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人教版八年级(上)全等三角形的概念和性质及判定

全等三角形的概念和性质及判定一

全等形、全等三角形及其相关的概念

（1）全等形：能够重合的两个图形叫做全等形.

（2）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶

点叫做对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边．

如下图所示：

已知：△ABC ≌DFE ，A 与D ，B 与F 是对应顶点，则：(C 与E 是对应顶点) 对应边有：AB 与DF ，AC 与DE ，BC 与FE ．对应角有：A D B F C E ∠∠∠∠∠∠与，与，与．

全等三角形的数学语言：

三角形ABC 与三角形A ′B ′C ′全等，记作△ABC ≌△A ′B ′C ′，读作“三角形ABC 全等于三角形A ′B ′C ′”．全等三角形的性质：

（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；（2）全等三角形的面积相等，周长相等；

模块一：全等三角形的概念和性质

B C D

知识结构知识精讲

（3）全等三角形的对应线段（高线、中线、角平分线）相等．

全等三角形中应注意的问题：

（1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义；

（2）符号“≌”表示的双重含义：①“∽”表示形状相同；②“=”表示大小相等；（3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上；

画三角形：

确定三角形形状、大小的条件：六个元素（三条边、三个角）中的如下三个元素：两角及其夹边；两边及其夹角；三边.

例题解析

【例1】下列说法正确的是（）

A．全等三角形是指形状相同的三角形B．全等三角形是指面积相等的三角形C．全等三角形的周长和面积都相等D．所有的等边三角形都全等

【难度】★

【答案】C

【解析】A错，形状相同，大小也要相同；B错，面积相等不一定全等，反例同底等高的三角形；D错，大小不一定相等．

【总结】本题主要考查全等三角形的概念．

【例2】直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A．形状相同B．周长相等C．面积相等D．全等

【难度】★

【答案】C

【解析】等底同高，所以面积相等．

【总结】本题主要考查同底等高的两个三角形的面积相等的运用．

【例3】如图所示，△ABC ≌△CDA ，且AB ＝CD ，则下列结论错误的是（） A ．∠1＝∠2 B ．AC ＝CA C ．∠B ＝∠D D ．AC ＝BC

【难度】★ 【答案】D

【解析】全等三角形对应角相等，对应边相等．【总结】考察学生对全等三角形性质的理解及运用．

【例4】下列各条件中，不能作出唯一的三角形的是（）

A ．已知两边和夹角

B ．已知两角和夹边

C ．已知两边和其中一边的对角

D ．已知三边【难度】★ 【答案】C

【解析】C 选项是边边角，不能作为全等的判定条件．【总结】考查全等三角形的判定定理的运用．

【例5】练习画出下列条件的三角形：

（1）画,ABC ?使40,45,4A B AB cm ∠=?∠=?=；（2）画,ABC ?使6,8,10AB cm BC cm AC cm ===；（3）画,ABC ?使4,3,45AB cm AC cm A ==∠=?；（4）画,ABC ?使8,5,50AB cm AC cm B ==∠=?．【难度】★ 【答案】略【解析】略．

【例6】下列说法：①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个三角形是全等

三角形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④在△ABC 和△DEF 中，若∠A =∠D ，∠B =∠E ，∠C =∠F ，AB =DE ，BC =EF ，AC =DF ，则两个三角形的关系，可记作△ABC ≌△DEF ，其中说法正确的是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个

D ．4个

【难度】★★ 【答案】B

【解析】（1）错，大小不一定相等；（2）面积相等不一定全等，反例同底等高；（3）对；（4）对，故选B ．

【总结】考察学生对全等三角形的概念及性质的理解．

B C

【例7】下列说法中错误的是（）

A ．全等三角形的公共角是对应角，对顶角也是对应角

B ．全等三角形的公共边也是对应边

C ．全等三角形的公共顶点是对应顶点

D ．全等三角形中相等的边所对应的角是对应角，相等的角所对的边是对应边【难度】★★ 【答案】C

【解析】全等三角形的公共顶点不一定是对应顶点，两个全等三角形任意放置，使得三角形的一个顶点与另一个三角形的不对应的顶点重合．

【总结】考察学生对全等三角形的概念的辨析能力，以及正确的举反例．

【例8】如图所示，ABE ADC ABC ???和是分别沿着AB AC 、边翻折形成的，

若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（） A ．80°

B ．100°

C ．60°

D ．45°

【难度】★★ 【答案】A

【解析】设1=28x ∠，25x ∠=，33x ∠=，

则36180x =，解得：5x =． 1140∴∠=?，225∠=?，315∠=?， 22ABC ACB ∴∠?=∠+∠212280=∠+∠=?．

【总结】考察学生对全等三角形的应用以及翻折知识的理解及运用．

【例9】如图，在矩形ABCD 中，AE 平分∠DAB 交DC 于点E ，连接BE ，过E 作EF ⊥BE

交AD 于F .（1）∠DEF 和∠CBE 相等吗?请说明理由；

（2）请找出图中与ED 相等的线段(不另添加辅助线和字母)，并说明理由. 【难度】★★

【答案】（1）相等；（2）ED BC AD ==．

【解析】（1）90DEF CEB ∠+∠=?Q ，90CBE CEB ∠+∠=?， DEF CBE ∴∠=∠（同角的余角相等）

（2）AE Q 平分DAB ∠， 45DAE ∴∠=?，DE AD ∴=． AD BC =Q ， DE AD BC ∴==．

【总结】考察学生对图形的理解和掌握，能够迅速的根据图形发现同角的余角相等，再利用特殊的角度45得出等腰直角三角形，从而解题．

α3

【例10】如图所示，30255ADF BCE B F BC cm ???∠=?∠=?=，，，，

14CD cm DF cm ==，．求：（1）1∠的度数；（2）AC 的长．【难度】★★

【答案】（1）1=55∠°；（2）4AC cm =．

【解析】（1）ADF BCE ?QV V ，30A B ∴∠=∠=?，AD BC =， 155A F ∴∠=∠+∠=?；

（2）ADF BCE ?QV V ，AD BC ∴=， 514AC AD CD cm ∴=-=-=．

【总结】考察学生对全等三角形对应边相等，对应角相等的掌握，并且学会正确运用．

【例11】如图，在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠ACB =2:5:11，若将△ABC 绕点C 逆时针旋

转，试旋转前后的△A ’B ’C ’中的顶点B ’在原三角形的边AC 的延长线上，求∠BCA ’的度数．【难度】★★ 【答案】40?．

【解析】设2A x ∠=，5B x ∠=，11ACB x ∠=，则18180x =，解得：10x =， ∴110BCA ∠=，70BCB '∠=． 110A CB ''∠=Q ， 40BCA '∴∠=．

【总结】考察学生对旋转的理解，注意利用全等三角形的性质进行解题．

【例12】如图，已知△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线交AD 于点F ，交AE 的延长线于G ，

∠ACB =1050，∠CAD =100，∠ADE =250，求∠DFB 和∠AGB 的度数．【难度】★★

【答案】∠DFB =85?，∠AGB =45?．【解析】证明：ABC ADE ?QV V ，

25ADE ABC ∴∠=∠=?，50CAB EAD ∠=∠=?， 10502585DFB ∴∠=?+?+?=?， 1801102545AGB ∠=?-?-?=?．

【总结】本题主要考察学生对全等三角形的性质及三角形外角性质和内角和定理的综合运用．

’

B ’

A B

F G

【例13】如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时.（1）写出

图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设∠AED 的度数为x ， ∠ADE 的度数为y ，那么∠1，∠2的度数分别是多少?（用含有x 或y 的代数式表示）（3）∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．【难度】★★★

【答案】（1）AED A ED '?V V ，A A '∠=∠， AED A ED '∠=∠，ADE A DE '∠=∠；（2）11802x ∠=-o ，21802y ∠=-o ；（3）()1

122

A ∠=

∠+∠．【解析】（3）证明：∵()180A x y ∠=-+o ，1+2=3602()x y ∠∠-+o ， ∴()1

122

A ∠=

∠+∠．【总结】本题一方面考查翻折的性质，另一方面考查全等三角形的性质及三角形内角和定理的运用．

【例14】如图（1）所示，把△ABC 沿直线BC 移动线段BC 那样长的距离可以变到△ECD

的位置；如图（2）所示，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置；如图（3）所示，以点A 为中心，把△ABC 旋转180°，可以变到△AED 的位置，像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换. 在全等变换中可以清楚地识别全等三角形的对应元素，以上的三种全等变换分别叫平移变换、翻折变换和旋转变换，问题：如图（4），△ABC ≌△DEF ，B 和E 、C 和F 是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角．

C D

（1）

（2）

A B

（3）A

（4）

【难度】★★★

【答案】翻折变换，平移变换或旋转变换，平移变换．【解析】AB ED =，BC EF =，AC DF =．

【总结】考察学生对图形的运动的理解和掌握，需要学生进行一定的空间想象．

B C D

A ’

本模块复习了全等三角形的4个判定定理，主要是已知条件为“两边及夹角对应

相等（SAS ）”，“两角及夹边对应相等（ASA ）”，“两角及其中一角的对边对应相等（AAS ）”“三边对应相等（SSS ）”的两个三角形全等．

【例15】如图，已知∠B =∠D ，∠1=∠2，AC =AE ，说明△ABC ≌△ADE 的理由．【难度】★★ 【答案】见解析．

【解析】证明：12∠=∠Q ，

12DAC DAC ∴∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠．在ABC V 和DAE V 中，

B D BA

C DAE AC AE ∠=∠??

∠=∠??=?

， ∴△ABC ≌△ADE （A.A.S ）．

【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握．

【例16】如图，已知∠C =∠E ，BE =CD ，说明△ABE 与△ADC 全等的理由，AB 与AD

相等吗?为什么? 【难度】★ 【答案】见解析．

【解析】证明：在ABE V 和ADC V 中，

A A C E BE CD ∠=∠??

∠=∠??=?

，ABE ADC ∴?V V （A.A.S ）

， AB AD ∴=．模块二：全等三角形的判定

B C

知识精讲

例题解析

【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．

【例17】如图，已知AD =BC ，AE =BE ．说明AC =BD ，∠C =∠D 的理由．【难度】★ 【答案】见解析．

【解析】证明：AD BC =Q ，AE BE =，DE CE ∴=．

在ACE V 和BDE V 中，

AE BE =

AEC BED ∠=∠， CE DE =

ACE BDE ∴?V V （S.A.S ）

AC BD ∴=，C D ∠=∠（全等三角形的对应边相等，对应角相等）

【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．【例18】如图，已知AB =CD ，AD =BC ，说明∠A =∠C 的理由．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】证明：连接BD 在ABD V 和CDB V 中，

AB CD AD BC BD DB =??

=??=?

， (..)ABD CDB S S S ∴?V V A C ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等）

【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．

【例19】如图，已知BD 是△ABC 的中线，B 、D 、E 、F 在一条直线上，且AE ∥CF ，

说明△ADE 与△CDF 全等的理由．【难度】★★ 【答案】见解析．

【解析】//AE CF Q ， E EFC ∴∠=∠． ∵BD 是△ABC 的中线， ∴AD CD =．

在ADE V 和CDF V 中，

E EFC

ADE FDC AD CD ∠=∠??

∠=∠??=?

， ADE CDF ∴

?V V （A.A.S ）．【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握．

B C

【例20】如图，已知AC ∥BD ，AC =BD ，（1）说明△AOC 与△BOD 全等的理由；

（2）说明EO =FO 的理由．【难度】★★ 【答案】见解析．

【解析】证明：（1）//AC BD Q ，C D ∴∠=∠．在AOC V 和BOD V 中，

C D

AOC BOD AC BD ∠=∠??

∠=∠??=?

， AOC BOD ∴

?V V （A.A.S ）；（2）AOC BOD ?QV V ， CO DO ∴=．在CEO V 和DFO V 中，

C D CO DO

COE DOF ∠=∠??

=??∠=∠?

， ()CEO DFO ASA ∴?V V ， EO FO ∴=．

【总结】考察学生对全等三角形的判定及性质的综合运用．

【例21】如图，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，OD =OE ，说明AB =AC 的理由．【难度】★★ 【答案】见解析．

【解析】CD AB BE AC ⊥⊥Q ，， 90BDC DEC ∴∠=∠=?．在BDO V 和CEO V 中，

BDC BEC

DO EO

DOB COE ∠=∠??

=??∠=∠?

， (..)BDO CEO A S A ∴?V V ． DO EO ∴=，B C ∠=∠， BO CO =Q ， BE CD ∴=．

在ABE V 和ACD V 中，

A A BE CD

C ∠=∠??

=??∠=∠?

， ∴ABE V ≌ACD V （A.S.A ）

， AB AC ∴=（全等三角形的对应边相等）

【总结】本题主要考察学生对全等三角形的判定条件的掌握，注意利用多次全等．

【例22】如图，已知AD ∥BC ，BF ∥DE ，AE =CF ．

（1） △ADE 与△CBF 全等吗，为什么? （2）说明AB =CD 的理由；（3）图中有哪几对全等三角形? 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】证明：（1）全等，

//AD BC Q ， DAC ACB ∴∠=∠．

//BF DE Q ，DEF BFE ∴∠=∠， AED BFC ∴∠=∠．在AED V 和BFC V 中，

DAC ACB AE CF AED BFC ∠=∠??

=??∠=∠?

， (..)ADE CBF A S A ∴?V V ；（2）ADE CBF ?QV V ， AD BC ∴=．在ABC V 和ADC V 中

AD BC

DAC ACB AC AC =??

∠=∠??=?

，(..)ABC ADC S A S ∴?V V ， AB CD ∴=（全等三角形的对应边相等）；

（3）AED CFB ?V V ；DEC BFA ?V V ；ABC CDA ?V ．【总结】本题主要考察全等三角形的判定与性质的综合运用．

【例23】如图，已知AB =CD ，BM =CM ，AC =BD ，说明AM =DM 的理由．【难度】★★ 【答案】见解析．

【解析】在ABC V 和BCD V 中，

AB CD

AC BD BC BC =??

=??=?

， (..)ABC DCB S S S ∴

?V V ， ABC BCD ∴∠=∠，在ABM V 和DCM V 中，

AB CD ABC BCD BM CM =??

∠=∠??=?

，(..)ABM DCM S A S ∴

?V ， AM DM ∴=．【总结】本题主要考察全等三角形的判定与性质的综合运用，利用多次全等进行证明．

【例24】如图，∠1=∠2，AC =BD ，E 、A 、B 、F 在同一条直线上，

说明：∠CAD =∠DBC 的理由．【难度】★★ 【答案】见解析．

【解析】12∠=∠Q ， CAB DBA ∴∠=∠．

在CAB V 和DBA V 中，

AC BD CAB DBA AB AB =??

∠=∠??=?

， (..)CAB DBA S A S ∴

?V V ， CBA DAB ∴∠=∠，又CAB DBA ∠=∠Q ，CAD DBC ∴∠=∠．

【总结】本题主要考察全等三角形的判定与角的和差的综合运用．

【例25】如图所示，AB =AC ，CE =BE ，连结AE 并延长交BC 于D ，说明AD ⊥BC 的理

由．【难度】★★ 【答案】见解析

【解析】证明：在ABE V 和ACE V 中，

AB AC BE CE AE AE =??

=??=?

，(..)ABE ACE S S S ∴

?V V ， BAD CAD ∴∠=∠．

在ABD V 和ACD V 中，

AB AC BAD CAD AD AD =??

∠=∠??=?

， (..)ABD ACD S A S ∴

?V V ， 90ADB ADC ∴∠=∠=o ， AD BC ∴⊥．

【总结】本题主要考查全等三角形的判定的综合运用，通过多次全等得到垂直．

C D

【例26】如图所示，BE 、CD 相交于O ，AB =AC ，AD =AE ，说明OD =OE 的理由．【难度】★★ 【答案】见解析．

【解析】证明：在ADC V 和AEB V 中， AD AE A A AB AC =??

∠=∠??=?

， ∴(..)ADC AEB S A S ?V V B C ∴∠=∠（全等三角形的对应角相等） AB CA =Q ，AD AE =，BD CE ∴=．

在BDO V 和CEO V 中，

DOB COE ∠=∠ B C ∠=∠ BD CE =

(..)BDO CEO A A S ∴?V V ， OD OE ∴=（全等三角形的对应边相等）

【总结】本题主要考查全等三角形的判定的综合运用，注意对全等的多次运用．

【例27】如图，已知AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AB =CD ，BC =DE ．试说明：AC ⊥CE ，若将

CD 沿CB 方向平移得到图（2）（3）（4）（5）的情形，其余的条件不变，结论AC 1⊥C 2E 还成立吗?请说明理由．【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】证明：（1）AB BD ⊥Q ，DE BD ⊥， 90B D ∴∠=∠=?

在ABC V 和CDE V 中，AB CD

B D B

C DE =??

∠=∠??=?

， (..)ABC CDE S A S ∴

?V V ， A

ECD ∴∠=∠． 90A ACB ∠+∠=Q ，90ACB ECB ∴∠+∠=，即AC CE ⊥．

D E

B C 2

D E

C 1

B C 1

D E

M A

B C 2 D

M C 1

B C 1

D E

C 2

（2）12ABC C ED ?QV V

， 2A E CD ∴∠=∠． 190A AC B ∠+∠=Q ，2190EC D AC B ∴∠+∠=， 1290C MC ∴∠=， 12AC C E ∴⊥．

【总结】本题主要考察全等三角形的判定及垂直的综合运用，说理时注意分析．

【例28】如图，线段BE 上有一点C ,以BC 、CE 为边分别在BE 的同侧作等边三角形

ABC 、DCE ，连结AE 、BD ，分别交CD 、CA 于Q 、P ．

（1）找出图中的一组相等的线段(等边三角形的边长相等除外)，并说明你的理由；（2）取AE 的中点M 、BD 的中点N ，连结MN ，试判断△CMN 的形状．【难度】★★★

【答案】（1）BD AE =，（2）等边三角形．【解析】（1）∵等边三角形ABC 和等边三角形DCE ， ∴BC AC =，CD CE =， BCA DCE ∠=∠=60°．

BCA ACD DCE ACD ∴∠+∠=∠+∠，即BCD ACE ∠=∠．

在BCD V 和ACE V 中，BC AC

BCD ACE CD CE =??

∠=∠??=?

， BCD ACE ∴?V V （S.A.S ）

， BD AE ∴=（全等三角形的对应边相等）；（2） BCD ACE ?QV V ， DBE EAC ∴∠=∠．

Q M 、N 分别为BD 、AE 的中点， BN ND ∴=，AM ME =，

BD AE =Q ， BN AM ∴=．

在BCN V 和ACM V 中，BC AC

CBN CAM BN AM =??

∠=∠??=?

， BCN ACM ∴?V V （S.A.S ）

， CM CN ∴=，BCN ACM ∠=∠，60NCM BCA ∴∠==?， CM CN =Q ， ∴△CMN 是等边三角形．

【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握，注意在复杂的图形中准确的找出全等三角形及其对应条件．

A B

P A

【例29】如图，△ABC 是等腰直角三角形，其中CA =CB ，四边形CDEF 是正方形，连

接AF 、BD ．

（1）观察图形，猜想AF 与BD 之间有怎样的关系，并证明你的猜想；

（2）若将正方形CDEF 绕点C 按顺时针方向旋转，使正方形CDEF 的一边落在△ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立?若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由．【难度】★★★

【答案】（1）AF BD =，AF BD ⊥；（2）成立．

【解析】证明：（1）Q △ABC 是等腰直角三角形，四边形CDEF 是正方形，

CF CD ∴=，AC BC =，90DCF ACB ∠=∠=， FCA DCB ∴∠=∠．

在FCA V 和DCB V 中，CF CD FCA DCB AC CB

=??

∠=∠??=?

，()FCA DCB SAS ∴?V V ．

AF DB ∴=，DBC FAC ∠=∠．

90DBC ABD BAC ∠+∠+∠=o Q ， 90FAC ABD BAC ∴∠+∠+∠=o ，

AF BD ∴⊥．

（2）成立，证明过程同（1）．

【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的掌握，注意根据旋转图形的不变性进行解题．

【习题1】下列命题中正确的是（）

A ．全等三角形的高相等

B ．全等三角形的中线相等

C ．全等三角形的角平分线相等

D ．全等三角形对应角的平分线相等

【难度】★ 【答案】D

【解析】A 错，全等三角形对应边上的高相等；B 错，全等三角形对应边上的中线相等； C 错，全等三角形对应角的平分线相等；D 对．【总结】考察学生对全等三角形的相关概念的理解．

C D E F

随堂检测

【习题2】如图，△ABD ≌△CDB ，且AB 、CD 是对应边；下面四个结论中不正确的是

（）

A ．△ABD 和△CD

B 的面积相等 B ．△ABD 和△CDB 的周长相等

C ．∠A +∠AB

D =∠C +∠CBD D ．AD ∥BC ，且AD =BC 【难度】★ 【答案】C

【解析】C 错，正确答案是∠A +∠ABD =∠C +∠CDB ，A ，B ，D 均对．【总结】主要考察学生对全等三角形的概念的理解．

【习题3】如图，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD =7厘

米，DM =5厘米，∠DAM =390，则AN =______厘米，NM =___________厘米，

∠NAB =_______．【难度】★

【答案】7；5；12°．

【解析】由翻折的性质，可得：ADM ANM ?V V ，则7AN AD ==厘米，5MN DM ==厘米，

39MAN MAD ∠=∠=o ，故9023912NAB ∠=-?=o o o ．

【总结】本题主要考查翻折性质与全等三角形性质的综合运用．

【习题4】尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、

OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于1

CD 长为半径画弧，两弧交于

点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP △≌△的根据是（） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS

【难度】★ 【答案】D

【解析】∵AC AD =，PC PD =，OP OP =，

(..)DCP ODP S S S ∴?V V

【总结】根据画图考察学生对画图过程中不变性的理解和掌握．

A B

C D

M N

【习题5】如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，

（1）若AC //DB ，且AC =DB ，则△ACE ≌△BDF ，根据_________；（2）若AC //DB ，且AE =BF ，则△ACE ≌△BDF ，根据_________；（3）若AE =BF ，且CE =DF ，则△ACE ≌△BDF ，根据_________；（4）若AC =BD ，AE =BF ，CE =DF ．则△ACE ≌△BDF ，根据_________．【难度】★★

【答案】（1）A.A.S ；（2）A.S.A ；（3）S.A.S ；（4）S.S.S ．【解析】//AC BD Q ，A B ∴∠=∠，C D ∠=∠，则（1）、（2）、（3）、（4）分别得证．

【总结】考察学生对全等三角形的判定条件的熟练掌握．

【习题6】如图，已知△ABC ≌△ADE , ∠CAD =150，∠DFB =900，∠B =250．

求∠E 和∠DGB 的度数．【难度】★★

【答案】105E ∠=?，65DEG ∠=?．

【解析】AD BG ⊥Q ，90AFB ∴∠=?（垂直的意义）

15DAC ∠=?Q ，75FCA ∴∠=?（互余的意义） 105ACB ∴∠=?（邻补角的意义）

ACB AED ?QV V ，105E ACB ∴∠=∠=?，25B D ∠=∠=? 902565DGB ∴∠=?-?=?（互余的意义）

【总结】考察学生对全等三角形的性质的理解，并且对邻补角和互余等知识点要熟练掌握并应用．

【习题7】如图：A 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AE =CF ，过E 、F 分别作BE ⊥AC 、

DF ⊥AC ，且AB ∥CD ，AB =CD ．试说明：BD 平分EF ．【难度】★★ 【答案】见解析．

【解析】//AB CD Q ，A C ∴∠=∠，ABD CDB ∠=∠

在ABG V 和CDG V 中，ABD CDB AB CD

A C ∠=∠??

=??∠=∠?

， ()ABG CGD ASA ∴?V V ， AG CG ∴=，AE CF =Q ， EG GF ∴=，BD ∴平分EF ．【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解及运用．

F A B

G A

【习题8】如图所示，△ABC 绕顶点A 顺时针旋转，若∠B ＝40°，∠C ＝30°，

（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的△AB 'C '的顶点C '与原三角形的顶点B 和A 在同一直线上?（原△ABC 是指开始位置）

（2）再继续旋转多少度时，点C 、A 、C '在同一直线上? 【难度】★★

【答案】（1）110?；（2）70?．

【解析】（1）1803040110CAB ∠=?-?-?=?；（2）18011070?-?=?．

【总结】考察学生对旋转的理解，注意旋转过程中的不变性．

【习题9】已知：如图，△ABC 是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG ∥BC ，交AC

于点G ，?在GD 的延长线上取点E ，使DE =DB ，连结AE 、CD ．试说明：△AGE ≌△DAC ．【难度】★★ 【答案】见解析．

【解析】ABC QV 是等边三角形．

AB AC BC ∴==，60BAC ACB B ∠=∠=∠=（等边三角形的性质） //DG BC Q ，

60ADG B ∴∠=∠=°

，60AGD ACB ∠=∠=°， ADG AGD ∴∠=∠．

ED DB =Q ，又DG AD =Q ，

DE DG DB AD ∴+=+，

即AB EG =．

AB AC =Q ，AC EG ∴=．

在ADG V 和ADC V 中，AG AD

AGE DAC EG AC =??

∠=∠??=?

，

(..)AGE DAC S A S ∴?∠V ．

【总结】考察学生对全等三角形的判定的掌握和应用以及等边三角形的性质综合运用．

【习题10】在∠O 的两边上分别取点A 、D 和B 、C ，连接AC 、BD 相交于P ．

（1）若∠A ＝∠B ，P A ＝PB ，试说明OA ＝OB 的理由；（2）若OA ＝OB ，P A ＝PB ，试说明PC ＝PD 的理由．【难度】★★★ 【答案】见解析．

【解析】（1）在ADP V 和BCP V 中，

A B

PA PB

DPA CPB ∠=∠??

=??∠=∠?

， (..)ADP BCP A S A ∴?V V ，

DP CP ∴=（全等三角形对应边相等）． AP BP =Q ， AC BD ∴=（等式性质）．在OAC V 和ODB V 中，O O

A B AC BD ∠=∠??

∠=∠??=?

，

(..)AOC BOD A A S ∴?V V ，

AO BO ∴=（全等三角形的对应边相等）；（2）连接OP

在AOP V 和BOP V 中，OA OB

PA PB OP OP =??

=??=?

，

(..)AOP BOP S S S ∴?V V ，

A B ∴∠=∠，AP = BP （全等三角形的对应角相等、对应边相等）．在ADP V 和PCB V 中，A B

AP PB APD CPB ∠=∠??

=??∠=∠?

(..)ADP PCB A S A ∴?V V ，

PC PD ∴=（全等三角形的对应边相等）

．【总结】考察学生对全等三角形的性质及判定的理解和掌握，注意多次全等的综合运用．

P O

【习题11】如图，△ABC 、△ADE 都是等腰直角三角形，绕着顶点A 旋转后位置如下：

（1）当C 、A 、D 在同一直线上，说明CE 与BD 有何关系?为什么?

（2）当△ADE 再继续旋转到（2）、（3）、（4）的位置后，CE 与BD 又有何关系．【难度】★★★

【答案】（1）CE BD =，CE BD ⊥；（2）CE BD =，CE BD ⊥．

【解析】（1）证明：Q △ABC 、△ADE 都是等腰直角三角形，

AD AE ∴=，AC AB =，90BAD CAB ∠=∠=?（等边三角形的性质）

在ADB V 和AEC V 中，AD AE

DAE CAE AB AC =??

∠=∠??=?

，(..)ADB AEC S A S ∴?V V ，

CE BD ∴=，ACE ABD ∠=∠（全等三角形的对应边相等，对应角相等）

90ACE BCE CBE ∠+∠+∠=o Q ， 90ABD BCE CBE ∴∠+∠+∠=o ，

CE BD ∴⊥．

（2）CE BD =，CE BD ⊥，证明过程同上．

【总结】本题主要考查等腰直角三角形的性质与全等三角形的判定和性质的综合运用，注意认真分析题目中的条件．

【作业1】如图，△ABC ≌△ABD ，C 和D 是对应顶点，若AB =6cm ，AC =5cm ，BC =4cm ，

则AD 的长为_________cm ．【难度】★ 【答案】5

【解析】全等三角形的对应边相等，5AD AC ==．【总结】本题主要考查全等三角形的性质．

A B

（1）

（2）

（3）（4）

B C

E D

E A

课后作业

全等三角形的性质及判定(讲义)

全等三角形的性质及判定（讲义） ? 课前预习 1. “完全重合”的意思是“形状相同、大小相等”，下列图形能够完全重合吗，为什么？ ①把长方形纸片对折再沿折痕剪开，重叠放置后，任意剪下一个三角形，从而得到的两个三角形； ②三棱柱上下底面的两个三角形； ③学生用的含有30°角的三角板（带孔）中内外两个三角形； ④张贴在家中的世界地图和手机上的世界地图． ? 知识点睛 1. 由____________________的三条线段_________________所组成的图形叫做三角形．三角形可用符号“________”表示． 2. _____________________的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号 “_________”表示．全等三角形的__________相等，____________相等． 3. 全等三角形的判定定理：______________________________． ? 精讲精练 1. 如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，______________，_________，对应角∠B =∠DEF ，_________，__________． F E D C B A A C B 1 2 O 第1题图第2题图 2. 如图，△ACO ≌△BCO ，对应边AC =BC ，______________，__________，对应角∠1=∠2，____________，____________． 3. 如图，△ABC ≌△DEC ，对应边___________，__________，___________，对应角_______________，_______________， ______________． 4. 如图，△ABC ≌△CDA ，对应边___________，__________，___________，对应角_______________，_______________， ______________． E D C B A

全等三角形的性质及判定

板块考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题全等三角形的认识与性质全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．全等多边形的对应边、对应角分别相等．如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ．这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．知识点睛中考要求第一讲全等三角形的性质及判定

A' B' C' D' E' E D C B A 全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．重、难点

全等三角形概念与性质

全等三角形概念与性质第一部分：知识点回顾 1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形。 2.全等三角形的性质：（1）全等三角形对应边相等（2）全等三角形对应角相等如上图：△ABC和△A1B1C1是全等三角形，记作△ABC≌△A1B1C1，符号“≌”表示全等，读作“全等于”. 其中，AB=A1 B1、AC=A1C1、BC=B1C1；∠A=∠A1、∠B=∠B1、∠C=∠C1. 补充：（1）全等三角形面积相等、周长相等；（2）全等三角形对应线段（高、角平分线、中线）相等；（3）翻折、平移、旋转前后的三角形全等第二部分：例题剖析例1、如图4，△ABC≌△ADE，∠E和∠C是对应角，AB与AD是对应边，写出另外两组对应边和对应角；分析：由已知△ABC≌△ADE，∠C=∠E，AB=AD，得点C与点E，点B与点D为对应点，然后根据全等三角形的性质可得答案。解：∵△ABC≌△ADE，∠C=∠E，AB=AD， ∴AC=AE，BC=DE； ∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D．点评：本题考查了全等三角形的性质；解题用到的知识点为：全等三角形的对应边相等，对应角相等，应注意各对应顶点应在同一位置．根据对应角对的边是对应边，对应边对的角是对应角解题是正确解答本题的关键．例2、若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8,则DF长是多少？分析：由△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8,可求出边AC的长度，再根据全等三角形对应边相等，求出边DF的长。解：∵△ABC的周长为20，AB=5，BC=8， ∴AC=20-5-8=7， ∵△ABC≌△DEF， ∴DF=AC=7．

全等三角形的性质及判定(习题)

全等三角形的性质及判定（习题） ? 例题示范例1：已知：如图，C 为AB 中点，CD =BE ，CD ∥BE ．求证：△ACD ≌△CBE ．【思路分析】 ① 读题标注： A B C D E ② 梳理思路：要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等．由已知得，CD =BE ；根据条件C 为AB 中点，得AC =CB ；这样已经有两组条件都是边，接下来看第三边或已知两边的夹角．由条件CD ∥BE ，得∠ACD =∠B ．发现两边及其夹角相等，因此由SAS 可证两三角形全等．【过程书写】先准备不能直接用的两组条件，再书写全等模块．过程书写中需要注意字母对应．证明：如图 ∵C 为AB 中点 ∴AC =CB ∵CD ∥BE ∴∠ACD =∠B 在△ACD 和△CBE 中 AC CB ACD B CD BE =?? ∠=∠??=? （已证）（已证）（已知） ∴△ACD ≌△CBE （SAS ） ? 巩固练习 1. 如图，△ABC ≌△AED ，有以下结论： ①AC =AE ；②∠DAB =∠EAB ；③ED =BC ；④∠EAB =∠DAC ． E D C B A

其中正确的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 E D B A 2 1 F E D C B A 第1题图第2题图 2. 如图，B ，C ，F ，E 在同一直线上，∠1=∠2，BF =EC ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一组条件，这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________． 3. 如图，D 是线段AB 的中点，∠C =∠E ，∠B =∠A ，找出图中的一对全等三角形是_______________，理由是_________． H G F E D C B A E C B A 第3题图第4题图 4. 如图，AB =AD ，∠BAE =∠DAC ，要使△ABC ≌△ADE ，还需要添加一组条件，这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________． 5. 如图，将两根钢条AA'，BB'的中点连在一起，使AA'，BB'可以绕着中点O 自由旋转，这样就做成了一个测量工具，A'B'的长等于内槽宽AB ．其中判定△OAB ≌△OA'B'的理由是（） A ．SAS B ．ASA C ．SSS D ．AAS

专题17 全等三角形判定与性质定理(原卷版)

专题17 全等三角形判定与性质定理 1.基本概念（1）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. （2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （注意对应的顶点写在对应的位置上）（3）对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. （4）对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. （5）对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2．全等三角形的表示全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3．全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。 4．三角形全等的判定定理（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。（4）角角边定理：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成AAS）. 5．直角三角形全等的判定： HL定理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

【例题1】（2020?甘孜州）如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≌△ACD的是（） A．AD＝AE B．BE＝CD C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC 【对点练习】如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（） A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC 【例题2】（2020?北京）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是（写出一个即可）．【对点练习】（2019齐齐哈尔）如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是（只填一个即可）．【例题3】（2020?菏泽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．【对点练习】如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．（1）求证：△ABC≌DEF；

全等三角形的性质和判定教案

卓尔教育教师教学辅导教案编号：授课教师日期时间学生年级科目课题全等三角形的性质和判定教学目标1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题. 教学重难点三角形判定的应用课前检查上次作业完成情况：优□良□中□差□ 建议：___________________________________________________ 教学过程【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点三、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；

全等三角形及性质

《全等三角形及其性质》教学设计丹凤县月日九年制学校：寇建婷内容与内容解析：全等三角形是八年级上册人教版数学教材第十二章第一节的教学内容。本节课是在学生掌握了三角形有关知识的基础上，重点研究了全等形、全等三角形的有关概念、表示方法及对应元素的关系。由于三角形是最基本的几何图形之一，所以理解和掌握全等三角形的有关概念是今后学习全等三角形的判定和应用的预备知识，还是证明角相等、线段相等的主要途径，因此本节内容在教材中处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。在知识结构上，以后学习的几何图形很多要通过全等三角形来加以解决；在能力培养上，无论是逻辑思维能力、推理论证能力，还是分析问题解决问题的能力，都可在全等三角形教学中得以启迪和发展。因此，本小节的教学对全章乃至以后的学习都是至关重要的。教学目标解析知识与技能：掌握怎样的两个图形是全等形，了解全等形，了解全等三角形的概念及表示方法。掌握全等三角形的性质。体会图形的变换思想，初步会用全等三角形的性质进行一些简单的计算。过程与方法：围绕全等三角形的对应元素这一中心，设计一系列问题，给出三组组合图形，让学生找出它的对应顶点、对应边、对应角，引入本节问题的主题，强化了本课的中心问题-----全等三角形的性质，经历理解性质的过程。体会图形的变换思想，逐步培养学生动态研究几何图形的意识。情感、态度价值观：学生在富有趣味的活动中进行全等三角形的学习，提供学生发现规律的空间，激发学生学习兴趣

教学重、难点本节课的教学重点是准确地在图形中识别出对应边、对应角以及全等三角形的性质和利用其基本性质进行一些简单的推理和计算。教学过程中利用动画的形式让学生直观的识别抽象的图形和知识点从而突出和掌握重点，本节课的教学难点就是能在全等变换中准确找到对应边和对应角。在对应边、对应角的识别、找寻中通过学生观察动画的演示，动手实践用学具自己摆放图形，学生分组讨论等形式使学生能直观地认识该知识点，化难为易，从而突破本节课的教学难点。教法：根据教学内容以“概念、性质、应用”为侧重点，结合学生所具备的逻辑思维能力，本节课采用以启发式、实验法为主，讨论法、的教学方法。有机融合各种教法于一体，做到步步有序，环环相扣，不断引导学生动手、动口、动脑。从以下两个方面着手： 1、教学生观察、归纳的方法为了适应学生的认识思维发展水平，有序的引导学生观察、分析，得出结论，让学生通过观察——认识——实践——再认识，完成认识上的飞跃。 2、通过设疑，启发学生思考根据练习情况设疑引导，重在让学生理解全等三角形的概念，展开学生的思维。学法：学生在学习过程中可能难于理解全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。教师要做到教法与指导学习的学法有机统一。通过课件演示，学生用学具操作体会，最终完成学习过程，达到教学目标。学生通过剪一剪、拼一拼、看

全等三角形的判定与性质专题训练

全等三角形判定与性质专题训练一、全等三角形实际应用问题 1如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（） A. SAS B. ASA C. SSS D .AAS 2.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（） A．PO B．PQ C．MO D．MQ

3、如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A、SSS B、SAS C、ASA D、HL 4、如图：工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（） A、SSS B、SAS C、ASA D、HL

5、如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则这两个滑梯与地面的夹角∠ABC+∠DFE= 度 6、如图,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是：( ) A 、带①去， B 、带②去 C 、带③去 D 、①②③都带去

二、证两次全等相关问题 1：如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,求证: CF＝DF

全等三角形的性质及判定(经典讲义)

全等三角形的性质及判定 1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形． 2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等． 3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）（3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（） A.全等图形的面积相等 B.面积相等的两个图形是全等形 C.形状相同的两个图形是全等形 D.周长相等的两个图形是全等形例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠=. 【仿练1】如图2，已知ABC ADE ???，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是. 【仿练2】如图 3，ABC ADE ???，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= . 、图4 E D C B A 图2 图3 M D N B C 图1

三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点 ∵AE=CF ∵CM 是△的中线 ∴_____________( ) ∴____________________ ∴__________（）或 ∵AC=EF ∴____________________ ∴__________（） AB=AB （）在△ABC 和△DEF 中 ∵?? ? ??___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （）例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ． B F E C A F E D C B A C M B A B A

第一节全等三角形的性质和判定-学而思培优

第一节全等三角形的性质和判定一、课标导航二、核心纲要 1.基本概念 (1)全等形：能够完全重合的两个图形叫全等形． (2)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． (3)对应顶点、对应边、对应角：把两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．如下图所示：A 与B A ,/与C B ,/与/ C 是对应顶点；AB 与AC B A ,//与BC C A ,//与//C B 是对应边；A ∠与B A ∠∠,/与C B ∠∠,/与/C ∠是对应角． 2．表示符号 “≌”；如右图所示，.ABC ABC ??? 注：书写全等三角形时要求对应顶点写在对应位置上． 3．要想正确地表示两个三角形全等，找对应边和对应角是关键，常用的方法有 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边是对应边． (4)有公共角的，公共角是对应角． (5)有对顶角的，对顶角是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小；角是对应边（或对应角）. 4．全等量角形的性质 (1)全等三角形对应边相等． (2)全等三角形对应角相等． (3)全等三角形的周长、面积相等． (4)全等三角形对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等．（此结论在证明中不能直接用） 5．全等三角形的判定 (1) -般三角形全等判定方法 ①三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）； ②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）；． ③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）；

全等三角形的性质和判定

全等三角形的性质和判定要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点二、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC ≌△DEF ，其中点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点；AB 和DE ，BC 和EF ，AC 和DF 是对应边；∠A 和∠D ，∠B 和∠E ，∠C 和∠F 是对应角. 要点三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等. （要点四、全等三角形的判定（SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ）全等三角形判定一（SSS ，SAS ）全等三角形判定1——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）. 要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C . 要点二、全等三角形判定2——“边角边” 《 1. 全等三角形判定2——“边角边”

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝'' A B，∠A＝∠'A，AC ＝'' A C，则△ABC ≌△''' A B C. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ ABC与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边” 1、已知：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M 为PQ的中点．求证：RM平分∠PRQ．）证明：∵M为PQ的中点（已知）， ∴PM＝QM 在△RPM和△RQM中， () (), , RP RQ PM QM RM RM ?= ? = ? ?= ? 已知公共边 ∴△RPM≌△RQM（SSS）． ∴∠PRM＝∠QRM（全等三角形对应角相等）．即RM平分∠PRQ.

全等三角形的性质和判定练习题

《全等三角形的性质和判定》同步测试题姓名：得分：一、选择题（每小题3分，共30分） 1、下列条件中，不能判定三角形全等的是（） A、三条边对应相等 B、三个角对应相等 C、两角及其中一对等角的对边对应相等 D、两角和它们的夹边对应相等 2、如图,已知:△ABE≌△A CD,∠1=∠2,∠B=∠C,不正确的等式是（） A、AB=AC B、∠BAE=∠CAD C、BE=DC D、AD=DE 3、在△ABC和△A′B′C′,要使△ABC≌△A′B′C′.则满足下列条件( ), A、AB=A′B′,AC=A′C′,∠B=∠B′; B、AB=A′B′,BC=B′C′,∠A=∠A′ C、AC=A′C′,BC=B′C′,∠C=∠C′; D、AC=A′C′,BC=B′C′,∠B=∠B′ 4、如果两个三角形全等,则不正确的是（） A、它们最小角相等 B、它们对应外角相等 C、它们是直角三角形 D、它们最长边相等 5、图中全等的三角形是（） A、Ⅰ和Ⅱ B、Ⅱ和Ⅳ C、Ⅱ和Ⅲ D、Ⅰ和Ⅲ 6、已知:如图,△ABC≌△DEF,AC∥DF,BC∥EF、则不正确的等式是（） A、AC=DF B、AD=BE C、DF=EF D、BC=EF 第6题图第7题图第8题图 7、如图 , ∠A=∠D , OA=OD , ∠DOC=50°, 求∠DBC的度数为（） A、50° B、30° C、45° D、25° 8、把两根钢条AB′、BA′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），如图，若测得AB=5厘米，则槽宽为（）厘米． A、5 B、6 C、7 D、2.5 9、如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（） A、SSS B、SAS C、AAS D、ASA

全等三角形的概念及性质

人教版八年级上册第十二章 12.1《全等三角形》教案一.学习目标： 1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素。 2．了解全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等。 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边，对应顶点。二.学习重点：全等三角形的性质．学习难点：找全等三角形的对应边、对应角．对应顶点三.学习指导：认真看课本31----32页，然后回答下列问题。四.学习过程一. 新课引入 1.多媒体展示生活中的图片小组讨论： (1)从上面的几组图片中你有什么发现? (2)你能再举出生活中的一些类似例子吗? 二.合作探究 1、全等形、全等三角形的有关概念（1）观察思考：每组中的两个图形有什么特点？（形状，大小 .）

② （2）请再举出类似的例子（至少3个）. （3）由此，你发现上述图形的共同特征是：完全相同——放在一起能够（4）归纳概念：叫做全等形. 类似的，叫做全等三角形. 2. 对应顶点，对应边和对应角用半透明的纸描绘下图中左边的△ABC ，然后按要求在三个图中依次操作．体验“平移、翻折、旋转前后的两个图形全等”．你发现变换前后的两个三角形有什么关系？结论：一个图形经过平移、翻折、旋转后，变化了，但、都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形。（1）把两个全等三角形重合在一起，叫做对应顶点，叫做对应边，叫做对应角. （2）△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC △DEF,读作△ABC △DEF.（注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置.） 3、全等三角形的性质（1）把你自制的一对全等三角形纸片重合，你发现对应边、对应角有什么关系？（2）全等三角形的性质. 全等三角形的相等；全等三角形的相等（3）如图，△ABC 与△ADC 全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角. C A 4、确定全等三角形的对应边、对应角

全等三角形及其性质

2.5.1全等三角形及其性质学习目标： 1. 记住全等图形和全等三角形的定义； 2. 掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质自主学习 3. 一个图形经过平移,轴反射,旋转后,位置变化了，但___________ 和 ______ 都没有改变,即平移,轴反射,旋转前后的图形能够完全___________ ，能够完全重合的两个图形叫做. 4. 观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？与同伴进行交流如果两个图形全等，那么它们的 ______ 和 5. __________________________________ 能够完全重合的两个三角形叫做记作：？ABC也？DEF 读作：？ABC全等于？DEF 全等三角形中，互相重合的顶点叫________ 相重合的角叫 6. 全等三角形的性质：全等三角形的 ________ 相等，全等三角形的 _______ 相等：（注意：我们在表示两个三角形全等时，通常扌把表示对应顶点的字母写在对应.. 位置上） 1.观察下列三组图案，指出这些图案中形状与大小完全相同的图形 2.试着给这些形状大小完全相同的图形一个定义 ;互相重合的边叫 __________ ；互

1. ____________________________________________ 若已知?ABC^?DEF则对应顶点是：点A对应点_________________________________ ，点B对应点 ______ ，点C对应点_____ .对应边：A吐______ ，CB= ____ ，AO ____ ;对应角：/ ABC =/ _____ ，/ Ad ___________ ，/ BAC=Z ___ .

1全等三角形的概念和性质

12.1全等三角形1.下面的图形中，形状和大小完全相同的图形有哪几对？ 2.确定对应顶点、对应边、对应顶点：（1）若△AOC≌△BOD，AC的对应边是_________，角D的对应角是____________；（2 ）若△ABD≌△ACD，AB的对应边是__________，角B对应角是_____________；（3）若△ABC≌△CDA，AD的对应边是__________，角B对应角是____________ 3.一定是全等三角形的是( ) A.面积相等的三角形 B.周长相等的三角形 C.形状相同的三角形 D.能够完全重合的两个三角形 4.下列说法中正确的是( ) A.全等三角形的边相等 B.全等三角形的角相等 C.全等三角形的高相等 D.全等三角形等角的对边相等 5.如图，图中两个三角形能够完全重合，下面写法中正确的是( ) A.△ABE≌△AFB B.△ABE≌△ABF C.△ABE≌△FBA D.△ABE≌△FAB 6.如图13-1-2所示，△ABC≌△CDA，AC=7 cm,AB=5 cm，BC=8 cm，则AD的长是( ) A.7 cm B.5 cm C.8 cm D.无法确定图13-1-2 图13-1-3 7.如图13-1-3所示，△ABC≌△CDA，并且AB=CD，下列结论中错误的是 A.∠1=∠2 B.AC=CA C.∠D=∠B D.AC=BC 8.如图△ABD≌△EBC，AB=3cm，AC=8cm，求DE的长. 1 2345 67 8 9 10 C A B

题型一、利用全等求线段长和角度 1. 如图，ΔABD ≌ΔCDB ，且AB 、CD 是对应边；下面四个结论中不正确的是：（） A 、ΔABD 和ΔCD B 的面积相等 B 、ΔABD 和ΔCDB 的周长相等 C 、∠A+∠AB D =∠C+∠CBD D 、AD//BC ，且AD = BC 2.如图，△EFG ≌△NMH ，∠F 和∠M 是对应角，在△EFG 中，FG 是最长边. 在△NMH 中，MH 是最长边.EF=2.1cm ，EH=1.1cm ，HN= 3.3cm. ⑴写出其他对应边和对应角； (2) 求线段NM 和线段HG 的长度. 3.如图，△ABC ≌△BAD ，A 和B 、C 和D 是对应顶点，如果 AB ＝5，BD ＝6，AD ＝4，那么BC 等于（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．无法确定 4.如图，△ABC ≌△AEF ，若∠ABC 和∠AEF 是对应角，则∠EAC 等于（） A ．∠AC B B ．∠CAF C ．∠BAF D ．∠BAC 5.如图，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°， ∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为（） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25° 6.如图，已知△AB E ≌△ACD, ∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC=（） A 120° B 60° C 50° D 70° 7.如图，△ABC ≌△CDA ，那么AB ∥CD 吗？试说明理由。 B

北师大版七年级下数学全等三角形的性质和判定汇编

第9讲全等三角形的性质和判定【知识要点】 1.全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形。 2.全等三角形性质：(1)两全等三角形的对应边相等，对应角相等． (2)全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等. (3)全等三角形的面积相等． 3．全等三角形判定方法：(1) “边角边”或“SAS” (2) “角边角”或“ASA” (3) “边边边”或“SSS” (4) “角角边”或“AAS” (5) “斜边、直角边”或“HL” 【典型例题】例1. 如图所示，某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是 _________。 A.带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去【变式】判断题 1．两边和一角对应相等的两个三角形全等。（） 2．两角和一边对应相等的两个三角形全等。（） 3．两条直角边对应相等的两个三角形全等。（） 4．腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等。（） 5．三角形中的一条中线把三角形分成的两个小三角形全等。（） 6．两个等边三角形全等。（） 7．一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等. （） 8．腰长相等，且都有一个40°角的两个等腰三角形全等; （） 9．腰长相等，且都有一个100°角的两个等腰三角形全等; （） 10．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．（）例2. （长沙·中考题）已知: AB=DE ，AC=DF ，BF=EC ，求证：∠B=∠E 【变式】（红河·中考题）已知：OA=OB ，AC=BD ，∠A=∠B ，M 为CD 中点，求证：OM 平分∠AOB A B C D E F A B C O D ② ① ③

全等三角形的概念和性质(基础)知识讲解

全等三角形的概念和性质（基础）【学习目标】 1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题. 【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. ；要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点三、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. { 2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. & 要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.

全等三角形的性质和判定教案教学内容

全等三角形的性质和判定教案

《全等三角形及其性质》教学设计

《全等三角形及其性质》教学设计【教学目标】 1．知识与能力（1）使学生理解全等形和三角形全等的概念与性质，感受生活中的全等形。（2）能够准确地辨认全等三角形中的对应元素,提高学生的识图能力。 2．过程与方法经历图形的平移、翻折、旋转、轴反射等变换的过程，体会探索问题的方法。 3．情感、态度与价值观培养学生的识图能力、归纳总结能力；通过合作交流,增强团队意识,体验成功的喜悦。【教学重点】全等三角形相关概念、性质及全等三角形对应元素的寻找. 【教学难点】能够准确地辨认全等三角形中的对应元素【教学过程】一、创设情境，设疑引入活动1 手指游戏啊，手指们迫不及待的想进入课堂一显身手了，你准备好了吗？让我们带着自信和智慧进入课堂。活动2 我有两个一模一样的图形，可是其中一个被我不小心弄坏了，我还想再做一个一模一样的图形，怎么做呢？谁能帮帮我，告诉我制作方法？这样做出来的图形与我原来的图形重叠在一起时会怎么样？（完全重合）像这样，能够完全重合的两个图形叫做全等形．（怎样的两个图形才能完全重合？——形状相同，大小相同。）请大家观察周围，再想想平时的生活中，全等形常见吗？你能举例吗？让我们来欣赏几组美丽的全等形的图片。活动3 上课前，我送给每个同学一个三角形，举起来，请快速在你周围找朋友，谁

手中的三角形能与你的完全重合，谁就是你的好朋友。找到了吗？像这样，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．这节课，我们一起来研究《全等三角形及其性质》。二、尝试探索，揭示新知 1、理解对应关系我们做游戏时，双手重叠在一起，两个大拇指，两个食指，两个中指……分别是对应的。当我们把两个全等三角形重叠在一起时，他们会有哪些对应元素？分别叫什么名称比较好？——对应顶点、对应边、对应角。什么叫对应顶点？什么叫对应边？什么叫对应角？你能从全等三角形的定义受到启发，把对应顶点、对应边、对应角的定义说一说吗？（当两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫作对应顶点，互相重合的边就叫作对应边，互相重合的角叫作对应角。）不全等的两个三角形有对应顶点、对应边，对应角吗？上图中，△ABC与△DEF全等，请找出其中的对应元素。填空。 2、三角形全等的表示方法当△ABC与△DEF全等时，，我们该怎么表示呢？ “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于” 如上图：△ ABC全等于△DEF记作：△ ABC ≌△DEF （注意：书写时应把对应顶点写在相对应的位置上）若写成△ABC≌△EDF，可以吗？为什么不可以？ 3、探索全等三角形的性质思考：两个三角形全等时，它们的对应边、对应角之间有什么关系，为什么？用几何语言描述定理，要注意对应顶点也要一一对应。 4、探索寻找对应元素的方法我们来玩个七十二变的小游戏，每个图形中都有两个重合的三角形，睁大眼睛，我要开始变了。第一个图形进行了怎样的变换？（平移）第二个呢？（旋转）第三个呢？（翻折）第四个？（轴反射后平移）将一个三角形变换后，与另一个三角形还全等吗？你能快速说出各图中的两个全等三角形的对应边、对应角吗？

全等三角形的概念和性质及判定一-教师版

1 / 22 【例1】下列说法正确的是（） A ．全等三角形是指形状相同的三角形 B ．全等三角形是指面积相等的三角形 C ．全等三角形的周长和面积都相等 D ．所有的等边三角形都全等【难度】★ 【答案】C 【解析】A 错，形状相同，大小也要相同；B 错，面积相等不一定全等，反例同底等高的三角形；D 错，大小不一定相等．【总结】本题主要考查全等三角形的概念．【例2】直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（） A ．形状相同 B ．周长相等 C ．面积相等 D ．全等【难度】★ 【答案】C 【解析】等底同高，所以面积相等．【总结】本题主要考查同底等高的两个三角形的面积相等的运用．【例3】如图所示，△ABC ≌△CDA ，且AB ＝CD ，则下列结论错误的是（） A ．∠1＝∠2 B ．AC ＝CA C ．∠B ＝∠D D ．AC ＝BC 【难度】★ 【答案】D 【解析】全等三角形对应角相等，对应边相等．【总结】考察学生对全等三角形性质的理解及运用．【例4】下列各条件中，不能作出唯一的三角形的是（） A ．已知两边和夹角 B ．已知两角和夹边 C ．已知两边和其中一边的对角 D ．已知三边【难度】★ 【答案】C 【解析】C 选项是边边角，不能作为全等的判定条件．【总结】考查全等三角形的判定定理的运用．例题解析 2 1A B C D

【例5】练习画出下列条件的三角形：（1）画,ABC ?使40,45,4A B AB cm ∠=?∠=?=；（2）画,ABC ?使6,8,10AB cm BC cm AC cm ===；（3）画,ABC ?使4,3,45AB cm AC cm A ==∠=?；（4）画,ABC ?使8,5,50AB cm AC cm B ==∠=?．【难度】★ 【答案】略【解析】略．【例6】下列说法：①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个三角形是全等三角形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④在△ABC 和△DEF 中，若∠A =∠D ，∠B =∠E ，∠C =∠F ，AB =DE ，BC =EF ，AC =DF ，则两个三角形的关系，可记作△ABC ≌△DEF ，其中说法正确的是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【难度】★★ 【答案】B 【解析】（1）错，大小不一定相等；（2）面积相等不一定全等，反例同底等高；（3）对；（4）对，故选B ．【总结】考察学生对全等三角形的概念及性质的理解．【例7】下列说法中错误的是（） A ．全等三角形的公共角是对应角，对顶角也是对应角 B ．全等三角形的公共边也是对应边 C ．全等三角形的公共顶点是对应顶点 D ．全等三角形中相等的边所对应的角是对应角，相等的角所对的边是对应边【难度】★★ 【答案】C 【解析】全等三角形的公共顶点不一定是对应顶点，两个全等三角形任意放置，使得三角形的一个顶点与另一个三角形的不对应的顶点重合．【总结】考察学生对全等三角形的概念的辨析能力，以及正确的举反例．【例8】如图所示，ABE ADC ABC ???和是分别沿着AB AC 、边翻折形成的，若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，则∠α的度数为（） A ．80° B ．100° C ．60° D ．45° 【难度】★★ α3 21 A B C D E P

人教版八年级(上)全等三角形的概念和性质及判定

全等三角形的性质及判定(讲义)

全等三角形的性质及判定

全等三角形概念与性质

全等三角形的性质及判定(习题)

专题17 全等三角形判定与性质定理(原卷版)

全等三角形的性质和判定教案

全等三角形及性质

全等三角形的判定与性质专题训练

全等三角形的性质及判定(经典讲义)

第一节全等三角形的性质和判定-学而思培优

全等三角形的性质和判定

全等三角形的性质和判定练习题

全等三角形的概念及性质

全等三角形及其性质

1全等三角形的概念和性质

北师大版七年级下数学全等三角形的性质和判定汇编

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《全等三角形及其性质》教学设计

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