高中数学二项式定理高考复习

课题：二项式定理

一、知识要点

1.二项式定理

一般地,对于任意整数n ,都有n n n n n n n n b C b a C a C b a ++=+-110)(,这个公式叫做二项式定理.

【注意】⑴等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式;

⑵),2,1,0(n r C r n =叫做二项式系数,它与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数r n

C 一定为正,而项的系数与b a , 的系数有关,正负不能确定.

⑶公式右边共有1+n 项,比二项式的次数n 大1.

⑷各项的次数都等于二项式的幂指数n ;字母a 按降幂排列,次数由n 递减到0,字母b 按升幂排列,次数由0递增到n .

⑸二项式定理表示一个恒等式,对于任意的b a ,,该等式都成立.通过对b a ,取不同的特殊值,可给某些问题的解决带来方便. 令x b a ==,1,则得到一个比较常用的公式: n n n n n n x C x C x C x ++++=+ 2211)1(；

若令1,1==b a

,则得到一个组合数恒等式: n n n n n n C C C C ++++= 2102； 2.二项展开式的通项

二项展开式的第1+r 项),2,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+叫做二项展开式的通项.

【注意】⑴它表示二项式展开的第1+r 项,该项的二项式系数是r n C ,而不是1+r n C ;

⑵字母b 的次数和组合数的上标相同;

⑶a 与b 的次数之和为n ;

⑷n 是常量,n r ,,2,1,0 =是变量;

⑸公式中第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒;

⑹整理通项时,一般要将通项中的系数和字母分开整理;

⑺它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用. 3.二项式系数的性质

一般地, n b a )(+展开式的二项式系数n n

n n n C C C C 210,,有以下性质 ⑴r n n r n C C -=;⑵r n r n r n C C C 11+-=+;

⑶当21-

1->n r ,r n r n C C <+1,即当n 为偶数时,二项式系数中, 2n n C 最大;当n 为奇数时, 二项式系数中, 21

-n n C 和21

+n n

C （两者相等）最大. ⑷n n n n n n C C C C 2210=++++ ；

⑸131202-=++=++n n n n n C C C C ,即二项式展开式奇数项系数的和等于偶数项系数的和,

二、金典题型

题型一:通项公式的应用

求二项式展开式中的有理项,一般是根据通项公式所得到的项,其所有的未知数的指数恰好都是整数的项,解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据整数的整除性求解.若求二项展开式中的整式项,则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.

【?例1】已知在n x x ??? ?

?-3321的展开式中,第6项为常数项. ⑴求n ;⑵求含2x 的项的系数;⑶求展开式中所有的有理项.

点评:解此类问题可以分两步完成:第一,根据所给出的条件（待定项）和通项公式,建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件（n ,r 均为非负整数,r n ≥））;第二,根据所求的指数,再求所求解的项.

【?例2】若n

x x ??? ?

?+1展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为（ ）A.10 B.20 C.30 D.120

题型二:系数最大值问题

在求展开式中系数最大项时,可设第1+r 项的系数为1+r t 最大,则利用???≥≥+++2

11r r r r t t t t ,解不等式组即可得出. 【?例3】已知()n

x x 2323+展开式各项系数和比它的二项式系数和大992. ⑴求展开式中二项式系数最大项; ⑵求展开式中系数最大项.

点评:应注意区分项的系数和二项式系数两个概念.在求项的系数和时,常采用赋值法,求项的系数时,用1+r T 来求,而二项式系数能直接写出.

【变式训练】

1. ()n

x 21+的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.

题型三:赋值法的应用

对形如()n b ax +、()m c bx ax ++2),,(R c b a ∈的式子求其展开式的各项系数之和,常采用赋值法, 只需令1=x 即可;对()n by ax +),(R b a ∈的式子求其展开式各项系数之和,只需令1==y x 即可.

【?例4】已知()7722107

21x a x a x a a x ++++=- . ⑴求721a a a +++ ;⑵7531a a a a +++;⑶6420a a a a +++;⑷||||||||7210a a a a ++++ .

【变式训练】

2.对于12

212??? ??-x x 的展开式,求⑴求各项系数之和;⑵奇数项系数之和;⑶偶数项系数之和. 三、基础落实

1.二项式521??? ?

?+x x 展开式中,x 的系数为（ ）A.5 B.10 C.20 D.40 2.如果n

x x ??? ?

?-2323的展开式中含有非零常数项,则正整数n 可能是（ ）A.6 B.8 C.9 D.10 3.已知n x x ??? ??-1的展开式中只有第四项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于（ ）A.15 B.-15 C.20 D.-20 4.若n

x x ??? ?

?-13展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为（ ）A.-540 B.-162 C.162 D.540 5.在n x x ??? ??-312的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式的常数项为（ ）A.-7 B.7 C.-28 D.28 6.在n

x x ??? ?

?+2的二项展开式中,若常数项为60,则n 等于（ ） A.3 B.6 C.9 D12 7. 61??? ??-x mx 的展开式中3x 的系数为15.则m 的值为 .

8.若)(*6271327N n C C n n ∈=++,则n

x x ??? ??-32的展开式中的常数项是 .（用数字作答） 9.已知9

2???

? ??-x x a 的展开式中,3x 的系数为94,则常数a 的值为 . 10.6)21(x -展开式中,所有项的系数之和为 ;63)21)(1(x x -+展开式中5x 的系数为 . 四、课堂小结与作业

1.“各项的二项式系数”是指),,2,1,0(n i C i n =,而“某项的系数”是指这一项的所有的系数;只有当字母的系数为1

时,某项的二项式系数与某项的系数才是相等的.

2.二项式系数之和为n n

n n n n C C C C ++++= 2102;各项系数之和是每项的所有系数之和. 3.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意给字母赋值是求解的重要方法之一.

4.注意r r n r n r b a C T -+=1表示的是二项式展开式中的第1+r 项,而非第r 项,此式为二次展开式的通项.

【作业】见复印件

高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二

二项式定理（第1课时） 一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明． 内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理． （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用． （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养． 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法． （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利

(完整word)高中数学二项式定理练习题

选修2-3 1.3.1 二项式定理 一、选择题 1．二项式(a ＋b )2n 的展开式的项数是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1 D ．2(n ＋1) 2．(x －y )n 的二项展开式中，第r 项的系数是( ) A ．C r n B ． C r ＋1n C ．C r －1n D ．(－1)r －1C r －1n 3．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( ) A ．－27C 610 B ．27 C 410 C ．－9C 610 D ．9C 410 4．(2010·全国Ⅰ理，5)(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4 5．在? ?? ??2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( ) A ．3 B ．5 C ．8 D ．10 6．在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中x 5的系数是( ) A ．－297 B ．－252 C ．297 D ．207 7．(2009·北京)在? ?? ??x 2－1x n 的展开式中，常数项为15，则n 的一个值可以是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．(2010·陕西理，4)(x ＋a x )5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于 ( ) A ．－1 B.12 C ．1 D ．2

9．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是 ( ) A.112＜x ＜15 B.16＜x ＜15 C.112＜x ＜23 D.16＜x ＜25 10．在? ????32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( ) A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项 二、填空题 11．(1＋x ＋x 2)·(1－x )10的展开式中，x 5的系数为____________． 12．(1＋x )2(1－x )5的展开式中x 3的系数为________． 13．若? ?? ??x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝________(用数字作答)． 14．(2010·辽宁理，13)(1＋x ＋x 2)(x －1x )6的展开式中的常数项为________． 三、解答题 15．求二项式(a ＋2b )4的展开式． 16．m 、n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数． 17．已知在(3x －123x )n 的展开式中，第6项为常数项．

(完整版)高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解

高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解 一、选择题 1．已知a n ＝ 1 n ＋1＋n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，已计算得S 1＝2－1，S 2＝3－1， S 3＝1，由此可猜想S n ＝( ) A.n －1 B.n ＋1－1 C.n ＋1－2 D.n ＋2－2 [答案] B 2．已知S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1 2k (k ＝1,2,3，…)，则S k ＋1等于( ) A ．S k ＋1 2(k ＋1) B ．S k ＋12k ＋1－1 k ＋1 C ．S k ＋12k ＋1－1 2k ＋2 D ．S k ＋12k ＋1＋1 2k ＋2 [答案] C [解析] S k ＋1＝ 1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋2＝1 k ＋1 ＋ 1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝S k ＋12k ＋1－1 2k ＋2 . 3．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某人的证明过程如下： 1°当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立. 2°假设n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即k 2＋k

[解析]没用归纳假设． 4．将正整数排成下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 …… 则在表中数字2010出现在() A．第44行第75列 B．第45行第75列 C．第44行第74列 D．第45行第74列 [答案] D [解析]第n行有2n－1个数字，前n行的数字个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936<2010,2025>2010，∴2010在第45行． 又2025－2010＝15，且第45行有2×45－1＝89个数字，∴2010在第89－15＝74列，选D. 5．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k ＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是() A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)>k2成立 D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立 [答案] D [解析]对于A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误．对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误． 对于C，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C错误． 对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D. 6．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖去，如图(1)；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个挖去，得图(2)；如此继续下去……则第n个图共挖去小正方形()

高三数学 二项式定理

二项式定理 1． 知识精讲： （1）二项式定理：()n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110（* ∈N n ） 其通项是=+1r T r r n r n b a C - （r=0,1,2,……,n ），知4求1，如：555 156b a C T T n n -+== 亦可写成：=+1r T r n r n a b a C )( ()()()n n n n r r n r n r n n n n n b C b a C b a C a C b a 11110-++-++-=---ΛΛ（*∈N n ） 特别地：()n n n r n r n n n n n x C x C x C x C x +++++=+-ΛΛ101（* ∈N n ） 其中，r n C ——二项式系数。而系数是字母前的常数。 例1．n n n n n n C C C C 13 21393-++++Λ等于 （ ） A ．n 4 B 。n 43? C 。134-n D.3 1 4-n 解：设n n n n n n n C C C C S 13 21393-++++=Λ，于是： n n n n n n n C C C C S 333333 3221++++=Λ=133333 32210 -+++++n n n n n n n C C C C C Λ 故选D 例2．（1）求7 (12)x +的展开式的第四项的系数； （2）求91 ()x x -的展开式中3 x 的系数及二项式系数解：（1）7 (12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==， ∴7 (12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵9 1()x x -的展开式的通项是9921991 ()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-， ∴923r -=，3r =， ∴3x 的系数339(1)84C -=-，3 x 的二项式系数3984C =． （2）二项展开式系数的性质：①对称性,在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的 二项式系数相等，即ΛΛ,,,,22110k n n k n n n n n n n n n n C C C C C C C C ---==== ②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果

高中数学高考总复习充分必要条件习题及详解

高中数学高考总复习充分必要条件习题及详解 一、选择题 1．(文)已知a、b都是实数，那么“a2>b2”是“a>b”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 [答案] D [解析]a2>b2不能推出a>b，例：(－2)2>12，但－2<1；a>b不能推出a2>b2，例：1>－2，但12<(－2)2，故a2>b2是a>b的既不充分也不必要条件． (理)“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 [答案] B [解析]由|x－1|<2得－2

高中数学 2二项式定理(带答案)

二项式定理 一．二项式定理 1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式 2.各项的系数r n C 叫做二项式系数 3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即 1(0,1,2, ,).r n r r r n T C a b r n -+== 4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到 n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n 二．二项式系数的性质 性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即012.n n n n n C C C ++ += （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释） 性质4 ()n a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项 的二项式系数的和，即 02 213 21 12.r r n n n n n n n C C C C C C +-++ ++ =++ ++ = （令1,1a b ==-即得） 性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数1 2,n n C -1 2n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）

(推荐)高中数学二项式定理

二项式定理 【2011?新课标全国理，8】51()(2)a x x x x +-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )． A ．－40 B ．－20 C ．20 D ．40 【答案】D 【最新考纲解读】 二项式定理 (1)能用计数原理证明二项式定理． (2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【回归课本整合】 1.二项式定理的展开式 011()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++，其中组合数r n C 叫做第r +1项的二 项式系数；展开式共有n +1项. 注意：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1 时，系数就是二项式系数。如在()n ax b +的展开式中，第ｒ＋１项的二项式系数为r n C ，第

3.项的系数和二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（ m n m n n C C- = ）． 【方法技巧提炼】

(2)()()n m a b c d ++结构:①若n 、m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个；②观察()()a b c d ++是否可以合并；③分别得到()()n m a b c d ++、 的通项公式，综合考虑. 例2 61034(1)(1)x x 展开式中的常数项为（ ） A ．1 B ．46 C ．4245 D ．4246

答案： D 例3 5 )2 1 2 (+ + x x 的展开式中整理后的常数项为 .

答案： 632 例5 若对于任意实数x，有 323 0123 (2)(2)(2) x a a x a x a x =+-+-+- ，则2 a的值为（）

高考数学 《二项式定理》

二项式定理 主标题：二项式定理 副标题：为学生详细的分析二项式定理的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：二项式定理，二项式系数，项系数 难度：2 重要程度：4 考点剖析： 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 命题方向： 1．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题． 2．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度： (1)求二项展开式中的第n项； (2)求二项展开式中的特定项； (3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数． 规律总结： 1个公式——二项展开式的通项公式 通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点： (1)C r n a n－r b r是第r＋1项，而不是第r项； (2)通项公式中a，b的位置不能颠倒； (3)通项公式中含有a，b，n，r，T r＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”． 3个注意点——二项式系数的三个注意点 (1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”； (2)关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； (3)展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错．

知 识 梳 理 1．二项式定理 二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *) 二项展开式 的通项公式 T r ＋1＝C r n a n －r b r ，它表示第r ＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C 0 n ，C 1n ，…，C n n 2.二项式系数的性质 (1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －k n . (2)二项式系数先增后减中间项最大 当n 为偶数时，第n 2 ＋1项的二项式系数最大，最大值为2n n C ；当n 为奇数时，第n ＋1 2项和n ＋3 2项的二项式系数最大，最大值为21 -n n C 或21 +n n C . (3)各二项式系数和：C 0 n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ， C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2 n －1.

高中数学高考总复习复数习题及详解

高中数学高考总复习复 数习题及详解 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

高中数学高考总复习复数习题及详解一、选择题 1．(2010·全国Ⅰ理)复数3＋2i 2－3i ＝( ) A．i B．－i C．12－13i D．12＋13i [答案] A [解析] 3＋2i 2－3i ＝ (3＋2i)(2＋3i) (2－3i)(2＋3i) ＝ 6＋9i＋4i－6 13 ＝i. 2．(2010·北京文)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( ) A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i [答案] C [解析] 由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－2 2 ＝2，y＝ 5＋3 2 ＝ 4， ∴点C对应的复数为2＋4i，故选C. 3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值是( ) A．－1 B．4 C．－1和4 D．－1和6 [答案] C [解析] 由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.

[点评] 复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应点在虚轴上和z为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点(参见教材104页的定义)，切勿错误的以为虚轴不包括原点． 4．(文)已知复数z＝ 1 1＋i ，则z－·i在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] B [解析] z＝1－i 2 ，z－＝ 1 2 ＋ i 2 ，z－·i＝－ 1 2 ＋ 1 2 i.实数－ 1 2 ，虚部 1 2 ，对应点 ? ? ? ? ? － 1 2 ， 1 2 在 第二象限，故选B. (理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上，则复数z2＋1 z ( ) A．是纯虚数 B．是虚数但不是纯虚数 C．是实数 D．只能是零 [答案] C [解析] 解法1：∵z的对应点P在单位圆上，∴可设P(cosθ，sinθ)，∴z＝cosθ＋i sinθ. 则z2＋1 z ＝ cos2θ＋i sin2θ＋1 cosθ＋i sinθ ＝ 2cos2θ＋2i sinθcosθ cosθ＋i sinθ ＝2cosθ为实数． 解法2：设z＝a＋bi(a、b∈R)， ∵z的对应点在单位圆上，∴a2＋b2＝1，∴(a－bi)(a＋bi)＝a2＋b2＝1， ∴z2＋1 z ＝z＋ 1 z ＝(a＋bi)＋(a－bi)＝2a∈R. 5．(2010·广州市)复数(3i－1)i的共轭复数 ．．．．是( )

(完整版)二项式定理典型例题

1. 在二项式n x x ??? ? ? +4 21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=?? ? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8 141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1 12312-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 14 3168 1,82,1,02 1C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22 888944 8 541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类 似地，100 3)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有 系数和为n 3． 2.（1）求10 3 )1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21 (++ x x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5 510C x ；用 3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；

高中文科数学高考复习辅导(3)及答案

高中文科数学高考复习辅导3 一、选择题：每小题只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内． 1.幂函数)(x f y =的图像经过点1(,4)2，则1()3 f 的值为 （ ） A.1 B.4 C.9 D.16 2．若集合},0{2m A =，}2,1{=B ，则“1=m ”是“{0,1,2}A B = ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件 3．在ABC ?中，若20AB BC AB ?+= ，则ABC ?是（ ） .A 锐角三角形 .B 直角三角形 .C 钝角三角形 .D 无法确定 4．下列四个函数中，既是(0,)2 π上的增函数，又是以π为周期的偶函数是（ ） A 、y =c os2x B 、y =|sin2x | C 、y =|c os x | D 、y =|sin x | 5．函数()2x f x e x =+-的零点所在的一个区间为（ ） .(0,1).(1,0).(2,1).(1,2)A B C D --- 6. 函数y =x +cos x 的大致图象是 （ ） 7．定义在[2,2]-的函数满足()()f x f x -=-，且在[0,2]上是增函数，若 (1)()f m f m -<成立，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．122m <≤ B ．13m -≤≤ C ．112m -≤< D ．12 m > 8．=)(x f ???>≤≤)1(log )10sin 2010 x x x x （π若a ,b,c 互不相等，且f(a)=f(b )=f(c),则a +b+c 的取值范围是（ ） A (1,2010) B (1,2011) C (2,2011) D [2,2011] 9. 在Rt ABC ?中，090,C ∠=且A B C ∠∠∠、、所对的边分别为a b c 、、，若 a b cx =+，则实数x 的取值范围是（ ） A ．?? B ． C ． D ． 二、填空题：将正确答案填在题后横线上． 10．已知向量(3,1)a = ，(1,3)b = ，(,7)c k = ，若()a c - ∥b ，则k = 。

2018年高考二项式定理十大典型问题及例题

学科教师辅导讲义 1．二项式定理： 011 ()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数 （包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+- ++ +-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C +++++ +=， 变形式1221r n n n n n n C C C C ++ ++ +=-。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123 (1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=， 从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++ ++???= ?= ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

二项式定理知识点总结

二项式定理 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做 ()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==，1，则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式； 另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了 二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素

高中数学总复习题汇总(精品推荐,高考必备)

高中数学总复习题总结 第一章 集合与函数概念 一、选择题 1．设全集U ＝{(x ，y )| x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝? ?? ???1＝2－3－| ),(x y y x ， P ＝{(x ，y )| y ≠x ＋1}，那么C U (M ∪P )等于( )． A ．? B ．{(2，3)} C ．(2，3) D ．{(x ，y )| y ＝x ＋1} 2．若A ＝{a ，b }，B ?A ，则集合B 中元素的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或1或2 3．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是( )． A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 4．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式是( )． A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7 5. 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则( )． A ．b ∈(－∞，0) B ．b ∈(0，1) C ．b ∈(1，2) D ．b ∈(2，＋∞) 6．设函数f (x )＝? ??00 ＋＋2 x c x c bx x ，，≤， 若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的 方程f (x )＝x 的解的个数为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．设集合A ＝{x | 0≤x ≤6}，B ＝{y | 0≤y ≤2}，下列从A 到B 的对应法则f 不是映 (第5题) ＞

射的是( )． A ．f :x →y ＝ 21x B ．f :x →y ＝3 1 x C ．f :x →y ＝ 4 1x D ．f :x →y ＝ 6 1x 8．有下面四个命题： ①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称； ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )． 其中正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2，4)上是( )． A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．先递增再递减 10．二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是x ＝2，则有( )． A ．f (1)＜f (2)＜f (4) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1) 二、填空题 11．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是． 12．若集合A ＝{x | x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝___，b ＝___． 13．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为元． 14．已知f (x ＋1)＝x 2－2x ，则f (x )＝；f (x －2)＝． 15．y ＝(2a －1)x ＋5是减函数，求a 的取值范围．

高三数学-二项式定理

10.3二项式定理强化训练 【基础精练】 1．在二项式(x 2－1 x )5的展开式中，含x 4的项的系数是 ( ) A ．－10 B ．10 C ．－5 D ．5 2．(2009·北京高考)若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝ ( ) A ．45 B ．55 C ．70 D ．80 3．在( 1x ＋ 51 x 3 )n 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数 是 ( ) A ．330 B ．462 C ．682 D ．792 4．如果? ?? ?? 3x 2－2x 3n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 ( ) A ．10 B ．6 C ．5 D ．3 5．在? ? ??? 2x －y 25的展开式中，系数大于－1的项共有 ( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项 6．二项式41(1)n x +-的展开式中，系数最大的项是 ( ) A ．第2n ＋1项 B ．第2n ＋2项 C ．第2n 项 D ．第2n ＋1项和第2n ＋2项 7．若(x 2＋1 x 3)n 展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________． 8．（ x ＋2 x 2)5的展开式中x 2的系数是________；其展开式中各项系数之和为________．(用 数字作答) 9．若? ? ? ??2x － 229 的展开式的第7项为214，则x ＝________. 10．已知(x － 124 x )n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．

(1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项． 11．设(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，求： (1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4； (2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|； (3)a1＋a3＋a5； (4)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3＋a5)2. 【拓展提高】 1．在(3x－2y)20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项．

二项式定理的十一种考题解法

二项式定理的十一种考题解法 1．二项式定理： 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用 1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ， 是升幂排列。各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是 012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L

令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等， 即0n n n C C =，···1k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为 0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ， 从而得到：02421321 11 222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???=?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值。 如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项 式系数1 2n n C -,12n n C +同时取得最大值。 ⑥系数的最大项：求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设 展开式中各项系数分别 为121,,,n A A A +???，设第1r +项系数最大，应有112 r r r r A A A A +++≥??≥?，

高考数学复习点拨 二项式定理问题的三大热点

二项式定理问题的三大热点、五大方法 学习二项式定理，应对二项式定理问题的三大热点、五大方法倍加关注，其具体内容是： 一．三大热点 1．通项运用型 2．系数和差型 3．综合应用型 二．五大方法 1．常规问题通项分析法 例1．如果在（x + 421x ）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项. 解：展开式中前三项的系数分别为1，2n ，8)1(-n n ，由题意得2×2n =1+8 )1(-n n ，得n =8. 设第r +1项为有理项，T 1+r =C r 8·r 2 1·x 4316r -，则r 是4的倍数，所以r =0，4，8. 有理项为T 1=x 4，T 5=835x ，T 9=22561x . 评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r . 通项公式T r+1= C r n a n-r b r (n ∈N +,r=0,1,2,2，…，n ）中含有a,b,n,r, T r+1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素．在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题（如判断和计算二项展开式中的特殊项），这类问题一般是正确使用通项公式，要清楚其中的相关字母的意义，利用等价转化的思想方法把问题归结为解方程（组）． 2．系数和差型赋值法 例2．已知（x － x a ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是 A.28 B.38 C.1或3 8 D.1或28 解析：T 1+r =C r 8·x 8－r ·（－ax －1）r =（－a ）r C r 8·x 8－2r . 令8－2r =0，∴r =4. ∴（－a ）4 C 48=1120.∴a =±2. 当a =2时，令x =1，则（1－2）8 =1. 当a =－2时，令x =－1，则（－1－2）8=38. 答案：C 例3．若（1+x ）6（1－2x ）5=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 11x 11. 求：（1）a 1+a 2+a 3+…+a 11；（2）a 0+a 2+a 4+…+a 10.

2020年高考理科数学 《二项式定理》题型归纳与训练及参考答案

2020年高考理科数学 《二项式定理》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 二项式定理展开的特殊项 例 在二项式5 21??? ??-x x 的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A ．10- B ．10 C ．5- D ．5 【答案】B 【解析】对于()()r r r r r r r x C x x C T 3105525111--+-=??? ??-=，对于2,4310=∴=-r r ，则4x 的项的系数是()101225=-C 【易错点】公式记错，计算错误。 【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，知道什么是系数，会求每一项的系数． 题型二 求参数的值 例 若二项式n x x ??? ? ?+21的展开式中,第4项与第7项的二项式系数相等,则展开式6x 的系数为________.(用数字作答) 【答案】9 【解析】根据已知条件可得: 96363=+=?=n C C n n , 所以n x x ??? ? ?+21的展开式的通项为23999912121C r r r r r x C x x T --+??? ??=??? ??=,令26239=?=-r r ,所以所求系数为921292=??? ??C . 【易错点】分数指数幂的计算 【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，并用其公式求参数的值． 题型三 展开项的系数和 例 已知()()()()10 102210101...111x a x a x a a x -++-+-+=+，则8a 等于( ) A ．180- B ．180 C ．45 D ．45- 【答案】B

【解析】由于()()[]1010121x x --=+，又()[]10 12x --的展开式的通项公式为： ()[]()()r r r r r r r r x C x C T -???-=--??=--+12112101010101，在展开式中8a 是()81x -的系数，所以应取8=r ， ∴()1802128108 8=??-=C a . 【易错点】对二项式的整体理解 【思维点拨】本题主要对二项式定理展开式的综合考查，学会构建模型 题型四 二项式定理中的赋值 二项式()932y x -的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和． 【答案】（1）9 2 （2）-1 （3）2 159- 【解析】设()9927281909...32y a y x a y x a x a y x ++++=+ (1)二项式系数之和为9992919 092...=++++C C C C . (2)各项系数之和为()132 (9) 9210-=-=++++a a a a (3)由(2)知1...9210-=++++a a a a ，令1,1-==y x ，得992105...=++++a a a a ，将两式相加，得2 15986420-=++++a a a a a ，即为所有奇数项系数之和． 【思维点拨】本题主要学会赋值法求二项式系数和、系数和，难点在于赋值 【巩固训练】 题型一 二项式定理展开的特殊项 1.在 ()10 2-x 的展开式中，6x 的系数为（ ） A ．41016C B ．41032C C ．6108C - D ．61016C - 【答案】A