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高中数学知识点课本回归

高中数学课本回归（1）

第一章、集合

一、基础知识（理解去记）

定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ?。

例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用?来表示。集合分有限集和无限集两种。

集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，

}

0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。

定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ?，例如Z N ?。规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。便于理解：B A ?包含两个意思：①A 与B 相等、②A 是B 的真子集定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且定义4 并集，

{B x A x x B A ∈∈=或

定义5 补集，若}

,{,1A x I x x A C I A ?∈=?且则称为A 在I 中的补集。

定义6 集合

}

,,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合

}

,,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞

定义7 空集?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

补充知识点对集合中元素三大性质的理解（1）确定性

集合中的元素，必须是确定的．对于集合A 和元素a ，要么a A ∈，要么a A ?，二者必居其一．比如：“所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的．而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合．

（2）互异性

对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素．如：由a ，2

a 组成一个集合，则a 的取值不能是0或1．（3）无序性

集合中的元素的次序无先后之分．如：由1

23，，组成一个集合，也可以写成132，，组成一个集合，它们都表示同一个集合．

帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题（1）注意a 与{}a 的区别．a 是集合{}a 的一个元素，而{}a 是含有一个元素a 的集合，二者的关系

是

{}

a a ∈．

（2）注意?与

{}0的区别．?是不含任何元素的集合，而{}0是含有元素0的集合．

（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用｛实数集｝或

{

}R 来表示实数集R 这一类错误，因为这

里“大括号”已包含了“所有”的意思．

用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义．例如：

集合{()

x y y =，中的元素是()x

y ，，这个集合表示二元方程y =

或者理解为曲

线y =

集合{x y =中的元素是x

，这个集合表示函数y =x 的取值范围；

集合{y y =中的元素是y

，这个集合表示函数y =

y 的取值范围；

集合

{y =中的元素只有一个（方程y =

，它是用列举法表示的单元素集合．

（4）常见题型方法：当集合中有n 个元素时，有2n 个子集，有2n-1个真子集，有2n-2个非空真子

集。

集合穿针转化引线（最新）一、集合与常用逻辑用语

3.若2

:3840:(1)(2)0p x x q x x -+>+->，，则p ?是q ?的（）．

（A ）充分条件

（B ）必要条件

（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件

4. 若k ∈R ，则“3k >”是“方程22

33x y k k -=-+表示双曲线”的（）．

（A）充分条件（B）必要条件

（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件二、集合与函数

5.已知集合

{2}{2}

P y y x x Q x y x x

==-+∈==-+∈

R R

，，，

，那么

P Q等于（）．

（A）（0，2），（1，1）（B）｛（0，2），（1，1）｝

（C）｛1，2｝（D）{2} y y≤

第二章、函数

一、基础知识（理解去记）

定义1 映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f: A→B为一个映射。

定义2 函数，映射f: A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。A称为它的定义域，若x∈A, y∈B，且f(x)=y（即x对应B中的y），则y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函

数y=3x-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}.

定义4 函数的性质。

（1）单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1, x2∈I并且x1< x2，总有f(x1)f(x2))，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。

（2）奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

（3）周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期。

定义5 如果实数aa}记作开区间（a, +∞），集合{x|x≤a}记作半开半闭区间（-∞,a].

定义6 函数的图象，点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0)；

（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；

（2）向左平移a个单位得到y=f(x+a)的图象；

（3）向下平移b个单位得到y=f(x)-b的图象；

（4）与函数y=f(-x)的图象关于y轴对称；

（5）与函数y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称；

（6）与函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；（7）与函数y=-f(x)的图象关于x轴对称。

一、基础知识（初中知识必会）1．二次函数：当≠

a0时，c

)

(称为关于x的二次函数，其对称轴为直线

=，

另外配方可得

)

(

)

(

=。

2．二次函数的性质：当a>0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在[x0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当a<0时，情况相反。

3．当a>0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0…③与函数f(x)的关系如下（记△=b2-4ac）。

1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x1,x2(x1x2}和{x|x1

2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x1=x2=x0=a

,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x a

≠

}和空集?，f(x)的图象与x轴有唯一公共点。

3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和?.f(x)图象与x轴无公共点。

当a<0时，请读者自己分析。

4．二次函数的最值：若a>0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)=a

,若a<0，则当x=x0=a

时，f(x)取最大值f(x0)=a

.对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，当x0∈[m, n]时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(x0); 当x0n时，f(x)在[m, n]上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。

定义1 能判断真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。

一定注意：“p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。

定义2 原命题：若p则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。

一定注意：原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。

一定注意：反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。

定义3 如果命题“若p则q”为真，则记为p?q否则记作p≠q.在命题“若p则q”中，如果已知p?q,则p是q的充分条件；如果q?p，则称p是q的必要条件；如果p?q但q不?p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不?q但p?q，则p称为q的必要非充分条件；若p?q且q?p，则p是q的充要条件。

15．常用结论。

定理2 若a,b ∈R, 则a2+b2≥2ab ；若x,y ∈R+,则x+y ≥

.2xy

第三章、基本初等函数一、基础知识（必会）

1．指数函数及其性质：形如y=ax(a>0, a ≠1)的函数叫做指数函数，其定义域为R ，值域为（0，+∞），当01时，y=ax 为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。

2．分数指数幂：

m n

n n m n

m n n a a a a a a a a 1

,1,,1=

==--。

3．对数函数及其性质：形如y=logax(a>0, a ≠1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），值域为R ，图象过定点（1，0）。当01时，y=logax 为增函数。 4．对数的性质（M>0, N>0）；

1）M a x

= ?x=logaM(a>0, a ≠1)；

2）loga(MN)= loga M+ loga N ；

3）loga （N M

）= loga M- loga N ； 4） M n M a n a log log =

5）loga

M =n 1

loga M ；6）M a M a =log ; 7) loga b=a b c c log log (a,b,c>0, a, c ≠1).

5. 函数)0(>+=a x

x y 的单调递增区间是(

]a -∞-,和

[)+∞,a ，单调递减区间为[)

0,a -

和

(]a ,0。（请同学自己用定义证明）

6．连续函数的性质：若a

根。

高中数学课本回归（2）第一章立体几何初步

一、基础知识（理解去记）

（一）空间几何体的结构特征

（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公

共点叫做顶点。

旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定

直线称为旋转体的轴。

（2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱

1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：

①

????????

→???????→??

???

底面是正多形

棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱

底面为矩形侧棱与底面边长相等

①侧棱都相等，侧面是平行四边形；

②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；

④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。补充知识点长方体的性质：

①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】22

1AC AB AD AA

=++

1.4侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的

以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.5面积、体积公式：

2S c h

S c h S S h

=?=?+=?直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其

中c 为底面周长，h 为棱柱的高）

2.圆柱

2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.

2.2圆柱的性质：

上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.

2.4面积、体积公式：

侧面

母线

S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2

r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高）

3.棱锥

3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有

（如上图：,,,SOB SOH SBH OBH 为直角三角形）3.3侧面展开图：正n 棱锥的侧面展开图是有n 个全等的等腰三角形组成的。 3.4面积、体积公式：S 正棱锥侧=

12ch '，S 正棱锥全=12ch S '+底，V 棱锥=1

S h ?底.（其中c 为底面周长，h '侧面斜高，h 棱锥的高） 4.圆锥

4.1圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

4.2圆锥的性质：

①平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ②轴截面是等腰三角形；如右图：SAB ③如右图：2

l h r =+.

4.3圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。 4.4面积、体积公式：

S 圆锥侧=rl π，S 圆锥全=()r r

l π+，V 圆锥=2

r h π（其中

r 为底面半径，h 为圆锥的高，l 为母线长） 5.棱台

5.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 5.2正棱台的性质：

①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；

②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形；

③ 如右图：四边形`,``O MNO O B BO 都是直角梯形

④棱台经常补成棱锥研究.如右图：`SO M 与SO N ,S`O `B `与SO B 相似，注意考虑相似比. 5.3棱台的表面积、体积公式：S S S 全上底下底＝S ＋＋侧，1S `)3

V S h 棱台＝（，（其中,`S S 是上，下底面面积，h 为棱台的高） 6.圆台

6.1圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 6.2圆台的性质：

①圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆； ②圆台的轴截面是等腰梯形；

③圆台经常补成圆锥来研究。如右图： `SO A SOB 与相似，注意相似比的应用. 6.3圆台的侧面展开图是一个扇环；

6.4圆台的表面积、体积公式：22()S r R R r l πππ+++全＝，

V 圆台221

1S `))33

S h r rR R h πππ++＝（＝（，（其中r ，R 为上下底面半径，h 为高） 7.球

7.1球

——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.

或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球； 7.2球的性质：

①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ②r d 、球的半

径为R 、截面的半径为r ）

注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 7.4R 为球的半径）

（二）空间几何体的三视图与直观图

1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正视图——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”.

（2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。 3.直观图：

3.1直观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 3.2斜二测法：

step1：在已知图形中取互相垂直的轴Ox 、Oy ，（即取90xoy ∠=? ）；

step2：画直观图时，把它画成对应的轴'',''o x o y ，取'''45(135)x o y or ∠=??，它们确定的平面表示水平平面；

step3：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。

解决两种常见的题型时应注意：

（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”. （2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。二点、直线、平面之间的位置关系（一）平面的基本性质

1.平面——无限延展，无边界 1.1三个定理与三个推论

公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。用途：常用于证明直线在平面内.

图形语言：符号语言：

公理2：不共线．．．

的三点确定一个平面. 图形语言：推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言：推论2：两条相交直线确定一个平面. 图形语言：推论3：两条平行直线确定一个平面. 图形语言：用途：用于确定平面。

公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）.

用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.

图形语言：

符号语言：形语言，文字语言，符号语言的转化：

（二）空间图形的位置关系 1.空间直线的位置关系：??

?共面:a b=A,a//b 异面:a与b异面

平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：//,////a b b c a c ? 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；

（2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面

直线。

图形语言：

符号语言：P A

a P A a A a ααα???∈?

???????

与异面 2.直线与平面的位置关系： //l l A l l αααα

???

???????

图形语言：

3.平面与平面的位置关系：αβαβαβ??

????

⊥??

平行：//斜交：=a 相交垂直：

（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）

1.线面平行：

①定义：直线与平面无公共点.

②判定定理：////a b a a b ααα?

??????（线线平行?线面平行）【如图】

③性质定理：////a a a b b α

βαβ?

????=?

（线面平行?线线平行）

【如图】 ④判定或证明线面平行的依据：（i ）定义法（反证）：//l

l αα=??（用于判断）；（ii ）判定定理：

////a b a a b ααα?

??????“线线平行?面面平行”（用于证明）；（iii ）////a a αββα?????

“面面平行?线面

平行”（用于证明）；（4）//b a b a a ααα⊥?

⊥?????

（用于判断）；

2.线面斜交：l A α=

①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线

与该斜线在平面内射影的夹角。【如图】 PO α⊥于O ，则AO 是PA 在平面α内的射影，则PAO ∠就是直线PA 与平面α所成的角。范围：[]0,90θ∈??，注：若//l l αα?或，则直线l 与平面α所成的角为0?；若l α⊥，则直线l 与平面α所成的角为90?。 3.面面平行： ①定义：//α

βαβ=??；

②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述：,,,//,////a b a

b O a b ααααβ?=? 【如下图①】

O b a

O O b a

图① 图②

推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行符号表述：,,,',',//',//'//a b a

b O a b a a b b αβαβ?=?? 【如上图②】

判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：

,//a a αβαβ⊥⊥?.【如右图】

③判定与证明面面平行的依据：（1）定义法；（2）判定定理及推论

（常用）（3）判定2 ④面面平行的性质：（1）

////a a αββα?

????

（面面平行?线面平行）；

（2）////a a b b αβαγβγ?

=???=?

；（面面平行?线线平行）（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等。【如

图】

（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直） 1.线面垂直

①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。符号表述：若任意,a α?都有l a ⊥，且l α?，则l α⊥

②判定定理：,a b a b O l l l a

l b ααα???=??

??⊥??⊥?

⊥??

（线线垂直?线面垂直）

③性质：（1）,l a l a αα⊥??⊥（线面垂直?线线垂直）；（2）,//a b a b αα⊥⊥?；

④证明或判定线面垂直的依据：（1）定义（反证）；（2）判定定理（常用）；（3）//a b b a αα?

?⊥?⊥?

（较

常用）；（4）//a a αββα??⊥?⊥?；（5）a b a a a b

αβββα⊥?

?=?

?⊥???

?⊥?

（面面垂直?线面垂直）常用；

3.3面面垂直

（1）定义：

（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

a a ααββ??

?⊥?⊥?

（线面垂直?面面垂直）（3）性质：①若αβ⊥，二面角的一个平面角为MON ∠，则90MON ∠=?；

②a AB a a a AB

αβββα⊥??=??⊥???

?⊥?

（面面垂直?线面垂直）； ③

A a A a a αβααβ⊥??∈?

???∈?

?⊥?

④

二、基础题型（必懂）

1、概念辨析题：

（1）此题型一般出现在填空题，选择题中，解题方法可采用排除法，筛选法等。

（2）对于判断线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前

提下，利用长方体，正方体，实物等为模型来进行判断。你认为正确的命题需要证明它，你认为错误的命题必须找出反例。

2、证明题。证明平行关系，垂直关系等方面的问题。（1）基础知识网络：

高中数学课本回归（3）直线和圆的方程

一、基础知识（理解去记）

1、直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。

2．直线方程的几种形式：【必会】【必考】

（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)；（3）斜截式：y=kx+b ；（4）截距式：

1=+b

a x ；（5）两点式：

121y y y y x x x x --=

--； 3．平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。且两者不重合，则l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2；l 1⊥l 2

的充要条件是k 1k 2=-1。

//a a a αβααβ⊥?

???⊥?

或

4．两点P 1(x 1, y 1)与P 2(x 2, y 2)间的距离公式：|P 1P 2|=2

21221)()(y y x x -+-。 5．点P(x 0, y 0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：2

00|

A C By Ax d +++=

。

6．直线系的方程：若已知两直线的方程是l 1：A 1x+B 1y+C 1=0与l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，则过l 1, l 2交点的直线方程为A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2=0；由l 1与l 2组成的二次曲线方程为（A 1x+B 1y+C 1）（A 2x+B 2y+C 2）=0；与l 2平行的直线方程为A 1x+B 1y+C=0(1C C ≠).

7．二元一次不等式表示的平面区域，若直线l 方程为Ax+By+C=0. 若B>0，则Ax+By+C>0表示的区域为l 上方的部分，Ax+By+C<0表示的区域为l 下方的部分。 8．解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x 和y 表示；（2）写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。

9．圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为r 的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2， 10．圆的一般方程：x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0)。其圆心为??

??--

2,2E D ，半径为F E D 42

22-+。若点P(x 0, y 0)为圆上一点，则过点P 的切线方程为 .0220000=+???

? ??++???? ??+++F y y E x x D y y x x ① 11.点与圆的位置关系

点00(,)P x y 与圆2

)()(r b

y a x =-+-的位置关系有三种若d =

d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r

13.直线与圆的位置关系

直线0=++C By Ax 与圆2

)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:

0相离r d ;0=???=相切r d ; 0>???<相交r d .其中2

2B A C Bb Aa d +++=

14.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21

条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

条公切线相交22121??+<<-r r d r r ; 条公切线内切121??-=r r d ; 无公切线内含??-<<210r r d .

15.圆的切线方程

(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．

①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是

当00(,)x y 圆外时, 0000()()

022

D x x

E y y x x y y

F ++++

++=表示过两个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，

注意不要漏掉平行于y 轴的切线．

③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．

①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为2

x x y y r +=;

②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±16.直线的方程及其位置关系

（1）直线的倾斜角α的取值范围是。（2）两条直线的夹角α的取值范围是。（3）两个平面的夹角α的取值范围是。 (4) 两个平面的所成的角α的取值范围是。（5）直线与平面所成的角α的取值范围是。（6）两个向量的夹角α的取值范围是。 (7)两异面直线所成的α的取值范围是 .

四．基本方法和数学思想

1.设三角形的三个顶点是A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2)、C （x 3,y 3）,则⊿ABC 的重心G 为（

21321y y y x x x ++++）； 2.直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0与l 2: A 2x+B 2y+C 2=0垂直的充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0； 3.两条平行线Ax+By+C 1=0与 Ax+By+C 2=0的距离是2

221B A C C d +-=；

4.Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件：A=C ≠0且B=0且D 2+E 2－4AF>0；

5.过圆x 2+y 2=r 2上的点M(x 0,y 0)的切线方程为：x 0x+y 0y=r 2;

6.以A(x 1，y 2)、B(x 2,y 2)为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)+(y －y 1)(y －y 2)=0;

回归课本(4)三角函数

一．考试内容：

角的概念的推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线. 同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式.

两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切. 正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数. 函数sin()y x ω?=+的图像.正切函数的图像和性质. 已知三角函数值求角.

正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

二．考试要求：

(1)理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.

(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.掌握同角三角函数的基本关系式.掌握正弦、余弦的诱导公式.了解周期函数与最小正周期的意义.

(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. (4)能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.

(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(鵻+)的简图，理解A,,的物理意义.

(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x 、arccos x 、arctanx 表示. (7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角

【注意】近年的高考题中，三角函数主要考查基础知识、基本技能、基本方法，一般都在选择题与填空题中考查，多为容易或中等难度的题目.其中，同角三角函数的基本公式和诱导公式，三角函数的图像和性质，求三角函数式的值等为考查热点.

三．基础知识:

1.任意角??

??角零角：不做任何旋转的转形成的角负角：按顺时针方向旋

转形成的角正角：按逆时针方向旋

2.与角α终边相同的角的集合{}

k k ∈?+=,360

αβ

3.弧长公式180r n r l πα==；扇形面积公式360

21212

2r n r lr S πα=

==（其中α为圆心角的弧度数，n 为圆

心角的度数）

4、弧度与角度换算：1度＝π/180 弧度 ( ≈0.017453弧度 )； 1弧度＝180°/π （≈57.3°）

1．1.任意角的三角函数

设α是一个任意角，α的终边上任意一点P （x ，y ）与原点的距离是r （r =22y x +＞0），则sin α=

r y ，cos α=r x

，tan α=x

y . 上述三个比值不随点P 在终边上的位置改变而改变. 2.同角三角函数关系式

sin 2α+cos 2α=1（平方关系）； α

cos sin =tan α（商数关系）； tan αcot α=1（倒数关系）.

3.正弦、余弦的诱导公式

2(1)sin ,sin()2(1)s ,

n n co απαα-?

-?+=??-?

2(1)s ,s()2(1)sin ,

n co n co απαα+?

-?+=??-?

4.和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.

sin cos a b αα+

)α?+(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b

). 5.二倍角公式 sin 2sin cos ααα=.

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.

22tan tan 21tan α

αα

=-.

7.三角函数的周期公式

函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)

的周期2T π

=；函数tan()y x ω?=+，,2

x k k Z π

π≠+

∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周

期T π

. 2

三．三角函数的基本性质

1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

2．三角函数的单调区间

x y sin =的递增区间是??????+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是?????

++23222ππππk k ，)(Z k ∈；

x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，

y tanx =的递增区间是??? ?

+-22ππππk k ，)(Z k ∈，

3.函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA

最大值是B A +，最小值是A B -，A 叫振幅，周期是ω

T ，频率是π

f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2

Z k k x ∈+=+π

π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该

图象的对称中心。

8.正弦定理

2sin sin sin a b c

R A

B C

===. 9.余弦定理

2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.

10.面积定理

（1）111

222a b c S ah bh ch =

==（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111

sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.

(3)OAB S ?=11.三角形内角和定理

在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+

222

C A B π+?

=-222()C A B π?=-+. 12.三角形中的诱导公式

在△ABC 中sin()sin ,cos() -cos ,tan() -tan A B C A B C A B C +=+=+=

sin

cos 22A B C += 2s i n 2c o s C B A =+ t a n c o t 22A B C

+= tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=??

四．基本方法和数学思想

1.三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦；

2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；

3.记住同角三角函数的基本关系，熟练掌握三角函数的定义、图像、性质；

4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于1800，一般用正余弦定理实施边角互化；

5.正弦型函数)sin(φω+=x A y 的对称轴为)(2

Z k k x ∈-+

=ω

π；对称中心))(0,(Z k k ∈-ω

π；类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心；

6.（1）正弦平方差公式：sin 2A －sin 2B=sin(A+B)sin(A －B);（2）三角形的内切圆半径r=c

b a S ABC ++?2；

（3）三角形的外接圆直径2R=

;sin sin sin C

c B b A a == 高中数学课本回归（5）复数

1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=. ⑵复数及其相关概念：

① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）； ② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ； ③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ；

④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i.

⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示. ⑶两个复数相等的定义：

00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.

注：①若21,z z 为复数，则 1若021 z z +，则21z z - .（×）[21,z z 为复数，而不是实数]

2若21z z ，则021 z z -.（√）

②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-， 0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）

2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.

其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离. 4 ⑴①复数的乘方：)(...+∈??=N n z z z z z n

②对任何z ，21,z z C ∈及+∈N n m ,有

③n

n n n m n m n m n m z z z z z z z z z 2121)(,)(,?=?==??+

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142=-=i i 若由

11)

121

42===

i i 就会得到11=-的错误结论.

②在实数集成立的2||x x =. 当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平方法. ⑵常用的结论：

1,,1,,143424142=-=-==-=+++n n n n i i i i i i i

)(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++

i i

i i i i i -=+-=-+±=±11,11,

2)1(2 5. ⑴复数z 是实数及纯虚数的充要条件：

①z z R z =?∈.

②若0≠z ，z 是纯虚数0=+?z z . ⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零. 注：||||z z =.

回归课本(6)导数

一．基础知识:

1.)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）

000000()()()lim lim x x x x f x x f x y

f x y x x

=?→?→+?-?''===??.

2.瞬时速度

00()()()lim

lim t t s s t t s t s t t t

υ?→?→?+?-'===??.

3.瞬时加速度

00()()

()lim

lim t t v v t t v t a v t t t

?→?→?+?-'===??.

4.)(x f 在),(b a 的导数

()dy df f x y dx dx ''===00()()

lim lim x x y f x x f x x x

?→?→?+?-==??.

5. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的

切线方程是))((000x x x f y y -'=-.

6.几种常见函数的导数

(1) 0='C （C 为常数）. (2) '1()()n n x nx n Q -=∈. (3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln =

'；e a x x

a log 1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a x

x ln )(='. 7.导数的运算法则

（1）'

()u v u v ±=±.（2）'

()uv u v uv =+.

（3）''

()(0)u u v uv v v v

-=≠.

8.复合函数的求导法则

设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数

''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''

x u x

y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=.

10.判别)(0x f 是极大（小）值的方法当函数)(x f 在点0x 处连续时，（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值；（2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值. 二．基本方法和数学思想

1.导数的定义：f(x)在点x 0处的导数记作x

x f x x f x f y x x x ?-?+='='

→?=)()(lim

)(000

；

2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：（1）求函数的增量

（2）);()(x f x x f y -?+=?(2)求平均变化率x x f x x f x y ?-?+=

??)

()(; （3）取极限,得导数x

y x f x ??='→?0lim )(;

3.可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x 0处可导，那么函数y=f(x)在点x 0处连续；但是y=f(x)在点x 0处连续却不一定可导；

4.导数的几何意义：曲线y ＝f （x ）在点P （x 0,f(x 0)）处的切线的斜率是).(0x f '相应地，切线方程是

);)((000x x x f y y -'=-

5.导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f （x ）在某个区间内可导，如果,0)(>'x f 那么f(x)为增函数；如果,0)(<'x f 那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有,0)(='x f 那么f(x)为常数；

（2）求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根；③检验)(x f '在方程

0)(='x f 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，

那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；

（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f （a ）、f （b ）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值 6导数与函数的单调性的关系

㈠0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。

0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。如函数3

)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但

0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。

㈡0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。

若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。

㈢0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。

)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。∴0

)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。

函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。

高中数学课本回归（7）不等式

2.解不等式 (1)一元一次不等式

1、基本不等式定理

????

???????

?????????????????-≤+?<≥+?>≥+

???

?+≤

+≥+??

????????

?+≤??? ??+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a

1a 0a b ,a (2b a

a b )b a (2b a ab 2

b a 2b a ab 2b a ab )b a (2

1b a ab 2b a 222222

222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形式????

?<<>>

≠>)0a (a

x )0a (a b

x )0a (b ax

(2)一元二次不等式： (3)解分式不等式：

(4)解含参数的不等式：

注:解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有：

1、讨论a 与0的大小；

2、讨论⊿与0的大小；

3、讨论两根的大小；

(5)一元二次方程根的分布问题：

方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、区间端点的函数值四个角度列出不等式组

(6)解线性规划问题的一般步骤：

第一步：在平面直角坐标系中作出可行域（注意直线的虚实）；第二步：找到目标函数的几何意义（截距、斜率、圆的半径）第三步：在可行域内找到最优解所对应的点；

第四步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。

高中数学课本回归（8）数列

1、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。数列中的每一个数都叫做这个数列的

项。数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，如果数列{}a n 的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。数列的通项公式也就是相应函数的解析式。.

递推关系式：已知数列{}a n 的第一项（或前几项），且任何一项a n 与它的前一项a n 1-（前n 项）间的

关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。

数列的分类：①按项数多少，分为有穷数列、无穷数列；

②按项的增减，分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。 ③按项有无界限，分为有界数列、无界数列。数列的前n 项和：

a a a a s n n ++++=...321.

已知s n 求a n 的方法（只有一种）：即利用公式 a n =?????≥=--)

2(,)

1(,11

n n s s s n n

注意：一定不要忘记对n 取值

的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n ≥2的关系式，从而决定能否将其合并。

2.等差数列的有关概念：

1、等差数列的定义：如果数列{}

a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个

数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即

)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或

)*(1N n d a a n n ∈=-+).

（1）等差数列的判断方法：①定义法：)(1常数d a a n n =-+?{}a n 为等差数列。

② 中项法： a a a n n n 212+++=?{}a n 为等差数列。③通项公式法：b an a n +=（a,b 为常数）?{}

a n 为等差数列。④前n 项和公式法：Bn n A s n +=2（A,B 为常数）?{}a n 为等差数列。如设{}n a 是等差数列，求证：以

b n =

a a a n

+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。

（2）等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。公式变形为:b an a n +=. 其中

a=d, b= a 1－d.

（3）等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2

n n n S na d -=+。公式变形为：Bn n A s n +=2，

其中A=d

，B=2

d a -.注意：已知n,d, a 1,a n , s n 中的三者可以求另两者，即所谓的“知三求

二”。

（4）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2

a b

A +=

。提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）

3.等差数列的性质：

（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222

n n n d d

S na d n a n -=+

=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. ??????????≠≤??≤>??>0)x (g 0)x (g )x (f 0)

x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g )

x (f

（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（3）对称性：若{}a n 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当

m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.

(4) 项数成等差,则相应的项也成等差数列.即),,...(,,*2N m k a a a m k m k k ∈++成等差.若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、

232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列，