群论

附件7

长沙理工大学

研究生课程教学大纲

（□科学学位□专业学位）

课程名称群论

所在院（所、部）数学与计算科学学院

学科点或课程组基础数学

长沙理工大学研究生院制

2014 年8 月8 日

一、课程基本信息

课程代码：群论

课程名称：1012001

英文名称：Thoery of groups

课程类别：非学位课程

学时：48

学分：3

适用对象:理科数学类一年级研究生

考核方式：考查<写一篇字数字不少于3000的课程论文、读书报告或文献综述等＞。

先修课程：抽象代数学

二、课程简介

群论研究名为群的代数结构。群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。

三、课程性质与教学目的

本课程是基础数学专业一年级研究生非学位课程，必修。

通过本课程的教学，使学生掌握群的基础理论与群论的基本方法，为基础数学专业课程的学习与数学研究打下群论基础。

第四章 更多的群例

（一） 目的与要求

1. 通过更多的群例说明群论的本质在于研究群作用；

2. 说明群作用对图的对称性的意义；

3. 介绍最早发现的单群和5族典型群；

4. 充分领会群作用的研究方法和思想。

第一节 (,)PSL n q 的单性

1. 主要内容：考察(,)PSL n q 在射影集合(1,)PG n q -上的作用，证明

(,)PSL n q 是单群。

2. 基本概念和知识点：一般线性群、特殊线性群、特殊射影线性群

3.问题与应用：理解(,)PSL n q 在射影集合(1,)PG n q -上的作用及

(,)PSL n q 是单群。

第二节 七点平面和它的群

1. 主要内容：研究168阶单群在七点平面上的作用，证明168阶单

群的唯一性。

2. 基本概念和知识点：七点平面，射影直线，共线变换

3. 问题与应用：理解168阶单群的唯一性的证明思想。

第三节 Petersen 图和它的群

1. 主要内容：通过研究5S 和5A 在Petersen 图上的作用，说明群作

用对图的对称性有着至关重要的意义。

2. 基本概念和知识点：图、顶点、边，图的自同构，点传递图，弧

传递图。

3. 问题与应用：理解图的有关术语及群作用在图上的思想。

第四节 最早发现的零散单群

1. 主要内容：介绍最早发现的零散单群11M 和12M 。

2. 基本概念和知识点：单群，多重传递群。

3. 问题与应用：了解11M 和12M 的结构。

第五节 域上的典型群简介

1. 主要内容：介绍5族典型单群。

2. 基本概念和知识点：双线性映射，度量空间，辛群，酉群，正交

群。

3.问题与应用：了解5族典型单群由来。

第五章 幂零群和p -群

（一） 目的与要求

1. 介绍有限幂零群的基本理论；

2. 介绍有限p -群的基本理论；

3. 了解有限幂零群和有限p -群的相关理论及研究方法。

第一节 换位子

1. 主要内容：换位子运算公式

2.基本概念和知识点：换位子

3.问题与应用：逐步学会换位子的应用。

第二节幂零群

1. 主要内容：幂零群的基本知识

2.基本概念和知识点：幂零群、中心列、幂零群的结构。

3.问题与应用：理解幂零群的性质与结构。

第三节 Frattini子群

1. 主要内容：Frattini子群的性质

2. 基本概念和知识点：极大子群、Frattini子群。

3. 问题与应用：理解Frattini子群的性质与有限群幂零性的关系。

第四节内幂零群

1. 主要内容：内幂零群的结构。

2.基本概念和知识点：内幂零群及有关性质。

3.问题与应用：了解内幂零群的结构。

第五节p-群的初等结果

1. 主要内容：有限p-群的Frattini子群、生成元、自同构群及某

些特殊子群的性质、具有循环极大子群的有限p-群的结构。

2. 基本概念和知识点：有限p-群的Frattini子群的性质、具有循

环极大子群的有限p-群的结构。

3. 问题与应用：理解p-群的初等结果。

第六节内交换p-群、亚循环p-群、极大类p-群

1. 主要内容：内交换p-群、亚循环p-群、极大类p-群的结构。

2.基本概念和知识点：内交换p-群、亚循环p-群、极大类p-群

3.问题与应用：了解内交换p-群、亚循环p-群、极大类p-群的

结构。

第七节p-群计数定理、超特殊p-群

1. 主要内容：有限p-群各种类型的子群、元素或子集个数及其对

p-群结构的影响；特殊p-群和超特殊p-群的结构；

2. 基本概念和知识点：特殊p-群、超特殊p-群

3.问题与应用：了解有关p-群计数定理和特殊p-群和超特殊p-

群的结构。

第六章可解群

（一）目的与要求

1. 介绍有限可解群的基本理论

2. 了解有限可解群的基本理论及研究方法。

第一节π-Hall子群

1. 主要内容：可解群的π-Hall子群的性质。

2.基本概念和知识点：π-Hall子群、π-群、π-可解群和π-可分

群。

3.问题与应用：了解可解群的π-Hall子群的性质。

第二节 Sylow系和Sylow补

1. 主要内容：可解群的Sylow系和Sylow补及其性质。

2.基本概念和知识点：Sylow系、Sylow补、有限群可解的一个充要

条件。

3.问题与应用：了解可解群的Sylow系和Sylow补的概念及其性质。

第三节π-Hall子群的共轭性问题

1. 主要内容：π-Hall子群的共轭条件。

2. 基本概念和知识点：π-Hall子群、共轭

3.问题与应用：了解π-Hall子群的共轭条件。

第四节 Fitting子群

1. 主要内容：有限群的Fitting子群的性质与结构。

2. 基本概念和知识点：Fitting子群，Fitting子群的刻画。

3. 问题与应用：掌握Fitting子群的性质与结构。

第五节 Carter子群

1. 主要内容：Carter子群的性质。

2.基本概念和知识点：Carter子群，Carter子群的性质。

3.问题与应用：了解Carter子群的性质。

第六节群系理论初步

1. 主要内容：群系的初步理论。

2.基本概念和知识点：群系、饱和群系、覆盖子群。

3.问题与应用：了解群系的初步理论。

第七节特殊可解群的构造

1. 主要内容：超可解群、所有Sylow子群皆循环的有限群、Dedekind

群、可分解群、可置换群的性质与结构。

2. 基本概念和知识点：超可解群、所有Sylow子群皆循环、Dedekind

群、可分解群、可置换群

3.问题与应用：了解几类特殊可解群的构造。

第七章有限群表示论初步

（一）目的与要求

1. 介绍有限群表示的基本理论及其应用。

2. 了解群表示，特别是群特征标理论对有限群论的重要性。

第一节群的表示

1. 主要内容：群的表示的相关概念。

2.基本概念和知识点：表示、忠实表示、绝对不可约表示、分裂域。

3. 问题与应用：了解群的表示的相关概念。

第二节群代数和模

1. 主要内容：群代数和模的相关概念。

2. 基本概念和知识点：代数、群代数、矩阵表示、模。

3.问题与应用：了解群代数和模的相关概念。

第三节不可约模和完全可约模

1. 主要内容：不可约模和完全可约模的概念及性质， Maschke定理。

2.基本概念和知识点：不可约模、完全可约模，Maschke定理。

3.问题与应用：了解不可约模和完全可约模的性质及 Maschke定

理。

第四节半单代数的构造

1. 主要内容：通过分析半单代数的构造确定所有互不同构的不可约

[]

F G-模。

2.基本概念和知识点：半单代数、Wedderburn定理。

3.问题与应用：了解Wedderburn定理的内容。，

第五节特征标，类函数，正交关系

1. 主要内容：介绍有限群特征标的理论。

2. 基本概念和知识点：特征标、类函数与正交关系。

3.问题与应用：了解有限群特征标的理论。

第六节诱导特征标

1. 主要内容：介绍诱导特征标，给出若干求有限群的特征标的例子。

2. 基本概念和知识点：诱导特征标

3.问题与应用：了解诱导特征标的概念及求有限群的特征标的方法。

第七节有关代数整数的预备知识

1. 主要内容：介绍代数整数的预备知识。

2.基本概念和知识点：代数整数、有理整数及性质。

3.问题与应用：了解代数整数、有理整数的概念及性质。

第八节a b

p q-定理， Frobenius定理

1. 主要内容：介绍特征标理论的两个出色的应用a b

p q-定理和Frobenius定理。

2.基本概念和知识点：a b

p q-定理和 Frobenius定理。

3.问题与应用：了解a b

p q-定理和 Frobenius定理的内容。

第八章群在群上的作用、ZJ-定理和p-幂零群

（一）目的与要求

1. 介绍群在群上的作用的一般理论，特别是互素作用；

2. p-幂零的Bernside定理；

3. Thompson关于Frobenius群的F-核幂零群的猜想的证明；

4.了解群在群上的作用的思想及其在有限群论中的作用。

第一节群在群上的作用

1. 主要内容：群在群上的作用的一些基本知识。

2.基本概念和知识点：群在群上的作用、忠实作用、不可分解群。

3.问题与应用：了解群在群上的作用的相关概念及初步结果。

第二节'π-群在交换π-群上的作用

1. 主要内容：'π-群在交换π-群上的作用的基本理论。

2. 基本概念和知识点：Schur引理、Maschke定理的推广形式。

3.问题与应用：了解'π-群在交换π-群上的作用的基本理论。

第三节'π-群在π-群上的作用

1. 主要内容：'π-群在π-群上的作用可约性和可分解性问题。

2.基本概念和知识点：'π-群在π-群上的作用可约性和可分解性问

题。

3.问题与应用：了解'π-群在π-群上的作用的基本理论。

第四节关于p-幂零性的Frobenius定理

1. 主要内容：介绍p-幂零性的Frobenius定理。

2.基本概念和知识点：规范子群、焦点子群、p-幂零群，Frobenius

定理。

3.问题与应用：了解p-幂零性的Frobenius定理的内容。

第五节 Frobenius-群

1. 主要内容：Frobenius-群的性质。

2. 基本概念和知识点：无不动点作用、无不动点自同构、Frobenius-

群。

3.问题与应用：了解无不动点作用的性质和Frobenius-群的性质。

六、推荐

教材和教学参考资源

（一）推荐教材

有限群初步，徐明曜，科学出版社，2014。

（二）阅读书目

[1].作者（编著者）.书名（版本）.出版地：出版社，出版年份

（三）阅读期刊文章

（四）学习网站(网络刊物和学习网站需要有具体网址链接)

（五）其它

七、其他说明

大纲编制人：游兴中编制日期：2014.8.8

大纲审定人(学科负责人)：4 审定日期：

二级学院盖章

注:排版格式要求

（1）页面设置为：页边距：上3.7cm 下3.5cm 左2.8cm 右2.6cm

（2）标题、正文的字体及字号严格按照模板要求；标点符号要在全角状态下录入。

（3）正文行间距设置为固定值18磅，段前段后间距设置为0。

附件8

长沙理工大学研究生课程编号说明

研究生课程编号共7位数，具体说明如下：

一．学校公共课编号说明：

9 * ** ***

课程序号

校内学院代码

硕士1；博士2；工程硕士 3

全校公共课

二．学院专业学位课、非学位课程的编号说明：

** * * ***

课程序号

学位课1；非学位课课2

硕士1；博士2；工程硕士3

校内学院代码

课程代码编写注意事项：

1、学校公共课程由研究生院培养办公室统一编号，学院的专业学位课和非学位课程由学院进行编号。

2、课程编号应按照编号规则进行，保证编号的唯一性，各学院在对学院课程编号时应统筹安排，特别注意不同学科或专业使用同一课程时，编号应保证唯一，开课学期、学分设置及课程类别应保持一致。

3、本次修订沿用2011年版培养方案的课程编码规则，因此如新培养方案采用原有课程，则代码必须保持不变。如有新增课程，请在原有课程目录的最大代码编号后顺延编号，以免与原有课程代码冲突。

学院代码

北大高考励志文章

北大高考励志文章 当我写下这句话时，连我自己都吃了一惊，因为在我们这所学校从来就没有出过“清华”“北大”学子，好像曾经出了一个“人大”，也不知是多少年前的事情了。岁月的流逝，人们渐渐的淡忘 了似乎还有无这种可能性。 然而，我还是在心中一直告诉自己，一定要让我的学生考上北大。 近几日，高考成绩揭晓，众人纷纷“解说”今年的高考，几家欢喜几家忧，每年都会有这样的事情发生，见怪不怪。对于我们学校 的成绩而言，总体上是稳步上升，但透过成绩就会发现达重点线的 人数不多，能考上名牌大学的也寥寥无几，难道我们真的不行吗?我 一直在寻找着答案。人们不是经常说，一切皆有可能吗?为什么这种 可能就不会在我们学校发生。于是，我在心里暗示自己：给我两年 时间，我还你一个北大学子!有点悲壮，似乎在呐喊，抑或让别人以 为“蚍蜉撼大树，可笑不自量”，但这确实是我的真实想法，而且，我要把这种想法付诸于行动来实现它。 “理想有多远，我们就能走多远”，我不止一次地告诉自己和我的学生。 崇高的理想是生命的风帆，我们的人生便是生命的船。谁都希望自己的人生能够色彩斑斓，荣光无限，在生命尽头能够对着天地自 豪地说——此生无憾。 人生是一段旅途，从呱呱坠地，到与黄壤共尘，我们要经历的太多太多，而高考不过是这段旅途中的一抹风景，无论成败如何，我 们的人生依然精彩纷呈。 现如今，高考虽不是改变自身命运的唯一途径，但绝非让大家漠视高考。十数年汲汲于知识之海，苦过累过努力过，高考就是对学

习成果的一次庄严检阅——既是为自己付出的辛劳，也是为亲人期 望的践诺。我们只是希望面对高考，大家能够坦然淡然。 然而，我们知道并不是每个人都能够微笑着迎接将要来临的风雨。许多年轻的学子承受着太多的压力和负担，在高中三年的学习过程中，迷茫、无助、痛苦、困惑，甚而走入极端。我们希望的是大家 能够走出迷失的困境，能够积极快乐地面对挫折，应对失败，并能 够从失败中吸取教训，总结经验，并最终走向成功。 成功来自于理想，果实离不开耕耘。书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。告诉自己——我要上北大!暗示自己——我要上北大! “我能实现我的梦想，只要我积极努力!”这是北大教授孙一鸣 给我们的一句话，请念一遍：我能实现我的梦想，只要我积极努力!”这看似是一句简单的话，但有谁能够正真做到呢? 要想上北大，就要实现北大的三大黄金定律： 一、有伟大的理想，明确的目标。 二、要有顽强的意志，和坚持不懈。这是每一个清华北大学子的必要。 三、要有家庭环境与良好的学校的环境。(所谓良好的家庭就是 家人支持你读书，良好的学校环境就是你的老师都有资格教你)。 要想考取北大，就要完成这三大定律。 虽然我们生活在小县城，我们还比较落后，我们的所在地还是国家级贫困县，但这不是我们无法取得好成绩的理由，不是!只应该更 是我们发奋图强的理由!我们要改变我们面朝黄土朝天的命运，我们 要改变家乡的落后场面，我们要振奋起来，不管过去如何，现在我 们要仰天长喊：“我要上北大!” 清华北大只是一个符号，一个所有中国学子向往的符号，我们喊出：“我要上北大!”决不是狂妄自大，也不是目中无人。因为虽然 我们过去可能不堪回首，但我们仍然拥有现在、未来。我们还拥有 两年的时间，为什么不大喊：“我要上北大!”虽然我们上北大难度

“高考牛人”为考清华四次高考曾放弃北大复旦范文

“高考牛人”为考清华四次高考曾放弃北大复旦范文 赵庆虎，宣威市高中一个响当当的名字，尤其在高三补习班里，大部分同学都听说过他的故事。赵庆虎四次高考，复旦、北大、北航，多少学生梦寐以求的高等学府他都考上过，然而他还要再次补习。命运捉弄人，第四次高考的他还是没考上清华，从北大返回家的他日前接受记者的专访。他说：“我只是崇敬清华大学，它在我的心里才是最高学府。” 赵庆虎和“高考牛人” “赵庆虎？……听说过，以前在五中读，牛得很，考了四年，清华北大考了两三次，去年好像又考了670多分。”宣威一中一名高三学生说。在宣威一中、宣威五中的校园里，记者随机采访了20多名高三学生，有十多个人表示听说过这个人，而在他们的印象中，赵庆虎与“高考牛人”“高考专业户”“高考名人”这些关键词联系在一起。一位曾经在宣威五中与赵庆虎同级的同学说，在他们理科生的印象中，任何大学都比不上清华大学，赵庆虎高考那么多次，就是想读清华大学。宣威五中高三年级的冯老师也说，赵庆虎为了清华大学坚持高考四年，也真是不容易。

当一部分同学敬佩他追求最高学府的执著时，也有同学怀疑赵庆虎多次补习，是想从学校那里获得奖金。当地一些学生说，宣威的高中，只要是考上清华或者北大，学校都会给予奖励。 “传言让我压力很大” 校园内外的种种议论，还是传到了赵庆虎的耳朵里。那时赵庆虎还在宣威五中补习。“学习上我觉得只要掌握了基础，清华、北大没问题，但是，外面的传言让我压力很大。”每个补习生多少都会有些压力，他们担心下次考试会比上次更差，而赵庆虎则说，其实社会上的流言蜚语对他的影响更大。 宣威五中教务处的刘老师说，赵庆虎以前是他们学校的学生，他第一年考上复旦大学，第二年考上北京大学，第三年考上北京航空大学，第四年再次考上北京大学，一些老师曾经多次做赵庆虎的思想工作，希望他能够及早上大学，但是固执的赵庆虎一心想要考清华大学，坚持要补习，直到2008年当他再次考上北京大学时，才去北京读书。老师说，为了赚钱而高考，这些话根本说不过去，清华大学哪个学生都想去，为了考个好学校而补习很正常，再说，宣威市的家长都对孩子都很负责，如果不是孩子想考清华，家长是不会同意孩子补习那么多次的。

近世代数学习系列二十二群论与魔方

群论与魔方：群论基础知识要了解破解魔方攻略背后的数学原理，「群论」(Group Theory)是必不可少的知识，本章介绍群论的基础知识。群论是「抽象代数学」(Abstract Algebra)的重要分支，是有关「群」(Group)的理论。抽象代数学跟一般代数学或线性代数学不同，其要旨不是解方程或方程组，而是研究各种代数结构的特性，「群」就是一种非常重要的代数结构。 群的基本定义 设有一个集合G和G上的「二元运算」(Binary Operation)「?」。如果G 的元素和「?」满足以下「公理」(Axiom)，我们便说(G, ?)构成一个「群」(为了行文方便，有时可以把「群(G, ?)」径直称为「群G」)： 1.「封闭性」(Closure)－对G中任何两个元素a和b而言，a ? b ∈ G。 2.「结合性」(Associativity)－对G中任何三个元素a、b和c而言，(a ? b) ? c = a ? (b ? c)。 3.「单位元」(Identity)－存在G中一个元素e (称为「单位元」)，使得对于G中任何元素a而言，e ? a = a ? e = a。 4.「逆元」(Inverse)－对于G中任何元素a而言，都有G中的元素a?1 (称为a的「逆元」)，使得a ? a?1 = a?1? a = e。 请注意由于「?」满足结合性，在写出三个或以上元素之间的运算时，可以不用括号，即写成a ? b ? c。如果某个运算涉及同一个元素，我们可以像一般乘法那样采用「指数」记法，例如可以把a ? a ? a写成a3。我们还可以仿照一般乘法规定零指数和负指数的定义如下：a0= e，a?n= (a?1)n。另外，可以证明上述定义中的「单位元」是唯一的，而且对于G中任一元素a而言，其「逆元」a?1也是唯一的。根据「封闭性」，若a和b是G的元素，则(a ? b)也是G 的元素，因此我们也可以谈论(a ? b)的逆元，而且这个逆元满足 (a ? b)?1 = b?1? a?1(1) 如果(G, ?)还满足「交换性」(Commutativity)，即对G中任何两个元素a、b 而言，a ? b = b ? a，我们便说(G, ?)是「交换群」(Commutative Group)或「阿贝尔群」(Abelian Group)。

三次高考一上北大两上清华皆因网瘾退学

案例四： 三次高考一上北大两上清华皆因网瘾退学 2010-11-21 15:38:42来源：中国青年报 有戒网瘾专家之称的华中师范大学特聘教授陶宏开最近正在为一个年轻人揪心。 这个年轻人曾参加过三次高考，一次上北大，两次考上清华，之所以参加三次高考，是因为他有两次退学的经历，每次退学的原因是相同的——陷入网络游戏不能自拔。 今年“十一”刚过，这个年轻人又一次网瘾发作，如果再一次无法自拔，前面的悲剧将会重演。年轻人的妈妈哭着给陶宏开教授打了电话：“救救孩子吧！” “几年前向我求助的还主要是中学生的家长，现在越来越多的大学生开始沉迷于网络，更让我痛心的是，他们中不少是名牌大学的学生。”陶宏开说。 很多网瘾大学生都曾是高材生，玻璃樽中的孩子遇到挫折更容易崩溃让陶宏开教授揪心的年轻人姓张，小张的求学经历确实有些传奇。 2003年，他第一次考入北京大学，由于沉迷于网络，7门必修课不及格，于2004年7月被学校劝退。2005年，复读一年的小张以所在城市理科状元的身份被清华大学录取。一年后，他再度沉迷网络，由于学分不够自动退学。正当大家都对他不抱希望的时候，2007年，他再次以全市理科第二名的成绩考入清华大学。 三次高考均考入中国最顶尖学府，小张的智力水平无疑是顶尖的。 陶宏开教授介绍，他接触过的不少网络成瘾的大学生都非常聪明，如果不是深陷网络难以自拔，一定会在学业上取得很好的成绩。 2007年小张第二次进入清华大学后，确实有一段时间远离了网络，那两年他的学业成绩非常好，第一年学业成绩名列前茅，大二的时候成绩排在了全系第一名。 后来，他喜欢的一个女孩子不接受他，这让小张异常痛苦，当这种痛苦实在无法排解的时候，他选择了虚拟世界。 这个青年人的行为似乎在给陶宏开教授的担心增添注脚。小张出生在四川一个农村家庭，爸爸是当地一名教师，妈妈只有小学文化程度，从小，小张就显现出了过人的天资，据当地媒体的描述，小张小学5年级便跳入中学。因此小张的父母对其极其宠爱。 小张是个典型的生活在玻璃樽中的孩子，他天资聪慧，在学业成绩上领先于同龄人，在

群论与量子力学

群论与哈密顿算符 哈密顿算符的变换性质： 设哈密顿算符为 ()H r ，有一函数f （r ）, 存在()()()g r H r f r = 由于1 ()()()R g r P g Rr g R Rr -== ()()()g Rr H Rr f Rr = 由此得 1()()()()()()R R R H r f r p H Rr f Rr p H Rr p f r -== 因此 1()()R R H r P H Rr P -= （1-1） 由于11 ,R E R R E R p p p p p p --== 则11 R R p p --= 这样（1-1）可表示为 1 ()()R R H r p H Rr p -= （1-2） 如果系统在经受一个变换R 之后，哈密顿算符的形式不变，即Rr=r 而 ()()H Rr H r =则（1-2）变为 ()()R R H r P P H r = 上式表明，当系统的哈密顿算符在R 的做用下不变时，则它与R 相应的函数变换算符P R 对易。 哈密顿算符的群(薛定谔方程的群)：使哈密顿算符不变的所有变换{R}组成一个群。（{P R }与{R}一一对应，其组成的群亦是哈密顿算符的群）

有了以上结论和定义进行进一步讨论——— 晶体单电子的薛定谔方程是 H E ??= 其中 ()2 2 ()2H r V r m =-?+ 我们知道V （r ）是十分难以精确获得的函数。但是，由于v （r ）的对称性与晶格的对称性是相同的，所以，在晶体的对称性群的作用下，v （r ）不变，即R ∈G ，有V （Rr ）=V （r ）又由于算符2?亦是不变的，因此 ()()H Rr H r = 这表明晶体的对称群就是晶体单电子薛定谔方程的群。 （晶体单电子薛定谔方程的群的基函数可作为晶体的对称群的基函数） H （r ）的本征函数与基函数： （1）H （r ）的具有相同本征值的本征函数，构成薛定谔方程群G 的一个表示的基函数—— 设E 是H （r ）的L 重简并的本征值，于是，相应于这个本征值E ，有一套线性无关的本征函数{()}n r ?存在，满足方程 ()(),(1,2,,)n n H r E r n l ??== 取G 中任一元P R ，作用于上式两边，则 ()()R n R n H P r EP r ??= 上式表明，函数()R n P r ?同样也是H （r ）的具有本征值E 的一个本征

策划模板以三阶魔方大赛为例

xxx活动名称（一号黑体居中） 策 划 书 （72码宋体居中） 重庆大学自动化学院（三号黑体居中） 团委/学生会/科协 xx部 201x年xx月xx日（五号黑体居中）

重庆大学三阶魔方速拧大赛(二号楷体加粗居中) （全篇正文小四号宋体，大标题四号黑体加粗。小标题小四楷体加粗） 一、基本情况：（主标题加中文数字标示顶格，后同） 1.活动背景：（副标题加罗马数字标示顶格，后同） 魔方，Rubik’s Cube，又叫魔术方块，也称鲁比克方块。是匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺.鲁比克教授在1974年发明的。三阶立体魔方由26个小方块和一个三维十字连接轴（十字轴）组成，此次比赛就是三阶魔方的速拧大赛，规则基本模仿国际魔方大赛的规则。是一场比拼智力，考验逻辑，展现临场能力的比赛。（正文每段前空两格，后同） 2.活动目的： 为广大魔方爱好者提供一个展现独特才华，和志同道合者交流魔方经验与乐趣的平台。同时通过此次活动展现魔方这一娱乐项目的魅力，增强魔方在大学生中的影响力。为大学生的课余生活增添乐趣。 3.活动面向对象： 全校喜好、热爱或者想要学习魔方的同学 二、主办方/承办方/协办方（此处无承/协办方不写）： 主办方：重庆大学自动化学院科协 承办方： 协办方： 三、时间/场地： 1.时间： 10月29日、10月31日 2.场地： 一食堂广场 四、报名形式及当天小活动：（没有就不写） 1.时间： 10月29日中午 2.招募人员： 要求：对三阶速拧有一定的认识和实战能力，或对比赛感兴趣而想要参加的同学，勇于在众人面前展示自己，并且自己拥有或可借到一个用于比赛的魔方。(科协可备几个魔方备用) (可在特定情况或事物后面打括号加上注释，以便对组织者起到提示作用，后同) 报名方式：1）到活动展台登记。（报名表要求：姓名，手机号，学院，专业，最快的时间） 2）短信报名

一位考上北大的学生的肺腑之言

一位考上北大的学生的肺腑之言 （作者：贺舒婷，高考分数641，现为北京大学法学院本科生） 末名湖边的桃花儿开了，就在前几天。 我曾经无数次梦想过，北大花开的时候，湖边赏花的人群里会有自己的身影。那个时候，我的心思和大家一样单纯而迫切，我的目光却是比你们更加迷茫和恍惚。那年高三。 十年磨一剑，我得到的却几乎只是一块废铁。 高一那年，我真的差点就把自己废成了一块锈铁。上课的时候睡觉、聊天、看漫画、吃零食，跟着后面那些男生大呼小叫，把年轻的女老师气得眼圈含泪，然后自鸣得意而洋洋之。那真是一段不堪回首的日子，像色彩斑斓的黑洞，看上去奇观异彩，鬼魅般的吸引力却在不知不觉中一点点把你拉向无底的深渊。于是下滑，于是堕落，而更加难过的是明明知道自己在下滑、在堕落，却无能力去改变。习惯的力量的确大到了让我无可奈何，于是放弃了最后的挣扎与努力。现在想想，那只是懦弱，那只是懒惰，那只是自己给自己自甘堕落所找的一个看似冠冕堂皇的理由，一切都是自欺欺人。 可是当时没有任何人来指着我的鼻尖骂我，说你是不是就想这样破罐子破摔，就想这样玩完你的一辈子。也许他们已经放弃了我，有时候我想。然后是极其嘲讽般地不屑，以及自以为是的洒脱——谁稀罕。其实，那个时候真的是应该有一个人。就像很多人曾经经历过的那样，指着我的鼻尖，戳着我的脊梁说，你知不知道自己在做什么，不清楚自己想要什么，不清楚自己的明天会怎样。

可是，再无所谓的人也会有自己的底线的，正如再深的涧谷也会有它的低谷。一切就像滑滑梯，一路上放肆张扬地笑了下来，最后终于重重地摔在了下面，头破血流。 也许，人只有在痛的时候，才会认认真真反省自己走错了哪一步吧，总要摔些跟头，才能学会绕着道走。而这条再简单不过的道理，我却付出了整整一年的青春时光才真正明白。一年，365天，可以让居里夫人发现镭，一年可以让爱因斯坦证出e=mc的平方，一年可以让一个婴儿学会跌跌撞撞地走向母亲的怀抱，一年可以让一段轰轰烈烈的爱情开始又终了。可是这一年，我只得到了那一句话。所幸，并不亏，也并不晚。 高二分科，我选了文科。你无法想象我所在的中学有着怎样烂的文科班——本科上线三人。本科上线三人是个什么概念?当我现在的大学同学颇为自得地告诉我他们中学的班级北大清化一走几十个的时候，我轻轻地笑了笑。我所在的文科班，是一个本科上线三人的文科班，更具有讽刺性的是，那三个人全部是复读生。我就是在大家或无奈或讽刺或无谓的目光里，毅然决然地在文科报名表上写上了自己的名字。那真是我一生中写得最好看的一次。 我只是突然间觉醒了，觉得自己的一辈子不能就那样过。事后很多人问我怎么回事也许他们是想在我这里听到一个传奇般的浪子回头的 故事，而我当时所能想到的解释只有这一句，我只是觉得，我的一辈子不应该就那样吊儿郎当地过去。 可是我还是低估了过去的那一年给我带来的影响。第一次月考，我考了年级第12名。也许这是一个听上去差强人意的成绩，可是，仅有

近世代数学习系列二十二 群论与魔方

群论与魔方：群论基础知识 要了解破解魔方攻略背后的数学原理，「群论」(Group Theory)是必不可少的知识，本章介绍群论的基础知识。群论是「抽象代数学」(Abstract Algebra)的重要分支，是有关「群」(Group)的理论。抽象代数学跟一般代数学或线性代数学不同，其要旨不是解方程或方程组，而是研究各种代数结构的特性，「群」就是一种非常重要的代数结构。 群的基本定义 设有一个集合G和G上的「二元运算」(Binary Operation)「?」。如果G 的元素和「?」满足以下「公理」(Axiom)，我们便说(G, ?)构成一个「群」(为了行文方便，有时可以把「群(G, ?)」径直称为「群G」)： 1.「封闭性」(Closure)－对G中任何两个元素a和b而言，a ? b ∈ G。 2.「结合性」(Associativity)－对G中任何三个元素a、b和c而言，(a ? b) ? c = a ? (b ? c)。 3.「单位元」(Identity)－存在G中一个元素e (称为「单位元」)，使得对于G中任何元素a而言，e ? a = a ? e = a。 4.「逆元」(Inverse)－对于G中任何元素a而言，都有G中的元素a?1 (称为a的「逆元」)，使得a ? a?1 = a?1? a = e。 请注意由于「?」满足结合性，在写出三个或以上元素之间的运算时，可以不用括号，即写成a ? b ? c。如果某个运算涉及同一个元素，我们可以像一般乘法那样采用「指数」记法，例如可以把a ? a ? a写成a3。我们还可以仿照一般乘法规定零指数和负指数的定义如下：a0= e，a?n= (a?1)n。另外，可以证明上述定义中的「单位元」是唯一的，而且对于G中任一元素a而言，其「逆元」a?1也是唯一的。根据「封闭性」，若a和b是G的元素，则(a ? b)也是G 的元素，因此我们也可以谈论(a ? b)的逆元，而且这个逆元满足 (a ? b)?1 = b?1? a?1(1)

群论-群论基础

物理学中的群论 ——群论基础 主讲翦知渐

群论教材教材与参考书 教材： 自编 参考书群论及其在固体物理中的应用 参考书：群论及其在固体物理中的应用（徐婉棠） 物理学中的群论 （马中骐） 物理学中的群论基础 （约什）

群论-群论基础 第章群论基础 第一章 群的基本概念和基本性质 §1.1 集合与运算 §1.2群的定义和基本性质 §1.3 子群及其陪集 13 §1.4 群的共轭元素类 §1.5 正规子群和商群 §1.6 直积和半直积 16 §1.7 对称群 §1.8 置换群

§1.1集合与运算抽象代数的基本概念 1集合 抽象代数研究的对象 什么都不是，所以什么都是 集合的直乘： C=A×B，表示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的 C A表示“ 一对有序元”，也称为A和B的直乘，用符号表示即： , a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={a A}B b b}则集合 1 C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。

定义设是两个集合若有种规则使得2映射 定义：设A 与B 是两个集合，若有一种规则f ，使得A 的每一个元素在B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 的一个映射记为 就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → B f ：x → y = f ( x ) , 或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，而x 称为y 在A 上的原象。对应规则函数对应规则：函数

满射 单射 一一映射 逆映射：f -1 恒等映射：e 变换恒等映射： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换，若 f 是一一映 射则称为对称变换一一变换有性质：射，则称为对称变换。变换有性质： f f -1= f -1f = e

高考中的一匹黑马：实现学渣到北大的完美逆袭

高考中的一匹黑马：实现学渣到北大的完美逆袭 每年高考都会有奇迹发生，也许在一年前的那天，他们还是老师眼中的坏学生、学霸眼中的学渣。但是他们经过了一年的努力，羽化成蝶。一跃成为了老师的骄傲。曾经对他们嗤之以鼻的学霸们也只能收起那份虚无的骄傲。下面是最具经典意义的一篇文章《高考中的一匹黑马：实现学渣到北大的完美逆袭》。 ? ?高考中的一匹黑马：实现学渣到北大的完美逆袭 高三这一年很累，也充满收获感，我在学习上就依赖这三大法宝：“紧跟老师，多次回顾，重视每一次考试。”(注：其实这三个问题，在笔者前期的文章中都介绍过。)我以前 过于自信，喜欢一个人“跑单”，喜欢自己找很多题目，无计划地乱做。高一高二两年的惨败告诉我，那种做法绝对是事倍功半的。制定了紧跟老师的原则之后，我每堂课都聚精会神地听讲，做笔记。我把每堂课的重点和疑难点随手编上序号，下课后，闭上眼睛，按序号从头回顾一下每堂课的重点，哪一个想不起来了，就看一下笔记，如果有疑难点就及时问老师，问其他同学，直到把问题弄懂。高三阶段的老师基本上都是非常出色经验丰富的，他们为我们准备的复习内容和习题，基本上囊括了高考(精品课)的试点;不过，有一门课——外语(课程)，我到最后都没有完全适应那个老师，但我还是坚持贯 彻的我紧跟原则，尽量靠近老师的套路。我的第二大“法宝”——回顾，尤其使我受益匪浅。我对记忆的观点是：回顾一百次也不为多，而只能使你记忆得更牢固;所以，我总是不厌其烦地回顾每一个知识点。很多问题在初学时没有深入思考，而在回顾的时候，由于时间比较充裕，所以能够将问题向各个方面拓展，起到举一反三、触类旁通的效果。我前面说的骑车上、下学的时

玩魔方的好处讲解学习

玩魔方的好处，很多，因为玩魔方的确可以给你带来很多好处，当然，你也可以简单的认为喜欢玩魔方，没道理。不过，我们还是用心的收集并整理了一些玩魔方的益处，以便在你玩魔方的同时，有意识的去从中体验到快乐。 1.玩魔方，已经是一项竞技运动。很自然的也就具备了竞技运动共同的好处。 2.魔方可以培养人的动手和动脑的能力，并且极大程度上训练人的记忆力，判断力以及空间想象力。（如DIY魔方，速拧，盲拧） 3.魔方这项运动可以随时随地的进行，对空间和场地没有特殊的要求，更没有人数的限制，比任何运动都要方便，换句话说，他可以填补你所有空白的时间，并为之带来快乐。 4.魔方的投入较少，买一双好篮球鞋要上千，买一根普通高尔夫球杆要上万，而一个最好最好的魔方也超不过两百块钱。 5.魔方运动是最安全的运动，目前还没有听说玩魔方受伤的案例，而篮球、足球、田径、赛车这些运动稍不小心就会受伤，甚至还有生命危险。魔方，只会让你越玩越强大！ 6.魔方运动没有年龄的限制，它不像一般体育运动过了黄金年龄段就意味着运动生涯的结束，上至耄耋老翁，下至懵懂孩童都可以轻松地转动魔方。 7.魔方易于上手，又不易使人感到乏味。最简单的算法两天内就可以学会，但魔方解法的很有层先、角先、棱先等初级解法，更有CFOP、CFEC、桥式等高级算法等你去挑战。 8.魔方的玩法很多，每一种玩法都是富有挑战性的，速拧、摸拧、盲拧、单拧以及脚拧还有人潜在水中还原魔方。 9.魔方是一项文明绿色的运动，主要参与者是高素质人群，魔方爱好者绝无奸邪之辈，魔方运动可以让你结识很多魔友，他们活跃在社会的各个阶层，百分九十都是社会精英。他们像你一样爱思考，有耐心，爱挑战自我，你可以与他们一道，互相提升，共同进步！ 10.魔方的还原过程是一个观测、动作、思维集于一体的过程，

北大高考录取涉嫌性别歧视

北大高考录取涉嫌性别歧视中国经济的性别特征中国网 | 时间：2005 年08 月29 日 | 文章来源：瞭望东方周刊/中国网 接受高等教育的男生比例从整体上来说，仍然高于女生2005年高考录取已经结束，新生正陆续前往高校报到。文艳（化名）没有盼来她心仪已久的北京大学录取通知书。 文艳是北京二中一名优秀的应届高三毕业生，文艳是女生。在老师和家长的指导下，她满怀信心地报考了北大外国语学院小语种专业。文艳的高考总成绩是592分，属于高分，但文艳还是与北大无缘，后被北京外国语大学录取。 而和文艳同班的一名男生虽然成绩比文艳低两分（590分），却被北大录取了。 事后她才知道北大在今年的小语种招生过程中，男女生设置了不同的分数线。男生为:文科590分，理科619分；女生为:文科598分，理科636分;文理科女生分数线分别比男生高出8分和17分。 文艳的母亲陈女士对《瞭望东方周刊》说:“这是明目张胆的性别歧视！如果提前知道的话，我肯定不让女儿报考北大！” 这是一条“潜规则” 《瞭望东方周刊》在调查中发现，今年北大招生政策引起了很多考生的不满。 在北大招生网“未来北大人社区”论坛里，关于“北京非通用语种录取线（俗称小语种）”的讨论非常激烈，很多与文艳有相同遭遇的女生在这里发泄不满。 一位网友说:“是女生不是错，报小语种、分数又不能比男生高很多时就错了。” 一位考生曾当面就北大招生时男女生分数差别问题询问北大招生办负责人。这位负责人告诉她:“因为北大外国语学院中女生占80%之多，分数相近的情况下，

先要男生。” 《瞭望东方周刊》采访了北大外国语学院副院长刘曙雄教授。 刘教授表示，事实上，近七八年来北大在录取新生时男女生采取不同的分数线仅限于北京地区部分外语专业这一非常小的范围。在今年已录取的考生中，女生占70%强，男生占30%弱。 “高分的女生没有被录取，是因为还有分数比她更高的女生。”刘副院长解释。 其实高考录取中针对性别设立不同分数线已是一条“潜规则”。北京101中学的周老师带过好几次毕业班，她对这种招生政策非常清楚。“这对学生来讲当然是很不公平的，对我们的教育实在是很大的讽刺！” 国家行政学院教授汪玉凯说:“北大是中国科学民主思想的发源地。争取‘女权’、反对压迫妇女是‘五四’精神的重要组成部分。北大怎么会做出这样违反传统的事情？” 曾任北京师范大学副校长、外国教育研究所所长的著名教育专家王英杰认为，“这显然属于性别歧视，这种情况如果发生在其他国家，考生早已经诉诸法律了。” “我认命，谁叫我是女生呢” 刘曙雄副院长向《瞭望东方周刊》解释说，北大外国语学院录取新生时之所以男女有别，主要是为了缓解该院男女生比例严重失调的问题，而这是经过北京市和教育部学生司批准的。 刘教授现在教的班有15名学生，只有两名是男生。男女生比例严重失调在学生培养过程中已经出现了一些问题。 “班里的环境和气氛非常单调，阳刚不足，这显然违背男女协调的自然规律，对学生的心理健康也非常不利。”

高考状元北大学生励志作文

高考状元北大学生励志作文 TO asdfsll those who sasdfsid thasdfst I casdfsn't,I hasdfsve proved once more,yes I casdfsn.(所有的人说，我不能，我再次证明，我可以。) 终于，我可以平静下来，在这样一个清晨，好好地回忆，细细的品味，那属于我的高三奇迹。 想借用班主任的评语，对高三的上学期大致描述：“你懂得胸怀天下却做不到卧薪尝胆，立志异常坚定却难逃现实诱惑，看得见远处的山却看不见脚下的路。有时把执迷不悟叫执着，有时把自我满足当自信，有时自以为是能够拯救别人拯救世界的万能上帝，到头来成了自身都难保的过河泥菩萨。有时是真正弱点百出还不以为意的“伪高手”，有时是地道地荒废机会还自鸣得意的可怜人。”看到这些评语，这些批评，我心里有恐慌，却更迷茫——我究竟该怎样做…… 千疮百孔的习惯让我的成绩从高二期末的年级第一跌到了四五十名的位子，不过那时的我依旧自信满满，觉得自己可以东山再起。 这就是高三的前一多半时间，在迷茫与挣扎中看着成绩下滑，看着北大远去…… 不得不提的是自主招生，现在想想，那真是一次梦幻般的影响我很久的经历! 凭借高二的成绩我走进了北大自主招生的笔试考场，上午的数学共四个题，交卷时我只做了一点点。若是搁在平时，下午的测试我一定会边做题变懊恼，接着一败涂地。可是这次，不知是哪里来的力量，

我暂时忘却了上午的数学卷，一点一点答题，一秒一秒把握。走出考场，我知道自己希望不大，却着实为自己下午的沉着感到欣慰。压线通过笔试，正是对我心态的奖励，从那时起，无论上一科考的怎样，我都能坚强的努力到最后一秒，这或许远比通过考试要重要吧。 接着的求职面试，我再次走在未名湖畔，呼吸着那让我陶醉的气息，阳光静静地洒在身上……直到后来，我才意识到那未名湖中的滑雪者，博雅塔下的读书人，给了黑暗中的我多么强烈的希望。 戏剧性的是最终我只获得五分的加分，老天开起玩笑怎么这么有意思，寒假的十天，我扔掉了所有的计划，不知所措的呆着，就是呆着什么都不做。做了那么多，花费了那么多时间，只有五分，值吗?我永远不会忘记许多人听到这“五分”的神态，那是一种听到冷笑话的表情，我只有以笑应对。可我不服，或许，这五分就有用呢;或许，就真的有用呢…… 再开学，立刻到了“质检二”。理综的出现让局面发生了翻天覆地的变化。化学的优势发挥不出，物理的劣势暴露无遗。200名，我忘不了老师气冲冲地拿着成绩单到宿舍指给我看：“还没这么差过吧!自己好好想想……”刹那间，我感觉自己被压得喘不过气，咬咬牙，下定决心。我扔掉了手机卡，把MP4借给了同学，在枕头下放了三样东西：暑假买的《清华北大不是梦》，在北大自主招生领取的《筑梦北大》，以及北大的一组明信片。趴在床上，难以入梦。一笔一划地将职烨的《花开不败》抄了一遍，希望自己可以像那个为了复旦牺牲一切的小女孩一样……

伽罗华与群论

伽罗华与群论》L.R.Lieber著樊识译 引言 大家都知道：科学知识是与时俱进的，科学是一种活的，蓬勃滋长的东西。 然而一般人总把数学看做又老又朽，似乎再也不能滋长发扬的了。的确，在学 校里所教的数学——算术，代数，几何——在几世纪前大家早都知道；就是专 门学院的教程差不多也有三百多年的历史。笛卡尔（Descartes）之创造解析学 和牛顿（Newton）之发明微积分，那都是十七世纪的事情。可是，事实是这样的： 数学的范围甚至比科学的范围还要来的广些，就从那个时候起，他已在脚踏实 地的向前迈进了。 数学中一些比较新颖的概念是什么？是不是他们太抽象了——虽然好些概念 还是由很年轻的数学天才所创的——使得这一代的青年人连听都够不上听一听呢？ 是不是他们距离平常的一般思维方法太远了，以致不能使一般普通的人们从中得 到任何用处和快乐？难道连一般数学教员对于这些概念也不能有一个认识的机会 吗？不是的！其实是这样的：那些近代数学上的发展不但能使数学家发生兴趣， 而且正像微积分一样，对于科学家也能有相当伟大的帮助。哲学家公认：近代数 学与基本的宇宙说是有直接关系的。心理学家在近代数学中也会看到一种能从偏 见中把心胸解放出来的以及能在陈腐的偏见之荒墟上建立起簇新有力之结构来的 伟大工具——像是在非欧几里得几何学之创造中所可以看到的。的确，谁都要珍 重现代数学之特殊的旺盛和卓绝的本色。 这本小册子，作者有心把他当做现代数学中一支的入门，使得那些对于这门 数学愿作更进一步研究的人们在阅读时较为容易有趣些。 这本小册子里所讲的是群论(Theory of Groups),群论是近代数学的一种，伽罗华(Evaristo Galois)对于这门数学的理论和应用很多发扬。伽罗华殁于一百年以前， 死的时候还不满二十一岁，在他那短促而悲惨的生命中，于群论颇多贡献；而这门 数学在今日已成为数学中的重要部分了。自古以来的二十五位大数学家中，他就是 其中之一位。 他的一生，除了在数学上有惊人的成功，其余尽是失意的事，他渴望着进巴黎的 L'Ecole Polytechnique,但在入学考试时竟失败了；过了一年，他再去应试，然而 仍旧是失败，他拿自己研究的结果给歌西(Cauchy)和傅利(Fourier)二氏看，这两人 是当时很出色的数学家，但是他们对他都没有注意，而且两人都把他的稿本抛弃了， 他的师长们谈起他的时候，常说：“他什么也不懂”，“他没有智慧，不然就是他 把他的智慧隐藏得太好了，使我简直没法子去发现他”，他被学校开除了，又因为 是革命党徒，曾经被拘入狱，他曾与人决斗，就在这决斗中他是被杀了。(在决斗的 前夜，他自己预知必死，仓猝中将自己在数学上的心得草率写出，交给他的一个朋友)。 敬祝他的灵魂安乐！ --

高考励志清华北大文章.doc

高考励志清华北大文章 高考励志清华北大文章：北大是我美丽羞涩的梦 文/王海桐 你有没有过这种经历在你饥饿难耐时只渴求一片面包的时候，有人笑吟吟地给你端来一盘龙虾?我有过。在我寝食难安只渴求一张北大金融系录取通知书的时候，有记者打电话告诉我：你是今年四川省省理科状元。不敢相信的木然，难以相信的狂喜我像一只挥舞着双钳的螃蟹在房间里横行(当然，我想这是人的正常反应)。然后是记者，然后是采访、照相，然后是做节目然后我非常地冷静，我感到不舒服。我是什么? 这是我面对镜头时，最想问的一个问题。我是什么? 一个状元? 状元是什么? 考试考得很好的人。是的，在无数人眼里，我是一个很会考试，考得很棒的人。这让我不舒服。一个声音在固执地呜咽：如果我引人注目，那个713分绝不会是唯一的理由。我不允许任何将我十几年的经历用那浑浑噩噩的三天概括。我不是一张平铺的考卷，我是立体的，有血有肉的。于是，这心中一缕一缕积累的思绪，这灵魂里一点一点不安的因子让我在面对它的时候有时像快乐的喷泉，有时像被动的牙膏。我对自己说：不要得意忘形,所有的报纸都只在今天有用。可我不是很傻吗?在我18年的经历里除了那个713分还有什么轰轰烈烈的事迹呢?难道不是那个713分给了我今天坐在这里书写心情的凭依吗?我在记忆的浅海里逡巡，想找出一些闪亮的贝壳让高中生以及家长能从中得到什么更有价值的东西,却带回满身的沙砾。在深夜审视的镜前，我一点也不觉得镜里的是一个怎么成功的家伙，但也绝不是一个考试的机器，我是一个有故事的人。我愿意写我的困惑与思考，而不仅仅是状元成长录.请原谅一个任性的家伙的骄傲吧。写我，我愿意从最初的写起。 奶奶拂袖而去 曾有人劝我把名字中的桐改成同,他说我的名字犯凶，我却执意不肯，因为这个桐字对我有特别的意义。

群论的应用

群论的基础及应用 第二章群论的应用 2.1图论的结构群应用 在所有数学分支以及计算科学中，结构的概念是最基本的，以不正式的角度看，一个结构s是在点集U的一个construction r，它由一对点集组成。 e 4 图 2.1 通常说，U是结构s 的底图集，图2.1描述了两个结构的例子：一个有根树，和一个有向圈。在集合论上，题中的树可以描述为s=（γ，U），其中U={a，b，c，d，e，f}， γ=（{d}，{{d，a}，{d，c}，{c，b}，{c，f}，{c，e}}） 出现在γ上第一部分的 根点{d}指的是树的根节点。对于有向圈它可以写成形式为 s=（γ，U）， 其中 U={x，4，y，a，7，8}， γ={（4，y）（y，a）（a，x）（x，7）（7，8）（8，4）}

U={a ，b ，c ，d ，e ，f} σ V={x ，3，u ，v ，5，4} 图2.2 考虑有根树s=（γ，U ）它的底图集是U ，通过图2.2中的σ变换，将U 中每一个元素替换成V 中的元素，这幅图清晰的显示了变换中如何将结构树s 对应到集合V 上相应的树t=（τ，V ），我们说树t 可以由树s 通过变换σ得到。记作t=σ·s.则树s 和树t 是同构的，σ叫做s 到t 的同构。 我们可以将底图的点视为无标记的点，这样就得到同构图的通用形式。如果σ是U 到U ，则它是自同构。此时树的变换σ·S 等价于树s ，即s=σ·s. 我们已经知道结构s 的定义，那么可以定义它在规则F 下的结构群，我们用F[U]表示集合U 上所有满足F 的结构 F[U]={f|f=（γ，U ），γ??[U]} 其中?[U]表示U 中所有未排序的元素对所组成的边。 一个结构群满足规则F ： 1.对任意一个有限集U ，都存在一个有限集F[U] 2.对每一个变换σ：U →V ，存在一个作用 F[σ]:F[U]到F[V] 进一步F[σ]满足下列函数性质： 1.对所有的变换σ：U →V 和τ ：V →W F[σ·τ]=F[τ]·F[σ]； 2.对恒等映射一个元素s 数域F[U]叫做U 上的一个F 结构，作用F[σ]称为F 结构在σ下的变换。 例：对所有的整数0≥n ，指定n S 是由},,2,1{][n n Λ=的置换作成的对称群，在群作用的操作下，集合F[n]是[n]上的F-结构。说明对每个0≥n ，每个F-结构群，通过令)]([s F s σσ=?（对n S ∈σ和][n F s ∈）诱导出群n S 在集合F[n]上的一个作用 ][][n F n F S n →?（1） 证明： 设F[n]是[n]上的F-结构，不妨令][)),(,(|{][]2[21n i i i s s n F n ?γγ∈==Λ， 对任意][n F s ∈和n S ∈σσ作用在s 上等价于

北大学霸高考经验分享：其实高考没那么难(最新)

北大学霸高考经验分享：其实高考没那么难 “在学习上，我特别重视基础知识。所谓‘合抱之木，生于毫末;九层之台，起于垒土’，只有基础扎实，我们的知识大厦才能牢固。”在平时的学习中，要记住这样一句话：“你所能达到的高度，往往取决于你知识基础的广度和深度。” ?这是什么意思呢?如今的自主招生考题及高考考题也是越来越重视基础，有人曾做过统计，中高考80%的题目都是基础题，仅有20%或更少的题目是提高性的需要同学们具备综合能力。 ?因此，只要同学们在平时的学习中狠抓基础，牢牢掌握基础知识，并在考试时做到基础题一分都不丢，取得理想成绩并不是难事。 ?许多参加过高考的同学都有这样的体会：“高考题不难，但挺灵活，有时虽感觉比平常做的模拟题还简单，但一做就错，主要原因就是基础知识掌握得不牢固。” ?正因为基础知识在学习中如此重要，所以我们必须重视基础。然而，这个浅显的道理却常常被同学们忽视。这主要表现在几个方面：不重视基础知识，一味追求解难题、偏题、怪题;课堂上遇到老师讲简单的知识或重复的知识就不愿仔细听;对考试中经常出现的一些笑错误毫不在意。 ?记住这样一点：简单、基本的知识最易被人忽视，但它却是最重要的，一定要高度重视。 ?接下来，来谈谈如何夯实基础。建议是从以下几个方面入手： ?1、注重课本上的基础知识，以课本为“根据地”。 ?很多同学似乎都有一种倾向，那就是爱做难题、怪题、偏题，对课本不太重视。这种做法对学习是否有帮助呢?我们先来听听一位“过来人”是怎么说的： ?“我的学习成绩一直是班内前几名，因为觉得自己的成绩还可以，想另外去找一条新的实现成绩的‘大跃进’。于是放开了课本，去钻研一些参考书上的难题、怪题、偏题。 ?然而，由于对课本的基础知识掌握得不牢固，一做题就出错。结果做的题不计其数，可脑子却越来越糊涂。有时连最简单的题目都做错，仔细一总结原因，就是基础知识掌握不牢。” ?何谓基础知识?就是课本知识。我们考试所需要掌握的知识基本都在课本里，可以这样说，只要围绕课本这个“根据地”学习，考试取得好成绩自然不是问题。因此，抛开课本去研究难题、怪题、偏题显然是一种本末倒置的做法，走的一条弯路。

2017高考零分作文被北大录取

2017高考零分作文被北大录取 今年将是高考改革重要的一个年头，而语文绝对是改革中的重中之重。特别是大家都知道，今年复兴传统文化，加强文化软实力的塑造，这一点在语文的高考试卷上体现的非常地清楚。今年语文高考有五个重要变化，而这几个重要变化直接会影响到今年以及未来几年同学们在高考语文复习的方向。 一、加强传统文学和古典文学的修养，特别是在文言文、古诗词部分，不断地加强阅读的深度和难度，并且引入了一些比较文学的思路。 这次的文言文阅读理解是欧阳修的一篇散文。欧阳修是唐宋文学八大家中的一个，而且他继承的是韩愈、柳宗元古文运动的创作风格，是宋代典型的写实主义作品的代表。因此，选他的文章是带有一种特别鲜明的，我们对于文学价值的判断在里面的。怎么不选六朝骈文呢?优秀的文章很多，怎么不从二十四史里面选呢?你会发现北京卷选二十四史的文章，其实选的非常少，全国卷喜欢选二十四史，但北京卷往往选的都是名家名作散文、议论文，议论文只选过两篇，淮南子汜论训和泰族训。 所以选欧阳修的文章，是让我们不断地加强这种写实主义文风的

感觉。这一点杨洋老师在时政中反复讲到的，叫做新闻战线的走转改，走叫走基层，转叫转作风，改叫做改文风，文风改成什么样子?从以前浮夸的、浮世的、造作的，改成严谨的、踏实的、写实的文风。所以选欧阳修的文章是意料之中的。我曾经给在高考前的六到七天来参加新东方模考班的学生命制过一套题，上面每一个题目，你一定在真题和模拟试卷中都没有见到，我给同学们选的那篇古文就是欧阳修的作品，也是欧阳修的一篇散文，整个文风创作的思路都非常非常地接近。 因此，学员上了高考考场看到这个题目，就马上读得懂，能够做出来。很多语文老师讲语文课，只是给同学们讲课文，只是给同学们讲字词分析，为什么永远没有带领同学们获得高分的能力呢?很正常，他不了解，文学在中国是和政治有紧密的关联的，这一点在后面，我们给各位同学讲的两点里面体现的更为强烈。 北京卷这篇更简单，它直接就让你谈语文课本里面《岳阳楼记》的一篇，和欧阳修这一篇体现出了为官要有哪些的品质和能力在里面，你说是不是一个题。有人说老师，那是西城二模考过，你肯定讲过，不见得每个老师都会精深的讲这个题目，不见得每个老师都会深入地讲这个题，带着同学们在课堂上进行练习的。而我在我的班里面就

北京大学群论第六章-群论与量子力学

第六章 群论与量子力学 §6.1 哈密顿算符群和相关定理 设()r H ρ ?为哈密顿算符，g 为同一坐标中的坐标变换，P g 为与之对应的函数变换算符， ()()r g f r f P g ρ ρ1-=，()r f ρ为任意函数，有： 故()()1 ??-=g g P r g H P r H ρρ（由()r f ρ 为任意函数） 若坐标经过变换g 作用后，哈密顿算符的形式不变，即：r g r ρ ρ='， ()()()r H r H r g H ρρ??'??==，则： ()()1??-=g g P r H P r H ρρ或()()r H P P r H g g ρρ??= 即当哈密顿算符()r H ρ ?在函数变换算符g P 的作用下不变时，则()r H ρ ?与P g 对易： 【定义6.1】哈密顿算符的群 所有保持一个系统的哈密顿算符H ?不变的变换g 作成的集合构成一个群，称为该哈密顿算符()r H ρ?的群，或薛定谔方程的群：()(){} r H r g H g G H ρρ??== 存在逆元：H G g ∈?，有()()r H r g H ρ ρ??= 令r g r ρρ='，则'1 r g r ρ ρ -=，代入得： ()'?1r gg H ρ-，即：()()'?'?1r H r g H ρρ=-，故H G g ∈-1 封 闭 性 ： H G g g ∈?',,有： )()'()'()()()'(?11'1''1'r H r g H r g H P r H P P r g H P r gg H g g g g ρρρρρρ=====---- 结合律和单位元显然存在。 【定义6.2】 哈密顿算符群或薛定谔方程群 由哈密顿算符的群对应的函数变换算符作成的集合构成群，称为哈密顿算符群或薛定谔方程群，记为：}|{H g G G g P P H ∈=。