高中数学求函数值域的方法十三种

高中数学：求函数值域的十三种方法

一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性

八、函数单调性法（☆）

九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、一一映射法 十三、 多种方法综合运用

一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。 【例1】求函数1y x =+的值域。

【解析】∵0x ≥，∴11x +≥， ∴函数1y x =+的值域为[1,)+∞。

【例2】求函数

x 1

y =

的值域。

【解析】∵0x ≠ ∴0

x 1≠ 显然函数的值域是：

),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112

--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。

二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

【例1】 求函数2

25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得：

∵

由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，

，当

时， 故函数的值域是：[4，8]

【变式】已知

，求函数

的最值。

【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配

方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐

标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。

图2

【例2】 若函数2

()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，（1）求函数()g t

（2）当∈t [-3,-2]时，求g(t)的最值。（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法） 【解析】(1)函数

，其对称轴方程为

，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

图1

图2

图3

①如图1所示，若顶点横坐标在区间

左侧时，有

，此时，当

时，函数取得最小值

。

②如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有

，即

。当时，函数取得最小

值

。

③如图3所示，若顶点横坐标在区间

右侧时，有

，即

。当

时，函数取得最小值

综上讨论，g(t)=??

?

??<+≤≤>+-=0110,11,1)1()(22min

t t t t t x f (2)221(0)(

)1(01)22(1)t t g t t t t t ?+≤?

=<

(,0]t ∈-∞时，2

()1g t t =+为减函数

∴

在[3,2]--上，2

()1g t t =+也为减函数

∴

min ()(2)5g t g =-=， max ()(3)10g t g =-=

【例3】 已知2

()22f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值．

【解析】由已知可求对称轴为1x =．

（1）当1t >时，2min max ()()23()(1)2

f x f t t t f x f t t ∴==-+=+=+，．

（2）当11t t +≤≤，即01t ≤≤时，．

根据对称性，若

2

1

21≤++t t

即1

02t ≤≤

时，2

max ()()23f x f t t t ==-+．

若2121>++t t 即1

12t <≤时，2max ()(1)2f x f t t =+=+． （3）当11t +<即0t <时，2max ()()23f x f t t t ==-+．

综上，???

????≤

+->+=21,3221,2)(22

max

t t t t t x f

观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

当

时???

????+<-+≥-=)

)((212)())((2

12)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ??

?

?

?

?

???

<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min

如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f

当时

?

?

?

?

?

?

?

?

?

<

-

≤

-

≤

-

>

-

=

)

(

2

)

(

)

(

2

)

2

(

)

(

2

)

(

)

(

8

7

6

max

如图

如图

如图

，

，

，

m

a

b

m

f

n

a

b

m

a

b

f

n

a

b

n

f

x

f f x

f m

b

a

m n

f n

b

a

m n

()

()()()

()()()

min

=

-≥+

-<+

?

?

??

?

?

?

，

，

如图

如图

2

1

2

2

1

2

9

10

【例4】(1)求2

f(x)x2ax1

=++在区间[-1,2]上的最大值。

(2) 求函数)

(a

x

x

y-

-

=在]1,1

[-

∈

x上的最大值。

【解析】(1)二次函数的对称轴方程为x a

=-，

当

1

a

2

-<即

1

a

2

>-时，

max

f(x)f(2)4a5

==+；

当

1

a

2

-≥即

1

a

2

≤-时，

max

f(x)f(1)2a2

=-=+。综上所述：

max

1

2a2,a

2

f(x)

1

4a5,a

2

?

-+≤-

??

=?

?+>-

??

。

(2)函数

4

)

2

(

2

2

a

a

x

y+

-

-

=图象的对称轴方程为

2

a

x=，应分1

2

1≤

≤

-

a

，1

2

-

<

a

，1

2

>

a

即2

2≤

≤

-a，2-

<

a和2

>

a这三种情形讨论，下列三图分别为

（1）2

-

<

a；由图可知

max

()(1)

f x f

=-

（2）a

≤

-22

≤；由图可知

max

()()

2

a

f x f

=

（3）2

>

a时；由图可知

max

()(1)

f x f

=

∴???????>≤≤--<-=2,)1(22,)2(2

,)1(a f a a

f a f y 最大

；即???????>-≤≤--<+-=2

,122,42,)1(2a a a a

a a y 最大 【例5】 已知二次函数2

f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间3,22??

-

????

上的最大值为3，求实数a 的值。 【分析】这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a 0>与a 0<两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。具体解法为： （1）令2a 1f ()32a --

=，得1

a 2

=- 此时抛物线开口向下，对称轴方程为x 2=-，且32,22??

-?-????

，故12-不合题意；

（2）令f (2)3=，得1

a 2

=

此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故1

a 2

=符合题意； （3）若3f ()32-

=，得2a 3

=- 此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故2

a 3

=-符合题意。 综上，1a 2=

或2a 3

=- 解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。

【变式】 已知函数()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。 【解析】2

()(1)1,[3,2]f x a x a x =++-∈- （1）若0,()1,a f x ==，不符合题意。 （2）若0,a >则max ()(2)81f x f a ==+

由814a +=，得3

8

a =

（3）若0a <时，则max ()(1)1f x f a =-=- 由14a -=，得3a =-

综上知3

8

a =或3a =-

【例6】 已知函数2

()2

x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的值。 【解法1】讨论对称轴中1与,,2

m n

m n +的位置关系。

①若，则max min ()()3()()3f x f n n

f x f m m

==??

==?

解得

②若12m n

n +≤<，则max min

()(1)3()()3f x f n f x f m m ==??

==?，无解 ③若12m n

m +≤<，则max min

()(1)3()()3f x f n f x f n m ==??==?，无解

④若

，则max min ()()3()()3f x f m n

f x f n m

==??

==?，无解

综上，4,0m n =-=

【解法2】由2

11()(1)22f x x =--+，知113,,26

n n ≤≤，则[,](,1]m n ?-∞，

又∵在[,]m n 上当x 增大时)(x f 也增大所以max min

()()3()()3f x f n n

f x f m m ==??==? 解得4,0m n =-=

评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m ，n 的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。 【例7】 求函数35y x x =

--的值域.

【解法1】2

2)4(122)5)(3(253--+=--+-+-=x x x x x y

显然

]4,2[)4(1222

2∈--+=x y 故函数的值域是：]2,2[∈y

【

解

法

2

】

显

然

3

≤

x

≤

5,

2232sin ([0,])52cos 2

x x π

θθθ

-=∈?-=,

352(sin cos )2sin()[2,2]4

y x x π

θθθ=--=+=+∈

三、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法（分母少，分子多），通过

该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式此类问题一般也可以利用反函数法。

【例1】 求函数1

2

++=

x x y 的值域 【解析】利用恒等变形，得到：1

1

1++

=x y ，容易观察知x ≠-1,y ≠1，得函数的值域为y ∈(-∞,1)∪(1, +∞)。注意到分数的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。

【例2】 求函数1

22+--=x x x

x y 的值域。

【解析】观察分子、分母中均含有x x -2项，可利用部分分式法；则有

4

3)21(1

1111122

222+--=+--+-=+--=x x x x x x x x x y 不妨令：)0)(()(1)(,43)21()(2≠=+-=x f x f x g x x f 从而)∞+???∈,43)(x f 注意：在本题中应排除0)(=x f ，因为)(x f 作为分母。所以 ????

?∈43,0)(x g 故)1,31

???-∈y

【变式】求下列函数的值域：

(1) 2

31

--=

x x y (2) 1

1

22+-=x x y .

答案：（１）值域),(),(31

31+∞?-∞∈y （２）值域y ∈[-1,1]

四、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。

【例1】求函数1212x

x

y -=+的值域。

【解析】由1212x x

y -=+解得121x y y -=+， ∵20x

>，∴

101y y ->+， ∴11y -<< ∴函数1212x

x

y -=+的值域为(1,1)y ∈-。

【例2】求函数34

56

x y x +=

+值域。 【解析】由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：

故所求函数的值域为：33

(,)

(,)55

-∞∞ 【例3】 求函数1

1

+-=x x e e y 的值域。

解答：先证明1

1

+-=x x e e y 有反函数，为此，设21x x <且R x x ∈21,，

0)

1)(1(21111212

1221121<++-=+--+-=-x x x x x x x x e e e e e e e e y y 。

所以y 为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为：x x

y -+-=111

ln 。此函数的定义域为)1,1(-∈x ，故原函数的

值域为)1,1(-∈y 。 【例4】 求函数])1,1[,,0,0(-∈>>>-+=

x b a b a bx

a bx

a y 的值域。 【解法1】-1≤x ≤1 a-

b ≤a-bx ≤a+b

b

a a

bx a a b a a +≥

-≥-222 b a a bx a a y b a a ++-≥-+-=≥--212112，b

a b

a y

b a b a -+≤

≤+-

【解法2】（反函数法）：)1(2+-=

y b a b a x

,由-1≤x ≤1得：1)1(21≤+-=≤-y b a b a x ，b

a b

a y

b a b a -+≤≤+-

五、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0?≥，从

而求得原函数的值域，形如2111

2

222a x b x c y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。（解析式中含有分式和根式。）

【例1】求函数2

2

11x x y x

++=+的值域。 【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程,由于x 取一切实数，故有

（1）当时， 解得：

（2）当y=1时，，而

故函数的值域为

【例2】求函数(2)y x x x =+-的值域。

【解析】两边平方整理得：（1）

∵

∴

解得：

但此时的函数的定义域由，得

由，仅保证关于x 的方程：

在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]

上，即不能确保方程（1）有实根，由

求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为

。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵

代入方程（1） 解得：

即当时， 原函数的值域为：

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

解法二：2(2)1(x 1)y x x x x =+

-=+--，令]2

,2[sin 1π

πθθ-

∈=-x )4

sin(21cos sin 1π

θθθ+

+=++=y

4

34

4

ππ

θπ

≤

+

≤-

1)4

sin(22≤+≤-

π

θ 原函数的值域为：

【例3】 已知函数222()1

x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。

【解析】22

21x ax b

y x ++=+22(2)04(y 2)(y b)0y x ax y b a ?--+-=??=---≥ 2244(2b)y 8b a 0y -++-≤。

由于22

2()1

x ax b

f x x ++=+的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y ≤3}

12212213

28234

y y b a b a

b y y +=+=+?=±??????-==

=??? 【例4】求函数2

21

2+++=

x x x y 的值域。

【解法1】先将此函数化成隐函数的形式得：012)12(2

=-+-+y x y yx ，(1) 这是一个关于x 的一元二次方程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式

0)12(4)12(2≥---=?y y y ，解得：21

21≤≤-y 。

故原函数的值域为：],[2121-∈y 。

【解法2】当x ≠-1时 1

1

)1(12

21

2

++

+=

=

+++x x y x x x

由于 当x+1< 0时，21

1

)1(-≤++

+x x ，即)0,[21-∈y 当x+1＞ 0时，21

1

)1(≥++

+x x ，即],0(21∈y 考虑到x=-1时y=0 故原函数的值域为：],[21

21-∈y

【例5】已知函数21

mx n

y x +=

+的最大值为4，最小值为 —1 ，则m = ，n = 【解析】2

1

mx n

y x +=

+2204y(y n)0y x mx n y m ??-+-=??=--≥ 2244y 0y n m --≤ (1)

由于22

2()1

x ax b f x x ++=+的值域为[－1，4]，故不等式○1的解集为{y|－1≤y ≤4} 122123

4344

y y n m m

m y y +==?=±??????-==

=-??? 4m =± 3n = 【例6】求函数22

23

x y x x +=

+-的值域。

【解析】2

(y 1)320y x x y ?+---=

○1y=0得x=-2,从而y=0是值域中的一个点；

○220(y 1)4y(3y 2)0y ≠??=-++≥

21641)0480y y y y R ?++≥?

?∈??=-

， 由○1○2得函数的值域为R. 六、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，

形如y ax b =+±a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。

对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的

熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

【例1】

求函数2y x =+

【解析】令t =0t ≥），则2

12

t x -=，

∴22151()24y t t t =-++=--+∵当12t =，即38x =时，max 5

4

y =，无最小值。

∴函数2y x =+5

(,]4

-∞。

【例2】求函数)10x 2(1x log 2

y 35

x ≤≤-+=-的值域。

【解析】令1x log y ,2

y 325

x 1-==- 则21y ,y 在[2，10]上都是增函数

所以21y y y +=在[2，10]上是增函数

当x=2时，

8112log 2y 33min =

-+=-

当x=10时，339log 2y 35

max =+=

故所求函数的值域为：?

????

?33,81 【例3】求函数1x 1x y --+=的值域。

【解析】原函数可化为：

1x 1x 2y -++=

令1x y ,1x y 21-=+=，显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数 所以1y y =，2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数

所以当x=1时，21y y y +=有最小值2，原函数有最大值2

22

=

显然0y >，故原函数的值域为]2,0(

【例4】求函数2

)1x (12x y +-++=的值域。

【解析】因0)1x (12

≥+- 即1)1x (2≤+ 故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+

∴

1cos sin cos 11cos y 2

+β+β=β-++β= 1

)4sin(2+π+β=

∵

π≤π+

β≤π≤β≤45

40,0

2

11)4sin(201)4

sin(22+≤+π

+β≤∴≤π+β≤-

∴ 故所求函数的值域为]21,0[+

【例5】求函数

1x 2x x x y 24

3++-=的值域。 【解析】原函数可变形为：

22

2

x 1x 1x 1x 221y +-?+?= 可令β=tg x ，则有β=+-β=+22

2

2cos x 1x 1,2sin x 1x 2

β

-=β?β-=∴4sin 41

2cos 2sin 21y

当

82k π-π=

β时，

41y max =

当

82k π+π=

β时，41

y min -=

而此时βtan 有意义。

故所求函数的值域为?

??

??

?-41,41

【例6】求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=，

?

?????ππ-∈2,12x 的值域。 【解析】)1x )(cos 1x (sin y ++=

1x cos x sin x cos x sin +++=

令t x cos x sin =+，则)

1t (21

x cos x sin 2-=

2

2)1t (21

1t )1t (21y +=++-=

由)4/x sin(2x cos x sin t π+=+= 且??????ππ-∈2,12x 可得：

2t 22≤≤ ∴当2t =时，

223y max +=

，当

22t =时，22

43y +

= 故所求函数的值域为???????

?++

223

,2243。 【例7】 求函数2

x 54x y -++=的值域。

【解析】由0x 52

≥-，可得5|x |≤

故可令],0[,cos 5x π∈ββ=

4

)4sin(10sin 54cos 5y +π

+β=β++β= ∵π≤β≤0 4544

π

≤

π+β≤π∴ 当4/π=β时，104y max += 当π=β时，54y min -=

故所求函数的值域为：]104,54[+-

【例8】求函数21)45)(125(22++-+-=x x x x y 的值域。

【解析】令4925452

2-??? ??

-=+-=x x x t ，则49-≥t 。

()()542182182

2++=++=++=t t t t t y ，

当49-≥t 时，161854492

min =+??

?

??+-=y ，值域为??????≥1618|y y

【例9】求函数x x y --=12的值域。

【解析】令x t -=1，则21t x -=，0≥t ，()21212

2++-=--=t t t y

当0≥t 时，102012

max =?--=t

所以值域为]1,(-∞。

【例10】．求函数23102--+=x x x y 的值域。

【解析】由23102--+=x x x y =()2

52--+x x ，

令θcos 25=-x ，

因为()1cos 10cos 220522

2

≤≤-?≥-?≥--θθx ，],0[πθ∈，

则()2

52--x =θsin 2，

于是：54sin 25cos 2sin 2+??? ?

?

+=++=

πθθθy ，]45,4[4πππθ∈+，

14sin 22≤??? ?

?

+≤-

πθ，所以：725≤≤-y 。 七、函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

【例1】 求函数221

1

x y x -=+的值域。

【解析】由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R ，对函数进行变形可得

2(1)(1)y x y -=-+， ∵1y ≠，∴21

1

y x y +=-

-（x R ∈，1y ≠）， ∴101

y y +-≥-，∴11y -≤<， ∴函数221

1x y x -=+的值域为{|11}y y -≤<

【例2】求函数

1e 1

e y x

x +-=的值域。

【解析】由原函数式可得：

1y 1y e x -+=

∵0e x > ∴0

1y 1

y >-+ 解得：

1y 1<<- 故所求函数的值域为)1,1(- 【例3】求函数

3x sin x

cos y -=

的值域。

【解析】由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-，可化为：

y 3)x (x sin 1y 2=β++ 即

1y y 3)x (x sin 2+=

β+

∵R x ∈ ∴]1,1[)x (x sin -∈β+ 即

1

1

y y 312

≤+≤

-

解得：

42

y 42≤≤-

故函数的值域为????

???

?-42,42

【例4】 x

x

y cos 24sin 3--=

【解法1】2

4143)sin(y

y x +-=

-φ，14143)sin(2

≤+-=

-y

y x φ，

解得331331+≤≤-

y 即函数值域为：]3

31,331[+-∈y 【解法2】y 看作是两点(4,3)和(2cos x,sin x)连线的斜率．即过点(4,3)且与椭圆有交点的直线，其斜率取值

范围就是x x

y cos 24sin 3--=

聚会取值范围．设y=k(x-4)+3 代入椭圆方程1422=+y x

得

0)82416(4)43(8)14(2

22=+-+-++k k kx k x k ，由Δ＝0得答案． 【例5】 已知a>0，x 1,x 2是方程ax 2+bx-a 2

=0的二个实根，并且|x 1|+|x 2|=2,求 a 的取值范围以及b 的最大值 。

【解析】由韦达定理知：x 1x 2

=-a<0,故两根必一正一负， ｜x 1

|+|x 2

|=2

从而|x 1-x 2|=2

由韦达定理知：4=|x 1-x 2|2=(b 2+4a 3)/a 2

从而4a 2-4a 3=b 2≥0 即4a 2(1-a) ≥ 0

即a ≤1,注意到a>0，从而a 的取值范围是0< a ≤1

从而 27

16

)322(2)22(2)1(4322=

-++?≤-???=-=a a a a a a a a b 即b 的最大值为

9

3

4，当且仅当a=2/3时“＝”成立。 八、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。

【例1】求函数y x =-

【解析】∵当x 增大时，12x -随x 的增大而减少，x 的增大而增大，

∴函数y x =-1

(,]2

-∞上是增函数。

∴1122y ≤-=，∴函数y x =1

(,]2

-∞。

【例2】求函数x

x y 1

+

=在区间()+∞∈,0x 上的值域。 【解析】任取()+∞∈,0,21x x ，且21x x <，则

()()()()

2

12121211x x x x x x x f x f --=

-，因为210x x <<，所以：0,02121><-x x x x ，

当211x x <≤时，0121>-x x ，则()()21x f x f >；

当1021<<

x y 1

+

=在区间()+∞∈,0x 上的值域为),2[+∞。 构造相关函数，利用函数的单调性求值域。

【例4】求函数()x x x f -++=11的值域。

【解析】因为110

10

1≤≤-???

?≥-≥+x x x ，而x +1与x -1在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数

()x x x g --+=11，易知)(x g 在定义域内单调增。()21max ==g g ，()21min -=-=g g ，

()2≤?x g ，()202≤≤x g ，

又()()422

=+x g x f

，所以：()422

≤≤

x f

，()22≤≤x f 。

【例5】求函数368y x x =+--的值域。

【解析】此题可以看作

v u y +=和63+=

x u ，x v --=8的复合函数，显然函数63+=x u 为单调递增

函数，易验证x v --=8亦是单调递增函数，故函数x x y --+=863也是单调递增函数。而此函数的定

义域为]8,2[-。

当2-=x 时，y 取得最小值10-。当8=x 时，y 取得最大值30。 故而原函数的值域为]30,10[-。

九. 图像法（数型结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。

【例1】求函数|3||5|y x x =++-的值域。

【解析】∵22|3||5|822x y x x x -+??

=++-=??-?

(3)(35)(5)x x x <--≤<≥，

∴|3||5|y x x =++-的图像如图所示，

由图像知：函数|3||5|y x x =++-的值域为[8,)+∞

【例2】求函数2

2)8x ()2x (y ++-=的值域。

【解析】原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=

上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(B -间的距离之和。 由上图可知，当点P 在线段AB 上时，10|AB ||8x ||2x |y ==++-= 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，10|AB ||8x ||2x |y =>++-= 故所求函数的值域为：],10[+∞

【例3】求函数5x 4x 13x 6x y 2

2++++-=的值域。

【解析】原函数可变形为：

85-3o

y

x

2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=

上式可看成x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和，

由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，

43)12()23(|AB |y 2

2min =+++==， 故所求函数的值域为],43[+∞

十、 基本不等式法：利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征

解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

【例1】求下列函数的值域：(1) 3k y x x =++(k>0);(2) 221y x =+

【解析】(1)若x>0时，则3++

=x

k

x y k x k x 2332+=+?≥,等号仅当x=k/x ，即k x =时成立；

若x<0时，则3++

=x

k

x y k x k x 233)(2-=+-?--≤,等号仅当-x=-k/x ，即k x -=时成立；

故，

),23[]23,(+∞+?--∞∈k k y

(2) 解法一：

1

22

2++=

x x y =21

112

2≥++

+=x x ，故),2[+∞∈y

解法二：令12+=x t

,则)1(1

≥+

=t t

t y ．即方程01)(2=+-=ty t t f 在[1,+∞)上有解． 所以121=t t ．从而f(x)=0在区间[1,+∞)只能有一根，另一根在(0,1)内，从而f(1)≤0,即y ≥2.

【例2】若14<<-x ，求2

22

22-+-x x x 的最小值

【解析】

])

1(1

)1([21]11)1[(2111)1(21222222--+---=-+-=-+-?=-+-x x x x x x x x x

∵14<<-x ∴3)1(0<--

1

)1(1>-->

∞+x

从而2])1(1)1([≥--+

--x x 1])

1(1

)1([21-≤--+---x x ，

当且仅当)

1(1

)1(--=

--x x ，即x=-2时”=”成立

即1)2

22

2(

min 2-=-+-x x x 【例3】求函数)0(,3

22

>+

=x x

x y 的最小值 【解析】333222362

32932323232323232==??≥++=+

=x x x x x x x x y 当且仅当x x 2322

=即263

=x 时3min 362

3

=y

【例4】求y=

x x sin 4cos 1+

(x ∈)2

,0(π

)的最小值。 【解析】y>0,y 2=(sec x+4csc x)2= sec 2 x+16csc 2 x+ 8sec xcsc x

=(tan 2

x+1)+16(cot 2x+1)+8???

? ?

?+x

x x x sin cos sin cos 2

2 =17+(tan 2x+4cot x+4cot x)+ (16cot 2 x+ 4tan x+4tan x)

323233tan 4tan 4cot 163cot 4cot 4tan 3)16(1x x x x x x ??+??++≥

=()

3

3161+

当且仅当???====x x x x x x tan 4tan 4cot 16cot 4cot 4tan 22即???==1

cot 44

tan 3

3x x （这是两个相同的方程）, 即当x=arctan 34∈)2

,

0(π

时，“=”成立（达到最小值）。

【例5】若函数y=f(X)的值域为]3,21[,则函数)(1)()(x f x f x F +

=的值域是 ]3

10

,2[ 。

解析：f(x)>0, 2)(1)()(≥+

=x f x f x F ,并且当f(x)=1时等号成立。而t t t g 1)(+=在t ∈]1,21[时单调递减, t

t t g 1

)(+=在t ∈[1，3]时单调递增。从而t t t g 1)

(+

=在区间]1,21[上的值域为]25,2[)]21(),1([=g g ;t t t g 1

)(+=在区间[1,3]上的值域为[g(1),g(3)]=[2,10/3].综合知F(x)的值域为]3

10

,2[

【例6】求函数2

3

x y x +=

+的值域。 【解析】令

，则

（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以

（2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为：

注：先换元，后用不等式法

十一、利用向量不等式

性质1 若

，则

当且仅当时等式成立

性质2 ，当且仅当a ，

同向平行时右边等式成立，a ，反向平行时左边等式成立。

性质3 ，当且仅当方向相同且两两平行时等式成立。

类型（1）

型（

同号）

【例1】 求函数5110y x x =-+-的最大值。

【解析】构造向量

由性质1，得

当且仅当

，即

时，

解2：显然1≤x ≤2219sin 3sin ([0,])109(1sin )3cos 4x x π

θθθθθ-==∈?-=-=

15sin 3cos 326)y θθθ?=+=+(其中1

arctan 5

?=)

min (sin())min{sin ,sin()}{}22262626

ππ?θ??θ???≤+≤+?+=+==

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

高中数学函数知识点详细

第 二章 函数 一．函数 1、函数的概念： （1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中 的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则 （3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定 义域一致 (两点必须同时具备) 2、定义域： （1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值范围。 （2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。 （3）确定函数定义域的常见方法： ①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数 ②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数x y 111+ = 的定义域。 ③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数 例1． 求函数 () 2 14 34 3 2 -+--=x x x y 的定义域。 例2． 求函数()0 2112++-= x x y 的定义域。 ④对数函数的真数必须大于零 ⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1 ⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10 ≠=x x ⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域 已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2 x f 的定义域 已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域 3、值域 : （1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 （2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域： 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）

高中数学必修一函数的值域求法

最新精题高一数学必修一函数的值域 2配方法]?3，5x??x2x?(求函数y?3例1. 的值域； 2的表达式，f(a)，记∈[0，1]f(a)为其最小值，求－练习已知函数y＝－3x＋2ax1，x 的最大值并求f(a) 2?6x?5x函数y??求2. 的值域；例 ，的函数为常数d?且a0)、、、(????yaxbcxdabc 换元法：形如；常用换元法求值域x?y214x?? 3. 例的值域求函数 利用函数的单调性求函数的值域2?y6] 上的最大值和最小值．在区间例4求函数[2，1x?

2）的取值范围是（在R上单调递增，且f(m )>f(-m)，则实数m1练习函数y=f(x) ) ∞,-1 )∪( 0,+C.(-1,0 ) D. (-∞A. (-∞,-1 ) B. ( 0,+∞) 2x+2-1-x 的最大值为，最小值为y= 。[0,1]2.已知x∈，则函数3．若函数y=f(x)的值域是[-2，3]，则函数y=∣f(x)∣的值域是（） A．[-2，3] B．[2，3] C．[0，2] D．[0，3] 2ax?bx?c；判别式法：形如111域y)的函数用判别式法求值不同时为零(a?，a 212ax?bx?c2221的值域；求函数例4 ?y?x x cx?d(a?0)y?分离常数法：形如的函数也可用此法求值域；bax?13x??y 例5求函数的值域；2x? 数形结合法。的值域?4|x?1|?|x|y? 6求函数（方法一可用到图象法）例

2xxxy( ) ，3]，的最大值、最小值分别为1．函数∈＝4[0－当堂检测3 0 (D)4，0 (B)2，0 (C)3，(A)4，1( ) ．函数的最小值为2?y2xx?1(D)4 (B)1 (A)(C)2 232)(xy??）〕上的最大值、最小值分别是（ 3、函数在区间〔0，52?x33333,,0,0 B.，无最小值。 D. A. C. 最大值72727）（ff(x)的值域为[a，b]，则(x+a)的值域为．定义域为4R的函数y = ] ba+[-a，a[0，b-a] C．[，b] D．[2A．a，a+b] B．） （-．函数5y=x+2x1的值域是11 0} |y≤．y．{y|y≤} C．{|y≥0} D{yB|A．{yy≥} 22252]?[?4,，则m，值域为的定义域为[0,m]的取值范围是（）6．若函数y=x-3x-44333),??[,4]],[3(]0(,4 D A B C 222 2xxyx (27．函数＝4－－1 ∈－．______3)2，的值域为2．______8．函数的值域为x?x2?y ???2。的值域是9、函数0,3??5(?xx?4xy x4?13??y2x?3。、函数的值域是10 2?(x)?4xf?4x?8．函数11 ．的值域为 x?3?x3?y?y)0x?(。；．函数的值域是12．函数的值域是 5x?2x?52x2?y?x?4 13函数的值域————————————312?xy?x?的值。．若函数14的定义域和值域都是[1,b](b>1)，求b22 15．求下列函数的值域：2x?x?y x?2?x?1y）（2）1 （21x?x? 2222? +x+3k+5=0(k的最大值。R)的两个实根，求．已知16x、x是方程x-(k-2)x+kx2211

高中数学求函数值域的7类题型和16种方法

求函数值域的7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合； ②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域： 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞???? ，当0a <时的值域为 24,4ac b a ?? --∞ ??? .， 3.反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. 6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值） 1、一次函数：()0y ax b a =+≠ 当其定义域为R ，其值域为R ； 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值）

高中数学函数的定义定义域值域解析式求法

课题7：函数的概念（一） 一、复习准备： 1．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2．回顾初中函数的定义： 在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课： （一）函数的定义： 设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作： (),y f x x A =∈其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。显然，值域是集合B 的子集。 （1）一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R； （2）二次函数2 y ax bx c =++(a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域244ac b B y y a ??-??=≥?????? ；当a﹤0时，值域244ac b B y y a ??-??=≤?????? 。（3）反比例函数(0)k y k x =≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。（二）区间及写法： 设a 、b 是两个实数，且a≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞。 巩固练习：用区间表示R 、{x|x ≥1}、{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0} （三）例题讲解： 例1．已知函数2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。 变式：求函数223, {1,0,1,2}y x x x =-+∈-的值域 例2．已知函数1()2f x x =+，（1）求()()2 (3),(),33f f f f --的值；(2) 当a>0时，求(),(1)f a f a -的值。（四）课堂练习： 1．用区间表示下列集合： {}{}{}{} 4,40,40,1,02x x x x x x x x x x x x ≤≤≠≤≠≠-≤>且且或2．已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值； 3．课本P 19练习2。

高一数学《函数的定义域值域》练习题

函数值域、定义域、解析式专题 一、函数值域的求法 1、直接法： 例1：求函数y = 例2：求函数1y 的值域。 2、配方法： 例1：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 例2：求 函 数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-= 的 值域。 例3：求函数2256y x x =-++的值域。 3、分离常数法： 例1：求函数125 x y x -=+的值域。 例2：求函数1 22+--=x x x x y 的值域． 例3：求函数1 32 x y x -=-得值域. 4、换元法： 例1：求函数2y x = 例2： 求 函 数1x x y -+=的 值 域。 5、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。 例1：求函数y x = 例2：求函数()x x x f -++=11的值域。

例3：求 函 数1x 1x y --+=的 值 域。 6、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。 例1：求函数|3||5|y x x =++-的值域。 7、非负数法 根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数216x y -=的值域。 (2)求函数1 3 22+-=x x y 的值域。 二、函数定义域 例1：已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 例2：若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域． 例3：求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-= x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③ x x x f -+ += 21 1)( 例4：求下列函数的定义域： ④ 14)(2--=x x f ⑤ ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ⑥ 3 7 3132+++-= x x y ④x x x x f -+= 0)1()( 三、解析式的求法 1、配凑法 例1：已知 ：23)1(2 +-=+x x x f ，求f(x)；

高中数学求函数值域的类题型和种方法

高中数学求函数值域的类 题型和种方法 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

求函数值域的 7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合； ②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域： 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞?? ?? ，当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ???.， 3.反比例函数()0k y k x = ≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.

6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值） 1、一次函数：()0y ax b a =+≠当其定义域为R ，其值域为R ； 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值） 1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，当其定义域为R 时，其值域为 ()()22 4 044 04ac b y a a ac b y a a ?-≥>???-?≤时，()2b f a -是函数的最小值，最大值为(),()f m f n 中 较大者；当0a <时，()2b f a -是函数的最大值，最大值为 (),()f m f n 中较小者。 （2）若[],2b m n a - ?,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大（小）值。 特别提醒： ①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时，要结合图像来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 例1：已知()22f x x --的定义域为[)3,-+∞，则()f x 的定义域为(],1-∞。 例2：已知()211f x x -=+，且()3,4x ∈-，则()f x 的值域为()1,17。 题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠ 2、形如：cx d y ax b +=+的值域：

高一数学求函数的定义域与值域的常用方法教案

一. 教学内容： 求函数的定义域与值域的常用方法 求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值 二. 学习目标 1、进一步理解函数的定义域与值域的概念； 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式； 3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值； 4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用； 5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题； 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。 三. 知识要点 （一）求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有： （1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g （x），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式； （5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 （二）求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示； 2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题； 3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；

高中函数值域的12种解法(含练习题)

高中函数值域的12种求法 一、观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y＝3＋√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3＋√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为[3，＋∞]。 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y＝[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二、反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y＝(x＋1)/(x＋2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y＝(x＋1)/(x＋2)的反函数为:x＝(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习：求函数y＝(10x＋10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y＜－1或y ＞1｝） 三、配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。 例3：求函数y＝√(－x2＋x＋2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2＋x＋2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2＋x＋2＝－(x－1/2)2＋9/4∈[0，9/4]， ∴0≤√(－x2＋x＋2)≤3/2,函数的值域是[0，3/2]。 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y＝2x－5＋√(15－4x)的值域。（答案:值域为{y∣y≤3}） 四、判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y＝(2x2－2x＋3)/(x2－x＋1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x＋(y－3)＝0（＊） 当y≠2时,由Δ＝(y－2)2－4（y－2）(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y＝2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)＝0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可

高中数学求函数值域的方法十三种审批稿

高中数学求函数值域的 方法十三种 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

高中数学：求函数值域的十三种方法 一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性 八、函数单调性法（☆） 九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、 十三、一一映射法 十四、 多 种 方 法 综 合 运 用 一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 11≥， ∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是： ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。

【解析】因为{}2,1,0,1- =f f，()1 1- f所以： = 2 0= f，()()0 ∈ 3 x，而()()3 -f = 1= {}3,0,1- ∈ y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x∈，则函数的值域为{}1 y。 y ≥ |- 二．配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 =++的 F x af x bf x c ()()() 函数的值域问题，均可使用配方法。 【例1】求函数225,[1,2] y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8] 【变式】已知，求函数的最值。 【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。 图2

LS 高一数学函数值域求法及例题

君子有三乐,而王天下不与存焉。父母俱存,兄弟无故,一乐也；仰不愧于天,俯不怍于人,二乐也；得天下英才而教育之,三乐也。 函数值域（最值）的常用方法 姓名： 一、基本函数的值域： 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ． 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ??-+∞????， 当0a <时的值域为24,4ac b a ??--∞ ?? ?． 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠． 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >． 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ． 正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R ． 二、其它函数值域 一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 1、求242-+-=x y 的值域． 2 、求函数y = 的值域． 二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域． 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制． 2、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求xy 的最大值。

三、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型） 对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。 1、求函数1 2+= x x y 的值域． 2、求函数2241x y x +=-的值域． 四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为 0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断） 1、求函数3 274222++-+=x x x x y 的值域． 2、求函数2122 x y x x += ++的值域． 3、 五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用 三角代换）等） 1、求函数x x y 41332-+-=的值域． 六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域） 1、求函数13y x x =-+-的值域。 七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值．（如：ab b a ab b a 2,222≥+≥+）， 利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取""=成立的条件．） 1、求函数1(0)y x x x =+>的值域．

高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)

求函数值域的解题方法总结（16种） 在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 一、观察法： 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例:求函数()x 323y -+=的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出 ()x 3-2的值域。 解：由算术平方根的性质知()0x 3-2≥，故()3x 3-23≥+。 点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。 练习：求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。（答案：{}5,4,3,2,1,0） 二、反函数法： 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例：求函数2 x 1x y ++=的值域。 点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数2 x 1x y ++=的反函数为：y y --=112x ，其定义域为1y ≠的实数，故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数x -x -x x 10101010y ++=的值域。（答案：{}1y 1-y |y 或）。 三、配方法： 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。 例：求函数() 2x x -y 2++=的值域。 点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。 解：由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。此时2x x -2++=

(完整word版)【高中数学讲义】函数求值域的十种方法.docx

前言： 总有人求助如何学好数学，这个问题很宽泛，并非寥寥数语能够厘清。有一点很明确，学好数学的必要条件是了解数学。 高中数学可以归结为两个“三位一体” ：教学体系的三位一体和知识结构的三位一体。 知识结构的三位一体：数学思想，数学方法，典型习题。 三要素之间的关系：典型习题归纳数学思想，数学思想指导数学方法，数学方法解决典型习题。 数学思想举例：数形结合的思想等。 数学方法举例：配方法、反证法、倍差法等。 典型习题举例：恒成立问题、是否存在问题等。 教学体系的三位一体：教、学、练。 老师教什么：数学思想和数学方法。熟练掌握各种方法的是优秀学生，深入理解各种思想的是顶尖学生。 学生怎么学：课堂紧跟老师，课下善于提问。 如何做练习： 01，选题：中学数学最大的误区就是题海战术，有的老师不学无术只 会告诉你多做题。多做题没用，多做类型才有用。典型习题，做一顶

百。 02，做题：一题多解。对于选定的习题，运用尽量多的方法去解决，然后比较各个方法的优劣，归纳出某类型题对应的最佳方法。 03，总结：针对错题。大量统计表明，我们在考试中所犯的错误大多是重复性的。通过总结，避免两次踏入同一条水沟。 由上可知，我讲数学的特点是方法论、重总结。 工欲善其事，必先利其器：各种数学方法就是我们解决难题的利器。总喊看题就没思路的童鞋，回忆一下高中阶段你能说出多少种方法。说不出？有思路才怪！ 言归正传，今天我们就来总结一下“函数求值域的十种方法” （高中数学最重要就是函数，函数之于高中数学好比力学之于高中物理。 高中数学函数的要点无非：三要素，四变换，五常见，六性质。 三要素中的求值域就是本讲的主题） 方法一：配方法 用于解决二次函数值域问题，考试中几乎不会单独考察配方法（太简单），但常与其他方法综合使用。

高中函数值域的经典例题 12种求法

一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为 . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。 五．最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。

LS高一数学函数值域求法及例题

L S高一数学函数值域求法 及例题 The latest revision on November 22, 2020

函数值域（最值）的常用方法 姓名： 一、基本函数的值域： 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ． 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ??-+∞????， 当0a <时的值域为24,4ac b a ??--∞ ?? ?． 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠． 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >． 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ． 正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R ． 二、其它函数值域 一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 1、求242-+-=x y 的值域． 2、求函数 y =的值域． 二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域． 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制． 2、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求xy 的最大值。 三、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型）

对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。 1、求函数1 2+=x x y 的值域． 2、求函数2241 x y x +=-的值域． 四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为 0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断） 1、求函数3 274222++-+=x x x x y 的值域． 2、求函数2122 x y x x +=++的值域． 五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等） 1、求函数x x y 41332-+-=的值域． 六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域） 1、求函数13y x x =-+-的值域。 七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值．（如： ab b a ab b a 2,222≥+≥+），利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取""=成立的条件．） 1、求函数1(0)y x x x =+>的值域． 注意：在使用此法时一定要注意 a b +≥a ＞0，b ＞0，且能取到a ＝b ． 八、部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式） 1、求函数1 22+--=x x x x y 的值域． 九、单调性法（利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域）

智爱高中数学--函数值域求法十一种(详解)

函数值域求法十一种 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 1. 求函数 x 1 y = 的值域。 解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 2. 求函数x 3y - =的值域。 解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。 解：将函数配方得： 4)1x (y 2 +-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y m i n =，当1x -=时，8y m a x = 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 4. 求函数 22x 1x x 1y +++= 的值域。 解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2 =-+- （1）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2 ≥----=? 解得：2 3y 2 1≤≤ （2）当y=1时，0x =，而??????∈23,211 故函数的值域为?? ? ???23,21 5. 求函数)x 2(x x y -+ =的值域。 解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222 =++-（1） ∵R x ∈

高中数学 函数的定义域与值域教案 新人教版

函数的定义域与值域 例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）. A. 1,x y y x == B. 11,y x y +C. ,y x y == 2||,y x y == 解： 变式训练1：下列函数中，与函数 y=x 相同的函数是 （ ） A.y= x x 2 x ) 2x D.y=x 2lo g 2 解： 变式训练2：下列是映射的是………………………………………（ ） (A)1、 2、 3 (B)1、 2、5 (C)1、 3、5 (D)1、2、3、5 变式训练3：下面哪一个图形可以作为函数的图象……………………（ ） (A) (B) (C) (D) 变式训练4：如果（x ，y ）在映射f 下的象为（x ＋y ，x －y ），那么（1，2）的原象是…………（ ） (A )（－23，21） (B) （23，－21） (C) （－23，－21) (D) （23，2 1 ） 例2.给出下列两个条件：（1）f(x +1)=x+2x (2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式 解：（1）令t=x +1,∴t≥1，x=（t-1） 2 则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t 2-1,即f(x)=x 2 -1,x∈［1， （2）设f(x)=ax 2 ∴f(x+2)=a(x+2)2 +b(x+2)+c 则f(x+2)-

∴?? ?=+=2244 4b a a ， ?? ?-==1 1b a ，又f(0)=3?c=3,∴f(x)=x 2 - 变式训练2：（1）已知f （12+x ）=lgx ，求f （x ）； （2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ） ； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x 1 ）=3x ，求f （x ） 解：(1)令 x 2+1=t ，则x=12 -t ， ∴f（t ）=lg 12 -t ，∴f（x ）=lg 1 2- x （2）设f （x ）=ax+b ，则 3f （x+1）-2f （x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17， ∴a=2，b=7，故f （x ）=2x+7. （3）2f （x ）+f （ x 1 ）=3x ， ① 把①中的x 换成 x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x 3 ①×2-②得3f （x ）=6x- x 3，∴f（x ）=2x-x 1 . 变式训练3：求满足下列条件的函数解析式： ⑴2 1)11(x x x f -=+ ⑵)(,14))((x f x x f f -=是一次函数. 例3、已知函数f(x)=?? ?????<-=>. 0,1,0, 1,0,2x x x x x （1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f [])1(-f 的值. 解：（1）分别作出f(x)在x ＞0,x=0,x ＜0段上的图象，如图所示，作法略. （2）f(1)=12 =1,f(-1)=-,11 1 =-f [])1(-f =f(1)=1. 变式训练：?? ???≥<<--≤+=2 221 1 |1|)(2 x x x x x x x f ，那么f (f (－2))= ；如果f (a)=3，那么实数 a= .