最新公式法与根的判别式

八 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 5 课时 课题 求根公式与根的判别式

教学目标：

1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程.

2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想.

3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度.

4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况.

5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力.

教学重点：

1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程.

2、会用判别式判定一元二次方程根的情况.

教学难点：

1、正确理解“当240b ac -<时，方程2

0(0)ax bx c a ++=≠无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围.

一、学习新知，推导公式

我们以前学过的一元一次方程0=+b ax （其中a 、b 是已知数，且a ≠0）的根唯一存在，它的根可以用已知数a 、b 表示为a

b x -=，那么对于一元二次方程02=++

c bx ax （其中a 、b 、c 是已知数，且a ≠0），它的根情况怎样？能不能用已知数a 、b 、c 来表示呢？我们用配方法推导一元二次方程的求根公式.

用配方法解一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax

解： c bx ax -=+2 移常数项 a

c x a b x -=+2

方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 两边配上一次项系数一半的平方 22244)2(a

ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有实数解。

因此对上面这个方程要进行讨论

因为2

040a a ≠>所以

（1）当2

40b ac -≥时，22404b ac a -≥。

利用开平方法，得2b x a += 则2b x a =-

所以x =， （2）当2

40b ac -<时，22404b ac a -<。在实数范围内，x 取任何值都不能使方程22244)2(a

ac b a b x -=+左右两边的值相等，所以原方程没有实数根。 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，当042≥-ac b 时，它有两个实数根：

2b x a

-±=（04,02≥-≠ac b a ） 这就是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式.

问题：1、在求根公式中，如果042=-ac b 时，根的情况如何？

2、如何用求根公式求一元二次方程的根？

解答：

1、如果042=-ac b ，那么方程有两个相等的实数根，即a b x x 221-

==. 2、运用求根公式解一元二次方程时先要把方程化成一般式，如果042≥-ac b ，那么可代

入公式求出方程的根，如果042

<-ac b ，那么方程无实数根，这种解一元而次方程的方法叫做公式法.

二、根的判别式：

利用求根公式x =，可以解任何一个一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠.

（1）当2

40b ac ->时，方程的根是12x x ==（2）当240b ac -=时，方程的根是122b x x a

==-.

（3）当2

40b ac -<时，方程没有实数根.

提问：究竟是什么决定了一元二次方程根的情况？

1、定义：我们把24b ac -叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“△”表示，记作△=24b ac -.

2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，

当△=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；

当△=240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；

当△=2

40b ac -<时，方程没有实数根.

例题精讲：

例1：用公式法解下列方程：

（1）25610x x ++= （221)(2)1x x x -=-+

注：用公式法解一元二次方程时，应根据方程的一般式确定a 、b 、c 的值，并且注意a 、b 、c 的符号。

例2、不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）24530x x --=； （2）22430x x ++=； （3）2

23x +=.

例3、关于x 的方程2

(1)0x m x m +--=（其中m 是实数）一定有实数根吗?为什么？

三、一元二次方程两根之间的关系：（韦达定理）

当一元二次方程有实数解12x x ==

12b x x a

+==-

1222b b c x x a a a

-+--?=?= 例4：已知12,x x 是一元二次方程22370x x --=的两个根，求2212x x +的值。

四、与根的判别式相关的证明题：

例5：已知a 、b 、

c 是△ABC 的三边长，求证：关于x 的方程222222

()0b x b c a x c ++-+=没有实数根。

巩固练习

一、填空题：

1、运用公式法解一元二次方程时，先把方程化为一般式 ，接着确定 的值，然后求出 ，最后代入 。

2、方程2523x x +=中，24b ac -= 。

3、若代数式2425x x --与221x +的值互为相反数，则x 的值为 。

4、当x= 时，

5、一元二次方程2320x -+=的根的判别式的值等于 。

6、不解方程，判定方程2257x x -=-是实根的个数为 。

7、方程22(2)(2)30m x m x -++-=，当m= 时，是关于x 的一元二次方程， 它的根的判别式?= 。

8、已知方程220mx mx -+=有两个相等的实数根，则m 的值为 。

二、求下列方程中24b ac -的值：

1、265x x -=

2、2

8160x x -+=

3、2232x x =- 42x =

5、

211042

x x -= 6、21x x -=

7、2x q px +=- 8、20x x -+=

三、不解方程，判断下列方程根的情况：

1、22520x x -+=

2、21302

x x --=

3、2

30x -+= 4、241290x x -+=

5、21

1

022x x ++=

6230x -+=

7、250x +=

8、2104x x -+=

四、用公式法解下列方程：

1、220x --=

2、222x x +=

3、22220x x +-=

4、291220x x -+=

5、241x =+

6、2910

x -+=

7、23510x x --+= 8、215102

x x -

-+=

9、20.090.210.10y y -+= 10、(1)(1)x x +-=

1124x -= 12、248)0y y -=

五、解答题：

1、判断关于x 的方程20x px q +-=的根的情况。

2、关于x 的方程2(2)20x m x m -++=一定有实根吗？为什么?

求根公式及根的判别式

加强班求根公式及根的判别式 在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特点：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等。我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下几个方面有着广泛的应用： 利用判别式，判定方程实根的个数，根的特点； 运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数的值或参数的取值范围； 通过判别式，证明与方程相关的代数问题； 借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。 例题1 （1）设a,b 是整数，方程02=++b ax x 的一根是324-，则a+b 的值是 （2）满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。（全国初中数学竞赛题） 例题2 已知0132=+-a a ，那么=++ --2219294a a a （ ） A 、3； B 、5； C 、35； D 、65 例题3 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 例题4 设方程04|12|2=---x x ，求满足该方程的所有根之和。 例题 5 设关于x 的二次方程0)2()2()1(222=+++--a a x a x a ○1及 0)2()2()1(222=+++--b b x b x b ○ 2（其中a,b 皆为正整数，且a ≠b ）有一个公共根。求

a b a b b a b a --++的值。 例题6（1）关于x 的方程k x k kx 8)18(22-=++有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ， （2）关于x 的方程0122 23=-+--a ax ax x 只有一个实数根，则a 的取值范围是 例题7 把三个连续的正整数a,b,c 按任意次序（次序不同视为不同组）填入□2x +□x+□=0的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，使所得方程至少有一个整数根的a,b,c （ ） A 、不存在； B 、有一组； C 、有两组； D 、多于两组； 例题8 已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x （1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根。 （2）若等腰三角形ABC 的一边长a=1，另两边长b,c 恰好是这个方程的两个根，求三角形ABC 的周长。（湖北省荆门市中考题） 例题9 设方程4||2=+ax x 只有3个不相等的实数根，求a 的取值和相应的3个根。（重庆市竞赛题）

公式法解一元二次方程与根的判别式

课题 公式法解一元二次方程与根的判别式 教学目标： 1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程. 2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想. 3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度. 4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况. 5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力. 教学重点： 1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程. 2、会用判别式判定一元二次方程根的情况. 教学难点： 1、正确理解“当240b ac -<时，方程2 0(0)ax bx c a ++=≠无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围. 一、学习新知，推导公式 我们以前学过的一元一次方程0=+b ax （其中a 、b 是已知数，且a ≠0）的根唯一存在，它的根可以用已知数a 、b 表示为a b x -=，那么对于一元二次方程02=++ c bx ax （其中a 、b 、c 是已知数，且a ≠0），它的根情况怎样？能不能用已知数a 、b 、c 来表示呢？我们用配方法推导一元二次方程的求根公式. 用配方法解一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 解： c bx ax -=+2 移常数项 a c x a b x -=+2 方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 两边配上一次项系数一半的平方 22244)2(a ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有解。 因此对上面这个方程要进行讨论

公式法与根的判别式

八 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 5 课时 课题 求根公式与根的判别式 教学目标： 1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程. 2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想. 3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度. 4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况. 5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力. 教学重点： 1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程. 2、会用判别式判定一元二次方程根的情况. 教学难点： 1、正确理解“当240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围. 一、学习新知，推导公式 我们以前学过的一元一次方程0=+b ax （其中a 、b 是已知数，且a ≠0）的根唯一存在，它的根可以用已知数a 、b 表示为a b x -=，那么对于一元二次方程02=++ c bx ax （其中a 、b 、c 是已知数，且a ≠0），它的根情况怎样？能不能用已知数a 、b 、c 来表示呢？我们用配方法推导一元二次方程的求根公式. 用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 解： c bx ax -=+2 移常数项 a c x a b x -=+2 方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 两边配上一次项系数一半的平方 22244)2(a ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有实数解。 因此对上面这个方程要进行讨论 因为2 040a a ≠>所以

公式法与根的判别式

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八 年级 数学 学科 总计 20 课时 第 5 课时 课题 求根公式与根的判别式 教学目标： 1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程. 2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想. 3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度. 4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况. 5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力. 教学重点： 1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程. 2、会用判别式判定一元二次方程根的情况. 教学难点： 1、正确理解“当240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围. 一、学习新知，推导公式 我们以前学过的一元一次方程0=+b ax （其中a 、b 是已知数，且a ≠0） 的根唯一存在，它的根可以用已知数a 、b 表示为a b x -=，那么对于一元二次方程02=++ c bx ax （其中a 、b 、c 是已知数，且a ≠0），它的根情况怎样能不能用已知数a 、b 、c 来表示呢我们用配方法推导一元二次方程的求根公式. 用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 解： c bx ax -=+2 移常数项 a c x a b x -=+ 2 方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++ 两边配上一次项系数一半的平方 22244)2(a ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式

公式法与根的判别式

八年级数学学科总计20 课时第5课时 课题________ 教学目标： 1熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程 2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想 3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度 4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况 5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力 教学重点： 1求根公式的推导和用公式法解一元二次方程 2、会用判别式判定一元二次方程根的情况. 教学难点： 1正确理解“当b2 -4ac :: 0时，方程ax2 bx弋=0@厂0）无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围 一、学习新知，推导公式 我们以前学过的一元一次方程ax ? b = 0 （其中a、b是已知数，且a* 0）的根唯一存 一 b 2 在，它的根可以用已知数a、b表示为x ,那么对于一元二次方程ax bx 0 （其 a 中a、b、c是已知数，且a丰0）,它的根情况怎样？能不能用已知数a、b、c来表示呢？我们用配方法推导一元二次方程的求根公式. 用配方法解一元二次方程ax2bx ■ c = 0（a严0） 解：ax2? bx - -c 移常数项 x2二-- 方程两边同除以二次项系数（由于a*0,因此不需要分类讨论） a a 2 b b 2 c b 2 x x （）（）两边配上一次项系数一半的平方 a 2a a 2a 2 （x ?——）2=- 4一转化为（x ? m）2二n的形式 2a 4a 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有实数解。 因此对上面这个方程要进行讨论

因为a = 0所以4a20 2a

一元二次方程的求根公式及根的判别式

一元二次方程的求根公式及根的判别式 主讲：黄冈中学高级教师余国琴 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。

(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实 根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)；(2)；(3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算， 解：(1)因为a=1，，c=10 所以

一元二次方程根的判别式及公式法解方程

１ 一元二次方程根的判别式及公式法解方程 姓名： 一、选择题 1. 如果关于x 的一元二次方程2 690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．1k < B ．0k ≠ C ．1k <且0k ≠ D ．1k > 2. 下列关于x 的方程中，没有实数根的方程是（ ） A ．212270x x -+= B ．22320x x -+= C ．223410x x +-= D ．2230x x k --= 3. 若关于x 的一元二次方程22220x ax a a b +++-=有两个相等实根，则a b = （ ） A ．2 B ．12 C ．2- D ．1 2- 4. 方程2320x x m -+-=有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．14m >- B ．14m ≥ C ．14m -≥ D ．1 4m > 5. 方程2210x ax a ++-=的根的情况是（ ） A ．有两个相等实数根 B.有实数根 C ．有两个不等实数根 D ．有两个实数根 6. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A ．2210x x +-= B ．220x ++= C ．210x += D ．220x x -++= 7. 已知关于x 的方程0)3(4122 =+--m x m x 有两个不相等的实数根，那么m 的最大的整数值是（ ） A 、2 B 、1 C 、0 D 、-1 8. 、若方程2x （kx-4）-x 2+6=0没有实数根，则k 的最小整数值是（ ） A 、2 B 、1 C 、-1 D 、不存在 9. 若c 小于0，则关于x 的一元二次方程2530x x c ++=的根的情况是（ ） A ．两根一正一负，且正根的绝对值大于负根的绝对值 B ．两根一正一负，且负根的绝对值大于正根 C ．无实根 D ．有两个负根 10. 方程242()0x a b x ab ---=的根的判别式为（ ） A ．2()4a b ab -- B ．2()a b + C ．24()a b + D ．24()a b - 11. 如果方程220x x m ++=有两个同号的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．1m < B ．01m <≤ C ．01m <≤ D ．0m >

公式法解一元二次方程与根的判别式

课题 _______ 教学目标： 1、 熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程 2、 通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想 3、 通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨认真的学习态度 4、 能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况 5、 培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力 教学重点： 1、 求根公式的推导和用公式法解一元二次方程 2、 会用判别式判定一元二次方程根的情况 教学难点： 1、正确理解“当b 2 4ac 0时，方程ax 2 bx c 0(a 0)无实数根 2、运用判别式求岀符合题意的字母的取值范围 、学习新知，推导公式 我们以前学过的一元一次方程 ax b 0 (其中a 、b 是已知数，且a 工0)的根唯一存在， . b 2 它的根可以用已知数 a 、b 表示为x ，那么对于一元二次方程 ax bx c 0 (其中a 、 a b 、 c 是已知数，且 a ^ 0)，它的根情况怎样？能不能用已知数 a 、b 、c 来表示呢？我们用配方 法推导一元二次方程的求根公式 解： ax 2 bx c 移常数项 x 2 b x - 方程两边同除以二次项系数(由于 a ^ 0，因此不需要分类讨论) a a 2 b b 2 c b 2 x -x () -() 两边配上一次项系数一半的平方 a 2a a 2a b 2 b 2 4ac 2 (x )2 2 转化为(x m)2 n 的形式 2a 4a 注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有解。 因此对上面这个方程要进行讨论 因为a 0所以 4a 2 0 用配方法解一元二次方程 2 ax bx c 0(a 0)

【教案】 公式法—— 一元二次方程根的判别式

公式法——一元二次方程根的判别式 一、教学内容分析 “一元二次方程的根的判别式”一节，从定理的推导到应用都比较简单。但是它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。 教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用 教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。 教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。 二、教学目标 依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目标是： 知识和技能： 1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证； 3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围； 过程和方法： 1、培养学生的探索、创新精神； 2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。 情感态度价值观： 1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美； 2、加深师生间的交流，增进师生的情感； 3、培养学生的协作精神。 三、教学策略： 本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。具体如下： 序号教师学生

05 公式法——解一元二次方程(一)——根的判别式

4．公式法——解一元二次方程(一)——根的判别式 预习归纳 1．式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，常用希腊字母“△”来表示．2．一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0，当____时，它有两个不等的实数根，当时，它有两个相等的实数根，当时，它无实数根． 例题讲解 【例】不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况． (1) 3x2－2x－1＝0; (2) 2x2－x＋1＝0． 基础题训练 1．(2013成都)一元二次方程x2＋x－2＝0的根的情况是( )． A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 2．方程x2＋16＝8x的根的情况为( )． A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根． C．有一个实数根D．没有实数根． 3．(2014益阳)一元二次方程x2－2x＋ｍ＝0总有实数根，则ｍ应满足的条件是( )． A．ｍ＞1B．ｍ＝1C．ｍ＜1D．ｍ≤1 4．(2014宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当ｂ＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是( )． A．ｂ＝－1B．ｂ＝2C．ｂ＝－2D．ｂ＝0 5．已知关于x的一元二次方程x2＋kx＋1＝0有两个相等的实数根，则k＝． 6．(2014广东)关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数ｍ的取值范围为( )． A．m＞9 4 B．m＜ 9 4 C．m＝ 9 4 D．m＜－ 9 4 7．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况． (1) 4x－x2＝x2＋2⑵3x－1＝2x2 8．当m为何值时，方程2x2－(4m＋1) x＋2m2－1＝0 ⑴有两个不相等的实数根？ ⑵有两个相等的实数根？ ⑶没有实数根？

一元二次方程的求根公式及根的判别式

一元二次方程的求根公式及根的判别式 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

一元二次方程的求根公式及根的判别式 主讲：黄冈中学高级教师余国琴 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。

(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程 ；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太 繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入 (≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)；(2)；(3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算， 解：(1)因为a=1，，c=10 所以 所以