相交线与平行线知识点整理
5.1相交线
1、邻补角与对顶角
⑵如果αβ∠∠与是对顶角,那么一定有αβ∠=∠;反之如果αβ∠=∠,那么αβ∠∠与不一定是对顶角; ⑶如果αβ∠∠与互为邻补角,则一定有180αβ∠+∠=?;反之如果180αβ∠+∠=?,则αβ∠∠与不一定是邻补角。⑷两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个。
2、垂线
⑴定义,当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条
直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。
符号语言记作: 如图所示:AB ⊥CD ,垂足为O
⑵垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)
⑶垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。 简称:垂线段最短。
3、垂线的画法:直线,垂足,直角记号
⑴一靠:用三角尺一条直角边靠在已知直线上,⑵二移:移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上, ⑶三画:沿着这条直角边画直线,不要画成给人的印象是线段的线。 4、点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离。
记得时候应该结合图形进行记忆。
如图,PO ⊥AB ,同P 到直线AB 的距离是PO 的长。PO 是垂线段。PO
是点P 到 直线AB 所有线段中最短的一条。现实生活中开沟引水,牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。
5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念
⑴垂线与垂线段 区别:垂线是一条直线,不可度量长度;垂线段是一条线段,可以度量长度。
联系:具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质)
⑵两点间距离与点到直线的距离 区别:两点间的距离是点与点之间,点到直线的距离是点与直线之
间。 联系:都是线段的长度;点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间
距离。
⑶线段与距离 距离是线段的长度,是一个量;
线段是一种图形,它们之间不能等同。
5.2平行线
1、平行线的概念:
在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线a 与直线b 互相平行,记作a ∥b ,读作:a 平行于b 。
2、两条直线的位置关系 : 在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:⑴相交;⑵平行。
因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以肯定它们平行;反过来也一样(这里,我们把重
?P
A B O A B C D O
合的两直线看成一条直线)
判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:
①有且只有一个公共点,两直线相交;
②无公共点,则两直线平行;
③两个或两个以上公共点,则两直线重合(因为两点确定一条直线)
3、平行公理――平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
4、平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行
如左图所示,∵b ∥a ,c ∥a
∴b ∥c
注意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才会结论,这
两条直线都平行。 5、三线八角 两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角。 如图,直线b a ,被直线l 所截 ①∠1与∠5在截线l 的同侧,同在被截直线b a ,的上方,叫做同位角(位置相同) ②∠5与∠3在截线l 的两旁(交错),在被截直线b a ,之间(内),叫做内错角(位置在内且交错) ③∠5与∠4在截线l 的同侧,在被截直线b a ,之间(内),叫做同旁内角。
④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“F ”型;内错角是“Z ”型;同旁内角是“U ”型。
6、两直线平行的判定方法
判定方法1 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行
简称:同位角相等,两直线平行
判定方法2 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行
简称:内错角相等,两直线平行
判定方法3 两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行
简称:同旁内角互补,两直线平行 几何符号语言:
解:∵ ∠3=∠2
∴ AB ∥CD (同位角相等,两直线平行)
∵ ∠1=∠2 ∴ AB ∥CD (内错角相等,两直线平行) ∵ ∠4+∠2=180° ∴ AB ∥CD (同旁内角互补,两直线平行)
注意:注意书写的顺序以及前因后果,平行线的判定是由角相等,然后得出平行。
平行线的判定是写角相等或互补,然后写平行。
典型例题:判断下列说法是否正确,如果不正确,请给予改正:
⑴不相交的两条直线必定平行线。
⑵在同一平面内不相重合的两条直线,如果它们不平行,那么这两条直线一定相交。
⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行
解答:⑴错误,平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”。“在同一平面内”是一项重要条件,不能遗漏。
⑵正确
⑶不正确,正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。因为如果这一点不在已知直线上,是作不出这条直线的平行线的。
典型例题:如图,根据下列条件,可以判定哪两条直线平行,并说明判定的根据是什么? 解答:⑴∵∠2=∠B , ∴AB ∥DE (同位角相等,两直线平行。)a b c a b
l
1 2 3 4 5 6 7 8 A B C D
E 1 2 3 4
⑵∵∠1=∠D , ∴AC ∥DF (内错角相等,两直线平行。)
⑶∵∠3+∠F =180°,∴AC ∥DF (同旁内角互补,两直线平行。)
5.3平行线的性质
1、平行线的性质:
性质1:两直线平行,同位角相等;
性质2:两直线平行,内错角相等;
性质3:两直线平行,同旁内角互补。
2、命题:
⑴命题的概念:判断一件事情的语句,叫做命题。
⑵命题的组成:
每个命题都是题设、结论两部分组成。题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果……,那么……”的形式。具有这种形式的命题中,用“如果”开始的部分是题设,用“那么”开始的部分是结论。
注意:命题的题设(条件)部分,有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述;命题的结论部分,有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。
3、平行线的性质与判定 ①平行线的性质与判定是互逆的关系
两直线平行
同位角相等;
两直线平行 内错角相等;
两直线平行 同旁内角互补。
其中,由角的相等或互补(数量关系)的条件,得到两条直线平行(位置关系)这是平行线的判定;由平行线(位置关系)得到有关角相等或互补(数量关系)的结论是平行线的性质。
典型例题:已知∠1=∠B ,求证:∠2=∠C
证明:∵∠1=∠B (已知) ∴DE ∥BC (同位角相等,两直线平行)
∴∠2=∠C (两直线平行,同位角相等) 注意:在了DE ∥BC ,不需要再写一次了,得到了DE ∥BC ,这可以把它当作条件来用了。
A B C D E 1 2 3 4 几何符号语言: 解 :∵AB ∥CD ∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等) ∵AB ∥CD ∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等) ∵AB ∥CD ∴∠4+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)
典型例题:如图,AB ∥DF ,DE ∥BC ,∠1=65°,求∠2、∠3的度数
解答:∵DE ∥BC (已知)
∴∠2=∠1=65°(两直线平行,内错角相等) ∵AB ∥DF (已知) ∴AB ∥DF (已知)
∴∠3+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠3=180°-∠2=180°-65°=115° 5.4平移
1、平移变换
①把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同。 ②新图形的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点
③连接各组对应点的线段平行且相等
2、平移的特征:
①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在同一直线上)且相等,对应角相等,图形的形状与大小都没有发生变化。
②经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等。
典型例题:如图,△ABC 经过平移之后成为△DEF ,那么:
⑴点A 的对应点是点_________;⑵点B 的对应点是点______。
⑶点_____的对应点是点F ;⑷线段AB 的对应线段是线段_______;
⑸线段BC 的对应线段是线段_______;⑹∠A 的对应角是______。
⑺____的对应角是∠F 。
解答:
⑴D ;⑵E ;⑶C ;⑷DE ;⑸EF ;⑹∠D ;⑺∠ACB 。
思维方式:利用平移特征:平移前后对应线段相等,对应点的连线段平行或在同一直线上解答。
A
D F B
E C 1 2 3