玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布

Maxwell-Boltzmann分布是一种概率分布，在物理和化学中都有应用。最常见的应用是统计力学领域。任何（宏观）物理系统的温度都是组成系统的分子和原子运动的结果。这些粒子具有不同的速度范围，并且任何单个粒子的速度由于与其他粒子的碰撞而不断变化。但是，对于大量粒子，如果系统处于或接近于平衡状态，则在一定速度范围内的粒子比例几乎不变。Maxwell-Boltzmann分布针对任何速度范围指定了该比率，该比率是系统温度的函数。它以James Clark Maxwell和Ludwig Boltzmann的名字命名。

Maxwell-Boltzmann分布构成了分子动力学理论的基础。它解释了许多基本

气体性质，包括压力和扩散。Maxwell-Boltzmann分布通常是指气体中分子速度的分布，但也可以指分子的速度，动量和动量的分布。每个都有不同的概率分布函数，并且它们都是相关的。一起。

Maxwell-Boltzmann分布可以使用统计力学方法得出（请参阅Maxwell-Boltzmann统计数据）。它对应于由大量非相互作用粒子组成的基于碰撞的系统中最可能的速度分布，其中量子效应可以忽略。由于气体中分子的相互作用通常很小，因此麦克斯韦-玻耳兹曼分布提供了非常好的气体状态近似值。

在许多情况下（例如非弹性碰撞），这些条件不适用。例如，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别是对于电子，复合和碰撞激发（即辐射过程）很重要。如果在这种情况下应用Maxwell-Boltzmann分布，将会得到错误的结果。

Maxwell-Boltzmann分布不适用的另一种情况是，当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时，由于明显的量子效应，无法使用Maxwell-Boltzmann 分布。另外，由于它是基于非相对论的假设，因此麦克斯韦-玻耳兹曼分布无法预测分子速度大于光速的概率为零。

玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布 中文名称：麦克斯韦-玻尔兹曼分布 外文名称：Maxwell Boltzmann distribution 麦克斯韦-玻尔兹曼分布是一个概率分布，在物理学和化学中有应用。最常见的应用是统计力学的领域。任何(宏观)物理系统的温度都是组成该系统的分子和原子的运动的结果。这些粒子有一个不同速度的范围，而任何单个粒子的速度都因与其它粒子的碰撞而不断变化。然而，对于大量粒子来说，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例却几乎不变，如果系统处于或接近处于平衡。麦克斯韦-玻尔兹曼分布具体说明了这个比例，对于任何速度范围，作为系统的温度的函数。它以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼命名。 物理应用： 麦克斯韦-玻尔兹曼分布形成了分子运动论的基础，它解释了许多基本的气体性质，包括压强和扩散。麦克斯韦-玻尔兹曼分布通常指气体中分子的速率的分布，但它还可以指分子的速度、动量，以及动量的大小的分布，每一个都有不同的概率分布函数，而它们都是联系在一起的。 麦克斯韦-玻尔兹曼分布可以用统计力学来推导，它对应于由大量不相互作用的粒子所组成、以碰撞为主的系统中最有可能的速率分布，其中量子效应可以忽略。由于气体中分子的相互作用一般都是相当小的，因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布提供了气体状态的非常好的近似。

在许多情况下(例如非弹性碰撞)，这些条件不适用。例如，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别对电子而言，重组和碰撞激发(也就是辐射过程)是重要的。如果在这个情况下应用麦克斯韦-玻尔兹曼分布，就会得到错误的结果。另外一个不适用麦克斯韦-玻尔兹曼分布的情况，就是当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时，由于有显著的量子效应也不能使用麦克斯韦-玻尔兹曼分布。另外，由于它是基于非相对论的假设，因此麦克斯韦-玻尔兹曼分布不能做出分子的速度大于光速的概率为零的预言。 推导: 麦克斯韦的推导假设了三个方向上的表现都相同，但在玻尔兹曼的一个推导中利用分子运动论去掉了这个假设。麦克斯韦-玻尔兹曼分布可以轻易地从能量的玻尔兹曼分布推出:其中Ni是平衡温度T时，处于状态i的粒子数目，具有能量EI和简并度GI，N是系统中的总粒子数目，k是玻尔兹曼常数。(注意有时在上面的方程中不写出简并度HI。在这个情况下，指标i将指定了一个单态，而不是具有相同能量EI的GI的多重态。)由于速度和速率与能量有关，因此方程1可以用来推出气体的温度和分子的速度之间的关系。这个方程中的分母称为正则配分函数。

统计规律

统计规律 1问题的提出 在统计学中有大数定律如下： 定义11 若L L ,,,,21n ξξξ是随机变量序列，如果存在常数列，使对任意的L L ,,,,21n a a a 0>ε，有 1P lim 1=??? ???????????ε，有 1lim =? ?????

随机误差统计分布规律.

实验题目：时间测量中的随机误差分布规律 实验目的：用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量的随机误差分 布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。 实验原理：1、常用时间测量仪表的简要原理 （1）机械节拍器由齿轮带动摆作周期性运动。 （2）电子节拍器按一定的频率发出有规律的声响和闪光。 （3）电子秒表兼有数种测时功能。电子秒表机芯由CMOS 集成电路组成，用石英晶体振荡器 作时标，一般用六位夜晶数字显示。 （4）V AFN 多用数字测试仪由PMOS 集成元件和100kHz 石英晶体振荡器构成。六档方波脉冲 作为时标信号和闸门时间。 2、统计分布规律和研究 (1)假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为一恒定值） 的条件下，对时间t 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋于无穷大时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布的概率密度函数表示： 2 22)(21 )(σπ σx x e x f -- = 其中n x x n i i ∑== 1 为测量的算术平均值， 1 )(1 2 --=∑=n x x n i i σ为测量列的标准差， ?-=a a dx x f a P )()( 式中σσσ3,2,=a (2)概率密度分布曲线 求出各小区间中点的正态分布的概率密度值f(x),以f(x)为纵坐标，t 为横坐标，可得概率 密度分布曲线。若此概率密度分布曲线与统计直方图上断相吻合，则可认为测量值是基本符合正态分布的。 实验步骤：1、时间测量 （1）用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期（以3个周期为一测量周期）。 （2）将机械节拍器上好发条使其摆动，在等精度条件下重复测量150，记录每次的测量结果。 2、数据进行处理（计算平均值、标准差、作出相应图表、误差分析等）及统计规律研究。 实验器材：电子秒表、机械节拍器

玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布 在物理学（特别是统计力学）中，麦克斯韦 - 玻尔兹曼分布是以詹姆斯·克拉克斯·马克斯韦尔和路德维希·波兹曼命名的特定概率分布。 这是第一次定义，并且用于描述颗粒速度在理想化的气体，其中所述颗粒的固定容器内自由移动，而不会彼此互动，除了非常简短的碰撞，其中它们与彼此或与它们的热环境交换能量和动量。在该上下文中，术语“颗粒”仅指气态颗粒（原子或分子），并且假设颗粒系统已达到热力学平衡。[1]这种粒子的能量遵循所谓的麦克斯韦 - 玻尔兹曼统计通过将粒子能量与动能等同来推导出速度的统计分布。 在一个封闭的空间中，温度为T，里面只有两种能级，粒子的总数为N，且两种能级对应的个数分别 为：,所以能级的粒子总和为。那么N个粒子的不同状态组合数记为,且为：

通过组合数计算一下熵，熵是来源热力学的概念，熵是衡量物质的混乱程度的量，通常和物质的状态有关，我们知道当物质的能量越高时混乱程度也越高，能量越低时混乱程度也越低，下面给出熵的定义： 其中是玻尔兹曼常数，取log就是熵的来源。 把带进上式的： 现在我给空间增加少了的能量，此时封闭的空间的低 能级的粒子就会越变到高能级，也就是说会有少量的变为即： ，其中是变化的粒子数，由此我们从新计算熵为： 得到：

我们知道上式的分子和分母项是一样多的，同时在封闭的空间中是足够大的，是很小的，因此可以 把化简为： 然而从热力学角度，熵的变化量和温度以及加入的能量有关（参考维基百科），因此有如下的公式; 联立和两式的到： 化简得到为：

从上式我们看到，不同能级的比值和能量、温度T、玻尔兹曼常数都有关系，上式就称为玻尔兹曼分布。

玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布 玻尔兹曼分布律是一种覆盖系统各种状态的概率分布、概率测量或者频率分布。当有保守外力（如重力场、电场等）作用时，气体分子的空间位置就不再均匀分布了，不同位置处分子数密度不同。玻尔兹曼分布律是描述理想气体在受保守外力作用、或保守外力场的作用不可忽略时，处于热平衡态下的气体分子按能量的分布规律 玻尔兹曼(L.E.Boltzmann)将麦克斯韦分布律推广到有外力场作用的情况。在等宽的区间内，若E1>E2，则能量大的粒子数dN1小于能量小的粒子数dN2，状态即粒子优先占据能量小的，这是玻尔兹曼分布律的一个重要结果。经过将近一个世纪的传播，物理学界、化学界渐渐接受了道尔顿的“原子—分子模型”，但原子、分子的确凿证据迟迟没有找到。恰恰此时，一股更强大的科学成就——热力学第一、第二定律出现了。热力学原则上解决了一切化学平衡的问题。1892年，物理化学家奥斯特瓦尔德试图在此基础上证明，将物理学和化学问题还原为原子或分子之间的力学关系是多余的。他试图将“能量”赋以实物一样的地位，甚至要把物质还原为能量。他提出“世界上的一切现象仅仅是由于处于空间和时间中的能量变化构成的”。在统计学中，麦克斯韦- 玻尔兹曼分布是一种特殊的概率分布，以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼的名字命名。它一开始在物理中定义并使用是为了描述（特别是统计力学中描述理想气体）在理想气体中粒子自由移动的在一个固定容器内与其它粒子无相互作用的粒子速度，除了它们相互或与它们的热环境交换能量与动量所产生的非常短暂的碰撞。在这种情况下粒子指的是气态粒子（原子或分子），并且粒子

系统被假定达到热力学平衡。在这种分布最初从麦斯威尔1960年的启发性的基础上衍生出来时，玻尔兹曼之后对这种分布的物理起源进行了大量重要调查粒子速度概率分布指出哪一种速度更具有可能性：粒子将具有从分布中随机选择的速度，并且比其它选择方法更可能在速度范围内。分布取决于系统的温度和粒子的质量。麦克斯韦- 波尔兹曼分布适用于经典理想气体，这是一种理想化的实际气体。在实际气体中，存在可以使其速度分布与麦克斯韦- 波尔兹曼形式不同的各种效应（例如，范德华相互作用，涡流，相对论速度限制和量子交换相互作用）。然而，常温下的稀释气体表现得非常接近于理想的气体，麦克斯韦速度分布对于这种气体是非常好的近似值。因此，它形成了动力学气体理论的基础，其提供了许多基本气体性质（包括压力和扩散）的简化解释。

玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布定律是覆盖系统各种状态的概率分布，概率测量或频率分布。 当存在保守的外力（例如重力场，电场等）时，气体分子的空间位置不再均匀分布，并且在不同位置分子数密度也不同。玻尔兹曼分布定律描述了在保守外力或保守外力场的作用下处于热平衡状态的理想气体分子的能量分布。 L. E. Boltzmann将麦克斯韦分布定律扩展到外力场的情况。在相同的宽度范围内，如果E1> E2，则能量DN1大的粒子的数量少于能量DN2小的粒子的数量，并且状态是粒子优先占据较小的能量，这是玻尔兹曼的重要结果分配法。 经过近一个世纪的传播，物理和化学界逐渐接受道尔顿的“原子分子模型”，但是原子和分子的确凿证据尚未得到发现。这时，出现了更强大的科学成就，即热力学的第一定律和第二定律。热力学原则上解决了化学平衡的所有问题。1892年，物理化学家奥斯特瓦尔德（Ostwald）试图证明没有必要将物理和化学问题减少到原子或分子之间的机械关系。他试图赋予“能量”与物质对象相同的状态，甚至使物质恢复能量。他提出“世界上所有现象都仅由时空的能量变化构成”。 在统计中，麦克斯韦·玻尔兹曼分布是一种特殊的概率分布，以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼的名字命名。它首先被定义并在物理学中用于描述（特别是在统计力学中）粒子在理想气体中自由移动而不与固定容器中的其他粒子相互作用的速度，除了粒子与

其热环境之间的非常短时间的碰撞之外通过交换能量和动力。在这种情况下，粒子是指气态粒子（原子或分子），并且假定粒子系统达到了热力学平衡。当这种分布最初是从1960年的麦克斯韦启蒙运动中获得的时，玻尔兹曼对这种分布的物理起源进行了许多重要的研究。 粒子速度的概率分布表明哪个速度更有可能：粒子具有从分布中随机选择的速度，并且比其他选择方法更有可能处于速度范围内。分布取决于系统温度和颗粒质量。Maxwell Boltzmann分布适用于经典理想气体，这是理想的真实气体。在实际气体中，存在多种影响（例如范德华相互作用，涡流，相对论速度极限和量子交换相互作用），这些影响可能使速度分布不同于麦克斯韦·玻耳兹曼形式。但是，室温下的稀气体的性能非常接近理想气体，麦克斯韦速度分布非常近似于该气体。因此，它构成了动气理论的基础，它为许多基本的气体特性（包括压力和扩散）提供了简化的解释。

应用多方过程的玻尔兹曼分布律估算大气层总质量

应用多方过程的玻尔兹曼分布律估算大气层总质量（玉溪师范学院理学院物理系05级物理2班云南玉溪 653100） 摘要：在大多数的热学教材中只讨论等温情况下的玻尔兹曼分布律，但在研究大气过程时，若把大气过程看成是绝热过程或多方过程，这时等温过程的玻尔兹曼分布律不再适用。本论文通过对玻尔兹曼分布律的研究，把大气过程看成多方过程，在多方过程模型下推导出了多方过程玻尔兹曼分布律，最终应用多方过程玻尔兹曼分布律，对球周围大气层总质量进行精密估算。 关键词：多方过程玻尔兹曼分布律大气层总质量 1.引言 在物理学中，经常对某个物理量的值进行估算。如估算太阳质量、地球质量等。那如何对地球周围大气层的总质量进行估算呢？对于这个问题，我们可以应用玻尔兹曼分布律对地球周围大气层的总质量进行估算[1,2]。若把大气过程看成绝热过程或多方过程[3]，这时就需要应用绝热过程或多方过程的玻尔兹曼分布律估算地球周围大气层的总质量。许多文献在估算地球周围大气层的总质量时，往往把大气过程看成等温过程，应用等温过程的玻尔兹曼分布律估算大气层的总质量[4]。在普通热力学教材中只给出了等温情况下的玻尔兹曼分布律，只能用于等温过程。若把大气过程看成绝热或多方过程，这时等温过程的玻尔兹曼分布律不在适用。必须建立绝热过程或多方过程气体模型[5]，在这个模型下推导出绝热过程和多方过程的玻尔兹曼分布律，并应用多方过程的玻尔兹曼分布律估算地球周围大气层的总质量。 本文包括五部分内容：第一部分分别对等温过程、绝热过程、多方过程的玻尔兹曼分布律进行推导；第二部分将等温过程、绝热过程、多方过程的玻尔兹曼分布律进行比较，分析得出把大气过程看成多方过程的科学性。第三部分应用多方过程的玻尔兹曼分布律对地球周围大气层的总质量进行精密估算。第四部分总结和讨论应用多方过程的玻尔兹曼分布律估算地球周围大气层的总质量的精密性和存在的不足。 2.玻尔兹曼分布律的推导 推导玻尔兹曼分布律有多种方式，可以从麦克斯韦分布律出发，推导玻尔兹曼分布律[6,7,8]，也可以应用大气压强与大气层重量之间存在的关系，推导玻尔兹曼分布律。 2.1.等温过程玻尔兹曼分布律 在等温过程中，由于温度是一个恒定值,即不考虑温度的影响，而麦克斯韦

玻尔兹曼分布律

玻尔兹曼分布形成了分子运动论的基础，它解释了许多基本的气体性质，包括压强和扩散。玻尔兹曼分布通常指气体中分子的速率的分布，但它还可以指分子的速度、动量，以及动量的大小的分布，每一个都有不同的概率分布函数，而它们都是联系在一起的。 玻尔兹曼分布可以用统计力学来推导。它对应于由大量不相互作用的粒子所组成、以碰撞为主的系统中最有可能的速率分布，其中量子效应可以忽略。由于气体中分子的相互作用一般都是相当小的，因此玻尔兹曼分布提供了气体状态的非常好的近似。 在许多情况下（例如非弹性碰撞），这些条件不适用。例如，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别对电子而言，重组和碰撞激发（也就是辐射过程）是重要的。如果在这个情况下应用玻尔兹曼分布，就会得到错误的结果。另外一个不适用玻尔兹曼分布的情况，就是当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时，由于有显著的量子效应也不能使用玻尔兹曼分布。另外，由于它是基于非相对论的假设，因此玻尔兹曼分布不能做出分子的速度大于光速的概率为零的预言。 玻尔兹曼分布律 - 推导

麦克斯韦速度分布律是讨论理想气体在平衡状态中在没有外力场作用下分子按速度分布的情况。这时分子在空间分布是均匀的，气体分子在空间各处的密度是一样的。如果气体分子处于外力场(如重力场、电场或磁场)中，分子按空间位置的分布又将遵守什么规律呢？能有关。实际上，麦克斯韦已导出了理想气体分子按速度的分布，即在速度区间dvxdvydvz的分子数与该区间内分子的平动动能εk有关，而且与e－εk/kT成正比。据(9.29)式可得 玻耳兹曼把麦克斯韦速度分布律推广到气体分子在任意力场中运动的情形。在这种情况下，应考虑到分子的总能量ε＝εk＋εp，这里εk是分子的动能，εp是分子在力场中的势能。同时，由于一般说来势能随位置而定，分子在空间的分布是不均匀的，需要指明分子按空间位置的分布，即要指出位置坐标分别在x到x＋dx，y到y＋dy，z到z＋dz区间内的分子数或百分比，这里dxdydz叫位置区间，而dvxdvydvz叫速度区间。这样，一般讲来，从微观上统计地说明理想气体的状态时，以速度和位置表示一个分子的状态就需要指出其分子在d vxdvydvzdxdydz所限定的各个状态区间分子数或百分比。于是，玻耳兹曼得到理想气体在平衡态下的状态区间内分子的百分比为：

《第七章玻耳兹曼统计》(期末复习资料)

《第七章 玻耳兹曼统计》（期末复习） 一、热力学第一定律的统计解释： Q d W d dU += l l l l l l l l da d a dU a U ∑∑∑+=?=εεε 比较可知：l l l d a W d ε∑= l l l da Q d ∑=ε 即：从统计热力学观点看， 做功：通过改变粒子能级引起内能变化； 传热：通过改变粒子分布引起内能变化 二、相关公式 1、非定域系及定域系的最概然分布 l e a l l βεαω--= 2、配分函数： 量子体系：∑-=l l l e βεω1Z ∑---==l l l l l l l l e e e a βεβεβεωωωN Z N 1 半经典体系：()r r r p q r h dp dp dp dq dq dq e h d e l ΛΛΛ2121,1Z ???==-βεβεω 经典体系：()r r r p q r h dp dp dp dq dq dq e h d e l 02121,01Z ΛΛΛ???==-βεβε ω 3、热力学公式（热力学函数的统计表达式） 内能：β ??=1lnZ -N U 物态方程：V lnZ N 1??=βp 定域系：自由能：1-NkTlnZ F = 熵：B M k .ln S Ω=或??? ? ? ? ??-=ββ11lnZ ln Nk S Z

三、应用： 1、用玻耳兹曼分布推导单原子分子的理想气体物态方程并说明所推导的物态方程对多原子分子的理想气体也适用。 2、能量均分定理 ①能量均分定理的内容 ②能量均分定理的应用： A 、熟练掌握用能量均分定理求理想气体（单原子分子，多原子分子）内能、热容量。知道与实验结果的一致性及存在的问题。 B 、知道经典的固体模型，熟练掌握用能量均分定理求经典固体的内能及定容热容量。知道与实验结果的一致性及存在的问题。 3、定域系的量子统计理论： ①、爱因斯坦固体模型；②、熟练掌握用量子统计理论求爱因斯坦固体的内能及其热容量；③、知道爱因斯坦固体模型成功之处及其不足和原因。 四、应熟练掌握的有关计算 1、求配分函数1Z 进而求系统的热力学性质 2、用Ω=kln S 的证明及相关应用 四、解题指导 1、求广义力的基本公式∑??=l l l y a εY 的应用； 例1：根据公式V a p l l l ??-=∑ε，证明：对于极端相对论粒子，

《第七章 玻耳兹曼统计》小结汇总

《第七章 玻耳兹曼统计》小结 一、基本概念： 1、1>>α e 的非定域系及定域系遵守玻耳兹曼统计。 2、经典极限条件的几种表示： 1>>α e ； 1223 2 >>??? ???h mkT N V π;mkT h N V π23 1>>??? ? ??;() λ>>?3 1n 3、热力学第一定律的统计解释： Q d W d dU += l l l l l l da d a dU ∑∑+=εε l l l d a W d ε∑= l l l da Q d ∑=ε 即：从统计热力学观点看，做功：通过改变粒子能量引起内能变化；传热：通过改变粒子分布引起内能变化。 二、相关公式 1、非定域系及定域系的最概然分布 l e a l l βεαω--= 2、配分函数： 量子体系：∑-= l l l e βεω1Z ∑---==l l l l l l l l e e e a βεβεβεωωωN Z N 1 半经典体系：()r r r p q r h dp dp dp dq dq dq e h d e l 2121,1Z ???==-βεβεω 经典体系：()r r r p q r h dp dp dp dq dq dq e h d e l 2121,01Z ???==-βεβεω 3、热力学公式（热力学函数的统计表达式） 内能：β ??=1 lnZ -N U

物态方程：V lnZ N 1??=βp 定域系：自由能：1-NkTlnZ F = 熵：B M k .ln S Ω=或??? ? ? ???-=ββ11lnZ ln Nk S Z 1>>αe 的非定域系（经典极限条件的玻色(费米)系统）： 自由能：!ln -NkTlnZ F 1N kT += 熵：! ln kln S .N k B M Ω=Ω=或!ln lnZ ln Nk S 11N k Z -??? ? ? ???-=ββ 三、应用： 1、求能量均分定理 ①求平均的方法要掌握：()dx x xp ?=x ②能量均分定理的内容---能量均分定理的应用：理想气体、固体、辐射场。 ③经典理论的局限于问题 2、对1>>α e 的非定域系的应用 ①掌握由麦氏分布向具体分布的国度方法， ②掌握求平均值的公式：()dx x xp ?=x ③热力学公式。 ⑶理想气体的内能、热容量、熵、自由能的经典理论和量子理论的求解及其表达式。 3、对定域系的应用①爱因斯坦固体热容量理论②顺磁性固体。 ⑴麦克斯韦速度分布 ⑵气态方程

玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布 麦克斯韦-玻尔兹曼分布是描述一定温度下，理想气体分子运动速度的概率分布。宏观物理系统的温度，微观上来讲就是大量分子热运动的剧烈程度。单个气体分子的热运动有一个速度范围，通过与其它分子的碰撞而不断变化。然而对于大量气体分子来说，处于特定的速度范围的分子所占的比例基本不变。 麦克斯韦-玻尔兹曼分布就是理想气体分子的速度关于系统温度的函数： 在这之前，首先了解什么是理想气体，以及系统的玻尔兹曼分布。 气体三定律： 1、一定质量的气体，在等温过程中，压强跟体积成反比。即P1V1=P2V2=C1。

2、一定质量的气体，在压强不变时，体积与温度成正比。即V1/T1=V2/T2=C2。 3、一定质量的气体，当体积一定时，压强与温度成正比。即P1/T1=P2/T2=C3。综合气体三定律可得PV/T=C，C表示常量。 理想气体： 在任何情况下都遵守气体三定律，服从方程PV/T=C的气体称为理想气体。其有三大性质： 1、理想气体分子之间没有相互作用力，即没有分子势能。 2、理想气体分子的碰撞不造成动能损失。 3、理想气体的内能是气体分子动能之和。

玻尔兹曼分布 玻尔兹曼分布是系统中的粒子在各种可能的能量状态下的概率分布：F∝e^(-ε/kT) ε表示某个能量态的能量。 其概率密度分布为：

Pi=(e^-ε/kT)/∑(e^-εi/kT) 其中Pi是能量态i的概率，εi是量子态i的能量，k是玻尔兹曼常数，T是热力学温度，∑是对系统各个能量态概率的求和。 Pi=Ni/N 其中Ni为处于i能量态的粒子数，N为系统中的粒子总数。 麦克斯韦-玻尔兹曼分布 麦克斯韦-玻尔兹曼分布也是一种玻尔兹曼分布，对于理想气体，能量是分子动能之和。气体分子的动能表示为： E=mV2/2 m是单个分子的质量，V是分子速度矢量(Vx,Vy,Vz)。 将其代入玻尔兹曼分布：

玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布详解 为了解决伪吸引子还需要引入另外一个重要概念即：玻尔兹曼分布。本篇将详解玻尔兹曼分布，但是还是先说说为什么要引入玻尔兹曼分布，因为为了解决Hopfield神经网络的伪吸引子的问题，引入模拟退火算法和玻尔兹曼分布，下一节将在Hopfield神经网络中加入这两个算法，组合成一个新的神经网络即随机神经网络或者玻尔兹曼机。因为本人喜欢刨根问底，所以会深入挖掘引入的知识，这样下节讲起来就会很容易，也会更容易理解，不会觉的太突兀，另外一点就是希望能深入理解和掌握玻尔兹曼机，因为后面还会引入受限玻尔兹曼机、深度信念网络、CNN、RNN。因此我们正在慢慢的靠近深度学习的核心区域，前面就说过，所有的算法都不是拍着脑袋想出来的，他是根据出现的问题，慢慢研究出算法的，我们要想深入理解深度学习，沿着他的发展历程学习将更容易，更具有体系化，以后遇到问题也知道如何解决，您说呢？好，废话不多说，下面就开始主题：玻尔兹曼分布。 玻尔兹曼分布： 在物理学（特别是统计力学）中，麦克斯韦 - 玻尔兹曼分布是以詹姆斯·克拉克斯·马克斯韦尔和路德维希·波兹曼命名的特定概率分布。 这是第一次定义，并且用于描述颗粒速度在理想化的气体，其中所述颗粒的固定容器内自由移动，而不会彼此互动，除了非常简短的碰撞，其中它们与彼此或与它们的热环境交换能量和动量。在该上下文中，术语“颗粒”仅指气态颗粒（原子或分子），并且假设颗粒系统已达到热力学平衡。[1]这种粒子的能量遵循所谓的麦克斯韦 - 玻尔兹曼统计通过将粒子能量与动能等同来推导出速度的统计分布。（此来源维基百科，详情请点击了解），在这里我不会讲解的那么深，从容易接受的角度出发，因此会有点不严谨，但是对于我们理解已经够用了，想深入理解的请参考维基百科。

玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布 Maxwell-Boltzmann分布是一种概率分布，在物理和化学中都有应用。最常见的应用是统计力学领域。任何（宏观）物理系统的温度都是组成系统的分子和原子运动的结果。这些粒子具有不同的速度范围，并且任何单个粒子的速度由于与其他粒子的碰撞而不断变化。但是，对于大量粒子，如果系统处于或接近于平衡状态，则在一定速度范围内的粒子比例几乎不变。Maxwell-Boltzmann分布针对任何速度范围指定了该比率，该比率是系统温度的函数。它以James Clark Maxwell和Ludwig Boltzmann的名字命名。 Maxwell-Boltzmann分布构成了分子动力学理论的基础。它解释了许多基本 气体性质，包括压力和扩散。Maxwell-Boltzmann分布通常是指气体中分子速度的分布，但也可以指分子的速度，动量和动量的分布。每个都有不同的概率分布函数，并且它们都是相关的。一起。 Maxwell-Boltzmann分布可以使用统计力学方法得出（请参阅Maxwell-Boltzmann统计数据）。它对应于由大量非相互作用粒子组成的基于碰撞的系统中最可能的速度分布，其中量子效应可以忽略。由于气体中分子的相互作用通常很小，因此麦克斯韦-玻耳兹曼分布提供了非常好的气体状态近似值。 在许多情况下（例如非弹性碰撞），这些条件不适用。例如，在电离层和空间等离子体的物理学中，特别是对于电子，复合和碰撞激发（即辐射过程）很重要。如果在这种情况下应用Maxwell-Boltzmann分布，将会得到错误的结果。

Maxwell-Boltzmann分布不适用的另一种情况是，当气体的量子热波长与粒子之间的距离相比不够小时，由于明显的量子效应，无法使用Maxwell-Boltzmann 分布。另外，由于它是基于非相对论的假设，因此麦克斯韦-玻耳兹曼分布无法预测分子速度大于光速的概率为零。

麦克斯韦-玻尔兹曼载流子统计

玻尔兹曼方程 Boltzmann equation玻尔兹曼方程 （1）基本概念： 对于载流子的导电、导热等输运过程的分析，简单的方法就是采用所谓粒子平均运动的模型来处理。这能够得到载流子的各种输运参量，但是因为忽略了许多因素，故结果不太精确。 玻尔兹曼方程是经典粒子牛顿力学运动模型，和能态跃迁的量子力学模型相糅合的产物。如果忽略所有的相干效应，经过一定的简化，可以从量子输运模型中推导出玻尔兹曼方程。经典的输运理论建立在玻尔兹曼传输理论的基础上，玻尔兹曼理论的基本假设包括： (i) 电子和空穴都是微小粒子； (ii) 粒子之间各自独立，没有相干性，通过散射互相作用； (iii) 粒子可以用Bloch理论描述； (iv) 散射是一种瞬态行为，没有时间和空间上的持续性； (v) 只考虑两个粒子之间的散射，不考虑多个粒子之间的共同作用。 （2）玻尔兹曼方程： Boltzmann equation 又称为玻尔兹曼输运方程，它就是分布函数法中所采用的一种方程，即是非平衡分布函数f(k,r,t)所满足的一个方程，求解此方程可得到不同条件下的f(k,r,t)，然后即可求出电子的各种输运参量。 玻尔兹曼输运方程中考虑到了载流子的速度分布和散射的方向性，因此较为精确。 在有电场或温度梯度等外场的情况下，根据分布函数因电场、磁场、温度梯度等外场而引起的漂移变化以及因散射而引起的变化，即可建立起Boltamann方程，由于其中的散射项应是一个对散射几率的积分, 所以Boltamann方程是一个微分-积分方程。该方程的求解很复杂, 通常采用近似方法，常用的一种近似方法就是弛豫时间近似。 玻尔兹曼方程是一个高维的方程，三维波矢空间（k），三维实空间（r），再加上一维时间（t），难于求解，常用蒙特卡罗方法来模拟。 （3）局限性： 随着半导体器件进入纳米尺度，量子效应对器件性能的影响越来越重要，载流子的输运进入了量子输运的领域，这同时体现在空间和时间两个方面。一方面，位于费米能量的电子的德布罗易波长与器件的尺寸相比拟，电子的波动性更加明显；另一方面，电子在沟道中的输运时间动量和能量的弛豫时间相当，使得描述载流子散射的费米黄金定则的适用性受到局限。因此，对纳米尺度半导体器件，玻尔兹曼方程的适用性受到局限，载流子输运需要建立在量子力学理论框架上。