概率的定义及其运算

2. 概率的定义及其运算

除必然事件与不可能事件外，任一随机事件在一次实验

中都有发生的可能性，人们常常通过实际观察来确定某

个事件发生的可能性的大小。例如遇到某种天气，人们

常会说“今天十之八九要下雨”，这个“十之八九”就

是表示“今天下雨”这一事件发生的可能性的大小。这

是人们通过大量实践所得出得一种统计规律，即已经历过次这种天气，下雨的天数在这几天中所占比例大约是到。一般地，人们希望用一个适当的数字来表示

事件在一次实验中发生的可能性的大小。这是就下雨所

讨论的随机事件发生的频率与概率。

3

. 频率 定义 1.1设在相同的条件下，进行了次实验。若随机事件在这次实验中发生了次，则比值称为事件发生的频率，记为

。频率具有如下性质：b5E2RGbCAP 1. 对任一事件, 有

；

2. 对必然事件, 有

3. 若事件互不相容，则

一般地, 若事件

两两互不相容, 则

事件发生的频率表示A发生的频繁程度，频率越大，事件A发生的越频繁，即A在一次实验中发生的可能性越大。但是，频率具有随机波动性，即使同样进行了次实验，却会不同。但这种波动不是杂乱无章，在第五章的大数定律中，我们将看到若增加实验次数，则随机波动性将会减小。随着逐渐增大，逐渐稳定于某个常数。这样常数P(A>客观上反映了事件A发生的可能性的大小。p1EanqFDPw

历史上著名的统计学家浦丰和皮尔逊曾进行过大量值硬币的实验，所的结果如下：

可见出现正面的频率总在0.5附近波动。随着实验次数的增加，它逐渐稳定于0.5。这个0.5就能反映正面出现的可能性的大小。DXDiTa9E3d

每个事件都由这样一个常数与之对应。这就是说频率具有稳定性。因而可将事件A的频率在无限增大时所逐渐趋向稳定的那个常数P(A>定义为事件A发生的概率。这就是概率的统计定义。RTCrpUDGiT

1.2.2 概率的统计定义

定义 1.2 设随机事件A在次重复实验汇总发生的次数为，若当实验次数很大时, 频率稳定地在某一数值的附近摆动, 且随着实验次数的增加, 其摆动的幅度越来越小, 则称数为随机事件A的概率, 记为。5PCzVD7HxA

由定义, 显然有

0 ≤P(A> ≤ 1 ，P(Ω >=1，P(φ >=0。

概率的统计定义本身存在着很大的缺陷, 既定义中的“稳定地在某一数值p的附近摆动” 含义不清, 如何理解”摆动的幅度”？或多或少地带有人为地主观性。jLBHrnAILg

频率概率的意义在于<1）它提供了估计概率的方法；<2）它提供了一种检验理论正确

与否的准则。

1.2.3 概率的公理化定义

定义1.3设随机实验的样本空间为。若按照某种方法, 对的每一事件A赋于一个实数P(A>, 且满足以下公理：xHAQX74J0X

1.非负性:

规范性:

2.

可列(完全>可加性：对于两两互不相容的可列无穷多个事件

3.

有

则称实数为事件的概率。

由概率的定义可以推得概率的如下一些性质。

性质1不可能事件的概率为零, 即。

证令, 且则,于是

从而由得。

性质2概率具有有限可加性, 即若事件两两互不相容, 则

证因为

所以由概率得可列可加性及性质1, 得

性质3对任何事件, 有

证因为

所以由

，

即得，同时由, 可推得：对任一事件, 有

性质4对事件、，若, 则有

证:由图１－１可知

且

因此由性质2 , 得

，即

再由，得

性质5 对任意两事件、，有。

证由图１－２可知

且

故得

，及

将以上两式相减, 并将移至等号右端，即得

性质５还可推广到n个事件的情况.。当n=3时，有

一般地，设A1，A2，…，An为n个事件，则有

1.某人外出旅游两天。拒天气预报，第一天下雨的概率为0.6，

第二天下雨的概率为0.3，两天

都下雨的概率为0.1。试求：

1.第一下雨而第二天不下雨的概率；

第一天不下雨而第二天下雨的概率；

2.

至少有一天下雨的概率；

3.

两天都不下雨的概率；

4.

至少有一天不下雨的。

5.

解设Ai表示第i天下雨的事件，i =1，2。由题意，有

P(A1>=0.6，P(A2>=0.3，P(A3>=0.1

(1> 设B表示第一天下雨而第二天不下雨的事件，则由

，且

得

2.设C表示第一天不下雨而第二天下雨的事件，则同(1>的解

法，有

设D表示至少有一天下雨的事件，则由

3.

得

。

设E为两天都不下雨的事件，则由

4.

得

设F表示至少有一天不下雨的事件，则

5.

例2某地发行A,B,C三种报纸.已知在市民中订阅A报的有45%,订阅B报的有35%,订阅C报的有30%,同时订阅A,及B报的有10%,同时订阅A报及C报的有8%,同时订阅B报及C报的有5%.同时订阅A,B,C报的有3%.试求下列事件的概率:LDAYtRyKfE

1.只订A报,

只订A及B报。

2.

至少订一种报纸。

3.

不订任何报纸。

4.

恰好订两种报纸。

5.

恰好订一种报纸。

6.

至少订一种报纸.

7.

解设A,B,C分布表示订A报、订B报、订C报的事件，则由题设，有

P(A>=0.45,P(B>=0.35,P(C>=0.30,P(AB>=0.10,P(AC>=0.08,P(BC>=0 .05,P(ABC>=0.03.Zzz6ZB2Ltk

(1>=P(A-B-C>=P(A-AB-AC>

=P(A>-P(AB>-P(AC>+P(ABC>=0.30.

(2>=P(AB-C>=P(AB-ABC>=P(AB>-P(ABC>=0.07

(3>

=P(A>+P(B>+P(C>-P(AB>-P(AC>-P(BC>+P(ABC>=0.90.

(4>

(5>由<2）可知

=P(AC>-P(ABC>=0.05,

故所求概率为

(6>

(7>由(4>与(6>,得

1.2.4古典概率

定义1.4 设随机实验E满足下列条件:

1.实验的样本空间只有有限个样本点,即W ={p1,p2,…,pn}。

2.每个样本的发生是的可能的,即

P(p1>=P(p2>=…=P(pn>,

则称此实验为古典概型,也称为等可能概型.

由于每个样本点所表示的基本事件是互不相容的,因此有

1=P(W >=P{(p1> (p2> …

(pn>}=P(p1>+P(p2>+…+P(pn>,dvzfvkwMI1

再有2.,即得

P(pi>=1/n ,i=1,2,…,n.

设事件A包含k了个基本事件pi1,pi2,…pik,

即

A=(p1> (p2> … (pn>(1<=i1<….

则有

P(A>=P{(pi1> (pi2> …

(pik>}=P(pi1>+P(pi2>+…+P(pik>=k/nrqyn14ZNXI

=(A所包含的基本事件数>/( W种基本事件总数>

古典概型中事件的概型称为古典概率,即如上述的P(A>.古典概率的计算关键在于计算机本事件总数和所求包含的基本事件数.由于样本空间的设计可有各种不同的方法,因此古典概率的计算就变得五花八门、纷繁多样了。EmxvxOtOco

一般地，当基本事件总数相当大的时候，可利用排列、组合及乘法原理、加法原理的知识计算基本事件数，进而求得相应的概率。SixE2yXPq5

例3 一只口袋中装有5只乒乓球，其中3只是白色的，2只是黄色的。现从袋中取球两次，每次1只，取出后不在放回。试求：

6ewMyirQFL

1.两只球都是白色的概率；

两只球颜色不同的概率；

2.

至少有一只白球的概率。

3.

解设A表示“两只球都是白色”的事件，B表示“两只球颜色不同”的事件，C表示“至少有一只白球”的事件，则由基本事件总数n=P52=5*4=20,kavU42VRUs

A所包含的基本事件数

kA=P32=3*2=6。

B所包含的基本事件数

kB=P31P21+P21P31=3*2+2*3=12。

C所包含的基本事件数得

KC=P31P21+P21P31+P32=12+6=18.

在<3）中，若利用P(>来求C则更为简单。因为表示两只球均为黄色的事件，所以

P(C>=1- P(>=1-P22/20=1-2/20=9/10.

本例也可另外设计样本空间。若对于取出的两只球不考虑其先后次序，则有

n=C52=5*4/2!=10,kA=C32=3,

kB=C31C21=6,kC=C22=1

于是

P(A>=kA/n=3/10, P(B>=kB/n=3/5, P(C>=1- P(>=1-

1/10=9/10.y6v3ALoS89

应特别注意的是，为了便于问题的解决。样本空间可以作不同的设计。但必须满足等可能性的要求。本例若视白球间是无区别的，黄球间也是无区别的话，则得M2ub6vSTnP

W ={(白,白>,(白,黄>,(黄,白>,(黄,黄>},

在这个样本空间中，基本事件的发生不是等可能的，因此不能用古典概率的方法来计算事件的概率。

例4 袋中有a只白球、b只红球，依次将球一只只摸出，取出后不放回。求第k次摸出白球的概率(1<=k<=a+b>0YujCfmUCw

解设想球是编号的，一只只摸取直至第k次取球为止，则基本事件总数就是从a+b个编号的球中选出k个球进行排列的排列个数，即eUts8ZQVRd

n=Pa+bk

设A第k摸出白球的事件，则A生相当于从a球中选出一只放在第k位置上，从a+b-1只球放在前面k-1上，于是由乘法原理，可得sQsAEJkW5T

kA=Pa1Pa+b-1k-1

从而

P(A>=Pa1Pa+b-1k-1/Pa+bk=[a(a+b-1>(a+b-2>…(a+b-

k+1>]/[(a+b>(a+b-1>(a+b-2>…(a+b-k+1>]=a/(a+b>.GMsIasNXkA 本题也有另一种解法。设每次实验为将摸出的a+b只编号的球依次排列在a+b个位置上，则有

n=(a+b>!,kA=(a+b-1>!a,

于是

P(A>=(a+b-1>!a/(a+b>!=a/(a+b>.

本题是求第k次摸道白球的的概率，然而结果却与k无关，即与摸球的次序无关，摸到白球的概率总是a/(a+b>，这一结果表明，在进行与此类似的抽签活动时，中签的概率与抽签的先后次序无关，机会是均等的。TIrRGchYzg

若将本题改为放回抽样，即每次取出一球记录下颜色后，再将其放回袋中。如此接连摸取，求第k次摸出白球的概率。7EqZcWLZNX

设抽取k只球的结果为一基本事件，则基本事件总数为(a+b>K，于是

P(A>=a(a+b>k-1/(a+b>k=a/(a+b>.

例5 某批产品有a件正品，b件次品。从中用放回和不放回两种抽取方式抽取n件产品，问其中恰有k(k<=n>件次品的概率是多少？lzq7IGf02E

解<1）放回抽样

从a+b件产品中有放回地抽取n件产品,所有可能的取法有(a+b>k 种.取出的n件产品中有k件次品,它们可以出现在不同的位置,所有可能的取法有Cnk种.对于取定的一种位置,由于取正品有a种可能,取次品有b种可能,即有an-kbk种可能.于是取出的n件产品中恰有k件次品的可能取法共有zvpgeqJ1hk

Cnkan-kbk种,故所求概率为

P1=Cnkan-kbk/(a+b>n=Cnk(a/(a+b>>n-k(b/(a+b>>k

(2>不放回抽样

从a+b减产品种抽取n件(不记次序>的所有可能的取法有Ca+bn种.在a件正品中取n-k件的所有可能的取法有Can-k种,在b件次品种取k件的所有可能的取法有Cbk种,于是取出的n件产品中恰有k件次品的所有可能的取法有Can-kCbk种.故所求概率为NrpoJac3v1

P2=Can-kCbk/Ca+bn

这个公式成为超几何分布的概率公式.

例6设有n个颜色互不相同的球,每个球都以概率1/N落在N(n<=N>个盒子中的每一个盒子里,且每个盒子能容纳的球数是没有限制的.试求下例事件的概率:1nowfTG4KI

A={某指定的一个盒子中没有球},

B={某指定的n个盒子中各有一个球}。

C={恰有n个盒子中各有一个球}

D={某指定的一个盒子中恰有m个球}.

解因为每个求落在N个盒子中的可能均有N种,所以基本事件总数相当于从N元素中选取n个元素中选取n个的重复排列数,即为Nn.事件所包含的基本事件数分别为fjnFLDa5Zo

kA=(N-1>n,,kB=n!,kC=CNnn!,

kD=Cnm(N-1>n-m

上述问题称为球在盒中的分布问题.有好些实际问题可以归结为球在盒中的分布问题,但必须分清问题中的"球"与"盒",不可弄

错.tfnNhnE6e5

例如,有n(n<365>个人,设每人的生日在一年365天中任一天的可能性是相等的.试求下例事件的概率:HbmVN777sL

A={n个人的生日均不相同}

B={至少有两个人生日相同}

在上述问题中可视为"球",365天为365只"盒子",归结为球在盒中的分布问题.得

P(A>=P365n/(365>n

P(B>=1-P(A>=1-P365n/(365>n

当n=64时,P(B>~0.997"至少有两人生日相同"的事件的概率非常接近于1,几乎是一个必然事件了.V7l4jRB8Hs

例7从1~2000中任意取一整数,求取到的整数能被6或8整除的概率.

解设A为"取到的整数能被6整除"的事件,B为"取到的整数能被8整除"的事件,则由

300<2000/6<334,2000/8=250,

得

kA=333,kB=250

由

83<2000/24<84,

的"同时能被6和8整除"的数kAB=83,基本事件总数n=2000,于是所求的概率为

P(AB>=P(A>+P(B>-P(AB>=333/2000+250/2000-

83/2000=1/4.83lcPA59W9

从0,1,2,…,9共十个数字中随机有放回地接连取四个数字,并

按其出现的先后排成一列.试求下列各事件的概率.

mZkklkzaaP

1.A1:四个数字排列成一个偶数

A2:四个数字排成一个四位数

2.

A3:四个数字中0恰好出现两次

3.

A4:四个数字中0至少出现一次

4.

解因为是放回有序抽取,所以样本空间含104个基本事件.

若是四个数字组成偶数即可.这有5中可能,即0、2、4、6、

8，而前三位数是任意的,有103种取法,于是A1共含有

C51103个基本事件,从而AVktR43bpw

若使四个数字组成一个四位数,则只需第一位数字不是0即可,

而后三位数是任意的,于是A2共含有C91103个基本事件,从而

ORjBnOwcEd

P(A2>=C91103/104=0.9

(3>若使0恰好出现两次,则只需某两次取数为0,另两次不为0即可,于是A3共含有C4292-基本事件,从而2MiJTy0dTT

P(A3>=C4292/104=0.0486

(4>若使取出的四个数字中不包含0,则共有94种不同取法,于是这一事件的概率为94/104,从而

P(A4>=1-94/104=1-(0.9>4=0.3439

8.从n双不同的鞋子中任取2k(2k只,求没有成双的鞋子的概

率.

解样本空间含C2n2k个基本事件.设A为"没有成双的鞋子"的事件,则实现这一事件可从n双中任取2k双,共有Cn2k中取法,在从每一双取出的鞋子中,任取其中一只,有C21中取发,于是A共含

Cn2k(C21>2k个基本事件,从而gIiSpiue7A

P(A>=Cn2k(C21>2k/C2n2k=Cn2k22k/C2n2k

例10 将12名工人随机地平均分配到三个班组中去,其中有3名熟练工.试问:

1.每一般组各分配到一名熟练工的概率是多少?

3名熟练工分配在同一班组的概率是多少?

2.

解 12名工人平均分配到三个班组中的取的可能的分法总数,

即基本事件总数为

C124C84C44=12!/4!4!4!

(1>每一班各分配到一名熟练工的分发有3!种.对于这样的每

一种分法.其余9名工人平均分配到三个班组的分法共有

9!/3!3!3!种,于是,每一班组各分配到一名熟练工的分法共有3!9!/3!3!3!种,从而uEh0U1Yfmh

P1=(3!9!/3!3!3!>/(12!/4!4!4!>=16/55~0.2909

将3名熟练工分配在同一班组的分法有3种.对于这样的每一

3.

种分法,其余9名工人的分法总数为

C91C84C44=9!/1!4!4!

于是3名熟练工分配在同一班组的分法共有3*9!/1!4!4!种,从而所求概率为

P2=(3*9!/1!4!4!>/(12!/1!4!4!>=3/55~0.0545

1.2.5几何概率

定义1.5 设样本空间有一个有限区域W .若样本点落在W内的任何区域G中的事件A的概率与区域G的测度(或长度和面积或体积等>成正比,则区域W内任意地点落在区域G内的概率为区域##的测度与区域W的测度的比值,即IAg9qLsgBX

P(A>=G的测度/W的测度

设一类概率通常称为几何概率.

因为几何概率的定义及计算与几何图形的测度密切相关,所以,我们所考虑的事件应是某种可定义测度的集合,且这类集合的并、交也是事件.WwghWvVhPE

常见的几何概率有以下三种情况.

设线段l是线段L的一部分,向线段L上任投一点.若落在线段l上的点数与线段L的长度成正比,而与线段l在线段l上的

相对位置无关,则点落在线段l上的概率为asfpsfpi4k

P=l的长度/L的长度.

设平面区域g是平面区域G的一部分,向区域G上任投一点,若

落在区域g上的点数与区域g的面积成正比,而与区域g在区

域G上的相对位置无关,则点落在区域g上概率为ooeyYZTjj1 P=g的面积/G的面积

设空间区域上v是空间区域V的一部分,向区域V上任投一点.

若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比,而与区域v在区域v上的相对位置无关,则点落在区域V上的概率为

BkeGuInkxI

P=v的面积/V的面积.

下面我们与平面区域为例,介绍几何概率的计算方法.

例11 在间隔时间T内的任何瞬间,两个信号等可能地进入收音机.若这两个信号的间隔时间小于2(单位秒>,则收音机将受到干扰,试求收音机受到干扰的概率.PgdO0sRlMo

解设两个信号进入收音机的瞬间分别为x与y, x与y的变化范围为0<=x<=T,0<=y<=T

则样本空间W是边长为T的正方形,且当|x-y|<=2是收音机受到干扰,即当样本点(x,y>落在两条直线3cdXwckm15

y=x+2,y=x-2之间,且在正方形W之内的区域A中时,收音机才受到干扰(见图1-7>,于是所求概率为h8c52WOngM

P=A的面积/W的面积=[T2-(T-2>2]/T2=1-(1-2/T>2

例12 从区间(0,1>内任取两个数,求着两个数的积小于1/4的概率.

解设从区间(0,1>内任取两个数为x与y,则x与y的变化范围为

0

样本空间W是边长为1的正方形,两个数的积小于1/4的充要条件为xy<1/4,0

即当样本点(x,y>落在有双曲线xy=1/4即4条直线

x=0,x=1,y=0,y=1

所围成的区域G(见图1-8>内时,两个数的积小于1/4,于是所求的概率为

P=G的面积/W的面积={1/4*1+ 1/411/4xdx}/1=1/4+1/2ln2.

申明：

所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用

途。

第一章 概率统计基础知识(2)概率的古典定义与统计定义

二、概率的古典定义与统计定义 二、概率的古典定义与统计定义(p5-11) 确定一个事件的概率有几种方法，这里介绍其中两种最主要的方法，在历史上，这两种方法分别被称为概率的两种定义，即概率的古典定义及统计定义。 (一) 概率的古典定义 用概率的古典定义确定概率的方法的要点如下: （1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点； （2）每个样本点出现的可能性相同(等可能性); 若事件含有k个样本点，则事件的概率为: (1.1-1) [例1.1-3] [例1.1-3]掷两颗骰子，其样本点可用数组（x , y）表示，其中，x与y分别表示第一与第二颗骰子出现的点数。这一随机现象的样本空间为: 它共含36个样本点，并且每个样本点出现的可能性都相同。参见教材6页图。这个图很多同学看不懂！其实就是x+y=?在坐标系反映出来的问题。 （二）排列与组合 （二）排列与组合 用古典方法求概率，经常需要用到排列与组合的公式。现简要介绍如下: 排列与组合是两类计数公式，它们的获得都基于如下两条计数原理。 （1）乘法原理: 如果做某件事需经k步才能完成，其中做第一步有m1种方法，做第二步m2种方法，做第k步有m k种方法，那么完成这件事共有m1×m2×…×m k种方法。 例如, 甲城到乙城有3条旅游线路，由乙城到丙城有2条旅游

线路，那么从甲城经乙城去丙城共有3×2=6 条旅游线路。 (2) 加法原理: 如果做某件事可由k类不同方法之一去完成，其中在第一类方法中又有m1种完成方法, 在第二类方法中又有m2种完成方法，在第k类方法中又有m k种完成方法, 那么完成这件事共有m1+m2+…+m k种方法。 例如，由甲城到乙城去旅游有三类交通工具: 汽车、火车和飞机，而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从甲城到乙城共有5+3+2=10 个班次供旅游选择。 排列与组合 排列与组合的定义及其计算公式如下: ①排列:从n个不同元素中任取）个元素排成一列称为一个排列。按乘法原理，此种排列共有n×(n1) ×…×(n-r+1) 个，记为。若r=n, 称为全排列，全排列数共有n!个，记为，即:= n×(n-1) ×…×(n-r+1), = n! ②重复排列:从n个不同元素中每次取出一个作记录后放回，再取下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列。按乘法原理，此种重复排列共有个。注意，这里的r允许大于n。 例如，从10个产品中每次取一个做检验，放回后再取下一个，如此连续抽取4次，所得重复排列数为。假如上述抽取不允许放回，则所得排列数为10×9×8×7=5040 。 ③组合: 从n个不同元素中任取x个元素并成一组 (不考虑他们之间的排列顺序)称为一个组合，此种组合数为： .特别的规定0!=1，因而。另外，在组合中，r个元素"一个接一个取出"与"同时取出"是等同的。例如，从10个产品中任取4个做检验，所有可能取法是从10个中任取4个的组合数，则不同取法的种数为： 这是因为取出的任意一组中的4个产品的全排列有4!=24 种。而这24种排列在组合中只算一种。所以。 注意:排列与组合都是计算"从n个不同元素中任取r个元素"的取法总数公式，他们的主要差别在于: 如果讲究取出元素间的次序，则用排列公式；如果不讲究取出元素间的次序，则用组合公式。至于是否讲究次序，应从具体问题背景加以辨别。 [例1.1-4] [例1.1-4] 一批产品共有个，其中不合格品有个，现从中随机取出n个，问：事

集合的概念与运算练习题

集合的概念与运算训练 一、选择题 1．（07浙江）设全集U ={1，3，5，6，8}，A ={1，6}，B ={5，6，8}，则(C U A )∩B =( ) A ．｛6｝ B ．{5，8} C ．{6，8} D ．{3，5，6，8} 2．（09山东）集合{0,2,}A a =,2{1,}B a =,若{0,1,2,4,16}A B = ,则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 3．（10湖北）设集合M ={1,2,4,8}，N ={x |x 是2的倍数}，则M ∩N =( ) A ．{2,4} B ．{1,2,4} C ．{2,4,8} D ．{1,2,8} 4．（08安徽）若A 为全体正实数的集合，{2,1,1,2}B =--则下列结论中正确的是（） A ．{2,1}A B =-- B ．()(,0)R C A B =-∞ C ．(0,)A B =+∞ D ．(){2,1}R C A B =-- 5．（06陕西）已知集合P ={x ∈N |1≤x ≤10},集合Q ={x ∈R |x 2+x -6=0}, 则P ∩Q 等于( ) A ． {2} B ．{1,2} C ．{2,3} D ．{1,2,3} 6．（07安徽）若22 {|1},{|230}A x x B x x x ===--=，则A B ＝( ) A ．{3} B ．{1} C ．? D ．{1}- 7．（08辽宁）已知集合{31}M x x =-<<，{3}N x x =≤-，则M N = （） A ．? B ．{3}x x ≥- C ．{1}x x ≥ D ．{1}x x < 8．（06全国Ⅱ）已知集合2{|3},{|log 1}M x x N x x =<=>，则M N = ( ) A ．? B ．{|03}x x << C ．{|13}x x << D ．{|23}x x << 9．（09陕西）设不等式20x x -≤的解集为M ，函数()ln(1||)f x x =-的定义域为N ，则M N 为（） A ．[0，1） B ．（0，1） C ．[0，1] D ．（-1，0] 10．（07山东）已知集合11{11}| 242x M N x x +??=-=<<∈????Z ，，，，则M N = （） A ．{11}-， B ．{0} C ．{1}- D ．{10}-， 11．（11江西）已知集合{}? ?????≤-=≤+≤-=02,3121x x x B x x A ，则B A 等于（） A ．{10}x x -≤< B ．{01}x x <≤ C ．{02}x x ≤≤ D ．{01}x x ≤≤ 12．（07广东）已知集合1{10{0}1M x x N x x =+>=>-，，则M N = （） A ．{11}x x -<≤ B ．{1}x x > C ．{11}x x -<< D ．{1}x x -≥ 13．（08广东）届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（） A. A B ? B. B C ? C. B ∪C = A D. A∩B = C 14．（09广东）已知全集U =R ，则正确表示集合M = {-1，0，1}和N = {x |x 2+x =0}关系的韦恩（Venn ） 图是（） A ． B ． C ． D ．

(完整版)概率的定义及其确定方法

§1.2 概率的定义及其确定方法 在本节，我们要给出概率的定义，这是概率论中最基本的概念。本节中我们还将介绍几种确定概率的方法。 随机事件的发生有偶然性，但我们常常会觉察到随机事件发生的可能性是有大小之分的。例如，购买彩票后可能中大奖，可能不中奖，但中大奖的可能性远比不中奖的可能性小。既然各种事件发生的可能性有大有小，自然使人们想到用一个数字表示事件发生的可能性大小。这个数字就称为事件的概率。 然而，对于给定的事件A ，该用哪个数字作为它的概率呢？这决定于所研究的随机现象或随机试验以及事件A 的特殊性，不能一概而论。在概率论的发展历史上，人们针对特定的随机试验提出过不同的概率的定义和确定概率的方法：古典定义、几何定义和频率定义。这些概率的定义和确定方法虽然有其合理性，但也只适合于特定的随机现象，有很大的局限性。那么如何给出适合于一切随机现象的概率的最一般的定义呢? 1900年数学家希尔伯特提出要建立概率的公理化定义以解决这个问题,即以最少的几条本质特性出发去刻画概率的概念.1933年数学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公理化定义,这一公理化体系迅速得到举世公认,有了这个定义后,概率论才被正式承认为一个数学分支,并得到迅猛发展. 1. 概率的公理化定义 定义1.2.1 设Ω为样本空间,F 为Ω的某些子集组成的事件域.))((F A A P ∈是定义在事件域F 上的实值集函数,如果它满足: (1) 非负性公理 对于任一F A ∈,有0)(≥A P ; (2) 正则性公理 1)(=ΩP ; (3) 可列可加性公理 若,,21A A …,,n A …两两互不相容,则 则称)(A P 为事件A 的概率,称三元总体),,(P F Ω为概率空间. 概率的公理化定义刻画了概率的本质，概率是集合（事件）的实值函数，若在 事件域上给出一个函数，只要这个函数满足上述三条公理就称为概率。 这个定义只涉及样本空间和事件域及概率的最本质的性质而与具体的随机现象无关。对于具体的随机现象中的给定的事件，其概率如何合理地确定那要依据具

集合的概念与运算例题及答案

1 集合的概念与运算（一） 目标： 1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题 2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质， 3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法． 重点： 1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用; 2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用． 基本知识点： 知识点1、集合的概念 （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集） （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 知识点2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{}Λ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N * 或N + {}Λ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {} 整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {} 数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0 （2）非负整数集内排除0的集记作N * 或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 知识点3、元素与集合关系（隶属） （1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ? 注意：“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写 知识点4、集合中元素的特性 （1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复 （3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）

统计学 概念定义

1.统计学是收集，处理，分析，解释数据并且从数据中得到结论的科学。2数据分析：描述统计研究数据收集，处理，汇总，图表描述，概括与分析等的统计方法；推断统计研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。3.统计数据类型：分类数据，顺序数据，数值型数据。4.参数是用来描述总体特征的概括性数字度量，他是研究者想了解的总体的特征值。 5.统计量是用来描述样本的特征的概括性的数字度量。6概率抽样是遵循随机原则进行的抽样，总体中的与每个单位都要一定的机会被选入样本。7非概率抽样指抽取样本时不是依据随机原则，而是根据研究目的对数据的要求，采用某种方式从总体中抽出部分单位对其实施调查。8.抽样误差是由于抽样的随机性引进的样本结果与总体真值之间的误差。9.非样本误差指除了样本误差之外的，由于其他原因引起的样本的观察结果与总体真值之间的差异。10.条形图是用宽度相同的条形的高度或长短来表示数据多少的图形。11.饼图是用圆形及圆内扇形的角度来表示数值的大小的图形。12.茎叶图是反映原始数据分布的图形，它是由茎和叶两部分构成的，其图形是有数子组成的，通过茎叶图，可以看出数据的分布形状及数据的离散状况。13.集中趋势指一组数据向某一中心靠拢的程度，它反映了一组数据中心的位置所在。14.众数是一组数据中出现次数最多的变量值。众数主要用于测度分类数据的集中趋势，也可用于作为顺序数据以及数值型数据集中趋势的测度值。15.平均数也称为均数，它是一组数据相加后除以数据的个数得到的结果。16异中比率指非众数数组的频数占总频数的比例。17.方差是各变量值与其平均数离差平方的平均数。18.离散系数也称变异系数，它是一组数据的标准差与其相对应的平均数之比。19. 概率古典定义：如果某一随机试验的结果有限，而且各个结果出现的可能性相等，则某一事件A发生的概率为该事件所包含的基本事件数m与样本空间中所包含的基本事件数n的比值。20.概率的统计定义：在相同条件下随机试验n次，某事件A出现m次，则比值m/n称为事件A发生的频率。21.主观概率定义：对一些无法重复的验，确定其结果的概率只能根据以往的经验，人为确定这个时间的概率。22.当某一事件B已经发生时，求时间A发生的概率，称这种概率为时间B发生条件下事件A发生的条件概率。23.统计量概念：设X1,X2.。。。。。Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本，如果由此样本构造一个函数T（X1,X2,…Xn），不依赖于任何未知参数，则称函数T(X1,X2,…Xn)是一个统计量。24.在参数估计中，用来估计总体参数的统计量的名称称为估计量。25.点估计就是用样本统计量的某个取值直接作为总体参数的估计值。2 6.区间估计就是点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减抽样误差得到。2 7.如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平，也称置信度或置信系数。2 8.评价估计量的标准：无偏性是指估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数：有效性指对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小标准的估计量更有效：一致性指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估计总体的参数。2 9.原假设Ho为真却被我们拒绝了，犯这种错误的概率用a表示，称a错误或弃真错误：原假设为伪我们却没有拒绝，犯这种错误的概率用B表示，称B错误或取伪错误。30.如果样本是从总体的不同类别中分别抽取，研究目的是对不同的目标量之间是否存在显著性差异进行检验，称为拟合优度检验也称一致性检验。31.在研究问题时有时会遇到要求判断两个分类之间是否存在联系的问题，使用X2检验，判断两组或多组的资料是否相互关联，如果不相互关联，就称为独立，对这类问题的处理成文独立性检验。32.方差分析就是通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。33.当方差分析只涉及到一个分类自变量时称为单因素方差分析。34. 当方差分析只涉及两个分类自变量时称为双因素方差分析。

概率的古典定义及其计算

12．2．2 概率的古典定义及其计算 定义 如果随机试验具有如下特征： （1）事件的全集是由有限个基本事件组成的； （2）每一个基本事件在一次试验中发生的可能性是相同的； 则这类随机试验称为古典概型． 定义 在古典概型中，如果试验的基本事件总数为n ，事件A 包含的基本事件个数为m ，那么事件A 发生的概率为P （A ）=n m 。 这个定义叫做概率的古典定义。它同样具备概率统计定义的三个性质。 例1 从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字中，随机地取出一个数字，求这个数字是奇数的概率。 解 设A={取出的是一个奇数}，则基本事件总数为n=9，事件A 包含了5个基本事件（抽到1，3，5，7，9），即m=5，所以，P （A ）=9 5=n m 。 例2 在10个同样型号的晶体管中，有一等品7个，二等品2个，三等品1个，从这10个晶体管中任取2个，计算： （1）2个都是一等品的概率； （2）1个是一等品，1个是二等品的概率。 解 基本事件总数为从10个晶体管中任取2个的组合数，故n=210C =45。 （1）设A={取出2个都是一等品}，它的种数m=27C =21，其概率为P （A ）=15 74521==n m ； （2）设B={取出2个，1个是一等品，1个是二等品}，它的种数m=1217C C =14，所以 P （B ）=45 14=n m 。 例3 储蓄卡上的密码是一组四位数号码，每位上的数字可以在0到9这10个数字中选取，问： （1）使用储蓄卡时如果随意按下一组四位数字号码，正好按对这张储蓄卡的密码的概率是多少？ （2）某人没记准储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这张储蓄卡时如果随意按下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？ 解 （1）由于储蓄卡的密码是一组四位数字号码，且每位上的数字有从0到9这10中取法，这种号码共有410组。又由于是随意按下一组四位数字号码，按下其中哪一组号码的可能性都相等，可得正好按对这张储蓄卡的密码的概率1P =4 101。 （2）按四位数字号码的最后一位数字，有10中按法，由于最后一位数字是随意按的，按下其中各个数字的可能性相等，可得按下的正好是密码的最后一位数字的概率10 12=P 。 课堂练习：习题12.2 1—4 订正讲解 12．3．1 概率的加法公式 1．互斥事件概率的加法公式

概率论的定义以与公式

§2 随机事件的概率，古典概型与概率的加法公式 2000/7/31 一． 概率的统计定义： １．频率： 随机事件在一次具体的试验是否发生，虽然不能预先知道，但是，当大量重复同一试验时，随机现象却呈现出某种规律, 即所谓统计规律性． 如：历史上有人作过成千上万次投掷硬币，下表列出他们的试验记录： ２．随机事件 1。随机事件及其概率 2。古典概型 容易看出，投掷次数越多正面向上的频率越接近０．５，其中 事件Ａ发生的次数 频数 事件Ａ发生的频率＝ ＝ 试验总次数 试验总次数 ． 我们将事件发生的可能性大小只停留在定性了解不够的，下面给出事件发生的可能性大小的客观的定量的描述，称为事件发生的概率． ２．随机事件的概率： （１） 定义：在不变的一组条件Ｓ下，重复作n 次试验，记μ是n 次试验中事件A 发生的次数．当 试验的次数n 很大时，如果频率 n μ 稳定在某一数值p 的附近摆动，而且一来随着试验次数增多，这种摆动的幅度越变越小，则称数值p 为事件A 在条件Ｓ下发生的概率，记作 ()P A p = 这里，频率的稳定性是概率一个直观朴素的描述，通常称为概率的统计定义．但必须指出，事件的频率是带有随机性的，这是由事件本身的随机性所决定。而事件的概率，却是一个客观存在的实数，是不变的。 二． 古典概型： １．定义： 如果随机现象满足下列三个条件： (1) 一次试验可能结果只有有限个，即所有基本事件只有有限个：

12,,,n A A A L ， (2) 每一个基本事件(1,2,,)i A i n =L 发生的可能性是相等的． (3) 基本事件(1,2,,)i A i n =L 是两两互不相容 满足以上三个条件的随机现象模型，称为古典概型． 在古典概型中，如果n 为基本事件总数， m 为事件A 包含的基本事件数, 那么事件A 的概率 ()m P A n == 法国数学家拉普拉斯(Laplace)在1812年把上式作为概率的一般定义．现在通常称它为概率 的古典概型的定义，因为它只适用于古典概型场合． ２． 古典概型公式的运用举例： 【例1】 袋里有2个白球和3个黑球．从袋任取出一球，求它是白球的概率． 解 ： 容易看出，“从袋里任取一球”这一试验是古典概型的，且 基本事件总数n ＝5，取到白球的基本事件数m ＝2，故 把白球换为合格产品，黑球换为废品，则这个摸球模型就可以描述产品抽样检验问题．这种模型化的方法把表面上不同的问题归类于相同的模型之小中，能使问题更消楚，更易于计算。 【例2】把a, b 两个球随机地放到编号为I, Ⅱ, Ⅲ 的三只盒子里，求盒子I 中没有球的概率。 解：这是一个古典概型问题， 把a, b 两个球随机地放到编号为I, Ⅱ, Ⅲ 的三只盒子里，基本事件总数 2 39n == 设Ａ＝“盒子I 中没有球”，则事件A 包含的基本事件数 2 24m == ∴ 4 ()9 P A = 【例3】有一个口袋，内装a 只白球，b 只黑球，它们除颜色不同外，外形完全一样, 从袋了中任不同外，外形完全一样. 现任意模出2个球时，求： （１）模出2个球都是白球的概率； （２）模出一个白球一个黑球的概率 解: 这口袋共有a+b 只球，从袋了中任意模出2个球的基本事件总数 2 a b n C += ， （１） 模出2个球都是白球基本事件数 2 1a m C =，

第1讲 集合的概念与运算

第1讲集合的概念与运算 一、知识梳理 1．集合与元素 (1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R [注意]N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0. 2．集合间的基本关系 表示 关系 自然语言符号语言Venn图 子集集合A中所有元素都在集合B中(即 若x∈A，则x∈B) A?B(或B?A) 真子集集合A是集合B的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A中 A B(或 B A) 集合相等集合A，B中元素相同A＝B 集合的并集集合的交集集合的补集 图形语言 符号语言A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈}B ?U A＝{x|x∈U且x?A}

常用结论|三种集合运用的性质 (1)并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A． (2)交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B． (3)补集的性质：A∪(?U A)＝U；A∩(?U A)＝?；?U(?U A)＝A；?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)；?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)． 二、教材衍化 1．若集合P＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝22，则() A．a∈P B．{a}∈P C．{a}?P D．a?P 解析：选D．因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于 2 021的自然数构成的集合，所以a?P.故选D． 2．设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是() A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选C．A中包含的整数元素有－2，－1，0，1，2，共5个，所以A∩Z中的元素个数为5. 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．() (2)若a在集合A中，则可用符号表示为a?A．() (3)若A B，则A?B且A≠B．() (4)N*N Z.() (5)若A∩B＝A∩C，则B＝C．() 答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)× 二、易错纠偏 常见误区|(1)忽视集合中元素的互异性致错； (2)集合运算中端点取值致错； (3)忘记空集的情况导致出错．

概率论与数理统计概率历史介绍

概率论与数理统计概率历史介绍

一、概率定义的发展与分析 1.古典定义的历史脉络 古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老，它源于赌博．博弈的形式多种多样，但是它们的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件：同等可能．16世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（1501—1576）所说的“诚实的骰子”，即道明了这一点．在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作．直到1812年，法国数学家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理论》中给出概率的古典定义：事件A的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比． 2.古典定义的简单分析 古典定义通过简单明了的方式定义了事件的概率，并给出了简单可行的算法．它适用的条件有二：（1）可能结果总数有限；（2）每个结果的出现有同等可能．其中第（2）条尤其重要，它是古典概率思想产生的前提． 如何在更多和更复杂的情况下，体现出“同等可能”？伯努利家族成员做了这项工作，他们将排列组合的理论运用到了古典概率中．用排列（组合）体现同等可能的要求，就是将总数为P(n,r)的各种排列（或总数为C(n,r)的各种组合）看成是等可能的，通常用“随意取”来表达这个意思．即使如此，古典定义的方法能应用的范围仍然很窄，而且还有数学上的问题． “应用性的狭窄性”促使雅各布?伯努利（1654—1705）“寻找另一条途径找到所期待的结果”，这就是他在研究古典概率时的另一重要成果：伯努利大数定律．这条定律告诉我们“频率具有稳定性”，所以可以“用频率估计概率”，而这也为以后概率的统计定义奠定了思想基础．“古典定义数学上的问题”在贝特朗（1822—1900）悖论中表现得淋漓尽致，它揭示出定义存在的矛盾与含糊之处，这导致了拉普拉斯的古典定义受到猛烈批评． 3.统计定义的历史脉络 概率的古典定义虽然简单直观，但是适用范围有限．正如雅各布?伯努利所说：“……这种方法仅适用于极罕见的现象．”因此，他通过观察来确定结果数目的比例，并且认为“即使是没受过教育和训练的人，凭天生的直觉，也会清楚地知道，可利用的有关观测的次数越多，发生错误的风险就越小”．虽然原理简单，但是其科学证明并不简单，在古典概型下，伯努利证实了这一点，即“当试验次数愈来愈大时，频率接近概率”． 事实上，这不仅对于古典概型适用，人们确信“从现实中观察的频率稳定性”的事实是一个普遍规律．1919年，德国数学家冯?米塞斯（1883—1953）在《概率论基础研究》一书中提出了概率的统计定义：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，某个事件出现的频率总是在一个固定数值的附近摆动，显示出一定的稳定性，把这个固定的数值定义为这一事件的概率．

集合的概念与运算教案

集合的概念与运算 适用学科咼中数学适用年级高中一年级 适用区域通用课时（分钟）2课时 知识点 集合的概念，兀素与集合的关系及表示，集合的表示方法相等关系，包含关系，不 包含关系 教学目标 了解集合的含义，体会兀素与集合的属于关系； 能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体冋题；理解集合之间包含与相 等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义?教学重点兀素与集合的关系，集合兀素的特性；集合之间包含与相等的含义 教学难点集合之间包含与相等的含义，集合兀素的特性 主要以一元二次不等式，函数的定义域（特别是对数函数的定义域与带根号的函数的定义域） 与值域为背景进行考察，求解时，掌握一元二次不等式的解法及函数定义域值域的求法时正 确求解的关键 （2 ）本部分在高考中的题型以选择题为主，几乎历年一道必考送分，各位同学要抓住这个'相关知识 集合 q概念、一组对象的全体? x^A,x老A。兀素特点：互异性、无序性、确定性。 关系 子集x^A= B二A匸B。0匸A; A匸B, BG C= AG C n个兀 素集合子集数2n。 真子集x^ Aa x E B, Ex。E B,x o 更A二 A U B 相等A匸B,B匸A二A = B 运算 交集 A"B ={x|x^ A,且B}C U（A U B）=（C U A）D（C U B） C U（A D B）=（C U A）U（C U B） C u （C U A） = A 并集 AUB ={x|x^ A,或B} 补集 Cu A = {x|x^U 且x 更A 三、知识讲解 1?集合的含义 集合的交并补运算在高考中几乎是每年必考,

1 集合的概念与运算(练习+详细答案)

提能拔高限时训练1 集合的概念与运算 一、选择题 1.若集合M＝{0,1,2},N＝{(x,y)|x-2y+1≥0且x-2y-1≤0,x,y∈M},则N中元素的个数为( ) A.9 B.6 C.4 D.2 解析：由x-2y+1≥0且x-2y-1≤0,得2y-1≤x≤2y+1,于是集合{(x,y)|x,y∈M}中共有4个元素,分别为(0,0)、(1,0)、(1,1)、(2,1). 答案：C 2.若A、B、C为三个集合,A∪B＝B∩C,则一定有…( ) A.A?C B.C?A C.A≠C D.A＝?解析：由A∪B＝B∩C,知A∪B?B,A∪B?C, ∴A?B?C.故选A. 答案：A 3.设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q＝{a+b|a∈P,b∈Q},若P＝{0,2,5},Q＝{1,2,6},则P+Q中元素的个数是( ) A.9 B.8 C.7 D.6 解析：本题考查集合的表示及元素的互异性.P+Q中元素分别是1,2,6,3,4,8,7,11. 答案：B 4.若集合A＝{1,2,x,4},B＝{x2,1},A∩B＝{1,4},则满足条件的实数x的值为（） A.4 B.2或-2 C.-2 D.2 解析：由A∩B＝{1,4},B＝{x2,1},得x2＝4,得x＝±2. 又由于集合元素互异，∴x＝-2. 答案：C 5.设集合S＝{-2，-1，0，1，2}，T＝{x∈R|x+1≤2},则(S∩T)等于（） A.? B.{2} C.{1,2} D.{0,1,2} 解析：由题意,知T＝{x|x≤1},∴S∩T＝{-2,-1,0,1}. ∴(S∩T)＝{2}. 答案：B 6设U为全集，M、P是U的两个子集，且（M）∩P＝P,则M∩P等于（） A.M B.P C.P D.? 解析：由（M）∩P＝P,知P?M,于是P∩M＝?.故选D. 答案：D 7.设集合M＝{x|x∈R且-1＜x＜2},N＝{x|x∈R且|x|≥a,a＞0}.若M∩N＝?,那么实数a的取值范围是（） A.a＜1 B.a≤-1 C.a＞2 D.a≥2 解析：M＝{x|-1＜x＜2},N＝{x|x≤-a或x≥a}. 若M∩N＝?,则-a≤-1且a≥2,即a≥1且a≥2. 综上a≥2. 答案：D

概率的定义及其确定方法

1.2 概率的定义及其确定方法 本节包括概率的公理化定义、排列与组合公式、确定概率的频率方法、古典方法、几何方法及主观方法。主要介绍概率的定义，在排列、组合公式的基础上，利用频率方法、古典方法、几何方法及主观方法计算事件的概率。 概率是对随机事件发生可能性大小的数值度量。 1.随机事件的发生是带有偶然性的，但随机事件的发生的可能性是有大小之分的； 2. 随机事件的发生的可能性是可以度量的，犹如长度和面积一样； 3.在日常生活中往往用百分比来表示。这里也是如此 在概率论的发展史上，曾经有过概率的古典定义、概率的几何定义、概率的频率（统计）定义和概率的主观定义。1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公里化定义。 一、概率的公理化定义 1.定义 设Ω为一样本空间， F 为Ω上的某些子集组成的一个事件域，如果对任意事件A ∈F ，定义在F 上的一个实值函数P （A ）满足： （1）非负性公理：()0;P A ≥ （2）正则性公理：()1;P A = （3）可列可加性公理：若12,,,n A A A 两两互不相容，有 11()();n n n n P A P A +∞+∞ ===∑ 则称P （A ）为事件A 的概率，称三元素(,,)P ΩF 为概率空间。 1.并没有告诉我们应如何确定概率。但概率的古典定义、概率的几何定义、概率的频率（统计）定义和概率的主观定义都是在一定的场合下确定概率的方法。由于计算概率要用到排列与组合的公式。 2.概率是关于事件的函数。 二、排列与组合公式 1.两大计数原理 （1）乘法原理 ：如果某件事需要经过k 步才能完成，做完第一步有1m 种方法，做完第二步有2m 种方法，…，做完第k 步有k m 种方法，那么完成这件事共有12n m m m ??? 种方法。 如某班共有45位同学，他们生日完全不相同的情况有365×364×363×…×321种。 （2）加法原理：如果某件事可由k 类不同的办法之一去完成，在第一类办法中有1m 种完成方法，在第二类办法中有2m 种方法，…，在第k 类办法中有k m

集合的基本概念与运算

第1讲 集合的基本概念与运算 吴江市高级中学 李文静 一、高考要求 ①理解子集、补集、交集、并集的概念； ②了解空集和全集的意义；③了解属于、包含、相等关系的意义；④掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 二、两点解读 重点：①集合的三大性质； ②集合的表示方法 ；③集合的子、交、并、补等运算． 难点：①新问题情境下集合概念的理解；②点集和数集的区别；③空集的考查． 三、课前训练 1．设集合A=｛1,2｝，B=｛1,2,3｝，C=｛2,3,4｝则=C B A Y I ）（（ ） ( A ) ｛1,2,3｝ ( B ) ｛1,2,4｝ ( C ) }4,3,2{ ( D ) }4,3,2,1{ 2．设集合}01{<<-=m m P ，044{2<-+∈=mx mx R m Q ，对任意的实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（ ） (A) P Q (B) Q P (C)Q P = (D)P Q =?I 3．已知集合}{2x y y A ==，}2{x y y B ==，则=B A I ____________． 4．设集合A={5，)3(log 2+a },集合B={a ，b }．若B A I ={2}，则B A Y = ． 四、典型例题 例1 设集合},412{Z k k x x M ∈+==，},2 1 4{Z k k x x N ∈+==, ,则（ ） (A) M N (B) N M (C)M N = (D)M N =?I 例2 设集合},,1),{(22R y R x y x y x M ∈∈=+=，},,1),{(2R y R x y x y x N ∈∈=-=，则集合N M I 中元素的个数为（ ） (A ) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 例3设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合},|{Q b P a b a Q P ∈∈+=+，若},5,2,0{=P }6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的个数是_______________． 例4 已知集合}06{2=-+=x x x M ，}01{=-=mx x N ，若M N ?，则实数m 的取值构成的集合为______________________． 例 5 已知R a ∈，二次函数a x ax x f 22)(2--=．设不等式0)(>x f 的解集为A ，又知集合 ? ≠ ? ≠ ? ≠ ? ≠

概率统计与随机过程第一章(第二节)几何统计概率的定义

第一章随机事件的概率 第二节概率的定义及性质 二.概率的几何定义 古典概率的局限性: 基本事件总数有限,各个基本事件发生的可能性相同. 对基本事件总数无限的情形,古典概率就不适用了. 概率的古典定义是以试验的基本事件总数有限和基本事件等可能发生为基础的。对于试验的基本事件有无穷多个的情形，概率的古典定义显然不适用了。为了研究基本事件有无穷多个而又具有某种等可能性这样的一类随机试验，需要用几何方法来引进概率的几何定义。

先从几个简单的例子开始。 例1 某公共汽车站每隔十分钟有某一路公交汽车到达,乘客到达汽车站的时刻是任意地.求一个乘客候车时间不超过三分钟的概率. 例2 如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油，假如在这海域里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率是多少？ 例3 在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率。 一种相当自然的答案是认为 ；例2中钻到例1所求的概率等于3 10 8；而例3所求的石油的概率等于 10000 1。在求这些概率时，我概率等于 200

们事实上利用了几何的方法，并假定了某种等可能性。 在例1中，乘客候车时间的区间为[0,10]，且取各点的可能性一样； 候车的时间短于3分钟，也就是候车时间的区间为[0,3]，相应的概率应是310 。 在例2中，由于选点的随机性，可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的，因而所求概率自然认为等于贮藏油域的面积与整个海域面积之比，即等于1000085000040=。 同样地，例3中由于取水样的随机性，所求概率等于水样的体积与总体积之比 20014002= 。

2006年高考第一轮复习数学11集合的概念与运算

第一章集合与简易逻辑 ?网络体系总览 ?考点目标定位 1?理解集合、子集、补集、交集、并集充的概必念要条解属于、包含、相等关系的意义 2?掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合 3?理解逻辑联结词“或” “且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条 件的意义? 4?学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思 维品质? ?复习方略指南 本章内容在高考中以考查空集与全集的概念， 元素与集合、集合与集合之间的关系， 集 合的交、并、补运算为重点，以上内容又以集合的运算为重点考查内容 ?逻辑联结词与充要 条件这部分，以充要条件为重点考查内容 ? 本章内容概念性强，考题大都为容易的选择题，因此复习中应注意： 1?复习集合，可以从两个方面入手，一方面是集合的概念之间的区别与联系，另一方面 是对集合知识的应用? 2?主要是把握集合与元素、集合与集合之间的关系，弄清有关的术语和符号，特别是对 集合中的元素的属性要分清楚 ? 3?要注意逻辑联结词“或” “且”“非”与集合中的“并” “交”“补”是相关的，二者相 互对照可加深对双方的认识和理解 ? 4?复习逻辑知识时，要抓住所学的几个知识点，通过解决一些简单的问题达到理解、掌 握逻辑 知识的目的? 5? 集合多与函数、方程、不等式有关，要注意知识的融会贯通

1.1 集合的概念与运算 ?知识梳理 1?集合的有关概念 2?元素与集合、集合与集合之间的关系 （1） 元素与集合：或“ "? （2） 集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系 3?集合的运算 （1） 交集：由所有属于集合 A 且属于集合B 的元素所组成的集合， 叫做集合A 与B 的 交集，记为 A A B ,即卩A A B={x|x € A 且x € B}. （2） 并集：由所有属于集合 A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合 A 与集合 B 的并集，记为 A U B ，即A U B={x|x € A 或x € B}. （3） 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即A U S ）,由S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做子集A 在全集S 中的补集（或余集），记为」S A ,即's A={xx € S 且 x 「A}. ?点击双基 1. （ 2004 年全国 n, 1 ）已知集合 M={ x|x 2V 4} , N={ x|x 2— 2x - 3v 0}，则集合 M A N 等于 A.{x|x v — 2} B.{x|x >3} C.{x|— 1 v x v 2} D.{ x|2v x v 3} 解析：皿=例/< 4}={ x|— 2 v x v 2} , N ={ x|x 2 — 2x — 3v 0}={ x|— 1 v x v 3}，结合数轴， ??? M A N={ x|— 1v x v 2}. 答案：C 2. （2005年北京西城区抽样测试题）已知集合 A={x € R |x v 5 — , 2 }, B={1 , 2, 3, 4}, 则（* R A ）A B 等于 A.{1 , 2, 3, 4} B.{2 , 3 , 4} C.{3, 4} D.{4} 解析：*R A={ X € R |x > 5— .2},而 5— 2 €（ 3 , 4） , ?（」R A ）A B={4}. 答案：D 3. （ 2004 年天津，1）设集合 P={1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} , Q={x € R |2

大学数学概率统计概念定义归纳

一、随机事件及其概率 1.（基本概念） 随机事件定义（特点）：1.试验可以在相同条件下重复进行； 2.每次试验的可能 结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果； 3.在一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。 样本空间：随机试验的结果称为基本事件、样本或样本点。样本空间就是随机试验所有可能的结果构成的集合，也就是由所有样本点构成的集合，通 常记为Ω 事件，事件发生与否，必然事件，不可能事件 事件（定义）：在试验中，可能发生也可能不发生的事件称为随机随机事件，简称事件。；；提要容：随机试验中人们特别关注的具有某种共同特征的一些结果，从数学意义上讲，就是样本空间的子集。事件通常用大写英文字母表示。 在一次试验中，若试验结果ω∈A，则称这次试验中事件A发生了，否则称事件A没有发生。 提示：事件是人们根据自己的喜爱定义的，而事件发生与否是与某次试验关联着的。 有两个特殊的事件：样本空间本身，每次试验一定发生，称为是必然事件；空集也是Ω的子集，也能称为事件，每次试验一定不会发生，称为不可能事件。

事件域： 我们希望随机试验所涉及的所有事件作为集合的运算所得到的结果还是事件，这就是所谓运算的封闭性。 随机试验的事件构成的集合类如果对最多经“可列无限多”次事件的运算的结果还是事件，则把这个集合类称为事件域。 约定随机试验的事件构成事件域，通常记为F。 事件的概率 定义在事件域F上的集函数P，满足非负性、规性、和可列可加性。 概率统计定义：随机事件A发生的可能性大小，称为事件A的概率。 概率公理化定义：设E为随机试验，S为它的样本空间，对于E中的每一事件A，恰对应一个实数，记作P(A)，若它满足下列3个条件，则称P(A) 为事件A的概率。 1.非负性：0≤P(A) ≤1； 2.规性：P(A)=1； 2.可列可加性：设A1,A2,….An…..是两两互不相容事件，则 有 古典概型：设随机试验具有下面两个特性：1.试验的样本空间只包含有限个元素； 2.试验中每个基本事件发生的可能性相同。则称这种随机试验为等可 能概型或古典概型。

0、集合的概念与运算

1、 集合的概念与运算 一、知识点梳理： 1、 集合与元素、集合之间关系，集合的表示（列举，描述，图像） 2、 集合的并交补运算，子集的分类与区别，韦恩图的应用（求有限集合元素个数） 二、知识点巩固： 1．已知集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =?，则m 的值为 （ ） A ．1 B ．—1 C ．1或—1 D ．1或—1或0 2．设U ＝{1，2，3，4} ，若B A ?＝{2}，}4{)(=?B A C U ，}5,1{)()(=?B C A C U U ，则下列结论正确的是 （ ） A ．A ?3且 B ?3 B ．A ∈3且B ?3 C ．A ?3且B ∈3 D ．A ∈3且B ∈3 3．设集合},4 12|{Z k k x x M ∈+==，},214|{Z k k x x N ∈+==，则 （ ） A ．N M = B ．M N C ．N M D ．φ=?N M 4．设全集},|),{(R y x y x U ∈=，}12 3|),{(=--=x y y x M ，}1|),{(+≠=x y y x N ，那么)(M C U ∩)(N C U = （ ） A ．φ B ．{（2，3）} C ．（2，3） D ． }1|),{(+≠x y y x 5．已知}5,53,2{2+-=a a M ，}3,106,1{2+-=a a N ，且}3,2{=?N M ，则a 的值（ ） A ．1或2 B ．2或4 C ．2 D ．1 三、例题分析 1．集合{}22190A x x ax a =-+-=，{}2560B x x x =-+=，{} 2280C x x x =+-= 满足,A B A C ?≠Φ?=Φ,求实数a 的值。 2. 关于x 的不等式 ax 2 - 2ax + a 2 - 2＞0， （1）不等式的解集为R, 试求a 的取值范围；（2）若解集为Φ,试求a 的取值范围 3.已知集合}312|{≤≤+=x x P ，}0)1(|{2≤++-=a x a x x M ， x x y y N 2|{2-==，}P x ∈，且N N M = ，求实数a 的取值范围