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勾股定理复习总结小结

勾股定理复习

一、

二. 知识点回顾

1、勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、如何判定一个三角形是直角三角形

（1）先确定最大边（如c ）

（2）验证2c 与2

2b a +是否具有相等关系

（3）若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠2

2b a +

则△ABC 不是直角三角形。 3、勾股数

满足2

b a +=2

c 的三个正整数，称为勾股数

如（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 二、专题练习 (一) 勾股定理的计算

1、如图中字母A 所代表的正方形的面积为( )

A 、4

B 、8

C 、16

D 、64

2、一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法中正确的是（）

A 、第三边一定为10

B 、三角形的周长为24

C 、三角形的面积为24

D 、第三边有可能为10

3、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，

（1）已知c ＝4，b ＝3，求a ；（2）若a:b=3:4，c=10cm ，求a 、b 。（3）已知b=B ＝30°，求a 。（4）已知a=c=6，求∠A ，∠B 。

（二）直角三角形的判定

E 1、下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（）

A 、a=1.5，b=2, c=3

B 、a=7,b=24,c=25

C 、a=6, b=8, c=10

D 、a=3,b=4,c=5

2、三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（）

A.直角三角形

B.钝角三角形

C.锐角三角形

D.不能确定

3、已知2226810500x y z x y z ++---+= 求由此z y x ,,为三边的三角形的面积。

（三）勾股定理的应用

1、如图，将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆形水杯中，设筷子露在外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是

2、如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，BC=4cm ，CD=12cm ，DA=13cm ，且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是 cm 2

3、如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域.

(1)A 城是否受到这次台风的影响？为什么？

(2)若A 城受到这次台风影响，那么A 城遭受这次台风影响有多长时间？

（四）展开图与折叠问题

1、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B ’点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。

2、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为。

3、如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折痕

EF 的长为。

B C

B ’

C ’

′

题2图

题1图

题3图

题2图

（五）解答题

1、已知：如图，在△ABC 中，90ACB ∠=，10AB cm =，8BC cm =，CD AB ⊥于D ，求CD 的长．

2、如图，已知：?=∠=∠90C ABD ，12=AD ，BC AC =，?=∠30DAB ，求BC 的长．

3、如图，ABC ?中，13AB =，14BC =，15AC =，求BC 边上的高AD ．

基础练习

1、三个正方形的面积如图所示，则正方形A 的面积是（）．Ａ． 6 Ｂ. 36 Ｃ. 64 Ｄ. 8

2、a 、b 、c 是△ABC 的三边，

①5a =，12b =，13c = ②8a =，15b =，17c = ③a ∶b ∶c =3∶4∶5 ④15a =，

20b =，25c =。上述四个三角形中直角三角形有（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 3、若一直角三角形两边长为12和5，则第三边长为（） A ．13 B ．13或119 C ．13或15 D ．15

4、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（）

A 、24cm 2

B 、36cm 2

C 、48cm 2

D 、60cm 2

5、直角三角形中，斜边长为5cm ，周长为12cm ，则它的面积为( )。 A ．122cm B ．62cm C ．8 2cm D ．92

6、如图，一个圆柱底面周长为6cm ，高为4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则至

少爬行__________.

7、若直角三角形的两边长为12和5，求以第三边为边长的正方形的面积是________.。

8、在△ABC 中，∠C=90°，AB=m+2，BC=m-2，AC=m ，求△ABC 三边的长。

课后练习

1、Rt △一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则Rt △的周长为（） A 、121

B 、120

C 、90

D 、不能确定 2、等腰三角形底边上的高为6，周长为36，则三角形的面积为（） A 、56

B 、48

C 、40

D 、32

3、已知1225x x y -++-与2

1025z z -+互为相反数，则以x 、y 、z 为三边的三角形是______ 三角形．

4、△ABC 中，15AB =，13AC =，高12AD =，则△ABC 的周长为___________．

5、如图，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ∶CE ＝_________．

6、如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C′的位置，若BC ＝2，则BC′＝_________．

C ′ B

题6图

5、已知，△ABC 中，17AB cm =，16BC cm =，BC 边上的中线15AD cm =，试说明△ABC 是等腰三角形．

6、如图，已知：在ABC ?中，?=∠90ACB

，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．

7、如图，已知：?=∠90C ，CM AM =，AB MP ⊥于P ．求证： 2

BC AP BP +=．

8、《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”．一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，?测得该车从北偏西60的A 点行驶到北偏西30°的B 点，所用时间为1．5秒．（1）试求该车从A 点到B 的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速．

C B A

题5图

题6图

勾股定理知识点总结

第18章勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证

a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5 、利用勾股定理作长为的线段作长为、、的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。作法：如图所示（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB ，使AB 为斜边；（2）以AB 为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是、、、。举一反三【变式】在数轴上表示的点。解析：可以把看作是直角三角形的斜边，，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

勾股定理全章复习与小结

第17章勾股定理小结与复习一、课件说明本课是对全章知识的回顾和复习，通过知识整理，进一步理解勾股定理及其逆定理，体会勾股定理在距离（线段长度）计算中的作用，理解勾股定理与它的逆定理之间的关系，并尝试综合运用这两个定理解决简单的实际问题．二、学习目标：知识与技能： 1、进一步理解勾股定理入其逆定理，弄清两定理之间的关系。 2、回顾本章知识，在回顾过程中主动构建起本章知识结构；过程与方法： 1、} 2、复习直角三角形的有关知识，形成知识体系。 2、思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程，体会出入相补思想、数形结合思想、转化思想在解决数学问题中的作用. 情感态度恶劣与价值观：通过运用勾股定理及其逆定理解决问题，体会到数学来源于生活，应用于生活。三、学习重点：勾股定理及其逆定理的应用．四、教学过程：（一）创设情境引出课题 ;

问题1 如图，这是矗立在萨摩斯岛上的雕像，这个雕像给你怎样的数学联想（出示图形）（背景介绍：我们知道，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了勾股定理．在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．人们为了纪念这位伟大的科学家，在他的家乡建了这个雕像．）（二）层层提问，讲练相融追问1 在本章我们学习了直角三角形一个重要的定理，你能叙述这个定理吗如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2 知识点一：勾股定理的运用: 1.已知直角三角形两边,直接利用勾股定理求出第三边. 基础练习1 在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，∠B=90°，则第三边c 的长为． ' 变式在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，则第三边c的长为．温馨提示:求第三边时应看清题目中所说的边是直角边还是斜边,如果题中没有说明,则应分两种情况求. 2.未已知直角三角形的两边,则一般通过设未知数列方程解决。基础练习2 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）． A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m

勾股定理全章知识点归纳总结

全国中考信息资源门户网站 https://www.sodocs.net/doc/f716201144.html, 勾股定理全章知识点归纳总结一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在A B C ?中，90C ∠=? ，则22 c a b = +， 2 2 b c a = -，22 a c b = -）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2

全国中考信息资源门户网站 https://www.sodocs.net/doc/f716201144.html, 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ? +=正方形正方形ABCD ，22 14()2 ab b a c ? +-=，化简可证． c b a H G F E D C B A