小学奥数-几何五大模型.doc

任意四边形、 梯形与相似模型

模型三 蝴蝶模型 （任意四边形模型）

任意四边形中的比例关系

( “蝴蝶定理” ) ：

① S 1:S 2 S 4:S 3或者 S 1 S 3 S 2 S 4 ②AO:OC S 1 S 2 : S 4

S 3

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

【例 1 】 ( 小数报竞赛活动试题 ) 如图，某公园的外轮廓是四边形

，被对角线

AC 、BD 分成四个部分， △

ABCD

AOB 面积为 1 平方千米， △ BOC 面积为 2 平方千米 ，△ COD 的面积为 3 平方千米，公园由陆地面积

是6． 92 平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米

【分析】 根据蝴蝶定理求得 S △ AOD

3

1 2 1.5 平方千米，公园四边形 ABCD 的面积是 1 2 3 1.5

7.5 平

方千米，所以人工湖的面积是

7.5 6.92 0.58平方千米

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成

4 个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形 BGC 的面积；⑵ AG: GC

【解析】 ⑴ 根据蝴蝶定理， S V BGC 1

2 3，那么 S VBGC 6 ； ⑵根据蝴蝶定理， AG:GC

1 2 : 3 6 1:3．()

【例 2 】四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ( 如图所示 ) 。如果三角形 ABD 的面积等于三角形

BCD 的

面积的 1

，且 AO 2，DO

3 ，那么 CO 的长度是 DO 的长度的 _________倍。

3

【解析】 在本题中，四边形 ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：⑴利用已

知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条

件 S V ABD : S V BCD 1:3 ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已 知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改

造这个”不良四边形” ，于是可以作 AH 垂直 BD 于 H ， CG 垂直 BD 于 G ，面积比转化为高之比。 再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使 学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。

解法一：∵ AO : OC S ABD : S BDC 1:3 ，

∴ OC236，

∴ OC : OD 6:3 2:1 ．

解法二：作 AH BD 于 H ， CG

BD 于G ．

1 ∵

S ABD S BCD ，

3

1

∴AH

CG ， 3 1 ∴

S AOD

S DOC ，

3

1

∴ AO CO ，

3

∴ OC236，

∴ OC : OD 6:3 2:1 ．

【例 3 】如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于 O 点， △CEF 、 △OEF 、 △ODF 、 △BOE 的面积依次是 2、

4、 4 和 6。求：⑴求 △OCF 的面积；⑵求 △GCE 的面积 。 【解析】 ⑴ 根据题意可知， △BCD 的面积为 2 4 4 6 16 ，那么 △BCO 和 CDO 的面积都是 16 2 8 ， 所以 △OCF 的面积为 8 4 4 ； ⑵由于 △BCO 的面积为 8， △BOE 的面积为 6，所以 △OCE 的面积为 8 6 2 ，

根据蝴蝶定理， EG:FG S COE :S COF 2:4 1: 2，所以 S GCE :S GCF

EG: FG 1:2，

那么

S GCE 1 S CEF 1 2 2 ．

1 2 3

3

【例 4 】图中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了 4 个小三角形， 其中 2 个小三角形的

面积分别是 6 公顷和 7 公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷 【解析】 在 VABE ， VCDE 中有

AEB CED ，所以 VABE ， VCDE 的面积比为 (AE EB) :( CE DE ) 。同

理有 VADE ， VBCE 的面积比为 ( AE DE):(BE

EC) 。所以有 SV ABE × SV CDE =SV ADE × SV BCE ，也就是 说在所有凸四边形中，连接顶点得到

2 条对角线，有图形分成上、下、左、右 4 个部分，有：上、 下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。

即 SV ABE 6 = SV ADE 7 ，所以有 VABE 与 VADE 的面积 7 39

6 18 公顷。

比为 7:6， SV ABE =

7 21 公顷， SV ADE = 39

6

21 公顷。

6 7

显然，最大的三角形的面积为

【例 5 】 ( 2008 年清华附中入学测试题

) 如图相邻两个格点间的距离是

1 ，则图中阴影三角形的面积

为 。

【解析】连接 AD 、CD 、BC 。

则可根据格点面积公式，可以得到

ABC 的面积为： 1

4 1 2 ， ACD 的面积为： 3

3 3.5 ，

2 1

4

2

ABD 的面积为： 2

1 3 ．

2

所以 BO: OD

S ABC :

S ACD

2:3.5

4: 7，所以 S ABO

4

S ABD

4 3 12 ．

4 7

11 11

【巩固】如图，每个小方格的边长都是

1，求三角形 ABC 的面积。

【解析】 因为 BD :CE

2:5 ，且 BD ∥ CE ，所以 DA : AC

2:5

，

S ABC

5 ，

S DBC 5

2

10 ．

2 5

7

7

【例 6 】 ( 2007 年人大附中考题

) 如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中， BE 2EC ， CF

FD ，求三角形 AEG

的面积．

【解析】 连接 EF ．

因为 BE

2EC ， CF

1 1 1

1

S ABCD ．

FD ，所以 S DEF (

) S ABCD

2 3 W

W

2

12

因为

S AED

1 S WABCD ，根据蝴蝶定理，

1 : 1 6:1 ，

2 AG :GF

2 12

所以

S AGD 6S GDF 6 6 1 S WABCD 3 S WABCD ．

S ADF

7 4 14

7 所以

S AGE

S AED

S AGD

1 S WABCD 3 S WABCD

2 S WABCD

2 ，

2 14

7 7

即三角形 AEG 的面积是 2

．

7

【例 7 】如图，长方形 ABCD 中， BE : EC 2:3 ，DF:FC

1: 2 ，三角形 DFG 的面积为 2 平方厘米，求长

方形 ABCD 的面积．

【解析】 连接 AE ， FE ．

因为 BE: EC

2:3 ， DF :FC

1: 2 ，所以 S DEF

( 3 1

1

)S 1 S ． V 5 3

长方形 ABCD 长方形 ABCD

2

10

因为

S V AED

1

S 长方形 ABCD ，

AG : GF

1 1

5:1 ，所以 S V AGD 5S VGDF 10 平方厘米， 所以 S V AFD 12 平

2

2 :

10

S VAFD

1 ABCD 的面积是 72平方厘米．

方厘米．因为 S 长方形 ABCD

，所以长方形

6

【例 8 】如图，已知正方形 ABCD 的边长为 10 厘米， E 为 AD 中点， F 为 CE 中点， G 为 BF 中点，求三角

形 BDG 的面积． 【解析】 设 BD 与 CE 的交点为 O ，连接 BE 、 DF ．

由蝴蝶定理可知 EO : OC S V BED : S V BCD ，而 S V BED

1

S WABCD ，

S V BCD

1

4 S W ABCD

，

2

所以 EO :OC

S

V BED

: S

VBCD

1:2，故 EO

1

EC ．

3

由于 F 为 CE 中点，所以 EF

1

EC ，故 EO: EF

2:3 ， FO :EO 1:2．

2

由蝴蝶定理可知 S V BFD : S V BED

FO:EO 1: 2 ，所以 S V BFD 1

1

S VBED S WABCD

，

2

8

那么

S V BGD

1

S VBFD 1

1

10 10

6.25 （平方厘米）．

2 S WABCD

16

16

【例 9 】如图，在

ABC 中，已知 M 、 N 分别在边 AC 、 BC 上， BM 与 AN 相交于 O , 若

AOM 、 ABO 和

BON 的面积分别是 3、 2、1，则 MNC 的面积是

．

【解析】 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．

根据蝴蝶定理得

S

AOM

S

BON

3 1 3 S MON

2

2

S

AOB

设S MON

x ，根据共边定理我们可以得

S ANM S

S MNC

S

ABM

MBC

3

3 3 2

2

，解得 x 22.5

，

．

x

3

1 x

2

【例 10】

( 2009 年迎春杯初赛六年级 ) 正六边形 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 的面积是 2009 平方厘米， B 1B 2 B 3 B 4 B 5B 6 分别 是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米． 【解析】 如图，设 B 6 A 2 与 B 1 A 3 的交点为 O ，则图中空白部分由 6 个与 A 2OA 3 一样大小的三角形组成， 只要求

出了A

2OA3的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积．

连接 A6 A3、 B6B1、 B6A3．

设 1 1 AAB面积为 A A B

A B B 的面积为”“，则 B A B 面积为”“， A A B 面积为”“，那么

1 1 6 1

2 6 1 2 6 2 6

3 6 1 2 6 的 2 倍，为”

4 “，梯形A1A2A3A6的面积为 2 2 4 2 12 ，A2 B6 A3的面积为” 6 “，B1A2 A3的

面积为 2 ．

根据蝴蝶定理，B1O A3O S B1A2B6 : S A3A2B6 1: 6 ，故 S AOA3 6

，S BAA 12 ，

2 1 6 1 2

3 7 所以

S AOA :S梯形AA

A A

6 12 :12:1:

7 ，即A2OA3的面积为梯形A1 A2 A3 A6 面积的

1 ，故为六边形

2 3 1 2 3 7 7

A1 A2 A3 A4 A5 A6面积的

1 ，那么空白部分的面积为正六边形面积的 1 6 3 ，所以阴影部分面积为

3 1

4 14 7

2009 1148 ( 平方厘米 ) ．

1

7

板块二 梯形模型的应用

梯形中比例关系 ( “梯形蝴蝶定理” ) ：

① S 1 : S 3 a 2 : b 2

② S 1 : S 3 : S 2 : S 4 a 2 : b 2 : ab : ab ；

2

③ S 的对应份数为

a b ．

梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结 论，往往在题目中有事半功倍的效果． ( 具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明

)

【例 11】

如图， S 2 2 ， S 3 4 ，求梯形的面积．

【解析】 设 S 1 为 a 2 份， S 3 为 b 2 份，根据梯形蝴蝶定理，

S 3

4 b 2 ，所以 b 2 ；又因为 S 2

2 a b ，所以 a 1；那么 S 1

a 2

1， S 4

a b 2 ，所以梯形面积

SS 1S 2

S 3

S 412

4 2 9 ，或者根

据梯形蝴蝶定理， S a b

2

2 2

1 9 ．

【巩固】 ( 2006 年南京智力数学冬令营 ) 如下图，梯形 ABCD 的 AB 平行于 CD ，对角线 AC ， BD 交于 O ，已

知 △ AOB 与 △ BOC 的面积分别为 25 平方厘米与 35 平方厘米，那么梯形 ABCD 的面积是 ________ 平方厘米． 【解析】 根据梯形蝴蝶定理， S V AOB :S V BOC

a 2 : a

b 25 :35 ， 可 得 a : b

5:7 ，再根据梯形蝴蝶定理，

S V AOB : S V DOC a 2 : b 2

52 :72 25: 49 ， 所 以 S VDOC

49 ( 平方厘米) ．那么梯形 ABCD 的面积为

25 35 35 49 144( 平方厘米 ) ．

【例 12】

梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ，已知梯形上底为

2，且三角形 ABO 的面积等于三角

形 BOC 面积的 2

，求三角形 AOD 与三角形 BOC 的面积之比．

3

【解析】 根据梯形蝴蝶定理，

S

V AOB

: S

VBOC

ab : b 2 2: 3 ，可以求出 a : b 2:3 ， 再根据梯形蝴蝶定理， S V AOD : S VBOC

a 2 :

b 2

22 :32 4:9．

通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．

【例 13 】

( 第十届华杯赛

三角形 ABD 的面积

三角形 CBD 的面积

) 如下图，四边形

ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于 O 点，已知 AO 1 ，并且

3

，那么 OC 的长是多少

5

三角形 ABD 的面积

AO ，所以

AO 3

5 ． 【解析】 根据蝴蝶定理，

CO CO

，又AO 1

，所以 CO

三角形 CBD 的面

积

5

3

【例 14】 梯形的下底是上底的

1.5 倍，三角形

2

，问三角形 AOD 的面积是多少 OBC 的面积是 9cm 【解析】 根据梯形蝴蝶定理， a :b

1:1.5 2:3 ，S AOD :S BOC

a 2 :

b 2

22 :32

4:9 ，

所以 S AOD 4 cm 2 ．

【巩固】如图，梯形ABCD 中，AOB 、COD 的面积分别为 1.2 和 2.7 ，求梯形 ABCD 的面积．

【解析】 根据梯形蝴蝶定理， S V AOB : S VACOD a 2 : b 2

4 : 9 ，所以 a :b 2:3 ， S V AOD : S V AOB ab : a 2

b : a 3:2，S

AOD S COB

1.2 3 1.8 ，

V

V

2 S 梯形 ABCD 1.2 1.8 1.8 2.7 7.5 ．

【例 15】 如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，

已知三角形 ADG 的面积是 11，三角形 BCH

的面积是 23，求四边形 EGFH 的面积．

【解析】 如图，连结 EF ，显然四边形 ADEF 和四边形 BCEF 都是梯形，于是我们可以得到三角

形

EFG 的面积等 于三角形 ADG 的面积；三角形 BCH 的面积等于三角形

EFH 的面积，所以四边形

EGFH 的面积是

11 23 34．

【巩固】 ( 人大附中入学测试题 ) 如图，长方形中，若三角形

1 的面积与三角形 3 的面积比为 4 比 5，四边形 2

的面积为 36，则三角形 1 的面积为 ________．

【解析】 做辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形

2 分成左右两边，其面积正好等于三角形

1 和三角

形 3，所以 1 的面积就是 36

4 16 ， 3 的面积就是 36 5

20 ．

5 4

5

4

【例 16】

如图，正方形 ABCD 面积为 3平方厘米， M 是 AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．

【解析】 因为 M 是 AD 边上的中点，所以 AM :BC

1: 2

，根据梯形蝴蝶定理可以知道

S

△ AMG

: S

△ ABG

: S

△ MCG

: S

△BCG

2 （

）（ ） 2

1: 2:2:4 ，设 S

△ AGM 1份，则

S

△ MCD

1 2

3 份，

1 : 1

2 : 1

2 : 2

所以正方形的面积为 1 2 2 4 3 12 份， S 阴影 2 2 4 份，所以 S 阴影 : S 正方形

1: 3 ，所以 S 阴影

1

平方厘米．

【巩固】在下图的正方形 ABCD 中， E 是 BC 边的中点， AE 与 BD 相交于 F 点，三角形 BEF 的面积为

1 平

方厘米，那么正方形 ABCD 面积是 平方厘米．

【解析】 连接

DE ，根据题意可知

BE: AD 1: 2 ，根据蝴蝶定理得

S 梯形 （ 2 9 ( 平方厘米 ) ， S △ ECD 3 ( 平

）

1 2

方厘米 ) ，那么 S W

12( 平方厘米 ) ．

ABCD

【例 17】

如图面积为 12 平方厘米的正方形 ABCD 中， E, F 是 DC 边上的三等分点，求阴影部分的面积．

【解析】 因为 E , F 是 DC 边上的三等分点，所以 EF:AB 1:3 ，设 S △OEF 1 份，根据梯形蝴蝶定理可以知道

△ △ 3 份， △ AOB 9 份， △ ADE △

BCF (1 3) 份，因此正方形的面积为 4 4 (1 3)2 24 S AOES OFB

S S S

份， S 阴影

6 ，所以

S

阴影

: S

正方

形

6:24

1: 4

，所以 S 阴影 3 平方厘米．

【例 18】

如图，在长方形 ABCD 中， AB 6 厘米， AD 2 厘米， AE EF FB ，求阴影部分的面积．

【解析】 方 法一：如图，连接 DE ， DE 将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形

AED 的面积为 2 6 3 2 2 平方厘米．

由于 EF:DC 1:3 ，根据梯形蝴蝶定理， S VDEO : S V EFO 3:1 ，所以 S V DEO 3

S V DEF ，而 S V DEF S VADE

2 4

平方厘米，所以

S VDEO

3

2 1.5 平方厘米，阴影部分的面积为

2 1.5 3.5 平方厘米．

4

方法二：如图，连接 DE ，FC ，由于 EF:DC 1:3 ，设 S △OEF 1 份，根据梯形蝴蝶定理， S △ OED 3

份，

S 梯形 EFCD (1 3)2

16 份， S △ ADE

S

△ BCF

1 3 4 份，因此

S

长方形 ABCD

4 16

4 24 份，

S阴

影 4 3 7 份，而 S 6 2 12 平方厘米，所以S

阴影 3.5 平方厘米

长方形 ABCD

【例 19】( 2008 年”奥数网杯”六年级试题) 已知ABCD是平行四边形，BC : CE 3: 2 ，三角形 ODE 的面积为 6 平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．

【解析】连接 AC ．

由于 ABCD 是平行四边形， BC :CE 3:2 ，所以 CE: AD 2:3 ，

根据梯形蝴蝶定理，S V COE : S V AOC : S VDOE : S VAOD 22 : 2 3: 2 3: 32 4 : 6: 6 :9 ，所以 S VAOC 6(平方厘米 ) ， S VAOD 9 ( 平方厘米 ) ，又 S VABC S V ACD 6 9 15 ( 平方厘米 ) ，阴影部分面积为 6 15 21(平方厘米 )．

【巩固】右图中ABCD 是梯形， ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示( 单位：平方厘米 ) ，阴影部分的面积是平方厘米．

【分析】连接 AE ．

由于 AD 与 BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么S

OCD

S

OAE．

根据蝴蝶定理， S OCD S OAE S

OCE

S

OAD 4 9 36，故 S

2

36 ，

OCD

所以 S OCD 6( 平方厘米 )．

【巩固】 ( 2008 年三帆中学考题 ) 右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示( 单位：平方厘米 ) ，阴影部分的面积是平方厘米．

【解析】连接 AE ．

由于 AD 与 BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么S OCD S OAE．

根据蝴蝶定理， S OCD S OAE S OCE S OAD 2 8 16，故 S 2 16 ，所以S OCD 4 ( 平方厘米 ) ．

OCD

另解：在平行四边形ABED 中，S ADE 1 1

16 8 12 (平方厘米 )，

S ABED

Y 2

2

所以 S AOE S

ADE

S

AOD 12 8 4(平方厘米 )，

根据蝴蝶定理，阴影部分的面积为8 2 4 4(平方厘米)．

【例 20】如图所示， BD 、 CF 将长方形 ABCD 分成4块，DEF 的面积是 5 平方厘米，CED 的面积是

10 平方厘米．问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米

【分析】连接 BF ，根据梯形模型，可知三角形BEF 的面积和三角形DEC 的面积相等，即其面积也是10 平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE 的面积为10 10 5 20 (平方厘米)，所以长方形的面积为

20 10 2 60 ( 平方厘米 ) ．四边形ABEF的面积为60 5 10 20 25(平方厘米)．

【巩固】如图所示，BD 、 CF 将长方形 ABCD 分成4块，DEF 的面积是 4 平方厘米，CED 的面积是6平方厘米．问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米

【解析】 ( 法 1) 连接BF，根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理，可知三角形BEF 的面积和三角形DEC 的面积相等，即其面积也是 6 平方厘米，再根据蝴蝶定理，三角形BCE 的面积为 6 6 4 9 ( 平方厘米 ) ，所以长方形的面积为9 6 2 30 ( 平方厘米 ) ．四边形ABEF的面积为30 4 6 9 11 (平方厘

米 ) ．

( 法 2) 由题意可知，EF

4

2 ，根据相似三角形性质，ED EF 2，所以三角形 BCE 的面积为：EC 6

3 EB EC 3

6 2

9(平方厘米 ) ．则三角形 CBD 面积为15 平方厘米，长方形面积为15 2 30 ( 平方厘米 ) ．四3

边形 ABEF 的面积为30 4 6 9 11 (平方厘米 )．

【巩固】 ( 98 迎春杯初赛 ) 如图，ABCD长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54 ， OD 的长是 16 ， OB 的长是9 .那么四边形 OECD 的面积是多少

【解析】因为连接 ED 知道△ABO 和△EDO 的面积相等即为54 ，又因为 OD∶OB = 16∶9 ,所以△ AOD 的面积

为 54 9 16 96 ，根据四边形的对角线性质知道： △BEO 的面积为： 54 54 96 30.375 ，所以四

边形 OECD 的面积为： 54 96 30.375 119.625( 平方厘米 ).

【例 21 】( 2007 年”迎春杯”高年级初赛 ) 如图，长方形 ABCD 被 CE 、 DF 分成四块，已知其中 3 块的

面积分别为 2、 5、 8 平方厘米，那么余下的四边形 OFBC 的面积为 ___________ 平方厘米． 【解析】 连接 DE 、 CF ．四边形 EDCF 为梯形，所以 S EOD

S V FOC ，又根据蝴蝶定理，

S EOD S FOC S EOF S COD ，所以 S EOD S FOC S EOF S COD 2 8 16 ，所以 S EOD 4

(平方厘米 )，

S

ECD

4 8 12 ( 平方厘米 ) ．那么长方形 ABCD 的面积为 12 2 24 平方厘米，四边形

OFBC 的面

积为 24 5 2 8 9(平方厘米 )．

【例 22 】(98 迎春杯初赛 ) 如图，长方形 ABCD 中， AOB 是直角三角形且面积为

54， OD 的长是 16， OB

的长是 9．那么四边形 OECD 的面积是 ．

【解析】 解法一：连接 DE ，依题意 S V AOB

1 1 9AO54

，所以 AO 12 ，

BO AO 2

2

则 S V AOD 1

DO 1

16 12 96

．

2 AO

2

又因为

S V AOB

S VDOE

54 1 16

OE

，所以

OE 6 3 ，

2

4

得

S V BOE

1 BO EO 1 9 6 3 30 3 ，

2

2 4 8

所以

S OECD

S V BDC S VBOE S V ABD S VBOE 54 96

解法二：由于 S

V AOD

: S

V AOB

OD : OB 16 :9 ，所以

30 3 119 5 ．

8 8

S V AOD 54

16 96

，而

S V DOE S V AOB 54 ，根据

9

蝴蝶定理， S

S

S

S

，所以 S VBOE

54 54

3 ，

VBOE

V AOD

V AOB

V DOE

96 30

8 所以

S OECD S VBDC

S VBOE

S V ABD S V BOE

54 96 30

3

119

5

．

8

8

【例 23】

如图， ABC 是等腰直角三角形， DEFG 是正方形，线段 AB 与 CD 相交于 K 点．已知正方形 DEFG 的面积 48， AK : KB 1:3 ，则 BKD 的面积是多少

【解析】 由于 DEFG 是正方形， 所以 DA 与 BC 平行，那么四边形 ADBC 是梯形． 在梯形 ADBC 中， BDK 和

ACK 的面积是相等的． 而 AK : KB

1:3 ，所以 ACK 的面积是 ABC 面积的 1

1

，那么 BDK

ABC 面积的 1

．

1 3 4

的面积也是

4

由于 ABC 是等腰直角三角形，如果过 A 作 BC 的垂线， M 为垂足，那么 M 是 BC 的中点，而且

AM DE ，可见 ABM 和 ACM 的面积都等于正方形 DEFG 面积的一半，所以

ABC 的面积与正 方形 DEFG 的面积相等，为 48． 那么 BDK 的面积为 48

1 1

2 ．

4

【例 24】 如图所示， ABCD 是梯形， ADE 面积是 1.8 ， ABF 的面积是 9， BCF 的面积是 27．那么阴

影 AEC 面积是多少

【解析】 根 据梯形蝴蝶定理，可以得到 S AFB S DFC

S AFD

S BFC ，而 S AFB S DFC ( 等积变换 ) ，所以可得

S AFB S CDF 9 9 3 ，

S AFD S BFC 27

并且 S AEF S ADF S

AED 3 1.8 1.2，而 S AFB : S BFC AF : FC

9:27 1:3 ，

所以阴影 AEC 的面积是： S AEC S AEF 4 1.2 4 4.8 ．

【例 25】 如图，正六边形面积为 6 ，那么阴影部分面积为多少

【解析】 连接阴影图形的长对角线，此时六边形被平分为两半，根据六边形的特殊性质，和梯形蝴蝶定理把

六边形分为十八份，阴影部分占了其中八份，所以阴影部分的面积

8 6 8 ．

18 3

【例 26】 如图，已知 D 是 BC 中点， E 是 CD 的中点， F 是 AC 的中点．三角形

ABC 由①～⑥这 6 部分

组成，其中②比⑤多 6 平方厘米．那么三角形

ABC 的面积是多少平方厘米

【解析】因为E 是DC 中点， F 为 AC 中点，有 AD 2FE 且平行于 AD ，则四边形 ADEF 为梯形．在梯形

ADEF 中有③ =④，②×⑤ =③×④， ②：⑤= AD 2 ： FE 2 =4．又已知② - ⑤ =6，所以⑤ = 6 (4 1) 2 ，

②=⑤ 4 8 ，所以②×⑤ =④×④ =16，而③ =④，所以③ =④ =4，梯形 ADEF 的面积为②、③、④、 ⑤四块图形的面积和，为 8 4 4 2 18．有 VCEF 与 VADC 的面积比为 CE 平方与 CD 平方的比，

即为 1:4 ．所以 VADC 面积为梯形 ADEF 面积的 4 = 4

，即为 18 4 24 ．因为 D 是 BC 中点，所

4-1 3 3

以 VABD 与 VADC 的面积相等，而 VABC 的面积为 VABD 、 VADC 的面积和，即为 24 24 48 平方 厘米．三角形 ABC 的面积为 48 平方厘米．

【例 27】 如图，在一个边长为

6 的正方形中，放入一个边长为 2 的正方形，保持与原正方形的边平行， 现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分 的面积为 ．

【解析】 本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况．

解法一： 取特殊值， 使得两个正方形的中心相重合， 如右图所示， 图中四个空白三角形的高均为 1.5 ，

因此空白处的总面积为 6 1.5 2 4 2 2 22 ，阴影部分的面积为 6 6 22 14．

解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为

2，下底都为 6， 上底、下底之比为 2: 6 1:3 ，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之

2 2

1:3:3:9 ，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的 9 ，阴影部分的面 比为

1:1 3:1 3:3

16

积占该梯形面积的 7 ，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的

7

，那么阴影部分的面积为

16

16

7 2 2

． 16 (6 2) 14

【例 28】 如图，在正方形 ABCD 中， E 、 F 分别在 BC 与 CD 上，且 CE 2BE ， CF 2DF ，连接 BF 、

DE ，相交于点 G ，过 G 作 MN 、 PQ 得到两个正方形 MGQA 和 PCNG ，设正方形 MGQA 的面积为

S 1 ，正方形 PCNG 的面积为 S 2 ，则 S 1 : S 2 ___________ ．

【解析】 连接 BD 、 EF ．设正方形 ABCD 边长为 3，则 CE

CF 2 ， BE DF 1 ，所以， EF 2 22 22 8 ，

2

2

2

BD 3

3

S

△ GEF

: S

△ GBD

所以， S △ BGE

18 ．因为 EF 2 BD 2 8 18 144 12 2

，所以 EF BD : S : S EF 2 :BD 2: EF BD:EF BD 8:18:12 :12 △ DGF

nBGE

6

S

6

．因为 S △ BCD 3

3 2

S

4 9

6 梯形 BDFE

梯形 BDFE

6

25

12 ．由梯形蝴蝶定理，得

4:9:6: 6 ，

9

，S △CEF 2 2 2

2 ，

2

所以 S

S △ BCD S △ CEF

5

，所以， S

△

BGE

6 5

3 ．

梯形 BDFE 2

25 2 5

3

6

，ND

6 9 ，

由于 △BGE 底边 BE 上的高即为正方形 PCNG 的边长，所以 CN

2 1

3 所以 AM :CN

DN:CN 3:2

AM 2:CN 2

5

5

5 5

，则 S 1:S 2

9:4．

【例 29】

如下图，在梯形 ABCD 中， AB 与 CD 平行，且 CD 2AB ，点 E 、 F 分别是 AD 和 BC 的中点，

已知阴影四边形 EMFN 的面积是 54 平方厘米，则梯形

ABCD 的面积是

平方厘米．

【解析】 连接 EF ，可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起，应用梯形蝴蝶定理，可以确定其中各个小

三角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形 ABCD 面积．

设梯形 ABCD 的上底为 a ，总面积为 S ．则下底为 2a ， EF 1 2a 3

a a ．

3 3 2 2

所以 AB: EF a : 2:3 ， EF :DC

a a : 2a 3: 4 ．

2 2

由于梯形 ABFE 和梯形 EFCD 的高相等，所以 S 梯形 ABFE : S 梯形 EFCD AB EF :EF DC 3 a : 3 2a 5: 7 ， a a

2 2

故 S 5 7 S ．

S ， S

梯形 ABFE 12 梯形 EFCD

12

22 :2

2 3:32

根据梯形蝴蝶定理，梯形

ABFE 内各三角形的面积之比为 3: 4: 6: 6:9 ，所以 S V EMF 9 S 梯形 ABFE 9 5 3 ；

6 6 25 S S

4 9 12 20

同理可得 S V ENF 9 S 梯形 EFCD 9 7 3

9 12 12 49 S S ，

16 12 28

所以 S EMFN S VEMF S VENF 3 3 9 ，由于 S EMFN 54 平方厘米，

S S S

20 28 35

所以S 54 9 210 ( 平方厘米 ) ．

35

【例 30】

( 2006 年“迎春杯” 高年级组决赛 ) 下图中， 四边形 ABCD 都是边长为 1 的正方形， E 、F 、G 、

H 分别是 AB ， BC ， CD ， DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简

分数

m

，那么， (m

n) 的值等于

．

n

【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面

积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．

如下图所示，在左图中连接 EG ．设 AG 与 DE 的交点为 M ．

左图中 AEGD 为长方形，可知

AMD 的面积为长方形 AEGD 面积的

1

，所以三角形 AMD 的面积为

4

1

2

1 1 1

．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为

2 4 8

1

1 4 1 ．

8 2

如上图所示，在右图中连接

AC 、EF ．设 AF 、EC 的交点为 N ．

可知 EF ∥ AC 且 AC 2EF ．那么三角形 BEF 的面积为三角形

ABC 面积的 1

，所以三角形 BEF 的

4

面积为 2

1 1 1

，梯形 AEFC 的面积为

1 1 3 ．

1 2 4 8 2 8

8

在梯形 AEFC 中，由于 EF:AC 1:2

，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：

12

:1 2:1

2: 2

2

1: 2: 2: 4 ，所以三角形

EFN 的面积为

3

1 2 1

4

1

，那么四边形 BENF 的

8 2 24

面积为

1

1

1

．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为

8 24 6

1

1 4 1 ．

6 3

那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为

1 : 1 3:

2 ，即 m

3 ，

那么 m n 3 2 5 。

2 3 n 2

小学奥数之几何五大模型精编版

一、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况 ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 如上图12::S S a b = ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 五大模型 1S 2 S

二、鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图1 图2 三、蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2 a b +。

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)整理版

任意四边形、梯形与相似模型 卜亠\ 模型三蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）: D S1: S2 = S4: S3或者S S3 =S2 S4 ② AO : OC =[S S2 : S4 S3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分，△ AOB面积为1平方千米，△ BOC面积为2平方千米，△ COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 【分析】根据蝴蝶定理求得S^AOD=3 1-'2=1.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是12 3 45 = 7.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC的面积：⑵AG:GC= ? 【解析】⑴根据蝴蝶定理，S BGC 1=2 3，那么S BGC=6 ; ⑵根据蝴蝶定理，AG:G^ 1 2 : 3 6 =1:3 . （? ??） 【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的

面积的 1 ，且AO =2 , DO =3，那么CO的长度是DO的长度的_____________ 倍。 3 【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件S A BD : S BCD =1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：T AO ：OC = S ABD： S BDC =1 ： 3 , 二OC =2 3 =6 , ??? OC:OD =6:3 2:1 . 解法二：作AH _BD 于H , CG_BD 于G . ?- AH」CG , 3 1 ?- AO CO , 3 ?OC =2 3=6 , ?OC:OD =6:3 =2:1 ? 【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，A CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、 4、4和6。求：⑴求A OCF的面积；⑵求A GCE的面积。 【解析】⑴根据题意可知，△BCD的面积为2 4 4 ^16，那么△BCO和:CDO的面积都是16亠2=8 , 所以A OCF 的面积为8—4=4; ⑵由于△ BCO的面积为8, △BOE的面积为6,所以A OCE的面积为8-6=2 , 根据蝴蝶定理，EG:FG 二 Sg E：S.COF =2:4 =1:2，所以S.GCE：S.GCF = EG : FG =1:2 , 1 1 2 那么S GCE S CEF 2 ~~? 1+2 3 3 【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？ S 'ABD S BCD 3审 S AOD =—S DOC 3

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)-精选.

模型二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =， 16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． 三角形等高模型与鸟头模型

E D C B A E D C B A 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△， ::4:7(45):(75) ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设 8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角 形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【解析】 连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ． 【巩固】如图，三角形被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =， 6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 乙 甲 E D C B A A B C D E 甲 乙 【解析】 连接AD ． ∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==， ∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).

模型二鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在 △ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图(1)(或D在BA的延长线上，E在AC上如图2)，则ABC : ADE -(AB AC)： (AD AE) 厘米，求△ ABC的面积. 【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD ： AB =2 ：5 =(2 4): (5 4), S A ABE : S A ABC = AE : AC = 4 ： 7 = (4 5) : (7 5)，所以S^ADE: S^ ABC= (2 4) : (7 5),设S A ADE= 8 份， 则S A ABC =35份，S A ADE =16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 三角形等高模型与鸟头模型 【例1】如图在△ ABC中, D,E分别是AB,AC上的点，且AD: AB =2:5 ,AE:AC =4:7 , S^ADE =16 平方 图⑵

【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的 3 倍，如果三角形么三 角形ABC的面积是多少？ ?/ EC =3AE --S A BC = 3S ABE 又??? AB =5AD --S|_ADE = S_ABE 5 = S_ ABC 15 ,??? S ABC 如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD=DC=4 , BE=3 , AE=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ ?/ BE =3 , AE =6 --AB = 3BE , S ABD=3S BDE 又T BD =DC =4 , --S ABC =2S ABD，…S ABC - 6S BDE , 【例2】如图在△ ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB: AD =5: 2 , AE:EC=3:2 , S A ADE =12平方厘米，求△ ABC的面积. 【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD： AB =2:5 =(2 3): (5 3) S A ABE : S A ABC=AE： AC =3:(3 2)=(3 5): 1(3 2) 5】, 所以S A ADE : S A ABC - (3 2) : 5 (3 2^ - 6 : 25，设S A ADE = 6 份，贝V S A ABC = 25 份，S A ADE =12 平方厘 米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF =2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米？ ADE的面积等于1，那 = 15S ADE =15 . 【巩固】 【解析】连接AD . 【解 析】

六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型

六年级奥数专题几何五大 模型鸟头模型 The latest revision on November 22, 2020

几何五大模型——鸟头模型 本讲要点 一两点都在边上：鸟头定理： （现出“鸟头模型”。然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。最后按一下，出公式。） 二一点在边上，一点在边的延长线上：

例1 如图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ABC的面积是平方厘米． 例2 例2 （1）如图在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ABC的面积是16平方厘米，求△ABC的面积。 （2）如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2,△ADE 的面积是12平方厘米，求△ABC的面积。 例3 已知△DEF的面积为12平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面积。 例4 三角形ABC面积为1，AB边延长一倍到D，BC延长2倍到E，CA延长3倍到F，问三角形DEF的面积为多少 例5 长方形ABCD面积为120，EF为AD上的三等分点，G、H、I为DC上的四等分点，阴影面积是多大

如图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边AD 、BC 的平行线EF 、GH ，若PBD ?的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米 1. 如下左图，在ABC △中，D 、E 分别是BC 、AB 的三等分点，且ABC △的面积是54，求 CDE △的面积。 2. 如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且12AN BN =．那么，阴影部分的面积等 于 ． 3. 如图以ABC △的三边分别向外做三个正方形ABIH 、ACFG 、BCED ,连接HG 、EF 、 ID ，又得到三个三角形，已知六边形DEFGHI 的面积是77平方厘米，三个正方形的面积分别是9、16、36平方厘米，则三角形ABC 的面积是多少 4. 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使 2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积。 5. 把四边形ABCD 的各边都延长2倍，得到一个新的四边形EFGH 。如果ABCD 的面积是5 平方厘米，则EFGH 的面积是多少 家庭作业 例6 A C E

几何五大模型汇总

小学平面几何五大模型 一、 共角定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E分别是, AB AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():() S S AB AC AD AE =?? △△ 证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC可推导出 若△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°， 则 ADE ABC S S ? ? = AE AD AC AB ? ? 二、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如下图 12 :: S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 ACD BCD S S= △△ ； 反之，如果 ACD BCD S S = △△ ，则可知直线AB平行于CD． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． b a S2 S1 D C B A

三、蝶形定理 1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 速记：上×下=左×右 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面 可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +． 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 G F E A B C D A B C D E F G ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：． 相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； A B C D O b a S 3 S 2 S 1S 4 S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A

小学奥数 几何五大模型(等高模型)

模型一 三角形等高模型 已经知道三角形面积的计算公式： 三角形面积=底?高2÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13 ，则三角形面积与原来的一样．这 就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图 12::S S a b = b a S 2S 1 D C B A ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 三角形等高模型与鸟头模型

反之，如果ACD BCD S S △△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3 个面积相等的三角形； ⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。 【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点， 答案不唯一： C E D B A F C D B A G D B A ⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考： ⑸ ⑷⑶⑵⑴ ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考： 【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。 ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ 【解析】 因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。 于是：三角形ABD 的面积12=?高26÷=?高 三角形ABC 的面积124=+?（）高28÷=?高 三角形ADC 的面积4=?高22÷=?高 所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的43 倍； 三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍。 【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米， 那么图中阴影部分的面积是 平方厘米。 C D B A

小学奥数几何五大模型

几何五大模型 一、五大模型简介 （1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示， S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b； 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b； 4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示， S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]；反之，如果 S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]， 则可知直线AB平行于CD。 例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。

（2）鸟头（共角）定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。 如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点 则有：S[sub]△ABC[/sub]：S[sub]△ADE[/sub]=（AB×AC）：（AD×AE） 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！

如图连接BE，根据等积变化模型知，S[sub]△ADE[/sub]： S[sub]△ABE[/sub]=AD：AB、S[sub]△ABE[/sub]： S[sub]△CBE[/sub]=AE：CE，所以S[sub]△ABE[/sub]： S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]： （S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub]）=AE：AC ，因此S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABC[/su b]=（S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABE[/sub]）×（S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]）=（AD：AB）×（AE：AC）。 例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2， △ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。

几何图形 五大模型

直线形面积计算的五大模型 一、等积变换模型 （1） 等底等高的两个三角形面积相等； （2） 两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比；（或者两个三角形的高相等，面积比 等于他们底的比） AB 为公共边，所以 21::ABC ABD s s h h ??= 1h 为公共的高，所以 1 2 ::BD DC s s = （3） 两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。 底和高均不同，所以 ()21 ::)(ABD CDE BD DC h s s h ??=?? 比如：两个三角形的底的比是5:3，与各自底对应的高的比是7:6， 那么他们的面积的比是（5×7）：（3×6） 二、鸟头定理（共角定理） 两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两条夹边的乘积之比。 BAC DAC ∠∠和互补，::DAC BAC DA AC BA AC s s ??=??所以 E :E :D A B A C D A A B A A C s s ?? ∠=??A 为公共角，所以 推理过程：连接BE ，运用等积变换模型证明。

三、蝴蝶定理模型 1．任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理） 1 2 4 3 ::s s s s =或者1 3 4 2 s s s s ?=? 1 4 2 3 1 2 4 3 +AO:OC s s s s s s s s == =：：（）：（+） 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以是不规则四边形的面积关系与四边形内三角形相联系；另一方面也可以得到与面积对应的对角线被分割的两段之间的比例关系。 2．梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理） 22 13 :a b s s =： 22 1324 ::a b s s s s =：：：ab ：ab 整个梯形对应的面积份数为： 2 (a+b) 四、相似模型 相似三角形性质： （金字塔模型） （沙漏模型） 下面的比例关系适用如上两种模型： 1、 AD AE DE AF AB AC BC AG === 2、 22 ::ADE ABC s s AF AG ??= 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变，他们都是相似的），与相似三角形相关的常用的性质以及定理如下： （1） 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比； （2） 相似三角形的面积比等于他们的相似比的平方。

小学奥数-几何五大模型

模型四 相似三角形模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：。 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。 【例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长 度是多少？ 【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ， 所以::4:161:4BF FC BE CD ===，所以4 10814 FC =?=+． 【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份。 如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？ 【解析】 有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米。 【例 3】 如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________。 【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=， 22:2:54:25ADE ABC S S ==△△， 任意四边形、梯形与相似模型

小学奥数平面几何五大模型

小学奥数平面几何五大定律 一、等积模型 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) ① 等底等高的两个三角形面积相等 如图(1)：D 为BC 中点，则S△ABD=S△ACD 如图(4)：l1平行于l2，则S△ACD=S△BCD ② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比 如图(2)： S △ABDS △ACD=BDCD ③ 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比 如图(3)：BC=EF ，则 S △ABCS △DEF=h1h2 ④ 夹在一组平行线之间的等积变形 如图(4)：l1平行于l2 ，则 S△ABD=S△ACD 反之如果S△ABD=S△ACD，则可知直线l1平行于l2 ⑤ 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边形) ⑥ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 ⑦ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底 相等，面积比等于它们的高之比 二、共角定理(鸟头定理) 两个三角形中有一个角相等或互补(两个角之和＝180O ），这两个三角形叫做共角三角形． D B h A B D C h1 h2 l2 l2 B C h1 F E D h2 B C D h

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 共角 互补角 图(1) 图(2) 如图(1)：在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ABC 与△ADE 共∠A 如图(2)：D 在BA 的延长线上，E 在AC 上；∠BAC+∠BAC ＝180O (互补)， 则: S △ABC :S △ADE =(AB ×AC):(AD ×AE)；或 S △ABCS △ADE=AB × ACAD × AE 三、相似模型 数学上，相似指两个图形的形状完全相同，其中一个图形能通过放大、缩小、平移、旋转、镜像等方式变成另一个。 相似比：是指两个相似图形的对应边的比值。 相似符号：“∽” 相似三角形：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形 相似三角形传递性：如果图A 相似于图B ，图B 相似于C ，则 A 相似C 即：图A ∽图B ，图B ∽图C ；则，图A ∽图B ∽图C a 顺时针旋转90度 a 翻转 a 缩小 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) c a d b A B C D E A D E F C B D E O B A

小学奥数_几何五大模型(鸟头模型)讲解学习

模型二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方 厘米，求ABC △的面积． E D C B A E D C B A 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△， ::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设8ADE S =△份， 则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的 面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那 三角形等高模型与鸟头模型

么三角形ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【解析】 连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ． 【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面 积是甲部分面积的几倍？ 乙 甲 E D C B A A B C D E 甲 乙 【解析】 连接AD ． ∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==， ∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲． 【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． E D C B A E D C B A 【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===??△△ []::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=?+?△△， 所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =??+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积 为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍， 所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，

小学奥数-几何五大模型

模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米 【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平 方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC = 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?V ，那么6BGC S =V ； ⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． () 【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的 面积的1 3 ，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已 知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵1 3 ABD BCD S S ??=， 任意四边形、梯形与相似模型

小学奥数几何五大模型(蝴蝶模型)

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”)：S 4S 3 S 2S 1O D C B A ①12 43::S S S S 或者1324S S S S ②124 3::AO OC S S S S 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例1】(小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ O D C B A 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S △平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵ :AG GC ？A B C D G 321 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ，那么6BGC S ；⑵根据蝴蝶定理，:12:361:3AG GC ．(？？？)任意四边形、梯形与相似模型

【例2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形 BCD 的面积的1 3，且2AO ，3DO ，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。A B C D O H G A B C D O 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件 :1:3ABD BCD S S ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知 条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造 这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学 生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ，∴236OC ， ∴:6:32:1OC OD ． 解法二：作AH BD 于H ，CG BD 于G ．∵1 3 ABD BCD S S ，∴1 3AH CG ，∴13AOD DOC S S ，∴13AO CO ，∴236OC ， ∴:6:32:1OC OD ． 【例3】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是 2、4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。 O G F E D C B A ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616，那么BCO △和CDO 的面积都是162 8，所以OCF △的面积为844；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862， 根据蝴蝶定理， ::2:41:2COE COF EG FG S S ，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ，那么1 1 2 21233 GCE CEF S S ．【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)

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模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四 个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 【例 2】 O D C B A 【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是 123 1.57.5+++=平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC = 任意四边形、梯形与相似模 型

B 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?，那么6BGC S =； ⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． () 【例 3】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角 形BCD 的面积的1 3 ，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 A B C D O H G A B C D O 【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方 法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得 出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵1 3 ABD BCD S S ??=， ∴13 AH CG =， ∴13 AOD DOC S S ??=， ∴13 AO CO =， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 【例 4】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积 依次是2、4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。

小学数学几何五大模型教师版

小学数学几何五大模型教 师版 The following text is amended on 12 November 2020.

几何五大模型一、五大模型简介 （1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S 1：S 2 =a:b； 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S 1：S 2 =a:b； 4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S △ACD =S △BCD ；反之，如果 S △ACD =S △BCD ，则可知直线AB平行于CD。 例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。

（2）鸟头（共角）定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图下图三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上或AB 、AC 延长线上的点 则有：S △ABC ：S △ADE =（AB×AC）：（AD×AE） 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！ 如图连接BE ，根据等积变化模型知，S △ADE ：S △ABE =AD ：AB 、S △ABE ：S △CBE =AE ：CE ，所以S △ABE ：S △ABC =S △ABE ：（S △ABE +S △CBE ）=AE ：AC ，因此S △ADE ：S △ABC =（S △ADE ：S △ABE ）×（S △ABE ：S △ABC ）=（AD ：AB ）×（AE ：AC ）。 例、如图在ΔABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB ：AD=5:2，AE ：EC=3:2，△ADE 的面积为12平方厘米，求ΔABC 的面积。 （3）蝴蝶模型 1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) 例、如图，梯形ABCD ，AB 与CD 平行，对角线AC 、BD 交于点O ，已知△AOB、△BOC 的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD 的面积。 2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：