求函数值域的题型和方法精品

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求函数值域的7类题型和16种方法

一、函数值域基本知识

1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。

2．确定函数的值域的原则

①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；

②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；

③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；

④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。

一般地，常见函数的值域：

1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.

2.二次函数()2

0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ??

-+∞??

??

，当0a <时的值域为24,4ac b a ??

--∞ ??

?.， 3.反比例函数()0k

y k x

=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x

y a

a a =>≠且的值域为{}0y y >.

5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.

6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型

题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值）

1、一次函数：()0y ax b a =+≠ 当其定义域为R ，其值域为R ；

2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。

题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值）

1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ， 当其 定义域为R 时，其值域为

()()22

4 044 04ac b y a a

ac b y a a ?-≥>???-?≤

2、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间[],m n 上的值域(最值) 首先判定其对称轴2b

x a

=-

与区间[],m n 的位置关系 （1）若[],2b m n a -∈,则当0a >时，()2b

f a

-是函数的最小值，最大值为(),()

f m f n 中较大者；当0a <时，()2b

f a

-是函数的最大值，最大值为

(),()f m f n 中较小者。

（2）若[],2b

m n a

-

?,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大（小）值。 特别提醒：

①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时，要结合图像来确函数的值域；

③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。

例1：已知 ()

22f x x --的定义域为[)3,-+∞，则()f x 的定义域为 (],1-∞ 。 例2：已知()2

11f x x -=+，且()3,4x ∈-，则()f x 的值域为 ()1,17 。

题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠=k x

k

y 的定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠ 2、形如：cx d

y ax b

+=

+的值域：

（1）若定义域为b x R x a ??∈≠-????

时，其值域为c y R y a ??∈≠

????

（2）若[],x m n ∈时，我们把原函数变形为d by

x ay c

-=-，然后利用[],x m n ∈（即x 的

有界性），便可求出函数的值域。

例3：函数23

321x x

y -=-的值域为 [)1,3,3?

?-∞+∞ ??

? ；若[]1,2x ∈时，其值域为

11,511??-????

。 例4：当(]3,1x ∈--时，函数1321

x

y x -=

+的值域 34,2??--????

。 （2）已知()3

12x f x x

-+=

-，且[)3,2x ∈-，则()f x 的值域为 6,5?

?-∞- ??

? 。 例5：函数2sin 1

3sin 2

x y x -=

+的值域为

[)1,3,5??-∞?+∞ ??? ；若3,

22

x ππ??

∈????

，其值域为 12,23??

-????

。 题型四：二次分式函数22dx ex c y ax bx c

++=++的值域

一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的边界值也要考查达到该值时的x 是否存在；③分子、分母必须是既约分式。

例6：2216x x y x x +-=+-； ()21,,7?

?+∞?-∞ ??

?

例7：222

1x x y x +-=-； {}1y R y ∈≠

例8：432+=x x y ； 33,44??

-????

例9：求函数()21

1,21

x y x x x -=∈-+∞++的值域

解：由原函数变形、整理可得：()2

2110yx y x y +-++=

求原函数在区间()1,-+∞上的值域，即求使上述方程在()1,-+∞有实数解时系数y 的取值范围

当0y =时，解得：()11,x =∈-+∞ 也就是说，0y =是原函数值域中的一个值 …① 当0y ≠时，上述方程要在区间()1,-+∞上有解，

即要满足()10f -<或0

211

2y y ≥??

-?->-??

解得：108y <≤ ……②

综合①②得：原函数的值域为：10,8

??

????

题型五：形如y ax b =+ 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某

区间上求值域问题，然后求其值域。

例10： 求函数x x y -+=142在[]8,1x ∈-时的值域 []4,4- 题型六：分段函数的值域：

一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。 例11： 21++-=x x y [)3,+∞ 例12： 2

41y x x =-++ (],5-∞

题型七：复合函数的值域

对于求复合函数的值域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。

例13： )11y x =-≤≤ []0,2

例14：y =

50,2??

????

四、函数值域求解的十六种求法 （1）直接法（俗名分析观察法）：

有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。即从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。

例1：已知函数()112

--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。 {}1,0,3-

例2：求函数1y =的值域。 [1,)+∞

例3：求函数()1y x =≥的值域。

)

+∞

例4：求函数y =

[)1,+∞

（2）配方法：

二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。对于形如()2

0y ax bx c a =++≠或

()()()()2

0F x a f x bf x c a =++≠????类的函数的值域问题，均可使用配方法。

例1．求函数322+--=

x x y 的值域。

分析与解答：因为0322

≥+--x x ，即13≤≤-x ，4)1(2++-=

x y ，于是：

44)1(02≤++-≤x ，20≤≤y 。

例2．求函数x x x y 422++=在区间]4,4

1

[∈x 的值域。

分析与解答：由x x x y 422++=配方得：62242

+????

?

?-=++=x x x x y ，

当

241≤≤x 时，函数24++=x x y 是单调减函数，所以4

1186≤≤y ； 当42≤≤x 时，函数24

++=x

x y 是单调增函数，所以76≤≤y 。

所以函数在区间]4,41[∈x 的值域是4

1

186≤≤y 。

（3）最值法：

对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。 例1 求函数y =3-2x -x 2 的值域。

解：由3-2x -x 2≥0，解出定义域为［-3，1］。 函数y 在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x -x 2 的最大值为4，最小值为0。 ∴函数的值域是［0,2］

例2：求函数2x

y =，[]2,2x ∈-的值域。 1,44??

????

例3：求函数2

256y x x =-++的值域。 73,

8??

-∞ ???

（4）反函数法（逆求或反求法）：

利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。即通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围。对于形如)0(≠++=

a b

ax d

cx y 的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。

例1：求函数1212

x

x

y -=+的值域。 解：由1212x x

y -=+解得121x

y y -=+，

∵20x

>，∴

101y

y

->+，∴11y -<< ∴函数1212x

x

y -=+的值域为(1,1)y ∈-。

（5）分离常数法：

分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数)0(≠++=c d

cx b

ax y ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的

要求）内，值域为?

??

???≠

c a y y ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件）

，采用部分分式

法将原函数化为)(bc ad d cx c ad

b c a y ≠+-

+

=，用复合函数法来求值域。 例1：求函数125

x

y x -=+的值域。

解：∵177(25)112222525225x x y x x x -++

-===-++++， ∵7

2025

x ≠+，∴1

2y ≠-，

∴函数125x y x -=+的值域为1

{|}2

y y ≠-。

（6）换元法（代数/三角）：

对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

对形如()

1

y f x =

的函数，令()f x t =

；形如,,,,0)y ax b a b c d ac =+≠均为常数的函数，

t =；

的结构的函数，可利用三角代换，令[]cos ,0,x a θθπ=∈，或令sin ,,22x a ππθθ??

=∈-

????

. 例1

：求函数2y x =

解：令t =0t ≥），则2

12

t x -=，

∴22151()24

y t t t =-++=--+ ∵当12t =

，即38x =时，max 5

4

y =，无最小值。

∴函数2y x =5

(,]4

-∞。

例2．求函数21)45)(125(2

2

++-+-=x x x x y 的值域。

分析与解答：令4925452

2

-??? ?

?

-=+-=x x x t ，则49-≥t 。

()()542182182

2++=++=++=t t t t t y ，

当49-≥t 时，161854492

min =+??

?

??+-=y ，值域为??????≥1618|y y

例3．求函数23102--+=x x x y 的值域。

分析与解答：由23102--+=x x x y =()2

52--+x x ，令θcos 25=

-x ，

因为()1cos 10cos 220522

2

≤≤-?≥-?≥--θθx ，],0[πθ∈，则

()2

52--x =θsin 2，

于是54sin 25cos 2sin 2+??? ?

?

+=++=

πθθθy ，]45,4[4πππθ∈+，

14sin 22≤??? ?

?

+≤-

πθ，所以725≤≤-y 。 （7）判别式法：

把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0?≥，从

而求得原函数的值域。对形如21112

222

a x

b x

c y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x 的二次方程，由于方程有实根，即0≥?从而求得y 的范围，即值域。值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论。

注意：主要适用于定义在R 上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论。

例1：求函数223

1

x x y x x -+=-+的值域。

解：由2231

x x y x x -+=-+变形得2

(1)(1)30y x y x y ---+-=，

当1y =时，此方程无解；

当1y ≠时，∵x R ∈，∴，2

(1)4(1)(3)0y y y ?=----≥ 解得1113y ≤≤

，又1y ≠，∴1113

y <≤ ∴函数2231x x y x x -+=-+的值域为11

{|1}3

y y <≤

（8）函数单调性法：

确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例如，

()()0,0b

f x ax a b x

=+

>>.当利用不等式法等号不能成立时，

可考虑利用函数的单调性解题。

例1：求函数y x =

解：∵当x 增大时，12x -随x 的增大而减少，x 的增大而增大，

∴函数y x =1(,]2

-∞上是增函数。

∴1122

y ≤

-=，

∴函数y x =1

(,]2

-∞。 例2．求函数x

x y 1

+

=在区间()+∞∈,0x 上的值域。 分析与解答：任取()+∞∈,0,21x x ，且21x x <，则

()()()()

2

12121211x x x x x x x f x f --=

-，因为210x x <<，所以：0,02121><-x x x x ，

当211x x <≤时，0121>-x x ，则()()21x f x f >；

当1021<<

x y 1

+

=在区间()+∞∈,0x 上的值域为),2[+∞。 构造相关函数，利用函数的单调性求值域。 例3：求函数()x x x f -++=11的值域。

分析与解答：因为110

10

1≤≤-????≥-≥+x x x ，而x +1与x -1在定义域内的单调性

不一致。现构造相关函数()x x x g --+=11，易知)(x g 在定义域内单调增。

()21max ==g g ，()21min -=-=g g ，()2≤?x g ，()202≤≤x g ，

又()()422

=+x g x f

，所以：()422

≤≤

x f

，()22≤≤x f 。

（9）基本不等式法

利用基本不等式求函数值域, 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值。

利用基本不等式2a b ab +≥，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用2a b ab +≥求某些函数值域（或最值）时应满足三个条件①0,0a b >>;②

()a b ab +或为定值；③取等号成立的条件a b =.三个条件缺一不可。此外，有时需要合理

地添项和拆项和两边平方等技巧, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,比如求函数(0,)n k

y x k n N x

=+

>∈的值域。 例1 求函数12

++=

x x y 的值域.

解:

211

11

2≥++==

+++x x x x y , 当且仅当1=x 时""=成立. 故函数的值域为

),2[+∞∈y .

此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.

例2：求函数的值域：2211212x x y x x -+??

=> ?-??

.

解：()2

1

21121111

2121212122

2

x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----

当且仅当1

1

2122

x x -=-时，即122x +=时等号成立，

122y ∴≥+

，所以元函数的值域为12,2??++∞????

. 例3. 求函数

的值域。

解：原函数变形为：

当且仅当 即当

时

，等号成立 故原函数的值域为：

例4. 求函数的值域。

解：

当且仅当

，即当时，等号成立。

由可得：

故原函数的值域为：

（10）函数有界性法：

利用某些函数有界性求得原函数的值域。对于对形如d

x b c

x a y ++=

cos sin ，由于正余弦函数

都是有界函数，值域为[-1，1]，利用这个性质可求得其值域。

例1：求函数221

1

x y x -=+的值域。

解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R ，对函数进行变形可得

2(1)(1)y x y -=-+，

∵1y ≠，∴2

1

1

y x y +=-

-（x R ∈，1y ≠）， ∴1

01

y y +-

≥-，∴11y -≤<，s ∴函数221

1

x y x -=+的值域为{|11}y y -≤<

形如2

),(sin x y f =α0,1sin ),(2

≥≤=x y g α因为可解出Yr 范围,从而求出其值域

或最值。

例2．求函数121

2--=x x y 的值域

解： 由1

212--=x x y 得112--=y y x

例3：求函数2cos 1

3cos 2

x y x +=

-的值域。

[)1,3,5??-∞?+∞ ??

? 例4：求函数2sin 2sin x

y x

-=+的值域。

1,33??

????

（11）数型结合法：

如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域，如由

12

21

y y x x --可联想到

2 2

O

V

U

A

B

C

D

E

两点()11,x y 与()22,x y 连线的斜率或距离。

例1：求函数y =|x +1|+|x -2|的值域。

解法1：将函数化为分段函数形式：??

?

??≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ，

画出它的图象，由图象可知，函数的值域是{y |y ≥3}。

解法2（几何法或图象法）：∵函数y =|x +1|+|x -2|表示数轴上的动点x 到两定点-1，2的距离之和，∴易见y 的最小值是3，∴函数的值域是[3，+∞]。如图

）

例2．求函数224548y x x x x =

++-+

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。 解：原函数变形为222()(2)1(2)2f x x x =++-+作一个长为4、宽为3的矩形ABCD ，再切割成12个单位正方形。设HK =x ,则EK =2x -,KF =2x +,AK 22(2)2x -+,

KC 2(2)1x ++

由三角形三边关系知，AK +KC ≥AC =5。当A 、K 、C 三点共线时取等号。

∴原函数的知域为｛y |y ≥5｝。 例3．求函数x x y -++=11的值域。

解析：令x u +=1，x v -=1，则0,0≥≥v u ，222=+v u ，y v u =+，原问题转化为：当直线y v u =+与圆222=+v u 在直角坐标系uov 的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。

由图1知：当y v u =+经过点)2,0(时，2m in =y ；

当直线与圆相切时，()

2222

max ==

==OC OD y 。

所以，值域为22≤≤y

例4. 求函数226+134+5y x x x x =

-+的值域。

解：将函数变形为2222(3)(02)(2)(01)y x x =-+-++-

2-13

x

O y

上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点(2,1)B -到点(,0)P x 的距离之差。即y AP BP =-

由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点P '，则构成ABP '?，根据三角形两边之差小于第三边，有22(32)(21)26AP BP AB -<=

++-=即2626y -<<

（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有

26AP BP AB -==综上所述，可知函数的值域为(26,26]

注：求两距离之和时，通常需要将函数式变形，使A 、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。 （12）复合函数法：

对函数(),()y f u u g x ==，先求()u g x =的值域充当()y f u =的定义域，从而求出

()y f u =的值域的方法。

例1、求函数1

33+=x x

y 的值域

（复合函数法）设t x =+13 ，

则()11

11

31113113>-=+-=+-+=t t y x

x x 例2：求函数212log (253)y x x =-++的值域。 49,8??

+∞????

（13）非负数法

根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。

例1、(1)求函数2

16x y -=的值域。 (2)求函数1

3

22+-=x x y 的值域。

解析：(1)161602

≤-≤x ， 41602

≤-≤∴x

故 所求函数的值域为 []40，

∈y 。 (2)012

>+x ，∴原函数可化为 3)1(22-=+x x y ，即 3)1(2

+=-y y x ， 当

1≠y 时，y y x -+=

132， 02≥x ，013

≥-+∴

y

y ，解得13≤≤-y 又 1≠y ， 所以 13<≤-y ， 故 所求函数的值域为 ），13[-∈y 。 （不等式性质法）

例2：求下列函数的值域：

（1）y =262x +； （2）y =22241022x x x x ++++； （3）y =6

2sin 1

x -

（4）y （2）y =13()4(1)2x x -+≤-； （3）y =2211log ()()42

x x +> （14）导数法

若函数f 在),(b a 内可导, 可以利用导数求得f 在),(b a 内的极值, 然后再计算f 在

a ,

b 点的极限值. 从而求得f 的值域.

例1： 求函数x x x f 3)(3

-=在)1,5(-内的值域.

分析:显然f 在)3,5(-可导，且33)(2

-='x x f . 由0)(='x f 得f 的极值点为

1,1-==x x .

,

2)1(=-f 2)01(-=-f . 140)05(=+-f .

所以, 函数f 的值域为)140,2(-.

（15）“平方开方法”

求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题.

1.适合函数特征

设()f x （x D ∈）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征：

（1）()f x 的值总是非负，即对于任意的x D ∈，()0f x ≥恒成立；

（2）()f x 具有两个函数加和的形式，即12()()()f x f x f x =+（x D ∈）； （3）()f x 的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即

2212()[()()]()f x f x f x c g x =+=+（x D ∈，c 为常数），

其中，新函数()g x （x D ∈）的值域比较容易求得.

2.运算步骤

若函数()f x （x D ∈）具备了上述的三个特征，则可以将()f x 先平方、再开方，从而

得到()f x =x D ∈，c 为常数）.然后，利用()g x 的值域便可轻易地求出()f x 的

值域.例如()[,]g x u v ∈，则显然()f x ∈.

3.应用四例

能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧.

例1 求函数()f x =[,]x a b ∈，a b <）的值域.

解：首先，当[,]x a b ∈时，()0f x ≥；

其次，()f x 是函数1()f x =2()f x =的和；

最后，2()f x b a b a =-+-+

可见，函数()f x 满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对()f x 平方、开方得

()f x （[,]x a b ∈）.这里，()g x =（[,]x a b ∈）.对()g x 根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得()g x 的值域为[0,]b a -.

于是，()f x 的值域为.

例2 求函数()f x =（[,]a b

x k k

∈，a b <，0k >）的值域.

解：显然，该题就是例1的推广，且此题的()f x 也满足了采用“平方开方法”的三个特

征.于是，对()f x 平方、开方得()f x [,]a b

x k k ∈）.这里，

()g x =（[,]a b

x k k

∈）.对()g x 根号下面的二次函数采用“配方法”，

即可求得()g x 的值域仍为[0,]b a -.于是，()f x 的值域也仍为.

例3 求函数()|sin ||cos |f x x x =+（x R ∈）的值域.

解：参照例1的验证步骤，显然，此题的()f x 也满足了采用“平方开方法”的三个特征.

于是，对()f x 平方、开方得()f x =（x R ∈）.这里，()|sin 2|g x x =（x R ∈）.

易知，()g x 的值域为[0,1].于是，()f x 的值域为.

例4 求函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-（x R ∈）的值域.

解：参照例1的验证步骤，显然，此题的()f x 也满足了采用“平方开方法”的三个特征.

于是，对()f x 平方、开方得()f x =x R ∈）.这里，()2|cos2|g x x =（x R ∈）.

易知，()g x 的值域为[0,2].于是，()f x 的值域为.

例5 求函数x x y -+-=53 的值域

解：（平方法）函数定义域为：[]5,3∈x 平方法）函数定义域为：[]5,3∈x （16）一一映射法

原理：因为)0c (d

cx b ax y ≠++=在定义域上x 与y 是一一对应的。故两个变量中，若知道

一个变量范围，就可以求另一个变量范围。

例1. 求函数1

x 2x 31y +-=的值域。

解：∵定义域为????

??->-<21x 21x |x 或

由1

x 2x 31y +-=得3

y 2y 1x +-=

故213y 2y 1x ->+-=

或2

1

3y 2y 1x -<+-= 解得2

3y 23y ->-<或

故函数的值域为??

? ??+∞-??? ??-∞-,2323,

（17）其他方法

其实，求解函数值域的方法，只不过是从解题过程中，对关键环节或典型步骤的一种称呼。实际上，其解法也远非上面总结的16种方法，还有倒数法等。此外我们还要明白：多种方法的配合使用，以及一题采用多种方法，在不断积累过程中，体会不同方法的长短，和练就根据实际问题选择较为简捷方法的能力。

例1. 求函数3

x 2x y ++=

的值域。 解：令)0t (2x t ≥+=，则1t 3x 2+=+ （1）当0t >时，

21

t

1t 11t t y 2≤

+=+=

，

当且仅当t =1，即1x -=时取等号，所以2

1y 0≤< （2）当t =0时，y =0。

综上所述，函数的值域为：??

????21

,0

注：先换元，后用不等式法

例2. 求函数4

24

32x

x 21x x x 2x 1y ++++-+=的值域。

解：423424

2x x 21x x x x 21x x 21y +++++++-=22

22x 1x x 1x 1++???

? ??+-= 令2tan x β=，则β=???

? ??+-22

22cos x 1x 1

∴当41sin =β时，16

17y max =

当1sin -=β时，2y min -=

此时2tan β都存在，故函数的值域为??

????-1617

,2

注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用βsin 的有界性。 例3.求函数 )0(2

≤=x y x

的值域

解：（图象法）如图，值域为(]1,0

例4.求函数x

x y 2231+-?

?

?

??= 的值域

解（复合函数法）：令1)1(22

2

+--=+-=x x x t ，则)1(31≤??

?

??=t y t

由指数函数的单调性知，原函数的值域为??

????+∞,31 例5.求函数21x x y -+=的值域 解（三角代换法）： 11≤≤-x ∴设[]πθθ,0cos ∈=x

小结：

（1）若题目中含有1≤a ，则可设

（2）若题目中含有12

2=+b a

则可设θθsin ,cos ==b a ，其中πθ20<≤

（3）若题目中含有2

1x -，则可设θcos =x ，其中πθ≤≤0

（4）若题目中含有2

1x +，则可设θtan =x ，其中2

2

π

θπ

<

<-

（5）若题目中含有

)0,0,0(>>>=+r y x r y x ，则可设

θθ22sin ,cos r y r x ==。其中??

?

??∈2,0πθ

例6、求函数1

1

22+-=x x y 的值域

解法一：（逆求法）110112

<≤-∴≥-+=

y y

y

x

解法二：（复合函数法）设t x =+12 ， 则 )1(2

11

212

≥-=+-

=t t x y 解法三：（判别式法）原函数可化为 010)1(2

=++?+-y x x y 1） 1=y 时 不成立

2） 1≠y 时，110)1)(1(400≤≤-?≥+--?≥?y y y 综合1）、2）值域}11|{<≤-y y

解法四：（三角代换法）∴∈R

x 设??

?

??-∈=2,2tan ππθθx ，则

∴原函数的值域为}11|{<≤-y y

小结：

已知分式函数)0(222

2≠+++++=d a f

ex dx c

bx ax y ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为

)(二次式

一次式

或一次式二次式==

y y 的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数

的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数)0(≠+=x x

a

x y 的单调性去解。

注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用sin β的有界性。

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰

5cm

5cm

8cm

8cm

当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

五、与函数值域有关的综合题

例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm 2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm 的空白，左右各留5 cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？

如果要求λ∈［4

3

,

32］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？ 解 设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx 2=4840,设纸张面积为S cm 2, 则S =(x +16)(λx +10)=λx 2+(16λ+10)x +160, 将x =

λ

10

22代入上式得 S =5000+4410 (8λ+

λ

5

),

当8λ=

λ

5

,即λ=8

5(85<1)时S 取得最小值

此时高 x =

λ

4840

=88 cm, 宽 λx =

8

5×88=55 cm 如果λ∈［4

3,

32］，可设32≤λ1<λ2≤43

,

则由S 的表达式得 又21λλ≥

8532>,故8－

2

15

λλ>0, ∴S (λ1)－S (λ2)<0,∴S (λ)在区间［4

3

,32］内单调递增

从而对于λ∈［4

3,

32］,当λ=32

时，S (λ)取得最小值

答 画面高为88 cm,宽为55 cm 时，所用纸张面积最小 如果要求λ∈［4

3,32］,当λ=

32

时，所用纸张面积最小

例2已知函数f (x )=x

a

x x ++22,x ∈［1,+∞)

(1)当a =2

1

时，求函数f (x )的最小值

(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围

解 (1) 当a =

21时，f (x )=x +x

21+2 ∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数，

∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f (1)=2

7 (2)解法一 在区间［1，+∞)上，

f (x )=x

a x x ++22 >0恒成立?x 2+2x +a >0恒成立

设y =x 2+2x +a ,x ∈［1,+∞)

∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，

∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立， 故a >－3 解法二 f (x )=x +

x

a

+2,x ∈［1,+∞) 当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；

当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a ,

当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3 例3设m 是实数，记M ={m |m >1},f (x )=log 3(x 2－4mx +4m 2+m +

1

1

-m ) (1)证明 当m ∈M 时，f (x )对所有实数都有意义；反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则m ∈M

(2)当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值

(3)求证 对每个m ∈M ,函数f (x )的最小值都不小于1 (1)证明 先将f (x )变形 f (x )=log 3［(x －2m )2+m +

1

1

-m ］, 当m ∈M 时，m >1,∴(x －m )2+m +1

1

-m >0恒成立， 故f (x )的定义域为R

反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则只须x 2－4mx +4m 2+m +1

1

-m >0,令Δ＜0,即16m 2

－4(4m 2+m +

1

1

-m )＜0,解得m >1,故m ∈M (2)解 设u =x 2－4mx +4m 2+m +1

1

-m ,

∵y =log 3u 是增函数，∴当u 最小时，f (x )最小

而u =(x －2m )2+m +

1

1

-m , 显然，当x =m 时，u 取最小值为m +1

1

-m , 此时f (2m )=log 3(m +

1

1

-m )为最小值 (3)证明 当m ∈M 时，m +11-m =(m －1)+ 1

1

-m +1≥3,

当且仅当m =2时等号成立 ∴log 3(m +

1

1

-m )≥log 33=1

高中函数值域的12种求法

高中函数值域的12种求法 一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为. 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y－1或y1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为 {y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

函数值域的求法(精选例题)

函数值域的求法 1、（观察法）求下列函数的值域 （1）求函数y1=121 1x +的值域 (]1,0 （2）求函数y1=2－x 的值域。 (]2-，∞ 2、（配方法）求下列函数的值域 （1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域 ][84， （2）求函数y =的值域： ][20， （3）,x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的根,则()()2211x y -+-的最小值是（ ） C A.-1241 B.18 C.8 D.43

3、（换元法）求下列函数的值域 （1）21y x =+[)∞+，3 （2）4y x =++ ][234,1+ （3）求函数y=32 ++x x 的值域 ??????21,0 （4）求函数y = ][2,1 （5）求函数 y=12243++-x x x x 的值域 ??????41,41-

4、（分离常数法）求下列函数的值域 （1）求值域（1）1 (4)2x y x x -=≥-+ ()??? ???∞+∞，，251- （2）求函数122+--=x x x x y 的值域。 ?????? 131 -， 5、（判别式法）求下列函数的值域 （1）求函数的值域2222 1x x y x x -+=++ ][51， （2）求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。 ?????? 229 -， （3）已知函数12)(22 +++=x b ax x f x 的值域是[1，3 ]，求实数a ， b 的值. a=2或-2，b=2

6、(单调性法)求下列函数的值域 （1）求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。 (2)-48f = （2）设函数f(x)＝ln(2x ＋3)＋x 2.求f(x)在区间???? ??－34，14上的最大值和最小值． max 171()=ln +4216()f f x = min 11(-)=ln 2+24()f f x = 7、(数形结合法)求下列函数的值域 （1）求函数y=4 1362+-x x 4-542++x x 的值域 (]265-， （2）求函数y=4 12++x x 4-1 - 2 +x x 的值域 ()1,1-

求函数值域的几种方法

高中数学中求函数值域的几种方法 汝南双语学校赵保刚 函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题. 定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难。实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函数的理解，从而深化对函数本质的认识。 若有非空数集A到B的映射f:A→B，则函数：y=f(x)(x∈A,y∈B)的值域是自变量x在f作用 下的函数值y的集合C，很明显，C B，求函数值域的方法要随函数式的变化而灵活掌握，同时应注重数形结合，等价转换，分类讨论等重要数学思想的理解与运用。下面通过八个方面的例题来加以说明。 题型一定义法 要深刻领会映射与函数值域的定义。 例1．已知函数f:A→B（A，B为非空数集），定义域为M，值域为N，则A，B，M，N的关系：（）。 A．M＝A，N＝B B．M N，N＝B C．M＝A，N B D．M A，N B 说明：函数的定义域是映射f：A→B中的原象集合A，而值域即函数值的集合是集合B的子集。 故：应有M＝A，N B，选C。 例2．已知函数f(x)=2log2x的值域是[-1，1]，求函数y=f-1(x)的值域。 分析：要求反函数的值域，只需求原函数的定义域。 解：由已知可得 f(x)∈[-1，1]，，解之得，

函数值域的13种求法

函数值域十三种求法 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数 x 1 y =的值域 解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y -=的值域 解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数 ]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得： 4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 例4. 求函数 22 x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2=-+- （1）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2≥----=? 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而??????∈23,211 故函数的值域为????? ?23,21

例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域 解：两边平方整理得： 0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈ ∴ 0y 8)1y (42≥-+=? 解得：21y 21+≤≤- 但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤ 由0≥?，仅保证关于x 的方程： 0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥?求出 的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为????? ?23,21。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵2x 0≤≤ 0)x 2(x x y ≥-+=∴ 21y ,0y min +==∴代入方程（1） 解得：] 2,0[22 222x 41∈-+= 即当22222x 41-+=时， 原函数的值域为：]21,0[+ 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数6x 54 x 3++值域 解：由原函数式可得： 3y 5y 64x --= 则其反函数为：3x 5y 64y --=，其定义域为：53x ≠ 故所求函数的值域为：33(,)(,)55 -∞?+∞

函数值域求法十一种

函数值域求法十一种 尚化春 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数 x 1 y = 的值域。 解：∵0x ≠ ∴0 x 1 ≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y - =的值域。 解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤- ≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。 解：将函数配方得：4)1x (y 2 +-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y m i n =，当1x -=时，8y m a x = 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 例4. 求函数2 2 x 1x x 1y +++= 的值域。 解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2 =-+- （1）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2 ≥----=? 解得：23y 2 1 ≤ ≤ （2）当y=1时，0x =，而? ?? ???∈23,211

高一数学求函数的定义域与值域的常用方法教案

一. 教学内容： 求函数的定义域与值域的常用方法 求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值 二. 学习目标 1、进一步理解函数的定义域与值域的概念； 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式； 3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值； 4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用； 5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题； 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。 三. 知识要点 （一）求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有： （1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g （x），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式； （5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 （二）求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示； 2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题； 3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；

高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)

高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项

数形结合法求函数值域

数形结合法求函数值域 数形结合法求函数的值域就是将函数与图形有机地结合起来，利用图形的直观性求出函数的值域。其题型特点是这些函数的解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式或直线的斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然。在实际生活中应用广泛。 例1、求函数12y x x =-++的值域。 分析：函数12y x x =-++可以看成数轴上点()p x 到定点()1A ，()2B -的距离的和。因此，根据其几何意义，可以利用数形结合法来求解。 解：函数12y x x =-++可以看成数轴上点()p x 到定点()1A ，()2B -的距离的和。由下图可知：当点()p x 在线段AB 上时，12y x x =-++=AB =3； 当点()p x 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，12y x x =-++>AB =3 ∴函数12y x x =-++的值域为 [3，+∞）。 例2、求函数102422++++= x x x y 的值域。 分析：函数102422++++= x x x y = ，显然y 可以看成是点(,0)p x 到点(0,2)A 的距离与点(,0)p x 到点(1,3)B -的距离的和。而点)0,(x p 是x 轴上的任意一点，因此该题就可以等价转化为一条直线上的点到两个定点的距离之和的范围。 解函数102422++++=x x x y = 把y 可以看成是点(,0)p x 到点(0,2)A 的距离与点(,0)p x 到点(1,3)B -的距离的和。而点)0,(x p 是x 轴上的任意一点，从图4可以 看出：当(,0)p x 在x 轴上 AB ≥

函数解析式求法和值域求法总结

2[()]()()f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++函 数 解 析 式 及值域专题 一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法． 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ． 解：设b ax x f +=)()0(≠a ，则 ∴?? ?=+=3 42b ab a ， ∴????? ?=-===3212b a b a 或 ． 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 ． 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式常用配凑法．但要注 意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域． 例2 已知221 )1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式． 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x ， 2)(2 -=∴x x f )2(≥x ． 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．与配 凑法一样，要注意所换元的定义域的变化． 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ． 解：令1+= x t ，则1≥t ，2)1(-=t x ． x x x f 2)1(+=+， ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x ， x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x ． 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法． 例4已知：函数)(2 x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式． 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点． 则 ?????=+'-=+'32 22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上 ， x x y '+'='∴2．

求函数值域的常见方法大全教师版

第 1 页 共 6 页 求函数值域的几种常用方法 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就求函数值域的方法归纳如下，供参考。 一、直接观察法 这是最基本的方法，通过对函数的定义域及其对应关系的观察分析，求函数的值域。 例1 求函数y = x 1 的值域。 解： x ≠0 ，∴ x 1 ≠0 显然函数的值域是：（ -∞，0 ）∪（0 ，+∞）. 例2 求函数y = 3 -x 的值域。 解： x ≥0 ∴- x ≤0 3 -x ≤3 故函数的值域是：(,3]-∞ . 二、反函数法 当一个函数存在反函数又便于求其反函数时，可以通过求原函数的定义域来确定反函数的值域。 例3 求函数y = 6 54 3++x x 值域。 解：由原函数式可得：x = 3 564--y y ， 则其反函数为：4653x y x -= - 其定义域为：x ≠5 3 ， 故所求函数的值域为：33 (,)(,)55 -∞?+∞. 注：本题还可以用分离系数法，把原函数式变形为：3252530 y x = ++同样达到目的。 例4 求函数11()211()2 x x y -= +值域。 解：由原函数式可得：1 21log 1y x y -=+， 则其反函数为：1 2 1log 1x y x -=+ 由 101x x ->+，知11x -<<， 故所求函数的值域为：(1,1)-. 注：本题还可以利用函数的有界性法，把原函数式变形为：11()02 1x y y -= >+同样达到目的 三、配方法 配方法是求二次函数（即形如2 ()()()f x ag x bg x c =++的函数）值域最基本的方法之一。 例5 求函数y =2 x -2x + 5，x ∈[-1，2]的值域。 解：将函数配方得：y =（x -1）2 + 4， x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知： 当x = 1时，min y = 4 ， 当x = - 1，时max y = 8 ， 故函数的值域是：[ 4 ，8 ]. 例6 求函数y = 的值域。 解： 将函数变形为：y =故函数的值域是：[ 0 ， 3 2 ].

从函数图像和求函数值域方面认识数形结合思想

从函数图像和求函数值域方面认识数形结合思想 “数”和“形”是数学研究中既有区别又有联系的两个对象。所谓数形结合,就是把问题的数量关系或几何形式结合起来考察,由形思数，由数思形，互相联想，根据解决问题的需要,可以把数量关系转化成图形的性质问题去讨论,或者把图形的性质转化为数量关系去研究。下面我们应用数形结合的思想来求函数的值域。 例1. 求函数432--=x x y 的值域 分析：作函数432--=x x y 的图像。 解法Ⅰ：取绝对值化简函数得y ={() ()0.430.432 2<-+≥--x x x x x x ={()()0.47230.472322<-??? ??+≥-??? ? ?-x x x x 作出函数的图像，由图像可知函数的最小值是47 -，所以函数的值域是?? ? ??-∞-47,。 解法Ⅱ：由函数的性质可知函数432--=x x y 是偶函数，所以只要 作出=y ()0.47232 ≥-??? ??-x x 的图像，当0

()x x sin ,cos 在单位圆上，作出单位圆的图像，当直线和圆相切时取得最大值或最小值，由图像可知函数的最大值是 33，最小值是3 3-，所以函数的值域是??????-33,33 例3求函数13-++=x x y 的值域。 分析：解法Ⅰ化间函数取绝对值符号，然后作出函数图像，从而由图像看出函数的值域[)+∞,4 解法Ⅱ13-++=x x y 可以看作在数轴x 轴上一点到-3和1的距离之和。在数轴上我们可以看到函数的最小值4，所以函数的值域是[)+∞,4。 通过这几个例题我们可以看出求函数的值域如果能够作出函数的图像，利用数形结合的思想很容易得到函数的值域。 ，

含根式函数值域的求法

含根式函数值域的几何求法 函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题，其求解的方法很多，常见的解法有：观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。其中，利用数形结合来求函数的值域，尤其是含根式函数的值域，具有其独特的效果，它能够把满足题意的几何图形画出来，生动形象的直观图，提示和启发我们的解题思路，有时，图形式直接提供了我们寻求的答案，因此，几何法既可以使题意更加明确，又可以使运算得到简化。 例1 求函数312+-+=x x y 的最小值. 解：由03≥+x 得：3-≥x . 令???≥+=-≥+=) 0(3)5(12v x v u x u ，消去x 得：)0,5()5(212≥-≥+=v u u v 则点()v u ,在)5(2 12+=u v 的抛物线段上，又在直线y u v -=上，如图1，易知，当直线与抛物线相切时，－y 取最大值，取y 最小值。 联立方程组?????-=+=y u v u v )5(212， 消去u 整理得： 0522=---y v v ，由△=0， 即：0)5(24)1(2=--??--y 解得：=y 8 41-. ∴ 原函数的最小值为841- . 评注：本题可以利用代数换元法，将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题，其解题过程中运算量并不大，而且不难接受理解。因此，本题利用构造直线与抛物线进行求解，并没有真正体现出几何解法的优越性。 图1

例2 求函数131-++-=x x y 的值域. 分析：本题不能用换元法进行求解，因此，我们也来尝试利用几何解法。 解：由???≥+≥-0301x x 解得：13≤≤-x . 令???≤≤+=≤≤-=)20(3)20(1v x v u x u ，消去x 得：)20,20(422≤≤≤≤=+v u v u 则点()v u ,在422=+v u 的园弧上，又在直线1++-=y u v 上， 如图2，显然OB y OA ≤+≤1 又 ∵ 22,2==OB OA ∴ 1221-≤≤y 即为原函数所求的值域。 例3 求函数106422+-++=x x x y 的最小值. 分析：当我们把106422+-++=x x x y 化为： y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x 时，容易联想到两点间距离。 解： 106422+-++=x x x y 2222)10()3()20()0(-+-+-+-=x x 设P （x , 0），A （0, 2），B （3, 1），则问题转化 为在x 轴上找一点P ，使得P 到A 、B 两点的 距离之和最小。如图3，易求得点A 关于x 轴 的对称点A / 的坐标为（0, －2），则： B A BP P A BP AP //=+=+即为最小. ∴ 32)12()30(22/min =--+-==B A y . 评注：本题可用判别式法以及构造复数由模的重 要不等式进行求解，但是判别式法计算量很大，不易 图2 图3

高中数学求函数值域的方法十三种审批稿

高中数学求函数值域的 方法十三种 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

高中数学：求函数值域的十三种方法 一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性 八、函数单调性法（☆） 九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、 十三、一一映射法 十四、 多 种 方 法 综 合 运 用 一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 11≥， ∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是： ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1- =f f，()1 1- f所以： = 2 0= f，()()0 ∈ 3 x，而()()3 -f = 1= {}3,0,1- ∈ y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x∈，则函数的值域为{}1 y。 y ≥ |- 二．配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 =++的 F x af x bf x c ()()() 函数的值域问题，均可使用配方法。 【例1】求函数225,[1,2] y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8] 【变式】已知，求函数的最值。 【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。 图2

人教版必修一求函数值域的几种常见方法

人教版必修一求函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ， 当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a b a c y y 4)4(|2 -≤}. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1 += x x y ④x x y 1 + = 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3， ∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2} ③1 111 111 +- =+-+= +=x x x x x y ∵ 01 1≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴x x y 1+ ==2)1(2 +- x x 2≥， 当x<0时，)1(x x y -+ --==－2)1(2 --- -x x 2-≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数x x y 1+ =的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 4 3 21 -1-2-3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y=x o -2 -112 f x () = x+ 1x

高中数学求函数值域的类题型和种方法

高中数学求函数值域的类 题型和种方法 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

求函数值域的 7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合； ②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域： 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞?? ?? ，当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ???.， 3.反比例函数()0k y k x = ≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.

6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值） 1、一次函数：()0y ax b a =+≠当其定义域为R ，其值域为R ； 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值） 1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，当其定义域为R 时，其值域为 ()()22 4 044 04ac b y a a ac b y a a ?-≥>???-?≤时，()2b f a -是函数的最小值，最大值为(),()f m f n 中 较大者；当0a <时，()2b f a -是函数的最大值，最大值为 (),()f m f n 中较小者。 （2）若[],2b m n a - ?,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大（小）值。 特别提醒： ①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时，要结合图像来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 例1：已知()22f x x --的定义域为[)3,-+∞，则()f x 的定义域为(],1-∞。 例2：已知()211f x x -=+，且()3,4x ∈-，则()f x 的值域为()1,17。 题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠ 2、形如：cx d y ax b +=+的值域：

函数值域求法十一种

函数值域求法十一种 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数x 1y = 的值域。 解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y - =的值域。 解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。 解：将函数配方得： 4)1x (y 2 +-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 例4. 求函数 22x 1x x 1y +++= 的值域。 解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2=-+- （1）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2≥----=? 解得：23y 2 1≤ ≤

（2）当y=1时，0x =，而? ?????∈23,211 故函数的值域为? ?????23,21 例5. 求函数) x 2(x x y -+ =的值域。 解：两边平方整理得： 0y x )1y (2x 22 2=++-（1） ∵R x ∈ ∴ 0y 8)1y (42 ≥-+=? 解得：21y 21+≤≤- 但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤ 由0≥?，仅保证关于x 的方程： 0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0 ≥?求出的围可能比y 的实际围大，故不能确定此函数的值域为? ?? ???23,21。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵2x 0≤≤ )x 2(x x y ≥-+=∴ 21y ,0y min + ==∴代入方程（1） 解得：] 2,0[2 2 222x 41∈-+= 即当 22222x 41-+= 时， 原函数的值域为：]21,0[+ 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数6x 54 x 3++值域。 解：由原函数式可得： 3 y 5y 64x --=

高中数学求值域的10种方法

求函数值域的十种方法 一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1．求函数1y = 的值域。 【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【练习】 1．求下列函数的值域： ①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(； ③1 += x x y ； ○ 4()112 --=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。 【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞U ；○4{1,0,3}-。 二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。 例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。 例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得 ][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ?∈?。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为： 0)(≥x f 。 例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。

高中函数值域的经典例题 12种求法

一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为 . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。 五．最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。