1.计算下列定积分: ⑴
3sin()3x dx π
ππ
+?;
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
3sin()3x dx π
π
π
+?3sin()()33x d x π
πππ=++?3
cos()
3x ππ
π
=-+
[cos()cos()]333ππππ=-+-+[cos (cos )]033
ππ
=----=。
【解法二】应用定积分换元法
令3
x u π
+
=,则d x d u =,当x 从
3π单调变化到π时,u 从23π单调变化到43
π
,于是有
3sin()3x dx π
ππ
+?4323
sin udu ππ=?4323
cos u
π
π=-42[cos
cos ]33
ππ=-- [cos
(cos )]033
π
π
=----=。
⑵
1
32(115)dx
x -+?;
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
1
32(115)dx x -+?13
2
1(115)(115)5x d x --=++?212
11(115)52
x --=?+-
22
111
[]10(1151)(1152)
=-
-+?-?211(1)1016=--51512=。 【解法二】应用定积分换元法
令115x u +=,则1
5
dx du =
,当x 从2-单调变化到1时,u 从1单调变化到16,于是有
1
32(115)dx
x -+?1631
15u du -=?2161
1152
u -=?-211
(1)1016
=-
-51512=。
⑶
32
sin cos d π
????
;
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
3
20sin cos d π????3
2
cos cos d π??=-?420
1cos 4
π
?=-441[cos cos 0]42
π
=--
1
[01]4
=--14=。
【解法二】应用定积分换元法
令cos u ?=,则sin d du ??-=,当?从0单调变化到
2
π
时,u 从1单调变化到0,于是有
320
sin cos d π
????
031u du =-?130u du =?4
1
1
4
u =14
=
。 ⑷
30
(1sin )d π
θθ-?
;
【解】被积式为3
(1sin )d θθ-,不属于三角函数的基本可积形式,须进行变换。由于1是
独立的,易于分离出去独立积分,于是问题成为对3
sin d θθ的积分,这是正、余弦的奇数次幂的积分,其一般方法是应用第一换元法,先分出一次式以便作凑微分:
sin cos d d θθθ=-,余下的22sin 1cos θθ=-,这样得到的2(1cos )cos d θθ--便为变
量代换做好了准备。具体的变换方式有如下两种: 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
3
(1sin )d π
θθ-?
20
1sin sin d d ππ
θθθθ=-??20
(1cos )cos d π
π
θ
θθ=+-?
301
(cos cos )3
ππθθ=+-
331
(cos cos 0)(cos cos 0)3
πππ=+---
1
(11)(11)3
π=+-----43π=-。
【解法二】应用定积分换元法
令cos u ?=,则sin d du ??-=,当?从0单调变化到π时,u 从1单调变化
到1-,于是有
3
(1sin )d π
θθ-?
20
1sin sin d d ππ
θθθθ=-??20
(1cos )cos d π
π
θ
θθ=+-?
121(1)u du π-=+-?31
1
1()3
u u π-=+- 1
(11)(11)3
π=+-----43π=-。
⑸
22
6
cos udu π
π
?;
【解】这是正、余弦的偶次幂,其一般积分方法为,利用三角函数的半角公式:
2
1cos cos 22u u +=,将平方部份降次成为一次的余弦三角函数:21cos 2cos 2
u u +=,使之可以换元成为基本可积形式: 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
2
26cos udu π
π?261cos 22u du π
π+=?226611
(cos 22)22du ud u ππ
ππ=+?? 2
2
6
6
11(sin 2)2
2u u ππ
π
π=+11[()(sin sin )]22623ππππ=-+-
13
()234
π=-。 【解法二】应用定积分换元法
令2u x =,则1
2
du dx =
,当u 从6π单调变化到2π时,x 从3π单调变化到π,
于是有
2
26cos udu π
π?261cos 22u du π
π+=?226611
(cos 22)22du ud u ππ
ππ=+?? 2
36
1
1(cos )2
2u xdx ππππ
=+?3
11
[()sin ]2262x ππππ=-+ 11[(sin sin )]2323πππ=+-13
()234
π=-。 ⑹
2
20
2x dx -?
;
【解】被积函数中含根号,且根指数及根号内多项式的次数都是2,应该应用第二类换元法中的三角变换法:
为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方,应令2sin x u =,当x 从0单调
变化到
2时,u 从0单调变化到
2
π
,且22222sin 2cos x u u -=-=,2cos dx udu =,使得
2
2
2x dx -?
20
2cos 2cos u udu π
=??2
1cos 222
u
du π
+=? 220
cos 2du udu π
π
=+??220
1cos 222u
ud u π
π
=+? 220
1
sin 22
u
u π
π
=+1
(sin 0)22
π
π=
+-2π=。
⑺
2
112
2
1x dx x
-?
; 【解】被积函数中含根号,且根指数及根号内多项式的次数都是2,应该应用第二类换元法中的三角变换法:
为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方,应令sin x u =,当x 从
1
2
单调变化到1时,u 从4π单调变化到2π,且2222211sin cos sin sin x u u
x u u
--==,cos dx udu =,
使得
211
22
1x dx x -?
224cos cos sin u udu u ππ=??224cot udu ππ=?224
(csc 1)u du π
π=-? 24
(cot )
u u π
π
=--[(cot
cot )()]2424
π
πππ
=--+-14π=-。
⑻
2220
a
x a x dx -?
(0a >)
; 【解】被积函数中含根号,且根指数及根号内多项式的次数都是2,应该应用第二类换元法中的三角变换法:
为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方,应令sin x a u =,当x 从0单调变
化到a 时,u 从0单调变化到
2
π,且22222
222s i n s i n s i n c o s x a x a u a u u a u -=-=?,
cos dx a udu =,使得
2
220
a
x
a x dx -?
22
20sin cos cos a u a u a udu π=???422
sin 24
a
udu π
=
?
4
201cos 442a u du π
+=?42
1(sin 4)84a u u π
=+
41
[(sin 20)]824
a ππ=+-4116a π=。
⑼
3
2
2
1
1dx x
x
+?
;
【解】被积函数中含根号,且根指数及根号内多项式的次数都是2,应该应用第二类换元法中的三角变换法:
为使根号内的变量在后的平方和转换成完全平方,应令tan x u =,当x 从1单调变
化到3时,u 从
4π单调变化到3
π
,且 2222
222sec sec tan sec 1tan 1tan dx udu
udu
u u x x u u ==++2cos sin u du u
=21sin sin d u u = 使得
3
22
1
1dx x x +?
3
2
4
1
sin sin d u u
π
π=? 这时,再令sin u t =,当u 从
4π单调变化到3π时,t 从22单调变化到32
, 又得32
41sin sin d u u π
π?32
222
1dt t =?3
222
1t =-22(
)32=--2
23
=-。 ⑽
1
20
2x x dx -?
;
【解】被积函数中含根号,且根指数及根号内多项式的次数都是2,应该应用第二类换元法中的三角变换法。
由于根号内的二次多项式并非为三角变换中的平方和或差的标准形式,需要先将其转
化为标准形:
22221(12)1(1)x x x x x -=--+=--,
现在,根号内的二次多项式成为了变量在后的平方差的形式了,因此可令
1sin x u -=,当x 从0单调变化到1时,1x -从1-单调变化到0,从而u 对应从2
π
-
单调
变化到0,
而且22221sin cos cos x x u u u -=-==,cos dx udu =,于是
1
20
2x x dx -?
2
cos cos u udu π-=??0
2
1cos 22u du π
-+=?
02
11(sin 2)22u u π
-
=+
11
{[0()][sin 0sin()]}222
ππ=--+--4π=。
⑾
4
1
1dx
x
+?
;
【解】被积函数中含根号,可见根指数与根号内多项式的次数不相等,应该应用第二类换元法中的直接变换法:
【解法一】令x u =,当x 从1单调变化到4时,u 从1单调变化到2,且由此得2
x u =,
2dx udu =,
11
11u x
=++,于是 4
1
1dx x
+?
2121udu u =+?2112(1)1du u =-+?212(ln 1)u u =-+ 2[(21)(ln3ln 2)]
=---32(1ln )2=-2
2(1ln )3
=+。 【解法二】为便于积分,可使变换后的分母成为简单变量,即令1x u +
=,当x 从1单调
变化到4时,u 从2单调变化到3,且由此得2(1)x u =-,2(1)dx u du =-,11
1u
x =+,
于是
4
1
1dx
x
+?
322(1)u du u -=?3212(1)du u =-?3
2
2(ln )u u =-
2[(32)(ln3ln 2)]=---3
2(1ln )2
=-。
⑿
1
34
11
dx
x --?
;
【解】被积函数中含根号,可见根指数与根号内多项式的次数不相等,应该应用第二类换元法中的直接变换法:
【解法一】令1x u -=,当x 从
34单调变化到1时,u 从1
2
单调变化到0,且由此得21x u =-,2dx udu =-,
111
11u x =---,于是
1
34
11dx x --?
01221
u du u -=-?12012(1)1du u =+
-?1
202(ln 1)u u =+-
不定积分练习题一、选择题、填空题: 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数,贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数,贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中,过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x),则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续,则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是:(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则: f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx
1.计算下列定积分: ⑴ 3sin()3x dx π ππ +?; 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3sin()3x dx π ππ +?3sin()()33x d x π πππ=++?3 cos() 3x πππ =-+ [cos()cos()]333π π π π=-+-+[cos (cos )]033 π π =----=。 【解法二】应用定积分换元法 令3 x u π + =,则dx du =,当x 从 3π单调变化到π时,u 从23π单调变化到43 π ,于是有 3sin()3x dx π ππ +?4323 sin udu ππ=? 4323 cos u π π=-42[cos cos ]33 ππ=-- [cos (cos )]033 π π =----=。 ⑵ 1 32(115)dx x -+?; 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 1 32(115)dx x -+?13 2 1(115)(115)5x d x --=++?212 11(115)52 x --=?+- 22111 []10(1151)(1152)=- -+?-?211(1)1016 =--51512=。 【解法二】应用定积分换元法 令115x u +=,则1 5 dx du =,当x 从2-单调变化到1时,u 从1单调变化到16,于是有 1 32(115)dx x -+?1631 15u du -=?2 161 1152 u -=?-211 (1)1016 =- -51512=。 ⑶ 32 sin cos d π ???? ; 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3 20sin cos d π????3 2 cos cos d π??=-?420 1cos 4 π?=-441[cos cos 0]42 π =--
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题:、( 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数,则: 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数,则、在积分曲线族 中,过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续,则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是: (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则:
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项, 分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式, 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 (- +-)2 思路:分项积分。 解:34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134(- +-)2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 :2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =? 111 7248 8 x x ++==,直接积分。 解 : 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解: 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解:21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
__________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9 9 9 9 (57)(57)(5711(57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?= +?++? ? ? ? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =?=+=+? 【注】111 (ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===?? 3(1)sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --= ===? ???? cos ln |cos |c ln |co s |o s x x d C x C x =-=-+=-+? 【注】(cos )'sin ,(cos )sin ,sin (cos )x x d x xdx xdx d x =-=-=-?? 3(2)cos cos cot sin sin sin sin xdx x xdx dx d x x x x = ==? ??? sin ln |si ln |sin |n |sin x x d C x C x ==+=+? 【注】(sin )'cos ,(sin )cos ,cos (sin )x x d x xdx xdx d x ==?=? 4(1) 1()11d dx a x a x a d x x a x =?=?++++??? ln |1(|)ln ||d C a x a x a x a x C ++=?=+=+++? 【注】()'1,(),()a x d a x dx dx d a x +=+==+?? 4(2) 1()11d dx x a x x x d a a x a =?=?----??? ln |1(|)ln ||d C x a x a x a x a C --=?=+=--+? 【注】()'1,(),()x a d x a dx dx d x a -=-==-?? 4(3) 22221111111212x a a x a dx dx x a x a dx dx a a a x dx x ??- ?--+??? =-+?==- ? -?? ?????
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!
★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
定积分的换元积分法与分部积分法
定积分的换元积分法与分部积分法 教学目的:掌握定积分换元积分法与分部积分法 难点:定积分换元条件的掌握 重点:换元积分法与分部积分法 由牛顿-莱布尼茨公式可知,定积分的计算归结为求被积函数的原函数.在上一章中,我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得,因此,换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的.1.定积分换元法 定理假设 (1) 函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上连续; (2) 函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上有连续且不变号的导数; (3) 当?Skip Record If...?在?Skip Record If...?变化时,?Skip Record If...?的值在?Skip Record If...?上变化,且?Skip Record If...?, 则有 ?Skip Record If...?.(1) 本定理证明从略.在应用时必须注意变换?Skip Record If...?应满足定理的条件,在改变积分变量的同时相应改变积分限,然后对新变量积分.例1计算?Skip Record If...?. 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢4
仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢4 解 令?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?.当?Skip Record If...?时,?Skip Record If...?;当?Skip Record If...?时,?Skip Record If...?.于是 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?. 例2 计算?Skip Record If...??Skip Record If...?. 解 令?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?.当?Skip Record If...?时,?Skip Record If...?;当?Skip Record If...?时,? ?Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?. 显然,这个定积分的值就是圆?(图5-8). 例3 计算?Skip Record If...?. 解法一 令?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?. 当?Skip Record If...?时,?Skip Record If...?;当?Skip Record If...?时,?Skip Record If...?,于是 ?Skip Record If...?. 解法二 也可以不明显地写出新变量?Skip Record If...?,这样定积分的上、下限也不要改变. 即 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?.
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L . 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解 将区间[0,1]n 等分,则每个小区间长为1i x n ?=,然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项.于是将所求极限转化为求定积分.即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?. 例2 0 ? =_________. 解法1 由定积分的几何意义知,0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故0 ? = 2 π . 解法2 本题也可直接用换元法求解.令1x -=sin t (2 2 t π π - ≤≤ ),则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?,2 1 2 x e dx ?,1 2 (1)x dx +?. 分析 对于定积分的大小比较,可以先算出定积分的值再比较大小,而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小. 解法1 在[1,2]上,有2 x x e e ≤.而令()(1)x f x e x =-+,则()1x f x e '=-.当0x >时,()0f x '>,()f x 在(0,)+∞上单调递增,从而()(0)f x f >,可知在[1,2]上,有1x e x >+.又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?,从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???. 解法2 在[1,2]上,有2 x x e e ≤.由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+.注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?.因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??. 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值. 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值.
第五章 不定积分 习题 5-1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -,并且当x = 1时, 该函数值是3 2π,求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时, 3 (1)2f π =,代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍,求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
不定积分第一类换元法(凑微分法) 一、 方法简介 设)(x f 具有原函数)(u F ,即)()('u f u F =,C u F du u f +=?)()(,如果U 是中间变量,)(x u ?=,且设)(x ?可微,那么根据复合函数微分法,有 dx x x f x dF )(')]([)]([???= 从而根据不定积分的定义得 ) (] )([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ????=??=+=. 则有定理: 设)(u f 具有原函数,)(x u ?=可导,则有换元公式 ) (] )([)(')]([x u du u f dx x x f ???=??= 由此定理可见,虽然?dx x x f )(')]([??是一个整体的记号,但如用导数记号 dx dy 中的dx 及dy 可看作微分,被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待,从而微分等式du dx x =)('?可以方便地应用到被积表达式中。 几大类常见的凑微分形式: ○1??++=+)()(1 )(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ; ○ 2??=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ,??-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ,?? =x d x f x dx x f tan )(tan cos ) (tan 2,x d x f x dx x f cot )(cot sin )(cot 2??-=; ○3??=x d x f dx x x f ln )(ln 1 )(ln ,??=x x x x de e f dx e e f )()(; ○ 4n n n n x d x f n dx x x f ??=-)(1)(1)0(≠n ,??-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ,? ?=)()(2) (x d x f x dx x f ; ○ 5??=-x d x f x dx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2 ;
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数52 x - =,由积分表中的公式(2)可解。 解: 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? () 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??() ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?
思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134( -+-)2 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134( -+-)2 ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 :2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ?? ★★ (9) 思路 =? 看到1117248 8 x x ++==,直接积分。 解 : 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解: 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解:21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? 3x x e dx ?
不定积分 (A) 1、求下列不定积分 1)?2 x dx 2) ? x x dx 2 3) dx x ?-2)2 ( 4) dx x x ? +2 2 1 5)??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 6) dx x x x ?2 2sin cos 2 cos 7) dx x e x) 3 2(?+ 8) dx x x x ) 1 1( 2 ?- 2、求下列不定积分(第一换元法) 1) dx x ?-3)2 3( 2) ? - 33 2x dx 3) dt t t ?sin 4) ? ) ln(ln ln x x x dx 5)? x x dx sin cos6) ?- +x x e e dx 7) dx x x) cos(2 ? 8) dx x x ? -4 3 1 3 9) dx x x ?3 cos sin 10) dx x x ? - - 2 4 9 1 11)? -1 22x dx 12) dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan
3、求下列不定积分(第二换元法) 1) dx x x ? +2 1 1 2) dx x ?sin 3) dx x x ?-4 2 4) ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x 5)? +3 2)1 (x dx 6) ? +x dx 2 1 7)? - +2 1x x dx 8) ? - +2 1 1x dx 4、求下列不定积分(分部积分法) 1) inxdx xs ? 2) ?xdx arcsin 3)?xdx x ln 2 4) dx x e x ?- 2 sin 2 5)?xdx x arctan 2 6) ?xdx x cos 2 7)?xdx 2 ln 8) dx x x 2 cos2 2 ? 5、求下列不定积分(有理函数积分) 1) dx x x ? +3 3 2)? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3)? +)1 (2x x dx (B) 1、一曲线通过点 )3, (2e,且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -,且当1 = x时函数值为 π 2 3 ,试求此函数。
不定积分换元法例题
【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+? 求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==??? 【凑微分】 ()()f u du F u C ==+? 【做变换,令()u x ?=,再积分】 (())F x C ?=+ 【变量还原,()u x ?=】 【求不定积分()g x dx ?的第一换元法的具体步骤如下:】 (1)变换被积函数的积分形式:()(())'()dx g x f x x dx ??=?? (2)凑微分:()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ????==??? (3)作变量代换()u x ?=得:()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ????==???()u f u d =? (4)利用基本积分公式()()f u du F u C =+?求出原函数: ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()d u u C f u F ==+? (5)将()u x ?=代入上面的结果,回到原来的积分变量x 得: ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()f u du F u C ==+?(())F x C ?=+ 【注】熟悉上述步骤后,也可以不引入中间变量()u x ?=,省略(3)(4)步骤,这与复合函数的求导法则类似。 __________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9999(57)(57)(5711 (57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?=+?++???? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1 ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2 x x x d C x C =?=+=+?
上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名: 学号: 班级: 成绩: 一、选择题:(每小格3分,共30分) 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数,且0a ≠,则()f ax dx a ?应等于( ) (A )3sin ax C a x +; (B )2sin ax C a x +; (C )sin ax C ax +; (D )sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +,则()F x =( ) (A )12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+;(B ),0()2,0x x e c x F x e c x -?+≥=?-++; (C ),0 ()2,0x x e x F x e x -?≥=?-+;(D ),0(),0 x x e x F x e x -?≥=?- 3、设0 1,0 ()0,0,()()1,0x x f x x F x f t dt x >?? ===??- ?,则( ) (A )()F x 在0x =点不连续; (B )()F x 在(,)-∞+∞内连续,在0x =点不可导; (C )()F x 在(,)-∞+∞内可导,且满足()()F x f x '=; (D )()F x 在(,)-∞+∞内可导,但不一定满足()()F x f x '=。 4、极限0 2 sin lim x x x t tdt t dt →?? =( ) (A )-1; (B )0; (C )1; (D )2 5、设在区间[,]a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>。令1()b a s f x dx =?,2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-,则( ) (A )123s s s <<; (B )213s s s <<; (C )312s s s <<; (D )231s s s <<
【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+? 求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==??? 【凑微分】 ()()f u du F u C = =+? 【做变换,令()u x ?=,再积分】 (())F x C ?=+ 【变量还原,()u x ?=】 【求不定积分()g x dx ?的第一换元法的具体步骤如下:】 (1)变换被积函数的积分形式:()(())'()dx g x f x x dx ??= ?? (2)凑微分:()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ????==??? (3)作变量代换()u x ?=得:()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ????= =???()u f u d =? (4)利用基本积分公式 ()()f u du F u C =+?求出原函数: ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()d u u C f u F ==+? (5)将()u x ?=代入上面的结果,回到原来的积分变量x 得: ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()f u du F u C ==+?(())F x C ?=+ 【注】熟悉上述步骤后,也可以不引入中间变量()u x ?=,省略(3)(4)步骤,这与复合函数的求导法则类似。 __________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、999 9(57)(57)(5711(57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?=+?++???? 110091(57)(57)(57)10111(57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1(57)'5,(57)5,(57)5x d x dx dx d x +=+==+?? 2、 1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221(l 1ln ln (ln )2n )2 x x x d C x C =?=+=+? 【注】111(ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===?? 3(1)sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --====?????
1.计算下列定积分: ⑴ sin( x )dx ; 3 3 【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式 sin( x )dx sin( x )d ( x ) cos( x ) 3 3 3 3 3 3 3 [cos( ) cos( )] [ cos( cos )] 0。 3 3 3 3 3 【解法二】应用定积分换元法 令 x 3 u ,则 dx du ,当 x 从 单调变化到 时,u 从 2 单调变化到 4 , 3 3 3 4 4 4 2 sin( x )dx 3 sinudu cosu 23 于是有 2 [cos cos ] 3 3 3 3 3 3 [ cos ( cos )] 0 。 3 3 ⑵ 1 dx ; 2 (11 5x)3 【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式 1 dx 1 1 (11 5x) 3 d (11 5x) 1 1 5x) 2 1 2 (11 5x)3 5 5 (11 2 2 2 1 [ 1 2 (11 1 2) 2 ] 1( 1 2 1) 51 。 10 (11 5 1) 5 10 16 512 【解法二】应用定积分换元法 令 11 5x u ,则 dx 1 du ,当 x 从 2 单调变化到 1 时, u 从 1 单调变化到 5 16,于是有 1 dx 1 16 u 3 du 1 1 2 16 1 1 1) 51 2 (11 5x)3 5 5 u 1 ( 。 1 2 10 162 512 ⑶ 2 sin cos 3 d ; 【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式
=—[cos (二 )一cos( )] = -[-cos —(-cos )] = 0。 3 3 3 3 3 【解法二】应用定积分换元法 , n n 于是有 二sin(x )dx 3 23- - -[cos —— cos ——] 2 3 3n n: =-[-cos - (- cos )] = 0。 3 3 【解法二】应用定积分换元法 则dx = 1 du ,当x 从-2单调变化到1时, 5 16,于是有 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 1计算下列定积分: I 、 ■■兀 n ⑴! :...s in (x )dx 3 3 【解法一】应用牛顿 -莱布尼兹公式 71 二sin(x c )dx _ :sin(x 3)d(x 3) =_cos(x ) 3 兀 JI 3 令x u ,则d di 3 ,当x 从一单调变化到 3 二时,u 从 3 4n 单调变化到 , dx 1 ⑵"11 5犷 【解法一】应用牛顿 -莱布尼兹公式 1 dx 2(11 5x)3 5 ; (11 5x)'d(11 5x)二 1 1 (11 5x) -2 1 1 10[(11 5 1)2 (11一5 2)' - 10 (162 1) 1 [ (1) 51 512 ° ⑶ 2 sin : 1 dx 2(11 5x)3 5 cos 3 d ; 16 u "du 5 -2 1 u" 16 1 10( 16 2_1) 51 512 ° o 2 sin Z -, o 2 cos : 3 dcos JI 2 0 1 4心 4 一 [cos — cos 0] 4 2 JI JI 二 23 sinudu 二-cosu 令 11 5x = u , u 从1单调变化到
不定积分-定积分复习题及答案-精品 不定积分、定积分 测验试卷 姓名: 学号: 班级: 成绩: 一、选择题:(每小格3分,共30分) 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数,且0a ≠,则() f ax dx a ?应等于( ) (A )3sin ax C a x +; (B )2sin ax C a x +; (C )sin ax C ax +; (D )sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +,则()F x =( ) (A )12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+;(B ),0 ()2,0x x e c x F x e c x -?+≥=?-++; (C ),0 ()2,0x x e x F x e x -?≥=?-+;(D ),0(),0x x e x F x e x -?≥=?- 3、设0 1,0 ()0,0,()()1,0x x f x x F x f t dt x >?? ===??- ?,则( ) (A )()F x 在0x =点不连续; (B )()F x 在(,)-∞+∞内连续,在0x =点不可导; (C )()F x 在(,)-∞+∞内可导,且满足()()F x f x '=; (D )()F x 在(,)-∞+∞内可导,但不一定满足()()F x f x '=。 4、极限0 2 sin lim x x x t tdt t dt →?? =( ) (A )-1; (B )0; (C )1; (D )2 5、设在区间[,]a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>。令1()b a s f x dx = ? ,2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-,则( ) (A )123s s s <<; (B )213s s s <<; (C )312s s s <<; (D )231s s s << 二、填空题:(每小格3分,共30分)
【第一换元法例题】 1 、 (5x 7)9dx (5x 7)9dx (5x 1 9 1 1 5 (5x 7)d(5x 7) 5 10(5x 【注】(5x 7)' 5, d(5x 7) 5dx, 7)9;d(5x 7) 7)10C — (5x 50 1 d(5x 5 1 (5x 7)9d(5x 7) 5 7)10C % In x In x d ln x 1 x dx In x d In x x -W x)2 【注】(Inx)' 1 x d(ln x) 1 别nx) - dx, x 3 (1) tan xdx sinx , dx cosx sin xdx cosx 【注】 3 (2) 【注】 4 (1) dx 7) -dx x d(l n x) d cosx d cosx cosx cosx d cosx cosx (cosx)' cot xdx d sin x sin x (sin x)' In |cosx | C In |cosx| C sinx, d (cosx) 叱dx 竺型 sinx sinx sin xdx, sin xdx d(cos x) d sin x sin x In | sin x | C In |sin x | C cosx, d (sin x) cosxdx, cosxdx d (sin x) —dx a x 1 d(a a x d(a x) 【注 】 (a x)' 1, d (a x) dx, dx d (a x) 4 (2)1 dx 1 dx 1 d(x a) x a x a x a 1 d(x a) In |x a| C ln| x a | C x a 【注 】 (x a)' 1, d(x a) dx, dx d(x a) 4 (3) 1 J、, 1 1 1 1 1 1 dx dx 2 2dx 2 2dx 2a x a x a x a x a 2a x a x| C In |a x| C x) In |a 1 dx x a In | x a | 2a In | x a | C x a x a C 2a