平行线分线段成比例定理(基本图形的整理)

平行线分线段成比例定理（A 型图、8型图）

1. 平行线分线段成比例定理

如右图，已知1l ∥2l ∥3l ，判断下列比例式的正误：

①、EF DE =BC AB .( )； ②、EF

BC

=DE AB .( )； ③、

BC DE =EF AB .( )； ④、DE

EF =BC AB .( )； ⑤、

DF DE =AC AB .( )； ⑥、BC AC =EF DF .( )； ⑦、DF

BC =AC EF .( )； ⑧、AB DF =DE AC .( )； ⑨、BC EF =AC DF .( )； ⑩、AB

DE

=EF BC .( )；

2. 平行线分线段成比例定理的推论(一)：涉及A 型图、8型图的性质 ①、在⊿ABC （左图：A 型图）中，如果DE BC ∥，则可得到：

()(

)(

)

AE

DE

=

=

AD

即：小三角形的三边与大三角形的三边 。

②、在⊿ABC （右图：8型图）中，如果DE BC ∥，则可得到：

(

)()(

)()()

==AE

即：小三角形的三边与大三角形的三边 。

3. 平行线分线段成比例定理的推论(二)：也是三角形中位线定理的推论

①、文字语言表述：经过三角形一边的中点，且平

行于另一边的直线，一定恰好平分第三边。 ②、符号语言表述：已知在⊿ABC 中，AD=BD ， DE ∥BC.求证：AE=CE.

③、解读：第三边是指 ，第一边应指 ，

l 3

l 2l 1F

E D C

B A A

B

C

D E E D

C B

A

E D C B A

第二边应指 .知道为什么吗？ ④、证明：∵DE BC ∥，∴

()()

=BD

AD

又∵ ，∴ .

4.复习三角形的中位线定理

①、三角形的中位线定义：连接 的线段，叫三角形的中位线.

②、三角形的中位线定理：三角形的中位线 于第三边，并且 .

③、符号语言表述：在⊿ABC 中，如果已知AD=BD ， AE=CE ，那么一定可以得到： .

5. 判定两线平行的两类方法

①、老方法：由角关系得线平行.

（1）、同位角相等，二直线 ；

（2）、 ，二直线平行； （3）、 ，二直线平行； （Ⅰ）、左图：∵∠=∠ADE ，

∴DE BC ∥.(理由： ). （Ⅱ）、右图：∵∠=∠ADE ，

∴DE BC ∥.(理由： ). （Ⅲ）、左图：∵ο180=∠+∠B ，

∴DE BC ∥.(理由： ). （Ⅳ）、右图：∵ο180=∠

+∠的领补角B ，

∴DE BC ∥.(理由： ).

②、新方法：由比例式得线平行.

技巧：在A 型图、8型图中，由“上、下、全”对应成比例的任一组比例式都可直接得出平行。书写格式： （1）、左图：∵

()

()

=BD AD

，∴DE BC ∥. （2）、右图：∵

()

()=BD AD

，

∴DE BC ∥. （3）、左图：∵

()

()

=AC AE

，∴DE BC ∥. （4）、右图：∵

()

(

)=AC

AE

，

∴DE BC ∥. E

D

C B A

A B C D E E D C B

A

平行线分线段成比例定理基础练习

第二课时：《平行线分线段成比例》练习 1．判断题 （1）三条平行线截两条直线，所得的线段成比例（ ） （2）一条直线交△ABC 的边AB 于点D ，交AC 边于点E ，如果 AB ＝9，BD ＝5，AC ＝3.5，AE ＝2，那么DE ∥BC ．（ ） （3）如图1，321////l l l ，则BF AE DF CE BD AC ==（ ） （4）如图2，在△ABC 中，DE ∥BC ，则BC DE EC AE DB AD ==（ ） 2．选择题 （1）如图3，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，下列 不能成立的比例式一定是（ ） A ． EC AE DB AD = B ．AE AC AD AB = C ．DB EC AB AC = D ．BC DE DB AD = （2）如图4，E 是□ABCD 的边CD 上一点，CD CE 3 1 =，AD ＝12，那么CF 的长为（ ） A ．4 B ．6 C ．3 D ．12 （3）如图5，□ABCD ，E 在CD 延长线上，AB ＝10，DE ＝5，EF ＝6，则BF 的长为（ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．16 （4）如图6，在ABC 中，AB=3AD, DE//BC, EF//AB, 若AB=9, DE=2, 则线段FC 的长度是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 （5）如图3，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ， 若AD=4，DB=2，则AE ︰EC 的值为（ ） （A ）0.5 （B ）2 （C ）32 （D ）2 3 3．填空题 （1）如图8， 则 ＝________， ＝________； （2）如图9，321////l l l ，AM ＝2，MB ＝3， CD ＝4.5，则ND ＝________，CN ＝________； （3）如图10，D 、E 分别为AB 的三等分点，DF ∥EG ∥BC ，若BC ＝12，则DF ＝___ ___， EG ＝________； （4）如图11，△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝2∶3，DB -AD ＝3，则AD ＝________， DB ＝________； 4．如图， 已知△ABC 中AB=AC ，AD ⊥BC ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ， DN ∥CP 交AB 于N ，若AB=6cm ，求AP 的值. 5、如图：P 是四边形OACB 对角线的任意一点，且PM ∥CB ，PN ∥CA ， 求证：OA ：AN=OB ：MB 6、如图，△ABC 中，AF ∶FD ＝1∶5，BD ＝DC ，求：AE ∶EC ． 21//l l DE AD AC AB 图6 B A C F D E 图7 E D C B A 图1 图2 图3 图4 图5 图11 图10 图9 图8

平行线分线段成比例教案

1 / 5 l1 l2 l3m n F E D C B A 23.1.2 平行线分线段成比例 （新授课 1课时） 一、教学内容： ① 平行线等分线段定理； ② 平行线分线段成比例定理； ③ 平行线分线段成比例推论. 二、教学目标： 1、 知识与技能：掌握平行线分线段成比例的基本定理及推论，并能用其解题； 2、 过程与方法：掌握基本定理的推导过程并能以之解题； 3、 情感态度和价值观：培养认识事物从一般到特殊的认知过程，培养欣赏数学表达式 的对称美。 三、教学重、难点： 1、 重点：平行线分线段成比例定理、推论及应用； 2、 难点：定理的推导证明。 四、教具：普通教室/多媒体计算机/三角板 五、教法：讲练结合法 六、教学过程： 活动一：复习旧课 成比例线段： a) 概念，强调顺序性：(比例式：a:b=c:d,等积式：ad=bc) b) 比例的性质： 基本性质：a c ad bc b d =?= 合比性质：a b c d b d ++= 分比性质：a b c d b d --= 合分比性质：a b c d a b c d ++=-- 等比性质： 123123123123 123(0)k k k k k a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b ++++==== =++++≠+++ + 活动二：创设情境，引入新课 问题1：一组等距离的平行线截得直线m 所得的线段相等，那么在直线n 上所截得的线段有什么关系呢？ 即：已知l 1∥l 2∥l 3 AB=BC 求DE 与EF 的关系 （DE=EF ） 推导见右图 （平移m 证全等） l1l2l3m n m'C'(B') A'F E D C B A

平行线分线段成比例教案

l1 l2 l3m n F E D C B A 23.1.2 平行线分线段成比例 （新授课 1课时） 一、教学内容： ① 平行线等分线段定理； ② 平行线分线段成比例定理； ③ 平行线分线段成比例推论. 二、教学目标： 1、 知识与技能：掌握平行线分线段成比例的基本定理及推论，并能用其解题； 2、 过程与方法：掌握基本定理的推导过程并能以之解题； 3、 情感态度和价值观：培养认识事物从一般到特殊的认知过程，培养欣赏数学表达式 的对称美。 三、教学重、难点： 1、 重点：平行线分线段成比例定理、推论及应用； 2、 难点：定理的推导证明。 四、教具：普通教室/多媒体计算机/三角板 五、教法：讲练结合法 六、教学过程： 活动一：复习旧课 成比例线段： a) 概念，强调顺序性：(比例式：a:b=c:d,等积式：ad=bc) b) 比例的性质： 基本性质：a c ad bc b d =?= 合比性质：a b c d b d ++= 分比性质：a b c d b d --= 合分比性质：a b c d a b c d ++=-- 等比性质： 123123123123 123(0)k k k k k a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b ++++==== =++++≠+++ + 活动二：创设情境，引入新课 问题1：一组等距离的平行线截得直线m 所得的线段相等，那么在直线n 上所截得的线段有什么关系呢 即：已知l 1∥l 2∥l 3 AB=BC 求DE 与EF 的关系 （DE=EF ） 推导见右图 （平移m 证全等） （引导得）结论：一组等距离的平行线在直线m 上所截得的线段相等，那么在直线n 所截得的线段也相等（平行线等分线段定理）。 那如果所截得的线段不等呢这就是我们今天要研究的内容；平行线分线段成比例定理. 活动三：分析探索，新知学习 问题2：已知l 1∥l 2∥l 3∥l 4 AB=BC=CD,可知EF=FG=GH ，那么擦出其中1条如l 3后有何结论 l1l2l3m n m'C'(B') A'F E D C B A

初数学平行线分线段成比例定理

初数学平行线分线段成比例定理

初二数学 【教学进度】 几何第二册第五章§5.2 [教学内容] 平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析] 一、主要知识点 1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 二、重点剖析 1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。 定理的基本图形

∵l 1∥l 2∥l 3 ∴EF BC DE AB DE AB = == 应。 ② 为了强调对应和记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式： EF DE BC AB = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DE AC AB = ， 可以说成“上比全等于上比全” DF EF AC BC = ， 可以说成“下比全等于下比全”等 L L L 图1-（1） C F A B E D F C 图1-（2）3 E D 12B A F 3 L C 图1-（3） 2L L 1B E A 图1-（4） F L 3 C L 2L 1B D A 3 L 2L L 1(D)(E)

平行线分线段成比例定理(一)

[文件] sxc2jja0013.doc [科目] 数学 [年级] 初二 [章节] [关键词] 平行线分线段成比例 [标题] 平行线分线段成比例定理(一) [内容] 教学目标 1.理解平行线分线段成比例定理，并能初步应用它进行简单的计算. 2.培养学生类比联想及用运动的思维方式看待问题的能力. 教学重点和难点 平行线分线段成比例定理及应用. 教学过程设计 一、类比联想、发现定理 1.复习平地线等分线段定理的内容及数学表达式，如图5-13. ∵l 1//l 2//l 3，AB=BC ， ∴EF=FG. 2.将上述命题改写成比例的形式. ∵l 1//l 2//l 3//l 4，AB:BC=1:1， ∴EF:FG=1:1，则有 1==FG EF BC AB 3.运用类比方式将比值从1推广到正实数m 得出猜想. 教师启发学生思考： 在图5-13中，l 1//l 2//l 3//l 4，AB=BC=CD ，1,1≠≠BD AB CD AC ，那么还有类似比例式成立吗? 学生可从图中看出 2 1,12====FH EF BD AB GH EG CD AC ，猜想推广应成立.

4.举例进一步验证猜想. 教师可再举出图5-14中，AB BC 等于其它更一般的实数的两个例子，来进一步验证猜想. 5.(选)用面积法证明猜想. 对于学生程度较好的班级，教师可用三角形面积公式来严格证明猜想成立，具体做法见设计 说明. 二、用运动的观点深刻认识定理的内容 1.让学生归纳以上情况，并用语言准确叙述定理内容，以及画图写出部分数学表达式. 2.教师强调“对应”的含义，并介绍结合图形形象记忆的方法，如： 右全 左全右下 左下右上 左上右全 右下左全 左下右全 右上左全 左上右下 右上右下 左上=====,,, 3.用运动的观点识别定理的各种变式图形中的比例线段.(见图5-15，不断平移DF) 强调由平行线分线段成比例定理所得比例式中，四条线段与平行直线和被截 两直线的交点位置无关，尤其是图5-15(a)中的M 点，图5-15(c)的N 点. 三、应用举例、变式练习 例1 已知：如图5-16，l 1//l 2//l 3. (1)AB=3，DE=2，EF=4，求BC ； (2)AC=8，DE=2，EF=3，求AB.

(完整版)初数学平行线分线段成比例定理

初二数学 【教学进度】 几何第二册第五章 §5.2 [教学内容] 平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析] 一、主要知识点 1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 二、重点剖析 1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比 EF BC = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DE AC AB = ， 可以说成“上比全等于上比全” DF EF AC BC = ， 可以说成“下比全等于下比全”等 2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形

又∵ 43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴7 3 =DC EG 极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则 ∵ 32=DC BD ∴ DB=x x DC 3 14 73232=?= ∴9 14 3314==x x EG BD

例3 分析 BC//FE 证明：∵则例4 分别连结E ，DB 首先观察证明：∵点评 （1（3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可 例5 如图9，,,,C B A '''分别在△ABC 的三边BC 、AC 、AB 或其延长线上，且C C B B A A '''//// 求证：C C B B A A '='+'111 分析 所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题， 一般情况下，要将其转化为线段比的形式。 证明：∵A A C C ''// ∴ BA C B A A C C '='' ∵B B C C ''// ∴B B C C ='' ∴1='+'='+'=''+''AB C A C B AB C A BA C B B B C C A A C C ∴B B A A '+'11

平行线分线段成比例及相似多边形—知识讲解

平行线分线段成比例及相似多边形 责编：常春芳 【学习目标】 1. 平行线分线段成比例及其推论. 2. 平行线分线段成比例及其推论的应用. 3.相似多边形的有关概念. 【要点梳理】 要点一、平行线分线段成比例及其推论 平行线分线段成比例，一般地，有如下基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 要点诠释： (1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 右全 左全右上左上全上全上下上下上===,,等等. （2）有推论可以得出以下结论： 要点二、行线分线段成比例及其推论的应用 行线分线段成比例及其推论的应用主要是来求线段的长度. 要点三、相似多边形的有关概念 相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”，读作“相似于”. 相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比. 要点诠释： （1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； （2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等. （3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． 【典型例题】 类型一、平行线分线段成比例及其推论 1、如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC= 13 AC ，DE=4，那么EF 的值是__________.

【思路点拨】根据BC=1 3 AC可得 2 1 AB BC =，再根据条件AD∥BE∥CF，可得 AB DE BC EF =，再把DE=4代入可得EF的值．【答案】2. 【解析】 解：∵BC=1 3 AC， ∴ 2 1 AB BC =， ∵AD∥BE∥CF， ∴AB DE BC EF =， ∵DE=4， ∴ 4 EF =2， ∴EF=2． 故答案为：2． 【总结升华】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 2、（2015?安庆一模）如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长． 【思路点拨】根据PQ∥BC可得，进而得出，再解答即可． 【答案与解析】 解：∵PQ∥BC， ∴=， ∴，

4.2 平行线分线段成比例教学设计

第四章图形的相似 2．平行线分线段成比例 山东省青岛市第六十四中学杨波 一、学生知识状况分析 学生在本章前两课时的学习中，通过对相似图形的直观感知，体会到可以用对应线段长度的比来描述两个形状相同的平面图形的大小关系。从而认识了线段的比，成比例线段。通过对方格纸中成比例线段的探究，了解了合比性质与等比性质，并在探究活动中积累了一定的合作交流的经验，培养了提出问题与解决问题的能力。同时学生通过对合比性质与等比性质的演绎证明，也进一步发展了逻辑推理能力。 二、教学任务分析 本节课依旧采用前两节在方格纸中探究的方式，引导学生得出平行线分线段成比例及其推论。平行线分线段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理论，是《课程标准》图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一。在知识技能方面，要求学生理解并掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用。学生经历运用平行线分线段成比例及其推论解决问题的过程，在观察、计算、讨论、推理等活动获取知识。让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 教学目标： （一）知识目标 理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。 （二）能力目标 通过应用，培养识图能力和推理论证能力。 （三）情感与价值观目标 （1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。

（2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。 教学重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。 教学难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习设疑，引入新课；第二环节：探索发现平行线分线段成比例定理及其推论；第三环节：平行线分线段成比例定理及其推论的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业． 第一环节：复习设疑，引入新课 内容：教师提问： （1）什么是成比例线段？ （2）你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3？ 目的：（1）复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线段性质的过程。（2）通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望。 效果：学生对不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3，这一问题很感兴趣，急切想要知道解决办法。 第二环节：小组活动，探究定理 1. 探究活动一： 内容：如图（1）小方格的边长都是1，直线a ∥b∥ c ,分别交直线m,n 于 A 1，A 2 ，A 3 ，B 1 ，B 2 ，B 3 。

第2课_平行线分线段成比例定理及其推论

l l （1）平行线分线段成比例定理及其推论 学习目标： 1．在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理，并会灵活应用． 2．在巩固平行线等分线段定理的基础上掌握其推论及推论的应用． 新课学习： 一、探究 1．如图，线段BE 为梯形ACFD 的中位线， 由此可知：①l 3 l 4 l 5； ②∵ =BC AB ( )，=EF DE ( ) ∴ BC AB EF DE ；（填“＝”或“≠” ） 2．如图，线段BE 不再是梯形ACFD 的中位线，而直线 AB ＝m ，BC ＝n ， 由此可知： =BC AB ( ) 猜想：=EF DE ( )， 也就是我们认为：BC AB EF DE ； 3．总结： 如图2，∵l 3∥l 4∥l 5 ∴ =BC AB ( )，=AB BC ( )，=AC AB ( )， =AB AC ( )，=AC BC ( )，=BC AC ( )； l 梯形延伸 图1 图2

为了便于记忆，上述的6个比例式，可用以下简单的形象化语言叙述： 下 上＝下上，上下＝上下，全上＝全上，上全＝上全，全下＝ 全下，全全＝下下 二、例题学习 例1，如图，l 1∥l 2∥l 3，AB ＝2，DE ＝3，EF ＝6，求BC . 解：∵l 1∥l 2∥l 3 ∴) () () (=BC ) () () (=BC (代入数据) ∴BC ＝ 即学即练： 1．如图，l 1∥l 2∥l 3，请你写出一个正确的比例式，可以是 . 2．如图，l 1∥l 2∥l 3，AB ＝5，BC ＝2，EF ＝3，则DF ＝ . 三、推论 1．观察下图变形后填空： 在图3和图4中，都有 = AB ( )，……； 令A 、D 两点重合 令B 、E 两点重合 将有关 线擦掉 将有关 线擦掉 BE ∥CF ，BE 截 、AF 两边） （AD ∥CF ，AD 截CB 、FB 两边的延长线） 图3 图4

比例的基本性质 平行线分线段成比例

数学辅导11： 比例的基本性质 一、知识点： 1. 成比例线段：线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d c b a =，那么这四条线段a ，b ，c ， d 叫做成比例线段，简称比例线段. 2. 比例的性质： （1如果d c b a =，那么bc ad =；如果bc ad =(a ，b ，c ，d 都不为0)，那么d c b a =. （2如果 d c b a =，那么c d a b =. （3如果d c b a =，那么d b c a =. （4如果d c b a =，那么d d c b b a +=+，d d c b b a -=-,d c d c b a b a +-=+-. （5如果)0(≠+++===n d b n m d c b a ΛΛ，那么 b a n d b m c a =++++++ΛΛ. 二、典型例题： （1）已知71=-a b a ，则b a 的值为___________________.已知38=+y y x ，则y x =_______________. 已知32=b a ，则=+b b a _________，b b a -=______________. （2）已知)0(53≠+==d b d c b a ，则d b c a ++的值为____________. 已知572 c b a ==，则a c b a -+=______________. 已知75== d c b a ，那么d b c a 3232--=_____________. （3）在△ABC 与△DEF 中，若4 3===FD CA EF BC DE AB ，且△ABC 的周长为36cm ，则△DEF 的周长为______. （4）已知5 43c b a ==，且6=-+c b a ，则a =__________. （5）如果d c b a =（0≠+b a ，0≠+d c ），那么c d c a b a +=+成立吗？请说明理由. （6）已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中cm a 3=，cm b 2=，cm c 6=，则线段d =___________. （7）已知2:4:3::=c b a ，且182=-+c b a ，求c b a 23+-的值.

【教学设计】平行线分线段成比例的基本事实

平行线分线段成比例的基本事实 一、学生知识状况分析 学生在本章前两课时的学习中，通过对相似图形的直观感知，体会到可以用对应线段长度的比来描述两个形状相同的平面图形的大小关系。从而认识了线段的比，成比例线段。通过对方格纸中成比例线段的探究，了解了合比性质与等比性质，并在探究活动中积累了一定的合作交流的经验，培养了提出问题与解决问题的能力。同时学生通过对合比性质与等比性质的演绎证明，也进一步发展了逻辑推理能力。 二、教学任务分析 本节课依旧采用前两节在方格纸中探究的方式，引导学生得出平行线分线段成比例及其推论。平行线分线段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理论，是《课程标准》图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一。在知识技能方面，要求学生理解并掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用。学生经历运用平行线分线段成比例及其推论解决问题的过程，在观察、计算、讨论、推理等活动获取知识。让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 教学目标： （一）知识目标 理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。 （二）能力目标 通过应用，培养识图能力和推理论证能力。 （三）情感与价值观目标 （1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。 （2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。 教学重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。 教学难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习设疑，引入新课；第二环节：探索发现平行线分线段成比例定理及其推论；第三环节：平行线分线段成比例定理及其推论的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业．

初数学平行线分线段成比例定理

初数学平行线分线段成 比例定理 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

初二数学 【教学进度】 几何第二册第五章 § [教学内容] 平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析] 一、 主要知识点 1． 平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 2． 三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 3． 三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4． 三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 二、 重点剖析 1． 平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。 EF DE BC AB = ， 可以说成“上比下等于上比下” DF DE AC AB = ， 可以说成“上比全等于上比全” DF EF AC BC = ， 可以说成“下比全等于下比全”等 2． 三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形

解：过E 作EG ∥BC 交AD 于G ，则在△ADC 中，AC AE DC GE =

又∵ 43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴7 3 =DC EG 极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则 ∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 3 14 73232=?= ∴9 14 3314==x x EG BD B B C C ' '//AB C A B B C C '=''1='+'='+'=''+''AB C A C B AB C A BA C B B B C C A A C C C C B B A A ' ='+'1 11C C B B A A ' ='+'1 111=''+''B B C C A A C C 1==AD BF BC DE AD =CB DB =1=-=-DE DB AD BC 1=-AD BC FC BF =CE FC AE EN =EM BF =射线AM 2. 在AM 3. 连结BE

平行线分线段成比例教案

l1 l2 l3m n F E D C B A 23.1.2 平行线分线段成比例 （新授课 1课时） 一、教学内容： ① 平行线等分线段定理； ② 平行线分线段成比例定理； ③ 平行线分线段成比例推论. 二、教学目标： 1、 知识与技能：掌握平行线分线段成比例的基本定理及推论，并能用其解题； 2、 过程与方法：掌握基本定理的推导过程并能以之解题； 3、 情感态度和价值观：培养认识事物从一般到特殊的认知过程，培养欣赏数学表达式 的对称美。 三、教学重、难点： 1、 重点：平行线分线段成比例定理、推论及应用； 2、 难点：定理的推导证明。 四、教具：普通教室/多媒体计算机/三角板 五、教法：讲练结合法 六、教学过程： 活动一：复习旧课 成比例线段： a) 概念，强调顺序性：(比例式：a:b=c:d,等积式：ad=bc) b) 比例的性质： 基本性质：a c ad bc b d =?= 合比性质：a b c d b d ++= 分比性质：a b c d b d --= 合分比性质：a b c d a b c d ++=-- 等比性质： 123123123123 123(0)k k k k k a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b ++++==== =++++≠+++ + 活动二：创设情境，引入新课 问题1：一组等距离的平行线截得直线m 所得的线段相等，那么在直线n 上所截得的线段有什么关系呢？ 即：已知l 1∥l 2∥l 3 AB=BC 求DE 与EF 的关系 （DE=EF ） 推导见右图 （平移m 证全等） l1l2l3m n m'C'(B') A'F E D C B A

平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)92487

平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理及其推论 1. 平行线分线段成比例定理 如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则 BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC DE DF = . l 3 l 2l 1F E D C B A 2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则 AD AE DE AB AC BC == A B C D E E D C B A 3. 平行的判定定理：如上图，如果有 BC DE AC AE AB AD = =，那么DE ∥ BC 。 专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。 E D C B A 【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：1 11c a b =+.

F E D C B A 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和 BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明： 111 AB CD EF += . F E D C B A 【巩固】如图，找出ABD S ?、BED S ?、BCD S ?之间的关系，并证明你的结论. F E D C B A 【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。 O F E D C B A 【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

平行线分线段成比例-- 知识讲解

平行线分线段成比例----知识讲解 【学习目标】 1、掌握平行线分线段成比例定理和三角形一边平行线的性质与判定定理，并会灵活应用. 2、经历运用类比思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学思考的策略. 3. 认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学表达式的对称美. 【要点梳理】 要点一、一组等距离的平行线截直线 两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 当 l 1∥l 2∥l 3，AB=BC 时，则有DE=EF . 要点诠释： 常用的比例式: AB DE BC EF = A B D E A C D F = B C E F A B D E = BC EF AC DE = 要点二、一组不等距的平行线截直线 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.简称为平行线分线段成比例. 要点诠释：当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广. 要点三、平行于三角形一边的直线的性质 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例. 要点诠释： (1)主要的基本图形：分A 型和X 型；

A 型 X 型 （2）常用的比例式：,,AD AE AD AE DB EC DB EC AB AC AB AC ===. 【典型例题】 类型一、三角形一边的平行线性质定理 CD EF C .BO OE D.BC BE 【答案】D. BC BE =. 【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． 举一反三 【变式】如图,在⊿ABC, DG ∥EC, EG ∥BC,求证:2AE AB AD =? 【答案】∵DG ∥EC,∴AD AG AE AC =, ∵EG ∥BC,∴AE AG AB AC =, B C

平行线分线段成比例教案

平行线分线段成比例 一、学生知识状况分析 学生在本章前两课时的学习中，通过对相似图形的直观感知，体会到可以用对应线段长度的比来描述两个形状相同的平面图形的大小关系。从而认识了线段的比，成比例线段。通过对方格纸中成比例线段的探究，了解了合比性质与等比性质，并在探究活动中积累了一定的合作交流的经验，培养了提出问题与解决问题的能力。同时学生通过对合比性质与等比性质的演绎证明，也进一步发展了逻辑推理能力。 二、教学任务分析 本节课依旧采用前两节在方格纸中探究的方式，引导学生得出平行线分线段成比例及其推论。平行线分线段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理论，是《课程标准》图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一。在知识技能方面，要求学生理解并掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用。学生经历运用平行线分线段成比例及其推论解决问题的过程，在观察、计算、讨论、推理等活动获取知识。让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 教学目标： （一）知识目标 理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。 （二）能力目标 通过应用，培养识图能力和推理论证能力。 （三）情感与价值观目标 （1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值。 （2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的习惯。

教学重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。 教学难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比例定理的变式。 三、教学过程分析 本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习设疑，引入新课；第二环节：探索发现平行线分线段成比例定理及其推论；第三环节：平行线分线段成比例定理及其推论的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业． 第一环节：复习设疑，引入新课 内容：教师提问： （1）什么是成比例线段 （2）你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3 目的：（1）复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线段性质的过程。（2）通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望。 效果：学生对不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2:3，这一问题很感兴趣，急切想要知道解决办法。 第二环节：小组活动，探究定理 1. 探究活动一： 内容：如图（1）小方格的边长都是1，直线 a ∥b∥ c ,分别交直线m,n 于 A 1，A 2 ，A 3 ，B 1 ，B 2 ，B 3 。

平行线分线段成比例小结

平行线分线段成比例小结 1. 形状相同的两个图形称为相似图形，相似的图形形状相同，大小不一定相同 2. 识别相似的多边形：①对应角相等②对应边成比例 如有一个角是100°的两个等腰三角形（一定相似）；有一个角是89°的两个等腰三角形（不一定相似） 3. 图形的运动：三种运动：平移、旋转、翻折 4. 图形的放缩运动：图形的放大与缩小 5. 成比例线段：a ：b=c ：d （b ≠0，d ≠0）（或 d c b a =） a,d 为外项，b ， c 为内项 成比例线段的性质：①ad=bc ②d d c b b a ±=±（合比性质） ③等比的性质)0...( (2122) 11≠+++===n n n b b b b a b a b a 6. 当b ：a=c ：b 或a ：b=b:c(或b 2=ac)则b 叫做a ，c 的比例中项 7. 如果d 是a ，b ，c 的第四比例项，则满足a ：b=c ：d 8. 点P 是线段AB 的黄金分割点,AP>BP ① 2 1 5-= AB AP ②AP 2=AB.BP DE ∥BC 推出 AC CE AB BD BC DE AC AE AB AD EC AE BD AD ====;; 注意：由 ;BC DE AB AD =或;BC DE AC AE =推出DE ∥BC （一定是错的） 9.“ ”8字型 A

DE ∥BC 推出AC CE AB BD BC DE AC AE AB AD EC AE BD AD ====;; 注意：由 ;BC DE AB AD =或;BC DE AC AE =推出DE ∥BC （一定是错的） 10. “梯子”字型 ∵AD ∥BE ∥CF ∴ ;;;DF EF AC BC DF DE AC AB EF DE BC AB === 逆定理不成立 如果求平行的线段时，构造A 字型 11. 重心的性质：如图 AG=2DG;BG=2GE;CG=2FG

比例、黄金分割、平行线分线段成比例定理与例题

要点一、比例线段 1．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 2．比例的性质： （1）基本性质：如果，那么. （2）合比性质：如果如果 要点诠释： （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 要点二、黄金分割 1.定义：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点诠释： ≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 要点诠释： 一条线段的黄金分割点有两个.

要点三、平行线截线段成比例 基本事实： 两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点诠释： 上图的变式图形：分A型和X型； A型X型 则常用的比例式：依然成立. 要点四、把已知线段AB五等分. 已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分. 作法 1．以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5. 2．连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，

《平行线分线段成比例》教案

《平行线分线段成比例》教案 教学目标 ㈠知识与技能： 1．掌握平行线分线段成比例定理的推论. 2．用推论进行有关计算和证明. ㈡教学思考： 通过探究平行线分线段成比例定理的推论，培养学生数学思维能力. ㈢解决问题： 学生经历观察、操作、探究、交流、归纳、总结过程获得结论，体验解决问题的多样性，感悟比例中间量的作用. 教学重点 推论及应用. 教学难点 推论的应用. 教学方法 引导、探究. 教学媒体 投影、胶片. 教学过程 【活动一】引入新课 问题1上节我们学习了什么内容？本节将研究什么？ 学生共同手工拼图，通过思考探究得出结论. 在本次活动中，教师应重点关注： 1．操作过程中学生是否把被截得两直线交点放在相应位置. 2．学生是否有探究本节所学内容的兴趣和欲望. 设计意图：使学生通过动手操作、观察、直观得出初步结论. 【活动二】探究推论 问题2．被截直线的交点若落在第一条或第二条平行线上，平行线分线段成比例定理是否还成立？ 问题3．若上述问题成立，可得什么特殊结论？

3 21 123 教师提问，引导学生猜想，并在拼好的图上测量、计算、证明. 推论：投影出示. 在本次活动中，教师应重点关注： 1．学生是否认真、仔细的测量和计算. 2．学生能否用定理证明所得推论. 设计意图：培养学生大胆猜测，从实践中得出结论. 【活动三】 问题4 看图说比例式 A BCD 3() 2() A B DE 1() DE BC 学生结对子，师生结对子说出比例式. 在本次活动中，教师应重点关注： 1．学生能否顺利回答对方所提出的比例式. 2．学生是否与同伴交流中达到互帮互学. 3．学生能否体会由平行得出多个比例式. 设计意图：给学生表现机会，让学生体验成功的喜悦，调动学生积极性. 【活动四】 教学例3 问题5 已知：如图：BC ∥DE ，AB =15，AC =9，BD =4， 求：AE

比例线段和平行线分线段成比例定理

比例线段和平行线分线段成比例定理习题 1．两地实际距离是3500米，画在图上距离是5厘米，则比例尺为______． 若在地图上量得为6厘米，实际距离为______米． 2．已知：,346x y z == 那么3242x y z x +-＝______． 3．若a 、b 、c 表示三条线段，且a ＝ b ＝ c 是a 、b 的比例中项，则c ＝______． 4．若(a －b ) : b ＝2 : 3. 则a : b ＝______． 5．如图，BE 平分∠ABC ，DE ∥BC 交AB 于D ，BC ＝6，AB ＝9，求DE ． 6．已知：如图，若AB ∥A ′B ′, BC ∥B ′C ′． 求证：AC ∥A ′C ′．

7．在正方形ABCD 的对角线AC 上取AE ＝AB ，过E 作AC 的垂线交BC 于F ． 求：EF : AB 的比值． 8．已知：如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，DE 交BC 延长线于F ，BD ＝CE ． 求证：.AC DF AB EF =

比例线段和平行线分线段成比例定理习题答案 1．1 : 70000 4200． 2． 1718 ． 3．3． 4．5 : 3． 5．3.6． 6．证明： ∵AB ∥A ′B ′，∴ ''OA OB OA OB =． ∵BC ∥B ′C ′．∴ ''OC OB OC OB =． ∴'' OA OC OA OC =．即AC ∥A ′C ′． 7．提示： CE ＝EF . 设AB ＝a ，则AC . EF ＝CE ＝AC －AE ＝AC －AB .a - ∴EF :AB ＝1) : 1. 8．提示： 方法一：作EM ∥AB 交BF 于M ． 方法二：作EN ∥BC 交AB 于N ．