随机信号分析习题
随机信号分析习题一
1 _ e — X^O
1. 设函数F(x)=」 , ,试证明F(X)是某个随机变量
C 的分布函数。并求下列 概率：PC .,1)，P(1 _
_2)。 2. 设(X,Y)的联合密度函数为
e , X _0, y _0
, other
求 Pd X < 1,0 ：： Y "。
求：(1)边沿密度f χ (x)， f γ(y)
(2)条件概率密度 f γ∣χ (y|x)， f χ∣γ(χI y)
4. 设离散型随机变量 X 的可能取值为 J 1,0,1,2^,取每个值的概率都为1/4 ,又设随机变 量 Y =g(X) =X 3 _X 。
(1) 求Y 的可能取值
(2) 确定Y 的分布。
(3) 求 E ［Y ］。
5. 设两个离散随机变量 X ，Y 的联合概率密度为：
1 1 1
f χγ(x,y) (x-2)、(y-1) (x-3)、(y-1) (x-A)、(y-A)
3 3 3
试求：(1)X 与Y 不相关时的所有 A 值。
(2)X 与Y 统计独立时所有 A 值。
6. 二维随机变量(X ，Y )满足：
X= CQS
Y= Sin ：
'为在［0，2二］上均匀分布的随机变量，讨论 X ，Y 的独立性与相关性。
0 , X <0 3. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 f χγ(x, y) exp
7.已知随机变量 X的概率密度为f (x),求Y=bX的概率密度f (y)。
8. 两个随机变量X i , X ,已知其联合概率密度为f(X1,X2),求X i X2的概率密度?
9.设X是零均值，单位方差的高斯随机变量，y = g(χ)如图，求y = g(χ)的概率密度fγ(y)
10. 设随机变量W和Z是另两个随机变量X和Y的函数
W=X2 Y
i 2
Z=X2
设X，Y是相互独立的高斯变量。求随机变量W和Z的联合概率密度函数。
11. 设随机变量W和Z是另两个随机变量X和Y的函数
W=X Y
Z =2(X Y)
已知fχγ(x,y),求联合概率密度函数f Wz(,,z)。
(1)求X的特征函数，X C ■) O
(2)由 X C ),求E[X] O
13. 用特征函数方法求两个数学期望为0,方差为1 ,互相独立的高斯随机变量X1和X2之和的概率密度。
14. 证明若X n依均方收敛，即Li.m_ X n=X ,则X n必依概率收敛于X。
15.设｛X n｝和｛Y n｝(n =1,2,…)为两个二阶矩实随机变量序列，X和Y为两个二阶矩实随机变量。若l?].m X n=X , l.i.m Y n=Y ,求证Nm E{X m X n} = E{ XY}。
n-?C
随机信号分析习题二
12.设随机变量X为均匀分布，其概率密度fχ(x) = L 0, a乞x乞 b 其它 1. 设正弦波随机过程为 X(t) = ACOSW O t 其中W o为常数；A为均匀分布在［0,1］内的随机变量，即 f A(a) = !1,°G1 0,others JI 3兀兀 (1)试求t =o, , ,一时，X(t)的一维概率密度; 4w04w0W0 π (2)试求t 时，X(t)的一维概率密度。 2W0 2. 若随机过程X(t)为 X(t) = At, —：：：t ■■ 式中，A为在区间［0,1］上均匀分布的随机变量，求E［X(t)］及R X (t1,t2)。 3. 设随机振幅信号为 X(t) =Vs inw0t 其中W0为常数；V是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。 4. 设随机相位信号 X(t) = acos(w°t ) 式中a、w0皆为常数，??为均匀分布在［0,2二］上的随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。 5. 设X(t) =Asin(wt R,t：：，Y(t) = BSin(wt 二)，」：：：t ：：,其中A，B，W，'为实常数，^~U［0,2二］,试求Rχγ(s,t)。 2 6. 数学期望为m X(t)=5sin t、相关函数为R X (t1 ,t2) = 3「恥斗)的随机信号X(t)输入 微分电路，该电路输出随机信号Y(t)= X(t)。求Y(t)的均值和相关函数。 7.设随机信号X (t) =Ve3t cos2t ,其中V是均值为5、方差为1的随机变量。现设新的 t 随机信号Y(t) X(?)d?。试求Y(t)的均值、相关函数、协方差函数和方差。 8. 利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程 「COS兀t,出现正面 X(t)二2t, 出现反面 设“出现正面”和“出现反面”的概率都为1/2。 (1) 求X(t)的一维分布函数Fχ(x,1∕2)和Fχ(x,1)； (2) 求X (t)的二维分布函数F X(Xl ,X2；1/2,1)。 9. 给定一个随机过程X(t)和任一实数X ,定义另一个随机过程 I l, X(t)^x Y(t) = , v 7 i o, X("x 证明Y(t)的均值函数和自相关函数分别为X(t)的一维和二维分布函数。 10. 定义随机过程 1,第n次投掷均匀硬币出现正面 X(t)= 卜1,第n次投掷均匀硬币出现反面 n =0, 一1, _2,…，(n -1)S -A：：：nS，S为正常数，设’-U[0, S],且?与X(t)相互独立， 令Y(t) =X(t_ ),试求Rχ(s,t)与R Y(s,t)。 n 11. 考虑一维随机游动过程Y n，n =0,1,2/ ,其中Y0=O, Y n X i，X i为一取值-1 和1 的随机变量，已知P(X i= _1) = q，P(X i= ? 1) = p，0 岂p,q 辽1，P 7 = 1,且X i， i =1,2/相互独立，试求： 1) P(Y n= m); 2) EY n和DY n。 12.考虑随机过程X(t),其样本函数是周期性锯齿波。两个典型的样本函数如图所示。每 个样本函数都具有相同的形状，将t「0时刻以后出现的第一个零值时刻记为T),假设T 是 一个均匀分布的随机变量 11 τ,o ET Pτ0(t)=]0 0, OtherS 随机信号分析习题一 1. 设函数???≤>-=-0 , 0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。并求下列 概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。 2. 设),(Y X 的联合密度函数为 (), 0, 0 (,)0 , other x y XY e x y f x y -+?≥≥=? ?， 求{}10,10<<< 8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度 ()Y f y \ 10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 22 2 W X Y Z X ?=+?=? 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。求随机变量W 和Z 的联合概率密度函数。 11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 2() W X Y Z X Y =+?? =+? 已知(,)XY f x y ，求联合概率密度函数(,)WZ f z ω。 12. 设随机变量X 为均匀分布，其概率密度1 ,()0X a x b f x b a ?≤≤? =-???， 其它 （1）求X 的特征函数,()X ?ω。 （2）由()X ?ω，求[]E X 。 13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量1X 和2X 之和的概率密度。 14. 证明若n X 依均方收敛，即 l.i.m n n X X →∞ =，则n X 必依概率收敛于X 。 15. 设{}n X 和{}n Y (1,2,)n = 为两个二阶矩实随机变量序列，X 和Y 为两个二阶矩实随机变量。若l.i.m n n X X →∞ =，l.i.m n n Y Y →∞ =，求证lim {}{}m n m n E X X E XY →∞→∞ =。 电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期 末 考试 A 卷 一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=， 其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀 分布的随机变量。（ 共10分） 1．画出该过程两条样本函数。(2分) 2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的 一维概率密度函数，并画出其图形。(5 分) 3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平 稳？(3分) 解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函 数如题解图(a)所示： 2.当02t πω=时，()02X πω=，()012P X πω??==????， 此时概率密度函数为：(;)()2X f x x πδω = 当34t πω=时， 3()42X πω=-，随机过程的一维 概率密度函数为： 3. ()[]1cos cos 2E X t E V t t ωω==???? 均值不平稳， 所以()X t 非广义平稳，非严格平稳。 二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与 ()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均 匀分布随机变量。（ 共10分） 1．求两个随机信号的互相关函数 12(,)XY R n n 。(2分) 2．讨论两个随机信号的正交性、互不 相关性与统计独立性。(4分) 3．两个随机信号联合平稳吗？(4分) 解：1.两个随机信号的互相关函数 其中()12sin 2220E n n ππφ++=???? 2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =， 故两个随机信号正交。 又 故两个随机信号互不相关， 又因为 故两个随机信号不独立。 3. 两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。 三、()W t 为独立二进制传输信号，时隙长度T 。在时隙内的任一点 ()30.3P W t =+=????和 ()30.7P W t =-=????，试求（ 共10分） 1．()W t 的一维概率密度函数。(3分) 2．()W t 的二维概率密度函数。(4分) 3．()W t 是否严格平稳？(3分) 1 第一次作业：练习一之1、2、3题 1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。 解：875.087 813812411210)(][4 1 ==?+?+?+?===∑=i i i x X P x X E 81 )873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224 1 22?-+?-+?-+?-=-=∑=i i i P X E x X D 109.164 71 == 1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为 ? ????≥<≤-+<=21 201)](2π Αsin[0.500 )(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(< 北京理工大学2011级随机信号分析期末试题B卷 1（15分）、考虑随机过程X t=2Nt2，其中N为标准正态随机变量。计算X(t)在t为0秒，1秒，2秒时的一维概率密度函数fx x;0，fx x;1，fx x;2 2（15分）、考虑随机过程X t=a2cos2(ω0t+?)，其中a，ω0为常数，?为在[0,2π) 上均匀分布的随机变量。 （1）、X(t)是否为宽平稳随机过程？为什么？ （2）、X(t)是否为宽遍历随机过程？为什么？ （3）、求X(t)的功率谱密度及平均功率。 3（15分）、考虑下述随机过程 Y(t)=X k dk t t?2T 式中，X(t)为宽平稳随机过程。 （1）、试找出一线性时不变系统，使得系统输入为X(t)时其输出为Y(t)，写出该系统的单位冲激响应； （2）、假定X(t)的自相关函数为R XX(τ)，计算Y(t)的自相关函数； （3）、假定X(t)的功率谱密度为S XX(ω)，计算Y(t)的功率谱密度。 4（15分）、已知某宽平稳高斯随机过程的功率谱密度如下 S XXω=10 22 将其通过一微分网络，输出为Y(t)。 （1）、求Y(t)的功率谱密度S Yω； （2）、求Y(t)的平均功率； （2）、求Y2(t)的平均功率。 5（40分）、已知X t=A t cos(ω t?θ)?A t sin?(ω0t?θ) 其中A(t)为宽平稳实随机过程，功率谱密度如图1所示，且ω0?W，θ服从(0,2π)上均匀分布的随机变量。 分别定义X(t) 和同相分量和正交分量为： X I t=X t cosω0t+X t sinω0t X Q t=X t cosω0t?X t sinω0t 式中，X t表示X(t)的希尔伯特变换。 （1）、计算X(t)及X t的平均功率，分别画出X(t)，X(t)的复解析过程，X(t)的复包络，以及X(t)的正交分量和同相分量的功率谱密度； （2）、若A(t)为零均值的随机过程，X(t)通过如图2的系统，求Y(t)的均值和方 《随机信号分析与处理》期末自我测评试题（一） 一、填空题（共10小题，每小题1分，共10分） 1、假设连续型随机变量的概率分布函数为F(x)，则F(-∞)=0，F(+∞)= 1。 2、如果一零均值随机过程的功率谱在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声，该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关。 3、窄带正态噪声加正弦信号在信噪比远小于1的情况下的包络趋向瑞利分布，而相位则趋向均匀分布。 4、平稳随机信号通非线性系统的分析常用的方法是直接法和变换法与级数展开法。 5、对随机过程X(t)，如果，则我们称X(t1)和X(t2)是不相关。如果，则我们称X(t1)和X(t2)是正交。如果 ，则称随机过程在和时刻的状态是独立。 6、平稳正态随机过程的任意维概率密度只由均值、协方差阵来确定。 7、典型的独立增量过程有泊松过程与维纳过程_。 8、对于随机参量，如果有效估计存在，则其有效估计就是最大后验概率估计。 9、对于无偏估计而言，均方误差总是大于等于某个量,这个量称为克拉美-罗(Cramer-Rao)下限，达到这个量的估计称为有效估计。 10、纽曼-皮尔逊准则是：约束虚警概率恒定的情况下使漏警概率最小。 二、选择题（共5小题，每小题2分，共10分） 1、是均值为方差为的平稳随机过程，下列表达式正确的有：（b、d） （A）（B） （C）（D） 2、白噪声通过理想低通线性系统，下列性质正确的是：（a、c） ?输出随机信号的相关时间与系统的带宽成反比 ?输出随机信号的相关时间与系统的带宽成正比 ?系统带宽越窄，输出随机过程随时间变化越缓慢 ?系统带宽越窄，输出随机过程随时间变化越剧烈 3、设平稳随机序列通过一个冲击响应为的线性系统，其输出用 表示，那么，下列正确的有：（a、d） （A）（B） （C）（D） 4、为的希尔伯特变换，下列表达正确的有：（a、c、d） （A）与的功率谱相等（B） 第 一 章 1.1不考 条件部分不考 △雅柯比变换 （随机变量函数的变换 P34） △随机变量之间的“不相关、正交、独立” P51 （各自定义、相关系数定义 相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立 正交与不相关、独立没有明显关系 结合高斯情况） △随机变量的特征函数及基本性质 （一维的 P53 n 维的 P58） △ 多维高斯随机变量的概率密度和特征函数的矩阵形式、三点性质 P61 ( )()() () ( ) ()()2 2 1 () 2112 2 22 11 ,,exp 2 2exp ,,exp 22T T x m X X X X X n n X T T jU X X X X X n X M X M f x f x x U U u Q u j m Q u u E e jM U σπσμ---?? --??= = -????? ? ?? ?? ?? ??=-==- ?? ??? ????? ?? C C C u u r u u r u u r u u r u u r u u r L u r u r u u r u r L 另外一些性质： []()20XY XY X Y X C R m m D X E X m ??=-=-≥?? 第二章 随机过程的时域分析 1、随机过程的定义 从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ?→→∞的推广 2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？ 3、随机过程的概率密度P7 4、特征函数P81。（连续、离散） 一维概率密度、一维特征函数 二元函数 4、随机过程的期望、方差、自相关函数。（连续、离散） 5、严平稳、宽平稳的定义 P83 6、平稳随机过程自相关函数的性质： 0点值，偶函数，周期函数（周期分量），均值 7、自相关系数、相关时间的定义 P88 2 2 2() ()()()()(0)()X X X X X X X X X X C R m R R R R τττρτσ σ--∞= = -∞= 非周期 相关时间用此定义（00()d τρττ∞ =?） 8、两个随机过程之间的“正交”、“不相关”、“独立”。 （P92 同一时刻、不同时刻） 9、两个随机过程联合平稳的要求、性质。P92 1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数： （1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++ 解：（1） ()121222()jv X X jvX jv X jvX X v E e E e E e e φ+??????===??????? （2） ()1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++????==?????? 2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问： （1） 信号的均值函数()E X t ????； （2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+； （3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。 解：（1）()10.410.60.2E X t =-?+?=???? (2) 当,t t τ+在同一个时隙时： 当,t t τ+不在同一个时隙时： （3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++ 3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0 ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。 （1） 试判断()X t 和()Y t 在同一时刻和不同时刻的独立性、相关性及正交性； （2） 试判断()X t 和()Y t 是否联合广义平稳。 解： （1） 由于X (t )和Y(t )包含同一随机变量θ， 因此非独立。 根据题意有12f ()θπ=。 []001sin()02E[X(t )]E t sin(w t )d π πωθθπ -=+Θ= +=?， 由于0XY XY R (t,t )C (t,t )==，X (t )和Y(t )在同一时刻正交、线性无关。 除()012w t t k π-=±外的其他不同时刻12120XY XY R (t ,t )C (t ,t )=≠，所以1X (t )和2Y(t )非正交且线性相关。 《随机信号分析》试题 考试时间 120 分钟 1.考试形式：闭卷； 2.考试日期：2013年11月27日； 3.本试卷共7大题，满分100分。 班级 学号 姓名 任课教师 一．填空与简答题（共30分，每小题3分） 1．随机过程3()t X t Ve =，其中V 是均值为5的随机变量，设0 ()()t Y t X d λλ= ? ，则 []()E Y t = 。 2．平稳随机过程()X t 的自相关函数为9()8181cos981X R e τ ττ-=++，则 []()E X t = ，[]()D X t = 。 3．十字路口的车流是一个泊松过程，设1分钟没有车辆通过的概率为0.1，已知 ln 0.1 2.3=-，则2分钟内有多于1辆车通过的概率为 。 4．设随机过程0()cos()X t a t ω?=+，其中a 和0ω均是实常数，?是服从(0,)2 π 上均 匀分布的随机变量，则()X t 的平均功率Q = 。 5．设平稳随机过程()X t 的自相关函数为()X R τ，则其导数过程()X t ? 的自相关函数 ()X R τ?= 。 6．拟构造一个稳定的线性系统，使其在具有单位谱的白噪声激励下输出谱为 242 2549 ()109 Y S ωωωω+=++，则其传输函数()H s = 。 7．低通滤波器1 ()1H j ωω = +的等效噪声带宽e ω?= 。 8．全波线性检波器()()Z t X t =的输入为零均值平稳正态随机过程，其方差为2 σ，则 f z t 。 输出的一维概率密度函数(,) Z 9．确定性信号分析中，使用傅里叶变换来获得信号的频谱，进而进行频域分析。而在随机信号分析中，为什么要定义功率谱密度？ 10．对于待估计参数a，设其估计值为?a。在什么条件下称?a为a的无偏估计？如何全面的表示估计质量？ 1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数： （1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++ 解：（1）() 121222()jv X X jvX jv X jvX X v E e E e E e e φ+???? ??===?????? ? 12 21212()(2)jvX jv X X X E e E e v v φφ????=????和独立 （2）() 1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++???? ==????? ? 12536 12jv X jv X jv X X E e E e E e ?????? ??????和独立 6 12(5)(3)jv e v v φφ= 2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问： （1） 信号的均值函数()E X t ????； （2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+； （3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。 解：（1）()10.410.60.2E X t =-?+?=???? (2) 当,t t τ+在同一个时隙时： []222(,)()()[()]10.6(1)0.41X R t t E X t X t E X t ττ+=+==?+-?= 当,t t τ+不在同一个时隙时： [][][](,)()()()()0.20.20.04 X R t t E X t X t E X t E X t τττ+=+=+=?= （3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++ 3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0 ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。 电子科技大学2014- 2015学年第2学期期末考试 A 卷 一、设有正弦随机信号X t Vcos t , 其中0 t，为常数，V是［0,1）均匀分布的随机变 量。（共10分） 1.画出该过程两条样本函数。（2分） 3 2.确定t。— , t1—时随机信号x（t）的一维概率密度函数，并画出其图形。（5 分） 3.随机信号x（t）是否广义平稳和严格平 稳？（3分） 解: 1.随机信号x t的任意两条样本函数如题解图（a）所示： 2.当t0 厂时，x（—）0, P x（—）0 1, 此时概率密 度函数为：f x（X；厂）（X） 当t时，X（右）乎V,随机过程的一维概率密度函数为： 1 3. E X t EV cos t 2cos t 均值不平稳，所以X（t）非广义平稳，非严格平稳。 二、设随机信号X n sin 2 n 与 Y n cos 2 n ，其中为0~上均 匀分布随机变量。（共10分） 1.求两个随机信号的互相关函数 （n!, n2）o （2 分） R KY 2.讨论两个随机信号的正交性、互不 相关性与统计独立性。（4分） 3 .两个随机信号联合平稳吗？（4分）解: 1.两个随机信号的互相关函数 其中E sin 2 口2迈2 0 2.对任意的厲、n2,都有R XY^M） 0, 故两个 随机信号正交。 又 故两个随机信号互不相关， 又因为 故两个随机信号不独立。 3. 两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。 三、W t为独立二进制传输信号，时隙长度T。在时隙内的任一点 P W t 3 0.3和P W t 3 0.7 ，试求 （共10 分） 1．W t的一维概率密度函数。（3 分） 第二次作业：练习一之4、5、6、7题 1.4 随机变量X 在[α，β]上均匀分布，求它的数学期望和方差。 解：因X 在[α，β]上均匀分布 ??? ??β≤≤αα -β=其他 下0 1)(x f ?? β α ∞ ∞ β+α= α -β= = 2d d )(]E[-x x x x xf X )2(3 1d d )(]E[2 2 2 -2 2 β+β+α= α -β= = ?? β α ∞ ∞ x x x x f x X 2 2 2 -2 )(12 1]) X [E (]X [E d )(])X [E (]D[α-β= -=-= ?∞ ∞ x x f x X 1.5 设随机变量X 的概率密度为 ?? ?<≤=其他 1 01 )(x x f X ，求Y =5X +1的概率密度函 数。 解：反函数X = h (y ) = (Y -1)/5 h ′(y ) = 1/5 1≤y ≤6 f Y (y ) = f X (h (y ))｜h ′(y )∣= 1 ×1/5 = 1/5 于是有 ?? ?≤≤=其他 615 /1)(y y f Y 1.6 设随机变量]b ,a [,,,21在n X X X ???上均匀分布，且互相独立。若∑== n 1 i i X Y ,求 （1）n=2时，随机变量Y 的概率密度。 （2）n=3时，随机变量Y 的概率密度。 解：n i b x a a b x f i i ,,2,101)(???=??? ? ?? ?≤≤-=其它 n=2时，)()()(2 1 y f y f y f X X Y *= 111)()()(21dx x y f x f y f X X Y ? ∞ ∞ --= ?-? -= b a dx a b a b 111 a b -= 1 ………密………封………线………以………内………答………题………无………效…… 电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____分钟 课程成绩构成：平时 10 %， 期中 10 %， 实验 %， 期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成，共_____页。 一、填空题（共20分，共 10题，每题2 分） 1. 设随机过程0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞，其中0ω为常数，A Φ和是相互独立的随机变量， []01A ∈，且均匀分布，Φ在[]02π，上均匀分布，则()X t 的数学期望为： 0 2. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=，请写出()X t 和(2)X t +的协方差12-e 3. 若随机过程()X t 的相关时间为1τ，()Y t 的相关时间为2τ，12ττ>，则()X t 比()Y t 的相关性要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。 4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。 5. 窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布，相位服从___均匀___分布，且在同一时刻其包络和相位是___互相独立___的随机变量。 6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____（奇、偶、非奇非偶）函数。 7. 设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程，其单边功率谱密度为)(ωY F ，且0()Y F ωω-为一偶函数，则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。 由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。给大家造成的不便，敬请谅解 随机信号分析 第三章习题答案 、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求 （1）证明X(t)是平稳过程。 （2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。 （1） （2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232 ()(16) X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？ 解 [][]()[]2 ()cos 2 11 ,cos 5cos 22 X E X t E A E t B A B R t t EA τττ =++=????+=+=+与相互独立 ()()()2 1521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞??=<∞ ???==?是平稳过程 ()()[]()()41122 11222222 2 4 2' 4(1)24()()444(0)4 1132 (1)2244144 14(2)121tan 132 24X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x τ τωωωωω ππωωπωωπ ω π ωω∞ ----∞∞ -∞-∞∞--∞∞ ?????==?=???+?? ====+==??+ ?==??= ++?? = ? ????P P P P 方法一() 方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功) 2 d ω = 电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____ 分钟 课程成绩构成：平时 %， 期中 %， 实验 %， 期末 % 本试卷试题由_____部分构成，共_____页。 计算、简答、论述、证明、写作等试题模板如下 一、若信号00()cos()X t X t ω=++Θ输入到如下图所示的RC 电路网络上， 其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Θ为[0,2]π上均匀分布的随机变量，并且0X 与 Θ彼此独立，Y (t )为网络的输出。（ 共10分） （1）求Y (t )的均值函数。(3分) （2）求Y (t )的功率谱密度和自相关函数。(4分) （3）求Y (t )的平均功率。(3分) 图 RC 电路网路 （1）RC 电路的传输函数为()1(1)H j j RC ωω=+ ()X t 的均值函数为 ∴ Y (t )的均值函数为 （2） ∴()X t 是广义平稳的。 ∴()X t 的功率谱为： 功率谱传递函数：22 1 |()|H j RC ωω= 1+（） 根据系统输入与输出信号功率谱的关系可得： 求()Y S ω的傅立叶反变换，可得： （3）2222 011 (0)328Y Y P R f R C ==++π 二、若自相关函数为()5()X R τδτ=的平稳白噪声X (t )作用于冲激响应为 ()e ()bt h t u t -=的系统，得到输出信号Y (t )。（ 共10分） （1）求X (t )和Y (t )的互功率谱()YX S ω和()XY S ω。(5分) （2）求Y (t )的矩形等效带宽。(5分) （1）1 ()() ()bt h t e u t H j b j ωω -=?= + （2） 2 2222 552() ()()2Y X b S S H j b b b ωωωωω=?= =?++，25(0)Y S b = 求()Y S ω的傅里叶反变换，得到()Y t 的自相关函数为： 5()2b Y R e b τ τ-= ，5(0)2Y R b = ∴ ()()()()20015/2202025/4 Y eq Y Y Y R b b B S d S S b ωωπ∞= ===?? 三、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布 的随机变量。（共10分） （1）确定4t π ω= 时随机变量()X t 的概率密度函数，并画出其图形；（4分） （2）当2t π ω =时，求()X t 的概率密度函数。（3分） （3）该信号是否严格平稳？（3分） 解：（1）随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图(a)所示： 随机过程在不同时刻是不同的随机变量，一般具有不同的概率密度函数： 当4t πω= 时，()4X πω= ，0(;)240,X x f x others πω<< =?? （2分） 在,4i t ππωω =各时刻，随机变量()i X t 的概率密度函数图形如题解图(b) 所示： 1 10 3π π0 - 1 （2分） 信号分析与处理 第一章绪论：测试信号分析与处理的主要内容、应用；信号的分类，信号分析与信号处理、测试信号的描述，信号与系统。 测试技术的目的是信息获取、处理和利用。 测试过程是针对被测对象的特点，利用相应传感器，将被测物理量转变为电信号，然后，按一定的目的对信号进行分析和处理，从而探明被测对象内在规律的过程。 信号分析与处理是测试技术的重要研究内容。 信号分析与处理技术可以分成模拟信号分析与处理和数字信号分析与处理技术。 一切物体运动和状态的变化，都是一种信号，传递不同的信息。 信号常常表示为时间的函数，函数表示和图形表示信号。 信号是信息的载体，但信号不是信息，只有对信号进行分析和处理后，才能从信号中提取信息。 信号可以分为确定信号与随机信号；周期信号与非周期信号；连续时间信号与离散时间信号；能量信号与功率信号；奇异信号； 周期信号无穷的含义，连续信号、模拟信号、量化信号，抽样信号、数字信号 在频域里进行信号的频谱分析是信号分析中一种最基本的方法：将频率作为信号的自变量，在频域里进行信号的频谱分析； 信号分析是研究信号本身的特征，信号处理是对信号进行某种运算。 信号处理包括时域处理和频域处理。时域处理中最典型的是波形分析，滤波是信号分析中的重要研究内容； 测试信号是指被测对象的运动或状态信息，表示测试信号可以用数学表达式、图形、图表等进行描述。 常用基本信号（函数）复指数信号、抽样函数、单位阶跃函数单位、冲激函数（抽样特性和偶函数）离散序列用图形、数列表示，常见序列单位抽样序列、单位阶跃序列、斜变序列、正弦序列、复指数序列。 系统是指由一些相互联系、相互制约的事物组成的具有某种功能的整体。被测系统和测试系统统称为系统。输入信号和输出信号统称为测试信号。系统分为连续时间系统和离散时间系统。 电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____分钟 课程成绩构成：平时 10 %， 期中 10 %， 实验 %， 期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成，共_____页。 一、填空题（共20分，共 10题，每题2 分） 0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞，其中0ω为常数，A Φ和是相互独立的随机变量， []01A ∈，且均匀分布，Φ在[]02π，上均匀分布，则()X t 的数学期望为： 0 2. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=，请写出()X t 和(2)X t +的协方差12-e 3. 若随机过程()X t 的相关时间为1τ，()Y t 的相关时间为2τ，12ττ>，则()X t 比()Y t 的 相关性要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。 4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。 5. 窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布，相位服从___均匀___分布，且在同一时刻其包络 和相位是___互相独立___的随机变量。 6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____（奇、偶、非奇非偶）函数。 7. 设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程，其单边功率谱密度为)(ωY F ，且0()Y F ωω-为一 偶函数，则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。 二、计算题（共80分） 两随机变量X 和Y 的联合概率密度函数为(,)=XY f x y axy ，a 是常数，其中0,1x y ≤≤。求： 1)a ; 2)X 特征函数； 3)试讨论随机变量X 和Y 是否统计独立。 解：因为联合概率密度函数需要满足归一性，即 （2分） 一、已知随机变量X 服从11,22??-???? 区间的均匀分布，Y 是取值为(-1,1)的二值随机变量，且满足1[1][1]2P Y P Y =-=== 。 若X 和Y 彼此统计独立，求随机变量Z X Y =+的： 1、概率密度函数 ()Z f z 。 2、特征函数()Z v Φ。 解： 1、随机变量X 均服从11,22?? -????区间的均匀分布， 111,()()22 0,X x f x rect x otherwise ? -≤≤ ?==??? 11 ()(1)(1) 22 Y f y x x δδ=++- 由于X 和Y 彼此统计独立，所以 11 ()()()(1)(1) 22 Z X Y f z f z f z rect z rect z =*=++- 131/2, 220,z otherwise ? ≤≤?=??? 2、 ()2rect z Sa ω?? ? ? ?? 且 ()()FT z z f z v Φ- 所以()1()cos 222j j z v Sa e e Sa ωωωωω-????Φ=+= ? ????? 二、取值()0,1，等概分布的独立半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为0T ，问： 1、信号的均值函数()E X t ??? ?。 2、信号的自相关函数(),X R t t τ+。 3、()X t 的一维概率分布函数 ();X F x t 和二维概率分布函数()1212,;,X F x x t t 。 解：1、()00.510.50.5X t E =?+?=???? 2、当,t t τ+在同一个时隙时： [] 2 2 2 (,)()()[()]00.510.50.5X R t t E X t X t E X t ττ+=+==?+?= 当,t t τ+不在同一个时隙时： 信号分析方法总结 随机信号：不能用明确的数学表达式来表示，它反映的通常是一个随机过程，只能用概率和统计的方法来描述。 随机现象的单个时间历程称为样本函数。随机现象可能产生的全部样本函数的集合，称为随机过程 振动信号的时域分析方法 时间历程 描述信号随着时间的变化情况。 平均值 ∑=- = N i i x N x 1 1 均方值用来描述信号的平均能量或平均功率 ∑=-= N i i x N x 1 22 1 均方根值（RMS ）为均方值的正平方根。是信号幅度最恰当的量度 方差表示信号偏离其均值的程度，是描述数据的动态分量∑=---=N i i x x x N 1 22 )(11σ 斜度α反映随机信号的幅值概率密度函数对于纵坐标的不对称性∑== N i i N x 1 3 1 α 峭度β对大幅值非常敏感。当其概率增加时，β值将迅速增大，有利于探测奇异振动信号 ∑== N i i N x 1 14β 信号的预处理： 1 预滤波 2 零均值化：消除数据中的直流分量 )()()(^n x n x n x - -=。 3 错点剔除：以标准差为基础的野点剔除法 4 消除趋势项 相关分析 1 自相关分析a=xcorr(x) 自相关函数描述一个时刻的信号与另一时刻信号之间的相互关系 工程上利用自相关函数检查混杂在随机噪声中有无周期性信号 2 互相关函数a=xcorr(x,y) 利用互相关函数所提供的延迟信号，可以研究信号传递通道和振源情况，也可以检测隐藏在外界噪声中的信号 振动信号的频域分析方法 1 自功率谱密度函数（自谱） 自功率谱描述了信号的频率结构，反映了振动能量在各个频率上的分布情况，因此在工程上应用十分广泛 2 互功率谱密度函数（互谱） 互谱不像自谱那样具有比较明显的物理意义，但它在频率域描述两个随机过程的相关性是有意义的。 3 频响函数 它是被测系统的动力特性在频域内的表现形式 4 相干函数 表示整个频段内响应和激励之间的相关性)(2 f yx γ=0表示不相干，)(2 f yx γ=1完全相干，即响应完全由激励引起，干扰为零。相干函数可以用来检验频响函数和互谱的测量精度和置信水平，也可以用来识别噪声的声源和非线性程度。一般认为相干值大于0.8时，频响函数的估计结果比较准确可靠。 姓名 年 级 学 院 专业 学 号 密 封 线 内 不 答 题 一.填空题（每空3分共18分） 1.随机信号功率谱的物理意义是 。 2.广义各态历经是指 。 3.白噪声通过理想低通系统后，功率谱为 。 4.希尔伯特变换中系统的冲激响应()h t = 传递函数()H ω= 。 5.随机信号()X t 的解析函信号是 。 二.判断题（每小题3分共15分） 1.随机变量X ，Y 独立，则有()()()E XY E X E Y =。 （ ） 2.理想白噪声过程在不同时刻的两个状态独立。 （ ） 3.212ττ++可以成为平稳过程的自相关函数。 （ ） 4.功率谱密度S ()X ω是实函数并且是偶函数。 （ ） 5.实平稳随机过程()X t 通过线性时不变系统的输出为()Y t ，则有 S ()S ()S ()S ()X Y XY YX ωωωω= （ ） 三.（12分）若有一随机变量X ，其概率密度函数为1 ()()2ax f t e u t -=。 求：（1）a 的值； （2）X 的特征函数()X v Φ； （3）随机变量21Y X =+，求Y 的一阶概率密度函数。 四.（15分）已知随机相位正弦信号()0()cos X t t ωΦ=+ , 0ω为常数，Φ为在[0，2π]内均匀分布的随机变量。试求： （1）()X t 的数学期望和自相关函数； （2）判定 ()X t 是否为平稳过程； （3）计算()X t 的功率谱密度。 姓名 年 级 学 院 专业 学 号 密 封 线 内 不 答 题 五.（15分）若输入信号00()cos()X t X t ω=++Φ作用于图XX 所示RC 电路，其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Φ为[0,2π]上均匀分布的随机变量，并且0X 与Φ彼此独立。求输出信号Y(t)的功率谱与相关函数。 六.（15分）复随机过程0()()j t Z t e ω+Φ=，式中0ω为常数，Φ是在(0,2)π上均匀分布的随机变量。求：（1）[()()]E Z t Z t τ*+和[()()]E Z t Z t τ+；（2）信号的功率谱。 电子科技大学随机信号分析期末测验A ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 一、已知随机变量X 服从11,22??-???? 区间的均匀分布，Y 是取值为(-1,1)的二值随机变量，且满足1[1][1]2P Y P Y =-=== 。 若X 和Y 彼此统计独立，求随机变量Z X Y =+的： 1、概率密度函数 ()Z f z 。 2、特征函数()Z v Φ。 解： 1、随机变量X 均服从11,22?? -????区间的均匀分布， 111,()()22 0,X x f x rect x otherwise ? -≤≤ ?==??? 11 ()(1)(1) 22 Y f y x x δδ=++- 由于X 和Y 彼此统计独立，所以 11 ()()()(1)(1) 22 Z X Y f z f z f z rect z rect z =*=++- 131/2, 220,z otherwise ? ≤≤?=??? 2、 ()2rect z Sa ω?? ? ? ?? 且 ()()FT z z f z v Φ- 所以()1()cos 222j j z v Sa e e Sa ωωωωω-????Φ=+= ? ????? 二、取值()0,1，等概分布的独立半随机二进制传输信号()X t ， 时隙长度为0T ，问： 1、信号的均值函数()E X t ??? ?。 2、信号的自相关函数(),X R t t τ+。 3、()X t 的一维概率分布函数 ();X F x t 和二维概率分布函数()1212,;,X F x x t t 。 解：1、()00.510.50.5X t E =?+?=???? 2、当,t t τ+在同一个时隙时： [] 2 2 2 (,)()()[()]00.510.50.5X R t t E X t X t E X t ττ+=+==?+?= 当,t t τ+不在同一个时隙时： 信号分析方法概述 通信的基础理论就是信号分析的两种方法:1 就是将信号描述成时间的函数,2就是将信号描述成频率的函数。 也有用时域与频率联合起来表示信号的方法。时域、频域两种分析方法提供了不同的角度,它们提供的信息都就是一样,只就是在不同的时候分析起来哪个方便就用哪个。 思考: 原则上时域中只有一个信号波(时域的频率实际上就是开关器件转动速度或时钟循环次数,时域中只有周期的概念),而对应频域(纯数学概念)则有多个频率分量。 人们很容易认识到自己生活在时域与空间域之中(加起来构成了三维空间),所以比较好理解时域的波形(其参数有:符号周期、时钟频率、幅值、相位)、空间域的多径信号也比较好理解。 但数学告诉我们,自己生活在N维空间之中,频域就就是其中一维。时域的信号在频域中会被对应到多个频率中,频域的每个信号有自己的频率、幅值、相位、周期(它们取值不同,可以表示不同的符号,所以频域中每个信号的频率范围就构成了一个传输信道。 时域中波形变换速度越快(上升时间越短),对应频域的频率点越丰富。 所以:OFDM中,IFFT把频域转时域的原因就是:IFFT的输入就是多个频率抽样点(即各子信道的符号),而IFFT之后只有一个波形,其中即OFDM符号,只有一个周期。 时域 时域就是真实世界,就是惟一实际存在的域。因为我们的经历都就是在时域中发展与验证的,已经习惯于事件按时间的先后顺序地发生。而评估数字产品的性能时,通常在时域中进行分析,因为产品的性能最终就就是在时域中测量的。 时钟波形的两个重要参数就是时钟周期与上升时间。 时钟周期就就是时钟循环重复一次的时间间隔,通产用ns度量。时钟频率Fclock,即1秒钟内时钟循环的次数,就是时钟周期Tclock的倒数。 Fclock=1/Tclock随机信号分析习题
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