步理解含有字母的式子既表示数量，也表示数量关系。
（1）出示年龄的表格，体会规律。
师：请问同学自我介绍下。
生：我叫某某，我今年多少岁。
师：你想指导老师的年龄吗？我不告诉你。只告诉我比她大15岁。
课件演示：老师比同学大15岁。
师：你知道我多少岁嘛？能用式子表示吗？
生：10+15。
师：大家猜一下，她1岁时，老师可能是几岁呢？
生：1+15。
师：她7岁时，老师可能是几岁呢？
生：7+15。
师：随着她慢慢长大，当她到20岁时，陈老师几岁了？
生：20+15。
师：像这样我们还能继续写下去。你能用一个式子来表示这么多式子吗？
许多同学举手想说。
生1：用a表示同学的年龄。
生2：那么，a + 15表示的就是老师的年龄。
（2）将字母作为数学对象，理解意义。
师：回答很好，你知道这里a和前面的a意义是否相同吗？
生：不一样，前面表示的是三角形的个数。这里表示年龄。
师：前面a可以取任意自然数，这里呢？我们可以取200,300,500吗？
生：不可以，人活不到这么长。
师：老师上网查询了，曾经的长寿冠军是122岁。所以啊，字母表示数在不同的题目中是有范围的。
师：a + 15这个式子告诉我们什么呢？
生：老师年龄和老师比她大15岁。
（4）体会数学研究的是千变万化中不变的关系。
师：在这里我们不难发现，学生的年龄是变化的，老师的年龄也是变化的，然而“a + 15”所表示的数量关系却是不变的。正如开普勒所说，数学就是研究千变万化中不变的关系。（板书：表示数量关系）
3．进一步去理解含有字母的式子既表示数量，也表示数量关系。
师：我们继续往下看。学校有美术组24人，书法组比美术组多6人，纳闷书法组多少人？你能用式子表示吗？
生：24+6
师：这里24+6我们能知道哪些信息？
生：表示书法组人数，和书法组比美术组多6人。
师：我们继续看，舞蹈组比美术组多9人，舞蹈组有多少人？
生：24+9
师：现在合唱组比美术组人数多，但我们不知道具体多的人数，这里我们可以用什么来表示？
生：字母
师：很好，我现在用x表示。问合唱组有多少人？
生：24+x
师：如果x=10呢？口算
生：34
师：如果x=14呢？
生：38
4．用规定的字母表示计算公式。
（1）关于正方形周长与面积的计算公式。
学生书写，板书交流。
师：这里的a表示的是什么？
生：正方形的边长。
师：那么，这里的a除了可以表示非零自然数外，还可以表示哪些数？
生1：可以表示小数。
生2：还可以表示分数。
师：刚才表示三角形的字母只能表示自然数，看来，在不同情况下，字母所表示的数的范围是不一样的。
（2）关于含有字母的乘法式子的简写。
学生自学，汇报板书。
小结：在含有字母的乘法式子中，数与字母相乘，或是字母与字母相乘，乘号可
以简写成“·”，也可以省略不写。数与字母相乘时，数要写在字母之前。
4. 练习。
（1）省略乘号，写出下面的式子。
①4×b 可以写成4b 。
②x ×5可以写成5x 。
③a ×c 可以写成a · c ，也可以写ac 。
④1×m 可以写成m 。
（2）口答
1×b ＝ x ×1＝ a ×1＝ 1×k ＝
（3）练习
1、填一填
x ×x ＝（ ）
＝（ ）×（ ）
2、直接写得数
= = = 2×4=
三、 拓展应用，完善建构
1．你是小导游。
出示某旅游平面图，图中标出南湖一小、莫愁湖公园、奥体中心、红山动物园等
4个场所的位置及各场所之间的距离（有用字母表示的，有用数表示的）。
用含有字母的式子表示两地之间的距离：从南湖一小分别到莫愁湖公园、奥体中
心、红山动物园需要多少路程？
（1） 莫愁湖公园。
结合莫愁湖门票a 元，让学生在括号里填上含有字母的式子。
（2） 奥体中心。
一起朗读一篇数学日记，完成填空。使学生进一步感受用字母表示数的概括性和
抽象性。
（3） 红山动物园。
红山动物园来了新的来宾：鸵鸟。别看他们在散步，他们跑起来可快了。学生根
据以上题中信息填空。并整理路程和时间，速度的关系。
2．编儿歌：数青蛙。
一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿……
四、 总结反思，拓展延伸
1． 让学生说一说这节课的主要收获以及感觉遗憾的地方。
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2．课件播放短片，简单介绍用字母表示数的发展过程。
数学史料
乘号的来历
同学们你知道乘号的来历吗？
17世纪前，有人用过字母M表示乘法。M是拉丁文（mutiply）中的乘单词的第一个字母。显然，用字母参与乘法运算时相当繁琐的。
1631年，英国数学家奥特雷德发现乘法也是相加
的意思，但是又和加法有所不同，怎样表示更合适呢？
他想：能不能把“＋”旋转45度角，斜过来用“×”
表示乘法呢？当奥特雷德的这种设想成为现实时，乘号
“×”便问世了。奥特雷德但是数学家莱布尼兹认为乘号“×”和拉丁字母“x”很相似，容易引起混淆，所以他反对使用这个符号。他很赞成数
学家哈里奥特首创的符号“?”表示乘法。这个点乘号
被整个欧洲大陆和拉美国家所普遍采用。但这个记号和
小数点号相似，容易引起新的混淆。后来有人干脆用逗
号“，”来代替原点，但这种方法迄今没有被人所接受。
莱布尼兹实际上，“×”和“?”这两个乘号同时被使用着，一直沿袭到
今天。
代数之父———韦达
三百多年前的一位法国数学家———韦达首先使用了字母表示数，认为字母不只代表一个数，而且能代表很多数，甚至可以代表无穷多的数。按照这个办法，人们解决了许多问题。这种用字母代替数的思想就是代数思想，所以人们称韦达是代数之父。
奇妙的图形密铺(1)
奇妙的图形密铺 学习内容：人教版小学数学四年级下册P94 学习目标： 1、理解平面图形的密铺。知道正方形、长方形、菱形、三角形及正六边形等平面图形是能够实行密铺。 2、经历收集生活中的图片的过程，了解平面图形的密铺在生活中的应用，培养动手实践水平，发展空间观点。 3、欣赏密铺创造的数学美，体会数学的应用价值。 学习重点：知道什么是密铺，理解密铺的含义。 教具准备：多媒体课件 学习过程： 一、自主学习，预习检测 1、欣赏生活中拍摄的几组图片。 师：这些图片美在哪里？说说看。 师：是的，它们都有一种有规律的美，特别是蜂房，它不但美丽而且奇妙。它到底奇妙在哪里呢？你想知道吗？今天这节课我们就一起来研究这些奇妙的图形。（板书：奇妙的图形） 师：下面请同学观察这几幅图片，思考一下，你就会知道答案了。（出示书P86“观察与理解”图片） 问题：这些图片分别是由哪些图形铺成的？（板书：平面图形）图形与图形之间有什么要求？（学生思考并回答）（板书：无空隙不重叠） 2、说说生活中的密铺图形，感受数学之美。 既然密铺的图形奇妙而美丽，生活中肯定还有很多，平时你们在哪里也见过类似的图形？ 二、合作探究、教师点拨 活动一：利用学具，用一种平面图形密铺 （1）学生猜测 师：怎样才能知道大家猜测得对不对呢？咱们来试一试吧！ （2）学生拿出课前剪下装入小袋中的书P121的图形分组操作。（事先用纸将同一种图形包好放入袋中） 要求：四人一组合作拼一拼，由小组长带头分工实行，如甲同学拼平行四边形，乙同学就拼梯形……，最后四人一起观察拼出的图案，再汇报。 （3）学生汇（展示台） 演示时问：为什么平行四边形能密铺？为什么圆不能密铺？（巩固密铺概念）活动二：利用七巧板，用两种图形密铺 师：像这样，用正五边形这个种平面图形不能密铺，但这空隙却能够用一种图形铺满？它是什么图形呢？（平行四边形）其实象这样，用两种图形既无空隙，又不重叠地铺在一起，也称为密铺。 看一下，七巧板表面这个图形属于密铺吗？这个图形是由哪几种图形密铺而成的？你能从七巧板中选出两种不同的图形密铺一个平面吗？ 三、交流展示、师生共评 （1）实物演示几幅作品，激发学生动手的兴趣。 出示要求：拼一拼四人一组，将七巧板放在一起；用其中的两种图形密铺
图形密铺教学设计
图形密铺教学设计 一、教案背景： 1、小学数学 2、一课时 二、教学课题：苏教版数学五年级下册《奇妙的图形密铺》 三、教材分析：《奇妙的图形密铺》是苏教版义务教育国标教材小学数学五年级下册的内容，属于“实践与综合应用”领域。教材分三个层次安排： 1、呈现生活中图形密铺的场景，感受图像几无缝隙有不重叠的铺在平面上，直观的认识图形的密铺。 2、通过观察、猜测和操作，体会平行四边形、梯形、三角形、圆和正五边形能否密铺，怎样密铺；尝试七巧板中两种不同的图形进行密铺。 欣赏两种不同的图形进行密铺的图案，并尝试设计。这样的活动，能进一步加深学生对基本平面图形特点的认识，培养学生动手实践能力，进行数学美的欣赏。 四、教学目标 1、通过观察生活中的密铺现象，使学生了解什么是图形的密铺。 2．、使学生通过铺一铺、摆一摆等实践活动，探索哪些平面图形可以密铺，在操作的过程中感受密铺的特点。 3、在设计密铺图案的过程中，使学生体会到图形之间的转换，充分感受数学与生活的密切联系，受到数学美的熏陶。
五、教学重点：初步理解图形的密铺，掌握图形密铺的特点。 六、教学难点：用两种不同的图形进行密铺设计。 七、教学准备： 1、密铺图案的多媒体课件。 2、三角形、平行四边形、梯形、三角形、圆和正五边形的纸片。 3、七巧板、方格纸、水彩笔、小黑板。 八、教学过程： 一、情境创设，感受奇妙图形 1、谈话导入：学校为了给同学们提供更好的学习环境，我们已经搬到了新的教学楼上课。现在我们有了这么好的学习环境，那么大家就更应该认真努力地学习。在这美丽的校园里，你可留心观察过这些地方？ 2、课件出示：学校内用砖铺成的底面和墙面。 3、思考交流：学生一边观看一边交流所看到的。 （1）平时我们在这些路面上走过，或者你也曾用手摸过这些墙面，他们给你的感觉是？ 学生交流。（平整、没有缝隙等。教师给予肯定，并板书：没有空隙。）（2）提问：观察这些地面和墙面分别是由哪些图形拼成的？ 学生交流（有长方形、正方形、六边形） （3）提问：是怎样铺在一起的的？ 学生小组讨论后，再在班级中进行交流。 （4）课件继续出示图片：
平面图形的密铺
《平面图形的密铺》教学设计 教学目标： 知识技能： （1）了解平面图形的密铺。 （2）掌握哪些平面图形可以密铺，密铺的理由及简单的密铺设计。 过程与方法： （1）经历探索多边形密铺(镶嵌)条件的过程，进一步发展学生的合情推理能力。 （2）通过探索平面图形的密铺，知道图形密铺的条件，体会转化等数学思想方法。体会转化等数学思想方法。 情感态度与价值观： （1）在拼图和探索的过程中，培养学生的问题意识和严谨科学的态度。 （2）在探索和交流的过程中，培养学生与人协作的习惯、质疑的精神。 教学重点：经历探索发现图形密铺的过程，发展学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。 教学难点：从实践活动中借助拼图探究密铺的条件。 前置作业： 1．分别做相同的三角形、四边形、五边形、正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形纸片若干张；2．收集有关的密铺图案。 （目的：一是直观认识图形密铺的特点；二是结合自己已有的生活经验，尝试应用纸片的拼摆来触发学生的思考，为为重难点的突破打好基础。） 教学过程： 一、情境导入 课件出示一组生活中的图形密铺图片 问题1：看完这组图片，你有什么发现吗？ 问题2：生活中有如此多的密铺图案，你有什么问题或想法吗？ 目的：是让学生发现图案是用什么图形拼的，在说问题和想法时，最好能说出怎样才算密铺，从而引出让学生动手密铺。 这就是我们这节课所要解决的问题：平面图形的密铺（板书课题） 二、探索过程 （一）活动一：动手密铺 用你准备好的纸片进行密铺，你能拼出什么样的图案？ 你有多少种拼法？请你试一试。 活动任务：用尽可能多的方法进行密铺。 活动要求：1、先自己拼，再小组交流。 2、每个小组派两名同学展示，并说出拼法。 交流展示：一个小组展示，其他小组补充，并说出不同点。 拼法预设： 拼法1：用单独一种纸片拼。（可能能密铺，也可能不能密铺） 拼法2：用两种纸片混合拼。（可能能密铺，也可能不能密铺） 拼法3：用多种纸片混合拼。（可能能密铺，也可能不能密铺） 引导语预设： 当学生用单独一种纸片密铺时，问它为什么能密铺？若不能密铺，问为什么不能密铺？ 当学生用两种纸片混合密铺时，问它为什么能密铺？若不能密铺，问为什么不能密铺？ 当学生用多种纸片混合密铺时，问它为什么能密铺？若不能密铺，问为什么不能密铺？（二）活动二：探究密铺的条件 预设1： 学生结合拼图，用单独一种纸片拼。能密铺的，顶点处的角能围成一个周角360°，像三角形、四边形的内角都能围成360°；不能密铺的，像五边形它的内角就不能围成一个周角。 教师：在这种拼法中关键是能组成一个周角360°。板书密铺的条件：能围成的360°周角 这一借助角的关系解决密铺问题就转化为了多边形内角和问题，是一种重要的数学思想——转化思想。 预设2： 学生用两种纸片混合拼。有的能密铺，有的不能，能的教师问为什么能密铺？不能的问为什么不能密铺？学生交流说出能的原因和不能的原因。如与能否围成一个周角有关，有的进行补充，还与边长有关，拼接处的边应相等。 教师：在这种拼法中不光是能组成一个周角360°，还需拼接处的边相等。补充板书密铺的条件：
奇妙的图形密铺正式教案
《奇妙的图形密铺》教学设计 桃花江小学王平 【教材分析】 密铺，也称镶嵌，是生活中非常普遍的现象，它给我们带来了丰富的变化和美的享受。本节课是一节根据平面图形特点进行观察、操作、思考和简单设计的实践活动，集数学教育与美育为一体，对学生多种数学能力的发展十分有利。教材分三部分编排：第一部分，通过观察生活中常见用砖铺成的地面或墙面，初步感知、理解什么是图形的密铺。第二部分通过动手操作和思考，探索能够进行密铺的平面图形的特点，知道有些平面图形可以密铺，而有些则不能；有的还可以利用两种平面图形密铺。第三部分，通过欣赏和设计简单的密铺图案，进一步感受图形密铺的奇妙，获得美的体验。这样编排的意图主要是引导学生在已有知识的基础上深入理解密铺的含义，探究常见的平面图形密铺的特点，在思索和创作活动中进一步感受、体验几何构图的美及数学知识在生活中的应用价值，培养学生的观察发现、合作交流、动手操作能力和创新意识。 【设计思路】 教育要跟上时代的步伐，就必须加强信息技术与学科整合，实践证明，信息技术与学科课程整合是现代教学发展的必然趋势。本节课我设计了以“美”为核心的三个层次的数学活动：第一个层次是让学生在充分的观察、分析中感受到密铺在生活中的美和广泛应用，理解密铺的含义；第二个层次是让学生通过猜想、推理、实验、交流、验证等活动探索密铺的特点，构建密铺相关的知识经验；第三个层次是通过创造设计简单密铺图形，经历欣赏数学美、创造数学美的过程，激发学生学习数学的兴趣，体验密铺知识的应用价值。本节课采用网络环境下的自主探究式学习方法，借助电子教室及软件进行辅助教学，能获得较好的效果。【教学目标】 1．通过观察生活中常见的密铺现象，初步理解密铺的含义，知道什么是平面图形的密铺；通过拼摆各种图形，探索密铺的特点，认识一些可以密铺的平面图形。 2．在探究多边形密铺条件的过程中提升学生观察、猜测、验证、推理和交流的能力，进一步发展学生的合情推理能力，能运用几种图形进行简单的密铺设计。 3．通过欣赏密铺图案和设计简单的密铺，经历欣赏数学美、创造数学美的过程，从而激发学生学习数学的兴趣，享受由美带来的愉悦。在学习活动中，进一步感受数学学习过程的探索性，增强学习数学的自信心。在网络自主学习的过程中，体验自主探索、合作交流的乐趣，提高信息技术能力。 【教学重点与难点】 教学重点：掌握密铺的特点、知道哪些图形可单独进行密铺。 教学难点：理解密铺的特点，能进行简单的密铺设计。 【教学准备】 专题资源、课件、网络环境教室。 【教学过程】 一、游戏导入，观察图片，理解概念 1.玩拼图游戏。 师：今天我们上一堂玩的数学课，玩什么呢？玩拼图，王老师也喜欢玩拼图，请看，这张拼图拼好了吗？现在老师面临三种选择，请你们先猜一猜可能是哪一块？
图形密铺的实际应用
图形密铺的实际应用 一、一般图形的密铺 二、图案的密铺
三、生活中的密铺 四、自然界的密铺
2. 任意凹四边形都是密铺图形 由於凹四边形的四个内角和也等於360°，同样地将四个完全相同的凹四边形按如下的方法：把四个不同的顶点重合在一处，如上图右，可以无空隙地排列开来形成密铺。 3. 由四边形组合的密铺图形 如上图A是由四个凹四边形密铺而成的山字型图形，由於凹四边形是密铺图形，因此，这个山字型图形也是密铺图形。用多边形工具可以通过勾画轮廓的方法，重新画出一个独立的山字型多边形，如上图B，这个山字型多边形也是一个密铺图形。
三. 密铺图形设计 1. 密铺图形设计之一 ---- 由四边形构成的密铺图形 (1) 密铺图形的线性变换仍然是密铺图形 如上图A的凸四边形是一个密铺图形，将四个凸四边形组合成图B，也是一个密铺图形。利用施转，相似缩放、水平缩放、垂直缩放、水平切变或垂直切变等图形线性变换，得到图D，图D仍然是密铺图形。 由图C或图D密铺平面如图E和图F，经过填色后，如图所见，图C或图D的组合仍然是密铺图形。 这样一来，由四边形可以密铺整个平面发展出千变万化的密铺图形，為密铺图形创意设计提供了非常广宽的天地。一般人难以想像这样一个三尖八角的图形可以无空隙地密铺整个平面，而且具有深刻的数学原理。学生可以从中学习数学的知识，学习理解和欣赏数学的美，同时与艺术创作、艺术思维相联繫，陶冶学生的艺术性情。创作过程要求学生的细心和耐心也是对学生人性品格和治学精神的培育。密铺图形创意设计是多元智能教育的一种极具创意的活动。 以上还仅是以四边形為基础的密铺，创作的著力点只是「形」，有如只是一座房子的外表及结构，如果对房子再加上装修，房子可以有如脱胎换骨，装修可能蕴含著更大的创意天地。下面是一些例子。 (2) 有立体感的密铺图形
奇妙的图形密铺教案
奇妙的图形密铺教案与反思 执教老师：刘少郴 教学目标 1．通过学生的动手操作感知密铺图形的形状，理解密铺的特征．了解图形密铺在生活中的应用，增强应用数学的意识。 2、会在方格纸上画出用三角形、四边形密铺的图形。 3．尝试用两种或多种平面图形构造密铺图形，培养学生的空间观念，提高审美情趣和审美能力。 教学重点、难点 理解密铺的含义及知道哪些平面图形能单独密铺。 教学准备 多媒体课件，任意四边形10个，方格纸，七巧板，水彩笔，8种基本图形各10个(每组1份) 教学过程 一、观察图片，感知密铺 1．谈话：同学们，2008年是中国年，全世界的目光都聚焦北京。知道为什么吗? 生：今年8月在北京举办奥运会。 师：不错，想不想去看看奥运场馆? 大屏出示：水立方图片。(远景近景图各两幅) 这是水立方的外围墙壁，如果用数学的眼光去观察，你发现了什么? 课件出示(生活中的壁砖、地砖密铺场景)： 师：请同学们仔细观察．这些图案是由哪些图形铺成的呢? 2．平铺时，图形与图形之间有什么要求吗叫、组讨论。学生思考讨论并回答。(板书：无空隙不重叠) 3.小结：是的，像这样把一种或几种乎面图形既无空隙，又不重叠地铺在平面上，这种铺法，数学上称它为“密铺”。(板书：密铺) 4．分析比较。 下面的三幅图，可以看作是密铺吗?为什么? 5．师：在我们的生活中．你还见过哪些密铺图形呢? 6．师：的确，密铺把我们的世界装点得丰富多彩。密铺给我们的生活带来了美的享受，今天就让我们一起走进奇妙的图形密铺世界。 评析：由奥运场馆晶莹剔透的水立方引入新课，贴近时代，贴近生活，既切合主题，又融入爱国激情，有利于激发学生的好奇心和学习兴趣，较好的调动了学生学习的积极性和主动性。接着，通过实物图案的观察，让学生初步感受图形的密铺，再通过对三个实例的观察、比较和交流，进一步认识密铺图形的含义，步步渐近，揭示课题自然、有序，符合学生的学习心理与认知规律。 二、操作探究，体验密铺 (一)活动一：一种图形的密铺 1，质疑牵引、大胆猜想。 出示：正方形、长方形；平行四边形、圆形、正五边形等八种基本图形。
活动《图形的密铺》教学设计
一、教学目标： 1、通过观察生活中的密铺现象，使学生了解什么是图形的密铺。 2、使学生通过铺一铺、摆一摆等实践活动，探索哪些平面图形可以密铺，在操作的过程中感受密铺的特点。在探究规律的过程中培养学生的观察、猜测、验证、推理和交流的能力。 3、通过欣赏密铺图案和设计简单的密铺图案，使学生体会到图形之间的转换，充分感受数学知识与生活的密切联系，经历欣赏数学美、创造数学美的过程。 二、教学重点：理解密铺的含义及知道哪些平面图形能单独密铺 教学难点：理解密铺的特点，能进行简单的密铺设计。 三、教学准备：课件，七巧板，方格纸，水彩笔。 四、课时：1课时 五、教学过程： （一）观察与理解 谈话：（课件出示图片） 师：看了这些照片，你有什么感受呢？ 师：我们再来仔细看看这些图片，能看得出这些美丽整齐的地面和墙面都是由哪些图形铺成的吗？ 师：铺的时候，图形之间有什么要求呢？（板书：无空隙、不重叠）师：像这样，无论什么形状的图形，如果能既无空隙，又不重叠地铺在平面上，这种铺法就叫做密铺。（课件出示） 谈话：你认为下面的三幅图都可以看作是密铺吗？为什么？ 师：看来，看来，要把平面图形铺成“密铺”，最关键的是什么？（无空隙、不重叠） 举例：那么在生活中，你们见到过密铺的现象吗？跟大家交流一下。（二）操作与探索 1．一种平面图形的密铺。 谈话：现在有如下形状的地砖（出示平行四边形、梯形、正三角形、圆、正五边形等图形），如果让你选择，你想选择哪种？ 学生自由选择。 谈话：猜猜看，你选择的图形能密铺吗？ 提问：用什么方法验证你的猜测呢？（动手铺一铺） 谈话：这确实是一个好方法。我们按这个方法来验证，请同学们按下面的要求动手铺一铺。（用图片拼一拼） 课件出示活动要求： （1）小组合作，每人选择一种图形铺一铺。
苏教版五年级下册奇妙的图形密铺之一
奇妙的图形密铺 教学内容：苏教版义务教育课程标准实验教科书五年级下册P86~87。 教学目标： 1.知识与技能：通过观察生活中常见的密铺图案，使学生初步理解密铺的含义。 2.过程与方法：通过拼摆各种图形，认识一些可以密铺的平面图形，初步探索密铺的特点，在探究规律的过程中培养学生的观察、猜测、验证、推理和交流的能力。 3.情感、态度和价值观：通过欣赏密铺图案和设计简单的密铺图案，使学生体会到图形之间的转换，充分感受数学知识与生活的密切联系，经历欣赏数学美、创造数学美的过程。教学重点： 掌握密铺的特点、知道哪些图形可以进行密铺。 教学难点： 能运用密铺进行创作。 教学准备： 多媒体网络课件、教师电脑一台、学生电脑每人一台。 教学过程： 一、创设情境——观察与理解。 1.同学们，最近几年我们常熟发生了翻天覆地的变化，一座座高楼拔地而起，一条条马路平坦宽阔。我这里有几张新拍的照片，你们想看吗？边观察边思考：这些图片有什么共同的地方？同伴间可以交流一下。 （课件出示：人行道、公园小路、墙面、蜂巢、龟甲……） 2.师：同学们观察得特别投入，那么谁来说说你的发现？ 学生交流。 A.关键词：铺 师：这些画面我们在生活中都能见到，想一想：在铺的时候要注意什么？ （不能有空隙，要注意图形的美观不能重叠） 学生可能只说出不能有空隙，而说不出“也不能重叠”。 再出示一张屋顶铺瓦的图片。 师：屋顶铺瓦与前面有什么区别？（铺瓦的时候要重叠在一起） （板书：无空隙不重叠） B.关键词：各种图形（规则的、不规则的） 3.小结 师：无论什么形状的图形，不管用到了几种不同的图形，只要既无空隙，又不重叠地铺在平面上，这种铺法就叫做密铺。（板书：密铺）屋顶铺瓦是密铺吗？
奇妙的图形密铺
“奇妙的图形密铺”教学案例 教学内容：义务教育课程标准实验教科书（人教版）五年级上册P109-110。 教学目标： 1、通过让学生铺一铺、摆一摆等实践活动，探索哪些平面图形能够单独密铺，在操作的过程中感受密铺，并感受这些图形的特点，培养学生的空间观点。 2、通过铺一铺、算一算的活动，巩固学生对各种平面图形面积的计算水平，提升学生综合使用已有知道解决生活中问题的水平，增强应用数学意识。 3、在设计密铺图案的过程中，让学生体验图形之间的转换、充分感受数学知识与生活的密切联系，经历欣赏数学美、创造数学美的过程。 教学重点：理解密铺的特点，知道哪些图形能够实行密铺。 教学难点：使用密铺知识实行创作设计。 教学准备：课件、6种图形、彩笔、尺子。 教学过程： 一、联系生活，感受密铺： ⑴出示下图，学生观察、联想，初步理解密铺的特点。 师：你见到过这些图片吗？三幅图分别是由什么图形拼成的？它们在铺的时候有什么特点？ 预测：学生可能会说：有规律地；紧密地、没有缝隙；平铺，不重叠。 根据学生回答相机板书：无空隙不重叠 ⑵揭示密铺的概念。 师：像这种铺法在数学上叫“密铺”。（板书：图形密铺。）课件出示密铺的含义：像这样无论什么形状的图形，如果既无空隙，又不重叠地铺在平面上，这种铺法在数学上称为“密铺”，也称作“镶嵌”。 学生读后指名说什么是密铺；学生有重点地再读。 二、操作探究，体验密铺：
（一）用一种图形密铺： ⑴猜猜，哪种图形能够密铺？ 教师谈话：密铺与我们的生活紧密相连，但是，密铺也离不开数学的基本图形。 （课件出示：平行四边形、梯形、三角形、圆形、正五边形和正六边形）如果只用一种图形，猜一猜哪些图形也能密铺？ （板书：一种图形；教师把各图形贴到黑板上。） 学生活动：学生发表各种猜测，教师将学生即时确定的图形移开（能密铺的，不能密铺的），如长方形、正方形、圆形、正六边形；把疑惑的，有争论的留着，可能有平行四边形、三角形、梯形、正五边形。 ⑵动手操作，验证能密铺的图形。 教师谈话：有争论的图形启发学生思考：怎样解决不能确定的图形？ 学生回答：可能说拿几个一样的图形动手铺，可能说用画的方法实行验证。（板书：铺、画） 教师示范，学生动手操作。教师巡回指导。 ⑶班级交流验证的结果。 学生上前在展台上演示操作结果及过程。 学生在介绍三角形或梯形能密铺时，教师引导学生发现：利用三角形或梯形面积与平行四边形面积之间的关系，推测三角形或梯形能密铺，沟通知识之间的联系：两个完全一样的三角形、梯形能密铺（拼）成一个平行四边形，因为平行四边形能密铺，所以三角形和梯形也能密铺。 ⑷课堂小结。 能够单独密铺的图形有——（长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、正六边形。）不能够单独密铺的图形有——正五边形、圆形。 （二）两种不同图形的密铺。 （1）导入： 教师设疑：正五边形、圆形不能单独密铺，是不是他们在密铺中就没用了呢？ 课件表现：正五边形和三角形和正方形密铺成的组合图形。 （2）课堂小结。 教师谈话：用一种图形能单独密铺，用两种或两种以上不同的图形也能密铺。
综合实践图形的密铺
综合实践 图形的密铺 一、教学目标： 1、通过观察生活中的密铺现象，使学生了解什么是图形的密铺。 2、使学生通过铺一铺、摆一摆等实践活动，探索哪些平面图形可以密铺，在操作的过程中感受密铺的特点。在探究规律的过程中培养学生的观察、猜测、验证、推理和交流的能力。 3、通过欣赏密铺图案和设计简单的密铺图案，使学生体会到图形之间的转换，充分感受数学知识与生活的密切联系，经历欣赏数学美、创造数学美的过程。 二、教学重点：理解密铺的含义及知道哪些平面图形能单独密铺 教学难点：理解密铺的特点，能进行简单的密铺设计。 三、教学准备 课件，七巧板，方格纸，水彩笔。 四、课时： 1课时 五、教学过程 （一）观察与理解 谈话：（课件出示图片） 师：看了这些照片，你有什么感受呢？ 师：我们再来仔细看看这些图片，能看得出这些美丽整齐的地面和墙面都是由哪些图形铺成的吗？ 师：铺的时候，图形之间有什么要求呢？（板书：无空隙、不重叠）师：像这样，无论什么形状的图形，如果能既无空隙，又不重叠地铺在平面上，这种铺法就叫做密铺。（课件出示） 谈话：你认为下面的三幅图都可以看作是密铺吗？为什么？ 师：看来，看来，要把平面图形铺成“密铺”，最关键的是什么？（无空隙、不重叠） 举例：那么在生活中，你们见到过密铺的现象吗？跟大家交流一下。（二）操作与探索 1．一种平面图形的密铺。
谈话：现在有如下形状的地砖（出示平行四边形、梯形、正三角形、圆、正五边形等图形），如果让你选择，你想选择哪种？ 学生自由选择。 谈话：猜猜看，你选择的图形能密铺吗？ 提问：用什么方法验证你的猜测呢？（动手铺一铺） 谈话：这确实是一个好方法。我们按这个方法来验证，请同学们按下面的要求动手铺一铺。（用图片拼一拼） 课件出示活动要求： （1）小组合作，每人选择一种图形铺一铺。 （2）想一想铺的过程中要注意什么？ （3）将铺的结果在小组里交流。 学生操作，在小组里交流验证结果，教师参与学生活动。 提问：哪些图形能密铺？哪些图形不能密铺？你是怎么铺的？ 说到三角形时追问：如果是相同的任意三角形呢?不用实验你能得出结论吗?（因为两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，而平行四边形可以密铺，所以……） 为什么圆形和五边形不能单独密铺呢?这是一个非常有趣的数学问题。有兴趣的同学课后可以查一查资料，写一篇科研小论文，相信你们一定行。 2．两种平面图形的密铺。 刚才我们通过实践发现，圆和正五边形不能密铺，可是陈老师想了一种办法，使圆也能密铺，想知道吗？ 课件出示圆和另一种图形的密铺图案。 小结：看来，如果一种形状完全相同的图形不能密铺，只要配上了另外一种图形，就可以密铺了。 同学们想不想也来试试用几种图形来进行密铺呢？ 出示七巧板 师：这是什么？它是密铺图形吗？由哪些图形密铺而成的？ 提问：你能像这样（课件出示两幅作品）用七巧板中的任意两种图形进行密铺吗？ 学生分小组活动，尝试用七巧板中的两种图形进行密铺。 教师参与学生活动，并与学生交流。
小学五年级数学《奇妙的图形密铺》教案
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 小学五年级数学《奇妙的图形密铺》教案小学五年级数学《奇妙的图形密铺》教案小学五年级数学《奇妙的图形密铺》教案教学目标 1．通过学生的动手操作感知密铺图形的形状，理解密铺的特征．了解图形密铺在生活中的应用，增强应用数学的意识。 工会在方格纸上画出用三角形、四边形密铺的图形。 3．尝试用两种或多种平面图形构造密铺图形，培养学生的空间观念，提高审美情趣和审美能力。 教学重点、难点理解密铺的含义及知道哪些平面图形能单独密铺。 教学准备多媒体课件，任意四边形 10 个，方格纸，七巧板语，水彩笔，8 种基本图形音各 10 个(每组 1 份) 教冤学过程一、观察图片，感檀知密铺 1．谈话： 同幕学们，XX 年是中国年，弃全世界的目光都聚焦北京豁。 知道为什么吗?生： 今婴年 8 月在北京举办奥运会轧。 师： 不错，想不想去看丙看奥运场馆? 大屏出终示： 水立方图片。 (远景囤近景图各两幅) 这是坦水立方的外围墙壁，如果首用数学的眼光去观察，你靴发现了什么? 课件出示( 雾生活中 1 / 7
的壁砖、地砖密铺诚场景)： 师： 请同学书们仔细观察．这些图案是型由哪些图形铺成的呢? 挑 2．平铺时，图形与图墓形之间有什么要求吗叫、孕组讨论。 学生思考讨论并诌回答。 (板书： 无空隙不锌重叠) 3.小结： 是蒜的，像这样把一种或几种埂乎面图形既无空隙，又不蚂重叠地铺在平面上，这种院铺法，数学上称它为 ld 途quo;密铺rdquo 柏 ;。 (板书： 密铺) 4．魂分析比较。 下面的三幅图异，可以看作是密铺吗?为云什么? 5．师：在我筏们的生活中．你还见过哪割些密铺图形呢? 6．凭师： 的确，密铺把我们的框世界装点得丰富多彩。 密匀铺给我们的生活带来了美佯的享受，今天就让我们一薪起走进奇妙的图形密铺世僵界。 评析： 由奥运场味馆晶莹剔透的水立方引入叙新课，贴近时代，贴近生舌活，既切合主题，又融入慑爱国激情，有利于激发学竿生的好奇心和学习兴趣，棵较好的调动了学生学习的拳积极性和主
奇妙的图形密铺教案及反思
苏教版《奇妙的图形密铺》教学设计 一、教学内容：苏教版小学数学第九册第86页-87页 二、教学目标： 1.通过学生的动手操作进一步理解密铺的含义和了解可以密铺的图形形状，了解图形密铺在生活中的应用，增强应用数学意识。 2.会在方格纸上画出用三角形、四边形和梯形密铺的图形。 3.理解密铺原理，进一步培养学生的空间观念。 三、教学重点、教学难点： 理解密铺的含义及知道哪些平面图形能单独密铺，能否单独密铺的原理。 四、教学过程： （一）欣赏图片，感受奇妙图形 1．同学们，在我们的生活中，你是否留心观察过这些镜头？这些场景熟悉吗？哪里见到过？请你用数学的眼光去考察一下，它们有什么共同特点？（用一种或几种图形有规律地平铺而成的。） 2．平铺时，图形与图形之间有什么要求吗？ 3．请同学们先独立思考，再把自己的想法在小组里说一说（出示：无空隙、不重叠。） 4、象这样无论什么形状的图形，如果既无空隙，又不重叠地铺在平面上，这种铺法在数学上就称为“密铺”。 （板书：密铺无空隙不重叠）
5.密铺是数学中最有趣和最美丽的部分之一，它在生活中有着及其广泛的运用。除了在地面墙面上看到密铺，你还在那里也曾经见到过平面密铺图形呢？在小组里说一说。 其实，密铺就在我们的身边，让我们的生活变得更加多姿多彩。（二）操作探究，体验密铺 1.猜一猜：欣赏了这么多美丽的图片，我们不难发现，其实所有美丽的密铺都离不开数学的基本图形。那么我们学过的所有平面图形是不是都能单独密铺呢？下面就请同学们先来猜一猜，并在作业纸上记录下自己的猜测结果。（黑板上贴8个图形） 没有大胆的猜测就没有伟大的发现。谁来汇报一下你的猜测结果？有不同看法吗？（预设：正五边形有争议） 看来，对于正五边形是否能单独密铺，我们课堂上有两种不同的猜测。面对不同的声音，每个人都应该有自己独立的想法，我们不妨来了解一下每个人的想法。 2.验一验：现在矛盾就在于这个正五边形能否单独密铺！怎样才能判断谁的猜想是正确的呢？谁有什么好办法？是的，实践是检验真理的唯一方法！现在，请从工具袋里拿出正五边形，请同学们利用它来验证自己的猜想。正五边形能密铺吗？ 通过亲自动手实践，你能告诉我正五边形能单独密铺吗？ 看来，光用眼睛看并不一定正确，我们还是需要经过实践论证！
图形的密铺--教学反思
《图形的密铺》教学反思第九周 《图形的密铺》是数学教材上的一节实践活动课，本节课的重点是让学生通过探索找出平面图形密铺的规律，从而得出多边形密铺的条件。难点是运用三角形、四边形或正六边形进行简单的密铺设计并找出其中密铺的规律。为了突破教学难点，在学生的动手操作、自主探究和交流活动中，我设置了以下几个难度逐层递增的问题： （1）用形状、大小完全相同的三角形能否密铺？ （2）用同一种四边形可以密铺吗？用硬纸板剪制若干形状、大小完全相同的四边形做实验，并与同伴交流． （3）在用三角形密铺的图案中，观察每个拼接点处有几个角？它们与这种三角形的三个内角有什么关系？ （4）在用四边形密铺的图案中，观察每个拼接点处的四个角与这种四边形的四个内角有什么关系？ 提出问题后，不再是教师给出答案，灌输知识点，让学生单纯地依赖于模仿、记忆，而是让学生动手实践、自主探索，并且小组合作交流。通过本节课的教学，我有以下几点体会： 一、帮助学生理解“密铺”的概念 记得有这样一句话:用眼看了就知道了，动手做了就理解了。所以本节课在密铺的概念教学上采取的学生动手试一试的方法，学生发现圆形在铺地时有缝，用正方形密铺就没有缝，顺势揭示出密铺的定义。使学生自己感受铺与密铺的区别，从而理解什么是密铺。这样符合学生的认知特点，避免数学中密铺知识与生活经验中把的面铺满就是密铺产生冲突。 二、注重学生的动手探究过程 我提前一天让学生用卡纸裁剪了10个形状、大小一样的长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆形等平面图形，课上通过动手验证知道那些图形可以单独密铺，进一步思考探究不能单独密铺的图形怎么办？可以通过两种或两种以上的图形进行组合来进行密铺。最后展开想象创造出美丽的密铺图案，整个课堂都围绕一个主题层层深入。学生经历了猜想——验证——发现——总结堂结构的建构，充分体现了学生从“问题情境——思考
奇妙的图形密铺
教学内容：苏教版义务教育课程标准实验教科书五下P86~87。 教学目标： 1、通过观察生活中常见的密铺图案，使学生初步理解密铺的含义。 2、通过拼摆各种图形，认识一些可以密铺的平面图形，初步探索密 铺的特点，在探究规律的过程中培养学生的观察、猜测、验证、推理和交流的能力。 3、通过欣赏密铺图案和设计简单的密铺图案，使学生体会到图形之 间的转换，充分感受数学知识与生活的密切联系，经历欣赏数学美、创造数学美的过程。 教学重点：掌握密铺的特点、知道哪些图形可以进行密铺。 教学难点：理解密铺的特点，能进行简单的密铺设计。 教学过程： 一、感受密铺——观察与理解 1.谈话导入：同学们，最近有个朋友邀请我去参观她的新家，她的新家可漂亮了，今天我还带来了一组她新家的设计图片，想和大家一起分享。大家想看看吗？ 2.课件出示：浴室瓷砖、地板、壁画、阳台、墙面装饰、天花板……等图案。
3.边欣赏，观察思考： (1)这些图片分别是由哪些图形拼成的？(它们都是由一种或几种平面图形铺成的。如浴室墙面图案是由不同颜色的正方形铺成的) 板书：平面图形 (2)这些平面图形在拼的时候有没有什么共同的地方？（学生思考并回答）板书：无空隙不重叠 (3)小结：象这样把一种或几种平面图形既无空隙，又不重叠地铺在平面上，这种铺法数学上称它为“密铺” 4.继续出示图片： 课件出示：下面的三幅图，可以看作是密铺吗？为什么？ 第一幅图是密铺，因为每个三角形之间既没有空隙，也不重叠；第二、第三幅图都不是密铺，因为第二幅图图形之间有空隙，第三
幅图图形之间是重叠的。 5.联系生活、揭示课题。 师：既然密铺的图形奇妙而美丽，生活中肯定还有很多，平时你们在哪里也见过类似的图形？ 生1：人行道上的地砖是密铺在一起的。 生2：教室的地板是正方形的地砖密铺出来的。 生3：蜜蜂巢是由六边形密铺成的。 …… 观看课件：密铺在生活中的应用。 的确，我们的生活离不开密铺，密铺给我们的生活带来了丰富的变化和美的享受。今天，我们就一同走进图形密铺世界。（板书：
平面图形密铺的特点：
平面图形密铺的特点 (1)用一种或几种全等图形进行拼接。 (2)拼接处不留空隙、不重叠。 (3)连续铺成一片。 能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360o，并使相等的边互相重合. 问题1：用形状大小完全相同的正三角形能否密铺？观察每个拼接点处有几个角？他们之间有什么关系？ 用大小完全相同的正三角形可以密铺，每个拼接点处有六个角，他们的和为360度所以，用6个这样的三角形就可以组合起来密铺成一个平面。 问题2：用同一种正方形可以密铺吗？观察每个拼接点处有几个角？他们之间有什么关系？ 拿出自制的正方形演示拼接，观察分析，小组交流探讨出结论。也可以密铺，每个拼接点处有四个角，他们的和也是360度。 问题3：正五、六边形能否密铺？正七、八边形呢？请简述你的理由。 通过上面的长方形、正方形的学习的方法学生很快就会知道：正六边形能密铺。因为正六边形的每个内角都120度,在每个拼接点处，恰好能容纳下3个内角，而且相互不重叠，没有空隙。而正五边形的每个内角都是108°，360不是108的整数倍。在每个拼接点处，三个内角之和为324°，小于360°，而四个内角之和又大于360°。 在每个拼接处，拼三个内角不能保证没空隙，而拼四个角时，必定有重叠现象. 通过实际的拼摆、探究看一看得出:要用正多边形密铺成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°，在正多边形里，正三角形的每个
内角都是60°，正四边形的每个内角都是90°，正六边形的每个内角都是120°，这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°，所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以密铺，而其他的正多边形不可密铺。 只有正三角形、正方形和正六边形可以密铺，其他正多边形不可以密铺吗？探究二：用一种任意多边形密铺 问题1：用任意几个全等的三角形能否密铺？观察每个拼接点处有几个角？他们与这种三角形有什么关系？(学生分组拼接、讨论，寻找规律，教师巡视指导) 结论：任意全等的一种三角形可以密铺，每个拼接点处有六个角（其中有三组分别相等）这六个角的和是360 。 问题2：用任意几个全等的四边形呢？（通过学生动手的拼摆，讨论等多种形式得出结论）结论：任意全等的一种四边形也可以密铺，在每个拼接点处有四个角，这四个角的和是360度。 师：通过以上几种图形的拼摆你能总结出什么规律吗？ 从拼接活动中，我们知道了：要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360 。 单独使用正方形,等边三角形可以密铺. 单独使用不规则四边形可以密铺. 结论：1.任意全等的三角形能密铺,在每个拼接点处有六个角，而这六个角的和恰好是这个三角形的内角和的两倍，也就是它们的和为360o。 2.任意全等的四边形能密铺,在每个拼接点处有四个角，而这四个角的和恰好是这个四边形的内角和，也就是它们的和为360o。
奇妙的图形密铺说课稿
奇妙的图形密铺说课稿 执教老师：刘少郴 第一部分：说教材、目标和教学对象分析 《图形的密铺》是人教版小学数学四年级下册教材P94的教学内容。这是一节根据有关平面图形特点进行观察、操作、思考和简单设计的实践活动。教材分三部分安排：第一部分，通过观察生活中常见的用砖铺成的地面或墙面，初步理解什么是图形的密铺。第二部分通过动手操作和思考，探索并了解能够进行密铺的平面图形的特点，知道有些平面图形可以密铺，而有些则不能；有的还可以利用两种平面图形密铺。从而在活动中进一步体会密铺的含义，更多地了解有关平面图形的特征。第三部分，通过欣赏和设计简单的密铺图案，进一步感受图形密铺的奇妙，获得美的体验。 通过前几个学期的学习，四年级的学生对平面图形的特征有了基本的了解，而且学生对于生活中的密铺已经积累了一定的感性认识。在此基础上，放手让学生操作，利用所学过的平面图形来探索密铺的奥秘，有利于培养学生的探究意识，有很强的趣味性。另一方面，动手设计创作密铺图案是学生感兴趣的活动，可以将学生的创造力发挥出来。 因此，我把本课的教学目标定位为： （1）、通过观察生活中常见的密铺现象，使学生初步理解密铺的含义；通过拼摆各种图形，探索密铺的特点，加深对有关平面图形特征的认识。 （2）、在探究密铺特点、进行简单的密铺设计过程中培养学生的观察、猜测、验证、推理和交流的能力，进一步发展学生的合情推理能力及空间观念。 （3）、通过欣赏、操作、探索、设计密铺，培养和提高学生基本的电脑操作与图案设计能力。 （4）、通过实践活动，使学生体会到在学习数学知识的过程中也可以欣赏美、创造美，从而激发学生学习数学的兴趣，享受由美带来的愉悦。 第二部分：说教学重难点以及信息技术与课程整合的关键点 这节课的教学重难点是理解密铺的含义，掌握密铺的特点，知道常见的平面图形中哪些图形可以进行密铺，能进行简单的密铺设计。 在常规环境下开展本课教学，学生的操作活动和设计出理想的密铺作品需要花费很多的时间，而且教师在课堂上难以向全班学生展示不同学生个体设计的密铺作品，使学生能看到其他同学的创作成果，达到取长补短的目的。因此，我认为信息技术在本课中整合的关键点：一是节省操作所需的时间，二是提高设计的效率，三是向全体学生及时反馈展示学生个体的学习成果。 第三部分：说教学过程 第一个环节是谈话导入 通过谈话“生活中，美无处不在”引入，课件出示相关生活场面，利用多媒体创设情境，唤醒学生的生活经验。
奇妙的图形密铺
《苏教版小学数学教材中数学史的渗透的实践研究》 案例 案例一： 奇妙的图形密铺 教学内容：苏教版义务教育课程标准实验教科书五下P86~87。 教学目标： 1、通过观察生活中常见的密铺图案，使学生初步理解密铺的含义。 2、通过拼摆各种图形，认识一些可以密铺的平面图形，初步探索密铺的特点，了解密铺的条件。在探究规律的过程中培养学生的观察、猜测、验证、推理和交流的能力。 3、通过欣赏密铺图案和设计简单的密铺图案，使学生体会到图形之间的转换，充分感受数学知识与生活的密切联系，经历欣赏数学美、创造数学美的过程。教学重点：掌握密铺的特点，知道哪些平面图形可以进行密铺。 教学难点：理解密铺的特点，了解密铺条件，能进行简单的密铺设计。 教学过程： 一、感受密铺——观察与理解 1.谈话导入：同学们，老师这有一幅图片，你能看出是从哪里拍来的吗？ 课件出示： 生答：某一个墙面。 师：那你能告诉大家它是用什么形状的瓷砖铺成的吗？ 生：长方形。
依次出示： 师：这些呢？ 生：可能是地面或墙面，分别用正六边形和正方形瓷砖铺设而成。 师：我们常用这样的图形铺设墙面或地面，有什么好处呢？ 生：美观，平整，无空隙等。 师：如果只用圆形地砖铺设地面，好不好？为什么？出示幻灯片 生：不好。会有空隙。（师板书：空隙） 师：那再铺一层不就行了？动态演示 生：这样也不行，会有重叠。（师板书：重叠） 师：也就是咱们如果只用圆形地砖铺设地面要么就有空隙，要么就会重叠。再回过头来看，刚刚的三幅图片，它们铺的时候有什么共同特点？ 生：既无空隙，又不重叠。 （师补全板书：既无空隙，又不重叠，铺在平面上）
师小结：无论什么形状的图形，如果能既无空隙、又不重叠地铺在平面上，这就是平面图形的密铺。 2、从刚出示的几幅图中，你知道哪些图形能够密铺吗？（正六边形、长方形、正方形） 3.继续出示图片： 课件出示：下面的三幅图，可以看作是密铺吗？为什么？ 生：第一幅图是密铺，因为每个三角形之间既没有空隙，也不重叠；第二、第三幅图都不是密铺，因为第二幅图图形之间有空隙，第三幅图图形之间是重叠的。 3.联系生活、揭示课题。 师：既然密铺的图形奇妙而美丽，生活中也有很多咱们一起来欣赏。 观看课件：生活中的密铺现象。（水立方，拼图，地面，墙面） 师：的确，我们的生活离不开密铺，密铺给我们的生活带来了丰富的变化和美的享受。今天，我们就一同走进图形密铺世界。（板书：图形密铺） 二、探究密铺——猜想与验证 (一)我们先来研究一种平面图形的密铺 1.课件出示：下面哪些图形也能密铺？ 2.学生猜测。 3.动手操作、实践验证。 (1)师：那么这些猜测都对吗？怎样知道大家的猜测是否正确呢？就让我们
简单的密铺图案
集体备课教案 内容奇妙的图形密铺主备人 复备栏备课时间上课时间 教学内容：教科书第86－87页。 教学目标： 1、通过观察生活中常见的密铺图案，使学生初步 理解密铺的含义。 2、通过拼摆各种图形，认识一些可以密铺的平面 图形，初步探索密铺的特点，在探究规律的过程中培 养学生的观察、猜测、验证、推理和交流的能力。 3、通过欣赏密铺图案和设计简单的密铺图案，使 学生体会到图形之间的转换，充分感受数学知识与生 活的密切联系，经历欣赏数学美、创造数学美的过程。 教学重点：掌握密铺的特点、知道哪些图形可以 进行密铺。 教学难点：能运用密铺进行创作。 教学准备：投影片。 教学过程： 一、创设情境——观察与理解。 1、同学们，最近几年我们连云港市发生了翻天覆 地的变化，一座座高楼拔地而起，一条条马路平坦宽 阔。我这里有几张照片，你们想看吗？边观察边思考： 这些图片有什么共同的地方？同伴间可以交流一下。 （出示：人行道、公园小路、墙面、蜂巢、龟甲……） 2、师：同学们观察得特别投入，那么谁来说说你 的发现？
学生交流。 A、关键词：铺 师：这些画面我们在生活中都能见到，想一想：在铺的时候要注意什么？ （不能有空隙，要注意图形的美观，不能重叠） 再出示一张屋顶铺瓦的图片。 师：屋顶铺瓦与前面有什么区别？（铺瓦的时候要重叠在一起） （板书：无空隙不重叠） B、关键词：各种图形（规则的、不规则的） 3、小结 师：无论什么形状的图形，不管用到了几种不同的图形，只要既无空隙，又不重叠地铺在平面上，这种铺法就叫做密铺。（板书：密铺）屋顶铺瓦是密铺吗？ 4、揭题：密铺在我们生活中随处可见，生活中的很多地方都离不开密铺，它给我们的生活带来了丰富的变化和美的享受。今天，我们就一同来走进奇妙的图形密铺世界。（板书完整：奇妙的图形密铺） 二、自主探索——思考与操作。 1、师：通过观察你已经知道哪些图形可以密铺？ 我们常见的密铺图形都是长方形、正方形，下面还有哪些平面图形也可以密铺平面？ 出示：正三角形、平行四边形、梯形、正五边形、正六边形、圆形 师：如果只用一种图形，猜一猜哪些图形可以进行密铺？
aaa,奇妙的图形密铺
奇妙的图形密铺 【摘要】一次偶然的机会我了解了图形密铺并对之发生了兴趣，这篇论文里我思考了什么样的正多边形能密铺，并进一步去探究多种正多边形组合的密铺问题。 【关键词】正多边形、组合、密铺 【研究方法】查询法、画图法，测量法、列表归纳法、实验法、计算法。 一、问题提出 最近同学们间流行养乌龟， 我也买了几只在家养着。有一天 我和妹妹在观察完乌龟以后，爸 爸问妹妹，小涡你知道乌龟背上 是什么图案吗？妹妹说是很多五 边形。爸爸又问我，我说是六边 形。爸爸说我说得对。爸爸还说， 乌龟背上的图案是许多个正六边 形，还有像蜂巢也是正六边形组 成的，正六边形可以密铺一个平 面，而如果是正五边形就不能了， 会有空隙。爸爸又叫我去想想， 哪些正多边形能单独密铺一个平面。 于是我就带着这个问题去研究了。 二、初步研究——研究4个正多边形的密铺问题 我先上网用百度搜索了“密铺”是什么意思，在百度百科里我看到了“密铺”的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。 我想从最简单的正多边形开始，于是在爸爸的指导下，用直尺和圆规画了下面这些图：
那么有没有办法不用量角器就得知正多边形的内角，然后通过内角的规律去求证边长大于六的正多边形能不能密铺。 我用已经研究过的4种正多边形的度数去寻找规律，可是愣没发现。于是我去问数学老师，数学老师告诉了我一个公式，正N边形内角的度数＝(N-2) ×180°÷N，譬如正三边形的内角度数是（3－2）×180°÷3＝60°，正四边形的内角度数是（4－2）×180°÷4＝90°。爸爸叫我列个表格找下规律。于是我列了下面这个表格（表格1）。